ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Транскрипт

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «АМУРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ» МИНИСТЕРСТВА ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Н.В. НИГЕЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ г. Благовещенск

2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ ПО ТЕМЕ: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Цель занятия: 1. Повторить понятия производной, дифференциала функции одной переменной, неопределенного интеграла.. Овладеть методом табличного интегрирования.. Овладеть методом решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. 4. Научиться составлять дифференциальные уравнения по условиям задачи. ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ Теоретические вопросы для самоподготовки: 1. Производная функции одной переменной: определение, обозначение, таблица производных элементарных функций.. Дифференциал функции: определение, обозначение, формула для его нахождения. Выражение производной функции через дифференциалы функции и аргумента.. Неопределенный интеграл: определение, обозначение, таблица основных интегралов. 4. Понятие о дифференциальном уравнении: определение, запись в общем виде, порядок уравнения. 5. Общее и частное решение дифференциальных уравнений. 6. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. План его решения. 7. Понятие о составлении дифференциальных уравнений (на примере). Практическое задание для контроля усвоения темы: 1. Используя таблицу интегралов, найти неопределенный интеграл: a) 4 d; б) (e +4+ )d; в) ; г).. Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными: y a) y ; б); dy y 1 d

3 . Найти частное решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными: a) y, если y() = 5; б) 5y 4y 0, если y(0) = 1; 4. Закон распада лекарственного препарата в организме состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству лекарства. Найти зависимость количества от времени. Какое количество препарата останется в организме через часа, если через 1 час после введения 10 мг лекарственного препарата в организм его масса уменьшилась вдвое. Литература: 1.Данное методическое пособие.

4 БАЗИСНЫЕ ЗНАНИЯ 1. Производная функции одной переменной На рис.1 представлен график функции y=f(). Изменению аргумента соответствует изменение функции y. Соотношение y характеризует среднюю скорость изменения функции на участке АВ. Предел этого отношения при условии, что стремится к нулю, характеризует скорость изменения в точке А. Такой предел получил название производной функции y в точке А. Обозначение производной y lim ; где = - 1 ; y=y -y 1. 0 Рис. 1 Производная вычисляется для непрерывных функций. Нахождение производной функции называется дифференцированием. Производная функции в общем виде представляет собой непрерывную функцию, отличную от исходной. И только единственная функция y =e имеет производную, равную самой себе т. к. y e. Таблица производных основных элементарных функций: n n1 n 5. a a ln a e e 1 6. ln 7. sin cos 4 8. cos sin Применение производной разнообразно в прикладной математике. Для курса медицинской физики важно подчеркнуть то, что производная характеризует скорость изменения функции, с помощью которой описывается какой-либо процесс или явление. 4

5 . Дифференциал функции Для нахождения производной в общем виде для любой непрерывной функции на основании определения имеем формулу: y y y lim 0. Отношение не равно y, они отличаются между собой на бесконечно малую величину, которая при 0 тоже стремится к нулю. На основании этого можно y записать: = y. Выразим из последней формулы y: y= y. Как видим, приращение функции y разбилось на два слагаемых. Слагаемое представляет бесконечно малую величину, т. е. это слагаемое стремится к нулю при условии 0. При этих условиях приращение функции y приблизительно равно слагаемому y. Выражение y, составляющее главную часть приращения функции, называют дифференциалом функции, обозначают dy. Вычисление приращения функции y при условии, что 0 заменяют вычислением дифференциала dy; т. е. y dy. Приращение аргумента называют дифференциалом аргумента, обозначают d. Учитывая, что = d, дифференциал функции dy можно dy записать dy = y d. Из последнего следует y =, т. е. производная функция d равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента. При составлении дифференциального уравнения и его решении это равенство часто используется.. Неопределенный интеграл На практике часто встречается обратная задача: зная закон изменения скорости функции, найти закон функциональной зависимости. Например, скорость изменения функции представлена y k, тогда функциональная зависимость описывается формулой y=k, т. е. прямо пропорциональной зависимостью. Задачи такого рода решаются интегрированием с помощью дифференциальных уравнений. Пусть производная функции F() представляет собой некоторую функцию f(). Тогда выражение f()d равно дифференциалу функции df(), т. е. df()=f()d. Функцию F() называют первообразной функции f(). Первообразной функцией f() является выражение F()+С, где С - постоянное слагаемое, т. к. производная от постоянной С равна нулю. Следовательно, функция f() имеет множество первообразных, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым, т. к. (F( ) + )=f(). Совокупность всех первообразных функций F()+ для функции f() или для ее дифференциала f()d называется неопределенным интегралом функции f() и обозначается символом f ( ) d = F( ) +, 5

6 где - символ неопределенного интеграла, f()d - подынтегральное выражение, F()+ - совокупность первообразных функций. Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием. Интегрирование - действие, обратное дифференцированию. Существует несколько методов интегрирования, т. е. методов нахождения неопределенного интеграла. Самый простой метод - это метод табличного интегрирования: сравнивают подынтегральное выражение решаемого примера с подынтегральным выражением табличных интегралов. Если выражения совпадают, то записывается ответ из таблицы. Если выражения не совпадают, то стараются свести к табличному виду. Иногда простых алгебраических преобразований достаточно, чтобы свести искомый интеграл к табличному виду. В некоторых случаях приходится использовать методы замены переменной и интегрирование по частям, которые в конечном итоге дают также табличные интегралы. Свойства неопределенного интеграла: 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: f d ( F( ) ) F( ) f ;. Интеграл от алгебраической суммы двух (и более) функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций: f f d f d f d 1 1 ;. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: Af d A f d, где А - постоянная 1. d n1 n. d n 1 d. ln d ln а а 5. e d e sin d cos 7. cos d sin Таблица простейших интегралов:, где n -1 6

7 4. Понятие о дифференциальном уравнении. Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную функцию у, независимую переменную х, производные первого, второго и т.д. порядков. В общем виде записывается F( у, х, у, у ) 0. В дифференциальное уравнение могут входить: постоянные величины, дифференциалы аргумента и функции. Порядком дифференциального уравнения называют порядок наивысшей производной или дифференциала, входящих в уравнение. Например: y 5y 4 7, dy = yd - уравнения первого порядка; 8 y y 6 - уравнение второго порядка; y y х 4 - уравнение третьего порядка. 5. Общее и частное решение дифференциальных уравнений. Решить дифференциальное уравнение - значит найти некоторую функцию у = f(), которая удовлетворяет данному уравнению: при подстановке этой функции, еѐ производных в уравнение получают тождество. Различают общее и частное решение дифференциального уравнения. Общим решением дифференциального уравнения называется функция, которая будучи подставлена в уравнение (вместе с производной), превращает его в тождество. Оно содержит произвольную постоянную интегрирования, поэтому в общем виде решение записывается в виде у = f(, С). Причем, порядок уравнения определяет число произвольных постоянных: общее решение уравнения первого порядка содержит одну постоянную. Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых, т.е. совокупность линий, соответствующих различным значениям произвольной постоянной С. (Рис. ) Рис. 7

8 Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция, которая получается из общего решения, если в последнем произвольная постоянная имеет определенное значение, которое получают, используя дополнительные условия (начальные, конечные, граничные). Если задать точку М (, y), через которую должна проходить интегральная кривая, то тем самым из бесконечного числа интегральных кривых выделяется некоторая определенная кривая, которая соответствует частному решению данного дифференциального уравнения (кривая С на рис. ). Основной задачей теории дифференциальных уравнений является разыскание всех решений данного уравнения. В простейших случаях эта задача сводится к вычислению интеграла. Поэтому решение дифференциального уравнения называют также его интегралом, а процесс разыскания всех решений - интегрированием этого уравнения. Нахождение решений дифференциальных уравнений трудоемкий и сложный процесс. Существуют специальные методы решения уравнений каждого типа и порядка, часто приближенные. В рамках программы медицинской академии представляется возможным подробно разобраться с решением только одного вида уравнений первого порядка - уравнения с разделяющимися переменными, как наиболее простого вида. В этом случае решение дифференциальных уравнений сводится к интегрированию. 6. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Если дифференциальное уравнение имеет вид P()d + Q(y)dy = 0, причем, коэффициент P зависит только от, коэффициент Q - только от y, то говорят, что переменные разделены. Например, (y+1)dy d = 0. Уравнение, в котором переменные разделяются в результате какихлибо алгебраических преобразований, называются дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. План решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. В левой части уравнения оставить только y, всѐ остальное перенести в правую часть. dу. Производную представить отношением дифференциалов: у d.. Обе части уравнения умножить на d. 8

9 4. Произвести такие преобразования с уравнением чтобы они привели к разделению переменных: левая часть должна содержать dy и переменную у (если она имеется в уравнении), а правая часть d, переменную х, постоянные множители и свободные члены. 5. Проинтегрировать обе части уравнения: левую часть по переменной у, а правую часть по переменной х с прибавлением произвольной постоянной интегрирования С. 6. Записать общее решение дифференциального уравнения. 7. Подставить в общее решение дополнительные данные и найти значение произвольной постоянной интегрирования С. 8. Записать частное решение дифференциального уравнения, для этого в общем решении произвольную постоянную С заменить еѐ найденным значением. 9

10 Образцы решения примеров. 1. Вычислить неопределенный интеграл для функций: 7 а) y 4 б) у = + cos + e а) y 4 Решение. 4 7 ( 4 d ) d 4 d 7 d 4 7ln 4 4 7ln При решении использовали следующие свойства: 1. Интеграл от алгебраической суммы двух (и более) функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций: f f d f d f d ; 1 1.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: Af d A f d, где А - постоянная При решении использовали следующие табличные интегралы: n1 n 1. d n 1 d. ln. d б) у = + cos + e + 5 Решение. ( ) ( ) ( ) При решении использовали следующие свойства: 10

11 1. Интеграл от алгебраической суммы двух (и более) функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций: f f d f d f d ; 1 1.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: Af d A f d, где А - постоянная При решении использовали следующие табличные интегралы: n1 n 1. d n 1 cos d sin.. e d e 4. d. Найти общее решение дифференциального уравнения y а) у х 1 б) y в) y 10y а) у х 1 Решение: Уравнение представлено через производную, поэтому еѐ надо заменить на отношение дифференциалов dy d ; dy 1 d Умножим обе части уравнения на d Получаем dy = ( + 1)d, переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения: dy = d 1 y y 1 1 Разность двух постоянных С С 1 есть величина постоянная, поэтому можно еѐ заменить на постоянную интегрирования С. В дальнейшем постоянную интегрирования прибавлять следует только в правой части (см. пункт 5 плана решения). y - общее решение уравнения Проверим правильность решения, для чего надо найти производную от общего решения и подставить в исходное дифференциальное уравнение. 1 1 Получилось тождество, следовательно, общее решение найдено верно. 11

12 б) y y Решение: Заменим производную отношением дифференциалов: dy y d Умножим обе части уравнения на d: Разделим обе части уравнения на у: dy d. y Интегрируем dy y d ln y ln ln Здесь произвольная постоянная взята в логарифмической форме. ln a Т.к. ln + ln = ln() lny = ln(). Используя соотношение e a, ln y ln( ) представим последнее равенство в виде e e (т.е. произведем потенцирование выражения lny = ln() ), получим y = - общее решение дифференциального уравнения. в) y 10y Решение: Разделим обе части уравнения на : y 5y Заменим производную отношением дифференциалов: dy 5y d Умножим обе части уравнения на d: Разделим обе части уравнения на у: dy 5d y Интегрируем dy 5 d y ln y 5 ln Если в левой части уравнения стоит lnу постоянную интегрирования удобнее брать в виде ln. Перенесѐм ln из правой части уравнения в левую 1

13 lnу ln = 5. Используя свойство: разность логарифмов равна логарифму частного, получим: ln y 5 Потенцируем это выражение и выражаем функцию y. y e 5 5 y e - общее решение дифференциального уравнения.. Найти частное решение дифференциального уравнения а) 6 y 1 если y(1)=6 б) y 6 y = 0, если у(0) = 5 в) dy y 1d, если у(1) = а) 6 y 1 если y(1)=6 Решение: Вначале найдем общее решение дифференциального уравнения. В левой части уравнения должен стоять y, поэтому разделим обе части уравнения на 6: 1 y 1 6 Заменим производную отношением дифференциалов: dy 1 1 d 6 Умножим обе части уравнения на d: 1 dy 1 d 6 Интегрируем: dy 1 1 d y ( ) 6 6 y 1 ( ) 6 - общее решение уравнения. Чтобы найти частное решение, необходимо использовать начальные условия: х = 1, у = 6. 1

14 Подставим х = 1 и у = 6 в общее решение и найдем значение постоянной интегрирования С: 1 6 (1 1) С С С 6 17 С. Частное решение: y 1 ( ) 6. б) y 6 y = 0, если у(0) = 5 Решение: Вначале найдем общее решение данного дифференциального уравнения. В левой части уравнения оставим y все остальное перенесѐм в правую часть: y = у + 6 Заменим производную отношением дифференциалов: dy d Умножим обе части уравнения на d: у 6 dy ( у 6) d Разделим обе части уравнения на (у + 6): dy d у 6 Интегрируем: dy d y 6 ln(y+6) = + ln ln(y+6) ln = y 6 ln y6 ln e e y 6 e y 6 e y e 6 - общее решение уравнения. 14

15 Подставим х = 0 и у = 5 в общее решение и найдем значение постоянной интегрирования С: 5 e 5 С 1 6 С 5 6 С Частное решение: y 11 e 6 в) dy y 1d, если у(1) = Решение: Вначале найдем общее решение дифференциального уравнения. В данном уравнении производная уже заменена отношением дифференциалов и обе части уравнения умножены на d. В левой части уравнения должен стоять dy, поэтому обе части уравнения делим на : dy 1 y 1d Делим переменные, для этого обе части уравнения разделим на у: dy 1 1d y Интегрируем: dy y ln y d ln 1 ( ) ln 1 lny ln = ( ) ln e y y ln y 1 ( e e 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ) y e общее решение уравнения. Подставим х = 1 и у = в общее решение и найдем значение постоянной интегрирования С: 1 (1 1) e С е С 1 С 0 15

16 Частное решение: y e 1 ( ) Решением уравнения y=k является экспоненциальная функция. С помощью таких дифференциальных уравнений описываются многие процессы в естествознании (физике, химии, биологии, медицине): - рост колоний микроорганизмов - усвоение лекарств организмом - поглощение света веществом - поглощение рентгеновских лучей веществом - радиоактивный распад Перечень примеров можно продолжать и дальше. Общим для процессов, описываемых с помощью дифференциальных уравнений, решением которых является экспоненциальная функция, является закономерность изменения рассматриваемой величины: интересующая величина за равные промежутки времени изменяется на одинаковую долю своей текущей (мгновенной) величины или изменение происходит так, что скорость этого изменения пропорциональна наличному количеству величины на данный момент времени. 7. Составление дифференциальных уравнений Составление дифференциального уравнения рассмотрим на конкретном примере. Задача о скорости размножения бактерий Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. В начальный момент имелось 100 бактерий. В течение часов их число удвоилось. Найти зависимость количества бактерий от времени. Во сколько раз увеличится количество бактерий в течение 9 часов? Дано: N 0 = 100 t 0 = 0 t 1 = N 1 = N 0 = 00 t = 9 N / N 0 =? N(t) =? Решение: Пусть N количество бактерий в момент t. Согласно условию задачи скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству, т. е. N ~ N или N = k N, где k - коэффициент пропорциональности. Получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решим его. Заменяем производную отношением дифференциалов: 16

17 dn = k N. dt Умножим обе части уравнения на dt: dn = k N dt Разделим обе части уравнения на N: dn = k dt. N Интегрируем dn k dt N ln N kt ln lnn ln = kt N ln kt N ln kt e e N kt e kt N e - общее решение. Используя первую пару начальных условий, определим постоянную интегрирования : t 0 = 0, N 0 = Сe k т.к. e 0 1, то = 100. Получим: N 100 e kt - частное решение. Используя вторую пару начальных условий, определим коэффициент пропорциональности k: t 1 =, N 1 = = 100e k Разделим обе части уравнения на 100. = e k Прологарифмируем это выражение вид: ln ln ln k ln e ln e k 0,69 0 ln k, т.к. ln e 1 k 0, ln - определяется с помощью микрокалькулятора. Следовательно, зависимость количества бактерий от времени имеет N 100 e 0,t Вычислим количество микроорганизмов через t = 9 часов. 0,9,07 N 100e 100е 800. Все вычисления производятся с помощью микрокалькулятора. 17

18 раз. N N , т.е. в течение 9 часов количество бактерий увеличилось в Задача об усвоении лекарств организмом. Закон распада лекарственного препарата в организме состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству лекарства. Найти зависимость количества от времени. Какая часть введенного лекарства в организме распадется через 4 часа, если через часа после введения 4 мг препарата его масса уменьшилась вдвое? Дано: m 0 = 4 мг t 0 = 0 час. t 1 = час. m 1 = мг t = 4 час. m / m 0 =? m(t) =? Решение: Пусть m количество лекарственного препарата в организме в момент t. Согласно условию задачи скорость распада пропорциональна начальному количеству лекарственного препарата в организме, т. е. m ~ m или m = k m, где k - коэффициент пропорциональности. Получили дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решим его. Заменяем производную отношением дифференциалов: dm = k m. dt Умножим обе части уравнения на dt: dm = k m dt Разделим обе части уравнения на m: dm = k dt. m Интегрируем dm m k dt lnm = kt + ln lnm ln = kt m ln kt m ln e e m kt e kt 18

19 m kt e - общее решение. Используя первую пару начальных условий, определим постоянную интегрирования : t 0 = 0, m 0 = 4. 4 e k0 т.к. e 0 1, то = 4. Получим: kt m 4 e - частное решение. Используя вторую пару начальных условий, определим коэффициент пропорциональности k: t 1 =, m 1 =. = 4 e k Разделим обе части уравнения на 4. 0,5 = e k Прологарифмируем это выражение вид: ln 0,5 ln ln 0,5 k ln e ln 0,5 k, т.к. ln e 1 k ln 0,5 e k 0,69 0,5 ln0,5 - определяется с помощью микрокалькулятора. Следовательно, зависимость количества лекарства от времени имеет m t 4e 0.5 Теперь узнаем количество вещества в организме через 4 часа (t=4) m 4 e 1.4 m 4 e 4 0,5 1 Через 4 часа в организме находится 1 мг препарата. За это время распалось m = 4 1 = мг. m 0,75 или 75%. m 4 0 Ответ: За 4 часа в организме распалось ¾ части лекарственного препарата (75%). 19

20 Справочные сведения о математических действиях со степенями, логарифмирование и потенцирование При решении примеров на дифференциальные уравнения часто встречаются математические действия со степенями, логарифмирование, потенцирование. 1. Необходимо помнить следующие свойства и правила действий со степенями: 0 a 1 n m a a 1 a -m m n nm a a m a m m n m n mn a a a a a n a. Основное свойство логарифмического уравнения: b log a N b N a Для десятичных логарифмов (а=10), lgn b N 10 Для натуральных логарифмов (а=е), ln N b N e b b m n e ln a a Соотношения между логарифмами: log a 1 lg10 = 1 a lne = 1 log a1= 0 lg1 = 0 ln1 = 0 lgn = 0,44lnN lnn =,lgn. Значения логарифмов находятся по таблицам или вычисляются с помощью микрокалькулятора. 0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГБОУ ВПО АМУРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ Н.В. НИГЕЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ г. Благовещенск МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

3. Свойства неопределенного интеграла 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. Приложение. Определение первообразной функции Определение. Дифференцируемая функция F() называется первообразной для функции f() на заданном промежутке, если для всех из этого промежутка. справедливо равенство

Подробнее

Т е м а 6 Дифференциальные уравнения

Т е м а 6 Дифференциальные уравнения 8 Т е м а 6 Дифференциальные уравнения При изучении различных процессов в физике, химии, биологии, медицине часто не удается непосредственно найти законы, связывающие величины, которые характеризуют изучаемое

Подробнее

Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C Свойства производных: 4. Общий смысл производной.

Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C Свойства производных: 4. Общий смысл производной. Производная функции. 1. Производные некоторых функций: C 0 2. 3. Свойства производных: 4. Общий смысл производной. Геометрический смысл производной есть тангенс угла наклона касательной, проведенной к

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ «ЛЕСНОЕ И ЛЕСОПАРКОВОЕ ХОЗЯЙСТВО» (2 КУРС)

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ «ЛЕСНОЕ И ЛЕСОПАРКОВОЕ ХОЗЯЙСТВО» (2 КУРС) Областное государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Томский лесотехнический техникум» КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 5.0.0 «ЛЕСНОЕ

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИЯ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Понятие функции Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств Пример: А множество натуральных чисел а В множество квадратов натуральных чисел

Подробнее

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования.

Тема 10. Неопределенный интеграл. Основные свойства. Таблица неопределенных интегралов. Метод непосредственного интегрирования. Тема 0 Неопределенный интеграл Основные свойства Таблица неопределенных интегралов Метод непосредственного интегрирования Неопределенный интеграл На занятии по заданной функции y f по известным формулам

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

Т е м а 4 Неопределенный интеграл

Т е м а 4 Неопределенный интеграл 17 Т е м а 4 Неопределенный интеграл Интегральное исчисление является составной частью математического анализа, и применяется при решении множества задач из области физики, химии, биологии, а именно в

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В.В.Поддубный ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Введение и основные определения Многие задачи естествознания и техники связаны с решением уравнений, содержащих неизвестные функции некоторых независимых

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Занимаясь дифференцированием функций, мы по данной функции находили ее производную Сейчас перейдем к обратной задаче: найти функцию, зная

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

12. Определенный интеграл

12. Определенный интеграл 58 Определенный интеграл Пусть на промежутке [] задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке [] произвольные числа,, 3,, n-, удовлетворяющие условию:

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» 1 курс, 1 семестр. ТЕМА 1. Матричная алгебра Е =. Заочная форма обучения. Действия над матрицами

ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» 1 курс, 1 семестр. ТЕМА 1. Матричная алгебра Е =. Заочная форма обучения. Действия над матрицами ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» курс, семестр Заочная форма обучения ТЕМА Матричная алгебра При решении экономических задач применяются методы экономико-математического моделирования, использующие решение

Подробнее

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.

Занятие 3.1 Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики. Занятие. Степень с произвольным действительным показателем, её свойства. Степенная функция, её свойства, графики.. Вспомнить свойства степени с рациональным показателем. a a a a a для натурального раз

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Дифференциальные уравнения".

Подробнее

Практическая работа 9

Практическая работа 9 Практическая работа 9 Тема: «Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле» Цель занятия: освоение знаний формул и методов интегрирования функций, умений вычислять неопределённые

Подробнее

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x)

Приложение 1 1. Определение производной Пусть x 1 и x 2 значения аргумента, а y f ) и y f ) - соответствующие значения функции y f (x) Приложение Определение производной Пусть и значения аргумента, а f ) и f ) - ( ( соответствующие значения функции f () Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке,

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

3. Производная производной дифференцированием дифференцируемой на промежутке ( a , b

3. Производная производной дифференцированием дифференцируемой на промежутке ( a , b 41 3. Производная Рассмотрим функцию y=f(, непрерывную в некоторой окрестности точки. Пусть, приращение аргумента в точке. Обозначим через,y или,f Y y=f( f(+, f( M N = +, Рис. 1 приращение функции, равное

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ТЕМА 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Применение дифференциальных уравнений для моделирования медико-биологических процессов.

Дифференциальные уравнения. Применение дифференциальных уравнений для моделирования медико-биологических процессов. Дифференциальные уравнения. Применение дифференциальных уравнений для моделирования медико-биологических процессов. Уравнение связывающее независимую переменную, функцию этой переменной, ее производные

Подробнее

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Тема Определенный интеграл Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Задача о вычислении площади криволинейной трапеции В системе координат Оху дана криволинейная трапеция,

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Кемеровская государственная медицинская академия» Министерства здравоохранения Российской Федерации КАФЕДРА медицинской

Подробнее

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ:

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: 11 Функциональная связь Предел функции 1 Производная функции 1 Механический физический и геометрический смысл производной 14 Основные

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление Иногда говорят, что вектор это направленный отрезок Векторная система

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Краткие теоретические сведения Функция F () производная от которой равна данной функции f () т е F ( ) f ( ) называется первообразной функцией функции

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

e называют экспонентой.

e называют экспонентой. МОДУЛЬ 8 «Производная показательной и логарифмической функции». Производная показательной функции. Число e.. Определение натурального логарифма. Формула производной показательной функции.. Первообразная

Подробнее

ПЕРВООБРАЗНАЯ И ЕЕ СВОЙСТВА

ПЕРВООБРАЗНАЯ И ЕЕ СВОЙСТВА ПЕРВООБРАЗНАЯ И ЕЕ СВОЙСТВА Определение: Функция называется первообразной для функции f ( на заданном промежутке, если для любого из этого промежутка F ( f ( Пример: Для функции первообразной является

Подробнее

5. Неопределенный интеграл, методы интегрирования.

5. Неопределенный интеграл, методы интегрирования. 5. Неопределенный интеграл, методы интегрирования. Актуальность темы Неопределенный интеграл одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью отыскивать функции по их производным

Подробнее

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких

Подробнее

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения.

Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения. Методические рекомендации для выполнения практических работ по теме Производная функции и её приложения Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом

Подробнее

9. Производная и дифференциал Основные формулы и определения для решения задач

9. Производная и дифференциал Основные формулы и определения для решения задач 9 Производная и дифференциал 91 Основные формулы и определения для решения задач Определение Пусть функция y f () определена на некоторой f ( Δ) f ( ) Δy окрестности точки Предел отношения при Δ Δ Δ, если

Подробнее

ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ. Понятие первообразной

ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ. Понятие первообразной ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ Понятие первообразной Задача. Скорость точки, движущейся прямолинейно, выражается как. Определить закон движения. Для решения данной задачи требуется ответить на вопрос производная

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

Тема 1 Неопределенный интеграл. 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл

Тема 1 Неопределенный интеграл. 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл Тема Неопределенный интеграл Практическое занятие Первообразная и неопределенный интеграл Определение первообразной функции Неопределенный интеграл и его геометрический смысл Основные свойства неопределенного

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

x принимает значение f a

x принимает значение f a Практическое занятие Тема: Функция Область определения и множество значений функции Цель: Формирование навыков нахождения области определения функций, и вычисления частных значений функций На выполнение

Подробнее

Семинар по теме Интегралы с параметрами

Семинар по теме Интегралы с параметрами Семинар по теме Интегралы с параметрами апреля 6 г. Бета-функция Эйлера Порой приходится иметь дело с интегралами вида: B(p, q) = t p ( t) q dt или интегралами, которые сводятся к интегралам такого вида

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Лемма Функция F( называется первообразной для функции f( на промежутке X, если F ( = f( X Функция,

Подробнее

Определенный интеграл Несобственные интегралы

Определенный интеграл Несобственные интегралы Математический анализ Тема: Определенный интеграл Несобственные интегралы Лектор Пахомова Е.Г. 2017 г. ГЛАВА II. Определенный интеграл и его приложения 1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи,

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

Интерполирование функций

Интерполирование функций Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://elibrarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

"В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие"

В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие "В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие" -площади плоских фигур и поверхности; -объема и массы тела; -статистическиих моментов и моментов инерции плоской фигуры, материальной

Подробнее

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ(

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ( Лекция.. Интегральное исчисление Неопределенный интеграл Определение Функция F) называется первообразной для функции f) на отрезке [;], если для всех [;] выполнено равенство F)f) Примеры f ) F ) Замечание

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) x [ ; ] 8 Барроу Исаак (Brrow Is) -77 английский математик, филолог, богослов. Профессор Кембриджского университета. Автор труда лекции по оптике и геометрии (9-7). Из теоремы следует, что определенный интеграл

Подробнее

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n.

l : y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). n : y y 0 = 1 f (x 0 ) (x x 0). y (n) = y (n 1)) dx n. Занятие 4 Вычисление производных-1 4.1 Определение производной Производной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Определенный интеграл. Основные формулы и теоремы. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница f ( ) F( ) F( ) F( ); () где F() - одна из первообразных для f(), т.е. F f ( ) () Замечание:

Подробнее

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN

УДК 51(075.8) ББК 22.1 ISBN Министерство образования Республики Беларусь УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ» Ю.Ю. Гнездовский, В. Н. Горбузов, П.Ф. Проневич ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Тема 2 «Производная функции.»

Тема 2 «Производная функции.» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема «Производная функции.»» Жозе ф Луи Лагра нж Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана

Подробнее

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v

. К этому моменту точка прошла путь s 0. Рис. 2. фиксированным, а промежуток времени t - переменным. Тогда средняя скорость v 6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Лекция Неопределенный интеграл

Лекция Неопределенный интеграл Лекция..3. Неопределенный интеграл Аннотация: Неопределенный интеграл определяется как множество первообразных функций подынтегральной функции. Рассматриваются свойства неопределенного интеграла, приводится

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее