ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ"

Транскрипт

1 МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

2 МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Кафедра «Прикладная математика» Утверждаю Зав. кафедрой профессор Б.Ф. Безродный 2018 г. Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКВА МАДИ 2018

3 УДК 512 ББК Х291 Хачатрян, Т.С. Х291 Векторная алгебра: методические указания к решению задач / Т.С. Хачатрян, Н.П. Хованская. М.: МАДИ, с. В данных методических указаниях представлены задачи для проведения практических занятий, самостоятельных, расчётно-графических и контрольных работ по разделу «Векторная алгебра». Указания рассчитаны на студентов всех факультетов всех форм обучения. УДК 512 ББК МАДИ, 2018

4 3 ВВЕДЕНИЕ Программа высшей математики, в частности, алгебра, геометрия и математический анализ, в технических высших учебных заведениях предусматривает необходимость глубокого изучения тем, необходимых для освоения других общенаучных и технических дисциплин по избранной специальности. С целью повышения эффективности процесса обучения и обеспечения текущего контроля знаний студентов разработаны индивидуальные задания для каждого студента по темам курса. Индивидуальные задания составлены на основе многолетнего преподавательского опыта работы и принятого стандарта образования по высшей математике в высших технических учебных заведениях. Примеры из индивидуальных заданий можно использовать для проведения контрольных работ. Для их выполнения студенту необходимо предварительно усвоить теоретический материал по учебнику. Все задачи, предлагаемые в указаниях, прошли апробацию в процессе обучения студентов по курсу «Векторная алгебра».

5 4 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Например: площадь, длина, объём, работа, масса Другие величины определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Например: сила, скорость, ускорение. Такие величины называются векторами. Вектор это направленный прямолинейный отрезок, то есть отрезок, имеющий определённую длину и определённое направление. Если ()A начало вектора, ()B его конец, то вектор обозначается AB. Итак, пусть a некоторый вектор, тогда a называется противоположным вектору a. Длиной или модулем вектора a называется его длина и обозначается a. Вектор, длина которого равна нулю 0, называется нулевым вектором. Такой вектор не имеет направления. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a, называется ортом вектора a и обозначается a 0. Вектора a и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых: ab. Если коллинеарные векторы направлены одинаково, то они называются сонаправленными a b. Если нет, то противоположно направленными a b. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Таким образом, вектор можно переносить параллельно самому себе и помещать начало в любую точку пространства. Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

6 5 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 1. а) Суммой двух векторов, выходящих из одной точки, является вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, выходящей из этой точки. «правило параллелограмма» б) Суммой векторов a и b является вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго вектора «правило треугольника» в) Сложение трех векторов: a, b и c.

7 2. Разностью векторов a b c такой, что b c a. 6 Заметим, что в параллелограмме, построенном на векторах a и b, одна диагональ является суммой векторов a и b, а другая разностью. 3. Произведением вектора a на скаляр (число) называется вектор, коллинеарный вектору a, длина которого a. Если 0, то a a. Если 0, то a a. Свойства линейных операций над векторами: 1. a b b a. 2. ( a b) a ( b c ). 3. ( a b) a b. ( a) a

8 Координаты вектора. Модуль вектора. Направляющие косинусы. 7 Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат 0 xy. На координатных осях 0 x, 0 y, 0z выделим единичные орты i, j, k. Рассмотрим произвольный вектор a и совместим его начало с началом координат. Проекции вектора a на оси 0 x, 0 y, 0z называются координатами вектора a, обозначим их a nрa, a nрa, a nрa. Тогда получим a a i a j a k. Эта формула называется z z x j z разложением вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат a ax ay a z. Пусть,, углы, которые вектор a образует с осями 0 x, 0 y, 0 z. Тогда: a a cos, a a cos, a a cos. x y z x x y y a x Числа cos, a a y cos, a cos называются направляющими косинусами вектора a, причём a z a cos cos cos 1. Действия над векторами, заданными проекциями. Пусть вектор a { ax; ay; a z} и b { b ; b ; b }, или, что то же самое a a i a j a k, b b i b j b k. x y z x y z x y z

9 1. a b ( ax bx ) i ( ay by ) j ( az bz ) k или кратко 2. x y z 8 a b { ax bx; ay by ; az b z}. a a i a j a k или кратко a { a ; a ; a }. x y z То есть при сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются). При умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр. y y ; Два вектора a и b равны тогда и только тогда, когда a b ; a b a b. z z Два вектора коллинеарны, если их проекции (координаты) пропорциональны, то есть ax ay a b b b z x y z Если 0, то a b, то есть сонаправлены, а при 0, a b, то есть противоположно направлены. Если даны точки ( ) A( xa, ya, z a) и ( ) B( xb, yb, z b), то координаты вектора AB{ xb xa; yb ya; zb z a}, то есть из координат конца вектора надо вычесть координаты начала. Задача 1. Дан параллелограмм ABCD, в котором AB a, AD b, точка M делит сторону DC в отношении DM : MC 3 : 4. Точка N лежит на BC, BN : NC 1. Выразить вектора AC, BD, AM, AN, MN через a и b.. x x

10 Решение. 1. AC AB AD a b (по правилу параллелограмма). 2. BD AD AB BD AB AD a b AM AD DM b a AN AB BN a b MN AN AM MN AM AN b a a b b a Задача 2. Дан параллелепипед ABCDABC D 1 Точка M принадлежит ребру BC, причём 1 1 B1M : MC 1 3 : 7. Точка F лежит на ребре AA, так что 1 1 AF : FA 4 :1. AC BD 0. AD a ; AB b ; CC1 c. Разложить векторы DM, MF и MO по векторам a, b и c. 3 Решение. AC a b ; BD a b ; B1M BN a. 10 Опустим перпендикуляр на BC () N делит сторону BC в отношении 3 : 7, то есть BN : NC 3 : BN BC a ; NC BC a Из NDC : Из DNM : 7 DN NC DC DN DC NC b a DM DN NM b a c. 10 DM b 0,7a c

11 10 2. Из AB 1 1 M : AM 1 AB 1 1 B1M b 0,3 a. 1 Из AMF 1 : MF FA1 A1M c b 0,3 a. 5 MF 0,2c b 0,3a 3. Из BB1 M : BM BB1 B1M c 0,3 a ; 1 1 BO DB ( b a ); 2 2 Из BMO : 1 OB BO ( a b ). 2 1 OM OB BM ( a b ) c 0,3 a 0,8 a 0,5 b c. 2 MO 0,5b 0,8a c Задача 3. Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой AB 6; AD 2; BAD 60. m единичный вектор в направлении стороны AB. n единичный вектор в направлении стороны

12 11 AD. Разложить вектора AB, BC, CD, DA и векторы диагоналей AC и BD по векторам m и n. Решение. Так как AB 6, AD 2, 60, то AM 1 и DC 4. Итак: AB 6 m, AD 2n DA 2 n, DC 4m CD 4 m. Из ADC : AC AD DC 2n 4 m. Из ABC : AB BC AC BC AC AB 2n 4m 6m 2n 2 m. Из ADB : AB BD AD BD AD AB 2n 6 m. Ответ. AB 6 m ; BC 2n 2 m ; CD 4 m ; DA 2 n ; AC 2n 4 m ; BD 2n 6 m.

13 12 3. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. БАЗИС Определение. Система векторов a1, a2, a3,..., a n называется линейно зависимой, если найдутся числа 1, 2,..., n, не все равные нулю и такие, что 1a 1 2a2 3a3... a 0. Если это равенство выполняется только при , n то система векторов называется линейно независимой. Базисом линейного пространства называется любая линейно независимая система векторов, таких, что каждый элемент этого пространства можно представить в виде их линейной комбинации. Количество векторов в базисе соответствует размерности пространства. Система векторов i {1;0;0}, j {0;1;0}, k {0;0;1} называется стандартным базисом. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами вектора в этом базисе. Задача 4. Доказать, что векторы p {1;0;1}, q {1; 2;0}, r {0;3;1} образуют базис и найти разложение вектора x {2;7;5} в этом базисе. Решение. 1. Для доказательства необходимо проверить, что система векторов p, q, r линейно независима. Рассмотрим линейную комбинацию векторов 1p 2q 3r 0. 1{1;0;1} 2{1; 2;0} 3{0;3;1} 0; { 1 2; ; 1 3} 0; ,, 2 3 0,, 0, 2 ( ) 3 ( ) 0, 0. То есть равенство нулю линейной комбинации возможно только в случае равенства нулю всех коэффициентов. Следовательно, система векторов p, q, r линейно независимая и образует базис. n n

14 13 2. Найдём разложение вектора x в этом базисе, то есть найдём коэффициенты вектора x в базисе p, q, r. x p q r ; {2;7;5} {1;0;1} {1; 2;0} {0;3;1}. Пользуясь свойствами векторов, получим систему: 2, 2 3 7, Решим систему методом Крамера: ; 1 Ответ. x 4p 2 q r ;

15 14 4. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. векторов. Обозначается a b ; a b ; ( a b ). Итак: ( a b) a b cos, где угол между направлениями 1. ( a, b) ( b, a ) Свойства скалярного произведения 2. (( a), b) ( a, b ). 3. ( a ( b c)) ( a b) ( a c ). 4. ( a, b) a nр b b nр a, то есть скалярные произведение a b двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором a ( a, a) a a cos0 a a a, то есть скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины 2 2 a a, то есть 2 a ( a, a ) Выражение скалярного произведения через координаты Пусть a axi ay j azk ; b b i b j b k. Найдём скалярное x y z произведение векторов, перемножая их как многочлены, пользуясь свойствами скалярного произведения: ( a, b) ( a i a j a k ) ( b i b j b k ) x y z x y z a b ( i, i ) a b ( i, j ) a b ( i, k ) a b ( j, i ) a b ( j, j ) x x x y x z y x y y a b ( j, k ) a b ( k, i ) a b ( k, j ) a b ( k, k ) y z z x z y z z a b 1 a b 0 a b 0 a b 0 x x x y x z y x

16 так как 15 ( i, i ) i i cos ( i, j ) i j cos ( k, k ) k k cos a b 1 a b 0 a b 0 a b 0 a b 1 y y y z z x z y z z ( a, b) axbx ayby azb z Итак, скалярное произведение равно сумме произведений их одноимённых координат Приложения скалярного произведения 1. Определение угла между векторами: cos( a b) ( a b) a b или axbx ayby azbz cos( a b) a a a b b b x y z x y z 2. Критерий ортогональности ненулевых векторов: a b ( a, b ) 0 или a b a b a b 0. x x y y z z 3. Проекция вектора a на направление, заданное вектором b : nр a b ( ab, ) b или nр a b a b a b a b x x y y z z b b b x y z 4. Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы F, образующей угол с перемещением AB S.. A F S cos, то есть A F S cos.

17 16 Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении её точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения. Задача 5. Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b {1; 3;4} и удовлетворяющего условию ( xb, ) 13. Решение. Так как x коллинеарен вектору b, то их координаты пропорциональны. Пусть коэффициент пропорциональности. Тогда координаты вектора x { ; 3 ;4 }. Из условия ( xb, ) 13, тогда: Поэтому ( xb, ) , x ; ; Ответ. x {0,5; 1,5;2} Задача 6. Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a {2;0;2} и вектору b {3;0;0}, если ( e j ). 2 Решение. Пусть e искомый вектор e{ x; y; z }. Так как a e ( a, e ) 0, b e ( b, e ) 0, e 1. Получим систему уравнений: 2x 0 y 2 z 0, 2x 2 z 0, 3x 0 y 0 z 0, ~ 3x 0, ~ x y z 1, x y z 1, x 2 0, x 0, ~ z 0, ~ z 0, y 1, y 1. e {0;1;0} или e {0; 1;0}. Так как ( e j ) e {0; 1;0}. 2

18 17 Задача 7. Определить, лежат ли на одной прямой точки A ( 2;4;1), B (1; 2;7), C (2;0;1). Если точки лежат на одной прямой, то векторы AB и AC коллинеарны. Решение. Так как 3 6 6, Точки не лежат на одной прямой. AB {1 ( 2); 2 4;7 1} {3; 6;6}; AC {2 ( 2);0 4;1 1} {4; 4;0}. то вектор AB не коллинеарен вектору AC.

19 18 5. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА Определение. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, который удовлетворяет трём условиям: 1. Вектор c ортогонален векторам a и b : c a ; c b. 2. Длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла между ними. 3. Вектора a, b и c образуют правую тройку, то есть с конца третьего вектора c кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b идёт против часовой стрелки. Обозначается векторное произведение a b или [ ab, ]. 1. [ a, b] [ b, a ] Свойства векторного произведения 2. [ a, b] [ a, b] [ a, b ]. 3. Два ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, то есть a b [ a, b ] [( a b), c] [ a, c] [ b, c ].

20 Выражение векторного произведения через координаты Пусть заданы два вектора a a i a j a k и b b i b j b k. x y z x y z Найдём векторное произведение этих векторов, перемножая их и пользуясь свойствами: [ a, b] [( a i a j a k ),( b i b j b k )] x y z x y z a b [ i i ] a b [ i j ] a b [ i k ] a b [ j i ] a b [ j j] x x x y x z y x y y a b [ j k ] a b [ k i ] a b [ k j ] a b [ k k ], y z z x z y z z так как [ i i ] [ j j ] [ k k ] 0, а [ i, j ] k, [ k, i ] j, [ j, k ] i, то [ a, b] 0 a b k a b j a b k 0 a b i a b j a b i 0 x y x z y x y z z x z y i ( a b a b ) j ( a b a b ) k ( a b a b ) y z z y x z z x x y y x Итог. [ a, b] ax ay az ay az ax a a z x ay i j k. b b b b b b y z x z x y i j k b b b x y z 5.3. Геометрический смысл векторного произведения Площадь параллелограмма, построенного на векторах ab, можно вычислить с помощью векторного произведения 1 Sпаралл [ a, b] S [ a b ]. 2

21 b {5,9,7}. 20 Задача 8. Параллелограмм построен на векторах a {3,5,4} и Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. Решение. а) AC a b {3 5;5 9;4 7} {8;14;11}; BD a b {3 5;5 9;4 7} { 2; 4; 3}. cos( AC BD) ( AC, BD) AC BD 8 ( 2) 14 ( 4) 11 ( 3) ( 2) ( 4) ( 3) ; б) с помощью векторного произведения можно найти площадь параллелограмма, построенного на векторах ab, : i j k i j k [ a, b] a a a i j 2 k { 1, 1,2}. x y z b b b x y z S [ a, b ] ( 1) ( 1) 2 6. Но площадь параллелограмма можно также найти по формуле S a h. a

22 Зная a , получим, что h a S a ,2 5. Задача 9. Параллелограмм построен на векторах a 2 p q, b 2p 5 q, где p 5, q 2, ( p q ) 60. Определить: а) косинус угла между векторами a и b ; б) длину высоты, опущенной на сторону b. Решение. а) ( ab, ) cos( a b) ; a b ( a, b) ((2 p q),(2 p, 5 q)) 4( p, p) 2( q, p) 10( p, q) 5( q, q) p 8( p, q) 5 q cos По теореме косинусов: b (2 p) (5 q) 2 2 p 5 q cos b 10; a q 2 p 2 q 2 p cos ; 2 a

23 22 б) S [ a, b ] ; Так как ( ab, ) cos( a b). a b [ a, b] [(2 p q),(2p 5 q)] 4[ p, p] 2[ q, p] 10[ p, q] 5[ q, q] 4 0 2[ p, q] 10[ p, q] [ p, q]; S [ a, b] 12[ p q] 12 p q sin( p q) sin Sпаралл 60 3 Sпаралл b hb hb 6 3. b 10

24 23 6. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Определение. Смешанным произведением трёх векторов на число, полученное скалярным произведением векторного произведения первых двух векторов на третий вектор ( a, b, c) ([ a b], c ) Свойства смешанного произведения 1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, то есть ([ a b], c) ([ b c], a) ([ c a], b ). 2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, то есть ([ a b], c) ( a,[ b c ]). 3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене местами любых двух векторов-сомножителей, то есть abc a cb ba c cba. 4. Критерий компланарности: смешанное произведение ненулевых векторов a, b, c равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны. 5. Если ( a, b, c ) 0, то тройка a, b, c правая, а если ( a, b, c ) 0, то тройка a, b, c левая. 6. Геометрический смысл смешанного произведения: смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятого со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку V ( a, b, c ). Объём треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен 1 V ( a, b, c ). 6 Рассмотрим три вектора, выходящих из одной точки a, b, c.

25 24 так как ( a, b, c ) ([ a b], c ) [ a b] c cos угол между векторами c и вектором [ a b] a b sin c cos [ a b] угол между векторами a и b S H V параллелограмма H параллелепипеда c cos проекция вектора c на вектор [ a b ], то есть является высотой параллелепипеда Vпараллелепипеда ( a, b, c )., 6.2. Выражение смешанного произведения через координаты Пусть заданы векторы a axi ay j azk, b b i b j b k, c c i c j c k. x y z i j k ( a, b, c ) ([ a b], c ) a a a ( c i c j c k ) x y z x y z b b b x y z ay az ax a a z x ay i j k ( cxi cy j czk ) b b b b b b y z x z x y x y z a a a x y z y z ax az x y cx cy cz bx by bz y z bx bz x y cx cy cz a a a a b b b b.

26 a a a x y z Итог: ( a, b, c ) b b b x y z c c c x y z 25 Задача 10. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно: ( ac, ) 0, ( bc, ) 0, ( a b ), 6 Решение. V ( a, b, c ). 1 a, 4 1 b, c 3. 3 Рассмотрим ( a, b, c) ([ a b], c) [ a b] [ c ] cos, где угол между [ a b ] и c. Так как ( a, c) 0 a c и ( b, c) 0 b c, то есть вектор c [ a b ], то cos [ a b] a b sin( a b ) cos ; V [ a b] c cos 3 ( 1) Так как тройка правая, то Ответ. 3 8 кубических единиц. 3 ( a, b, c ). 8 Задача 11. Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A (3;4; 7), B (1;5; 4), C ( 5; 2;0), D ( 12;7; 1) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC. Решение. 1 V ( AB, AC, AD ) ; 6 AB { 2;1;3}, AC { 8; 6;7}, AD { 15;3;6}. Смешанное произведение векторов AB, AC, AD :

27 ( AB, AC, AD ) ; V ( AB, AC, AD ) ,5 кубических единиц Найдём площадь грани ABC : i j k 1 S [ AB AC ] ; 2 [ AB AC] i 10 j 20 k {25; 10;20}; [ AB AC ] 25 ( 10) V 3 47,5 Так как Vпирамиды Sосн H H. 3 S 1115 Задача 12. Вычислить смешанное произведение Решение. осн ( a b)( b 2 c)( c a ), если ( a, b, c ) 5. ( a b)( b 2 c )( c a) ( ab 2a c bb 2 b c )( c a) abc 2a c c bbc 2bc c aba 2a c a bbc 2bc a abc 2bc a abc 2abc ( a, c, c ) ([ a c ], c ) 0, (в-р [ a c ] ортогонален в-ру c, поэтому скалярное произведение этих векторов 0) Аналогично: ( bbc ) ( bc c ) ( aba) ( a c a) ( b bc ) 0 3abc

28 27 7. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА» 1. Понятие вектора, модуля вектора, координат вектора. 2. Понятия коллинеарных, компланарных, свободных векторов. Условие равенства векторов. 3. Линейные операции над векторами, их свойства. 4. Линейно зависимые и линейно независимые вектора. Понятие базиса на прямой, в плоскости и в пространстве. 5. Декартов базис. Линейные операции над векторами в таком базисе. 6. Расстояние между двумя точками. Координаты и модуль вектора, заданного начальной и конечной точками. 7. Понятие орта вектора. Направляющие косинусы вектора. 8. Скалярное произведение векторов в векторной и координатной формах. Свойства скалярного произведения векторов. Для решения каких задач используется скалярное произведение векторов. 9. Векторное произведение векторов в векторной и координатной формах. Свойства векторного произведения векторов. Для решения каких задач используется векторное произведение векторов. 10. Смешанное произведение трёх векторов в векторной и координатной формах. Свойства смешанного произведения векторов. Для решения каких задач используется смешанное произведение векторов. 11. Условия коллинеарности, перпендикулярности и компланарности векторов в векторной и координатной формах.

29 28 8. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ТИПОВЫХ РАСЧЁТОВ ПО КУРСУ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Вариант 1 1. Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой AB 6, AD 2, BAD 60, m единичный вектор в направлении основания AB, n единичный вектор в направлении стороны AD. Разложить векторы сторон AB, BC, CD, DA и векторы диагоналей трапеции AC и BD по векторам m и n. 2. Доказать, что векторы p {1;4;1}, q { 3; 2;0}, r {1; 1;2} образуют базис и найти разложение вектора x { 5; 8; 3} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли на одной прямой точки A (1; 2;3), B (3;0; 1), C (2;0;0). 4. Даны три вершины параллелограмма ABCD : A (3;0; 3), B ( 8;2;0), C (0;3; 4). Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между векторами диагоналей AC и BD. 5. Параллелограмм построен на векторах a p 2, q b 3 p q, где p 1, q 2, ( p q ) /3. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ( ab, ) 0, ( ac, ) 0, ( b c ) /6, a 1, b 1/2, c 1. ( a, b, c ) Вычислить смешанное произведение a( b c)( a b c ), если 8. Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b {1; 3;4} и удовлетворяющего условию ( xb, ) Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a {1;2;3} и вектору b {0;1; 2}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A (4;4;5), B ( 5; 3;2), C ( 2; 6; 3), D ( 2;2; 1) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

30 29 Вариант 2 1. Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой AB 7, AD 2 2, BAD 45, m единичный вектор в направлении основания AB, n единичный вектор в направлении стороны AD. Разложить векторы сторон AB, BC, CD, DA и векторы диагоналей трапеции AC и BD по векторам m и n. 2. Доказать, что векторы p {0;1; 2}, q {3; 1;1}, r {4;1;0} образуют базис и найти разложение вектора x { 5;9; 1} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли на одной прямой точки A (1;0;1), B ( 8;0;2), C (4;0; 1). 4. Даны три вершины параллелограмма ABCD : A (2;3;0), B (3;0; 5), C (0;6; 3). Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между векторами диагоналей AC и BD. 5. Параллелограмм построен на векторах a 3 p q, b p 2, q где p 2, q 4, ( p q ) /4. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ( b [ c, a ]) /4, ( a c ) 3 /4, a 1, b 5, c Вычислить смешанное произведение ( a b)( b 2 c)( c a ), если ( a, b, c ) Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b {3;1; 1} и удовлетворяющего условию ( xb, ) Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a {2;0;2} и вектору b {3;0;0}, если ( e j ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A (1;2;0), B (3;0; 3), C (5;2;6), D ( 2;4; 1) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

31 30 Вариант 3 1. Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой AB 5, AD 3, BAD 30, m единичный вектор в направлении основания AB, n единичный вектор в направлении стороны AD. Разложить векторы сторон AB, BC, CD, DA и векторы диагоналей трапеции AC и BD по векторам m и n. 2. Доказать, что векторы p {2;1;0}, q {1;0; 1}, r { 3;2;5} образуют базис и найти разложение вектора x {23; 14; 30} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли на одной прямой точки A ( 2;4;1), B (1; 2;7), C (2;0;1). 4. Даны три вершины параллелограмма ABCD : A ( 4;0;1), B (0;0;1), C (4; 2;6). Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между векторами диагоналей AC и BD. 5. Параллелограмм построен на векторах a 2p 3 q, b p 3, q где p 1/5, q 1, ( p q ) /2. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ( ba, ) 0, ( bc, ) 0, ( a c ) /2, a 1, b 1, c 3. ( a, b, c ) Вычислить смешанное произведение c( b a)( a b c ), если 8. Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b {5;1;2} и удовлетворяющего условию ( xb, ) Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a { 2; 4;2} и вектору b {1;0;1}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A (1;2;0), B (3;0; 3), C (5;2;6), D (8;4; 9) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

32 31 Вариант 4 1. Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой AB 5, DC 3, BAD 60, m единичный вектор в направлении основания AB, n единичный вектор в направлении стороны AD. Разложить векторы сторон AB, BC, CD, DA и векторы диагоналей трапеции AC и BD по векторам m и n. 2. Доказать, что векторы p {2;1;0}, q {1;0;1}, r {4;2;1} образуют базис и найти разложение вектора x {3;1;3} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли на одной прямой точки A (1;2;3), B (2;4;6), C (2;1;3). 4. Даны три вершины параллелограмма ABCD : A (3;4;5), B (4;6;8), C (0;1; 2). Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между векторами диагоналей AC и BD. 5. Параллелограмм построен на векторах a p 2, q b 3p 2 q, где p 2, q 2, ( p q ) 3 /4. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ( c [ a, b ]) /3, ( a b ) /3, a 1, b 1, c Вычислить смешанное произведение ( c a)( a b)( c 3 b ), если ( a, b, c ) Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b {7;1;5} и удовлетворяющего условию ( xb, ) Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a {4; 4;16} и вектору b {3;0;1}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A (1;1;2), B ( 1;1;3), C (2; 2;4), D ( 1;0; 2) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

33 Вариант Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой AB 3 2, DC 2, BAD 45, m единичный вектор в направлении основания AB, n единичный вектор в направлении стороны AD. Разложить векторы сторон AB, BC, CD, DA и векторы диагоналей трапеции AC и BD по векторам m и n. 2. Доказать, что векторы p {0;3;1}, q {1; 1;2}, r {1; 1;1} образуют базис и найти разложение вектора x { 1;7;10} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли на одной прямой точки A (1;0;1), B (2;1;2), C (4;3;4). 4. Даны три вершины параллелограмма ABCD : A (1; 2;1), B (3;4;5), C (0;1;0). Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между векторами диагоналей AC и BD. 5. Параллелограмм построен на векторах a p 2, q b p 2, q где p 2 3, q 2, ( p q ) /6. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ( ac, ) 0, ( bc, ) 0, ( c b ) /6, a 2, b 2, c Вычислить смешанное произведение a(2 b c)( a 3 b c ), если ( a, b, c ) Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b { 3;3; 2} и удовлетворяющего условию ( xb, ) 5,5. 9. Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a {1;1; 2} и вектору b { 9;4;3}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A (2;3;1), B (6;3;7), C (4;1; 2), D (7;5; 3) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

34 Вариант Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой AB 2 3, DC 3, BAD 30, m единичный вектор в направлении основания AB, n единичный вектор в направлении стороны AD. Разложить векторы сторон AB, BC, CD, DA и векторы диагоналей трапеции AC и BD по векторам m и n. 2. Доказать, что векторы p {1; 1;2}, q {3;2;0}, r { 1;1;1} образуют базис и найти разложение вектора x {11; 1;4} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли на одной прямой точки A ( 6; 8; 1), B (3;4;0), C (0;0;1). 4. Даны три вершины параллелограмма ABCD : A ( 7;4; 3), B (2;3; 4), C (7;6;2). Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между векторами диагоналей AC и BD. 5. Параллелограмм построен на векторах a 2 p q, b (1/2) p q, где p 2 2, q 3 2, ( p q ) /2. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ( b [ c, a ]) /4, ( c a ) 3 /4, a 3, b 6, c Вычислить смешанное произведение (2 a b)( b 2 a)( c a) 3 b c, если ( a, b, c ) Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b {2;1; 3} и удовлетворяющего условию ( xb, ) Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a {3;2;1} и вектору b {0;1;0}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A (1;1; 1), B (2;3;1), C (3;2;1), D (5;9; 8) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

35 34 Вариант 7 1. Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой AB 4, DC 3, BAD 60, m единичный вектор в направлении основания AB, n единичный вектор в направлении стороны AD. Разложить векторы сторон AB, BC, CD, DA и векторы диагоналей трапеции AC и BD по векторам m и n. 2. Доказать, что векторы p {1;1;4}, q { 3;0;2}, r {1;2; 1} образуют базис и найти разложение вектора x { 13;2;18} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли на одной прямой точки A ( 11;4; 6), B ( 6;9; 1), C ( 1;14;4). 4. Даны три вершины параллелограмма ABCD : B (1;2;0), C (7;1;8), D (5;3; 1). Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между векторами диагоналей AC и BD. 5. Параллелограмм построен на векторах a 4p 5 q, b p 3, q где p 7, q 2 2, ( p q ) /4. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ( ab, ) 0, ( ac, ) 0, ( b c ) /3, a 3, b 4, c Вычислить смешанное произведение c( b 2 c)(2 a b c ), если ( a, b, c ) Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b {2;2; 3} и удовлетворяющего условию ( xb, ) 8,5. 9. Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a {1;1; 8} и вектору b {8; 6;2}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A ( 3;4; 7), B (1;5; 4), C ( 5; 2;0), D (2;5;4) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

36 35 Вариант 8 1. Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой AD 3, DC 2, BAD 45, m единичный вектор в направлении основания AB, n единичный вектор в направлении стороны AD. Разложить векторы сторон AB, BC, CD, DA и векторы диагоналей трапеции AC и BD по векторам m и n. 2. Доказать, что векторы p {0;1;5}, q {3; 1;2}, r { 1;0;1} образуют базис и найти разложение вектора x {8; 7; 13} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли на одной прямой точки A ( 13; 33;5), B ( 3; 23;15), C (7; 13;25). 4. Даны три вершины параллелограмма ABCD : A (2;3; 7), C (1;8; 6), D (2;6; 7). Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между векторами диагоналей AC и BD. 5. Параллелограмм построен на векторах a p 4, q b (1/4)( p q ), где p 4, q 2, ( p q ) /3. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ( a [ b, c ]) 2 /3, ( b c ) /6, a 4, b 5, c Вычислить смешанное произведение c( b a)( a b ), если ( a, b, c ) Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b {4; 1;1} и удовлетворяющего условию ( xb, ) Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a { 11;0;0} и вектору b {13;18;0}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A (7;2;4), B (7; 1;2), C (3;3;1), D ( 4;2;1) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

37 36 Вариант 9 1. Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой AB 4, DC AD, BAD 60, m единичный вектор в направлении основания AB, n единичный вектор в направлении стороны AD. Разложить векторы сторон AB, BC, CD, DA и векторы диагоналей трапеции AC и BD по векторам m и n. 2. Доказать, что векторы p {0;2;1}, q {0;1; 1}, r {5; 3;2} образуют базис и найти разложение вектора x {15; 20;1} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли на одной прямой точки A ( 2;0; 2), B (0;2;0), C ( 4; 2; 4). 4. Даны три вершины параллелограмма ABCD : A (1; 3; 1), B (3; 5;1), C (3; 6;5). Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между векторами диагоналей AC и BD. 5. Параллелограмм построен на векторах a 4p 13 q, b 13p 4 q, где p 1/2, q 1/2, ( p q ) /3. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ( ac, ) 0, ( ab, ) 0, ( b c ) /6, a 2, b 3, c Вычислить смешанное произведение ( a b c)( a 2b 3 c)(2 a b c ), если ( a, b, c ) Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b { 2;3;5} и удовлетворяющего условию ( xb, ) Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a { 2; 4; 1} и вектору b { 2;1; 3}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A (1;3;6), B (2;2;1), C ( 1;0;1), D ( 4;6; 3) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

38 Вариант Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой AD 3 3, DC 3, BAD 30, m единичный вектор в направлении основания AB, n единичный вектор в направлении стороны AD. Разложить векторы сторон AB, BC, CD, DA и векторы диагоналей трапеции AC и BD по векторам m и n. 2. Доказать, что векторы p {1;0;1}, q {1; 2;0}, r {0;3;1} образуют базис и найти разложение вектора x {2;7;5} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли на одной прямой точки A (8; 6; 11), B (11; 3; 8), C (14;0; 5). 4. Даны три вершины параллелограмма ABCD : A ( 3;3;1), B ( 1;3; 1), D ( 2;7; 2). Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между векторами диагоналей AC и BD. 5. Параллелограмм построен на векторах a (1/3) p (1/2) q, b 2p 3 q, где p 3, q 2, ( p q ) 3 /2. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ( a b ) 5 /6, ( c [ a, b ]) /3, a 5, b 2, c Вычислить смешанное произведение b( a c)( a b c ), если ( a, b, c ) Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b {1; 1;2} и удовлетворяющего условию ( xb, ) Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a {0; 1; 2} и вектору b {2;0;6}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A ( 4;2;6), B (2; 3;0), C ( 10;5;8), D ( 5;2; 4) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

39 Вариант Дан параллелограмм ABCD, в котором AB a, AD b ; точка M делит DC в отношении DM : MC 2. Точка N делит сторону BC в отношении BN : NC 2/3. Выразить векторы AC, BD, AM, AN, MN через векторы a и b. 2. Доказать, что векторы p {1;1;4}, q {0; 3;2}, r {2;1; 1} образуют базис и найти разложение вектора x {6;5; 14} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли в одной плоскости точки A (1;3;6), B (2;2;1), C ( 1;0;1), D ( 4;6; 3). 4. Треугольник ABC построен на векторах AB 5p 7 q, AC p 3, q где p 3, q 1, ( p q ) 60. Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между стороной AB и медианой AM. 5. Параллелограмм построен на векторах a {1; 2;3}, b {3;0; 1}. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ( bc, ) 0, ( ac, ) 0, ( a b ) /3, a 9, b 2, c Определить, при каких значениях векторы a 5 p q, b 3p q будут взаимно перпендикулярны, если p 2, q 4, ( p q ) /3. 8. Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b {3;3;6} и удовлетворяющего условию ( xb, ) Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a {2;4;1} и вектору b { 4;2;1}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A (14;4;5), B ( 5; 3;2), C ( 2; 6; 3), D ( 1; 8;7) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

40 Вариант Дан параллелограмм ABCD, в котором AB a, AD b ; точка M делит DC в отношении DM : MC 3/4. Точка N делит сторону BC в отношении BN : NC 1. Выразить векторы AC, BD, AM, AN, MN через векторы a и b. 2. Доказать, что векторы p { 1;2;1}, q {2;0;3}, r {1;1; 1} образуют базис и найти разложение вектора x { 5; 8; 3} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли в одной плоскости точки A ( 4;2;6), B (2; 3;0), C ( 10;5;8), D ( 5;2; 4). 4. Треугольник ABC построен на векторах AB 5p 7 q, AC p 3, q где p 3, q 1, ( p q ) 60. Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между стороной AB и медианой AM. 5. Параллелограмм построен на векторах a {1;0;1}, b { 2;3;5}. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ( b [ c, a ]) 2 /3, ( c a ) /3, a 7, b 3, c Определить, при каких значениях векторы a p 2, q b p q будут взаимно перпендикулярны, если p 1, q 2, ( p q ) /3. 8. Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b {9;11;2} и удовлетворяющего условию ( xb, ) Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a { 3;1; 4} и вектору b { 1;4;2}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A (2;1;4), B (3;5; 2), C ( 7; 3;2), D ( 12;1;8) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

41 Вариант Дан параллелограмм ABCD, в котором AB a, AD b ; точка M делит DC в отношении DM : MC 4/3. Точка N делит сторону BC в отношении BN : NC 3/2. Выразить векторы AC, BD, AM, AN, MN через векторы a и b. 2. Доказать, что векторы p {1;0;2}, q {0;1;1}, r {2; 1;4} образуют базис и найти разложение вектора x {3; 3;4} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли в одной плоскости точки A (2;1;2), B ( 1;5; 2), C ( 7; 3;2), D ( 6; 3;6). 4. Треугольник ABC построен на векторах AB 4p 3 q, AC 4 p q, где p 1, q 2, ( p q ) 120. Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между стороной AB и медианой AM. 5. Параллелограмм построен на векторах a {1;2; 3}, b {2; 1; 1}. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ( ab, ) 0, ( bc, ) 0, ( c a ) /2, a 3, b 4, c Определить, при каких значениях векторы a p 11 q, b 2p q будут взаимно перпендикулярны, если p 2, q 3, ( p q ) 3 /4. 8. Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b {9;9;7}, и удовлетворяющего условию ( xb, ) Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a {1;3;2} и вектору b { 4; 4;1}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A (1;5; 7), B ( 3;6;3), C ( 2;7;3), D (1; 1;2) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

42 Вариант Дан параллелограмм ABCD, в котором AB a, AD b ; точка M делит DC в отношении DM : MC 1. Точка N делит сторону BC в отношении BN : NC 3/2. Выразить векторы AC, BD, AM, AN, MN через векторы a и b. 2. Доказать, что векторы p {3;1;0}, q { 1;2;1}, r { 1;0;2} образуют базис и найти разложение вектора x {3;3; 1} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли в одной плоскости точки A (7;2;4), B (7; 1; 2), C (3;3;1), D ( 4;2;1). 4. Треугольник ABC построен на векторах AB 3 p q, AC 2 p q, где p 2, q 2, ( p q ) 60. Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между стороной AB и медианой AM. 5. Параллелограмм построен на векторах a { 2;4;1}, b {1; 2;7}. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ( a [ b, c ]) 3 /4, ( b c ) /4, a 6, b 2, c Определить, при каких значениях векторы a 3 p q, b 4p 5q будут взаимно перпендикулярны, если p 2, q 1, ( p q ) 2 /3. 8. Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b {13; 3;5} и удовлетворяющего условию ( xb, ) Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a {1;3; 2} и вектору b {4;7;2}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A (1;1; 1), B (2;3;1), C (6;3;7), D (2;3;8) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

43 Вариант Дан параллелограмм ABCD, в котором AB a, AD b ; точка M делит DC в отношении DM : MC 1/3. Точка N делит сторону BC в отношении BN : NC 1/3. Выразить векторы AC, BD, AM, AN, MN через векторы a и b. 2. Доказать, что векторы p {5;1;0}, q {2; 1;3}, r {1;0; 1} образуют базис и найти разложение вектора x {13;2;7} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли в одной плоскости точки A (0; 1; 1), B ( 2;3;5), C (1; 5; 9), D ( 1; 6;3). 4. Треугольник ABC построен на векторах AB 6p 5 q, AC 3 p q, где p 3, q 2, ( p q ) 120. Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между стороной AB и медианой AM. 5. Параллелограмм построен на векторах a {1; 2;5}, b {3; 1;0}. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ( ac, ) 0, ( ab, ) 0, ( b c ) /6, a 2, b 3, c Определить, при каких значениях векторы a p 2, q b p 3q будут взаимно перпендикулярны, если p 1, q 2, ( p q ) / Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b {7;3;0} и удовлетворяющего условию ( xb, ) Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a {2;1; 4} и вектору b {8;9;14}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A ( 1;2; 3), B (4; 1;0), C (2;1; 2), D ( 7;0; 1) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

44 Вариант Дан параллелограмм ABCD, в котором AB a, AD b ; точка M делит DC в отношении DM : MC 3. Точка N делит сторону BC в отношении BN : NC 1/2. Выразить векторы AC, BD, AM, AN, MN через векторы a и b. 2. Доказать, что векторы p {0;1;1}, q { 2;0;1}, r {3;1;0} образуют базис и найти разложение вектора x { 19; 1;7} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли в одной плоскости точки A (3;6; 3), B ( 10;6;7), C ( 1; 5;2), D ( 6;0; 3). 4. Треугольник ABC построен на векторах AB 3p 8 q, AC p 4, q где p 4, q 3, ( p q ) 60. Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между стороной AB и медианой AM. 5. Параллелограмм построен на векторах a {3;5;4}, b {5;9;7}. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ([ a, b] c ) /3, ( a b ) 2 /3, a 5, b 3, c Определить, при каких значениях векторы a 3p 4 q, b 7p q будут взаимно перпендикулярны, если p 2, q 3, ( p q ) /4. 8. Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b {4;4;1} и удовлетворяющего условию ( xb, ) Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a { 7; 2;1} и вектору b { 5; 1;3}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A (1;3;6), B (2;2;1), C ( 1;0;1), D (5; 4;5) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

45 Вариант Дан параллелограмм ABCD, в котором AB a, AD b ; точка M делит DC в отношении DM : MC 4. Точка N делит сторону BC в отношении BN : NC 1/6. Выразить векторы AC, BD, AM, AN, MN через векторы a и b. 2. Доказать, что векторы p {2;1; 1}, q {0;3/2;2}, r {1; 1;1} образуют базис и найти разложение вектора x {1; 4;4} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли в одной плоскости точки A (2; 1; 2), B (1;2;1), C (5;0; 6), D ( 10;9; 7). 4. Треугольник ABC построен на векторах AB 7p 4 q, AC p 4, q где p 2, q 1, ( p q ) 60. Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между стороной AB и медианой AM. 5. Параллелограмм построен на векторах a {0;5; 1}, b {7;2;3}. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ( ab, ) 0, ( bc, ) 0, ( c a ) /3, a 3, b 2, c Определить, при каких значениях векторы a 2p 2 q, b p q будут взаимно перпендикулярны, если p 1, q 2, ( p q ) /3. 8. Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b {7;0;1} и удовлетворяющего условию ( xb, ) Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a {5;2;4} и вектору b {5;8;6}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A (1;0;2), B (1;2; 1), C ( 2; 1;6), D (0; 5; 4) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

46 Вариант Дан параллелограмм ABCD, в котором AB a, AD b ; точка M делит DC в отношении DM : MC 1/5. Точка N делит сторону BC в отношении BN : NC 5/4. Выразить векторы AC, BD, AM, AN, MN через векторы a и b. 2. Доказать, что векторы p { 2;0;1}, q {1;3; 1}, r {0;4;1} образуют базис и найти разложение вектора x { 5; 5;5} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли в одной плоскости точки A (5;2;0), B (2;5;0), C (1;2;3), D ( 1;1;1). 4. Треугольник ABC построен на векторах AB 5p 9 q, AC 3 p q, где p 1, q 3, ( p q ) 120. Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между стороной AB и медианой AM. 5. Параллелограмм построен на векторах a {3;4; 1}, b {2; 1;1}. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ( b [ c, a ]) /4, ( c a ) 3 /4, a 3, b 5, c Определить, при каких значениях векторы a 2p 5 q, b p q будут взаимно перпендикулярны, если p 2 3, q 1, ( p q ) /6. 8. Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b {5;2; 3} и удовлетворяющего условию ( xb, ) Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a {3;4;1} и вектору b {7;6;9}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A (3;4; 7), B (1;5; 4), C ( 5; 2;0), D ( 12;7; 1) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

47 Вариант Дан параллелограмм ABCD, в котором AB a, AD b ; точка M делит DC в отношении DM : MC 1/10. Точка N делит сторону BC в отношении BN : NC 1/5. Выразить векторы AC, BD, AM, AN, MN через векторы a и b. 2. Доказать, что векторы p {0;1;2}, q {1;0;1}, r { 1;2;4} образуют базис и найти разложение вектора x { 2;4;7} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли в одной плоскости точки A (14;4;5), B ( 5; 3;2), C ( 2; 6; 3), D ( 2; 2; 1). 4. Треугольник ABC построен на векторах AB 2p 7 q, AC 4 p q, где p 3, q 4, ( p q ) 60. Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между стороной AB и медианой AM. 5. Параллелограмм построен на векторах a {7;9; 2}, b {5;4;3}. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ( ac, ) 0, ( ab, ) 0, ( b c ) /4, a 1, b 2, c Определить, при каких значениях векторы a 6p 2 q, b p q /2 будут взаимно перпендикулярны, если p 3, q 6 3, ( p q ) 5 /6. 8. Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b {2;5;3} и удовлетворяющего условию ( xb, ) Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a { 5;1; 3} и вектору b {15;9;13}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A (1; 1;1), B ( 2;0;3), C (2;1; 1), D (2; 2; 4) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

48 Вариант Дан параллелограмм ABCD, в котором AB a, AD b ; точка M делит DC в отношении DM : MC 1. Точка N делит сторону BC в отношении BN : NC 1/2. Выразить векторы AC, BD, AM, AN, MN через векторы a и b. 2. Доказать, что векторы p {1;3;0}, q {2; 1;1}, r {0; 1;2} образуют базис и найти разложение вектора x {6;12; 1} в этом базисе. 3. Определить, лежат ли в одной плоскости точки A ( 2;0; 4), B ( 1;7;1), C (4; 8; 4), D (1; 4;6). 4. Треугольник ABC построен на векторах AB 4p 9 q, AC p 3, q где p 2, q 3, ( p q ) 60. Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AB ; б) косинус угла между стороной AB и медианой AM. 5. Параллелограмм построен на векторах a {3;7;0}, b {1; 3;4}. Определить: а) косинус угла между диагоналями; б) длину высоты, опущенной на сторону a. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ([ a, b] c ) /6, ( a b ) 5 /6, a 5, b 3, c Определить, при каких значениях векторы a 2p 4 q, b 7p q будут взаимно перпендикулярны, если p 7 2, q 6, ( p q ) /4. 8. Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b { 1;2; 3} и удовлетворяющего условию ( xb, ) Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a { 2; 3;2} и вектору b {7;7;8}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A (1;2;0), B (1; 1;2), C (0;1; 1), D ( 3;0;1) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

49 Вариант Дан параллелограмм ABCD, в котором AB a, AC c ; точка M делит AC в отношении AM : MC 1/3. Выразить векторы AD, BD, MD, MB через векторы a и c. 2. Доказать, что векторы p { 2;7;1}, q {0;2;0}, r {2;1; 1} образуют базис и найти разложение вектора x {6; 6;6} в этом базисе. 3. Радиус-вектор M составляет с осью OX угол 45, с осью OY угол 120, длина вектора OM 4. Определить координаты точки M, если координата z Дан ABC, в котором A ( 9; 2;10), B (1;3;2), AC {14;3;4}. Найти: а) длину высоты, опущенной на сторону AC ; б) косинус угла между стороной BC и медианой AM. 5. Параллелограмм построен на векторах a p 2, q b 2p 3 q, где p 4, q 1, ( p q ) 60. Определить: а) косинус угла между векторами a и b ; б) длину высоты, опущенной на сторону b. 6. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, образующих правую тройку векторов, если известно, что ( ac, ) 0, ( bc, ) 0, ( a b ) /4, a 1/2, b 2, c Определить, при каких значениях векторы a i 3 j k и b i 4j 5k будут взаимно перпендикулярны. 8. Найти координаты вектора x, коллинеарного вектору b {7;7; 6} и удовлетворяющего условию ( xb, ) Найти единичный вектор e, который перпендикулярен вектору a { 2; 4; 1} и вектору b {4; 2; 1}, если ( e i ) / Найти объём пирамиды ABCD с вершинами в точках A ( 14; 2; 5), B (5;3; 1), C (2;6;2), D (1;8; 1) и длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов:

Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: 1 2 Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

Глава 6. Векторная алгебра. 6.1 Линейные операции

Глава 6. Векторная алгебра. 6.1 Линейные операции Глава 6 Векторная алгебра 61 Линейные операции 1 Доказать, что векторы (1,2) и (2, 3) образуют базис на плоскости Найти в этом базисе координаты векторов (5,3) и ( 4,6) 2 Доказать, что векторы (1, 2, 3),

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8.

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8. 0 класс (технологический профиль) 208 209 уч год Геометрия УМК Атанасян ЛС Модуль 8 Тема модуля: «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» В процессе изучения данного модуля ученик научится/получит

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ 1. Определители 2-го и 3-го порядков. 1. Вычислить определитель второго порядка: а) 1 1 1 1 ; б) 1 + 2 2 5 13547 13647 ; в) 2+ 5 1 2 28423 28523. 2. Вычислить определитель третьего порядка:

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Рубцовский индустриальный институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им ИИ Ползунова» ТВ Крюкова ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им ВГ Шухова Кафедра прикладной математики Утверждено научно-методическим советом университета Линейная алгебра

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

Обязательный образовательный минимум. Содержание определения (понятия) Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n

Обязательный образовательный минимум. Содержание определения (понятия) Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n Обязательный образовательный минимум Класс 9 Предмет Математика Четверть I 1 Степень с целым Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n Для любого числа a, на равного нулю, определения

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Векторы в пространстве Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия: абсолютная величина

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность Практическое занятие 3. Практикум (рекомендации к практической части) МОДУЛЬ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Тема: Линейные операции над векторами План. Понятие вектора. Основные отношения векторов.. Сложение векторов.

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Система упражнений по векторной алгебре для студентов

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать

ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1 Скалярное произведение векторов. Заметив, что есть проекция вектора на направление вектора, мы можем записать ЛЕКЦИЯ 4 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1 Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин (модулей), умноженному на косинус угла между ними. Скалярное

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения.

перпендикулярны(ортогональны), необходимо и достаточно обращения в нуль их скалярного произведения. 5.2.Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением двух векторов aa и bb называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC.

Лекция 6. f 1 = c 1 1e 1 + c 2 1e 2, f 2 = c 1 2e 1 + c 2 2e 2. c 1 1 c 2 1 E = (e 1,e 2 ), F = (f 1,f 2 ), C =. c 1 2 c 2 2 F = EC. Лекция 6 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1, f Векторы нового базиса можно выразить через векторы старого

Подробнее

Ю. Ионин, В. Некрасов

Ю. Ионин, В. Некрасов wwwmthnetspbru Вычисление расстояний и углов Ю Ионин В Некрасов В этой статье рассматривается несколько геометрических задач для решения которых необходимо вычислить те или иные расстояния или углы в пространстве

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.)

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Базовые задачи (на 3) 1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D разбивают сторону BC на три равных отрезка. Найдите

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

a b и вычисляемое по формуле a b a b cos

a b и вычисляемое по формуле a b a b cos 2. Векторная алгебра В 2 представлены три типа задач на векторы, охватывающие скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Каждый тип задач составлен в 12 вариантах. 2.1.Основные формулы для

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Быкова Л.М., Добрынина Н.Н., Свердлова О.Л. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической

Подробнее