А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD"

Транскрипт

1 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Математический анализ» А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Учебно-методическое пособие для студентов специальности «Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей» Москва 2017

2 УДК 512 И 21 Иванова А.П. Решение задач линейной алгебры в MathCad: Учебно-методическое пособие к практическим и лабораторным занятиям по дисциплине «Математика». М.: МГУПС (МИИТ), с. Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для студентов специальности «Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей», изучающих дисциплину «Математика». Пособие содержит краткое изложение теории и большое количество подробно разобранных примеров решения задач по темам «матрицы», «системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)». Пособие разработано в помощь к решению практических заданий и выполнению домашних заданий, а также может быть использовано при проведении лабораторных занятий, так как содержит описание возможности решения задач с помощью стандартного пакета прикладных программ Mathcad. В пособии приводится 100 вариантов индивидуальных заданий для студентов. Рецензент доцент кафедры «Прикладная математика-1» МГУПС (МИИТ) к.ф.-м.н. Е.В. Родина МГУПС (МИИТ),

3 ОГЛАВЛЕНИЕ 1. МАТРИЦЫ Определение Виды матриц Операции над матрицами Элементарные преобразования матриц Вырожденные и невырожденные матрицы ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определение. Способы вычисления Свойства определителя Задание ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Определение. Свойства. Способы вычисления Задание СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Правило Крамера Метод обратной матрицы Метод Гаусса для случая m n Задание Метод Гаусса для случая m n Задание СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 79 3

4 1. МАТРИЦЫ 1.1. Определение Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Будем обозначать матрицы прописными буквами, например, a11 a12... a1 j... a1n a21 a22... a2 j... a 2n A. (1) ai 1 ai 2... aij... ain am 1 am2... amj... a mn Или в сокращѐнной записи A mn ( aij ), где a ij - элемент матрицы, находящийся в i -ой строке и j -ом столбце. Элементы a ii (i j) образуют главную диагональ матрицы. Две матрицы одного размера называются равными, если каждый элемент одной матрицы равен соответствующему элементу другой матрицы, т.е. Am n Bm n, если a b для всех i 1,2,..., m, j 1,2,..., n. Например, ij ij A 3 0, B 3 0, A B Матрица, получаемая из данной матрицы Am n ( aij ) переменой местами строк и столбцов, называется транспонированной по отношению к матрице A и 4

5 Т обозначается А. Для матрицы (1) транспонированная будет иметь вид: a11 a21... ai 1... am 1 a12 a22... ai2... a m T A. a1j a2 j... aij... amj a1n a2n... ain... anm Например, если A , то T A Из определения следует, что ( Т Т А ) А Виды матриц 1. Если m 1, то A 1n ( a11a a1 n) - матрицастрока размера n (вектор-строка размера n ). a11 a Если n 1, то Am 1 - матрица-столбец... am1 размера m (вектор- столбец размера m). 3. Если m n, то An n - квадратная матрица порядка n. 5.

6 4. Если aij 0 при i j, то An n - диагональная матрица a a D ann 5. Если aij 0 при i j и aij 1 при i j, то An n E - единичная матрица порядка n : E Если aij 0 для всех i 1,2,..., m, j 1,2,..., n, то An n 0 n n - нулевая матрица: nn Если все элементы квадратной матрицы под главной диагональю равны нулю, то матрица An n- называется нижней треугольной матрицей: a a21 a an1 an2... ann 6

7 Если все элементы квадратной матрицы над главной диагональю равны нулю, то матрица An n - называется верхней треугольной матрицей: a11 a12... a1 n 0 a22... a 2n ann 1.3. Операции над матрицами 1. Умножение матрицы на число. Произведение матрицы Am n ( aij ) на число есть матрица B mn ( bij ) bij aij для всех i 1,2,..., m, j 1,2,..., n Например, В частности, A0 0. Если 1, то матрица B A A называется противоположной матрице A. При этом AB0. 2. Сложение матриц. Сумма двух матриц A mn ( aij ) B ( ) mn bij есть матрица C mn ( cij ) C A B, если cij aij b для всех ij i 1,2,..., m, j 1,2,..., n. Например, Все действия над матрицами можно выполнять в пакете MathCad. На рис. 1 представлен рабочий лист, где показано задание матриц, транспонирование, задание 7

8 единичной матрицы, умножение матрицы на число. Курсивом даны комментарии. A C mn Рис Умножение матриц. Произведение матрицы ( aij ) на матрицу Bn p ( bij ) есть матрица ( c ), если m p ij : C AB c n a b (2) ij ik kj k1 для всех i 1,2,..., m, j 1,2,..., n. 8

9 Из определения следует, что число n столбцов матрицы A должно быть равно числу строк n матрицы B. Пример. Даны матрицы: A , Найти AB и BA B Решение. Матрица произведения A2 3 B3 2 C2 2. Вычислим элементы матрицы C по формуле (2): ( 3) 02 C ( 3) Аналогично B3 2 A2 3 C3 3: 31 5 ( 1) C 1 1 ( 3) ( 1) 1 5 ( 3) ( 3) ( 1) Свойства операций сложения и умножения. Для любых матриц A, B и C и любых чисел и верно следующее: 1. A B B A. 2. ( A B) C A ( B C). 3. ( A B) A B. 4. ( )A A A.

10 5. ( ) A ( A). 6. A0 A, где 0 - нулевая матрица. 7. A ( A) 0, где A 8. A( BC) ( AB) C. A( B C) AB AC, 9. ( A B) C AC BC. 10. ( A) B ( AB). 11. A ( AB) T B T A T. - противоположная матрица. На рис. 2 представлен рабочий лист MathCad, где приведѐн пример умножения матриц. Рис Элементарные преобразования матриц Две матрицы A и B называются эквивалентными (обозначается À B), если одна из них получена из другой с помощью элементарных преобразований, к которым относятся: 1. Умножение всех элементов какой-нибудь строки на произвольное ненулевое число, например, умножим пер- 10

11 вую строку матрицы на 2 (номера строк будем обозначать римскими цифрами, I 2): I Перестановка двух строк местами. 3. Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на произвольное число, например, добавим к третьей строке матрицы первую, умноженную на 1: I ( 1)+III Вычѐркивание нулевой строки. На рис. 3 представлен пример выполнения элементарных преобразований Вырожденные и невырожденные матрицы Квадратная матрица называется вырожденной, если еѐ строки линейно зависимы. (Напомним, что вектора a1, a2,..., a n линейно зависимы, если один из векторов представим в виде линейной комбинации остальных векторов с ненулевыми коэффициентами, т.е. a1 2a2 3a3... nan, при этом хотя бы один коэффициент j отличен от нуля. Вектора a1, a2,..., a n линейно независимы, если 1a1 2a2... nan 0 при n 0.) Единичная матрица E невырожденная. 11

12 Рис. 3 Пример вырожденной матрицы: A Очевидно, что третья строка матрицы A равна сумме первой и второй строк. Утверждение. Элементарные преобразования матриц переводят линейно независимые строки в линейно независимые строки, а линейно зависимые в линейно зависимые. Утверждение. Каждая невырожденная матрица с помощью элементарных преобразований может быть преобразована в единичную. 12

13 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2.1. Определение. Способы вычисления Числовая функция f на множестве всех квадратных матриц порядка n называется определителем (детерминантом) порядка n (обозначается определитель матрицы A так: А ), если она обладает свойствами: 1) Какую бы строку матрицы мы не взяли, функция является линейным однородным многочленом от элементов этой строки. Для строки i матрицы A это можно записать так: f ( A) 1ai 1 2ai 2... nain, где 1, 2,..., n - коэффициенты, не зависящие от элементов ai 1, ai 2,..., a in, но зависящие от остальных элементов матрицы. 2) Значение функции на любой вырожденной матрице равно нулю. 3) Значение функции на единичной матрице равно единице. Определитель можно вычислить по следующим правилам: при 1 A a a n a11 a12 A a11 a22 a12 a21 a a. при n Например, При n 3 a a a A a a a a A a A a A, (3) a a a

14 где A - алгебраическое дополнение элемента ij a, ij A ( 1) i j ij Mij, (4) M - минор элемента ij a (минором ij M называется определитель матрицы, получаемой после вычѐркивания i -ой ij строки и j -го столбца, например, для матрицы A минор элемента a 23 вычисляется так: M ( 1) 0 ( 1) 1) Например, вычислим определитель матрицы A (5) ( 1) 0 ( 1) ( 1) (2 1) 0 2( 2 1) В формуле (3) использовано разложение определителя по первой строке. Для матрицы порядка n разложение по строке i будет вычисляться так: 14

15 a a... a n a a... a n n A aij Aij j1 15. (6) an 1 an2... ann Определитель можно вычислить и разложением по столбцу j : n ij ij. (7) i1 A a A Например, вычислим определитель матрицы (5), применяя формулу (7) для j 1: ( 1) 2 ( 1) ( 1) ( 1) (2 1) 2(0 2) (0 2) A 2.2. Свойства определителя T A (определитель не меняется при транспонировании). 2. При перестановке любых строк матрицы определитель меняет знак. 3. Если все элементы некоторой строки матрицы умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число. 4. Если каждый элемент некоторой строки представлен в виде суммы двух чисел, то определитель равен сумме определителей. Для n 2 получим

16 a 11 a 11 a 12 a 12 a 11 a 12 a 11 a 12. a a a a a a Если к одной строке матрицы добавить другую строку, умноженную на произвольное число, определитель не изменится (свойство Гаусса). Из свойства 2 следует, что, во-первых, если в определителе есть две одинаковые строки, то определитель равен нулю. Во-вторых, если в определителе есть две пропорциональные строки, то определитель равен нулю. Рассмотрим ещѐ один пример: вычислим определитель матрицы четвѐртого порядка B Заметим, что во второй строке (втором столбце) матрицы есть нулевой элемент. Разложим определитель по второй строке: B ( 1) ( 1) ( 1) ( 5)

17 Чтобы сократить вычисления можно было воспользоваться свойством Гаусса для определителя (определитель не меняется, если к одной строке добавить другую, умноженную на произвольное число). Добавим к первой строке третью, умноженную на 3, и добавим к четвертой строке третью, умноженную на 2, после чего разложим определитель по второму столбцу. Получим: III ( 3) I III 2 IV ( 1) На рис. 4 приведѐн пример вычисления определителя. Рис. 4 17

18 Задание 1. Вычислить определители матриц A и B A B A B A B A B A B A B

19 A A A A A A B B B B B B

20 A A A A A A B B B B B B

21 A A A A A A B B B B B B

22 A A A A A A B B B B B B

23 A A A A A A B B B B B B

24 A A A A A A B B B B B B

25 A A A A A A B B B B B B

26 A A A A A A B B B B B B

27 A A A A A A B B B B B B

28 A A A A A A B B B B B B

29 A A A A A A B B B B B B

30 A A A A A A B B B B B B

31 A A A A A A B B B B B B

32 A A A A A A B B B B B B

33 A A A A A A B B B B B B

34 A A A A B B B B ОБРАТНАЯ МАТРИЦА 3.1. Определение. Свойства. Способы вычисления 1 Матрица A называется обратной для матрицы A, 1 1 если A A AA E, где E - единичная матрица. имеет обратную матрицу Например, матрица A , т.к. A

35 ( 2) 1 ( 3) AA 27 7 ( 2) 2 ( 3) или ( 3) ( 3) A A ( 2) 11 2 ( 2) Утверждение. Если у матрицы существует обратная, то она единственна. Утверждение. Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырождена. Свойства обратной матрицы ( A ) A ( AB) B A ( T T A ) ( A ). Вычисление обратной матрицы 1) С помощью элементарных преобразований. Запишем расширенную матрицу, приписав справа от столбцов матрицы A столбцы единичной матрицы: a11 a12... a1 n a21 a22... a n A E an1 an2... ann Если с помощью элементарных преобразований мы преобразуем матрицу A в единичную, то те же преобразования переведут единичную матрицу в матрицу A. 1 Например, найдѐм обратную матрицу для A

36 ( A E) Умножим первую строку расширенной матрицы на 2 и добавим ко второй строке: Умножим вторую строку на 3 и добавим к первой строке: Получим A На рис. 5 приведѐн пример нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Рассмотрим ещѐ один пример. Найдѐм обратную матрицу для A Припишем справа единич ную матрицу третьего порядка и будем выполнять элементарные преобразования: , добавим ко второй строке первую строку, умноженную на 2 добавим к третьей строке первую: 36

37 Рис. 5 Добавим к третьей строке вторую: 37

38 Умножим третью строку на 1: Добавим к первой строке третью, умноженную на 2, и добавим ко второй строке третью, умноженную на 5: Получена обратная матрица A ) С помощью алгебраических дополнений. Обратную матрицу можно вычислить по формуле A A ij, (8) A здесь A - определитель матрицы A, A ij - алгебраическое дополнение элемента a ij, M ij - минор элемента a ij, ( A ) T ij - транспонированная матрица алгебраических дополнений. 1 1 T 38

39 Например, найдѐм обратную матрицу для A Еѐ определитель равен A. Вычислим миноры и алгебраические дополнения: M11 7 7, A11 ( 1) M , M12 2, A12 ( 1) M , M 21 3, A21 ( 1) M , M 22 1, A22 ( 1) M В итоге получим: A Рассмотрим ещѐ один пример вычисления определителя матрицы третьего порядка. Применим формулу (3) для нахождения определителя: A (2 1) 2( 2 1) Вычислим алгебраические дополнения: A11 ( 1) , T 39

40 A A A A A A A A ( 1) (4 1) 3, ( 1) , ( 1) (0 2) 2, ( 1) , ( 1) ( 1 0) 1, ( 1) , ( 1) ( 1 4) 5, ( 1)

41 Получили матрицу алгебраических дополнений A ij 2 4 1, которую, согласно формуле (8), нужно транспонировать и разделить на определитель матрицы A: T T A A ij Задание 2. Для данной матрицы A найти обратную, если она существует, и установить, что AA E A A A A A A

42 A A A A A A A A A A A A A A

43 A A A A A A A A A A A A A A

44 A A A A A A A A A A A A A A

45 A A A A A A A A A A A A A A

46 A A A A A A A A A A A A A A

47 A A A A A A A A A A A A A A

48 A A A A A A A A A A СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В общем виде система линейных алгебраических уравнений (коротко СЛАУ) записывается в виде: 48

49 a11x1 a12 x2... a1 nxn b1, a21x1 a22x2... a2nxn b2,... am 1x1 am2x2... amnxn bm. Решением СЛАУ (9) называется такой набор чисел х1, х2,..., х n, что при подстановке их во все уравнения (9) получаются числовые тождества. Система (9) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, в противном случае система (9) несовместна. Матрицу А коэффициентов при неизвестных называют матрицей системы: a11 a12... a1 n a21 a22... a 2n A am1 am2... amn Введѐм обозначения: x1 b1 x 2 x b 2 - вектор неизвестных, b - столбец правых частей системы (9), тогда, используя определения xn bm произведения и равенства матриц, СЛАУ можно записать в матричном виде: Ax 49 (9) b. (10) Расширенной матрицей СЛАУ (10) называется матрица

50 a11 a12... a1n b1 a21 a22... a2n b 2 A am1 am2... amn bm Рассмотрим случай m n, тогда число уравнений равно числу неизвестных, а матрица системы квадратная. Главным определителем системы (10) при m n называется определитель матрицы системы: An n. Рассмотрим способы решения СЛАУ Правило Крамера Назовѐм вспомогательным (или побочным) определителем системы (10) определитель матрицы, полу- j чаемой из матрицы А заменой столбца j на столбец правых частей b : a a... a b a... a j , j1 1 1, j1 1n a a... a b a... a , j1 2 2, j1 2n a a... a b a... a n1 n2 n, j1 n n, j1 nn Если главный определитель системы не равен нулю, то решение СЛАУ может быть найдено по формулам Крамера: j, j 1,2,... n. (11) x j В качестве примера найдѐм решение системы. 50

51 x1x2 3, 3x1 4x2 3x3 4, (12) 2x1 3x2 2x3 2. Вычислим главный определитель системы: ( 1) Найдѐм побочные определители: ( 1) (8 9) (8 6) 3 2 1, x1 1, , x2 2, ( 1) (8 12) (6 8) 3(9 8) , 3 3 x

52 Получено решение системы x1 1, x2 2, x3 3. Сделаем проверку, для чего подставим найденные значения переменных в уравнения системы: 1 ( 2) 3, 3 1 4( 2) , 2 1 3( 2) Решение найдено верно Метод обратной матрицы Рассмотрим квадратную систему вида (10). Если главный определитель системы отличен от нуля, то матрица системы невырожденная, следовательно существует обратная матрица А 1 1. Умножая равенство (10) на А получим: 1 1 А Ax А b. 1 По определению А А Е. Учтѐм, что Е x x. Тогда решение системы (10) имеет вид: x 1 А b. (13) Решим систему (12) матричным методом, для этого найдем обратную матрицу: I ( 3)+II I ( 2)+III II:

53 II I 0 1 3/ 7 3/ 7 1/ II ( 5) III 1 1 3/ 7 4/ 7 1/ / 7 3/ 7 1/ / 7 1/ 7 5/ 7 1 III ( 7) 1 1 3/ 7 4/ 7 1/ 7 0 III ( 3/ 7)+I 0 1 3/ 7 3/ 7 1/ 7 0 III ( 3/ 7)+II Обратная матрица имеет вид: А По лучим решение системы по формуле (13): x А b Метод Гаусса для случая m n Рассмотрим метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) для квадратной системы (m n). Прямой ход. С помощью элементарных преобразований будем последовательно исключать первую неизвест- 53

54 ную х 1 из всех уравнений, кроме первого. Затем исключим вторую неизвестную из всех уравнений, кроме первого и второго и так далее. В результате получим систему треугольного (ступенчатого) вида. Обратный ход. Последовательно, начиная с последнего уравнения, будем находить значения неизвестных. Решим систему (12) методом Гаусса. Вычисления прямого хода удобно проводить над расширенной матрицей системы I ( 3)+II II: I ( 2)+III / 7 5/ II ( 5)+III / 7 5/ / 7 5/ / 7 3/ 7III ( 7) Прямой ход метода Гаусса закончен, в результате матрица системы приведена к верхнетреугольному виду. Последняя матрица эквивалентна системе уравнений: x1x2 3, x2 3/ 7x3 5/ 7, x3 3. Из последнего уравнения, выполняя обратный ход метода Гаусса, найдѐм x3 3. Подставим найденное значение 54

55 x3 3 во второе уравнение и найдѐм x 2: x2 3/7x3 5/7 9/7 5/7 14/7 2. Затем подставим x 2 и x 3 в первое уравнение: x1 x Обратный ход закончен, решение найдено. На рис. 6 представлено решение СЛАУ. Рис. 6 55

56 Задание 3. Решить систему линейных алгебраических уравнений 1) методом Крамера 2) в матричной форме 3) методом Гаусса. Сделать проверку. 1. x3z 5, 2x 4y z 15, x 2y 3z x 3y z 16, y 2z 0, x y z x y z 10, 2x 2y z 5, x 2y x3z 22, x y 2z 1, 3x y 2z x 2y 2z 8, 2x z 0, x y z x3z 5, 2x 4y z 23, x 2y 3z x2z 10, x y z 4, 3x 4y 2z x 2y 2z 3, 2x z 0, x y z x3z 5, 2x 2y z 11, x 2y 3z x 3y 4z 2, y 3z 1, x y z x 2y z 12, 2x y z 7, x 2y x2z 9, x y z 4, 3x 2y 2z

57 13. 2x y 4z 4, y 2z 0, 2x 3y 5z x 2y 3z 23, 2x y z 8, x y x2z 1, x y z 8, 3x 2y 2z x y z 8, 2x z 4, x y 5z xz 3, 5x y z 8, 9x 2y 3z x y 4z 12, y 2z 0, 2x 2y 5z x 2y 3z 9, 2x y z 6, 5x y xz 4, 5x 3y 3z 13, 3x 2y 2z x y z 4, 2x z 0, x y z x 3z 1, 5x 5y z 36, x 2y 3z x y 4z 16, y 2z 4, 2x 2y 5z x 2y 3z 15, 2x y z 10, 5x y x2z 10, x 3y 3z 6, 3x 2y 2z x y z 0, 2xz 4, x y 5z x5z 10, 5x y z 3, 9x 2y 3z x y 4z 3, y 2z 1, 2x 2y 5z 2. 57

58 29. x y z 5, 10x 5z 0, x y z x z 1, 3x 2y 2z 12, x 2y 3z x y z 5, 2x 2y z 5, 2x 4y xz 6, x 2y 2z 6, x 2y z x3z 8, 2x 3y z 18, x 2y 2z x y 5, 2x 5y 2z 6, 3x 7y 3z x 2y 2z 16, 2x 2z 14, x y z x3z 7, 2x 4y z 27, x 2y z x y z 2, 10x 5z 15, 2x y z xz 7, x y z 6, 3x 5y 2z x3z 10, 4x 3y z 21, x 2y 3z x 3y 4z 10, 2y 6z 14, x y z xz 5, 2x 2y 3z 22, x 6y z x 2y 2z 3, 2x z 8, x 4y 3z x 2y 2z 24, 2x y z 3, x 2y x2z 14, x y z 11, 3x 2y 2z

59 45. x y 4z 15, y 2z 4, x 3y 3z x 2y 3z 15, 2x 2y z 15, x y x y 4z 19, y 2z 8, x 3y 3z x 3z 1, 2x 4y z 7, x 2y 3z x 3y z 1, y 2z 4, x y z x 3y z 6, 2x 2y z 1, x 2y x y 3z 9, 5x 3y z 10, x 3z x 2y 2z 1, 2x z 3, x y z x y z 0, 2x z 8, x y 5z x3z 1, 5x 6y z 51, x 2y 3z x y z 4, x 3z 3, x y 5z x 3z 9, 2x 3y z 5, 3x 4y 2z x 2y 2z 0, 2x z 4, x y z x 3z 1, 2x 2y z 1, x 2y 3z x 2y z 2, x 3y 2z 11, 3x y z x 2y z 4, 2x y z 9, x 2y 4. 59

60 61. x 2y 3z 5, 2x 4y z 7, x 2y 3z x y 4z 7, y 2z 0, 2x 3y 5z x 2y 3z 3, 2x y z 4, x y x 2y 2z 3, x y z 2, 3x 2y 2z x 3y 2z 12, 2x y z 9, 3x y 5z x 2y 3z 1, x y z 0, x 2y 5z x 2y z 6, y 2z 0, 2x 2y 5z x 3y 3z 10, 2x y z 6, 5x y x 2z 1, x y z 2, 3x 2y 2z x y z 5, 2x z 0, x y z x 4y 3z 1, x 3y z 1, x 2y 3z x 2y 4z 13, y 2z 4, 2x 2y 5z x 2y 3z 11, 2x y z 10, 5x y x2z 7, x 3y 3z 6, 3x 2y 2z x 3y 8, 2x y z 3, 3x 3y 2z x 4y z 8, x y 2z 5, 2x y 3z 3. 60

61 77. xz 4, 5x 3y 3z 13, 3x 2y 2z x 3y z 7, 10x 5z 0, x y z x 2y 2z 16, 3x2z 4, x 2y 3z x 5y 2z 5, x 3z 10, 2x y 4z x z 2, x 2y 2z 6, x 2y z x 5y 3z 38, 2x 3y z 18, x 2y 2z x y 5, 2x 5y 2z 12, 3x 7y 3z x 2y 2z 6, x 2z 9, x y z x 5y 2z 23, 2x3z 8, 2x 2y 5z x y 3z 8, 3x y 3, 5x y z x z 2, x y z 0, 3x 5y 2z x 3y 2z 13, 4x 3y z 9, 2y z x 2y 2z 22, x z 1, x y z x 3y 2z 16, 3x 5y z 14, 2yz x 2y 2z 13, x z 3, 7x 3y 3z x 2y 2z 0, 2x y z 13, x 2y

62 93. x 3z 6, 2x 4y z 13, x 2y z x y 4z 20, y 2z 4, x 3y 3z x y 3z 8, 2x 2y z 15, x y x 2y 4z 13, y 2z 8, x 3y 3z x2z 14, x y z 7, 4x 2y 2z x 3z 3, 2x 3y z 11, x y 5z x 2y z 13, x 2y 2z 12, 3x 2y 3z x y 3z 7, 5x 6y z 21, x y 5z Метод Гаусса для случая m n. Решение системы Ax b методом Гаусса в случае n k рассмотрим на примере: x1 4x2 2x3 x4 2x5 1 2x1 2x2 3x3 x5 2 (14) 3x1 2x2 5x3 2x4 2x5 3. Все вычисления будем проводить в матричном виде, для чего запишем расширенную матрицу системы ( Ab: ) Выполним прямой ход метода Гаусса, приведя расширенную матрицу к ступенчатому виду с помощью эле- 62

63 ментарных преобразований. Добавим ко второй строке первую, умноженную на 2 добавим к третьей строке первую, умноженную на 3. Получим: Разделим вторую строку на диагональный элемент ( 10): ,1 0, 2 0,5 0, затем добавим к третьей строке вторую, умноженную на 10: ,1 0, 2 0, Заметим, что в третьей строке диагональный элемент равен нулю. Разделим третью строку на 3: ,1 0, 2 0, Матрица приведена к ступенчатому виду. Для того, чтобы выполнить обратный ход метода Гаусса, запишем полученный результат в виде системы уравнений: x1 4x2 2x3 x4 2x5 1 x2 0,1x3 0, 2x4 0,5x5 0 x4 x5 0 63

64 Переменные x 1, x 2 и x 4 называются базисными, переменные x 3 и x 5 - свободными. Из последнего уравнения выразим x 4 через x 5: x4 x5. Подставим это выражение во второе уравнение, после чего выразим x 2 через x 3 и x 5: x 0,1x 0, 2x 0,5x 0,1x 0, 2x 0,5x ,1x3 0,3 x5. Теперь подставим найденные выражения для x 2 и x 4 в первое уравнение и выразим x 1 через свободные переменные x 3 и x 5: x 1 4x 2x x 2x ( 0,1x 0,3 x ) 2x x 2x 11,6 x 0, 2 x Получено общее решение системы: x1 11,6 x3 0, 2 x5, x2 0,1x3 0,3 x5, (15) x4 x5. Частное решение можно получить, если свободным переменным присвоить какие-нибудь значения, а значения базисных переменных вычислить по формулам (15), например, при x3 0 и x5 1 получим x1 11,6 0 0,2 1 0,8, x2 0,1 0 0,31 0,3, x4 1, т.е. частное решение (0,80,30 11). На рис. 7 приведѐн пример решения системы (14). 64

65 Рис. 7 65

66 Задание 4. Решить систему методом Гаусса. Найти какое-нибудь частное решение и для него сделать проверку. 1. x1 x2 x3 x4 x x1 2x2 3x3 2x4 x5 2 3x1 2x2 5x3 3x4 2x x1 x2 x3 x4 x x1 2x2 3x3 x5 2 3x1 2x2 5x3 2x4 2x x1 x2 x3 x4 x x1 2x2 3x3 2x4 4x5 2 3x1 2x2 5x3 x4 7x x1 x2 x3 x x1 2x2 4x3 2x4 x5 2 2x 1 x 2 3x 3 x 4 2x x1 x2 x3 x4 x x1 2x2 3x3 5x5 2 3x1 5x3 2x4 2x x1 x2 x3 x4 x x1 x2 5x4 x5 9 3x 1 2x 2 3x 3 x 4 2x x1 x2 x3 x4 x x1 x2 2x3 4x4 x5 2 3x1 x2 3x3 x4 2x5 4 66

67 8. x1 x2 x3 x4 x x1 4x2 4x3 8x5 6 3x1 5x3 2x4 2x x1 x2 x3 x4 x x1 x2 2x4 2x5 8 x 1 4x 2 3x 3 4x x1 x2 x3 x4 x x1 4x2 4x4 x5 2 x2 3x3 x4 2x x1 x2 x3 x4 x x1 4x2 2x3 x4 8x5 1 4x1 10x3 4x4 4x x1 x2 x3 x4 x x1 x2 x3 2x4 2x5 6 x 1 x 2 x 3 4x x1 x2 x3 x4 x x 1 4x 2 3x 3 4x 4 x 5 1 2x 1 x 3 x 4 2x x1 x2 x3 x4 x x1 x2 2x3 3x4 2x5 2 2x1 x3 2x4 x x1 x2 x3 x4 x x1 x2 5x3 2x4 2x5 4 x 1 x 2 x 3 4x

68 16. x1 x2 x3 x4 x x1 2x2 x3 5x4 2x5 5 2x 1 x 3 x 4 2x x1 x2 x3 x4 x , 5x1 4x2 5x3 x4 5x5 1, 4x1 6x2 x3 4x4 4x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 x2 x3 2x4 2x5 8, x 1 2x 2 x 3 x 4 4x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 x2 2x4 10x5 2, x 1 4x 2 3x 3 12x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 5x2 4x4 x5 5, x2 3x3 x4 2x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 2x2 x3 7x4 9x5 0, 3x 1 3x 3 6x 4 9x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 2x2 3x3 x5 2, 3x1 2x2 5x3 2x4 2x x1 x3 x4 x , 2x1 2x2 3x3 2x4 x5 2, 3x1 2x2 5x3 x4 x

69 24. x1 x2 x3 x5 3 1, 2x1 5x2 7x3 2x4 12, 2x1 x2 3x3 2x4 8x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 2x2 2x3 4x5 2, 3x2 x3 4x4 10x x1 x2 x3 x4 x , 4x2 2x3 10x4 2x5 2, 3x1 2x2 6x3 x4 2x x1 x2 x3 x4 2 1, 2x1 x2 2x3 4x4 15x5 10, 2x1 6x2 6x3 x4 30x x1 x2 x3 x4 x , 4x2 4x3 8x5 4, 3x 1 5x 3 2x 4 2x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 x2 3x4 2x5 6, x 1 4x 2 3x 3 4x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 4x2 4x4 x5 2, x2 3x3 x4 2x x1 x2 x3 x4 x , 3x1 3x2 2x3 8x5 1, 4x1 10x3 4x4 4x

70 32. x1 x2 x3 x4 x , 2x1 x2 x3 6x4 x5 6, x 1 x 2 x 3 5x x1 x2 x3 x4 x , x 1 4x 2 3x 3 4x 4 x 5 1, 2x 1 x 3 x 4 2x x1 x2 x3 x4 x , 3x1 x2 2x3 3x4 2x5 2, 2x1 x3 2x4 x x1 x2 x3 x4 x , 4x1 x2 5x3 2x4 2x5 4, x 1 x 2 x 3 4x x1 x2 x3 x4 x , x 1 4x 2 3x 3 4x 4 x 5 1, 2x 1 x 3 x 4 2x x1 x2 x3 x4 x , 5x1 2x2 3x3 x4 5x5 1, 4x1 3x2 x3 4x4 4x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 x2 x3 2x4 x5 2, x 1 2x 2 x 3 x 4 4x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 x2 3x4 10x5 3, x 1 4x 2 3x 3 12x

71 40. x1 x2 x3 x4 x , 2x1 5x2 4x4 x5 6, x2 3x3 x4 2x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 2x2 x3 7x4 9x5 0, 3x 1 3x 3 6x 4 9x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 2x2 3x3 x5 3, 3x1 2x2 5x3 2x4 2x x1 x3 x4 x , 2x1 2x2 3x3 2x4 x5 2, 3x1 3x2 5x3 3x4 x x1 x3 x4 x5 4 1, 2x1 x2 4x3 2x4 2, 2x1 x2 6x3 7x4 8x x1 x2 x3 x4 x , x1 x2 2x3 4x5 2, 3x 2 x 3 4x 4 10x x1 x2 x3 x4 x , 4x2 2x3 10x4 2x5 2, 3x1 2x2 6x3 x4 2x x1 x2 x3 x4 2 1, 2x1 x2 2x3 4x4 15x5 10, 2x1 6x2 6x3 x4 30x

72 48. x1 x2 x3 x4 x5 4 3, 3x2 3x3 12x5 0, 2x 1 x 2 6x 3 x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 x2 3x4 2x5 12, x 1 4x 2 3x 3 4x x1 x2 x3 x5 2 0, 2x1 2x2 4x4 x5 17, 6x1 6x2 3x3 x4 2x x1 x2 x3 x4 x x1 x2 x3 2x4 3x5 2 3x1 2x2 5x3 3x4 2x x1 x2 x3 x4 x x1 x2 2x3 x5 0 2x 1 2x 2 4x 3 2x 4 2x x1 x2 x3 x4 x x1 2x2 3x3 2x4 4x5 2 3x1 2x2 5x3 x4 7x x1 x2 x3 x x1 2x2 4x3 2x4 x5 1 2x 1 x 2 4x 3 x 4 x x1 x2 x3 x4 x x1 2x2 3x3 5x5 2 3x1 5x3 x4 2x5 2 72

73 56. x1 x2 x3 x4 x x1 x2 5x4 x5 1 3x 1 2x 2 3x 3 x 4 42x x1 x2 x3 x4 x x1 x2 2x3 x5 2 3x1 x2 3x3 x4 2x x1 x2 x3 x4 x x1 4x2 4x3 8x5 3 3x1 5x3 4x4 2x x1 x2 x3 x4 x x1 x2 x3 2x4 2x5 0 x 1 2x 2 2x 3 x 4 4x x1 x2 x3 x4 x x1 4x2 4x4 x5 2 x2 3x3 x4 3x x1 x2 x3 x4 x x1 2x2 2x3 x4 8x5 1 4x 1 2x 3 4x 4 4x x1 x2 x3 x4 x x1 x2 x3 2x4 2x5 5 x 1 2x 2 x 3 4x x1 x2 x3 x4 x x 1 4x 2 3x 3 4x 4 x 5 1 2x 1 x 3 x 4 3x

74 64. x1 x2 x3 x4 x x1 x2 2x3 2x5 2 2x 1 4x 3 x 4 4x x1 x2 x3 x4 x x1 x2 3x3 2x4 2x5 4 x 1 x 2 x 3 2x x1 x2 x3 x4 x x 1 4x 2 3x 3 4x 4 x 5 1 2x 1 x 3 x 4 2x x1 x2 x3 x4 x , 5x1 4x2 5x3 x4 5x5 0, 4x1 6x2 x3 2x4 x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 x2 x3 2x4 2x5 2, x 1 2x 2 x 3 x 4 4x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 x2 2x4 8x5 2, x 1 4x 2 3x 3 6x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 5x2 2x4 x5 1, x2 3x3 x4 2x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 2x2 x3 7x4 9x5 0, 3x 1 3x 3 3x 4 6x

75 72. x1 x2 x3 x4 x , 2x1 2x2 3x3 x5 2, 3x1 2x2 5x3 2x4 2x x1 x3 x4 x , 2x1 2x2 3x3 2x4 3x5 2, 3x1 2x2 5x3 x4 x x1 x2 x3 x5 3 1, 2x1 5x2 7x3 2x4 x5 5, 2x1 x2 3x3 2x4 4x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 2x2 2x3 6x5 6, 3x2 2x3 x4 x x1 x2 x3 x4 x , 4x2 2x3 5x4 2x5 2, 3x1 2x2 6x3 x4 2x x1 x2 x3 x4 2 1, 2x1 x2 x3 4x4 4x5 3, 2x1 6x2 6x3 x4 2x x1 x2 x3 x4 x , 4x2 4x3 3x5 4, 3x 1 5x 3 2x 4 2x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 x2 2x4 2x5 61, x 1 4x 2 3x 3 4x

76 80. x1 x2 x3 x4 x , 2x1 4x2 3x4 x5 2, x2 3x3 x4 2x x1 x2 x3 x4 x , 3x1 3x2 2x3 8x5 1, 4x1 2x3 4x4 4x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 x2 3x3 6x4 x5 2, x 1 x 2 2x 3 2x 4 6x x1 x2 x3 x4 x , x 1 4x 2 2x 3 4x 4 x 5 1, 2x 1 x 3 x 4 6x x1 x2 x3 x4 x , 3x1 x2 2x3 6x4 2x5 2, 2x1 x3 2x4 x x1 x2 x3 x4 x , 4x1 x2 5x3 2x4 2x5 4, x 1 x 2 x 3 2x 4 3x x1 x2 x3 x4 x , x 1 4x 2 2x 3 5x 4 x 5 1, 2x 1 x 3 x 4 2x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 2x2 3x3 x4 5x5 1, 4x1 3x2 x3 x4 4x

77 88. x1 x2 x3 x4 x , 2x1 x2 x3 2x4 x5 2, x 1 2x 2 x 3 x 4 3x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 x2 3x4 3x5 3, x 1 4x 2 3x 3 12x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 3x2 4x4 x5 2, x2 3x3 x4 2x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 2x2 x3 7x4 9x5 0, 3x 1 3x 3 6x 4 9x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 2x2 3x3 5x5 0, 3x1 x2 5x3 2x4 3x x1 x3 x4 x , 2x1 2x2 3x3 2x4 x5 2, 3x1 3x2 5x3 4x4 x x1 x3 x4 x5 4 1, 2x1 x2 4x3 2x4 2, 2x1 x2 6x3 6x4 4x x1 x2 x3 x4 x , x1 x2 2x3 2x4 4x5 2, 3x 2 x 3 4x 4 3x

78 96. x1 x2 x3 x4 x , 4x2 2x3 10x4 2x5 4, 3x1 2x2 7x3 x4 2x x1 x2 x3 x4 2 1, 2x1 x2 2x3 4x4 15x5 2, 2x1 2x2 3x3 x4 2x x1 x2 x3 x4 x5 4 3, 3x2 2x3 6x5 1, 2x 1 x 2 6x 3 x x1 x2 x3 x4 x , 2x1 x2 6x4 2x5 2, x 1 4x 2 3x 3 5x x1 x2 x3 x4 x5 3 0, 2x1 x2 4x4 x5 3, 6x1 3x2 3x3 x4 2x

79 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: ФИЗМАТЛИТ, с. 2. Кремер Н.Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справ. пособие для бакалавров / под ред. Н.Ш. Кремера. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Изд-во Юрайт, с. 3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. 4-е изд. М.: Айрис-пресс, с. 4. Плис А.И., Сливина Н.А. MATHCAD: Математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, с. 5. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Изд-во «Лаборатория базовых знаний», с. 79

80 Учебно методическое издание Иванова Александра Петровна РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Учебно-методическое пособие для студентов специальности «Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей» Подписано к печати Формат 6084/16 Усл. печ. л. 5,0 Тираж 100 экз. Изд Заказ УПЦ ГИ МГУПС (МИИТ), Москва, , ул. Образцова, д. 9, стр

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц.

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц. Введение Определители являются базовым инструментарием, который применяется в различных приложениях математики. Предмет изучения данной темы изучение понятия определителя, его свойств и способов вычисления,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Экономический факультет Л.С. Павлова МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ (отд. «Менеджмент») Москва 05 УДК 5.64 ББК.5.54я7 П Павлова Л.

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИП КАРАСЁВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рязань Министерство образования и науки Российской Федерации Рязанский

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Набор тестов для студентов очной формы обучения всех специальностей Автор

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1 Аннотация Матрицы. Виды матриц. Элементарные преобразования матриц. Линейные операции над матрицами (сравнение, сложение,

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие........................................................... 5 1. Элементы линейной алгебры............................................ 6 ИДЗ 1. Определители..............................................

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» http://ebibliobruby/xmlui/ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ

Подробнее

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Центр Дистанционного

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, ТС Соболева, НО Фастовец МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ Лекций ч. Практических занятий ч. Всего ч. Итоговый контроль экзамен. Проф., д.ф.-.м.н. Пантелеев Андрей Владимирович ЛИТЕРАТУРА. Беклемишев Д.В.

Подробнее

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц Пусть квадратная матрица порядка n Матрица, удовлетворяющая

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ матрица Для любой матрицы ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ a a an a a an am am amn a a am a a am, an an amn получающаяся из матрицы заменой строк соответствующими столбцами, а столбцов соответствующими строками,

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И.

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И. Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов Москва

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

«Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

«Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ Текстильный институт

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

Параллельные вычисления в. Библиотеки решения систем линейных уравнений. Параллельная реализация CPU / GPU

Параллельные вычисления в. Библиотеки решения систем линейных уравнений. Параллельная реализация CPU / GPU Параллельные вычисления в томографии Библиотеки решения систем линейных уравнений Параллельная реализация CPU / GPU Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса Дана система из s линейных

Подробнее

при неизвестных x a11 a12 составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы (1). Умножая первое уравнение системы (1) на a

при неизвестных x a11 a12 составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы (1). Умножая первое уравнение системы (1) на a Лекция 1 Определители 2-го и 3-го порядков При решении систем линейных уравнений а также в ряде других задач используются специальные математические выражения называемые определителями. Рассмотрим систему

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Ë. Ã. Áèðþêîâà, Ð. Â. Ñàãèòîâ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ПРАКТИКУМ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ АКАДЕМИЧЕСКОГО БАКАЛАВРИАТА Под общей редакцией Î. Â. Òàòàðíèêîâà Ðåêîìåíäîâàíî Ó åáíî-ìåòîäè åñêèì

Подробнее

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B:

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B: Лекция 3. Обратная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий обратимости матрицы. Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратных

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ»

Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» Общие сведения Действия над матрицами Определитель квадратной матрицы 4 Основные свойства определителей 5 Обратная матрица 6 Виды матриц 9 Ранг матрицы Метод окаймляющего

Подробнее

Методические указания по теме ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ курса Высшая математика для студентов специальности МЭО

Методические указания по теме ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ курса Высшая математика для студентов специальности МЭО Министерство образования Украины Одесский государственный университет Институт математики, экономики и механики Методические указания по теме ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ курса Высшая математика для студентов

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Кафедра Математика А.С.МИЛЕВСКИЙ. Конспект лекций. Москва

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Кафедра Математика А.С.МИЛЕВСКИЙ. Конспект лекций. Москва МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Кафедра Математика А.С.МИЛЕВСКИЙ

Подробнее

Математика (БкПл-100, БкК-100)

Математика (БкПл-100, БкК-100) Математика (БкПл-100, БкК-100) М.П. Харламов 2009/2010 учебный год, 2-й семестр Лекция 7. Определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера 1 Тема 1: Определители 1.1. Понятие определителя Определитель

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц Глава I. Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах.

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее