Базис. Координаты вектора в базисе
|
|
- Пётр Калошин
- 2 лет назад
- Просмотров:
Транскрипт
1 Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов в координатном представлении Общая декартова система координат Зависимость координат от выбора базиса и начала координат Матрица перехода и ее свойства Базис Координаты вектора в базисе Определение 0 Определение 0 Определение 0 Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор принадлежащий этой прямой Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара линейно независимых векторов принадлежащих этой плоскости Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка линейно независимых векторов Базис называется ортогональным если образующие его векторы попарно ортогональны (взаимно перпендикулярны) Ортогональный базис называется ортонормированным если образующие его векторы имеют единичную длину Пространственный базис составленный из произвольных линейно независимых векторов будем обозначать } Ортонормированный базис условимся обозначать как e e e }
2 Теорема 0 Пусть дан базис } тогда любой вектор x в пространстве может быть представлен и притом единственным образом в виде + + x где некоторые числа Доказательство Докажем вначале существование таких чисел Совместим начала всех векторов и x в точке O и проведем через конец вектора плоскости O (рис 0) x плоскость параллельную Рис 0 Построим новые векторы y и z так чтобы и x z + y а z были коллинеарны тогда в силу коллинеарности векторов z и имеем z Перенеся затем начало вектора y в точку O и рассуждая как при доказательстве теоремы 04 получим y + 4
3 и следовательно x + + что доказывает существование разложения Докажем единственность разложения по базису Пусть мы имеем + + x и допустим что существует другая тройка чисел таких что x + + Вычитая почленно эти равенства получаем ) + ( ) + ( ) ( o где в силу сделанного предположения о неединственности разложения > Но полученное неравенство означает что линейная комбинация ) + ( ) + ( ) ( нетривиальна векторы } линейно зависимы и следовательно не могут быть базисом в силу определения 0 Полученное противоречие доказывает единственность разложения Теорема доказана Определение 04 Числа коэффициенты в разложении + + x называются координа- 5
4 тами (или компонентами) вектора } x в базисе Для сокращенной записи координатного разложения вектора + + x используются формы: ( x ; ; ) ; ; ) 4 5 ( из которых в дальнейшем мы будем использовать последнюю В общем случае утверждение «вектор x в базисе } имеет координатное представление записывается как x (или координатный столбец)» но иногда если это не приводит к неоднозначности толкования будем использовать и сокращенную запись вида x Наконец если вектор x в базисе } на 6
5 плоскости может быть представлен как координатная запись имеет вид x x + Действия с векторами в координатном представлении то его Поскольку в конкретном базисе } каждый вектор полностью и однозначно описывается упорядоченной тройкой чисел своим координатным представлением то естественно возникает вопрос о том как выполняются операции с векторами в координатном представлении Оказывается что возможно не только записывать векторы при помощи матриц (столбцов) но и оперировать с ними в матричной форме поскольку правила действий с векторами в координатной форме совпадают с правилами соответствующих операций с матрицами Имеет место Теорема 0 В координатном представлении операции с векторами выполняются следующим образом: Сравнение векторов Два вектора + + x и y + + равны тогда и только тогда когда равны их координатные представления: x y или 7
6 Сложение векторов Координатное представление суммы двух векторов и x + + y + + равно сумме координатных представлений слагаемых x+ y x + y Умножение векторов на число Координатное представление произведения числа на вектор x + + равно произведению числа на координатное представление вектора x : x x Доказательство Поскольку рассуждения для всех трех пунктов аналогичны рассмотрим лишь правило сложения векторов в координатной форме По свойствам операций сложения и умножения на вещественное число векторов (теорема 0) имеем x+ y ( + + ) + ( + + ) 8
7 ( + ) ( + + ) + ( x + y + ) Теорема доказана Следствие 0 Координатное представление линейной комбинации µ x + y является той же линейной комбинацией координатных представлений векторов x и y : + µ + µ + µ + µ Рассмотрим теперь вопрос о том как в координатном представлении записываются условия линейной зависимости и независимости векторов Теорема 0 Для того чтобы два вектора x и y на плоскости были линейно зависимы необходимо и достаточно чтобы их координатные представления x 9
8 и y удовлетворяли условию det 0 Доказательство Докажем необходимость Пусть векторы x и y линейно зависимы тогда в силу леммы 0 имеет место равенство форме x y или в координатной Исключив из этих двух скалярных соотношений получим 0 но это и означает что det 0 Докажем достаточность Пусть det 0 имеем что тогда 0 ( при 0 ) то есть соот- ветствующие координаты векторов x и y пропорциональны что и доказывает линейную зависимость этих векторов Случай 0 предлагается рассмотреть самостоятельно Теорема доказана 0
9 Теорема 04 Для того чтобы три вектора в пространстве x y z} с координатными представлениями x y и были линейно зависимы необходимо и достаточно чтобы их координаты удовлетворяли условию det z 0 Доказательство Пусть линейная комбинация векторов x y z равна нуле- вому вектору то есть x+ y+ z o или в координатном представлении Это матричное равенство очевидно равносильно системе линейных уравнений с неизвестными
10 которая (согласно теореме Крамера теорема 06) имеет единственное решение тогда и только тогда когда определитель ее основной матрицы отличен от нуля Но с другой стороны очевидно что данная система всегда имеет нулевое (тривиальное) решение Значит условие det 0 равносильно системе равенств 0 что и доказывает утверждение теоремы Заметим что альтернативная версия доказательства приводится в теме 04: см замечанеи (перед теоремой 04) Теорема доказана Декартова система координат Определение 05 Определение 06 Совокупность базиса } и точки O в которую помещены начала всех базисных векторов называется общей декартовой системой координат и обозначается O } Система координат O e e e } порождаемая ортонормированным базисом называется нормальной прямоугольной (или ортонормированной) системой координат
11 Если задана система координат O } то произвольной точке M в пространстве можно поставить во взаимно однозначное соответствие вектор r начало которого находится в точке O а конец в точке M Определение 07 Вектор OM r называется радиусом-вектором точки M в системе координат O } Определение 08 Координаты радиуса-вектора точки M называются координатами точки M в системе координат O } Проиллюстрируем особенности использования векторнокоординатного описания геометрических объектов на примере решения следующих задач Задача 0 В некоторой общей декартовой системе координат } O заданы координаты радиусов-векторов точек M и N которые являются началом и концом век- тора MN Требуется найти координаты вектора MN Решение Решение очевидно из рис 0 и свойств координат векторов Пусть OM и ON
12 Тогда имеем MN ON OM OM + MN ON и Окончательно Рис 0 MN Задача 0 В некоторой общей декартовой системе координат O } заданы координаты несовпадающих точек M и M для которых соответственно OM и OM Требуется найти точку M такую что M M MM Решение Заметим что может принимать любое значение кроме при котором точка M «уходит в бесконечность» (рис 0) Найдем радиус-вектор точки M Из соотношений в треугольниках M OMM получаем OM и OM + M M OM + MM OM; OM 4
13 Рис 0 но так как M M MM то OM OM и окончательно OM OM + ( OM + + OM ) OM Откуда радиус-вектор точки M согласно правилам действия с векторами в координатах (см теорему 0) равен OM Замечание: к задаче 0 сводится задача отыскания центра масс системы материальных точек Изменение координат при замене базиса и начала координат Поскольку выбор системы координат может быть сделан различными способами вопрос об изменении координат при переходе от одного базиса к другому и замене начала координат представляет значительный практический интерес 5
14 Найдем правила выражающие зависимость координат произвольной точки пространства заданных в одной системе координат от координат этой же точки в другой декартовой системе координат Пусть даны две произвольные декартовы системы координат: старая O } и новая } O (рис 04) Выразим векторы нового базиса а также вектор O O через векторы старого базиса В силу теоремы 0 это можно сделать всегда и притом единственным образом: Тогда справедлива OO β β β (0) Теорема 05 Координаты произвольной точки в старой системе координат связаны с ее координатами в новой соотношениями β + β + β (0) Доказательство Пусть некоторая точка M в O } старой системе имеет координаты а в новой } O 6
15 соответственно Найдем связь между старыми и новыми координатами точки M Имеют место соотношения + + OM и O M ( + ( + ( ) + ) + ) Подставив выражения для векторов OM O M и O O в равенство Рис 04 OM O M + OO где и перегруппировав слагаемые получим соотношение вида + + o β + β + β 7
16 Поскольку векторы } линейно независимые то их линейная комбинация равная o обязана быть тривиальной и потому или окончательно β + β + β Теорема доказана Определение 09 Формулы (0) называются формулами перехода от системы координат O } к системе координат } O При использовании формул перехода следует обратить внимание на то что «штрихованные» переменные в (0) и (0) находятся в разных частях этих равенств Заметим также что коэффициенты уравнений в формулах (0) выражающих старые координаты через новые образуют матрицу S столбцы которой есть координаты новых базисных векторов в старом базисе а столбец начала координат в старом базисе β β β содержит координаты нового 8
17 Определение 00 Матрица S называется матрицей перехода от базиса } } к базису Теорема 06 Для матрицы перехода det 0 Доказательство Столбцы матрицы образованы коэффициентами разложения линейно независимых векторов базиса } по векторам базиса из теоремы 0 следует доказываемое утверждение } Тогда Теорема доказана Задача 0 На параллелограмме построены две системы координат: O и новая } старая } O (рис 05) 9
18 Решение Найти формулы перехода выражающие новые координаты через старые если Рис 05 O O и Из свойств параллелограмма находим соотношения выражающие векторы старого базиса через новые : + Тогда матрица перехода S 0 Следовательно выражения новых координат через старые имеют вид + + а β β 0 Формулы перехода между ортонормированными системами координат на плоскости Рассмотрим две ортонормированные (прямоугольные) системы координат e e } O e случая показанного на рис 06 O и e } Из геометрически очевидных соотношений Получим формулы перехода для e e cosϕ + e sin ϕ и e e sin ϕ + e cosϕ получаем матрицу перехода: 40
19 S cosϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ O β и если O β то старые координаты будут связаны с новыми как cos ϕ sin ϕ + β sin ϕ + cos ϕ + β (0) Рис 06 В рассмотренном случае обе системы координат удается совместить последовательным выполнением параллельного переноса старой системы на вектор O O и поворота на угол ϕ вокруг точки O Однако добиться такого совмещения используя только параллельный перенос и поворот вообще говоря нельзя Соответствующий случай показан на рис 07 Здесь после совмещения векторов e Рис 07 и e еще потребуется отражение вектора e симметрично относительно прямой проходящей через совмещенные векторы Формулы перехода будут в этом случае иметь вид cos ϕ + sin ϕ + β sin ϕ cos ϕ + β (04) 4
20 Формально случаи показанные на рис 06 и рис 07 можно различать используя Определение 0 Упорядоченная пара неколлинеарных векторов a и b на плоскости с совмещенными началами называется правоориентированной если кратчайший поворот от вектора a к вектору b при совмещении их начал виден выполняющимся против часовой стрелки В противном случае эта пара векторов называется левоориентированной Отметим что для матрицы перехода S связывающей два ортонормированных базиса det ± S причем det S если ориентация обеих пар базисных векторов одинаковая (то есть если отражения не требуется) и det S для случая базисных пар различной ориентации 4
L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости
Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы
6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат
6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения
Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.
Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки
Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.
a b, a если векторы имеют противоположное направление, то
ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают
Введение в линейную алгебру
Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя
Лекция 6. Геометрические векторы.
Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.
6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов
Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В
называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис
Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения
Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число
Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до
Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов
Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного
8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.
1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения
ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором
0.5 setgray0 0.5 setgray1
0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой
Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:
Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному
Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор
Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком
Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M
Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между
Преобразование АСК на плоскости Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1
Лекция 9 Тема: Преобразование координат Полярные координаты План лекции Преобразование АСК на плоскости Преобразование ПДСК на плоскости 3 Полярные координаты 4 Переход от полярной системы к присоединенной
A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.
Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных
Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.
Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему
ГЛАВА 1. Проективная геометрия
ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено
Уравнения прямой и плоскости
Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется
Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра
Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса
9. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
9 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 9 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК Пусть в пространстве фиксирована точка O Совокупность точки O и базиса называется аффинной (декартовой)
Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.
Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор
0.5 setgray0 0.5 setgray1
0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî
Векторное и смешанное произведение векторов
Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих
Действия с направленными отрезками
Тема 0. Направленные отрезки. Операции с направленными отрезками: сравнение, сложение и умножение на число. Множество векторов. Свойства линейных операций с векторами. Коллинеарность и компланарность.
ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
) - с координатами O M в O x
Преобразования на плоскости Преобразования в пространстве 3 Выражение направляющих косинусов в матричной форме Преобразования на плоскости Пусть на плоскости координат Oxy и O. P заданы две правые декартовы
Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты
Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные
7. Понятие линейного пространства
7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,
Основы векторной алгебры
) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе
Лекция 6: Система координат. Координаты точки
Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы
Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);
Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины
Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K
Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются
5. Система координат. Координаты точки
5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)
Тема 1-13: Скалярное произведение векторов
Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия
3.4 Векторы. Метод координат
3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 167 3.4 Векторы. Метод координат 3.4.1 Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства
0.5 setgray0 0.5 setgray1
0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Проекция вектора на ось Дадим определение. Определение 4. Осью называется прямая, на которой указано направление. Рис. 1. Ось. Пусть A и B это
Решение типовых задач к разделу «Матрицы»
Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =
4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами
4 Векторная алгебра 73 41 Определение вектора и линейные операции над векторами Пару точек A и B будем называть упорядоченной если известно какая из них первая а какая - вторая Определение 41 Отрезок концы
Глава II. Векторная алгебра.
Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный
5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах
49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный
Линейная алгебра Лекция 7. Векторы
Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление
«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.
Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной
По дисциплине «Линейная алгебра»
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНО УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет вычислительной
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве
Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа
определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.
Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,
ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.
ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных
0.5 setgray0 0.5 setgray1
0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го
Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.
Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция
КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I
Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» О. В. Шереметьева КРАТКИЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ Часть I Учебно-методическое пособие Петропавловск-Камчатский
Геометрические векторы
Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его
Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.
Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых
Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.
Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат
13. Билинейные и квадратичные функции
95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих
Лекция 4: Векторное произведение векторов
Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
4. Координаты вектора
4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют
1. Требования к знаниям, умениям, навыкам
ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:
Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.
Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между
пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1
Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî
0.5 setgray0 0.5 setgray1
0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 8 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ 1. Различные уравнения прямой в пространстве Уравнение прямой в векторной параметрической форме было получено нами в предыдущей лекции:
2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.
ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы
Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.
Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.
Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра
Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов
Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.
ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем
Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть
Министерство образования Российской Федерации
Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть
Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось
Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические
10. Линейные операторы
35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций
23. Базис векторного пространства
Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление
2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.
Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )
ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА
ЛЕКЦИЯ 6 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИ- НЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОСНОВНАЯ ЛЕММА О ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙ- НОГО ПРОСТРАНСТВА РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 1 ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ И ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
Лекция 8: Плоскость. Б.М.Верников. Уральский федеральный университет,
Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Эта лекция посвящена изучению плоскости. Излагаемый в ней материал
ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.
ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим
Элементы высшей математики
Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости
Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения
Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия
Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых
Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по
Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка
Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)
^A на плоскости, и { } 1
Линейные операторы в конечномерных пространствах Будем для простоты рассматривать линейные операторы в линейном пространстве, образованном множеством векторов на плоскости (пространство двух измерений
Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса
Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема
Лекция 2: Линейные операции над векторами
Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению
n = или k = k n называется единичным вектором
Лекция 5 Тема: Кривизна и кручение кривой Репер Френе План лекции Кривизна кривой Кручение кривой Репер Френе Формулы Френе Натуральные уравнения кривой Кривизна кривой Соприкасающаяся плоскость Пусть
МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Б.В. Заятуев
МНОГОМЕРНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В пособии изложены необходимые теоретические сведения из линейной алгебры и многомерной геометрии базовые примеры с подробными решениями и задачи для самостоятельного
Коллоквиум по аналитической геометрии
Коллоквиум по аналитической геометрии Решения 07/11/2013 Напоминание некоторых обозначений. f : A B: f функция с областью определения A и областью значений B. Z, Q, R множества целых, рациональных, и действительных