Базис. Координаты вектора в базисе

Транскрипт

1 Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов в координатном представлении Общая декартова система координат Зависимость координат от выбора базиса и начала координат Матрица перехода и ее свойства Базис Координаты вектора в базисе Определение 0 Определение 0 Определение 0 Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор принадлежащий этой прямой Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара линейно независимых векторов принадлежащих этой плоскости Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка линейно независимых векторов Базис называется ортогональным если образующие его векторы попарно ортогональны (взаимно перпендикулярны) Ортогональный базис называется ортонормированным если образующие его векторы имеют единичную длину Пространственный базис составленный из произвольных линейно независимых векторов будем обозначать } Ортонормированный базис условимся обозначать как e e e }

2 Теорема 0 Пусть дан базис } тогда любой вектор x в пространстве может быть представлен и притом единственным образом в виде + + x где некоторые числа Доказательство Докажем вначале существование таких чисел Совместим начала всех векторов и x в точке O и проведем через конец вектора плоскости O (рис 0) x плоскость параллельную Рис 0 Построим новые векторы y и z так чтобы и x z + y а z были коллинеарны тогда в силу коллинеарности векторов z и имеем z Перенеся затем начало вектора y в точку O и рассуждая как при доказательстве теоремы 04 получим y + 4

3 и следовательно x + + что доказывает существование разложения Докажем единственность разложения по базису Пусть мы имеем + + x и допустим что существует другая тройка чисел таких что x + + Вычитая почленно эти равенства получаем ) + ( ) + ( ) ( o где в силу сделанного предположения о неединственности разложения > Но полученное неравенство означает что линейная комбинация ) + ( ) + ( ) ( нетривиальна векторы } линейно зависимы и следовательно не могут быть базисом в силу определения 0 Полученное противоречие доказывает единственность разложения Теорема доказана Определение 04 Числа коэффициенты в разложении + + x называются координа- 5

4 тами (или компонентами) вектора } x в базисе Для сокращенной записи координатного разложения вектора + + x используются формы: ( x ; ; ) ; ; ) 4 5 ( из которых в дальнейшем мы будем использовать последнюю В общем случае утверждение «вектор x в базисе } имеет координатное представление записывается как x (или координатный столбец)» но иногда если это не приводит к неоднозначности толкования будем использовать и сокращенную запись вида x Наконец если вектор x в базисе } на 6

5 плоскости может быть представлен как координатная запись имеет вид x x + Действия с векторами в координатном представлении то его Поскольку в конкретном базисе } каждый вектор полностью и однозначно описывается упорядоченной тройкой чисел своим координатным представлением то естественно возникает вопрос о том как выполняются операции с векторами в координатном представлении Оказывается что возможно не только записывать векторы при помощи матриц (столбцов) но и оперировать с ними в матричной форме поскольку правила действий с векторами в координатной форме совпадают с правилами соответствующих операций с матрицами Имеет место Теорема 0 В координатном представлении операции с векторами выполняются следующим образом: Сравнение векторов Два вектора + + x и y + + равны тогда и только тогда когда равны их координатные представления: x y или 7

6 Сложение векторов Координатное представление суммы двух векторов и x + + y + + равно сумме координатных представлений слагаемых x+ y x + y Умножение векторов на число Координатное представление произведения числа на вектор x + + равно произведению числа на координатное представление вектора x : x x Доказательство Поскольку рассуждения для всех трех пунктов аналогичны рассмотрим лишь правило сложения векторов в координатной форме По свойствам операций сложения и умножения на вещественное число векторов (теорема 0) имеем x+ y ( + + ) + ( + + ) 8

7 ( + ) ( + + ) + ( x + y + ) Теорема доказана Следствие 0 Координатное представление линейной комбинации µ x + y является той же линейной комбинацией координатных представлений векторов x и y : + µ + µ + µ + µ Рассмотрим теперь вопрос о том как в координатном представлении записываются условия линейной зависимости и независимости векторов Теорема 0 Для того чтобы два вектора x и y на плоскости были линейно зависимы необходимо и достаточно чтобы их координатные представления x 9

8 и y удовлетворяли условию det 0 Доказательство Докажем необходимость Пусть векторы x и y линейно зависимы тогда в силу леммы 0 имеет место равенство форме x y или в координатной Исключив из этих двух скалярных соотношений получим 0 но это и означает что det 0 Докажем достаточность Пусть det 0 имеем что тогда 0 ( при 0 ) то есть соот- ветствующие координаты векторов x и y пропорциональны что и доказывает линейную зависимость этих векторов Случай 0 предлагается рассмотреть самостоятельно Теорема доказана 0

9 Теорема 04 Для того чтобы три вектора в пространстве x y z} с координатными представлениями x y и были линейно зависимы необходимо и достаточно чтобы их координаты удовлетворяли условию det z 0 Доказательство Пусть линейная комбинация векторов x y z равна нуле- вому вектору то есть x+ y+ z o или в координатном представлении Это матричное равенство очевидно равносильно системе линейных уравнений с неизвестными

10 которая (согласно теореме Крамера теорема 06) имеет единственное решение тогда и только тогда когда определитель ее основной матрицы отличен от нуля Но с другой стороны очевидно что данная система всегда имеет нулевое (тривиальное) решение Значит условие det 0 равносильно системе равенств 0 что и доказывает утверждение теоремы Заметим что альтернативная версия доказательства приводится в теме 04: см замечанеи (перед теоремой 04) Теорема доказана Декартова система координат Определение 05 Определение 06 Совокупность базиса } и точки O в которую помещены начала всех базисных векторов называется общей декартовой системой координат и обозначается O } Система координат O e e e } порождаемая ортонормированным базисом называется нормальной прямоугольной (или ортонормированной) системой координат

11 Если задана система координат O } то произвольной точке M в пространстве можно поставить во взаимно однозначное соответствие вектор r начало которого находится в точке O а конец в точке M Определение 07 Вектор OM r называется радиусом-вектором точки M в системе координат O } Определение 08 Координаты радиуса-вектора точки M называются координатами точки M в системе координат O } Проиллюстрируем особенности использования векторнокоординатного описания геометрических объектов на примере решения следующих задач Задача 0 В некоторой общей декартовой системе координат } O заданы координаты радиусов-векторов точек M и N которые являются началом и концом век- тора MN Требуется найти координаты вектора MN Решение Решение очевидно из рис 0 и свойств координат векторов Пусть OM и ON

12 Тогда имеем MN ON OM OM + MN ON и Окончательно Рис 0 MN Задача 0 В некоторой общей декартовой системе координат O } заданы координаты несовпадающих точек M и M для которых соответственно OM и OM Требуется найти точку M такую что M M MM Решение Заметим что может принимать любое значение кроме при котором точка M «уходит в бесконечность» (рис 0) Найдем радиус-вектор точки M Из соотношений в треугольниках M OMM получаем OM и OM + M M OM + MM OM; OM 4

13 Рис 0 но так как M M MM то OM OM и окончательно OM OM + ( OM + + OM ) OM Откуда радиус-вектор точки M согласно правилам действия с векторами в координатах (см теорему 0) равен OM Замечание: к задаче 0 сводится задача отыскания центра масс системы материальных точек Изменение координат при замене базиса и начала координат Поскольку выбор системы координат может быть сделан различными способами вопрос об изменении координат при переходе от одного базиса к другому и замене начала координат представляет значительный практический интерес 5

14 Найдем правила выражающие зависимость координат произвольной точки пространства заданных в одной системе координат от координат этой же точки в другой декартовой системе координат Пусть даны две произвольные декартовы системы координат: старая O } и новая } O (рис 04) Выразим векторы нового базиса а также вектор O O через векторы старого базиса В силу теоремы 0 это можно сделать всегда и притом единственным образом: Тогда справедлива OO β β β (0) Теорема 05 Координаты произвольной точки в старой системе координат связаны с ее координатами в новой соотношениями β + β + β (0) Доказательство Пусть некоторая точка M в O } старой системе имеет координаты а в новой } O 6

15 соответственно Найдем связь между старыми и новыми координатами точки M Имеют место соотношения + + OM и O M ( + ( + ( ) + ) + ) Подставив выражения для векторов OM O M и O O в равенство Рис 04 OM O M + OO где и перегруппировав слагаемые получим соотношение вида + + o β + β + β 7

16 Поскольку векторы } линейно независимые то их линейная комбинация равная o обязана быть тривиальной и потому или окончательно β + β + β Теорема доказана Определение 09 Формулы (0) называются формулами перехода от системы координат O } к системе координат } O При использовании формул перехода следует обратить внимание на то что «штрихованные» переменные в (0) и (0) находятся в разных частях этих равенств Заметим также что коэффициенты уравнений в формулах (0) выражающих старые координаты через новые образуют матрицу S столбцы которой есть координаты новых базисных векторов в старом базисе а столбец начала координат в старом базисе β β β содержит координаты нового 8

17 Определение 00 Матрица S называется матрицей перехода от базиса } } к базису Теорема 06 Для матрицы перехода det 0 Доказательство Столбцы матрицы образованы коэффициентами разложения линейно независимых векторов базиса } по векторам базиса из теоремы 0 следует доказываемое утверждение } Тогда Теорема доказана Задача 0 На параллелограмме построены две системы координат: O и новая } старая } O (рис 05) 9

18 Решение Найти формулы перехода выражающие новые координаты через старые если Рис 05 O O и Из свойств параллелограмма находим соотношения выражающие векторы старого базиса через новые : + Тогда матрица перехода S 0 Следовательно выражения новых координат через старые имеют вид + + а β β 0 Формулы перехода между ортонормированными системами координат на плоскости Рассмотрим две ортонормированные (прямоугольные) системы координат e e } O e случая показанного на рис 06 O и e } Из геометрически очевидных соотношений Получим формулы перехода для e e cosϕ + e sin ϕ и e e sin ϕ + e cosϕ получаем матрицу перехода: 40

19 S cosϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ O β и если O β то старые координаты будут связаны с новыми как cos ϕ sin ϕ + β sin ϕ + cos ϕ + β (0) Рис 06 В рассмотренном случае обе системы координат удается совместить последовательным выполнением параллельного переноса старой системы на вектор O O и поворота на угол ϕ вокруг точки O Однако добиться такого совмещения используя только параллельный перенос и поворот вообще говоря нельзя Соответствующий случай показан на рис 07 Здесь после совмещения векторов e Рис 07 и e еще потребуется отражение вектора e симметрично относительно прямой проходящей через совмещенные векторы Формулы перехода будут в этом случае иметь вид cos ϕ + sin ϕ + β sin ϕ cos ϕ + β (04) 4

20 Формально случаи показанные на рис 06 и рис 07 можно различать используя Определение 0 Упорядоченная пара неколлинеарных векторов a и b на плоскости с совмещенными началами называется правоориентированной если кратчайший поворот от вектора a к вектору b при совмещении их начал виден выполняющимся против часовой стрелки В противном случае эта пара векторов называется левоориентированной Отметим что для матрицы перехода S связывающей два ортонормированных базиса det ± S причем det S если ориентация обеих пар базисных векторов одинаковая (то есть если отражения не требуется) и det S для случая базисных пар различной ориентации 4