6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами."

Транскрипт

1 Лекция 6. Классификация точек покоя линейной системы двух уравнений с постоянными действительными коэффициентами. Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными действительными коэффициентами d = + y dt () dy = + y dt Точка покоя этой системы начало координат = y =. Характеристическое уравнение имеет вид: λ = λ λ + λ+ λ λtr A+ det A= ( ) ( ) При решении последнего уравнения возможны следующие варианты. ) Вещественные различные ненулевые собственные значения. В этом случае в некоторой системе координат общее решение системы () имеет вид λt λt = Ce, y = Ce, где t = ln y = C λ C C λ λ. >, < λ λ λ λ λt λt а) Пусть λ < λ <, тогда = Ce, y = Ce, y= C t + t + C Точка покоя = y = устойчивый узел асимптотически устойчива. >, > λ λ λ λ λt λt б) Пусть < λ < λ, тогда = Ce, y = Ce, y = C t + t + C Точка покоя = y = неустойчивый узел неустойчива. λ ( < ) λ λt λt в) Пусть λ < < λ, тогда = Ce, y = Ce, y = C. t + t + C Точка покоя = y = седло неустойчива. Траектории решений системы () вблизи точек покоя представлены на рисунке...

2 устойчивый узел неустойчивый узел седло ) Комплексно сопряженные собственные значения λ = α + iβ, λ = α iβ. Тогда в некоторой системе координат общее решение рассматриваемой системы () αt αt y αt = Ce cos βt, y= Ce sin βt + = e. C C а) Пусть α <, тогда точка покоя = y = устойчивый фокус асимптотически устойчива. б) Пусть α >, тогда точка покоя = y = неустойчивый фокус неустойчива. в) Пусть α =, тогда точка покоя = y = центр устойчива, но не асимптотически. Траектории решений системы () вблизи точек покоя представлены на рисунке. устойчивый фокус неустойчивый фокус центр 3) Простые кратные собственные значения λ = λ = λ. Тогда общее решение рассматриваемой системы () имеет вид = Ce y= Ce y=. λt λt C, C а) Пусть λ <, тогда точка покоя = y = устойчивый дикритический узел асимптотически устойчива. б) Пусть λ >, тогда точка покоя = y = неустойчивы дикритический узел неустойчива. 4) Непростые кратные собственные значения λ = λ = λ. В этом случае общее решение системы () выглядит так: λt λt C = Ce, y = ( C + Ct ) e, где t = ln y = C ln λ C + λ C C а) Пусть λ <, тогда точка покоя = y = устойчивый вырожденный узел

3 асимптотически устойчива. б) Пусть λ >, тогда точка покоя = y = неустойчивый вырожденный узел неустойчива. Траектории решений системы () вблизи точек покоя представлены на рисунке. дикритический узел вырожденный узел нулевое с.з. 5) Пусть имеется нулевое собственное значение λ, λ =. Тогда решение () имеет вид λt = Ce, y= C. 7. Консервативная механическая система с одной степенью свободы. Консервативная механическая система с одной степенью свободы (без трения) описывается уравнением второго порядка = f( ), () Где f ( ) - функция класса C (, b ). Тогда функция ( ) = ( ξ) ξ, (, ) U f d c b () c называется потенциальной энергией механической системы. Уравнение второго порядка () эквивалентно системе уравнений = = f = U. (3) ( ) ( ) Непрерывность производной f ( ) обеспечивает, в силу соответствующих теорем, существование и единственность решения задачи Коши для системы уравнений (3). Положению равновесия = уравнения () соответствует точке покоя =, = системы уравнений (3). Положение равновесия = уравнения () является также стационарной точкой потенциальной энергии U( ). В самом деле, если = положение равновесия, то f( ) = и, в силу (), U ( ) f( ) =. В случае, когда является точкой строгого экстремума потенциальной энергии U( ), имеет место следующая теорема. Теорема. Пусть f ( ) - функция класса C (, b ). Тогда, ) если = - точка строгого минимума потенциальной энергии U( ), то положение

4 равновесия =, = системы уравнений (3) устойчиво по Ляпунову; ) если = - точка строгого максимума потенциальной энергии U( ) и f ( ) >, то положение равновесия =, = системы уравнений (3) неустойчиво. Доказательство. Без ограничения общности можно считать =, так как этого всегда можно добиться заменой переменных y =. Пусть = - точка строгого минимума потенциальной энергии, тогда в некоторой окрестности этой точки имеет место U( ) > U() при. Рассмотрим функцию V (, ) = U( ) U( ) + - полная энергия механической системы. Тогда V V + ( U ( ) ) =, следовательно, в силу леммы Ляпунова, положение равновесия =, = устойчиво по Ляпунову. Пусть = - точка строгого максимума потенциальной энергии U( ) и f () >, тогда U () =, U () = f () < и ( ) ( ) ( ) ( ) U = U + U + U θ = U ( ) f ( θ), < θ <. Система (3) принимает вид где ( ) ( ) = f ( θ ) ( ) F ( ) ( ) =, = U + F, (4) F = f θ, и при достаточно малых имеет место оценка Линеаризуем систему уравнений (4): F ( ) M. =, = U ( ). Матрица системы A = U () имеет действительные собственные значения λ =± U (), одно из которых положительно. Поэтому, в силу теоремы о неустойчивости, положение равновесия =, =. Теорема доказана. 3амечание. Как видно из доказательства, первое утверждение теоремы остается справедливым также в случае, когда f ( ) - функция класса C (, b ). Можно показать, что и второе утверждение теоремы остается верным при этих же предположениях. 8. Фазовая плоскость для нелинейного автономного уравнения -го порядка.. Постановка задачи. Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение = f ( ) () Это уравнение эквивалентно следующей нормальной системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка: ( ) ( ) =, = f = U () Точки покоя этой системы ДУ определяются из системы алгебраических уравнений

5 Пусть уравнение =. f ( ) = f ( ) = (3) имеет n корней = i, i =,,..., n. Тогда точки ( i,) фазовой плоскости (, ) являются точками покоя системы (). Ниже будем предполагать, что корни уравнения (3) простые, т.е. f ( i ), i =,,..., n. На практике бывает нужно не только исследовать устойчивость точек покоя, но и знать расположение всего множества траекторий на фазовой плоскости. Напомним, что фазовой траекторией называется проекция интегральной кривой на фазовую плоскость. Фазовые траектории могут быть эффективно использованы для качественного описания поведения решения. Для уравнения вида () это описание будет достаточно простым и полным. Кроме того, оказывается, что расположение фазовых траекторий в малой окрестности точек покоя уравнения () полностью аналогично расположению фазовых траекторий для линеаризованного уравнения () (линеаризованной системы ()).. Система первого приближения. Выберем одну из точек = i и разложим функцию f ( ) в ряд Тейлора в окрестности этой точки с точностью до членов первого порядка f ( ) = f + i f i i + ο i. ( ) ( ) ( ) ( ) = Сохраним в правой части системы () только линейные слагаемые и получим ( )( ), f i i = = - систему первого приближения. Обозначим i =. В новых переменных (, ) исследование точки покоя, =, сводится к исследованию точки покоя (, ) = (,) системы ( ) ( i ) ( ), i = = f. Исследуем характеристические числа этой системы. Корни характеристического уравнения λ = λ f ( ) = λ = ± i, f ( i ). f λ ( i ) Если ( i ) ( i ) f >, то характеристические числа действительные и разных знаков, если f <, то характеристические числа чисто мнимые. В первом случае из теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению следует, что соответствующая точка покоя системы () является неустойчивой. Во втором случае эта теорема ответ об устойчивости не дает. Для системы первого приближения в случае действительных λ, разных знаков точка покоя является седлом, а в случае чисто мнимых λ, - центром. Эта классификация переносится и на систему () и уравнение (). 3. Фазовые траектории. В области > фазовый портрет системы (), а, следовательно, и уравнения () образуют фазовые траектории, являющиеся интегральными кривыми уравнения d = f( ) (4) d

6 Переменные в уравнении (4) разделяются d = f ( ) d, откуда = fd () + C или = + f( ) d C. Аналогично, в области <, = f( ) d + C. Очевидно, что при каждом C интегральные кривые, если они существуют, расположены симметрично относительно оси на фазовой плоскости. Фазовые траектории уравнения (4), проходящие через точки покоя типа седла, называют сепаратрисами. Можно показать, что движение точки фазовой плоскости по сепаратрисам, проходящим через данное,, происходит так, что точка приближается к этому седлу при t + или при седло ( ) t. виде Уравнения сепаратрис, проходящих через седловую точку (,) =±, удобно записывать в f( s) ds. (5) Отметим, что в силу автономности уравнения () и единственности решения задачи Коши для этого уравнения, через каждую точку (, ) фазовой плоскости может проходить только одна фазовая траектория, откуда следует, что фазовые траектории уравнения () не пересекаются. Точки покоя не могут лежать на фазовых траекториях системы, поскольку они сами являются решениями системы, и таким образом, будет нарушена единственность решения системы. Фазовые траектории могут лишь стремиться к указанным точкам при t + или при t. Если начальное условие задачи Коши соответствует точке покоя, то решение не меняется при изменении t, оставаясь этой точкой покоя. 4. Примеры решения задач. Пример. Уравнение с квадратичной нелинейностью. d Рассмотрим уравнение вида = ( ) f ( ), где >. Это уравнение dt эквивалентно системе ОДУ -го порядка: ( ) =, = (6) Корни =, = уравнения f( ) = определяют две точки покоя системы (6) (, ) = (,) и (, ) = (,). Причем, f ( ) = > ; f ( ) = <, поэтому (, ) - точка покоя - седло, (,) - точка покоя - центр. Получим явное выражение для фазовых траекторий системы (6). В соответствии с п. 3, = ( d ) + C= U ( ) + C, 3 где U () =. 3 Тогда уравнения фазовых траекторий описываются формулой =± ( ) d + C =± U( ) + C. (7) Графики функции ( ) f и ее первообразных при различных значениях C, а также фазовые портрет для системы (6) изображены на рисунках - 3.

7 рис. f() S S 3 = ( ) + f d C рис. 3 рис. 3 3 На рисунке показана функция f ( ). На рисунке представлены различные первообразные функции f ( ): = fd () + C= U () + C. Черным цветом выделена первообразная, соответствующая сепаратрисе. Значение этой первообразной в каждой точке численно равно площади под кривой f ( ), изображенной на рисунке. Здесь мы полагаем значение площади под графиком f ( ) положительным при f( ) > и отрицательным при f ( ) <. В области положительных значений функция возрастает до тех пор, пока f( ) >. В точке = график f ( ) проходит через ноль и затем становится меньше нуля, т.е. начинает убывать.

8 Когда площади S и S сравняются по абсолютной величине, U ( ) = обратится в нуль. Соответствующее значение = можно определить из уравнения 3 ( d ) = ( ) d, то есть ( ) d =. Это точка =. Дальше в область положительных значений сепаратрису продолжить нельзя, так как может принимать только неотрицательные значения. В области отрицательных значений функция = fds () принимает положительные значения при f ( ) < и, следовательно, U ( ) = существует при всех отрицательных. На рисунке 3 черным цветом показаны сепаратрисы седла (, ). На фазовой плоскости (рис.3) сепаратриса, расположенная в правой полуплоскости, образует так называемую петлю. Стрелками показано направление движения точки по фазовой траектории при изменении t. d Это направление можно определить, исходя из следующих соображений: если = >, то dt возрастает, т.е. движение происходит направо. Будем изменять значение C. При увеличении C кривая (график первообразной) на рисунке приподнимается (синий цвет). Формула (7) определяет незамкнутые фазовые траектории, которые продолжаются вправо до некоторой точки, лежащей правее. При уменьшении C кривая на рисунке опускается и её положительная часть будет состоять из двух отдельных кривых (красный цвет). Формула (7) определяет в правой полуплоскости замкнутые траектории, стягивающиеся с уменьшением C к точке покоя (,). Эти замкнутые траектории соответствуют периодическим движениям. В левой полуплоскости рис. 3 формула (7) определяет незамкнутые траектории. Задача. При каких значениях разрешима краевая задача d = ( ), ( ) =, ( ) =. dt Решение. Согласно п. 3, точка фазовой плоскости, двигаясь по сепаратрисе седла (, ), приближается к этому седлу либо при t +, либо при t. Поэтому разрешима при тех, которым соответствует точка фазовой плоскости, лежащая на сепаратрисе, входящей в точку покоя (, ). Подберем значение ( ) = z ( ) так, чтобы точка (, ( ) ) фазовой плоскости находилась на сепаратрисе. Тогда, двигаясь по сепаратрисе от точки (, ( ) ) в направлении t +, она будет приближаться к точке (, ) при t При < и = задача имеет единственное решение. Если < <, то задача имеет два решения, так как каждому, лежащему внутри петли, соответствует два значения ( ) таких, что точка (, ( ) ) лежит на петле, то есть на сепаратрисе, входящей в точку 3 покоя (, ). В случае >, очевидно, решений краевой задачи нет. Пример. Уравнение с кубической нелинейностью. В этом случае в зависимости от вида функции f ( ) могут представиться следующие варианты.

9 а) Симметричный случай - ячейка на фазовой плоскости. Построим фазовый портрет уравнения d = f () ( ). dt f ( ) = = =, = ±. Определим точки покоя: ( ) рис.4 f() S S S - S рис.5 - рис.6 - На рис.4 показан график функции () = ( ) f. Найдем по этому графику знак

10 производной f в точках покоя =, =± : f ( ) <, f ( ± ) >. Поэтому, согласно 5, точка (, ) - центр, а точки (,) и (,) - сёдла. 4 Запишем уравнения первообразных = fd () = + C (рис. 5). Заметим, 4 что функция f ( ) - нечетная, значит её первообразная - функция четная, и фазовый портрет будет симметричным относительно оси ординат. В силу симметрии имеем f ( s) ds = f ( s) ds, и уравнения сепаратрис седловых точек (,) и (,) можно записать в одной формулой: =± f( ) ds. На рисунке 6 сепаратрисы выделены черным цветом. Сепаратрисы и оказываются общими для обоих сёдел. В этом случае говорят, что сепаратрисы и образуют ячейку на фазовой плоскости. Будем изменять значение C. При увеличении C график первообразной приподнимается над осью OY. Соответствующая фазовая траектория будет определена на всей вещественной оси (рис.6, синий цвет). Если уменьшать значение C, то график первообразной опускается относительно оси OY, и область неотрицательных значений U ( ) = будет состоять из трех промежутков (рис.5, кривые красного цвета). Внутри промежутка < < этим значениям C соответствуют замкнутые фазовые траектории, а при > - незамкнутые фазовые траектории (рис.6, кривые красного цвета). При больших по абсолютной величине отрицательных значениях C функция U () = принимает неотрицательные значения только если достаточно велико. Этим значениям C соответствуют незамкнутые фазовые траектории, обозначенные на рисунке 6 сиреневым цветом. б) Несимметричный случай. Построим фазовый портрет уравнения d = f () ( + )( ), < <. dt Точки покоя этого уравнения: =, =, =. На рисунке 7 показан график функции f ( ) = ( + ) ( ). Определим по этому графику знак производной f для каждого значения, соответствующего точкам покоя: f ( ) ( ) <, f >, f ( ) >. Следовательно, точка (, ) - точка покоя центр, а точки (, ) и (,) - сёдла. На рисунке 8 изображены графики первообразных = fd () + C. При достаточно больших C > график первообразной приподнимется над осью OY (кривые синего цвета). Если значение C уменьшается, то график первообразной опускается. Сиреневым цветом показана первообразная = fsds. () Она касается оси OY в точке ( ). На фазовой плоскости (рис.9) ей соответствуют сепаратрисы седла ( ),,. Сепаратрисы седла (,) описываются уравнением =± ( ) f s ds и изображены на фазовой плоскости (рис.9) черным цветом. В остальном рассмотрение фазового портрета

11 аналогично случаю с квадратичной нелинейностью. рис.7 f() S S S S -а а рис.8 -а а рис.9

12 Пример 3. Математический маятник. Рассмотрим поведение фазовых кривых следующего автономного ОДУ второго порядка: d = f () sin. dt Это уравнение эквивалентно системе ОДУ -го порядка =, = sin. Корни = π m уравнения f( ) = определяют точки покоя этой системы ДУ (, m ) = ( π, m ), m = k. Заметим, что f ( π ) m =, k Z, следовательно,, m = k + ( k +, ) = (( k + ) π,) - точки покоя типа седло, (, ) = ( π, k k ) - точки покоя типа центр. Получим явное выражение для фазовых траекторий: = sin d + C = cos + C. В рассматриваемом случае U ( ) = cos, поэтому, уравнения фазовых траекторий =± cos + C, C. Фазовый портрет изображен на рисунке. Рис. При C = получаем сепаратрису, соединяющую точки покоя. Если < C <, то фазовые траектории замкнуты и заполняют область между сепаратрисами («захваченные» частицы, совершающие финитные колебания в потенциальных ямах). В случае C > фазовые траектории незамкнуты и соотвествуют «пролетным» частицам, движение которых инфинитно (периодические колебания около некоторого значения скорости), причем верхней и нижней ветвям фазовых кривых соответствуют различные направления скорости.

13 Задание. Докажите устойчивость точки покоя (,) математического маятника ) при помощи определения; ) методом функций Ляпунова, выбрав V (, ) = 4sin +.

( ) Точки покоя этой системы ДУ определяются из системы алгебраических уравнений

( ) Точки покоя этой системы ДУ определяются из системы алгебраических уравнений ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО АВТОНОМНОГО УРАВНЕНИЯ -ГО ПОРЯДКА.. Постановка задачи. Рассмотрим автономное уравнение вида = f. () Как известно, это уравнение эквивалентно следующей нормальной системе

Подробнее

Особые точки в системах второго и третьего порядков. Критерии устойчивости стационарных состояний линейных и нелинейных систем.

Особые точки в системах второго и третьего порядков. Критерии устойчивости стационарных состояний линейных и нелинейных систем. Особые точки в системах второго и третьего порядков. Критерии устойчивости стационарных состояний линейных и нелинейных систем. План ответа Определение особой точки типа центр. Определение особой точки

Подробнее

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА СЕМИНАР 7 Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка. Классическая система В. Вольтерра. Аналитическое исследование (определение стационарных состояний и их устойчивости)

Подробнее

Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ

Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 5. Понятие устойчивости решения 1. Предварительные замечания

Подробнее

Д. А. Паршин Физика открытых систем Лекция 2

Д. А. Паршин Физика открытых систем Лекция 2 1 ЛЕКЦИЯ 2 Системы нелинейных дифференциальных уравнений. Пространство состояний или фазовое пространство. Особые точки и их классификация. Условия устойчивости. Узел, фокус, седло, центр, предельный цикл.

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,,

Подробнее

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных ди ф- ференциальных уравнений общего вида: dx dt dy dt

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных ди ф- ференциальных уравнений общего вида: dx dt dy dt Семинар 4 Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек.

Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. СЕМИНАР 4 Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

Рис. 1: Кривая равновесий.

Рис. 1: Кривая равновесий. Понятие о бифуркации. Бифуркации положений равновесия. Дифференциальные уравнения динамических систем часто зависят не только от фазовых переменных, но и параметров, т.е. имеют следующую структуру: ẋ =

Подробнее

Теория устойчивости Ляпунова.

Теория устойчивости Ляпунова. Теория устойчивости Ляпунова. Во многих задачах механики и техники бывает важно знать не конкретные значения решения при данном конкретном значении аргумента, а характер поведения решения при изменении

Подробнее

Лекция 1 Элементы качественного анализа динамических систем с непрерывным временем на прямой

Лекция 1 Элементы качественного анализа динамических систем с непрерывным временем на прямой Лекция 1 Элементы качественного анализа динамических систем с непрерывным временем на прямой Будем рассматривать автономное дифференциальное уравнение du = f(u), (1) dt которое может быть использовано

Подробнее

Лекция 13 УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДУ

Лекция 13 УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДУ стр. Лекция 3 УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДУ Если некоторое явление описывается системой ДУ dx dt i = f (t, x, x...x ), i =..nс начальными i n условиями x i (t 0 ) = x i0, i =..n, которые обычно являются

Подробнее

7. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА. y), (7.1)

7. ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА. y), (7.1) 7 ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА Автономной системой для функций ( t) ( t) называется система дифференциальных уравнений d d P( ) Q( ) (7) dt dt где правые части не зависят

Подробнее

«ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ»

«ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ» «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ» (часть. лекция 6) Понятие устойчивости. Работа А.М.Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения» (проф.в.н.шамберов) Основы современной теории устойчивости были

Подробнее

Лекция 1. Исследование движения в консервативной системе с одной степенью свободы

Лекция 1. Исследование движения в консервативной системе с одной степенью свободы Лекция 1 Исследование движения в консервативной системе с одной степенью свободы 1. Основные понятия. Консервативной системой с одной степенью свободы мы будем называть систему, описываемую дифференциальным

Подробнее

Лекция 2.3 Устойчивость равновесия и движения системы. При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде ( )

Лекция 2.3 Устойчивость равновесия и движения системы. При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде ( ) Лекция 3 Устойчивость равновесия и движения системы При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде d dt A Y где вектор-столбец квадратная матрица постоянных коэффициентов

Подробнее

Занятие 9. Предельные циклы

Занятие 9. Предельные циклы 8.04.07 Занятие 9. Предельные циклы На фазовой плоскости периодическим решениям автономной системы f ( ( g( соответствуют замкнутые траектории циклы. Замкнутая изолированная траектория называется предельным

Подробнее

Качественный анализ динамических систем. Построение фазовых портретов ДС

Качественный анализ динамических систем. Построение фазовых портретов ДС Качественный анализ динамических систем Построение фазовых портретов ДС Динамическая система 2 Динамическая система математический объект, соответствующий реальным физическим, химическим, биологическим

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Семинар Дифференциальное уравнение первого порядка. Фазовое пространство. Фазовые переменные. Стационарное состояние. Устойчивость стационарного состояния по Ляпунову. Линеаризация системы в окрестности

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1)

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1) 29. Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки. Теорема В.И. Зубова о границе области притяжения. В.Д.Ногин 1 о. Определение

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 1.1. Основные определения Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию y (

Подробнее

Лекция 3. Связь амплитуды и периода нелинейных колебаний

Лекция 3. Связь амплитуды и периода нелинейных колебаний Лекция 3 Связь амплитуды и периода нелинейных колебаний 1. Анализ зависимости периода от амплитуды в колебательных решениях уравнения Дюффинга. Рассмотрим уравнение Дюффинга класса А: d x 3 x x 0. (3.1)

Подробнее

5. Автономное ОДУ разрешенное относительно производной уравнение вида

5. Автономное ОДУ разрешенное относительно производной уравнение вида Базовые понятия курса Биоинформатика и математические методы в биологии Составители: А. Нестеренко, Т. Плюснина, А. Дьяконова, П. Фурсова, Г. Ризниченко Кафедра биофизики биологического факультета МГУ

Подробнее

a.0 1. Построить параметрический портрет и соответствующие фазовые

a.0 1. Построить параметрический портрет и соответствующие фазовые 4.03.07 Занятия 4. Существование и устойчивость положений равновесия линейных динамических (ЛДС) систем на плоскости. Построить параметрический портрет и соответствующие фазовые портреты ЛДС (x, yr, ar):

Подробнее

5. Устойчивость аттракторов

5. Устойчивость аттракторов 5. Устойчивость аттракторов 1 5. Устойчивость аттракторов В прошлом разделе мы научились находить неподвижные точки динамических систем. Также мы выяснили, что существует несколько различных типов неподвижных

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Методическая разработка Составитель: проф АН Саламатин На основе: АФ Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск НИЦ "Регулярная

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Метод медленно меняющихся амплитуд. Координаты Вандер-Поля.

Метод медленно меняющихся амплитуд. Координаты Вандер-Поля. Метод медленно меняющихся амплитуд. Координаты Вандер-Поля. Принцип u u cos sin v v sin cos Вращающаяся система координат v u Координаты Ван-дер-Поля. u и v называются координатами Ван-дер-Поля. Описывают

Подробнее

Семинар 14. АНАЛИЗ АВТОКОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ. Постановка задачи. Рис. 1

Семинар 14. АНАЛИЗ АВТОКОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ. Постановка задачи. Рис. 1 Семинар 4. АНАЛИЗ АВТОКОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ Постановка задачи Рассматривается замкнутая система с одним нелинейным элементом. g F ( z W ( s x Рис. Изучается свободное движение системы,

Подробнее

Динамика численности хищника Y(t) и жертвы X(t) описывается системой:

Динамика численности хищника Y(t) и жертвы X(t) описывается системой: Математические методы в экологии: Сборник задач и упражнений / Сост. Е.Е. Семенова, Е.В. Кудрявцева. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 005..04.09 Занятие 7 Модель «хищник-жертва» Лотки-Вольтерры 86 (построение

Подробнее

В общем виде модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений, можно записать как:

В общем виде модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений, можно записать как: Семинар 5 Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Исследование нелинейных систем второго порядка. Модель Лотки. Модель Вольтерры. В общем виде модели, описываемые системами

Подробнее

Простейшие задачи управления динамикой популяций

Простейшие задачи управления динамикой популяций 4 февраля 9 г Практическое занятие Простейшие задачи управления динамикой популяций Задача Пусть свободное развитие популяции описывается моделью Мальтуса N N где N численность или объем биомассы популяции

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1. Устойчивость линейной системы Рассмотрим систему двух уравнений. Уравнения возмущенного движения имеют вид: dx 1 dt = x + ax 3 1, dx dt = x 1 + ax 3,

Подробнее

Уравнения первого порядка

Уравнения первого порядка Глава 1. Введение Лекция 1 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. 2. Общее решение дифференциального уравнения, общий интеграл. 3. Постановка основных задач для обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Стр. 1 из 17 26.10.2012 11:39 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 010300.62 Математика. Компьютерные науки Дисциплина: Дифференциальные уравнения Время выполнения

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Глава 7. Понятие об асимптотических методах

Глава 7. Понятие об асимптотических методах Глава 7 Понятие об асимптотических методах Лекция Регулярно и сингулярно возмущенные задачи При построении математических моделей физических объектов, характеризующихся различными масштабами по пространству,

Подробнее

Занятие 7. Устойчивость положений равновесия автономных систем (метод линеаризации Ляпунова, теорема Ляпунова)

Занятие 7. Устойчивость положений равновесия автономных систем (метод линеаризации Ляпунова, теорема Ляпунова) 4.04.7 Занятие 7. Устойчивость положений равновесия автономных систем (метод линеаризации Ляпунова, теорема Ляпунова) x ' ( f ( x, y), f, g C ( ). y'( g( x, y), D Поиск положений равновесия P ( x*, : f

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 5. ТОЧКИ ПОКОЯ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 5. ТОЧКИ ПОКОЯ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 5. ТОЧКИ ПОКОЯ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов высшей математики

Подробнее

1. Стационарные точки, линеаризация и устойчивость. 2. Предельные циклы. 3. Бифуркации фазовых потоков на плоскости.

1. Стационарные точки, линеаризация и устойчивость. 2. Предельные циклы. 3. Бифуркации фазовых потоков на плоскости. Лекция 3. Фазовые потоки на плоскости 1. Стационарные точки, линеаризация и устойчивость. 2. Предельные циклы. 3. Бифуркации фазовых потоков на плоскости. 1. Стационарные точки, линеаризация и устойчивость.

Подробнее

СЕМИНАРЫ 5 И 6 Фазовой плоскостью фазовой траекторией фазового портрета метод изоклин Изоклина

СЕМИНАРЫ 5 И 6 Фазовой плоскостью фазовой траекторией фазового портрета метод изоклин Изоклина СЕМИНАРЫ 5 И 6 Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Фазовая плоскость. Изоклины. Построение фазовых портретов. Кинетические кривые. Знакомство с программой TRAX. Фазовой

Подробнее

ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 1. Основные термины и определения На любую САУ всегда действуют внешние возмущения, которые могут нарушить ее нормальную работу. Правильно спроектированная САУ должна

Подробнее

ϕ монотонно возрастают при изменении

ϕ монотонно возрастают при изменении ГЛАВА. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 8 степень со знаком +, из полученного следует, что ( ) π возрастает от до π. Итак, слагаемые ϕ i( ) и k ( ) +, т. е. вектор ( i) ϕ монотонно ϕ монотонно возрастают при

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

8.3. АНАЛИЗ АВТОКОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ Постановка задачи. Рис. 1

8.3. АНАЛИЗ АВТОКОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ Постановка задачи. Рис. 1 Лекция 5. 8.3. АНАЛИЗ АВТОКОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ 8.3.. Постановка задачи Рассматривается замкнутая система с одним нелинейным элементом. F W s x Рис. Изучается свободное движение

Подробнее

Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств Чаплыгина.

Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств Чаплыгина. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.Ломоносова Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т А.Б. Васильева, Н.Н. Нефедов Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств Чаплыгина. (некоторые разделы

Подробнее

Теория автоматического управления 2 семестр Тема 2 Достаточные условия устойчивости Теория

Теория автоматического управления 2 семестр Тема 2 Достаточные условия устойчивости Теория htt://cfra.studetmv.ru/tau-2-2-teorya/ Теория автоматического управления 2 семестр Тема 2 Достаточные условия устойчивости Теория Метод Ляпунова Первым, кто дал математически строгое определение понятия

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения Обыкновенные дифференциальные уравнения Лекторы: В. А. Кондратьев, Ю. С. Ильяшенко III IV семестры, программа экзамена 2003 2004 г, варианты 2001 2009 г. 1. Программа экзамена 1.1. Первый семестр Введение.

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

О б р а з е ц в ы п о л н е н и я э т а п а #5

О б р а з е ц в ы п о л н е н и я э т а п а #5 Курсовая работа по курсу «Дифференциальные уравнения». Выполнил студент группы 7o-0С Иванов И.И. Вариант Этап #5 Задание: Вариант = x + 3y., x(0) = 4, y(0) y = 4y + x x = x + y., x(0) = 4, y(0) y = 3y

Подробнее

2. Аттракторы динамических систем

2. Аттракторы динамических систем 2. Аттракторы динамических систем 1 2. Аттракторы динамических систем Посвятим этот раздел анализу поведения динамических систем на больших временах: ẋ i =f i x, t, μ при t. (5) Как мы уже говорили, в

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения Конспекты лекций, вопросы и задачи 22 Прядко И.Н., Садовский Б.Н. Литература Ахмеров Р.Р., Садовский Б.Н. Очерки по ОДУ. hp://www.bsadovskiy.ru Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные

Подробнее

1 Н.И. Амелькин. Теоремы прямого метода Ляпунова

1 Н.И. Амелькин. Теоремы прямого метода Ляпунова 1 Н.И. Амелькин Теоремы прямого метода Ляпунова Рассматривается автономная система дифференциальных уравнений f () Здесь вектор фазовых переменных. Для механических систем, описываемых уравнениями Лагранжа,

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Лекция ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Описание сигналов и систем

Лекция ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ Описание сигналов и систем Лекция 8 33 ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 33 Описание сигналов и систем Описание сигналов Для описания детерминированных сигналов используется преобразование Фурье: it

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

2. Динамические системы

2. Динамические системы 2. Динамические системы Постановка задачи В широком смысле динамическими системами принято называть математические модели, описывающие временную эволюцию систем, поведение которых однозначно определяется

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 14 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

ЛЕКЦИЯ 14 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА ЛЕКЦИЯ 14 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА 1. Общее уравнение динамики в обобщённых координатах Продолжим изучать общее уравнение динамики и получать с

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры

О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры Математический сборник т 7(69) 95 А Н Тихонов О системах дифференциальных уравнений содержащих параметры Рассмотрим систему дифференциальных уравнений n и решение этой системы определяемое условиями Это

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 13

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 13 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 13 ПРИВЕДЁННАЯ СИСТЕМА ПОТЕНЦИАЛ РАУСА СТАЦИОНАРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕОРЕМА РАУСА Лектор: Батяев Евгений

Подробнее

А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией

А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией А.Н.Тихонова, В.А.Ильина, А.Г.Свешникова. Учебник создан

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Лекция 10 Элементы теории нелинейных систем

Лекция 10 Элементы теории нелинейных систем Лекция 0 Элементы теории нелинейных систем Практически все системы управления строго говоря являются нелинейными т.е. описываются нелинейными уравнениями. Линейные системы управления являются их линейными

Подробнее

Дополнительные главы высшей математики ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ по дисциплине «Дополнительные главы высшей математики»

Дополнительные главы высшей математики ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ по дисциплине «Дополнительные главы высшей математики» ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ по дисциплине «Дополнительные главы высшей математики» Экзаменационный билет будет включать три вопроса: детальный вопрос; общий вопрос; задача. Часть 1 экзаменационного билета

Подробнее

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены

1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены Глава III. Теория устойчивости 1. Устойчивые решения ОДУ. Устойчивые многочлены III.1.1. Устойчивые решения линейных ОДУ Существенную роль в исследовании различных процессов, поведение которых описывается

Подробнее

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин

Лекция 12 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ. Метод линеаризации функций случайных величин Лекция ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: построить метод линеаризации функций случайных величин; ввести понятие комплексной случайной величины и получить ее числовые характеристики; определить характеристическую

Подробнее

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 7

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 7 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,,6, БМТ, Лекция 7 Определенный интеграл

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

18 Расщепление сепаратрис

18 Расщепление сепаратрис 18 Расщепление сепаратрис Сначала напомним, что такое отображение Пуанкаре. Пусть рассматривается произвольная система дифференциальных уравнений ẋ = v(x), x M Пусть γ(t) некоторое периодическое решение.

Подробнее

1. Системы диагонального вида. Рассмотрим систему линейных дифференциальных

1. Системы диагонального вида. Рассмотрим систему линейных дифференциальных ISSN 1683-470 Труды ИПММ НАН Украины 009 Том 18 УДК 53138 c 009 ВВ Кириченко ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ДИАГОНАЛИЗАЦИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В настоящей

Подробнее

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса.

Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Разностные схемы для нелинейных задач. Квазилинейное уравнение переноса. Для численного решения нелинейных задач в различных ситуациях используют как линейные, так и нелинейные схемы. Устойчивость соответствующих

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть имеем функцию определенную на множестве X и пусть точка X - внутренняя точка те точка для которой существует окрестность X Возьмем любую точку и обозначим через называется

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Решение систем нелинейных уравнений в частных производных. с производной по времени первого порядка. Е.Г. Якубовский

Решение систем нелинейных уравнений в частных производных. с производной по времени первого порядка. Е.Г. Якубовский Решение систем нелинейных уравнений в частных производных с производной по времени первого порядка с коэффициентами зависящими от времени ЕГ Якубовский e-i uovi@rerru Аннотация В статье [ получено решение

Подробнее

СЕМИНАР 1 переменные параметры

СЕМИНАР 1 переменные параметры СЕМИНАР Основные понятия. Составление (вывод) дифференциального уравнения. Понятие решения дифференциального уравнения. Решение методом разделяющихся переменных. Решение линейного дифференциального уравнения

Подробнее

Нелинейные уравнения и системы. Устойчивость решений.

Нелинейные уравнения и системы. Устойчивость решений. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет Кафедра высшей математики физического факультета Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Малые колебания механической системы Консервативные системы

Малые колебания механической системы Консервативные системы Малые колебания механической системы Консервативные системы Ханукаев ЮИ (kha@ptcru) Куракин ВА (kurak@sats-tlru) Положение равновесия системы ( to ) o ( to ) 0 называется устойчивым если для любого ε >

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Дифференциальные уравнения часть 4 Устойчивость

Дифференциальные уравнения часть 4 Устойчивость Министерство образования Российской федерации Воронежский государственный университет конспекты лекций вопросы и задачи Дифференциальные уравнения часть 4 Устойчивость пособие для студентов специальности

Подробнее

Основы теории управления. д.т.н. Мокрова Наталия Владиславовна

Основы теории управления. д.т.н. Мокрова Наталия Владиславовна Основы теории управления д.т.н. Мокрова Наталия Владиславовна Лекция 7 Нелинейные системы автоматического регулирования Особенности нелинейных систем. Типовые нелинейности систем автоматического регулирования.

Подробнее

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Методы решения начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений Постановка задачи Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение сокращенно ОДУ первого порядка f,, [,b ] 6 с начальным условием

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2 семестр группы АК1,2,4-11 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ" 2 семестр группы АК,2,4- ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Неопределенный интеграл. Первообразная функции. Таблица первообразных.

Подробнее

( t) Глава 5. Теория устойчивости

( t) Глава 5. Теория устойчивости Глава 5. Теория устойчивости Во многих задачах небесной механики не удается аналитически установить факт интегрируемости исходной канонической системы. Более того, существование динамического хаоса, строго

Подробнее

Ответы к экзамену по курсу дифференциальные уравнения

Ответы к экзамену по курсу дифференциальные уравнения МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА Физический факультет Ответы к экзамену по курсу дифференциальные уравнения Июль 215 1) Сформулируйте теорему существования решения задачи Коши

Подробнее

Построение фазового портрета консервативного нелинейного осциллятора

Построение фазового портрета консервативного нелинейного осциллятора Лекция 5 Лекция 5 Нелинейный осциллятор: фазовый портрет В этой лекции мы собираемся подробно изложить на качественном уровне рецепт построения фазового портрета нелинейного осциллятора. Будет рассмотрен

Подробнее

3. Типы аттракторов. x, y, μ =0, f 2 (22) x, y, μ =0.

3. Типы аттракторов. x, y, μ =0, f 2 (22) x, y, μ =0. 3. Типы аттракторов 1 3. Типы аттракторов Очень наглядным образом можно визуализировать расположение аттракторов на фазовой плоскости, во многом благодаря тому, что существует всего несколько их типов,

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее