Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 10 класс

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 10 класс"

Транскрипт

1 АВ Тронин Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 0 класс к пособию «Дидактические материалы по геометрии для 0 класса / БГ Зив 6-е изд М: Просвещение, 00» Учебно-практическое пособие

2 САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ ВАРИАНТ С- Дано:,, x ;,, не лежат на одной прямой Доказать: x () Доказательство: (); (); (), тк x, то x () Чтд Дано: α β m, a α, a β Найти: пересекаются ли a и m m x Решение Допустим, что прямые a и m не пересекаются m α, a α Значит, a m Значит, a β Это противоречит условию Значит, a и m пересекаются Ответ: a и m пересекаются α a β С- Дано: α β F, α, β В плоскости β через т провести прямую так, чтобы она ) пересекала ; ) скрещивалась с ; ) была параллельна ) ; α F β ) F; ) невозможно провести, если такую прямую возможно было провести, то тк она лежала бы в плоскости β и была параллельна, получилось бы, что β, либо β, что противоречит условию Дано:,, Доказать: Доказательство: Тк и, то, а тк, то параллелограмм Чтд 5

3 С- Дано: параллелограмм,, F, : F:F Через и F проведена плоскость α Доказать: α Доказательство: F Тк и ( F параллелограмм), то F и F параллелограмм, тогда F Значит, α Чтд α β c a b F α Дано: a α, c a, β α b Доказать: b c Решение Тк a α, то a b; тк a b и a c, то b c Чтд С-4 P Дано:, P Доказать: P Доказательство Тк, то ; тк P, то P Значит, (P) () β b c a Дано: α β, α, β, α Построить: β, β, β α β, β, β тк α β () β b, b тк β () β a, a тк β () β c, c тк β 6

4 С-5 Дано: параллелепипед, Доказать: Доказательство: ( ) ( ) (тк и ); тк ( ), то ( ) Чтд Дано: тетраэдр, 90, см Найти S() Решение см, аналогично см, см равносторонний, 60 S() sin60 см Ответ: см С-6 Дано: тетраэдр, P,,, P P, Построить: сечение плоскостью P Решение ) проведем прямую P; ) проведем прямую ; ) тк P P и, то P средняя линия в Значит, P ; 4) в плоскости () проведем прямую N, параллельную P; N ; 5) проведем прямую PN; 6) (PN) сечение тетраэдра P N 7

5 Дано: параллелепипед, квадрат со стороной 8 см, боковые грани прямоугольники, см середина Построить: сечение плоскостью Найти: P сеч Решение ) середина ; ) () сечение искомое, тк см 4 см см P() (0 + ) см Ответ: (0 + ) см С-7 O Дано: правильный треугольник, O его центр, O, O, Найти: расстояния от т до вершин Решение высота, медиана O O + O + (тк правильный и O центр) Ответ: 8

6 Дано: параллелограмм,, F Доказать: F Доказательство: Тк параллелограмм, то ; тк () и F (), то F Значит () (F) Чтд F С-8 Дано: квадрат,, Доказать: Доказательство: Тк и, то (); тк (), то Чтд Дано: α,, 90, α,, 5, 4 Найти: S( ) Решение α S( ) Ответ: 84 С-9 Дано: α;, α; H и H проекции и на α H 8, 09, H 4 Найти: P(, α) Решение H x, H 4x H H 4 9x H H 46 6x 4 9x 46 6x ; 7x, x 4 H Ответ: 0 α H 9

7 С-0 Дано: равнобедренный, H высота в 5, 48,, 5 Найти: P(, ) Решение H тк равнобедренный H ( ) H H Тк H и H, то по ТТП H H H Ответ: 8 Дано: параллелепипед, квадрат со стороной см, боковые грани прямоугольники 5 см Найти: (, ), ( ; ( )) Решение ( ; ()) (тк параллелепипед прямоугольный) см cos ( ; ( )) 5 см sin Ответ: arccos 5 5 ; arcsin 5 С- L Ответ: 90 0 α β N Дано: ребро двугранного угла, образованного плоскостями α и β LN линейный угол этого двугранного угла LN Найти (, ) Решение Тк плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла, то любая прямая, лежащая в плоскости линейного угла, перпендикулярна ребру двугранного угла

8 Дано: прямоугольный ( 90 ), a 0, a,, Найти: (, ) Решение,, ((), ()), тк () и () a sin a tg a a a 60 Ответ: 60 С- Дано: ( прямоугольник) Доказать: 90 Доказательство: ((), ()) 90 перпендикуляр к плоскости (),, Тк и, то (), тк (), то Значит, прямой Чтд Дано: прямоугольный параллелепипед,, F, середины,,, 4, 6, 56 Построить: сечение F Доказать: F Найти: ) проведем F; ) проведем F; ) в плоскости () проведем прямую, параллельную F; 4) (F) искомое сечение F

9 середина Тк F середина и середина, то F Значит, F () Значит, (F) () ) ; 0 6 Ответ: С- Дано: правильная треугольная призма,, центр Найти: (, ()) (, ()), где середина (те В, тк ) высота и медиана в tg ; 60 Ответ: 60 Дано: правильная четырехугольная призма, 4 см, ((), ()) 45 Найти: S() Тк квадрат, то По ТТП, значит, см, см Тк 45, то прямоугольный равнобедренный, см S() см Ответ: 8 см (ТТП теорема о трех перпендикулярах)

10 С-4 Дано: прямая призма, прямоугольный ( 90 ) 4,, 60 Найти: S бок Тк и, то ( ) прямоугольный; tg S бп P() ( + + ) ( ) 9 9 Ответ: 9 С-5 Дано: наклонная треугольная призма, прямоугольный ( 90 ) Доказать: прямоугольник Доказательство: Тк ( ) () и, то ( ), значит, Значит, прямоугольник Чтд Дано: S 70 см, S 50 см, P 60, 0 см S 50 см S 70 см Найти: S бок? (P) P, Тк параллелограмм, то S P см 50 P P 5 см 0 Тк параллелограмм, то см S 70 см

11 По теореме косинусов из P P + P КP cos P P Тк (P) P, тк P Тогда S P 0 0 см (тк и параллелограмм) S бок см Ответ: 50 см С-6 Дано: P 4 см, 6 см Найти: S пп квадрат P P P см P высота, тк пирамида правильная P см S см Высота на основание, тк он равнобедренный, равна: h 5 см S 56 5 см 4 S пир см Ответ: 96 см Дано: правильная треугольная пирамида, a, H высота, H a Найти: H; H? H радиус окружности, описанной около, H H a ; тк H cos0 4

12 H a 6 из H: H 90 tg(h) H a H arctg H радиус окружности, вписанной в ; H 6 a H a из H: tg(h) 4 H a 6 H arctg( 4 ) Ответ: arctg, arctg( 4 ) С-7 Дано: пирамида, прямоугольный ( 90 ), 0, a, H 60, где МH высота пирамиды Найти: H? Т к все ребра равнонаклонены к основанию, то H центр описанной окружно- H сти Высота H, где H, тк центр описанной окружности a ( 90 ), и H H; из : sin0 H H a H a; из H: tg60 H a H a Ответ: a Дано: (), пирамида (, ) 60, 0, 6 Найти: S бок равнобедренный высота и медиана ; тк () высота и медиана, медиана, а тк (), то В и равнобедренный высота 5

13 Следовательно и (, ) 60 из : tg(60 ) 6 S S ; S 6 96 Sбок Ответ: С-8 Дано: правильная треугольная пирамида, a, грани наклонены под углом 60, через среднюю линию основания, параллельно боковой грани, проведено сечение Найти: S сеч QR средняя линия основания QR, QR, QS QSR искомое сечение Из подобия следует, что его площадь в четыре раза меньше площади a, H H cos 60 S сеч 4 S R H Q a 6 a a Ответ: 4 6 a a a a S() a 6 PH равнобедренный, H PH P H Дано: правильная усеченная четырехугольная пирамида 8, 6 Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45 Найти: S бок? Тк PH 45, H P 90 6

14 тк равнобедренный, то P середина PH средняя линия PH 4 P H + PH тк и P подобны, то P P, но P 4 P 4 P 4 P P S 7 P S бок Ответ: 8 С-9 Дано: параллелепипед, прямоугольник,, F F ) векторы, сонаправленные F : ; (тк сонаправленность: если векторы параллельны или лежат на одной прямой и имеют одинаковое направление); ) векторы, противоположно направленные : ( ); uuuur ; uuuur uuuuur uuuur uuur uuur uuur ) имеют длину, равную : ; ; ; ; ; ; Дано: a α, a β, β α b,, a;, b Найти: при каком условии и коллинеарны коллинеарен, если a b a α a β b α F 7

15 С-0 Дано: параллелепипед Найти: + + +? uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuuuur,, uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuuur uuuur uuuur Ответ: Доказать, что: ( + ) ( + ) Доказательство: ; + ; + ; + ; Чтд С- Дано: тетраэдр, uuuur uuur uuur Изобразить: uuur uuuuur uuur uuur uuuur ; ;, отложим uuuuur uuuur uuuuur от точки вектор, получим искомый Дано:, ; P P Выразить: P через P P P ; P средняя линия P ; uuur uuur uuur P P P Ответ: uuur 8

16 С- Дано: тетраэдр,,, a r, b r c r Разложить: uuuur по a r, b r, c r uuuur uuur uuur r r ( + ) ( a + c ) ; uuuur uuuur r r a + c ; + a+ c b r r r Ответ: r a+ r c b r 4 4 Дано: точка пересечения медиан, по,, uuuur uuur uuur uuur ( + ) ; uuuur uuuur uuur uuuur uuur + + ; uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur ( + + ) + ; uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur Ответ: + + С- Дано: правильная треугольная призма, ) S ппп? S S бок 6; S S полн пов 6 + 9

17 ) S? 5 5 Из : + 5 S ) Найти? sin( ) arcsin 5 4)? 90 ; ; sin( ) 0 5) +? 5 ; ; + ; 6) Доказать, что ; ( ) Ответ: ) 6; ) ; ) arcsin ; 4) 0 ; 5) 5 ВАРИАНТ С- Дано: a b 0, a, b, Y Доказать, что a, b и Y лежат в одной плоскости Y a O b Доказательство: a и b лежат в одной плоскости α; a и b, α тк, α, тк Y Y α Чтд 0 α

18 Дано: α β c, a β, b α Доказать, что линия пересечения α и β Доказательство: α c линия пересечения α и β b β, c β c b ; аналогично: a c, c совпадает с c Чтд b a β c С- В β через провести прямую так, что ) она пересекала Невозможно, тк β ) скрещивалась с соединить с F ) параллельна : провести параллельно F прямую T α (T F ) Дано:,,, Доказать, что Доказательство: Тк и параллелограмм, параллелограмм и Чтд F T β С- Дано: ; F ; ; α Найти: F : F, F () Тк F α, а α F по теореме Фалеса F F : F F Ответ: / α F

19 α Дано:, α; ; Доказать, что α Доказательство: Тк и параллелограмм, тк α Чтд С-4 Дано: Доказать, что Доказательство: Тк и общий Аналогично из и : ; ; Чтд Дано: α β;, β;, α Построить: α, β Построение: Строим прямая α Строим N прямая N β С-5 Дано: Доказать, что Доказательство: Тк дан параллелепипед и ; ; ( ) ( ); Чтд Дано: 60 ; 4 см Найти: S? равнобедренный, тк ; 60 равносторонний, 4

20 равносторонний, со стороной 4 S sin Ответ: 4 см С-6 Дано:, 0,, (N) () Найти: S N? Тк и, а N N 5; N N N Пусть N высота, а значит и медиана N 69 5 N 6 S N Ответ: 5 Дано: P ; Построить сечение через P и и параллельное Построение: Строим PP и P P требуемое сечение P P С-7 Дано: 90,, O (), O Найти: O () O 90 ; O + + Ответ: O

21 Дано: и () Найти взаимное расположение линии пересечения () и () и и (); () ; () (), () Ответ: они параллельны С-8 Дано:, 90,, () Доказать, что Доказательство: () ; () Чтд Дано: параллелограмм, 4, 6, (), Найти: S пар? По теореме о -х перпендикулярах ( ; ; перпендикуляр), проекция прямоугольник S Ответ: 4 С-9 α T Дано: T α, T T 0, 90, T Найти: Из T: T 0 ; прямоугольный Ответ: 4 4

22 С-0 Дано: 90, 0, a, a (), Найти: ρ(, ) Пусть и По теореме о -х перпендикулярах a 90 sin0 из : a a a a ρ(, ) Ответ: a Дано: параллелепипед, и все боковые грани прямоугольники 90, 90,, 5, 5 Найти: (; ), ( ; ) )? , 5 cos( ) 5 arccos 5 )? 5 sin( ) arcsin 5 Ответ: arccos ; arcsin 5 С- Дано: N c, c c a, c b Доказать, что линейный Доказательство: c a, c b c α c, c линейный Чтд c a b 5

23 Дано: ромб, 60, m m, (), Найти: (; ) Искомый угол? Тк ( середина ) и m m из : m 4 m tg() arctg 45 m Ответ: 45 С- Дано: () (), 90 Доказать, что 90 Доказательство: Тк () () и прямоугольник () 90 Чтд Дано: прямоугольный параллелепипед, 5, 4, 77 Построить сечение плоскостью, проходящей через и Найти: ) Искомое сечение, где, середина ;, ( ), а тк () () ( ) )? Ответ: 6 6

24 С- Дано: правильная четырехугольная призма,, 5, середина Найти: ( ; ) H H и H 5 H H + 5, тк H середина, тк середина ; (С, ) H 45 Ответ: 45 Дано: правильная треугольная призма, N средняя линия, N, (PN, ) 60, P P, 4 см N Найти: S(PN) H 4 N ; H H 4 P cos 60 S(PN) Ответ: см С-4 Дано: прямая призма, 90, 0, 0, 5 Найти: S бок (по теореме о -х перпендикулярах: ) 5;

25 S бок ( + + ) 5 (5 + 0) Ответ: С-5 Дано: параллелепипед, прямо- угольник, 90, ( ) () Доказать, что прямоугольник Доказательство: Тк ( ) (), а ( ) прямоугольник Чтд Дано: призма, S( ) 5 см, S( ) 5 см, 5, 0 Найти: S бок S гран 5 5; аналогично по теореме косинусов: ; 7; из по тереме о -х перпендикулярах:, S S бок Ответ: 75 см С-6 Дано: правильная пирамида, H высота, H см,,, 5 см Найти: S полнпов H 0 H ; x из : x; x x 5; x 900; 4 x 50 00; x 0 0 S 75 8

26 S 0 65 Sполн Ответ: 70 см Дано: правильная пирамида, a, высота a Найти: и Из : a + a a ; a ; a 6 из : tg() a arctg a a tg() 6 arctg6 a Ответ: arctg, arctg 6 С-7 Дано: пирамида, a, 50, H H H 45 Найти: H H высота из равенства углов 45 H H H H H центр описанной окружности; R sin R; R a H a H a Дано: F, F 0 6, P 0, P (F), P 60 Найти: S бок P (F); P F F (по теореме о -х перпендикулярах) P (P, (PF)); из P: P 60 P P 0 0 из : F H P 9

27 S P P S PF P F Sбок Ответ: С-8 Дано: S правильная четырехугольная пирамида, a, SH 60, H S S Найти: S a H S a H a, cos 60 H a тк H средняя линия S S() a a Ответ: H T a S N Q R P 7 Дано: NP правильная треугольная усеченная пирамида, 8 см, N 6 см, (, ) 60 Найти: S бок Пусть TQR проекция NP на S(TQ) (S() S(TQR)) (8 6) TH S ( TQ ) ( TQ ) TH H + cos60 S бок (H + ) 4 Ответ: 4 см 0

28 С-9 Дано:, Записать вектора, которые: ) противоположно направлены ; ) сонаправлены ; ) имеют длину, равную ) ; ; ) ; ; uuuur uuuur uuuur uuur ) ; Дано: γ α a; γ β b;, a,, b Могут ли и быть коллинеарными? α a γ Могут, если α β β Ответ: могут b С-0 Дано: параллелепипед Найти: ; + ; + ; + O Ответ: O ur Доказать, что ( + F F) ( ) uuur uuur uuur uuur uuur F F ; F F F + F ; ; + ; Чтд С- Дано: F тетраэдр Изобразить: F,5 + 0, 5F S, 5 ; T F ; P F S + T P F T S F P

29 Дано:,, F,, F F, () uuuur uuur Выразить через ( F ) ( + ) ; F ( + ) ; С- + F F uuur uuuur F Ответ: ( ) Дано: параллелепипед a, b, c, Разложить по a, b, c a + b + c (правило параллелограмма) + ( a + c) + a c a + b + c a c b + + Ответ: a r r + b + c r F Дано: тетраэдр, точка пересечения медиан Разложить по,, ( + + ) ; ; + ; + ( + ) + Ответ: uuur uuur uuur +

30 С- Дано: правильная четырехугольная пирамида, см, см Найти: ) S полнпов H S 4 ед ; 8 7 S 7 7 S полн 4( + 7 ) ) S? Из : правильный треугольник S sin() ) H: из п : H 60 4) ^ H? Из H: H 8 6 ; H tg(h) 6 ; H arctg 6 5) см 6) Доказать, что H (), H Чтд Ответ: ) 4( + 7 ) см ; ) см ; ) 60 ; 4) arctg 6 ; 5) см ВАРИАНТ С- Найти: в чем ошибка чертежа? O O P F P F α Точки, и должны лежать на одной прямой Ответ: α

31 Q Дано: куб,, F Построить: ) F, F ; F ) F F; P ) F Построение: F F P R F F Q F F F F R, где R R, R F С- 4 α b a c Доказать: и, и, и скрещивающиеся Доказательство: ( ), ( ), ( ) Каждая пара прямых не лежит в одной плоскости Чтд Дано: b α, a α, a b, b, c, α, c a Доказать: c α Доказательство: b α, a b a α; c a c b и c, и α c α Чтд С- Дано: a b, a α Найти: взаимное расположение b и α b не может пересекать α, тк в этом случае a должно пересекать α Поэтому либо b α, либо b α Ответ: b α, либо b α Дано: параллелограмм,,, 0,

32 ) Построить:,, ) Найти: (, ) ) Строим, тогда,, ) (, ) (, ) Ответ: 50 С-4 Доказать, что F F Доказательство: F F,, F, F (F) ( F ); () (F) F, () ( F ) F F F F F F F Чтд Дано: α β α, β Найти: взаимное расположение и F F ) Если либо ; ) если и скрещиваются и скрещиваются 5

33 С-5 Дано: параллелепипед, F F F, F Доказать, что Доказательство: F средняя линия F,, прямоугольник, и диагонали Чтд Дано: 60, 5 см, 8 см, 8 см Найти S? Из : + cos , 49 6 S 8 4 Ответ: 4 см С-6 S P Дано: тетраэдр,,, P, P : P :, все ребра равны a Построить сечение, проходящее через P и параллельно Найти его площадь Строим SP (S ) SP наше сечение S P, тк SP S : S : ; a a ; P 4 a ; P 60 P 5 a + a a a a a a a a P S ; SP H SP 4 4 H 6 a a a a S a 4 a Ответ: 64 a 64

34 Дано: параллелепипед,, P, Построить: сечение, проходящее через, и P Построение: P F, F G, GP PG искомое сечение P F G С-7 Дано: не пересекает α, α, α, 0, 0,, : :, α Найти:,,,, Получили трапецию : H H 5 ; H 0 5H H 0 H H Ответ: 4 Дано: a α, a β, γ α b, γ β c Найти: взаимное расположение b и c a α и a β α β b c Ответ: они параллельны α H H С-8 Дано: квадрат, () Доказать: Доказательство: Строим H ; H 90 ( квадрат) По теореме о -х перпендикулярах: H Чтд Дано: прямоугольник, (), 5, 4, 0 Доказать: прямоугольный Найти:, () H 7

35 по теореме о трех перпендикулярах 90 Чтд Ответ: 7 С-9 Дано: α β, β, α, β, α,, 6, 5, H Найти: H α По теореме Фалеса, β Аналогично H H 0, H H 5 H 6 H искомое расстояние Ответ: 5 С-0 a Ответ: a H Дано:, a, 60, ромб со стороной a Найти: расстояние (; ),, Найдем ρ(; ); a 60 из : a a + + a 4 4 Дано:, 8, 0,, H (), H (), H Найти: H Из : + cos0 8 8cos0 64( cos0 ) H H sin() sin0 8

36 tg(h) H H sin0 sin0 ctg65, 64( cos0 ) 6( cos0 ) 6 H arctg ctg 65 6 Ответ: arctg ctg 65 6 С- Дано: и лежат на разных гранях двугранного угла с ребром С ( β, α) ρ(, ) 6, ρ(, ) 0 ρ(, β) 7,5 Найти: ρ(; α) Пусть S c, S c S 6 Пусть S c, S c S 0 Пусть T β и T β T 7,5 Пусть теперь S S и S S c ρ(, β) ρ(, β) T S TS Искомое ρ(, β) ρ(, β) T T S (по ТТП) T 7,5 Из T S : sin T S S 0 4 Пусть α и α По ТТП S, ρ(, α) Ssin T S 9 T S S T β α Ответ: 9 Дано: ромб, α, 45, (α, ) 0 Найти: (α, ) Пусть a, H, H, H 0 a, a, H a N H α a H Ответ: 45 a a H (α, ) 45 9

37 С- a 4 H tg H Дано: и правильные, () () Найти: tg( (; )) H, H H a, где a сторона a H, 60 H H sin60 4 a Ответ: a Дано: правильный параллелепипед, квадрат,, 6 Найти: Доказать: Тк,,, то Чтд Ответ: 4 С- L Дано: правильная треугольная призма, через середину и проведена плоскость, 4 см, см Найти: S сеч Пусть середина Проведем L, L L искомое сечение L L

38 L + S сеч h L, h Ответ: 7 см Дано: прямой параллелепипед, ромб, 60, a, (, ) 45 Найти: S сеч, H H H 45 H sin( ) a H 6 6 a Sсеч a Ответ: 7 6 a ; a S сеч 7 С-4 Дано: прямой параллелепипед,, 7, 50, (, ) 60 Найти: S бок Пусть H H H sin50 sin50 sin50 7 H H tg60 6 (7 + ) Ответ: (7 + ) H С-5 Дано: наклонная призма, правильный, a, b, Найти: S( ) Пусть H проекция (H ), 4

39 тогда H биссектриса H и S ab Ответ: ab Дано: наклонный параллелепипед, 0, Р(, ) Р(, ) +, Р(, ) 9, S бок 40 Найти: углы между смежными боковыми гранями N P Пусть NPQ перпендикулярное сечение Q P 9, N + NP, N + NP NP 6, N 5 cosnp N + NP P N NP 5 6 (, ) 0 (, ) 60 Ответ: 60 С-6 O H Дано: правильная треугольная пирамида, Р(, ) Найти: S бок Пусть проецируется в т O, H H H H, 60 H 6 O 4, тк 6, sin 60 то 4 S бок Ответ: 4 S Дано: S правильная четырехугольная H пирамида, 4, O центр, Р(O, S) Найти: ) (S, S); ) S O OH S, O OH H H 4 + ( ), тк 4 4

40 H cos H H π arccos sin SO HO O + H H H SO O S S S 60 ( S) Ответ: ) π arccos ; ) 60 С-7 Дано: S пирамида, равнобедренная трапеция, 8 см, см, боковые грани наклонены к основанию под углом 60 Найти: высоту пирамиды и S бок Тк грани равнонаклонены, то расстояния от т O до сторон трапеции равны 8 + можно вписать окружность 5 O O S Пусть радиус окружности равен r По формуле площади для описанной окружности S осн ( 0 6)(0 )(0 5) ( )r r высота пирамиды равна tg60 высота боковой грани равна 4 S бок Ответ: см, 40 см S H Дано: S пирамида, ромб, 60, a, S, S, (S, ) (S, ) 60 Найти: S бок H H asin60 a a S Htg60, 4

41 H SH a Sбок (S(S) + S(S)) cos 60 a a a + a a ( + ) a Ответ: ( + ) С-8 S Q P Дано: S правильная четырехугольная пирамида, a, боковые грани N наклонены к плоскости основания под углом 60 Через центр основания проведена плоскость O Найти: S сеч Пусть O центр, N O, N, Q S, Q S, NP S, P S QPN искомое сечение; SO 60 S a 5 a S 5 a + a Q PN a, cos a QP, N a Sсеч 5 a 5 a a a a a a a a a a Ответ: S Q Дано: NPQ правильная четырехугольная усеченная пирамида, N P 0 см, N 6 см, S(PQ) 8 0 Найти: S бок H 0, NQ NH 5 N 5 + ( ) 8 N 4 S бок 4 (0 + 6) 96 Ответ: 96 см 44

42 С-9 Дано: призма,,,, F,, F F Найти: ) векторы, сонаправленные с F ; F ) противоположно направленные ; ) векторы, имеющие длину, равную длине ), ),, ) проецируется на биссектрису и на высоту и квадрат векторы:,, uuuur Ответ: ), uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur ; ),, ; ),, β α Дано:, α, β, α β F Найти: будут ли коллинеарны и F, F и F Будут, тк F Ответ: да, будут С-0 Дано: параллелепипед Найти: ; + 0, uuur uuuur uuuur Ответ: Ответ: 7 см Дано: пирамида; прямоугольник, 8 см, 5 см Найти: +, +,

43 С- uuur uuuur uuur Ответ: + 46 Дано: призма, Выразить через, uuur, и uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur, ( + ) uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur + + Дано: O точка пересечения диагоналей параллелепипеда, + + O Найти: +, + O O, O Ответ: С- P + P, P P 5 O P Дано: параллелепипед,, P : :, P : P : 5 Разложить вектор P по векторам, и 5P P, 5 P P, P + 5 P 7 ( ) P +,, 4 uuur + P P uuur uuur uuuur P Ответ: uuur uuur uuuur

44 Дано: тетраэдр Доказать: отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам Доказательство: Пусть середина, F, O середина F O ( + F) Дальше пусть P середина, F, O середина PF O Если теперь O середина отрезка, соединяющего середины и, то и в этом случае O + + O O O, те т O, O, O совпадают Этим и доказывается утверждение С- Дано: 90, 60, см, см ) S полнпов? 0 4, S бок , S осн 4 Sполн пов 4( 4 + ) ) S? ; S 4 4, тк по теореме о -х перпендикулярах ) (, )? Искомый угол ; tg( ), 60 4) (, )? Искомый угол, tg( ) 0 47

45 5) Разложить по,, ( + + ) 6) (, )?, ( ) ( ) ( ) Искомый угол 90 Ответ: ) 44 ( + ) см ; ) 4 см ; ) 60 ; 4) 0 ; 5) ( + + ) ; 6) 90 С- O F ВАРИАНТ 4 Дано: В чем ошибка чертежа, где O F F должна быть проведена штрихами α P Дано: параллелепипед, P, Построить: ) P, P ; ) P ; ) P ) Проведем P до пересечения с точка их пересечения F искомая; проведем P до пересечения с точка их пересечения G искомая ) Проведем P ) Проводим, PS, S S P 48

46 С- Дано: параллелепипед Доказать, что прямые и, и, и являются скрещивающимися и скрещиваются, тк, а пересекает ее Аналогично и другие пары Дано: a b, a, b, через можно провести прямую, пересекающую лишь одну из прямых Лежит ли в одной плоскости с a и b? Нет, тк в плоском случае прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую С- Дано: a α, α Доказать: b: b α, a b, b Доказательство: Проведем β через a и, она пересечет α по прямой, параллельной a, тк a α, эта прямая будет искомой Чтд Дано: параллелограмм, 00,, Построить: ; ; Найти: (, ) Проводим H, H H; H; параллелограмм (, ) (, ) тк угол между прямыми от 0 до 90 Ответ: ) 80 С-4 Дано: a, b, c не лежат в одной плоскости a b c,, Доказать: Доказательство: a b, параллелограмм 00 a b c 49

47 Аналогично параллелограмм параллелограмм Чтд 50 Дано: α β, α, β Найти: взаимное расположение и Если, то параллельны или пересекаются, если и скрещиваются, то скрещиваются Ответ: Пересекаются или скрещиваются, если ; скрещиваются, если и скрещиваются С-5 Дано: параллелепипед, P P, P,,, Найти: (, P) Тк, то параллелепипед прямой (P; ) 90 Ответ: 90 Дано: тетраэдр, 4 см, 6 см, 6 см, 45 Найти: S() По теореме косинусов (6 ) cos по формуле Герона S() см Ответ: 48 см С-6 P β α F Дано: тетраэдр, все ребра равны a, P, P P,, : : Построить: сечение, проходящее через P и параллельно Найти: его площадь

48 Проводим PF, F PF искомое сечение, PF a a средняя линия PF По теореме косинусов: 4 a a a a P F + cos a a a a a a a S a a Ответ: 6 Дано: параллелепипед,, P, Построить: сечение, проходящее через, P и Решение Проводим P S S () Проводим S F PF искомое сечение a a a a 6 a a a F S P С-7 Дано: α, α, 4, α, 0,,, α, α, α, α Найти: Проводим среднюю линию трапеции Из подобия следует ; ; 5; α 0 5 Ответ: Дано: α, a α, b a, b α, b β, β α c Найти: взаимное расположение b и c a α, b a b α b c Ответ: b c 5

49 С-8 Дано:,, середина, Доказать: Доказательство:, тк равнобедренный Тк и, то () тк () Чтд Дано: окружность (O, O), окружности, окружность лежит в плоскости α, α,, диаметр окружности, хорда, 45, O Доказать: прямоугольный Найти: O α прямоугольный (тк опирается на диаметр ), и по теореме о -х перпендикулярах прямоугольный, ВСА прямоугольный, 4 sin45 Из :,, по теореме Пифагора + 8 Ответ: С-9 Дано: плоскости α β; точка ;, α α,, β, прямым, ;,, 50, перпендикуляр к α, 4, L перпендикуляр к β Найти: L β L L по двум углам L () L L по двум углам () 5

50 L Умножим () на (), получим ; L учитывая, имеем L L L L Ответ: 54 С-0 Дано:, m, 0, P, PH, H, PH m Найти: P H прямоугольный (H H по теореме о -х перпендикулярах); H60 80 ; m P H H sin60 m Из прямоугольного PH по теореме Пифагора P PH H Дано:, 90, 0, 5, 5 Найти: угол между и плоскостью Из т на плоскость опустим перпендикуляр H H центр описанной окружности H H H R R, m m m m Ответ: 4 5 тк радиус равен половине гипотенузы ; cos cos 0 5 R H ; 5 Из прямоугольного H: cos 0 H 5 cos H Ответ: cos cos 0 0cos0 H 5

51 С- Дано: α β c, α, α, α р(, β) 60 см, р(, β) 48 см Расстояние от одной из точек до c равно 50 β Найти расстояние от другой Тк 48 < 50 < 60, то р(, С) sin( (α, β)) c р(, c) 6,5 см Ответ: 6,5 см sin αβ (, ) 4 α P Дано:, 90,, α, Q S α, (α, ) 0 Найти: (, α) N Строим: H H (α ) H, α, N H, N α H N α Через т и N проводим в α прямые, перпендикулярные к N, и опускаем на них перпендикуляры из точек и Пусть их основаниями являются точки Q и P соответственно Через т в α проводим прямую, перпендикулярную N Пусть PQ пересекает ее в т S Очевидно, SH α a a Пусть a H Q P sin0 SH SH a (α, ) arcsin arcsin 45 Ответ: 45 H a С- H F Дано: правильный, 4,,, (, ) 90, (, ) 60 Найти: S() H H, HF F FH 60 54

52 HF 4 H S() 4 6 Ответ: 6 Дано: прямоугольный параллелепипед, квадрат,, ) Найти: N ) Доказать: ) 9, 9 Пусть, N, тогда,, тк параллелепипед прямоугольный, то ( ) N ( ) и N (тк, то N параллелограмм и N) N ( ) Чтд Ответ: ) С- Дано: правильная S F четырехугольная призма, a, 4a Через и середину 4 проведена плоскость Найти: S сеч O Пусть F середина Проводим F, F искомое сечение a F a PQ средняя линия PQ H, O OH 4 SO Ответ: 4 a Пусть S середина F 4 a a a a a + a S сеч a a 4 55

53 Дано: прямой параллелепипед, ромб, m, 5, через и проведена плоскость α, (α, ) 60 Найти:, S сеч H H H H 60 m S( ) H m H tg60 m 6m S( ) 6 m S сеч m Ответ:, m cos60-4 H Дано: прямой параллелепипед, 7, 5, 60, (, ) 45 Найти: S бок H H H 45 По теореме косинусов S() S H 6 S бок + ( + ) (7 + 5) Ответ: 0 С-5 Дано: наклонный параллелепипед,, квадрат, a, b Найти: S( ) 56

54 Тк, то проецируется на Но высота равна S( ) ab Ответ: ab Дано: наклонный параллелепипед, 0, S бок 880, р(, ):р(, ) Q 7 : 5, Р(, ) 6 N Найти: (( ), ( )), P (( ), ( )) углы между гранями Проводим NPQ перпендикулярное сечение S бок 0 р(npq) р(npq)88 Пусть QP 7x Q 5x р 88 44x x QP 4, Q 0 По теореме косинусов: Q QP arccos QPN 0 Ответ: 0 и 60 + QP P Q QP 40 arccos arccos С-6 S Дано: S правильная четырехугольная пирамида, (S, ) 60, H р(, S) 4, середина Найти: S бок F O Проведем F SF SF 60 H SF H 4 F 8 O центр F FO 4 SO 4 tg60 4 SF S бок Ответ: 8 57

55 S Дано: S правильная треугольная пирамида, высота основания равна, рас- стояние от середины основания до противоположного ребра равно Найти: ) углы между боковыми гранями; O ) плоский угол при вершине ), S, По теореме о -х перпендикулярах S S S, S arctg (, тк 4, тк и правильный) ) arcsin 4 S 80 arcsin 4 Ответ: ) arctg ; ) 80 arcsin 4 С-7 S Дано: S пирамида, ромб, a, 60, боковые грани наклонены под углом в 60 к плоскости основания Найти: высоту, S бок O SO, O N N O, N N ; S( ) a sin 60 a N O a a, тк O, 4 a то S SO 45 O SO и S 4 4 a 6a S бок 4 a 4 Ответ: 6a 58

56 Дано: пирамида, a, 0, () (), () (), ((), ()) 45 Найти: S бок Тк и Проведем H, по ТТП H и Н 45 H Hsin H sin(80 0 ) a a 6 H H, тк H и H 45 H a a sin, H Sбок ( H + + ) a 6 a a a a+ a + a 4 a Ответ: ( 6 ) ( 6 ) + + С-8 Дано: S правильная четырехугольная пирамида, a, боковые S Q грани наклонены к основанию под углом 60, через сторону основания пер- P пендикулярно к противоположной стороне проведена плоскость L O H Найти: S сеч SH, HL HL SHL 60 L SH PQ, PQ PQ S LH L L PQ QP искомое сечение SO высота пирамиды a LH a L asin60, SH a cos 60 a, 59

57 a a H a cos60 PQ S сеч a a a a a + Ответ: 8 8 Дано: F усеченная правильная пирамида, 8, 6 Через боковое ребро и середину противо- F положной стороны верхнего основания проведена плоскость, S сеч O N Найти: S бок F, F; проводим N, N N данное сечение и трапеция F равнобокая и середина F, N середина N и N F N апофема 6 9, N 8 ; O N O S ( N ) + N Спроецируем F на, получим F, у которого O 6, O, но O 8, ON 4 N N O F N S бок (6 + 8 ) 4 Ответ: 4 С-9 Дано: параллелепипед, ромб, F F и середины и соответственно Записать векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые: ) сонаправлены с F ; ) противоположно направлены ; ) имеют длину, равную 60

58 ) F средняя линия F F это и ) Очевидно, это и, тк ) Очевидно,, и Дано: α β, α γ, β γ, γ α, β Будут ли коллинеарны и? γ α и β будут γ Ответ: да α β С-0 Дано: параллелепипед Найти: Ответ: Дано: треугольная призма, правильный, см, O середина Найти: O O + O O O O cos0 Ответ: см см 6

59 С- Дано: тетраэдр, медиана, середина Выразить: через, и ( + ) + ( + ) + ( + ) Ответ: Дано: параллелепипед, диагонали пересекаются в т O, ( O + + ) Найти: O + + O + O, O Ответ: С- Дано: тетраэдр, O т пересечения медиан, F, F F : F : Разложить OF по, и OF F O O + ( + ) 4 + ( ) ( + ) Ответ: + 4 Дано: параллелепипед Доказать: его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (используя векторы) Доказательство: Пусть O середина, тогда O

60 Пусть O середина O O и O совпадают; для других аналогично С- Дано: тетраэдр,, 4 см, см, 90, 60,,, O точка пересечения медиан Найти: ) S бок ; ) S сеч плоскостью ; ) (, ); 4) (, ); 5) разложить O по, и ; O 6) (, ) ) (4 ) S бок tg60 cos см ) ( ) S() 4 4 см ) (, ) arctg 60 4) аналогично пункту (, ) 4 arctg 60 arctg 60 5) O + O + ( + ) + ( + ) ( + + ) 6) (, ) (, ) 90 Ответ: ) ( + 56 ) см ; ) 4 см ; ) 60 ; 4) arctg 60 ; 5) ( + + ) ; 6) 90 6

61 С- O N ВАРИАНТ 5 Дано: трапеция,,, середина, O, () Найти: при каком условии,, O и лежат в одной плоскости O (), когда O, тк середина, то O середина Ответ: когда O середина Построить линию пересечения плоскостей ( ) и ( ) Построение:, N, N, N, N искомая прямая С- b F a F P Дано: a и b скрещивающиеся прямые Найти: взаимное положение прямых F и a, F и b Если прямые F и a, F и b параллельны или пересекаются, то прямые и лежат в одной плоскости Значит, прямые a и b лежат в одной плоскости противоречие Значит, F и a, F и b скрещиваются Ответ: они попарно скрещиваются Дано: тетраэдр,, F, P, середины,,, соответственно Доказать: P и F пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Доказательство: средняя линия Значит,, 64

62 FP средняя линия Значит, FP, FP Значит, FP и FP Значит FP параллелограмм Его диагонали F и P пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Чтд С- Дано: и не лежат в одной плоскости, середина, H середина, середина, (H) P Доказать: PH и пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Доказательство: H средняя линия Значит, H, H Значит, (H) пересекает () по прямой, параллельной Значит, P средняя линия P, P Значит, PH параллелограмм Его диагонали PH и пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Чтд Дано: параллелограмм, 0,, ) Построить линию пересечения OO плоскостей, проходящих через прямую и точку и прямую и точку ) Найти взаимное положение OO и ) (OO, )? ) Через т проведем прямую H, параллельную H H Через т проведем прямую F, параллельную F F, O, F H O OO линия пересечения плоскостей () и ( ) ) ( ), ( ) Значит, OO ) OO, (; OO ) (; ) Ответ: ) OO ; ) 60 P H O F O H 65

Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 10 класс

Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 10 класс АВ Тронин Решение контрольных и самостоятельных работ по геометрии за 0 класс к пособию «Дидактические материалы по геометрии для 0 класса / БГ Зив 6-е изд М: Просвещение, 00» Учебно-практическое пособие

Подробнее

три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения.

три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения. три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения. 17. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см², а высота

Подробнее

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний»

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Задание 13 Тема «Полный курс геометрии за 7-9 класс. Тестовые вопросы» http://vekgivi.ru/13_oge/ Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Вопрос 1: Вертикальные углы равны Обоснование:

Подробнее

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии.

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Обозначения: AВС треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне

Подробнее

Планиметрия (расширенная)

Планиметрия (расширенная) 1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Тупой угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90 + половина третьего

Подробнее

n n a a Формулы n n n a a b

n n a a Формулы n n n a a b Алгебра Формулы сокращенного умножения: Квадрат суммы ( + = + + Квадрат разности ( - = - + Разность квадратов = ( + ( Куб суммы ( + = + + + Куб разности ( - = - + - Сумма кубов + = ( + ( - + Разность кубов

Подробнее

Двенадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Четырнадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 17 апреля 2016 года

Двенадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Четырнадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 17 апреля 2016 года Двенадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Четырнадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 17 апреля 2016 года Решения задач 8 9 класс 1. (А. Блинков) В шестиугольнике равны

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Планиметрия (часть II) Задание 5 для 9-х классов. ( учебный год)

МАТЕМАТИКА. Планиметрия (часть II) Задание 5 для 9-х классов. ( учебный год) Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет) Заочная физико-техническая школа МАТЕМАТИКА Планиметрия (часть II) Задание 5 для

Подробнее

Лекция 14 ТЕМА. Геометрия. Стереометрия.

Лекция 14 ТЕМА. Геометрия. Стереометрия. Лекция 14 ТЕМА Геометрия. Стереометрия. Автор: Максим Игоревич Писаревский, Преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Москва, 2017 Определения и свойства Многогранники Определения и свойства

Подробнее

ID_7510 1/9 neznaika.pro

ID_7510 1/9 neznaika.pro 1 Анализ геометрических высказываний Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Молодечненский государственный политехнический колледж

Министерство образования Республики Беларусь Молодечненский государственный политехнический колледж Министерство образования Республики Беларусь Молодечненский государственный политехнический колледж Практическая работа: Решение задач по теме: «Пирамида, еѐ виды и свойства. Объѐм, площадь поверхности».

Подробнее

Тема 21 «Трапеция. Многоугольники».

Тема 21 «Трапеция. Многоугольники». Тема 1 «Трапеция. Многоугольники». Трапеция четырехугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются

Подробнее

В13 (часть 1) Решение заданий. по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014 года. МБОУ СОШ 5 «Школа здоровья и развития» г.

В13 (часть 1) Решение заданий. по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014 года. МБОУ СОШ 5 «Школа здоровья и развития» г. МБОУ СОШ 5 «Школа здоровья и развития» г. Радужный Решение заданий В3 (часть ) по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 204 года Автор: учитель математики Е.Ю. Семёнова Найдите объем параллелепипеда

Подробнее

МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 16 ЕГЭ. Р. К. Гордин МАТЕМАТИКА. Под редакцией И. В. Ященко ГЕОМЕТРИЯ. ПЛАНИМЕТРИЯ. Р. К.

МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 16 ЕГЭ. Р. К. Гордин МАТЕМАТИКА. Под редакцией И. В. Ященко ГЕОМЕТРИЯ. ПЛАНИМЕТРИЯ. Р. К. МАТЕМАТИКА 07 Под редакцией И. В. Ященко ЕГЭ Р. К. Гордин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 6 Задача 6. Профильный уровень ЕГЭ 07 МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА 07 ЕГЭ Под редакцией И. В. Ященко профильный уровень ЗАДАЧА 6 Р. К.

Подробнее

Параллелепипед Параллелепипедом ребрами вершинами противолежащими противолежащими смежными Теорема Доказательство прямым

Параллелепипед Параллелепипедом ребрами вершинами противолежащими противолежащими смежными Теорема Доказательство прямым Параллелепипед Термин «параллелепипедальное тело» встречается впервые у Евклида и означает дословно «параллеле» - плоскостное тело. Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм.

Подробнее

1. В прямой треугольной призме стороны основания равны 12 см, 17 см,

1. В прямой треугольной призме стороны основания равны 12 см, 17 см, Тест по теме 62 «Сечения многогранников» 1. В прямой треугольной призме стороны основания равны 12 см, 17 см, 21 см. Высота призмы 18 см. Найти площадь сечения проведенного через боковое ребро и меньшую

Подробнее

Планиметрия. 1. Площади плоских фигур. Площадь треугольника: Сайт: стр. 1

Планиметрия. 1. Площади плоских фигур. Площадь треугольника: Сайт:  стр. 1 1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Биссектриса, медиана и

Подробнее

КГА ПОУ «ПКЛТТ» МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ» по дисциплине математика, курс 1 для студентов очной формы обучения Токарская М.С.

КГА ПОУ «ПКЛТТ» МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ» по дисциплине математика, курс 1 для студентов очной формы обучения Токарская М.С. КГА ПОУ «ПКЛТТ» МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ» по дисциплине математика, курс 1 для студентов очной формы обучения Токарская М.С. 014 Г.ЛЕ С О З А В О Д С К Пояснительная записка Данное учебно-методическое

Подробнее

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38.

33. Равнобедренный треугольник 34. Равносильные уравнения 35. Равносторонний треугольник 36. Ромб 37. Скалярное произведение векторов 38. Оглавление 1. Арифметическая прогрессия 2. Арифметический квадратный корень 3. Биссектриса 4. Вписанная окружность 5. Выпуклый четырёхугольник 6. Геометрическая прогрессия 7. Деление с остатком 8. Делимость

Подробнее

Подготовлено на основе книги: Гордин Р. К. ЕГЭ Математика. Решение задачи 18. М.: МЦНМО, с.

Подготовлено на основе книги: Гордин Р. К. ЕГЭ Математика. Решение задачи 18. М.: МЦНМО, с. УДК 373:51 ББК.1я7 Г68 Гордин Р. К. ЕГЭ 015. Математика. Решение задачи 18. Электронное издание М.: МЦНМО, 015 447 с. ISN 978-5-4439-14- Пособие содержит решения всех задач книги Р. К. Гордина «ЕГЭ 015.

Подробнее

Тринадцатая олимпиада по геометрии

Тринадцатая олимпиада по геометрии Тринадцатая олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина Заочный тур. Решения 1. (А.Заславский) (8) Нарисуйте на клетчатой бумаге четырехугольник с вершинами в узлах, длины сторон которого различные простые

Подробнее

3. Найдите площадь поверхности. многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

3. Найдите площадь поверхности. многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 1.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Подробнее

12. Параллельное проектирование. Возьмем в евклидовом пространстве E., в которой наша прямая (рис.23) пересекает заданную плоскость.

12. Параллельное проектирование. Возьмем в евклидовом пространстве E., в которой наша прямая (рис.23) пересекает заданную плоскость. Лекция 3. Методы изображений 27 2. Параллельное проектирование. Возьмем в евклидовом пространстве E 3 некоторую плоскость σ и какой-нибудь ненулевой вектор p r, непараллельный этой плоскости. Пусть A -произвольная

Подробнее

ID_9084 1/9 neznaika.pro

ID_9084 1/9 neznaika.pro Углы и расстояния в пространстве Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Высота

Подробнее

Объем пирамиды Теорема. Теорема. : Доказательство.

Объем пирамиды Теорема. Теорема. : Доказательство. Объем пирамиды Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит установил, что объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой. Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс

Подробнее

1. Требования к уровню подготовки выпускников

1. Требования к уровню подготовки выпускников 1. Требования к уровню подготовки выпускников уметь: - пользоваться языком геометрии для описания предметов окружающего мира; - распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение; -

Подробнее

Одиннадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Тринадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 12 апреля 2015 года

Одиннадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Тринадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 12 апреля 2015 года Одиннадцатая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Тринадцатая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 12 апреля 2015 года Решения задач 8 9 класс 1. (Ю. Блинков) В треугольнике высота

Подробнее

Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника. Параллелограмм

Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника. Параллелограмм Самостоятельная работа 1 Вариант 1 Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника. Параллелограмм 1. 1 Укажите рисунок, на котором изображен вы пуклый четырехугольник A. В Б Г 2. 2 Дан произвольный

Подробнее

Практическое занятие: Шар и сфера. Комбинации многогранников и тел вращения.

Практическое занятие: Шар и сфера. Комбинации многогранников и тел вращения. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Филиал «Молодечненский государственный политехнический колледж» учреждения образования «Республиканский институт профессионального образования» Практическое

Подробнее

Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми И. В. Яковлев Материалы по математике thus.ru Угол между скрещивающимися прямыми Скрещивающиеся прямые не пересекаются. Можно ли в таком случае говорить об угле между ними? Оказывается, можно. Угол между

Подробнее

c c

c c Тема: Многогранники Призмы Демонстрационный вариант Решение Задание Стереометрия Задачи 9 и (ЕГЭ профиль) Задача 6 (ЕГЭ база) Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны

Подробнее

МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 16 ЕГЭ МАТЕМАТИКА. Р. К. Гордин. Под редакцией И. В. Ященко ГЕОМЕТРИЯ. ПЛАНИМЕТРИЯ. Р. К.

МАТЕМАТИКА РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 16 ЕГЭ МАТЕМАТИКА. Р. К. Гордин. Под редакцией И. В. Ященко ГЕОМЕТРИЯ. ПЛАНИМЕТРИЯ. Р. К. МАТЕМАТИКА 017 Под редакцией И. В. Ященко ЕГЭ Р. К. Гордин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 16 Задача 16. Профильный уровень ЕГЭ 017 МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА 017 ЕГЭ Под редакцией И. В. Ященко профильный уровень ЗАДАЧА 16

Подробнее

ИСКУС КУ СТВ ССТВ ВО РЕШ О РЕ

ИСКУС КУ СТВ ССТВ ВО РЕШ О РЕ МАТЕМАТИКА ВСЁ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ! ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ: ОТ ПЕРИМЕТРА ДО ПЛОЩАДИ ИСКУССТВО ССТВС РЕШАТЬ ЗАДАЧИ АЧИ Окончание Начало в (7) 0 Пусть,, и середины сторон,, и квадрата, площадь которого равна Найдите

Подробнее

В треугольнике ABC,,. Найдите высоту CH. В треугольнике ABC угол A равен, внешний угол при вершине B равен. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике ABC,,. Найдите высоту CH. В треугольнике ABC угол A равен, внешний угол при вершине B равен. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах. Прототипы (456) заданий В-04 ЧАСТЬ 2 Задание B4 ( 27473) В треугольнике ABC,,. Найдите высоту CH. Задание B4 ( 27474) В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите. Задание B4 ( 27742) Один острый угол прямоугольного

Подробнее

I. Аннотация. 1. Наименование дисциплины в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики

I. Аннотация. 1. Наименование дисциплины в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики 1 I Аннотация 1 Наименование дисциплины в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики Цель и задачи дисциплины Целью освоения дисциплины является:

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

СПРАВОЧНИК ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОСНОВНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ В 9 КЛАССЕ

СПРАВОЧНИК ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОСНОВНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ В 9 КЛАССЕ Муниципальное автономное образовательное учреждение "Средняя общеобразовательная школа 6" СПРАВОЧНИК ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОСНОВНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ В 9 КЛАССЕ Составил: учитель математики Барда Мария

Подробнее

I. Аннотация 1. Наименование дисциплины (или модуля) в соответствии с учебным планом 2. Цель и задачи дисциплины (или модуля)

I. Аннотация 1. Наименование дисциплины (или модуля) в соответствии с учебным планом 2. Цель и задачи дисциплины (или модуля) 1 I. Аннотация 1. Наименование дисциплины (или модуля) в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики. Цель и задачи дисциплины (или модуля)

Подробнее

Общие комментарии: Ответ на любой вопрос начинается с формулировок (определений, теорем);

Общие комментарии: Ответ на любой вопрос начинается с формулировок (определений, теорем); Оглавление 1. Выпуклые и невыпуклые многоугольники и их свойства...2 2. Четырехугольник и его свойства...2 3. Средняя линия треугольника. Свойство средней линии треугольника...3 4. Средняя линия треугольника.

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Настоящая рабочая программа учебного курса по геометрии для обучающихся разновозрастного класса разработана в соответствии с

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Настоящая рабочая программа учебного курса по геометрии для обучающихся разновозрастного класса разработана в соответствии с ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Настоящая рабочая программа учебного курса по геометрии для обучающихся разновозрастного класса разработана в соответствии с требованиями: примерной программы среднего (полного) общего

Подробнее

(задание 8; 14) Пирамида и ее элементы

(задание 8; 14) Пирамида и ее элементы Вебинар 7 Тема: Многогранники. Расстояния. Подготовка к ЕГЭ (задание 8; 4) Пирамида и ее элементы Пирамида многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемым основанием пирамиды,

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по предмету Геометрия 1.Планируемые результаты освоения учебного предмета.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по предмету Геометрия 1.Планируемые результаты освоения учебного предмета. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по предмету Геометрия 1.Планируемые результаты освоения учебного предмета. В результате изучения геометрии на базовом уровне в 10классе в старшей школе ученик должен Знать/понимать существо

Подробнее

Серия «Зачет на 5» Зайцева И.А. ОКРУЖНОСТЬ 8 класс НОЯБРЬСК

Серия «Зачет на 5» Зайцева И.А. ОКРУЖНОСТЬ 8 класс НОЯБРЬСК Серия «Зачет на 5» Зайцева И.А. ОКРУЖНОСТЬ 8 класс НОЯБРЬСК «Окружность» 3 Вопросы к зачету по главе VIII «О К Р У Ж Н О С Т Ь». Каково взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения

Подробнее

Подготовка к ЕГЭ 2014, стереометрия

Подготовка к ЕГЭ 2014, стереометрия 1 Подготовка к ЕГЭ 2014, стереометрия Интерактивный комплект 2. Параллельность и перпендикулярность 2.3. Теорема о трех перпендикулярах Пособие содержит описание основных понятий, методов расчёта, примеры

Подробнее

Многогранники. Пирамида. Шабрыкина Наталья Сергеевна, к.ф.-м.н., доцент ПНИПУ

Многогранники. Пирамида. Шабрыкина Наталья Сергеевна, к.ф.-м.н., доцент ПНИПУ Многогранники. Пирамида Шабрыкина Наталья Сергеевна, к.ф.-м.н., доцент ПНИПУ Понятие многогранника Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Подробнее

В6 все задачи из банка. Прямоугольный треугольник

В6 все задачи из банка. Прямоугольный треугольник В6 все задачи из банка Использование тригонометрических функций. Прямоугольный треугольник 27238. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AB. 27232. В треугольнике ABC угол C равен,,. Найдите AC. 27235.

Подробнее

Тема 14. Параллельность прямых и плоскостей. 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости

Тема 14. Параллельность прямых и плоскостей. 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости Тема 14. Параллельность прямых и плоскостей 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости Параллельные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости

Подробнее

1. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом (формулировка, чертёж).

1. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом (формулировка, чертёж). Билет 1 1. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из аксиом (формулировка, чертёж). 2. В правильной четырёхугольной призме ребро равно 9, а диагональ равна 41. Найдите площадь сечения призмы плоскостью,

Подробнее

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. «Перовская школа- гимназия»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение. «Перовская школа- гимназия» 2 Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Перовская школа-гимназия» РАССМОТРЕНО СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ на заседании методического замдиректора по УВР Директор МБОУ объединения учителей «Перовская

Подробнее

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по предмету "ГЕОМЕТРИЯ" для 7 класса

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по предмету ГЕОМЕТРИЯ для 7 класса Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа п.красноглинный Серовского района Свердловской области СОГЛАСОВАНО 2015 г. Зам.директора по УВР: /А.Д.Ращупкина/ УТВЕРЖДАЮ 2015

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», КЛАССЫ 1. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», КЛАССЫ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», КЛАССЫ 1. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», КЛАССЫ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», 0- КЛАССЫ Рабочая программа учебного курса «Геометрия», 0- классы составлена в соответствии федеральным компонентом государственного стандарта общего образования

Подробнее

Рабочая программа основного общего образования по геометрии для 9 класса, автор-составитель Московская И.Г., учитель математики.

Рабочая программа основного общего образования по геометрии для 9 класса, автор-составитель Московская И.Г., учитель математики. Статус документа Рабочая программа основного общего образования по геометрии для 9 класса, автор-составитель Московская И.Г., учитель математики. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по геометрии геометрия

Подробнее

Рабочая программа по геометрии 10 класс

Рабочая программа по геометрии 10 класс Рассмотрено Согласовано Утверждено На МО учителей с методическим директор: «28» августа 2015 советом Протокол 1 «29» августа 2015 Председатель МО «28» августа 2015 приказ Жгилева И.В председатель МС Кожаев

Подробнее

Количество набранных баллов

Количество набранных баллов Варианты заданий для проведения государственной итоговой аттестации по математике в 11 классах Задания для проведения государственной итоговой аттестации по математике в 11 классах академического уровня

Подробнее

Пирамида. 6. В правильной четырехугольной пирамиде точка центр основания, вершина,,. Найдите боковое ребро.

Пирамида. 6. В правильной четырехугольной пирамиде точка центр основания, вершина,,. Найдите боковое ребро. Пирамида 1. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

Подробнее

Рабочая программа по геометрии. Приложение 2 к ООП ООО МБОУ «СОШ 10» (утв. приказом 252 от )

Рабочая программа по геометрии. Приложение 2 к ООП ООО МБОУ «СОШ 10» (утв. приказом 252 от ) Рабочая программа по геометрии Приложение к ООП ООО МБОУ «СОШ 0» (утв. приказом 5 от.08.06) Рабочая программа по геометрии 7-9 классы УМК, используемое в образовательном процессе: Л.С. Атанасян, В. Ф.

Подробнее

параллелепипеда АD=а, АВ=b, АА 1 =с. (Ответ: V a b

параллелепипеда АD=а, АВ=b, АА 1 =с. (Ответ: V a b c Государственное автономное образовательное учреждение общеобразовательная школа-интернат Республики Коми «Коми республиканский лицей-интернат для одаренных детей из сельской местности» Елизарова Н.Г.,

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

Задание 6 Планиметрия: задачи, связанные с углами. Прямоугольный треугольник: вычисление углов

Задание 6 Планиметрия: задачи, связанные с углами. Прямоугольный треугольник: вычисление углов Задание 6 Планиметрия: задачи, связанные с углами. Прямоугольный треугольник: вычисление углов 1. В треугольнике угол равен 90, sin A = 7 25. Найдите. 2. В треугольнике угол равен 90, sin A = 17 17. Найдите.

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Пояснительная записка Предлагаемая рабочая программа составлена на основе рабочей программы по геометрии к учебнику «Геометрия 7-9 классы», авторы Л. С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк,

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», 7-9 КЛАССЫ 1. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», 7-9 КЛАССЫ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», 7-9 КЛАССЫ 1. ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», 7-9 КЛАССЫ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», 7-9 КЛАССЫ Рабочая программа учебного курса «Геометрия», 7-9 классы составлена в соответствии с требованиями к результатам основного общего образования, утвержденными

Подробнее

Задачи: Место предмета в учебном плане

Задачи: Место предмета в учебном плане 1 Пояснительная записка Рабочая программа составлена на основе: - Федерального компонента государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования по математике, утвержденного

Подробнее

В5 (2014) 3). На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. 4.

В5 (2014) 3). На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. 4. В5 (2014) 8 17 25 1) Найдите тангенс угла 9 18 26 2) Найдите тангенс угла AOB 10 19 27 11 20 28 3) На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см рисунок) Найдите его площадь

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1.

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1. 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Известно, что tg + tg = p, ctg + ctg = q. Найдите tg( + ). pq Ответ: tg. q p Из условия p tg q tg tg tg tg p и равенства ctg ctg q, получим, что

Подробнее

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту:

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 1 5 B D F K M A C G. Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую четырнадцатому варианту: ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Для выполнения домашнего задания Вам необходимо, пользуясь табл., заполнить первую строку табл., затем выписать соответствующие Вашему номеру варианта данные из табл.. Например, Вы учитесь

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С4)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С4) МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 (типовые задания С) Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи) Корянов АГ, г Брянск akoyanov@mailu Прокофьев АА, г Москва aapokof@yandexu СОДЕРЖАНИЕ

Подробнее

Двенадцатая олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина

Двенадцатая олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина Двенадцатая олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина Заочный тур. Решения 1. (А.Тригуб, Украина, 8) Дана трапеция D с основаниями D и такая, что = D. Пусть M середина стороны D. Докажите, что M =. Решение.

Подробнее

Математика 10 Тематические тестовые задания по геометрии (Физико математическое направление)

Математика 10 Тематические тестовые задания по геометрии (Физико математическое направление) Математика 10 Тематические тестовые задания по геометрии (Физико математическое направление) Пружаны 2012 Автор: Величко С.Н., учитель математики ГУО «Гимназия г. Пружаны» Рецензент: Коробко В.Ф., учитель

Подробнее

Многогранники. Призма. Шабрыкина Наталья Сергеевна, к.ф.-м.н., доцент ПНИПУ

Многогранники. Призма. Шабрыкина Наталья Сергеевна, к.ф.-м.н., доцент ПНИПУ Многогранники. Призма Шабрыкина Наталья Сергеевна, к.ф.-м.н., доцент ПНИПУ Понятие многогранника Многогранником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Подробнее

Практическое занятие: Вычисление площадей поверхности объёмов конуса, усечённого конуса.

Практическое занятие: Вычисление площадей поверхности объёмов конуса, усечённого конуса. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Филиал «Молодечненский государственный политехнический колледж» учреждения образования «Республиканский институт профессионального образования» Практическое

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ГЕОМЕТРИИ 9 КЛАСС.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ГЕОМЕТРИИ 9 КЛАСС. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ГЕОМЕТРИИ 9 КЛАСС. Реквизиты программы: Программа министерства образования РФ по геометрии 7-9 классы: авторы Атанасян Л.С., В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. Составитель сборника

Подробнее

Geometrické útvary a tělesa

Geometrické útvary a tělesa Geometrické útvary a tělesa Линии. Термин «линия» (или «кривая» в широком смысле слова) не имеет определения, хотя мысленно линию можно представить как след движущейся точки. Бесчисленные попытки определить

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Пояснительная записка Рабочая программа учебного курса по геометрии для 10 класса разработана на основе Примерной программы среднего (полного) общего образования (базовый уровень) с учетом требований федерального

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Негосударственное образовательное учреждение высшего образования «Кубанский социально-экономический институт (КСЭИ)»

Негосударственное образовательное учреждение высшего образования «Кубанский социально-экономический институт (КСЭИ)» Негосударственное образовательное учреждение высшего образования «Кубанский социально-экономический институт (КСЭИ)» ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ для абитуриентов, поступающих в вуз

Подробнее

Решение. Пусть BD = 2x и BED = α. Тогда AD = 4x и C = 2α. Через вершину C проведём прямую, параллельную DE. C. M 4x

Решение. Пусть BD = 2x и BED = α. Тогда AD = 4x и C = 2α. Через вершину C проведём прямую, параллельную DE. C. M 4x ДЕСЯТАЯ открытая Краевая олимпиада школьников по геометрии им. проф. С.А. Анищенко ОЧНЫЙ ТУР, 11 КЛАСС РЕШЕНИЯ Задача 1. На сторона АВ и ВС треугольника АВС взяты точки и Е соответственно, причем / = E/E

Подробнее

Элементы сферической геометрии

Элементы сферической геометрии Дополнения к семинару 6 Элементы сферической геометрии Упражнение 6.1. Опишите все тройки точек сферы, являющиеся вершинами некоторых сферических треугольников. Сколько различных сферических треугольников

Подробнее

Восьмая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Десятая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 8 апреля 2012 года.

Восьмая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Десятая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 8 апреля 2012 года. Восьмая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина Десятая устная олимпиада по геометрии г. Москва, 8 апреля 2012 года Решения задач 8 9 класс 1. (Ю. Блинков) В трапеции стороны и параллельны,

Подробнее

ББК я72 М52 ISBN

ББК я72 М52 ISBN ББК 22.151я72 М52 Мерзляк А.Г. М52 Геометрия : 9 класс : дидактические материалы : пособие для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович и др. М. : Вентана-Граф,

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( 2 ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски)

Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( 2 ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски) Тематическое планирование по геометрии 9 класса общеобразовательной школы ( ч в неделю, всего 68 ч, применение интерактивной доски) п/п Содержание материала Четырехугольники Колво часов сроки приме чание

Подробнее

Программа вступительных испытаний по математике Настоящая программа состоит из трех разделов. В первом разделе перечислены основные математические

Программа вступительных испытаний по математике Настоящая программа состоит из трех разделов. В первом разделе перечислены основные математические Программа вступительных испытаний по математике Настоящая программа состоит из трех разделов. В первом разделе перечислены основные математические понятия, которыми должен владеть поступающий как на письменном,

Подробнее

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1.1. Аксиомы стереометрии (наличие четырех точек не на плоскости, принадлежность прямой B к плоскости, плоскость через три точки

Подробнее

БЮДЖЕТНО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОМСКОЙ ОБЛАСТИ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОМСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ КОЛЛЕДЖ ИМЕНИ Н. Е.

БЮДЖЕТНО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОМСКОЙ ОБЛАСТИ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОМСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ КОЛЛЕДЖ ИМЕНИ Н. Е. БЮДЖЕТНО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОМСКОЙ ОБЛАСТИ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОМСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ КОЛЛЕДЖ ИМЕНИ Н. Е. ЖУКОВСКОГО» МНОГОГРАННИКИ Рабочая тетрадь студента (ки) группы Фамилия

Подробнее

Санкт-Петербургский государственный университет, 1984 год математико-механический факультет. Вариант 1

Санкт-Петербургский государственный университет, 1984 год математико-механический факультет. Вариант 1 Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru Санкт-Петербургский государственный университет, 1984 год математико-механический факультет Вариант 1 1. На промежутке (1; 10] определите

Подробнее

Задачи по планиметрии с комментариями и решениями (часть 1)

Задачи по планиметрии с комментариями и решениями (часть 1) АВТОНОМНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ХАНТЫ-МАНСИЙСКОГО АВТОНОМНОГО ОКРУГА-ЮГРЫ «ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ» Задачи по планиметрии с комментариями и решениями (часть 1)

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В 11 КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В 11 КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ЗАЧЕТА ПО МАТЕМАТИКЕ В КЛАССЕ (ОДНОГОДИЧНИКИ) Задачи типа 4 (приложение производной): На прямой y найдите точку, через которую проходят две перпендикулярные касательные к графику функции

Подробнее

Билеты по геометрии 7 класс

Билеты по геометрии 7 класс Билеты по геометрии 7 класс Билет 1. 1.Смежные углы: определение и свойства. Доказательство одного из них. 2.Задача по теме «Равнобедренный треугольник» 3.Построение прямоугольного треугольника по катету

Подробнее

А.С. Крутицких и Н.С. Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. http://matematikalegko.ru Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Планиметрия: квадрат, прямоугольник, треугольник. 27583.

Подробнее

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Приложение 26 к приказу 853-1 от 27 сентября 2016 г. МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) в МАИ в 2017 году 1 В первом разделе перечислены основные математические

Подробнее

Вариант 1. x x = 9. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Вариант 1. x x = 9. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Вариант 1 1 81 1. а) Решите уравнение ( ) cos sin = 9. π π;.. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 0, а боковое ребро SA равно 7. Точки M и N середины рёбер SA и SB соответственно.

Подробнее

Календарно-тематическое планирование в 9 классе

Календарно-тематическое планирование в 9 классе Календарно-тематическое планирование в 9 классе Да та урока Тема урока Виды учебной деятельности Виды контроля Требования к уровню Подготовки обучающихся 1 Повторение материала 7-8 класса Индивидуаль ная

Подробнее

àñòü 1 1. Âû èñëèòü: ( Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óìåíüøèòñÿ îáüåì ïèðàìèäû, åñëè óìåíüøèòü ïëîùàäü åå îñíîâàíèÿ íà 20%?

àñòü 1 1. Âû èñëèòü: ( Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óìåíüøèòñÿ îáüåì ïèðàìèäû, åñëè óìåíüøèòü ïëîùàäü åå îñíîâàíèÿ íà 20%? . Âû èñëèòü: ( 9 5 + 7 ) 5 + ( 3 + 7 6 ) 5. àñòü. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ óìåíüøèòñÿ îáüåì ïèðàìèäû, åñëè óìåíüøèòü ïëîùàäü åå îñíîâàíèÿ íà %? 5. 3. Îïðåäåëèòü èñëî n ëåíîâ àðèôìåòè åñêîé ïðîãðåññèè, åñëè

Подробнее

Банк заданий по математике 6 класс «Многоугольники и многогранники»

Банк заданий по математике 6 класс «Многоугольники и многогранники» Банк заданий по математике 6 класс «Многоугольники и многогранники» 1. Многогранник это замкнутая поверхность, составленная из: параллелограммов многоугольников и треугольников многоугольников многоугольников

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые Скрещивающиеся прямые Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны. Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой

Подробнее

Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности. Куб 1. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ. 2. 3. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится

Подробнее

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ» Бардушкин В.В., Корянов А.Г., Прокофьев А.А.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ» Бардушкин В.В., Корянов А.Г., Прокофьев А.А. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ДВУГРАННЫЙ УГОЛ УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ» Бардушкин ВВ, Корянов АГ, Прокофьев АА Задачи, связанные с вычислением величин двугранных углов и углов между плоскостями, традиционно

Подробнее