К ПОСТРОЕНИЮ ЭТАЛОННОГО ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "К ПОСТРОЕНИЮ ЭТАЛОННОГО ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ"

Транскрипт

1 93 УДК 5798 К ПОСТРОЕНИЮ ЭТАЛОННОГО ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ АД Мижидон Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления Россия, 673, Улан-Удэ, Ключевская ул, В E-ail: КА Мижидон Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления Россия, 673, Улан-Удэ, Ключевская ул, В E-ail: Ключевые слова: эталонный закон движения, фазовые ограничения, оптимальное управление, весовой коэффициент, установившееся движение Аннотация: В статье предлагается аналитико-численный метод построения эталонного закона движения одной динамической системы Под эталонным управлением понимается допустимое управление, обеспечивающее удержание стационарной траектории системы в некоторых фазовых ограничениях при постоянно действующих возмущениях В качестве внешних возмущений рассматриваются полигармонические функции, для гармоник которых известны амплитуды, частоты, и при этом не известны начальные фазы Для построения эталонного закона движения решается вспомогательная задача оптимального управления, функционал которого зависит от весового коэффициента Окончательный выбор весового коэффициента обеспечивает построение эталонного закона Приведены все теоретические обоснования предлагаемого подхода Введение В процессе проектирования динамических систем необходимо удовлетворить всем ограничениям, отражающим различные технические требования к проектируемому объекту На стадии проектирования, предшествующей конструкторским разработкам, наиболее важными, можно полагать, являются ограничения, накладываемые на динамические характеристики объекта Это связано с тем, что нормальное функционирование различных систем является допустимым в техническом плане только тогда, когда протекает в рамках каких-либо фазовых ограничений В условиях, когда заданы количественные характеристики этих ограничений, при решении вопроса о выборе структуры проектируемой системы вначале, не рассматривая вопроса о физической реализуемости, представляет интерес задача построения эталонного закона функционирования системы, те такого закона движения объекта защиты, удовлетворяющего всем этим требованиям [] Учет этих требований приводит к рассмотрению задач управления с фазовыми и другими ограничениями В статье для построения эталонного закона функционирования системы рассматривается задача управления линейной динамической системой, в которой основной целью управления является удержание системы в фазовых ограничениях при заданном детер- ВСПУ- Москва 6-9 июня г

2 9 минированном возмущении Разработка аналитико-численного метода построения эталонного закона основана на подходе, предложенном в [], согласно которому предлагалось рассмотреть вспомогательную задачу оптимального управления с квадратичным критерием качества, матрицы которого зависят от некоторых весовых коэффициентов, выбором которых в конечном итоге обеспечивается при оптимальном управлении выполнение фазовых ограничений i i Постановка задачи Рассмотрим линейную управляемую систему с постоянными коэффициентами ( x ut ( (, t x( x, где x -мерный вектор обобщенных координат системы; ut ( -мерный вектор управления; ( t -мерный вектор внешних возмущений Компоненты векторфункции ( t являются полигармоническими функциями ( ( t si( t, ( i,,, Здесь амплитуды i ( i,,, и частоты (, гармоник известны, а начальные фазы, (, неизвестны Система управляется на бесконечном промежутке времени t При этом допустимыми управлениями ut ( являются непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие неравенствам (3 u ( t Ru( t, (,,, p, t, где R симметричная положительно-определенная -матрица Нормальное функционирование системы предполагает выполнение в установившемся режиме в каждый момент времени t фазовых ограничений ( x ( tqxt l (, ( l,,, s Здесь Q l симметричная, неотрицательно-определенная - матрица Требуется при полигармоническом возмущении ( t с «наихудшими» начальными фазами (, найти допустимое управление u ( t, при котором на траектории установившегося движения системы ( выполняются в каждый момент времени t фазовые ограничения ( Определение Под «наихудшими» начальными фазами (, понимаем такие начальные фазы, для которых найдется момент времен t такой, что при всех, si( t Ниже евклидовая норма Теорема Если управление u ( t удовлетворяет условию (5 ut (, t, где число наименьшее среди наибольших собственных значений матриц R, (,,, p, а соответствующая траектория x ( t условию ВСПУ- Москва 6-9 июня г

3 95 (6 x( t, t, где число наименьшее среди наибольших собственных значений матриц Ql, ( l,,, s, тогда управление u ( t является допустимым управлением, обеспечивающим выполнение фазовых ограничений ( Доказательство теоремы При фиксированном времени t и для некоторой матрицы R рассмотрим задачу математического программирования (7 ut ( i, u ( trut (, которую можно геометрически интерпретировать как задачу нахождения шара наибольшего радиуса, вписанного в эллипсоид Введя функцию Лагранжа в виде L u( t ( u ( t Ru( t, где множитель Лагранжа, запишем условия стационарности L ( ut ( Rut ( ut ( Таким образом, для нахождения стационарных точек имеем задачу ( R E u( t, u ( t Ru( t, которая заменой сводится к задаче определения собственных значений и собственных векторов матрицы R ( R E u( t, при условии u ( t Ru( t Известно, что у симметричной матрицы все собственные значения вещественны Пусть все собственные значения пронумерованы в порядке возрастания Обозначим соответствующие им собственные векторы u (, t u (, t, u ( t Минимум в рассматриваемой задаче математического программирования (7 достигается на собственном векторе u ( t, соответствующем наибольшему собственному значению Действительно, имеем равенства u ( t u (, t u ( t Ru (, t u ( t u ( t Ru ( t, из которых следует справедливость вышесказанного Таким образом, если является наименьшим среди наибольших собственных значений матриц R, (,,, p, тогда (5 определяет шар наибольшего радиуса, вписанного в пересечение эллипсоидов (3 Отсюда следует, что управление u ( t, принад- лежащее шару (5, принадлежит пересечению эллипсоидов (3, те является допустимым управлением Аналогично можно показать, если является наименьшим среди наибольших собственных значений матриц Ql, ( l,,, s, тогда (6 определяет шар наибольшего радиуса, вписанного в пересечение эллипсоидов (, и, следовательно, соответствующая управлению u ( t, траектория x ( t удовлетворяет фазовым ограниче- ниям ( Теорема доказана Определение Любое управление u ( t, удовлетворяющее ограничениям (3 и при полигармоническом возмущении ( t с «наихудшими» начальными фазами ВСПУ- Москва 6-9 июня г

4 96 (,, обеспечивающее выполнение фазовых ограничений (, назовем эталонным управлением, а соответствующее данному управлению траекторию движения x ( t эталонным законом движения В силу теоремы для построения эталонного закона движения рассмотрим задачу построения управления, удовлетворяющее ограничениям (5 и при полигармоническом возмущении ( t с «наихудшими» начальными фазами (,, обеспечивающее выполнение в установившемся режиме ограничений (6 Для этого рассмотрим вспомогательную задачу оптимального управления со среднеквадратическим функционалом, подынтегральная функция которого зависит от весового коэффициента, выбором которого обеспечивается выполнение ограничений (5 и (6 3 Решение задачи 3 Вспомогательная задача оптимального управления Рассмотрим задачу оптимального управления: xu (, t (8 Ju ( ( li xt ( ( ut ( dt i, u( где ( весовой коэффициент Задача (8 является задачей аналитического конструирования оптимальных регуляторов при постоянно действующих возмущениях [3] В силу структуры системы уравнений и подынтегральной функции задача (8 разбивается на задач оптимального управления: xi ui i(, t (9 ( i,,, Ji( ui( li xi ( t ( ui ( t dt i, ui ( Для решения задачи оптимального управления (9 можно использовать методику аналитического конструирования оптимального регулятора [3] Однако, применение методики аналитического конструирования требует решения матричного уравнения Риккати, кроме того управление будет найдено в виде закона с обратной связью и для определения эталонного закона движения возникает необходимость интегрирования уравнений движения при заданных начальных условиях Поэтому для решения задачи оптимального управления (9 рассмотрим следующий подход Так как, согласно постановке задачи, нас интересует установившийся закон движения, то будем искать стационарные оптимальные программные управления Стационарные оптимальные программные управления в задаче (9 определяются следующим образом ( ui (, t i( t, ( где i ( t сопряженная переменная Оптимальная траектория xi ( t в установившемся режиме и сопряженная переменная ( t определяется единственным стационарным решением системы i ВСПУ- Москва 6-9 июня г

5 97 xi i i(, t ( ( i xi В случае полигармонических возмущений ( стационарное решение системы ( имеет вид ( i i ( xi(, t si(, (, si( t i t t ( ( Таким образом, учитывая ( оптимальное управление и оптимальную траекторию можем записать в виде i ( ui (, t si( t (, (3 ( x (, t si( i i t ( 3 Поиск весового коэффициента Для стационарного оптимального управления u (, t вспомогательной задачи оптимального управления (8 и для соответствующей ей траектории x (, t в силу ( и (3 нормы определяются соотношениями i u (, t si( t, i ( i ( x (, t si( t i ( Согласно определению при «наихудших» начальных фазах (, имеем ( i ( ax u ( t, t i (, i ( (5 ( ax x ( t, t i ( Таким образом, если при некотором весовом коэффициенте, ( выполняется (6 ( и (7 (, то стационарное оптимальное управление u ( t вспомогательной задачи оптимального управления (8 является эталонным управлением, а соответствующая ей траектория x ( t эталонным законом движения Если не выполняется (6 или (7, рассмотрим задачу поиска весового коэффициента, обеспечивающего выполнение неравенств (6 и (7 ВСПУ- Москва 6-9 июня г

6 98 Теорема Функция ( на отрезке, монотонно возрастает, а ( на отрезке, монотонно убывает Доказательство теоремы Для доказательства монотонности этих функций покажем, что все слагаемые, входящие во вторую сумму в ( и (5, монотонны Вычислив производные от выражений, входящих в ( и (5, убедимся, что при любом производные сохраняют знак i i, ( ( i ( i ( ( Теорема доказана Таким образом, функция ( при изменении от до монотонно возрастает от до ( i i а функция ( при изменении от до монотонно убывает от до i ( i Пусть при весовом коэффициенте имеем (, а при весовом коэффици-, и при этом справедливы неравенства енте выполняется ( i i (8 и i (9 i Отметим, неравенства (8 и (9 позволяют заключить, что весовые коэффициенты и лежат внутри отрезка, Из проведенного анализа поведения функций ( и ( следует следующая теорема Теорема 3 Если выполняются неравенства (8 и (9, то для того чтобы нашелся весовой коэффициент из отрезка,, обеспечивающий выполнение неравенств (6 и (7 необходимо и достаточно выполнение условия, при этом при любом, принадлежащем отрезку,, управление ( будет эталонным, а траектория (3 эталонным законом движения ВСПУ- Москва 6-9 июня г

7 99 Заключение В статье рассмотрена задача нахождения эталонного управления одной динамической системой при постоянно действующем внешнем полигармоническом возмущении Под эталонным управлением понимается допустимое управление, обеспечивающее удержание стационарной траектории системы в некоторых фазовых ограничениях при постоянно действующих возмущениях Построение эталонного управления и соответствующего ему эталонного закона движения сводится к решению вспомогательной задачи оптимального управления с критерием, зависящим от весового коэффициента, выбор которого обеспечивает решение задачи Проведены все необходимые теоретические исследования по обоснованию предлагаемого метода Список литературы Мижидон АД, Елтошкина ЕВ, Имыхелова МБ Типовые задачи автоматизации проектирования виброзащитных систем и их алгоритмическое обеспечение // Вестник ВСГУТУ Улан-Удэ, (39 С 6- Мижидон АД, Мижидон КА Задача оптимального управления линейной системой при фазовых и смешанных ограничениях // Вестник Бурятского государственного университета 3 9 С 7-3 Мижидон АД Об одной задаче аналитического конструирования оптимального конструирования // Автоматика и телемеханика С -6 ВСПУ- Москва 6-9 июня г

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Лекция 11. Оптимальное управление

Лекция 11. Оптимальное управление Лекция 11. Оптимальное управление 11.1 Постановка задачи Задана динамическая система с управлением, описываемая системой дифференциальных уравнений в форме Коши { ẋi = f i (x, u(t)), (11.1) (i = 1,...,

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

Теория оптимального управления

Теория оптимального управления Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет Кафедра менеджмента и внешнеэкономической деятельности предприятия курс лекций по дисциплине Теория оптимального

Подробнее

НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ БЛИЗОСТИ КВАЗИОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ К ОПТИМАЛЬНОМУ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ БЛИЗОСТИ КВАЗИОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ К ОПТИМАЛЬНОМУ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 1377 УДК 51797756 НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ БЛИЗОСТИ КВАЗИОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ К ОПТИМАЛЬНОМУ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ АА Коробов Институт математики им С Л Соболева СО РАН Россия,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных. ЛЕКЦИЯ Экстремум функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных Необходимые и достаточные условия существования экстремума Точка M, 0) называется точкой минимума максимума) функции

Подробнее

Локальная теорема Коши Пикара.

Локальная теорема Коши Пикара. Локальная теорема Коши Пикара. Теорема (о существовании и единственности локального решения). Пусть дана задача Коши x = f(t, x) x(t 0 ) = x 0, (1) где правая часть f(t, x) определена и непрерывна в прямоугольнике

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1,

- количества производимых товаров, p. - цены на товары и затраты на производство товаров определены функцией издержек f ( x1, Глава Экстремумы функции двух переменных Экстремум функции двух переменных При решении многих экономических задач приходится вычислять наибольшее и наименьшее значения В качестве примера рассмотрим задачу

Подробнее

Необходимо определить управляющий вектор U оп (t)

Необходимо определить управляющий вектор U оп (t) Лекция 2 3.5.2 Поиск оптимального управления непрерывными детерминированными процессами методами Лагранжа-Понтрягина В общем виде управляемая динамическая система описывается системой дифференциальных

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Лекция 3. Производная по направлению

Лекция 3. Производная по направлению Лекция 3. Производная по направлению Производная по направлению имеет большое значение в теории математического программирования. Напомним, что производная по направлению согласно определению равна: f

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Глава 4. Задачи оптимального управления

Глава 4. Задачи оптимального управления Глава 4 Задачи оптимального управления В этой главе рассматриваются задачи оптимального управления. Приводится формулировка принципа максимума Понтрягина в общем случае, а также в частном случае для задачи

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения. Кафедра Математики и математических методов в экономике. Направление подготовки 05000

Подробнее

Лекция 13. Основы теории оптимального управления 13.1 Общие положения

Лекция 13. Основы теории оптимального управления 13.1 Общие положения Лекция 3. Основы теории оптимального управления 3. Общие положения В общем случае система автоматического управления состоит из объекта управления (управляемой системы) ОУ регулятора Р и программатора

Подробнее

СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМ С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ С ПОМОЩЬЮ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРОВ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА

СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМ С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ С ПОМОЩЬЮ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРОВ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА 338 УДК 685+597 СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМ С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ С ПОМОЩЬЮ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРОВ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА АА Федюков Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет Россия,

Подробнее

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает.

) и, следовательно, функция на этом множестве возрастает и f (x) 0 для x (1;3 ), где функция убывает. Лекции 7-9 Глава 7 Исследование функции 7 Возрастание и убывание функции Теорема о монотонности функции Если f ( на промежутке ( a ; b, то на этом промежутке функция f ( возрастает Если f ( на промежутке

Подробнее

ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ 1)

ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ 1) ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 3, том 53, 6, с. 867 877 УДК 59.658 ЗАДАЧА МИНИМИЗАЦИИ ВЫПУКЛОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И

Подробнее

Применение метода инвариантных эллипсоидов для решения линейной задачи слежения

Применение метода инвариантных эллипсоидов для решения линейной задачи слежения ТРУДЫ МФТИ. 213. Том 5, 4 Информатика, математика 115 УДК 517.977.1 К. О. Железнов 1, М. В. Хлебников 2 1 Московский физико-технический институт (государственный университет) 2 Федеральное государственное

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача

Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача 1 Задача Лагранжа Все задачи, изученные нами в предыдущих пунктах, являются частными случаями или могут быть сведены к задаче (мы сформулируем ее чуть позже), поставленной Лагранжем в сочинении Аналитическая

Подробнее

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x,

значений x и y, при которых определена функция z = f ( x, I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Метод Крылова и Черноусько.

Метод Крылова и Черноусько. Метод Крылова и Черноусько. Пусть управляемый процесс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений ẋ = f(t, x, u), t [t 0, T ], x(t 0 ) = x 0, u(t) U, где x R n вектор фазовых координат,

Подробнее

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен:

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен: Лекция 5 Задачи с подвижной границей Рассмотрим задачу минимизации функционала V F при условии что левый конец функции на которой достигается экстремум закреплен: а правый может перемещаться вдоль заданной

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Российской Федерации КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных

«Юго-Западный государственный университет» (ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных «Юго-Западный государственный университет» ЮЗГУ) Кафедра конструирования и технологии электронновычислительных средств МЕТОДЫ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Методические указания по выполнению лабораторной работы

Подробнее

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 214, том 5, 6, с. 726 744 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УДК 517.925.52+519.218 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ В СРЕДНЕМ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Подробнее

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА. к.т.н М.А. Раджух

ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА. к.т.н М.А. Раджух УДК 69487 ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИП МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА ктн МА Раджух Белорусский национальный технический университет Минск Беларусь her@malr Создание в середине 5-х годов прошлого столетия математической

Подробнее

Исследование краевой задачи для одной гибридной системы дифференциальных уравнений

Исследование краевой задачи для одной гибридной системы дифференциальных уравнений Исследование краевой задачи для одной гибридной системы дифференциальных уравнений А.Д.Мижидон Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления, Улан-Удэ e-mail: miarsdu@mail.ru С.Г.Баргуев

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

Практическое занятие 5 Экстремум функции многих переменных. 5.2 Некоторые сведения о квадратичных формах 5.3 Достаточные условия экстремума

Практическое занятие 5 Экстремум функции многих переменных. 5.2 Некоторые сведения о квадратичных формах 5.3 Достаточные условия экстремума Практическое занятие 5 Экстремум функции многих переменных 5 Определение и необходимые условия экстремума 5 Некоторые сведения о квадратичных формах 53 Достаточные условия экстремума 5 Определение и необходимые

Подробнее

6. Задача Лагранжа 6.1 Постановка задачи

6. Задача Лагранжа 6.1 Постановка задачи 6. Задача Лагранжа 6.1 Постановка задачи B (ξ) min; B i (ξ), i =1,..., m, B i (ξ)=, i =m +1,..., m, (P) ẋ α (t) ϕ(t, x(t)) = t, (1) ξ = (x( ), t, t 1 ), x( ) = (x 1 ( ),..., x n ( )) C 1 (, R n ), заданный

Подробнее

УСРЕДНЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ С БЫСТРЫМИ И МЕДЛЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

УСРЕДНЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ С БЫСТРЫМИ И МЕДЛЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ 53 УДК 579 УСРЕДНЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ УРАВНЕНИЙ С БЫСТРЫМИ И МЕДЛЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ИА Бойцова Одесская национальная академия пищевых технологий Украина 658 Одесса Дворянская ул /3 E-ma:

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ. II. НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ

ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ. II. НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ УДК 6-5:59 НС Демин СВ Рожкова ОВ Рожкова ФИЛЬТРАЦИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ ПРИ НАЛИЧИИ АНОМАЛЬНЫХ ПОМЕХ II НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ В данной работе

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.

Подробнее

О НЕКОТОРЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ЛИНЕЙНЫМ ФАЗОВЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ

О НЕКОТОРЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ЛИНЕЙНЫМ ФАЗОВЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ 463 УДК 517.977 О НЕКОТОРЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ С ЛИНЕЙНЫМ ФАЗОВЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ М.Н. Гончарова Гродненский государственный университет им. Янки Купалы Беларусь,

Подробнее

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Январь июнь 2006. Серия 2. Том 13, 1. 3 9 УДК 519.853.4 ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В. П.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Интегральная форма теоремы Лагранжа и ее применение к определенному интегралу

Интегральная форма теоремы Лагранжа и ее применение к определенному интегралу УДК 5 Мироненко ЛП, Прокопенко НА Донецкий национальный технический университет, кафедра высшей математики им ВВПака Интегральная форма теоремы Лагранжа и ее применение к определенному интегралу Анотація

Подробнее

2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом

2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом 2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом Приведем формулировку и доказательство принципа максимума Понтрягина для следующего частного случая задачи оптимального

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. А. В. Фоминых. 12 мая 2016 г.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. А. В. Фоминых. 12 мая 2016 г. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА К РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ А. В. Фоминых alexfomster@mail.ru 1 мая 16 г. Аннотация. В докладе рассматривается задача нахождения решения системы дифференциальных

Подробнее

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПОКАЗАТЕЛЯ ГУРВИЦА ДЛЯ СЕМЕЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ 2008 А. М. Фрумкин

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПОКАЗАТЕЛЯ ГУРВИЦА ДЛЯ СЕМЕЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ 2008 А. М. Фрумкин УДК: 59.85.4 ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ ПОКАЗАТЕЛЯ ГУРВИЦА ДЛЯ СЕМЕЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ 008 А. М. Фрумкин доц. кафедры электротехники, электроники и автоматики, к.т.н., e-mil: frumkinm@mil.ru

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП

Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Лектор Рожкова С.В. 1 г. 18. Формула Тейлора для ФНП Если y = раз дифференцируема в окрестности

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 12-13

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 12-13 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекции 1-13 Вычисление

Подробнее

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств. 2.1 Постановка задачи Пусть

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,,

Подробнее

ЛЕКЦИИ. Лекция 1. Раздел I. ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

ЛЕКЦИИ. Лекция 1. Раздел I. ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЛЕКЦИИ Лекция 1 Раздел I. ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Постановка задачи поиска минимума функций содержит: целевую функцию f ( x ), где x = ( x1,..., x

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

сил реакций связи обозначим R j . Виртуальной работой сил реакций связи называют величину R = j. Если она равна нулю, то связи

сил реакций связи обозначим R j . Виртуальной работой сил реакций связи называют величину R = j. Если она равна нулю, то связи Вопрос 44 Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа второго рода. Канонические уравнения механики Cвязи, реакции, идеальные связи. Обобщенные коодинаты и их ваиации. Общее уавнение механики Связями называют

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению.

ЛЕКЦИЯ N Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. 1.Производная по направлению. ЛЕКЦИЯ N. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции многих переменных. Условный экстремум.. Скалярное поле. Производная по

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ

О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ А. Р. ДАНИЛИН, О. О. КОВРИЖНЫХ О ЗАВИСИМОСТИ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ОТ ДВУХ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ Рассматривается задача о быстродействии для одной линейной системы с быстрыми и медленными

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

Теория оптимального управления непрерывными динамическими системами

Теория оптимального управления непрерывными динамическими системами Московский государственный университет им МВ Ломоносова Физический факультет Афанасьев В Н Теория оптимального управления непрерывными динамическими системами АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ Учебное пособие

Подробнее

Лекция 6. Задачи линейного быстродействия. Принцип максимума задачи быстродействия для линейной системы управления Конечное число переключений

Лекция 6. Задачи линейного быстродействия. Принцип максимума задачи быстродействия для линейной системы управления Конечное число переключений Лекция 6. Задачи линейного быстродействия Принцип максимума задачи быстродействия для линейной системы управления Конечное число переключений Принцип максимума задачи быстродействия для линейной системы

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Задачей Больца называется следующая экстремальная задача без ограничений в пространстве C 1 ([t 0, t 1 ]):

Задачей Больца называется следующая экстремальная задача без ограничений в пространстве C 1 ([t 0, t 1 ]): 2 Задача Больца 2.1 Постановка задачи Задачей Больца называется следующая экстремальная задача без ограничений в пространстве C 1 ([, t 1 ]): B(x( )) = L(t, x(t), ẋ(t)) dt + l(x( ), x(t 1 )) extr. (P )

Подробнее

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n

Решения типовых задач. Задача 1. Доказать по определению предела числовой последовательности, что lim. Решение. n 2n Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное

Подробнее

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ПО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ Проф др Авыт АСАНОВ Кыргызско-Турецкий Университет «Манас» Классические понятия производной и дифференциала функции изложены во многих работах Например в []

Подробнее

Математические заметки

Математические заметки Математические заметки УДК 517.93, 517.972.5 ТОМ 8 ВЫПУСК 1 ИЮЛЬ 26 О СУЩЕСТВОВАНИИ ВАРИАЦИОННОГО ПРИНЦИПА ДЛЯ ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ СО ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ВРЕМЕНИ В. М. Савчин, С. А. Будочкина Используя

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ. Уравнение касательной ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Уравнение касательной Рассмотрим следующую задачу: требуется составить уравнение касательной l, проведенной к графику функции в точке Согласно геометрическому смыслу производной

Подробнее

Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек.

Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. СЕМИНАР 4 Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Решение системы двух линейных автономных ОДУ. Типы особых точек. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ

1. РЯДЫ ФУРЬЕ РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОГЛАВЛЕНИЕ ОГЛАВЛЕНИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 4 Понятие о периодической функции 4 Тригонометрический полином 6 3 Ортогональные системы функций 4 Тригонометрический ряд Фурье 3 5 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 6 6 Разложение

Подробнее

2. Решение нелинейных уравнений.

2. Решение нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений Не всегда алгебраические или трансцендентные уравнения могут быть решены точно Понятие точности решения подразумевает: ) возможность написания «точной формулы», а точнее говоря

Подробнее

1. Постановка задачи Рассмотрим волновое уравнение с нулевыми граничными условиями и нулевой начальной скоростью

1. Постановка задачи Рассмотрим волновое уравнение с нулевыми граничными условиями и нулевой начальной скоростью УДК 5175 ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ПО НЕТОЧНЫМ НАЧАЛЬНЫМ ДАННЫМ Н Д ВЫСК, К Ю ОСИПЕНКО Аннотация В работе рассматривается задача оптимального восстановления решения волнового

Подробнее

Лекция 1 Элементы качественного анализа динамических систем с непрерывным временем на прямой

Лекция 1 Элементы качественного анализа динамических систем с непрерывным временем на прямой Лекция 1 Элементы качественного анализа динамических систем с непрерывным временем на прямой Будем рассматривать автономное дифференциальное уравнение du = f(u), (1) dt которое может быть использовано

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей ) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si ( si )(7 y )

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

4 Основные свойства определенного интеграла

4 Основные свойства определенного интеграла 178 4 Основные свойства определенного интеграла Рассмотрим основные свойства определенного интеграла. 1) Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (=), то интеграл равен нулю f ( ) d = 0 Данное

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ. где - текущая угловая координата,,, - сечения ЛП на входе и

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ. где - текущая угловая координата,,, - сечения ЛП на входе и Труды III международной межвузовской научно-практической конференции "Инновационные технологии и передовые решения". - 2015 - С. 43-47 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

Тема 41 «Задания с параметром»

Тема 41 «Задания с параметром» Тема 41 «Задания с параметром» Основные формулировки заданий с параметром: 1) Найти все значения параметра, при каждом из которых выполняется определенное условие. ) Решить уравнение или неравенство с

Подробнее

Нелинейная задача оптимизации.

Нелинейная задача оптимизации. Нелинейная задача оптимизации. Кольцов С.Н 2014 www.linis.ru Задача безусловной оптимизации Задача оптимизации формулируется следующим образом: заданы множество Х (допустимое множество задачи) и функция

Подробнее

2. Алгоритмы оптимизации в конусе скошенного пути для решения пары взаимно-двойственных задач линейного программирования

2. Алгоритмы оптимизации в конусе скошенного пути для решения пары взаимно-двойственных задач линейного программирования . Алгоритмы оптимизации в конусе скошенного пути для решения пары взаимно-двойственных задач линейного программирования В данной главе для решения взаимно-двойственных задач (.-(. предлагается и обосновывается

Подробнее

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа

Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Дальневосточный математический журнал. 214. Том 14. 2. C. 231 241 УДК 517.95 MSC21 35J5 c A. A. Илларионов, Л. В. Илларионова 1 Аналитические решения экстремальных задач для уравнения Лапласа Представлены

Подробнее