МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ДИЗАЙНА» ВЫСШАЯ ШКОЛА ТЕХНОЛОГИИ И ЭНЕРГЕТИКИ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания по выполнению контрольной работы «Дифференциальные уравнения и ряды» для студентов очной формы обучения Санкт-Петербург 6

2 УДК 5 (77) Высшая математика: методические указания по выполнению контрольной работы «Дифференциальные уравнения и ряды» для студентов очной формы обучения / сост: ИЭ Апакова, ОЕ Куляхтина; ЗЛ Абжандадзе; МЭ Юдовин; НЛ Белая; ВШТЭ СПбГУПТД СПб, 6 4 с В настоящих методических указаниях изложены основные положения теории дифференциальных уравнений и рядов Рассмотрены типовые задачи для выполнений контрольной работы Предназначены для студентов всех направлений очной формы обучения (по третьему семестру) Рецензент: доцент кафедры высшей математики Санкт- Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» имени ВИ Ульянова (Ленина), канд техн наук СБ Энтина Подготовлены и рекомендованы к печати кафедрой высшей математики ВШТЭ СПбГУПТД (протокол 6 от февраля 6 г) Утверждены к изданию методической комиссией института энергетики и автоматизации ВШТЭ СПбГУПТД (протокол 5 от апреля 6 г) Редактор и корректор ВА Басова Техн редактор ЛЯ Титова Темплан 6 г, поз Подп к печати 46 г Формат 6 84/6 Бумага тип Печать офсетная Объем,5 печ л,,5 уч-изд л Тираж 5 экз Изд Цена «С» Заказ Ризограф Высшей школы технологии и энергетики СПбГУПТД, 9895, Санкт-Петербург, ул Ивана Черных, 4

3 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящие методические указания предназначены для студентов всех направлений дневной формы обучения Они составлены в соответствии с ныне действующей программой курса высшей математики в ВШТЭ СПбГУПТД и содержат необходимые сведения для выполнения контрольной работы по темам «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» Особое внимание уделяется разбору примеров; теоретический материал имеет преимущественно справочный характер Для успешного решения задач контрольной работы следует основательно изучить все методы интегрирования дифференциальных уравнений, а также вспомнить методы нахождения неопределенных интегралов Перед выполнением каждого пункта рекомендуем изучить теорию по данному разделу в учебниках [], [] К выполнению контрольного задания следует приступать, решив достаточное количество задач, соответствующих этому заданию, которые можно найти в задачниках [], [4], [5] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ИХ ПОРЯДОК, ОБЩИЙ И ЧАСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ Дифференциальным уравнением называется равенство, содержащее производные и дифференциалы неизвестной функции Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной, содержащейся в этом уравнении Функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, те обращающая его в тождество, называется интегралом (или решением) этого уравнения Интеграл дифференциального уравнения называется общим, если он содержит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения, а функции, получаемые из общего интеграла при различных числовых значениях произвольных постоянных, называются частными интегралами этого уравнения Геометрически каждому частному интегралу дифференциального уравнения соответствует плоская линия, его график, которая называется

4 интегральной кривой этого уравнения, а общему интегралу соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых Отыскание частного интеграла дифференциального уравнения го порядка (,,, ), удовлетворяющего начальным условиям вида ( ) ; ʹ( ) ʹ ; ʹʹ ( ) ʹʹ ;; ( ) ( ) ( ) называется задачей Коши В указанных начальных условиях Коши задаются значения функции и ( ) ее производных ʹ, ʹʹ,, при некотором заданном значении аргумента По этим начальным условиям определяются значения всех произвольных постоянных С, С,, С, входящих в общий интеграл уравнения го порядка, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Уравнения с разделяющимися переменными Уравнение первого порядка P(, )d Q(, )d () называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции P и Q разлагаются на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной: f () f ()d g ()g ()d () В таком уравнении путем деления его членов на f ) g ( ) переменные f( ) g ( ) разделяются: d d g ( ) f ( ) 4 ( После разделения переменных, когда каждый член уравнения будет зависеть только от одной переменной, общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием: f ( ) g ( ) d d g ( ), где С произвольная постоянная (4) f ( ) ()

5 Однородные уравнения первого порядка Уравнение первого порядка ʹ f (, ) называется однородным, если f(,) можно представить как функцию только одного отношения переменных f (, ) ϕ, т е уравнение вида ʹ ϕ (5) Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными, а следовательно, и решается посредством замены функции (или х) новой функцией и по формуле u, где uu() (или u, u()) Уравнение вида Линейные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли где P() и Q() - известные функции от ʹ P( ) Q( ), (6), линейное (первой степени) относительно функции и ее производной ʹ, называется линейным Посредством замены функции произведением двух вспомогательных функций u v, где uu(), vv(), линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой из вспомогательных функций Уравнение Бернулли ʹ P( ) Q( ), (7) отличающееся от линейного уравнения тем, что в правую часть входит множителем некоторая степень функции, решается так же, как и линейное Посредством подстановки u v оно также сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными 5

6 4 Уравнения в полных дифференциалах Если в уравнении первого порядка P (, ) d Q(, ) d коэффициенты P и Q удовлетворяют условию 6 P Q, (8) то его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(,) [, ] Такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах Записав такое уравнение в виде du и найдя первообразную функцию u(,) по правилу, указанному в [, ], получим общий интеграл этого уравнения, полагая u(,)с ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Уравнения, допускающие понижение порядка Уравнение второго порядка ʹʹ f () (9) решается последовательным интегрированием Умножая обе его части на d и интегрируя, получаем уравнение первого порядка: ʹ f ( ) d ϕ ( ) Снова умножая обе части полученного уравнения на d и интегрируя, получаем общий интеграл исходного уравнения в виде явной функции от х и двух произвольных постоянных С, С : ϕ ( ) d d ϕ ( ) Уравнения второго порядка F (, ʹ, ʹʹ ) () и F (, ʹ, ʹʹ ), () не содержащие явно функции или аргумента х, преобразуются в уравнения dp первого порядка посредством подстановки ʹ p(), откуда ʹʹ для d dp уравнения () и ʹ p(), откуда ʹʹ p для уравнения () d

7 Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида: ʹʹ p ʹ q, () где p и q некоторые действительные числа Для отыскания общего решения этого уравнения составляется характеристическое уравнение k p k q, () которое получается из данного дифференциального уравнения заменой ʹʹ, ʹ и на соответствующие степени k, причем сама функция заменяется единицей Тогда общее решение данного дифференциального уравнения строится в зависимости от корней k и k его характеристического уравнения Здесь возможны три случая ) Корни k и k действительные и различные, тогда общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид: где С и С произвольные постоянные k k, (4) ) Корни k и k действительные и равные k k k, тогда общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид ( ) k, (5) ) Корни k и k комплексно-сопряженные: k α βi k α β, ; i тогда общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид: α cos β si β ) (6) ( 7

8 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида: ʹʹ p ʹ q f (), (7) где p и q некоторые действительные числа, f() известная функция независимой переменной х Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид: *, (8) где общее решение соответствующего однородного уравнения (получающегося из данного неоднородного уравнения при f() ), частное решение данного неоднородного уравнения а * Для некоторых специальных видов функции f() частное решение * можно найти методом неопределенных коэффициентов А) Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид где P ( ) a a a a f ( ) m P ( ), (9) многочлен -ой степени, m некоторое действительное число, тогда : ) Если число m не является корнем характеристического уравнения, то частное решение данного неоднородного уравнения задается формулой где P Q ( ) b b b b m Q ( ), () * многочлен той же степени, что и (), а коэффициенты b, b, b,, b неизвестны и подлежат определению ) Если число m совпадает только с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение данного неоднородного уравнения имеет вид m Q ( ) () * 8

9 Если число m совпадает с обоими корнями характеристического уравнения, то частное решение данного неоднородного уравнения задается формулой m Q ( ) () * Б) Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид f ( a ) ( A cosb A si b), () где a, b, A, A заданные действительные числа, тогда ) Если числа a ± bi не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение данного неоднородного уравнения задается формулой a * ( M cosb N si b), (4) где числа M и N неизвестны и подлежат определению ) Если числа a ± bi являются корнями характеристического уравнения, то частное решение данного неоднородного уравнения имеет вид a * ( M cosb N si b) (5) Таким образом, для указанных видов правой части (А или Б) написав выражение для функции * с неопределенными коэффициентами по указанным правилам, находим их, подставляя * в данное неоднородное уравнение и приравнивая коэффициенты у подобных членов из обеих частей полученного равенства Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами может быть решено и методом вариации произвольных постоянных [, ], который состоит в следующем Сначала находится общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, имеющего ту же левую часть, что и исходное неоднородное уравнение ( и линейно независимые частные решения однородного уравнения) Затем частное решение * данного неоднородного уравнения находится в виде * () (), т е предполагается, что постоянные С и С являются функциями независимой переменной х При этом функции С (х) и С (х) могут быть найдены из системы: ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ f ( ) 9

10 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Бесконечным рядом или, короче, рядом называется выражение вида a a a a Числа a, a, называются членами ряда Ряд задан, если задано правило, позволяющее для любого натурального найти соответствующий член ряда a Ряд часто записывают в форме a Пусть дан ряд a a a a Величина S a a a a называется -й частичной суммой этого ряда Предел же этой величины, когда, называется суммой ряда Итак, сумма ряда есть предел последовательности его частичных сумм: S S lim, S a Если ряд имеет конечную сумму, то говорят, что он сходится В противном случае, те когда сумма бесконечна или её вовсе нет, ряд называется расходящимся Вопрос о сходимости ряда лишь в редких случаях решается путём непосредственного нахождения суммы ряда, тк это обычно затруднительно; в основном же сходимость рядов устанавливается с помощью следующих свойств и признаков, сформулированных для положительных рядов Положительным называется ряд a a a a, в котором все члены положительны

11 Необходимое условие сходимости ряда a a a a состоит в том, что lim a Нужно отметить, что это условие не является достаточным, те нарушение этого условия гарантирует расходимость ряда, но его выполнение не гарантирует сходимости 4 Признаки сходимости положительных рядов Первый признак сравнения Пусть даны два положительных ряда : a и b, причём при всех выполняется условие a расходится, то расходится и ряд b a b Тогда если ряд Если же ряд b сходится, то ряд a также сходится Второй признак сравнения Пусть даны два положительных ряда : a и b Если существует конечный и отличный от нуля предел отношения одинаковых по номеру членов рядов: I lim < I < a b, то эти ряды одновременно сходятся или расходятся

12 Признак Даламбера Пусть положительный ряд a lim l a a таков, что существует предел Если l <, то ряд сходится, а если l >, то расходится( При l ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся, поэтому сходимость ряда следует установить с помощью других признаков) Интегральный признак сходимости Пусть ряд a a a a и некоторая функция f (), заданная при, связаны так, что при всех натуральных f ( ) a, и кроме того, f () - непрерывная и убывающая Тогда ряд и несобственный!! интеграл f d сходятся или расходятся одновременно! 4 Знакочередующиеся ряды Ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена имеют разные знаки Условием сходимости знакочередующегося ряда a a a a 4 является следующее утверждение: Теорема Лейбница: Если ряд a a a a удовлетворяет следующим 4 a > a > a и lim a условиям:, то ряд сходится

13 Для знакопеременных рядов вводится понятие абсолютной сходимости ряда Ряд a сходится абсолютно, если сходится ряд a a сходится, а a расходится, то ряд Если же ряд называется условно или не абсолютно сходящимся рядом a 5 Степенные ряды Степенным рядом называется ряд вида a a a a a, где a, a, a,, a,- постоянные числа Этот же ряд можно записать в виде a Областью сходимости степенного ряда называют множество всех значений, при которых этот ряд сходится как числовой Чтобы найти область сходимости степенного ряда, обычно с помощью известных признаков изучают числовой ряд a, а затем накладывают условия на переменную 5 Ряды Тейлора и Маклорена Приведём основные факты Известно, что для функции f (), имеющей производные до порядка включительно в окрестности точки a, имеет место формула Тейлора: f a ( a) ( a) ( ) f ( a) f ( a) f ( a) ( ʹ ʹ ) ( a) R ( ),!!! f

14 где ( a) R f ( ( ) ) ( a), a < t < ( )! Если функция f () имеет производные всех порядков в окрестности lim точки a, допустим, что R, тогда f a ( ) ( ) ( ) ( ) ʹ a ( ) ʹ a f a f a f ( a)!!! f ( ) ( a) ( a) или ( ) ( f ) f ( a)! Если в ряде Тейлора a, получаем частный случай - ряд Маклорена: f ( ) f () f ʹ () f ʹ ()!!! f ( ) () Приведём разложение некоторых функций в ряд Маклорена, указав области сходимости: 5 7 si ( ) (ряд сходится при любом )! 5! 7! ( )! 4 6 cos ( ) (ряд сходится при любом )! 4! 6! ( )! 4 (ряд сходится при любом )!! 4!! m( m ) m( m )( m ) 4 ( ) m m!! m( m )( m ( ))! 4 (ряд сходится при < )

15 4 5 l ( ) ( ) 4 (ряд сходится при < ) arctg ( ) 5 7 (ряд сходится при < ) 5 Вычисление определенных интегралов с помощью рядов Верно утверждение, что после почленного интегрирования степенного ряда, если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости, получается ряд, сумма которого равняется соответствующему интегралу от суммы данного ряда Поэтому определённые интегралы, которые как функции верхнего предела не выражаются элементарными функциями, удобно вычислять с помощью рядов Нужно сначала разложить подынтегральную функцию в ряд, а потом проинтегрировать ряд почленно 5 Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений Один из способов решения дифференциальных уравнений с помощью рядов состоит в том, что для представления функций применяется ряд Тейлора Пусть требуется найти решение уравнения ʹ f (, ), удовлетворяющее начальному условию ( ) искомого решения в ряд по степеням разности Оно таково: ʹ ʹʹ Представим разложение ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),!! 5

16 ( ) известно Подставив в уравнение значение, найдём и ) f (, ) ʹ ( Далее, дифференцируя заданное уравнение, получим ʹ ( ) ʹʹ f ʹ( ) f ʹ(, ) ʹ,, откуда находим ʹʹ ) f ʹ( ) f ʹ(, ) ʹ (, Далее аналогично дифференцируем ʹʹ и, полагая, найдём ʹ и тд Таким образом, мы сможем найти сколь угодно много членов разложения решения дифференциального уравнения 6 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Пример Решить уравнение d d Решение Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (см формулу ()), поэтому, разделив левую и правую части уравнения на выражение (при х ), приходим к равенству d 6 d Интегрируя обе части полученного равенства, получим общий интеграл данного дифференциального уравнения l С ± или ±, или где Пример Найти частное решение дифференциального уравнения,

17 ( ) d d, удовлетворяющее начальному условию () Решение Преобразуем данное уравнение к виду d d Получили уравнение вида () Интегрируя обе части полученного равенства, получим общий интеграл данного дифференциального уравнения l arctg Теперь, используя указанное начальное условие (), подставляем в общий интеграл заданные значения переменных ( ) и определяем соответствующее значение произвольной постоянной С: π l arctg, 4 Следовательно, частным решением будет l π arctg или 4 π arctg 4 Пример Найти общее решение дифференциального уравнения ( ) ʹ Решение Выразим производную через дифференциалы переменных d ʹ, d умножим обе части уравнения на d и разложим коэффициент при d на множители, получим уравнение с разделяющимися переменными (см формулу ()): ( ) d d Далее разделяем переменные: d d находим общее решение дифференциального уравнения и, интегрируя, 7

18 ( ) d d ; l 8 Пример 4 Найти общее решение дифференциального уравнения ( ) d d Решение Разрешая данное уравнение относительно производной d d ʹ ϕ устанавливаем, что она является функцией только отношения переменных, то есть что данное уравнение является однородным (см формулу (5)) Далее вводим новую функцию и, полагая u, где uu(); при этом d du u, и после подстановки данное уравнение преобразуется в d d уравнение с разделяющимися переменными Разделим переменные: du u u u или du d d u u udu d u и, интегрируя, найдем l u l l или u ) ± Исключая вспомогательную функцию и ( u, окончательно получим Пример 5 Решить уравнение ʹ ctg si π при условии Решение Убедившись, что данное уравнение линейное (вида (6)), полагаем u v, где uu(), vv(); тогда уравнение преобразуется к виду ʹ uʹv vʹu,, и данное

19 uʹ v vʹu uv ctg si или u v u( vʹ v ctg) si ʹ Так как одну из вспомогательных функций и или v можно взять произвольно, выберем в качестве v какой-либо частный интеграл уравнения v ʹ v ctg Тогда для отыскания и получим уравнение uʹ v si Решая первое из этих уравнений, найдем v; разделяя переменные и интегрируя, найдем его простейший, отличный от нуля частный интеграл: dv ctgd v ; l v l si ; v si Подставляя v во второе уравнение и решая его, найдем и как общий интеграл этого уравнения: uʹ si si ; du d ; u Зная теперь и и v, находим общее решение данного уравнения uv ( ) si π Теперь, используя указанное начальное условие, подставляем в π общий интеграл заданные значения переменных ( ) и определяем соответствующее значение произвольной постоянной С: π π ( )si ; π π или С π Следовательно, частным решением будет ( ) si Пример 6 Решить уравнение ʹ Решение Разделив обе части уравнения на ʹ 9 : убеждаемся, что это уравнение Бернулли (7), где P ( ), Q( ) Заменяя функцию по формуле u v, имеем ʹ uʹv vʹu, uv u ʹ v vʹu или u v u( vʹ ) u v, v u ʹ v

20 Отсюда, как и в решении предыдущей задачи, получаем два уравнения с разделяющимися переменными: v ) v ʹ и ) u ʹ v Решая первое из этих уравнений, находим v как простейший частный интеграл этого уравнения: dv v d v ; v ; ; l l u v v Подставляя v во второе уравнение и решая его, найдем и как общий интеграл этого уравнения: u ʹ u ; u du d ; u ; Следовательно, искомый общий интеграл данного уравнения uv Пример 7 Решить уравнение ( ) d ( ) d u Решение Вначале убеждаемся, что данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах, поскольку выполняется условие (8): P ( ) ʹ Q ; ( ) ; Затем находим неопределенные интегралы: ʹ P Q Pd ( ) d ϕ ( ), считая постоянной, Qd ( ) d ψ ( ), считая х постоянной Взяв все известные члены из первого результата и дописав к ним недостающие члены, зависящие только от, из второго результата, получим функцию u (, ), полным дифференциалом которой является левая часть данного дифференциального уравнения, а приравняв ее произвольной постоянной, получим искомый общий интеграл данного уравнения: С

21 Пример 8 Найти общее решение дифференциального уравнения 5 ʹʹ cos Решение Данное уравнение есть уравнение -го порядка вида (9), допускающее понижение порядка, тогда умножая обе части данного уравнения на d и интегрируя, получаем уравнение первого порядка: ʹ ( cos ) d si 5 Снова умножая обе части полученного уравнения на d и интегрируя, получаем общий интеграл исходного уравнения: si ) d cos 5 5 ( Пример 9 Найти общее решение дифференциального уравнения ( ) ʹʹ ʹ Решение Данное неполное уравнение -го порядка не содержит явно функции, т е имеет вид (), тогда, полагая p(), получим ʹ ʹʹ, и после подстановки данное уравнение обращается в уравнение -го порядка: dp ( ) pʹ p или ( ) p d Разделяя переменные и интегрируя, найдем dp d p ; l p l l ; p ) p ( ) ± ( ; d Заменяя вспомогательную переменную p на, получим уравнение d d ( ), решая которое, найдем искомый общий интеграл данного d уравнения: d d ; l dp d

22 Пример Найти частное решение дифференциального уравнения ʹʹ ʹ, удовлетворяющее начальным условиям ( ), ʹ() Решение Это неполное уравнение -го порядка вида (), не содержащее dp ʹ p(, тогда ʹʹ p, и после d явно аргумента х Положим ) подстановки данное уравнение обращается в уравнение -го порядка: dp p p d Разделяя переменные и интегрируя, найдем pdp p d ; dp pd ; l p l l ; Заменяя вспомогательную переменную p на d d p dp d ; p d, получим уравнение d Прежде чем интегрировать это уравнение, целесообразно определить ( ), ʹ() : значение постоянной С, используя заданные значения С С ; Подставляя значение С в последнее уравнение, разделяя в нем переменные и интегрируя, найдем: d d ; d ; l l ; d Наконец, используя заданные значения ( ), определяем значение постоянной С : ; С С интеграл данного уравнения Таким образом, получаем частный Как показано в этом примере, лучше определять значение каждой постоянной немедленно после того, как она появляется в процессе решения

23 Пример Найти общее решение дифференциального уравнения ʹʹ 7 ʹ Решение Данное уравнение есть ЛОДУ -го порядка с постоянными коэффициентами () Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: k 7k ; k ; k 5 Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение данного дифференциального уравнения, 5 согласно формуле (4), имеет вид: Пример Найти частное решение дифференциального уравнения ʹʹ 8 ʹ 6, если ( ), ʹ() Решение Данное уравнение есть ЛОДУ -го порядка с постоянными коэффициентами () Так как характеристическое уравнение k 8k 6 имеет равные действительные корни k k 4, то общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле (5), имеет вид: 4 ( ) или 4 4 Дифференцируя общее решение, имеем ʹ 4 4 Подставив начальные условия в выражения для и ʹ, получим систему уравнений откуда,, или 4 4, 4, С Следовательно, искомое частное решение имеет вид : С и Пример Найти общее решение дифференциального уравнения ʹʹ 6 ʹ 5 Решение Данное уравнение есть ЛОДУ -го порядка с постоянными коэффициентами () Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

24 6 ± 6 6 ± 64i k 6k 5 ; k, ± 4i ; здесь α, β 4 Так как характеристическое уравнение имеет два комплексносопряженных корня, тогда общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле (6), имеет вид: ( cos 4 si 4) Пример 4 Найти общее решение дифференциального уравнения ʹʹ 6ʹ 5 5 Решение Данное уравнение есть ЛНДУ -го порядка с постоянными коэффициентами (7) Вначале находим общее решение однородного уравнения ʹʹ 6 ʹ 5, соответствующего данному неоднородному уравнению Его характеристическое уравнение k 6k 5 имеет корни k 5; k Поэтому 5 Далее находим частное решение * данного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов, так как правая часть данного уравнения имеет вид (9) f ) 5 P ( ) Согласно ( указанному правилу (случай А ), когда число m не является корнем характеристического уравнения, а степень заданного многочлена, * будет иметь вид () * Q ( ) b b b Отсюда, дифференцируя, находим ʹ * b b, ʹʹ * b и, подставляя *, ʹ *, ʹʹ * в данное уравнение, получим равенство b 6(b b ) 5( b b b ) 5 или 5b (b 5b ) (b 6b 5b ) 5 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х из обеих его частей, ибо только при этом условии оно будет тождественным, получим систему 5b 5, b 5b, b 6b 5b, 4

25 из которой находим b 5, b, b Следовательно, 5, а искомое общее решение * данного неоднородного уравнения, согласно формуле (8), 5 5 * Пример 5 Найти общее решение дифференциального уравнения ʹʹ ʹ 7 cos Решение Данное уравнение есть ЛНДУ -го порядка с постоянными коэффициентами (7) Вначале находим общее решение однородного уравнения ʹʹ ʹ, соответствующего данному неоднородному уравнению Его характеристическое уравнение k k имеет комплексно-сопряженные корни k i Поэтому ( cos si ), ± Частное решение * данного неоднородного уравнения (будем искать его методом неопределенных коэффициентов), соответственно его правой части вида () f ( ) 7 cos (7 cos si ) при a, b, когда числа a ± bi ± i не являются корнями характеристического уравнения, будет иметь вид * ( M cos N si ) M cos N si по формуле (4) Подставляя функцию * и ее производные ʹ * M si N cos, ʹʹ в данное неоднородное уравнение, получим 9M cos 9N si * равенство ( M 6N) cos ( N 6M )si 7 cos, которое будет тождеством только при равенстве коэффициентов у подобных членов (cos и si) в обеих его частях: M 6 N 7 ; N 6 M Решая эту систему, найдем M ; N 6 Следовательно, cos 6si, а искомое общее решение данного * неоднородного уравнения, согласно формуле (8), * ( cos si ) cos 6si 5

26 Пример 6 Найти общее решение дифференциального уравнения ʹʹ ʹ Решение Данное уравнение есть ЛНДУ -го порядка с постоянными коэффициентами (7) Вначале находим общее решение однородного уравнения ʹʹ ʹ, соответствующего данному неоднородному уравнению Его характеристическое уравнение k k имеет корни k ; k Поэтому Далее находим частное решение * данного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов, так как правая часть данного уравнения имеет вид (9) f ) P ( ) Согласно указанному ( правилу (случай А ), когда число m совпадает только с одним из корней характеристического уравнения m k, а степень заданного многочлена, * будет иметь вид () * Q ( ) b Отсюда, дифференцируя, находим ʹ b b b ( ), * ʹʹ b b ( ) b ( ) и, подставляя *, * * в данное уравнение, получим равенство b ( ) b ( ) b или b ( ) b ( ) b ʹ, ʹʹ * Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим, что b Следовательно, *, а искомое общее решение данного неоднородного уравнения, согласно формуле (8), * Пример 7 Найти общее решение дифференциального уравнения ʹʹ tg Решение Данное уравнение есть ЛНДУ -го порядка с постоянными коэффициентами (7) Вначале находим общее решение однородного 6

27 уравнения ʹ, соответствующего данному неоднородному уравнению Его характеристическое уравнение k имеет комплексно-сопряженные корни k ± i, Поэтому cos si Частное решение * данного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов искать нельзя, так как правая часть данного уравнения f ( ) tg, что не соответствует ни случаю А, ни случаю Б Поэтому воспользуемся методом вариации произвольных постоянных: будем искать * в виде )cos ( ) si, где функции С (х) и ( * С (х) нужно найти из системы ʹ ʹ cos si ʹ si ʹ cos tg ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ f ( ) Умножая первое уравнение системы на si, а второе на cos и складывая почленно полученные равенства, получим ʹ si или ( ) si d cos (константу интегрирования полагаем равной нулю) Далее, подставляя равенство ʹ si в первое уравнение системы, получаем * ʹ cos si или si ʹ, или cos si π ( ) d si ltg cos 4 Следовательно, частное решение * имеет вид π ( ) cos ( )si (si ltg ) cos cos si ltg 4 а искомое общее решение данного неоднородного уравнения, согласно формуле (8), * * cos si ltg π 4 или π 4, 7

28 8 Пример 8 Найти общее решение дифференциального уравнения ʹ ʹ ʹ Решение Данное уравнение есть ЛНДУ -го порядка с постоянными коэффициентами (7) Общее решение однородного уравнения ʹ ʹʹ имеет вид Правая часть данного неоднородного уравнения f ) ( (не соответствует ни случаю А, ни случаю Б) не позволяет найти частное решение * данного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов, поэтому воспользуемся методом вариации произвольных постоянных: будем искать * в виде ) ( ) ( *, где функции С (х) и С (х) найдем из системы ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ʹ ) ( f или ʹ ʹ ʹ ʹ Из второго уравнения находим ʹ или d arcsi ) ( (константу интегрирования полагаем равной нулю) Из первого уравнения системы получим ʹ ʹ, интегрируя это выражение, имеем d ) ( Тем самым, частное решение имеет вид arcsi *, а общее решение данного неоднородного уравнения, согласно формуле (8), arcsi *

29 7 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «РЯДЫ» Задача Исследовать сходимость числового ряда a q ( q ) Решение Данный ряд является суммой элементов геометрической q прогрессии По известной формуле S a q Если < q, то lim q следовательно, ряд сходится, и поэтому a S lim S, q Если же > расходится q, то lim q, и S, следовательно, ряд Задача Исследовать сходимость ряда ( k k Решение Отдельно рассмотрим два случая: k ) ( гармонический ряд ) Применим интегральный признак сходимости: f ( ) f ( ), f () - непрерывная и убывающая для 9

30 Рассмотрим d lim b b d lim b l b lim b l b, те ряд k > - расходится Снова применяя интегральный признак, имеем: f ( ) k k f ( ), f () - непрерывная, убывающая при d lim k b b d k b k k lim b lim b ( ) k b k k k, следовательно, ряд k сходится ( k > ) Задача Исследовать сходимость ряда Решение Общий член ряда a Рассмотрим ряд, общий член ряда b Нетрудно заметить, что a < b Ряд сходится (задача ) ; поэтому по

31 первому признаку сравнения сходится ряд Задача 4 Исследовать сходимость ряда (5) Решение Здесь a (5) Рассмотрим ряд ( b ) Воспользуемся вторым признаком сравнения рядов: lim a b lim (5 ) : lim (5) lim (5 ) 5, так как < <, ряды сходятся или расходятся одновременно Но ряд 5 сходится (задача ), следовательно, ряд (5) сходится Задача 5 Исследовать сходимость ряда 4 ()! Решение Здесь a 4 ( )! Воспользуемся признаком Даламбера:

32 a l lim lim a lim 4 () (())! 4 ( )4 ()! ()!()() 4, : 4 ()! lim () 4 ()! ()! 4 так как l <, ряд 4 сходится ()! Задача 6 Исследовать сходимость ряда Решение ( ) l( ) Здесь a ( ) l( ) Применим интегральный признак: ( ) l( ) f ( ) f ( ), f () убывающая при ( ) lim b d l( ) (l( )) lim b b b (l( )) lim ( b ( ) (l( b )) l( ) d(l( ) ) (l) ) - непрерывная Так как рассмотренный несобственный интеграл расходится, следовательно расходится и ряд ( ) l( )

33 Задача 7 Найти интервал сходимости ряда! Решение Так как может быть и отрицательной величиной, и положительной, рассмотрим сразу ряд в нём все члены положительны! Воспользуемся признаком Даламбера, чтобы установить сходимость или расходимость ряда l lim! : lim lim, ( )!!!( ) ( ) кроме случая, когда (при lim )Следовательно, ( ) так как l < ( ), данный ряд сходится для ( ; ) ( ; ) Задача 8 Найти интервал сходимости ряда Решение Как и в предыдущей задаче рассмотрим ряд признак Даламбера, получаем: Применяя l lim ( ) :( ) lim (( ) ( ) )

34 Тогда, если < или ряд сходится, ряд сходится; если > или < Остаётся неизвестным, сходится ли ряд при рассмотрев два числовых ряда, > Установим это, ) Пусть, тогда Ряд <, а сходится по первому признаку сравнения, так как - сходится (пi, задача ) ) Пусть ( ), тогда Ряд ( ) - знакочередующийся, и он сходится абсолютно, так как ( ) (см ) Поэтому, окончательно, ряд сходится при, область сходимости: [ ; ] Задача 9 Найти интервал сходимости ряда ()! ( ) Решение Рассмотрим ряд ()! ( ) По признаку Даламбера получим: 4

35 ( ( ))! ()! l lim : ( ) ( ) lim ()!( )( )( ) ( ) ()! ( ) ( )( )( ) ( ) lim ( )( )( ) l lim lim ( ) l ( ) lim ( )( ) ( )( ) (если lim ) Следовательно, если, то ряд расходится Если же ()! ( ) сходится 8 Задача Вычислить l( Решение ) d с точностью до ( ), то ряд Для вычисления этого интеграла разложим подынтегральную функцию в ряд, заменяя в разложении l( ) на : 5

36 l( Тогда 4 ( ) ( ) ( ) ) ( ) 4 8 l( 8 ) d 8 8 d d d 4 5 ( 4 5 () ) 8 () 8 d ( 8 ) 4 4 ( 8 ) 5 5 () ( 8 ), так как получивший ряд знакочередуюшийся, R ( ) 8 точность достигается при, те 8,5) R, Тогда 8 l( 4 ) ( 8) 4,469 d ( ) 5 ( 5, и требуемая Задача Вычислить si d с точностью до, Решение Разложим si в ряд Маклорена, заменяя в разложении si, на : () si! () 5! 5 () 7! 7 ( ) 6 () ( )!

37 ʹʹʹ Тогда si 5 7 ( ) ( ) ( ) ( ) d ( )! 5! 7! ( )! d 5 8 ( )! 5 5! () ()! 8 ( )! 5 5! ( ) ( )! Этот ряд знакочередующийся, поэтому R, ( ) ( )! требуемая точность достигается при 6, те R, 47 5 ()! Тогда si d, ,5! 5 5! 7 7! 9 9!,68,57,6548,654 Задача Найти четыре первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения ʹ, удовлетворяющего условию: ( ) Решение Будем искать решение в виде: ʹ ʹʹ () () () ( ) ( ) ( ) ( )!!! Последовательно дифференцируя заданное уравнение, получим: 7

38 ʹʹʹ ʹʹʹ ʹʹʹ ʹʹʹ ʹʹʹ ʹʹ ʹ, ʹʹʹ ( ʹ) ʹʹ, ( 4 ) 6ʹ ʹʹ ʹʹʹ, ( 5) 6( ) 8 ( 4 ʹʹ ʹ ʹʹʹ ) Подставляя начальные условия, найдём: ʹ() ; ʹʹ () ; () ( 4 ; ) () 4 Таким образом, решение имеет первые слагаемые: 4 ( ) ( ) ( ) Или окончательно : ( ) ( ) ( ) 6 4 Задача Найти три первых отличных от нуля члена разложения в ряд решения уравнения ʹ si, если ( ) Решение В данном случае решение будем искать в виде: ʹ( ) ʹ ʹʹ () () () ( )!!! (из уравнения ʹ () ) ( ) si Последовательно дифференцируя уравнение и подставляя начальные условия, получим: ʹʹ cos ʹ, si ʹ ʹ ʹʹ, ( 4 ) cos ʹʹ ʹʹ, ʹʹ() cos ; () ; ( 4 ) () cos Таким образом мы получаем три первых члена разложения в ряд решения: 8

39 ! 4! 4 4 Окончательно: Библиографический список Пискунов НС Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов - М: Наука, 978 Т, Письменный Д Конспект лекций по высшей математике - М: Айриспресс, 7 Ч, Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / под ред БП Демидовича - М: Наука, 4 Данко ПЕ, Попов АГ, Кожевникова ТЯ Высшая математика в упражнениях и задачах - М: Высшая школа, 5 Ч, 5 Берман ГН Сборник задач по курсу математического анализа- М:Наука, 985 9

40 Содержание Предисловие Дифференциальные уравнения, их порядок, общий и частный интегралы Дифференциальные уравнения первого порядка 4 Уравнения с разделяющимися переменными 4 Однородные уравнения первого порядка 5 Линейные уравнения и уравнения Бернулли 5 4 Уравнения в полных дифференциалах 6 Дифференциальные уравнения второго порядка 6 Уравнения, допускающие понижение порядка 6 Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 7 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 8 4 Числовые ряды 4 Признаки сходимости положительных рядов 4 Знакочередующиеся ряды 5 Степенные ряды 5 Ряды Тейлора и Маклорена 5 Вычисление определенных интегралов с помощью рядов 5 5 Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений 5 6 Примеры решения дифференциальных уравнений 6 7 Примеры решения задач по теме «Ряды» 9 Библиографический список 9 4


МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2!

Лекция 3. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена ( ) ( ) ( ) 1! 2! Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК О. В. Исакова Л. А. Сайкова М.Д. Улымжиев УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы

Т.И. Гавриш, Л.Н.Гайшун Р Я Д Ы МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» ТИ Гавриш, ЛНГайшун Р Я Д Ы Учебно-методическое пособие для студентов -го курса дневной и заочной

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени

Подробнее

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности.

Числовые ряды. Числовая последовательность., определенную на множестве натуральных чисел. х n - общий член последовательности. Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =,, х =,,,,,,,,

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы

Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Федеральное агентство по образованию Архангельский государственный технический университет строительный факультет РЯДЫ Методические указания к выполнению задания для самостоятельной работы Архангельск

Подробнее

Степенные ряды. Ряды Тейлора

Степенные ряды. Ряды Тейлора Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Числовые и функциональные ряды

Числовые и функциональные ряды Числовые и функциональные ряды Основные понятия Знакочередующиеся ряды Функциональные ряды Степенные ряды и разложение функций в степенной ряд Применение степенных рядов Ряды Фурье Основные понятия Пусть

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ

Подробнее

3 РЯДЫ Хабаровск 2004

3 РЯДЫ Хабаровск 2004 РЯДЫ Хабаровск 4 4 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовым рядом называется выражение, где,,, числа, которые образуют бесконечную числовую последовательность, общий член ряда, где N ( N множество натуральных чисел) Пример

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э.

Министерство образования Российской Федерации. МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика РЯДЫ Методические указания к курсовой работе Составитель:

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды».

сгупс Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды». сгупс кафедра высшей математики Методические указания к выполнению типового расчета «Ряды» Новосибирск 006 Некоторые теоретические сведения Числовые ряды Пусть u ; u ; u ; ; u ; есть бесконечная числовая

Подробнее

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии

Занятие 1. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости. суммам двух рядов для бесконечной геометрической прогрессии Числовые и степенные ряды Занятие. Числовые ряды. Сумма ряда. Признаки сходимости.. Вычислить сумму ряда. 6 Решение. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии q равна, где q - знаменатель прогрессии.

Подробнее

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский

Рецензенты Доктор ф.-м. наук, профессор Т.Г. Сукачёва Канд. ф.-м. наук, доцент А.В. Ласунский Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого Институт электронных

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида 1. Что такое первообразная для функции? 2. Для каких функций существуют первообразные? 3. Как связаны между собой две первообразные для одной и той же функции? 4. Что такое неопределённый интеграл от функции?

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности

Глава 12. Ряды Числовые ряды. Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Глава Ряды Формальная запись суммы членов некоторой числовой последовательности Числовые ряды называется числовым рядом Суммы S, называются частичными суммами ряда Если существует предел lim S, S то ряд

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

3. Ряды Числовые ряды

3. Ряды Числовые ряды . Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется выражение вида u u u... u..., где числа u, u, u,... называются членами ряда u называется общим членом ряда. Определение. -ой частичной суммой

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ. Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Учебно-методическое пособие КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математической статистики ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Учебно-методическое пособие КАЗАНЬ 008 Печатается по решению секции Научно-методического совета Казанского университета

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n

Числовые и функциональные ряды. Числовые ряды: основные понятия. (1), где u n Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Определение Выражение вида Числовые и функциональные ряды Числовые ряды: основные понятия (), где называется числовым рядом (или просто рядом) Числа,,, члены ряда (зависят

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ. Министерство образования Российской Федерации Ульяновский государственный технический университет ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ РЯДЫ ФУРЬЕ Ульяновск УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфиз-матнаук

Подробнее

Ряды. Числовые ряды.

Ряды. Числовые ряды. Ряды Числовые ряды Общие понятия Опр Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, то множество занумерованных чисел, называется числовой последовательностью,

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра математики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов заочного обучения ( III семестр ) Уфа Дан теоретический материал (понятия,

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЯДЫ Методические рекомендации

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРАКТИКУМ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ» С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD Рязань 009 Предисловие Практикум является приложением к учебному

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Методические указания для

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Е.В. Небогина, О.С. Афанасьева РЯДЫ. ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЕВ Небогина, ОС Афанасьева РЯДЫ ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ

Подробнее

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста)

РЯДЫ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ (с элементами квантования текста) ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Подробнее

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n

Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида. коэффициентами ряда, а точка разложения ряда. n n Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,,...,,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Вопросы и задачи по математическому анализу

Вопросы и задачи по математическому анализу Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СР Свирщевский Вопросы и задачи по математическому

Подробнее

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Министерство образования Российской Федерации МАТИ Российский государственный технологический университет им.к.э.циолковского Кафедра «Высшая математика» ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Варианты курсовых

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3724 РЯДЫ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3724 РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА РАЗДЕЛОВ «РЯДЫ КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» 11 Числовые ряды Понятие числового ряда Свойства числовых рядов Необходимый признак сходимости

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Математический анализ.

Математический анализ. Основная форма учебных занятий студентов-заочников самостоятельная работа над учебным материалом, слагающаяся из следующих составных элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ. Содержание Сроки сдачи Критерии оценки 1.Изучение теоретического материала (учебнометодический. за 1,5 месяца до сессии

ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ. Содержание Сроки сдачи Критерии оценки 1.Изучение теоретического материала (учебнометодический. за 1,5 месяца до сессии УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ОБУЧАЮЩИЙ МОДУЛЬ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» РАЗДЕЛ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ I БЛОК ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЗАОЧНОГО

Подробнее

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

Теорема 6.1. Если функция f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то: Лекция 6 Разложение функции в степенной ряд Единственность разложения Ряды Тейлора и Маклорена Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций Применение степенных рядов В предыдущих лекциях

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ С П ПРЕОБРАЖЕНСКИЙ, СР ТИХОМИРОВ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 987 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Формулировка задания 3 Варианты задания 3 Пример выполнения задания и комментарии

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Министерство образования республики Беларусь. Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для практически

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Вопросы по математическому анализу 3 семестр. для студентов заочной формы обучения института экономики направление подготовки «Экономика».

Вопросы по математическому анализу 3 семестр. для студентов заочной формы обучения института экономики направление подготовки «Экономика». - уч. год Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математическому анализу семестр для студентов заочной формы обучения

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора 82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Подробнее

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член

... Числа, a,... называются членами ряда (его слагаемыми), выражение a - общий член Лекция Числовые ряды Признаки сходимости Числовые ряды Признаки сходимости Бесконечное выражение числовой последовательности + + + +, составленное из членов бесконечной, называется числовым рядом Числа,,

Подробнее

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие

Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Математический анализ Часть 3. Числовые и функциональные ряды. Кратные интегралы. Теория поля. учебное пособие Н.Д.Выск МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Подробнее

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее