ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) В М Ипатова О А Пыркова В Н Седов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ второе издание исправленное и дополненное Рекомендовано Учебно-методическим объединением высших учебных заведений Российской Федерации по образованию в области прикладных математики и физики в качестве учебного пособия для студентов вузов по направлению «Прикладные математика и физика» МОСКВА МФТИ

2 УДК 579(75) ББК 6я7 И76 Рецензенты: Кафедра математического анализа Московского государственного областного университета (зав кафедрой доктор технических наук профессор А В Латышев Доктор физико-математических наук профессор В П Шутяев Ипатова ВМ Пыркова ОА Седов ВН И76 Дифференциальные уравнения Методы решений: учеб пособие / ВМ Ипатова ОА Пыркова ВН Седов -е изд доп М: МФТИ 9 с ISBN Излагаются методы решения основных классов обыкновенных дифференциальных уравнений которые предлагаются на письменном экзамене по курсу дифференциальных уравнений в Московском физико-техническом институте (государственном университете) После краткого изложения теории приводятся примеры решения задач В конце каждого параграфа содержится подборка задач из письменных контрольных работ с по 6 гг с ответами Также в настоящем издании добавлены тесты предлагавшиеся на переэкзаменовке по дифференциальным уравнениям в 8/9 уч г и задачи из письменного государственного квалификационного экзамена (ГКЭ) по математике за 9/ и / уч гг соответствующие теме «дифференциальные уравнения» Предназначено студентам второго курса всех факультетов МФТИ (ГУ) и вузов с углубленным изучением математики УДК 579(75) ББК 6я7 ISBN Ипатова ВМ Пыркова ОА Седов ВН Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)»

3 ВВЕДЕНИЕ Данное учебное пособие предназначено для подготовки студентов к письменному экзамену по дифференциальным уравнениям Оно составлено в соответствии с требованиями и на основе материалов письменного экзамена по дифференциальным уравнениям проводящемся в Московском физикотехническом институте (государственном университете) в весеннем семестре второго курса который вместе с последующим устным экзаменом завершает годовой курс дифференциальных уравнений В конце осеннего семестра на втором курсе по дифференциальным уравнениям предусмотрен зачет Письменная контрольная работа состоит из восьми или девяти задач Каждой из тем этих задач посвящен отдельный параграф Он начинается с изложения метода решения рассматриваемых задач или сведений из теории (без доказательств) которые приводят к решению Далее на примерах из письменных экзаменационных работ демонстрируются рассматриваемые методы Затем приводится подборка задач которые давались на экзаменах по этой теме в 6 годах а затем ответы к ним Каждая задача снабжена индентификатором формата (-) где цифра порядковый номер задачи в контрольной работе данного года последняя цифра этого года номер варианта На каждой из контрольных работ давалось по четыре варианта В настоящее издание также вошли тесты предлагавшиеся на переэкзаменовке по дифференциальным уравнениям в 8/9 уч г и задачи письменного государственного квалификационного экзамена (ГКЭ) по математике за 9/ и / уч гг Хотя пособие составлено на основе письменных экзаменов в МФТИ его можно использовать и студентам других институтов с повышенной математической подготовкой Искренняя благодарность всем преподавателям кафедры высшей математики МФТИ принимавшим активное участие в составлении задач для письменного экзамена

4 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия Неоднородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется дифференциальное уравнение вида ( n ) ( n a a ) a a f ( ) n n () где R независимая переменная; ( ) искомая функция; a a a n заданные числа причем a ; f ( ) известная функция не равная тождественно нулю Уравнение ( n) ( n) a a an an () называется однородным Общее решение линейного неоднородного уравнения () представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения () и любого частного решения неоднородного уравнения (): () ( ) ( ) ( ) o ч Общее решение однородного уравнения Фундаментальной системой решений однородного уравнения () называется совокупность n линейно независимых решений ( ) ( ) n ( ) этого уравнения Общее решение однородного уравнения () представляет собой произвольную линейную комбинацию частных решений входящих в фундаментальную систему решений o ( ) ( ) n n ( ) () Далее мы будем рассматривать уравнения с действительными коэффициентами их решения будем искать в действительной форме Характеристическим уравнением соответствующим однородному уравнению () называется алгебраическое уравнение

5 n n a λ aλ anλ an (5) Обозначим через λ λ λn корни характеристического уравнения (5) вообще говоря комплексные ) Каждому действительному простому корню λ характеристического уравнения (5) соответствует частное решение λ однородного уравнения () имеющее вид ) Каждому действительному корню λ кратности k ( k ) соответствует k линейно независимых частных решений однородного уравнения λ λ k λ Соответствующая компонента общего решения однородного уравнения () имеет вид k λ ( ) ( k ) (6) где k произвольные постоянные ) Если λ α iβ где α и β действительные β а i является корнем характеристического уравнения (5) то комплексно-сопряженное число λ α iβ также корень этого уравнения (по свойству алгебраических уравнений с действительными коэффициентами) Напомним что для комплексного числа i где R его действительной и мнимой частью называются соответственно R Im Кроме того имеет место формула Эйлера ( cos β i sin β) ( α iβ ) α Паре невещественных корней α ± iβ соответствуют два линейно независимых действительных частных решения однородного уравнения () R α cos β ( α iβ ) и ( α iβ ) α Im sin β которые включают в фундаментальную ( α iβ ) ( α iβ ) систему решений вместо функций Соответствующая компонента общего решения однородного уравнения () представляется в виде α ( ) ( cos β sin β) (7) 5

6 где произвольные постоянные ) Если среди корней характеристического уравнения (5) есть корень λ α iβ кратности k ( k ) то и комплексно сопряженный ему корень λ α iβ имеет ту же кратность k Этим k невещественным корням соответствуют k линейно независимых частных действительных решений однородного уравнения () α cos β α cos β k α cos β α sin β α sin β k α sin β Соответствующая компонента общего решения однородного уравнения () имеет в этом случае вид k α ( ) ( k ) cos β (8) k α ( D D Dk ) sin β где k D D Dk произвольные постоянные Так можно построить совокупность решения являющуюся общим решением уравнения () Частное решение неоднородного уравнения с правой частью специального вида Пусть правая часть ( ) f неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами является квазимногочленом те является суммой функций вида γ g( ) ( Pm ( ) cos ϕ Qn ( ) sinϕ) здесь P m ( ) и Q n ( ) многочлены степени m и n соответственно В этом случае для поиска частного решения неоднородного дифференциального уравнения можно использовать метод неопределенных коэффициентов 6

7 5) Пусть правая часть уравнения () имеет вид γ m f ( ) Pm ( ) где P m ( ) b b b m многочлен степени m Если γ не является корнем характеристического уравнения (5) то говорят что имеет место нерезонансный случай; частное решение неоднородного уравнения () ищется в виде γ ч Qm ( ) (9) где Q m ( ) многочлен той же степени m Если γ является корнем (5) кратности s то говорят что имеет место резонанс кратности s ; частное решение () ищется в виде s γ ч Qm ( ) () Для определения коэффициентов многочлена Q m ( ) следует (9) или () подставить в () сократить на γ и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях уравнения Из получившейся системы алгебраических уравнений найдем эти коэффициенты 6) Пусть коэффициенты левой части уравнения () действительны а его правая часть имеет вид γ f ( ) ( Pm ( ) cos ϕ Qn ( ) sinϕ) Если γ iϕ не является корнем характеристического уравнения (5) то говорят что имеет место нерезонансный случай; частное решение неоднородного уравнения () ищется в виде γ R cos ϕ T sinϕ () ч ( ) где p ma{ m n} P m ( ) и ( ) p p наибольшей из степеней многочленов Q n R p и T p многочлены степени не выше p Если γ iϕ является корнем (5) кратности s то говорят что имеет место резонанс кратности s ; частное решение () ищется в виде s γ R cos ϕ T sinϕ () ч ( ) p p 7

8 Чтобы найти коэффициенты многочленов R p и T p надо подставить () или () в уравнение () приравнять коэффициенты при подобных членах и решить полученную систему алгебраических уравнений Если правая часть уравнения () представима в виде суммы нескольких функций f ( ) f ( ) f ( ) fl ( ) то частное решение неоднородного уравнения () состоит из суммы частных решений i неоднородных уравнений n n a a a a f k l ( ) ( ) k k n k n k k ( ) ( ) Примеры решения задач предлагавшихся на экзаменационных контрольных работах Пример (-) Найти действительные решения уравнения IV 8 8 Исходное уравнение неоднородное Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: IV Составляем характеристическое уравнение: λ λ Его корни λ λ i λ i λ (кратности два) соответствуют частные решения и корням λ ± i решения cos и sin Общее решение однородного уравнения в действительной форме o cos sin где действительные произвольные постоянные Частное решение неоднородного уравнения 8

9 В нашем случае f ( ) 8 8 те f ( ) f ( ) f ( ) где f ( ) f ( ) 8 8 Поиск частного решения проводим методом неопределенных коэффициентов: γ f( ) 8 Pm ( ) P m ( ) 8 те m γ Таких корней у характеристического уравнения нет следовательно кратность корня s То частное решение ищем в виде a ч ( ) Подставляя ч ( ) a уравнение при ( ) f ( ) f в исходное дифференциальное получаем ( a ) 8 6 a a Приравнивая коэффициенты при имеем a 8 a и ч γ f 8 P ( ) P m ( ) 8 следовательно ( ) 8 m m γ (что соответствует λ ) резонансный случай кратность корня s поэтому частное решение ищем в виде Q ( a b c) ч Подставляя 9 ч a b c в исходное дифференциальное уравнение при ( ) f ( ) f ( a 6b c) 8 получаем a Приравнивая выражения при одинаковых степенях имеем : 8a 8 : b это дает a c a и 6 : a 8c ; ч 6

10 Частное решение неоднородного уравнения ч ( ) ч ( ) ( ) ч 6 Общее решение неоднородного уравнения o ч cos sin 6 Пример (-) Найти действительные решения уравнения 5 5 Исходное уравнение неоднородное Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: 5 Составляем характеристическое уравнение: λ λ λ 5 Корень λ угадываем ( λ λ 5)( λ ) дает λ ± 5 ± i Корню характеристического уравнения λ соответствует частное решение корням λ ± i решения cos и sin Общее решение однородного уравнения в действительной форме o cos sin где действительные произвольные постоянные Частное решение неоднородного уравнения В нашем случае f ( ) 5 f f те f ( ) ( ) ( ) где f ( ) f ( ) 5 Поиск частного решения проводим методом неопределенных коэффициентов:

11 γ ( ) Pm ( ) ( ) f P m те m γ (что соответствует λ ) резонансный случай кратность корня s поэтому частное решение ищем в виде Q a ч Подставляя ч ( ) a уравнение при ( ) f ( ) a f получаем в исходное дифференциальное Приравнивая выражения при одинаковых функциях имеем a a и ч γ ( ) 5 P ( ) P m ( ) 5 f 5 m те m γ (таких корней у характеристического уравнения нет) те кратность корня s поэтому частное решение ищем в виде ч Q a b Подставляя ч a b уравнение при f ( ) f ( ) a 5( a b) 5 в исходное дифференциальное получаем Приравнивая выражения при оди- : 5a 5 наковых степенях имеем : a 5b ; b a и ч Частное решение неоднородного уравнения ч ( ) ч ( ) ( ) ч 5 Общее решение неоднородного уравнения o ч это дает a cos sin 5

12 Пример (-) Найти все действительные решения уравнения sin Исходное уравнение неоднородное Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Составляем характеристическое уравнение: λ λ λ Его корни λ λ ± i λ соответствует частное решение корням λ ±i решения sin cos Общее решение однородного уравнения в действительной форме o sin cos где действительные произвольные постоянные Частное решение неоднородного уравнения В нашем случае f ( ) sin те f ( ) f ( ) f ( ) где f ( ) sin f ( ) γ f ( ) sin ( Pm ( ) cos β Qn ( ) sin β) ( ) Q n ( ) p ma { m n} βi i P m γ корень характеристического уравнения резонансный случай кратность корня s поэтому частное решение ищем в виде asin b cos в исходное дифференци- ч ( ) ( ) Подставляя ч ( ) ( a sin b cos ) альное уравнение при f ( ) f( ) 8 ( a cos bsin ) ( a sin b cos ) sin получаем Приравнивая коэффициенты при cos и при sin имеем

13 ч cos : 8a b sin : 8b a ; sin cos это дает a b γ f ( ) Pm ( ) P m ( ) те m γ не является корнем характеристического уравнения кратность корня s поэтому частное решение ищем в Q a b виде ( ) ч Подставляя ч ( a b) уравнение при ( ) f ( ) в исходное дифференциальное f получаем 8a 6( a b) a 6( a b) a ( a b) ( a b) Приравнивая выражения при одинаковых степенях имеем : 6a это дает a b и ч : 6b 8 a ; 8 8 Частное решение неоднородного уравнения ч ч ч sin cos 8 Общее решение неоднородного уравнения o ч sin cos sin cos 8 5 Задачи для самостоятельного решения Найти все действительные решения уравнений: IV (-) 8 8 IV (-) sin IV (-) 5 sin и

14 (-) IV sin 5 (-) 6 6 (-) 7 (-) (-) (-) cos (-) 8sin (-) 6 (-) sin ` 8 cos sin `8 (-) ( ) (-) ( 6) cos 5 (-) 8( ) cos 6 (-) 6 6 ( ) sin 7 (-) IV cos 8 (-) sin sin 9 (-) sin (-) cos (-5) cos ( ) (-5) sin 8( ) (-5) cos ( ) (-5) sin ( ) 5 (-6) sin 6 (-6) 6 sh

15 7 (-6) 8 (-6) cos 6 ch 6 6 Ответы cos sin 6 ( sin cos ) sin cos sin ( sin cos ) cos sin 8 cos sin cos sin ( cos sin ) 5 5 sin cos 9 ( sin cos ) sin cos 9cos sin 9 ( ) 7 78 sin cos sin cos 8 ( ) ( ) cos 7 sin cos sin ( ) cos sin 5

16 5 ( ) 6 cos sin cos sin 7 ( ) cos ( ) sin cos 8 cos sin sin cos 6 9 sin cos ( ) 5 ( ) sin 6 ( ) cos sin ( ) ( ) ( ) cos sin cos sin 6 cos cos sin ( ) ( ) sin cos sin ( cos sin ) ( ) 5 cos sin 6 ( ) ( ) 5 7 sin cos 8 ( ) ( ) 6

17 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия Нормальной линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами порядка n называется система вида n dk akj j k n () d j где a kj cons ( ) Вводя в рассмотрение вектор-функцию () и матрицу A ( a kj n () ) уравнения () можно представить в векторной форме d A () d Общее решение однородной системы Фундаментальной системой решений однородной системы дифференциальных уравнений () называется совокупность n линейно независимых решений () ( ) n ( ) () () n () n () n () n () nn () этой системы Общее решение векторного уравнения () представляется в виде () () () () n n () где n произвольные постоянные 7

18 Метод Эйлера (Метод сведения решения системы к задаче отыскания собственных значений и собственных векторов матрицы системы) Чтобы найти решения (): ) Вычислим собственные значения матрицы A решив характеристическое уравнение d ( A λ E) (5) Обозначим λ λ λn корни (5) вообще говоря комплексные Для собственного значения λ отвечающий ему собственный вектор h определяется условием Ah λh h (6) ) Корни характеристического уравнения (5) действительные простые Тогда существует базис из собственных векторов матрицы A : Ah m λ h h m n m m m Вектор-функции λ m hm m n являются решениями () Общее решение векторного уравнения () есть их произвольная линейная комбинация ( m постоянные) n λm h (7) m m m ) Корни характеристического уравнения (5) невещественные простые Еще раз напомним что для комплексного числа i где R его действительной и мнимой частью называются соответственно R Im Кроме того имеет место ( α iβ ) α формула Эйлера ( cos β i sin β) Если среди корней характеристического уравнения (5) есть невещественный корень λ α iβ то комплексно сопряженное ему число λ α iβ также будет корнем этого уравнения (по свойству алгебраических уравнений с действительными 8 m

19 коэффициентами) Этой комплексной паре корней соответствуют два линейно независимых частных решения векторного уравнения () λ () h и () λ h Поскольку ставится задача отыскания действительных решений системы дифференциальных уравнений то в качестве решений соответствующих такой паре комплексных сопряженных собственных значений матрицы A выбирают линейные комбинации решений и а именно () () () и () () () i или () R () и () Im () З а м е ч а н и е В более общем случае когда собственный вектор для числа λ берется не сопряженным с вектором h действительная и мнимая части соответствующего комплекснозначного решения системы будут линейными комбинациями λ λ действительных решений () R h и () Im h найденных для собственного значения λ То если α ± iβ простые корни характеристического уравнения (5) то компонента общего решения системы соответствующая этой паре комплексных корней записывается в виде λ λ () () R h Im h (8) где произвольные постоянные h собственный вектор отвечающий собственному значению λ α iβ ) Корни характеристического уравнения действительные кратные В этом случае матрица A может не иметь n линейно независимых собственных векторов Тогда для построения общего решения () используется следующее понятие 9

20 Жордановой цепочкой матрицы A соответствующей собственному значению λ называется система векторов h h hp такая что Ah λh h Ah λh h Ah λh h (9) Ah p λh p h p Вектор h собственный а h h hp присоединенные векторы Равенства (9) можно записать также в виде ( A λe) h h () ( A λe) hk hk k p Каждой цепочке h h hp соответствует p линейно независимых решений p векторного уравнения (): λ h λ h h! λ h h h!! () p p λ p h h hp hp ( p! ) ( p! )! З а м е ч а н и е Приведем правило запоминания формул () Собственному вектору h соответствует решение λ Если везде отбросить λ то каждая строка правой h

21 части () получается интегрированием по предыдущей строки причем постоянную интегрирования надо взять равной следующему по порядку вектору серии Для кратного собственного значения λ может существовать несколько жордановых цепочек содержащих линейно независимые собственные векторы матрицы A Компонента общего решения системы соответствующая действительному собственному значению λ кратности p имеет вид r λ ( r ) ( r () ) () r k l l l ( r ) ( r ) ( r ) где k произвольные постоянные k p r r Известно что для любой квадратной матрицы A существует базис составленный из ее жордановых цепочек поэтому произвольная линейная комбинация решений вида () дает общее решение векторного уравнения () Общее решение неоднородной системы Решение неоднородной системы d A f () d можно найти методом вариации постоянных если известно общее решение однородной системы () с той же матрицей A ( a kj ) Для этого в формуле общего решения () однородной системы надо заменить произвольные постоянные m m n на неизвестные функции m ( ) : n () () () m m m () r

22 n d( ) dm ( ) Полученные выражения для m () d m d n dm () m () подставляем в неоднородную систему () m d n n dm () Тк m () m () Am () то получаем систему для m d m () определения d m m n : d n d m () m () f () d m m m n находим проинтегрировав полученные при решении системы () функции d ( ) m m n d Заметим что если при нахождении функций m ( ) записывать всю совокупность первообразных те сохранять в записи выражений для m () возникающие при интегрировании произвольные постоянные то () будет общим решением неоднородной системы Частное решение неоднородной системы () получим полагая возникающие при интегрировании произвольные постоянные равными конкретному значению например равными нулю Неизвестные функции ( ) 5 Примеры решения задач предлагавшихся на экзаменационных контрольных работах Пример (-) Найти все действительные решения системы 5 ( λ λ ) 5 9

23 Матрица системы A Не все корни характеристического уравнения различны: либо а) существует базис из собственных векторов матрицы A системы либо б) строим жорданову цепочку для матрицы A системы λ ( ) h E A λ Для краткости записи используются следующие обозначения: выражение ( ) ( ) m n β α над стрелочкой означает что перешли к эквивалентной системе алгебраических уравнений n-я строка матрицы которой представляет собой линейную комбинацию n-й и m-й строк с коэффициентами α и β соответственно E A λ ( ) ( ) ( ) 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) () дает h или h и

24 λ ( ) h E A λ E A λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) дает h и Нашли только один собственный вектор поэтому строим жорданову цепочку для матрицы A системы ( ) h h E A λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ` ( ) ( ) ( ) ( ) дает α h или (при α ) h Общее решение

25 5 Пример (-) Найти все действительные решения системы 8 7 ( ) λ Матрица системы 8 7 A Отметим что все корни характеристического уравнения равны ( ) h E A λ E A λ 8 дает h или h Нашли только один собственный вектор поэтому строим жорданову цепочку матрицы A системы: ( ) h h E A λ 8 дает α h или (при α ) h

26 6 ( ) h h E A λ 8 дает β h или (при β ) h Общее решение Пример (-) Найти все действительные решения системы 5 ( ) i 5 ± λ λ Матрица системы 5 A Все корни характеристического уравнения различны следовательно существует базис из собственных векторов матрицы A системы 5 λ ( ) h E A λ

27 7 E A λ 9 дает 9 h i λ ( ) h E A λ E A λ i i i i дает i h В нашем случае λ ( ) ( ) i i i h i i ( ) i i sin cos i sin cos sin cos sin cos Вектор-функции R λ и Im λ действительные решения системы Общее решение sin cos sin cos sin cos 9 5 Пример (-) Найти все действительные решения системы cos

28 Матрица системы A Решаем характеристическое уравнение d ( A λ E) λ ( λ )( λ) λ λ 5 откуда λ ± i λ Все корни характеристического уравнения различны поэтому существует базис из собственных векторов матрицы A системы λ i ( A λ E ) h A λ i E i i дает i h или h i или h i В нашем случае λ ( i) λ h i i i cos sin i cos sin cos sin Вектор функции R и λ Im действительные λ решения системы Общее решение однородной системы cos sin cos sin cos sin Решение неоднородной системы ищем методом вариации постоянных полагая ( ) и ( ) Подставляя 8

29 и () cos ()( cos ) () sin ()( ) sin () ( cos sin ) () ( cos sin ) () ( cos sin ) () ( cos sin ) ( ) ( ) в неоднородную исходную систему получим для определения и систему () cos () sin cos () ( cos sin ) () ( cos sin ) Сокращаем оба уравнения на и умножаем первое уравнение на cos : () cos () sin cos ()( ) cos sin ()( cos sin ) К первому уравнению умноженному на прибавляем второе умноженное на ( cos sin ) : () cos () sin cos ()( ) cos sin ()( cos sin ) Ко второму уравнению прибавляем первое умноженное на : () () ()( ) cos sin ()( cos sin ) Полученный из первого уравнения результат подставляем во второе уравнение cos sin откуда sin d cos () d c d c cos cos 9

30 ln cos c аналогично находим sin ( ) d c ln cos c cos Общее решение неоднородной системы cos ( ln cos c ) cos sin sin ( ln cos c ) cos sin 6 Задачи для самостоятельного решения Найти все действительные решения систем уравнений: 9 (-) ( λ 5 λ ± i ) 5 (-) 5 ( λ ) (-) ( λ λ ± i ) (-) ( λ ) (-) 5 ( λ λ ± i ) 6 (-) ( λ ) 8

31 5 (-) 6 (-) 7 (-) 8 (-) 9 (-) (-) (-) (-) (-) (-) ( λ λ ± i ) 7 ( λ ) ( λ λ ) 8 9 ( λ λ ) ( λ λ ) 5 5 ( λ λ ) 9 ( λ λ ± i) 5 5 ( λ λ ) 5 5 ( λ i) λ ± ( ) λ

32 5 (-) cos 6 (-) 7 (-) cos sin 8 (-) 5 9 (-5) ( λ λ ± i) 6 5 (-5) 5 ( λ λ ) (-5) ( λ λ ± i) (-5) ( λ λ ) 6 5 (-6) ( λ λ ) 6 5 (-6) ( λ λ )

33 55 (-6) ( ) λ λ 56 (-6) ( ) λ λ 7 Ответы 9 sin cos sin cos sin cos 9 5 cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos sin

34 5 cos sin sin cos sin cos sin cos

35 5 cos sin cos sin sin sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin 5 cos sin cos sin cos 5 () () sin cos sin sin cos cos где ( ) cos ln c ( ) cos ln c 6 () () где () 5 7 c () 5 c 7 () () cos sin sin cos где ( ) c ( ) cos ln sin ln c 8 () () где ( ) c ( ) c

36 6 9 sin cos cos sin cos sin sin cos 5 5 sin sin sin cos cos cos sin cos

37 ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение ( n) ( n) F ( ) () где независимая переменная искомая функция функция F определена и непрерывна в некоторой области n ( n) n и зависит от G R ( ) Решением уравнения () на интервале I ( a b) функция ϕ( ) удовлетворяющая условиям: n ϕ ( ) ( a b) ; ( n) ( n) ( ϕ ϕ ϕ ϕ ) G при ( a b) ; ( n) ( n) F ϕ ϕ ϕ ϕ для ( a b) ( ) называется Задача Коши или начальная задача для уравнения () ставится следующим образом: заданы числа ˆ ˆ ˆ n такие что ( a b) и F ( ˆ ˆ ˆ n ) Требуется найти такое решение ( ) уравнения () которое удовлетворяет условиям ( ) ŷ ( n ( ) ŷ ) ( ) ˆ n () З а м е ч а н и е Характерная особенность задачи Коши состоит в том что условия на искомое решение ( ) задаются в одной и той же точке Общим интегралом уравнения () называется соотношение связывающее и n произвольных постоянных n Φ () ( ) n 7

38 Значения этих произвольных постоянных n можно найти при определенных требованиях к функции ( n) ( n) F используя n начальных условий ( ) ( ) ŷ ( ) ŷ ( n ) ( ) ˆ n () Основные типы уравнений допускающие понижение порядка Простые случаи понижения порядка уравнения Порядок уравнения легко понижается если его можно преобразовать в равенство полных производных по от некоторых выражений В случае когда уравнение не содержит те оно ( k ) ( k ) ( n) имеет вид F ( ) порядок уравнения понижается если сделать замену взяв за новую неиз- ( k ) вестную функцию производную от наименьшего порядка входящую в уравнение Когда уравнение не содержит независимое переменное те имеет вид F ( ) то порядок урав- ( n) нения понижается если за новую независимую переменную взять а за неизвестную функцию p ( ) При этом ( ) dp( ) d d d dp d p ( ) p( ) d d З а м е ч а н и е При этом может быть потеряно решение cons которое следует искать отдельно: F ( ) Случаи однородного и однородного в обобщенном смысле уравнений Если уравнение является однородным относительно и всех производных от те уравнение не меняется при одновременной замене на λ на λ λ ( k ) ( k ) 8

39 k n то порядок уравнения можно понизить на единицу если ввести новую неизвестную функцию ( ) по правилу При такой замене ( ) ( ) ( ) З а м е ч а н и е Отдельно следует рассмотреть случай Пусть теперь уравнение является однородным в обобщенном смысле те существует такое число s что уравнение не меняется при одновременной замене на λ на λ s s s при этом заменяется на λ на λ ( k ) sk ( k ) на λ где λ k n Чтобы узнать будет ли уравнение однородным и найти число s надо приравнять друг другу показатели степеней в которых число λ будет входить в каждый член уравнения после указанной выше замены Если же полученные уравнения для s будут несовместными то дифференциальное уравнение не является однородным в указанном смысле После того как число s найдено при > вводим новую независимую переменную и новую неизвестную функцию с помощью замены () s З а м е ч а н и е При < полагаем Тогда уравнение приводится к виду в который не входит Следовательно порядок уравнения понижается по правилу изложенному в пункте З а м е ч а н и е При решении задач с начальными условиями целесообразно использовать заданные условия в самом процессе решения 9

40 Примеры решения задач предлагавшихся на экзаменационных контрольных работах Пример (8-) Решить задачу Коши ln ( ) ( ln ) ( ) ( ) Так как явно не входит в уравнение то делаем замену p( ) при которой p pp Исходное дифференциальное уравнение принимает вид pp ln p ( ln ) ) при p получаем и cons не годится из-за начальных условий; ) при p получаем p ln p( ln ) уравнение с разделяющимися переменными dp ( ln ) dp d или d p ln p ln ln p ln ln ln ln (здесь > ) то p ln (здесь С произвольное тк а) сняли знак модуля; б) учли возможность p ) Для определения постоянной С используем начальные условия ( ) ( ) Таким образом ln и тогда d p ± ln уравнение с разделяющимися переменными: d (выбираем верхний знак из-за начальных ус- d d ln d ln ловий) ln начальное значение ( ) дает ln Подставляя сюда получаем

41 Частное решение соответствующее поставленным начальным условиям: Пример (7-) Решить задачу Коши ( ) ( ) sin sin cos π π Нетрудно заметить что исходное уравнение является однородным относительно поэтому делаем замену при которой ( ) Исходное дифференциальное уравнение принимает вид: ( ) sin cos ( ) ( ) sin не удовлетворяет начальным условиям; при имеем ( ) sin cos sin или это уравнение Бернулли sin cos Стандартная замена p p sin cos Уравнение переходит в p sin p cos неоднородное линейное уравнение первого порядка по p которое решаем методом вариации постоянной ) Сначала решаем однородное уравнение: p sin p cos переменные разделяются p p sin dp cos d дает ln p ln sin ln и p sin

42 ( ) ) Полагая ( ) подставляем p в линейное sin неоднородное уравнение cos sin sin cos дает sin sin sin sin те d sin d cos и ( ) ) Используя найденное значение ( ) получаем cos sin p те sin p cos Для определения постоянной используем начальные условия Таким образом π π π π π дает и π и sin π ± тк и при имеют разные знаки то выбираем знак минус: уравнение с раз- cos sin cos d sin d деляющимися переменными те и cos ln cos π Подставляя сюда начальное значение находим ln откуда и ln cos или

43 тк > получаем частное решение соответствующее поставленным начальным условиям: p( cos ) Задачи для самостоятельного решения Решить задачу Коши: 57 (7-) sin cos ( ) ( ) sin π π 6 58 (7-) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 59 (7-) cos sin ( ) ( ) cos π 6 π (7-) ( 9)( ) ( ) ( ) ( ) 6 (6-) ( ) ( ) ( ) 6 (6-) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) 6 (6-) ( ) ( ) ln ( ) ( ) 6 (6-) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 65 (8-) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) 66 (8-) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 67 (8-) ( ) 5 ( ) ( ) 68 (8-) ln ( ) ( ln ) ( ) ( ) 69 (8-) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 (8-) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 (8-) ( ) cg cos sin () ( ) π

44 7 (8-) ( ) ( ) ( ) sh ( ) 7 (5-) ( ) () () 7 (5-) ( ) ( ) ( ) 75 (5-) ( ) ( ) ( ) 76 (5-) ( ) ( ) ( ) 77 (5-5) ( ) ( ) ( ) 78 (5-5) ( ) ( ) ( ) ( ) 79 (5-5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π g sin () () 6 8 (5-5) ( ) ( ) 8 (5-6) ( ) 8 (5-6) ( ) ( ) 8 (5-6) ( ) ( ) ( ) 8 (5-6) ( ) h ( ) sh ( ) ( ) 57 p{ cos } 58 [( 7 ) ] 59 p{ sin } Ответы

45 6 ln p( ) 7 arcg( ) 7 ( ) 7 ln 7 ln

46 8 8 8 arcsin ( ) 8 8 ln sh 6

47 ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Основные понятия Пусть M некоторое множество функций Функционалом J J ( ) называется переменная величина зависящая от функции ( ) если каждой функции ( ) M по некоторому правилу поставлено в соответствие число Множество M функций ( ) на котором определен функционал J ( ) называется его областью определения В приложениях часто встречаются функционалы вида b ( ) F( ( ) ( ) ) J d () a заданная дважды непрерывно дифференцируе- где F ( p) мая функция для [ a b] и ( p) R( p) плоскости с декартовыми прямоугольными координатами p Будем обозначать через [ a b] пространство всех непрерывно дифференцируемых на [ a b] функций с нормой ma ( ) ma ( ) [ a b] [ a b] ˆ выполнено неравен- Говорят что функция ( ) M минимум функционала ( ) ( ) M для которого ( ) ( ) < ε ство J ( ) J ( ˆ ) Говорят что функция ˆ ( ) M максимум функционала ( ) ( ) M для которого ( ) ( ) < ε ство J ( ) J ( ˆ ) ˆ дает (слабый локальный) J если число ε > такое что дает (слабый локальный) J если число ε > такое что ˆ выполнено неравен- 7

48 Простейшая вариационная задача Простейшей вариационной задачей называется задача нахождения слабого локального экстремума функционала () в классе непрерывно дифференцируемых на [ a b] функций ( ) удовлетворяющих граничным условиям a ( b) B () ( ) A Если функция ŷ ( ) является решением простейшей вариационной задачи то она на [ a b] необходимо удовлетворяет уравнению Эйлера: F d F () d d (здесь полная производная по ) d Экстремалью называется всякое решение уравнения Эйлера () Задача со свободным концом (концами) Пусть функционал () рассматривается при граничном условии ( a) A () Тогда говорят что a закрепленный конец b свободный конец Задачей со свободным концом называется задача нахождения слабого локального экстремума функционала () в классе непрерывно дифференцируемых на [ a b] функций ( ) удовлетворяющих условию () Если функция ŷ ( ) является решением задачи со свободным концом то она на [ a b] необходимо удовлетворяет уравнению Эйлера () и граничному условию при b вида 8

49 F ( b ˆ ( b) ˆ ( b) ) (5) Если функционал J ( ) рассматривается при граничном условии ( b) B (6) то a свободный конец Функция ŷ ( ) доставляющая J ( ) слабый локальный экстремум должна удовлетворять уравнению Эйлера () граничному условию (6) и граничному условию при a : F ( a ˆ ( a) ˆ ( a) ) (7) Если граничных условий не ставится то есть оба конца свободные то ŷ ( ) должна удовлетворять уравнению Эйлера () и граничным условиям (5) (7) Решение уравнения Эйлера Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с переменными коэффициентами называется дифференциальное уравнение вида ( ) ( n ) ( ) ( n a ) a an ( ) an ( ) f ( ) (8) искомая функ- a функции где [ a b] независимая переменная; ( ) ция; f ( ) a ( ) a( ) an ( ) заданные на [ b] причем : [ a b] функция a ( ) Уравнением Эйлера называется линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами вида nk ak ( ) bk k n где b b bn - заданные числа причем b : n ( n ) n ( n b ) b b f ( ) n n ( ln ) b (9) Заменой (9) сводится к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами 9

50 d d d d d d d d Действительно d d d d d d d d d d d d d d Допустим что k-я производная имеет вид d d k d k k k d d d α k d k α k k d d d k k d d d α k k α k k где α α α k - постоянные Тогда (k)-я производная будет равна d d d k k d d d k d k d d k d d d d k ( ) k k d d k k d d α α k k d d ( k) k k k ( ) d d d α k k k k α k k d d d Так как в преобразованном уравнении в случае отсутствия кратных корней характеристического уравнения решения λ имеют вид следовательно в исходном уравнении они λ имеют вид Поэтому можно непосредственно подставить его в уравнение Эйлера (9) Поскольку k λ k d λ( λ ) ( λ k ) при k λ то характеристическое уравнение имеет вид dk b λ ( λ ) ( λ n ) bnλ( λ ) bnλ bn () Каждому простому корню λ уравнения () соответствует λ частное решение однородного уравнения Эйлера ; каждому действительному корню λ кратности l ( l ) соответствует l линейно независимых частных решений однородного уравне- 5

51 l λ ( ) λ λ ния Эйлера ln ln В случае невещественных корней λ надо учитывать что β β ln i i то паре комплексно сопряженных корней α ± iβ уравнения () будут соответствовать два решения однородного уравнения Эйлера α α cos β ln sin β ln ( ) и ( ) 5 Примеры решения задач предлагавшихся на экзаменационных контрольных работах Пример (5-) Найти экстремали и исследовать на экстремум функционал 9 5 ( ) d ( ) ( ) 5 d Составляем уравнение Эйлера F F : d 9 5 F( ) ( ) 8 5 F d 5 5 F d 5 F Уравнение Эйлера () имеет вид или () Для его решения применяем стандартный алгоритм: Решения однородного линейного уравнения ищем в виде λ 5

52 Характеристическое уравнение ( λ ) λ λ ( λ ) ( λ) ( )( λ ) λ или λ Его корни λ λ Соответствующее общее решение однородного уравнения o Частное решение (случай нерезонансный) ищем в виде ч a a a ч ч Подставляя ч ч ч в неоднородное уравнение Эйлера получаем a или a те a и ч Общее решение неоднородного уравнения Эйлера Постоянные и находим из граничных условий или 8 5; откуда получаем 5 5 те 6 ; Стационарная точка ˆ Исследование на экстремум Пусть h [ ;] h ( ) h( ) Рассмотрим Δ J J ˆ h J ˆ Поскольку уравнение Эйлера выполняется ( ) ( ) 5

53 на рассматриваемой кривой ŷ то линейная по h часть приращения функционала δ J ( ˆ ) В этом можно при желании убедиться непосредственно используя прием интегрирования по частям граничные условия и уравнение Эйлера (на экстремали оно обращается в ноль) Следовательно 9h 5hh ΔJ ( ) h d Интегрируя по частям и учитывая равенства h ( ) h( ) находим 5hh d 5 dh 5h 5h d 5h d Таким образом 9h 5h минимум ΔJ ( h ) 5 d h ( h ) d те Пример (-) Найти экстремали и исследовать на экстремум функционал определив знак приращения J ( ) ( ) d ( ) ln Задача со свободным концом Составляем уравнение Эйлера d F F : d ln F( ) ( ) F ln d F F d

54 Уравнение Эйлера () имеет вид ln или ln () Для его решения применяем стандартный алгоритм: Заменой ( ln ) сведем () к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами: ( ) и или () Решения однородного линейного уравнения () ищем λ в виде Характеристическое уравнение λ Его корни λ ± Соответствующее решение однородного уравнения o Частное решение (случай нерезонансный) ищем в виде ч a b Подставляя ч в неоднородное уравнение Эйлера получаем a b те a b и ч Общее решение неоднородного уравнения Эйлера или возвращаясь к независимой переменной : ln 5

55 Постоянные и находим из следующих краевых условий: ( ) F Таким образом F ( ) и ( ) или ; отку- ; да получаем ( ) те Стационарная точка ˆ ln 5 Исследование на экстремум h h ( ) и F Рассмотрим Пусть [ ] ( ˆ h) J ( ˆ ) ΔJ ( h ) Δ J J Поскольку уравнение Эйлера выполняется на рассматриваемой кривой ŷ то линейная по h часть приращения функционала δ J ( ˆ ) В этом можно при желании убедиться непосредственно используя прием интегрирования по частям граничные условия и уравнение Эйлера Следовательно те минимум h d ( [ ] ) > Пример Найти стационарные точки функционала J ( ) ( ) 8 6 d Задача без ограничений Составляем уравнение Эйлера d F F : 6 d Для его решения применяем стандартный алгоритм: Решения однородного линейного уравнения ищем в виде λ 55

56 Характеристическое уравнение λ Его корни λ i λ i Соответствующее решение однородного уравнения o sin( ln ) cos( ln ) Частное решение ищем в виде ч a : ч Общее решение неоднородного уравнения Эйлера sin( ln ) cos( ln ) Постоянные и находим из следующих краевых условий: F F Тк F 8 cos( ln ) sin( ln ) то те sin( ln ) Стационарная точка ˆ Исследование на экстремум h F и F Рассмотрим Пусть [ ] J ( ˆ h) J ( ˆ ) 56 Δ J Поскольку уравнение Эйлера выполняется на рассматриваемой кривой ŷ то линейная по h часть приращения функционала δ J ( ˆ ) В этом можно при желании убедиться непосредственно используя прием интегрирования по частям граничные условия и уравнение Эйлера (на экстремали оно обращается в ноль) Следовательно ΔJ ( h ) h d α Тк полагая h ε получаем ΔJ α α ε ( α ) d ( ) α α ε d те ΔJ > при α > и ΔJ < при α < то нет ни минимума ни максимума

57 6 Задачи для самостоятельного решения Найти экстремали и исследовать на экстремум функционал: 85 (5-) ( ) 9 5 d ( ) ( ) 5 86 (5-) ( ) 8 7 d () ( ) 87 (5-) ( ) 5 5 d ( ) 88 (5-) ( ) π 7 d [ ] 57 ( ) 89 (-) ( ) sin d ( ) π [ ] ( ) 5 9 (-) ( ) cos d ( ) π [ ] 9 (-) ( ) cos d () π [ ] π 6 5 π 6 5 π 5 π 9 (-) ( ) sin d ( ) Найти экстремали и исследовать на экстремум функционал определив знак приращения: [ ] d 9 (-) J( ) 6 ( ) ( ) 9 (-) J ( ) 5 ( ) d ( ) 95 (-) J ( ) ( ) [ 8 ] 8 d ( )

58 ln Найти экстремаль и исследовать функционал на экстремум определив знак приращения: 6 97 (5-) J ( ) ( ) d ( ) 96 (-) J ( ) ( ) d ( ) 7 ( ) [ ] 98 (5-) J ( ) ( ) d ( ) ( ) 5 [ ] 99 (5-) J( ) ( ) ( ln ) d () ( ) [ ] (5-) J ( ) ( ) d ( ) ( ) π [ ] (8-) J ( ) ( ) 6 sin d ( ) [ ] π (8-) J ( ) π ( ) d ( ) () (8-) J ( ) ( ) π [ ] [ ] d ( ) Исследовать на экстремум функционал: (8-) J ( ) ( ) d ( ) π π π 58

59 5 (-5) [ ( ) ( 8) ] d ( ) () 6 (-5) [ ( )( ) ( ) ] d ( ) ( ) 7 7 (-5) [ ( ) ( 9 ) ] ( ) 6 9 d ( ) [ ] 8 (-5) ln ( ln 5) ( ) d ( ) ( ) [ ] 9 (-6) ( ) d ( ) ( ) [ ] (-6) ( ) 6 d ( ) ( ) 7 [ ] (-6) 6 ( ) d ( ) ( ) 7 [ ] (-6) ( ) 6 d ( ) ( ) 7 Ответы 85 Уравнение Эйлера: ˆ минимум 59

60 86 Уравнение Эйлера: ˆ минимум 5 87 Уравнение Эйлера: ˆ максимум 88 Уравнение Эйлера: 6 6 ˆ максимум cos 89 Уравнение Эйлера: cos ˆ 5 cos максимум 5 9 Уравнение Эйлера: sin ˆ sin 5 sin максимум 5 cos 9 Уравнение Эйлера: cos ˆ 5 cos минимум 5 9 Уравнение Эйлера: sin ˆ sin 5 sin минимум 5 9 Уравнение Эйлера: ˆ ( ) максимум 6

61 9 Уравнение Эйлера: ˆ максимум 95 Уравнение Эйлера: ( ) ˆ ( ) минимум 96 Уравнение Эйлера: ln ˆ ln ln минимум 97 Уравнение Эйлера: ˆ максимум 98 Уравнение Эйлера: 6 ˆ минимум 99 Уравнение Эйлера: ln ˆ ln ln минимум Уравнение Эйлера: 6 ˆ максимум Уравнение Эйлера: sin ˆ sin sin cos sin максимум Уравнение Эйлера: π ˆ π π π cos sin максимум π Уравнение Эйлера: 5 ˆ cos sin минимум 6

62 ln Уравнение Эйлера: ˆ ln ln минимум 5 Уравнение Эйлера: ˆ минимум 6 Уравнение Эйлера: ˆ максимум 7 Уравнение Эйлера: ˆ минимум 8 Уравнение Эйлера: 6 максимум 9 Уравнение Эйлера: ( ) J h ( h ) Δ d 6 ˆ ˆ максимум Уравнение Эйлера: ˆ ( ) ΔJ ( ) h h d минимум Уравнение Эйлера: ( ) ΔJ ( ) h h d ˆ максимум Уравнение Эйлера: ˆ ( ) ΔJ ( ) h h d минимум

63 5 УРАВНЕНИЯ НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ 5 Способы решения Уравнениями первого порядка неразрешенными относительно производной называются уравнения вида F ( ) (5) Уравнение (5) можно решать следующими методами: а) разрешить уравнение относительно те из уравнения (5) выразить через и ; получается одно или несколько уравнений вида f ( ) каждое из которых надо решить; б) методом введения параметра позволяющим свести уравнение (5) к уравнению разрешенному относительно производной 5 Метод введения параметра 5 Уравнения разрешенные относительно искомой функции Пусть уравнение (5) можно разрешить относительно искомой функции те записать в виде f ( ) d Введя параметр p получим f ( p) Взяв полный d дифференциал от обеих частей последнего равенства d f ( p) d f p ( p)dp и заменив d через pd получим уравнение вида M p d N p dp (5) ( ) ( ) где M ( p) f ( p) p N( p) f p ( p) а) Если решение этого уравнения будет найдено в виде p p( ) то подставляя его в равенство f ( p) сразу получаем f ( p( ) ) общее решение уравнения (5) б) Если решение этого уравнения найдено в виде ϕ( p ) то получим решение исходного уравнения в параметриче- 6

64 ( p ) ( ϕ( p ) p) ϕ ской записи Исключив теперь параметр f p получим общее решение уравнения (5) в явном виде З а м е ч а н и е Было бы ошибкой в левой части выраже- p p заменить p на и проинтегрировать уравне- ния ( ) ние p( ) тк решение последнего p( ) d общем случае не удовлетворяет уравнению f ( p) в 5 Уравнения разрешенные относительно аргумента Пусть теперь уравнение (5) можно разрешить относительно независимого переменного те записать в виде f ( ) Аналогично рассмотренному выше случаю введя параметр d p получим f ( p) Взяв полный дифференциал d от обеих частей последнего равенства d d f ( p) d f p ( p)dp и заменив d через получим p уравнение вида M p d N p dp (5) ( ) ( ) где M ( p) f ( p) N( p) f p ( p) p а) Если решение этого уравнения будет найдено в виде p p( ) то подставляя его в равенство f ( p) сразу получаем f ( p( ) ) общее решение уравнения (5) б) Если решение этого уравнения найдено в виде ψ ( p ) то получим решение исходного уравнения в параметрической записи Исключив теперь параметр ψ ( p ) f ( ψ ( p ) p) p получим общее решение уравнения (5) в явном виде 6

65 З а м е ч а н и е В некоторых задачах удобно вводить параметр p тогда d pd d d 5 Особые решения Задача Коши для уравнения (5) ставится следующим образом: задана точка ( p ) G для которой F ( p ) Требуется найти такое решение уравнения (5) которое удовлетворяет начальным условиям p (5) ( ) ( ) Достаточные условия существования и единственности задачи Коши дает Теорема Пусть в области G функция F ( p) непрерывно F( p ) дифференцируема и пусть Тогда p найдется такое число δ > что при δ решение задачи Коши (5) (5) существует и единственно Особым решением уравнения (5) на множестве I называется его решение o g( ) если I через точку его графика ( g( )) проходит другое решение отличное от него в сколь угодно малой окрестности этой точки и имеющее ту же касательную Для существования особого решения необходимо чтобы в области G нарушались условия теоремы существования и единственности задачи Коши те для непрерывно диффе- F p необходимо ренцируемой функции ( ) F( p) F( p) p (55) 65

66 Множество точек ( p) G F ( ( ) ) ( p) F p удовлетворяющее условию называется p-дискриминантным множеством уравнения (5) p График особого решения уравнения (5) лежит в p-дискриминантном множестве Однако p-дискриминантное множество не всегда задает особое решение: а) p-дискриминантное множество не обязано быть гладкой кривой б) p-дискриминантное множество не обязано определять решение уравнения (5) Для нахождения особых решений требуется: Найти решение (5) Найти p-дискриминантное множество исключив параметр p из системы F( p) F( p) p Отобрать те из решений уравнения (5) которые лежат в p-дискриминантном множестве Для отобранных решений проверить выполнение определения особого решения те проверить выполнение при - се- o ( ) ( ) где ( ) o ( ) ( ) мейство решений (5) не совпадающих с o ( ) I условий касания 5 Примеры решения задач предлагавшихся на экзаменационных контрольных работах Пример 5 (5-) Решить уравнение найти особые решения начертить интегральные кривые ( ) 66

67 Вводим параметр p 8p 6 6 или d p Тогда d p 8p 6 (5) 6 Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив d через pd получаем p pp p p или p pp p 8 8 откуда p p Возможны два случая: ) p Из (5) получаем что 6 следовательно 6 9 или ) p Интегрируя находим p R Подставляя p в (5) определяем : ( 8 ) ( ) 6 или 6 или 6 6 Найдем p-дискриминантное множество исключив параметр p из уравнений p 8p 6 6 (5*) и ( p 8p 6 6) (5) p 67

68 Из второго уравнения системы следует что p поэтому решение то это кандидат в особые ре- Так как шения p 8p 6 6 p 8 6 Рис 5 Докажем что это решение особое (проверяем касание): R 6 следовательно при 8 в тождество обращается второе уравнение и первое уравнение:

69 Через точку проходит решение 8 при касающееся решения 6 в этой точке и не совпадающее с ним ни в какой окрестности этой точки при Интегральные кривые представлены на рис 5 где особое решение отмечено жирной линией Пример 5 (6-) Решить уравнение найти особые решения начертить интегральные кривые d Вводим параметр p Тогда d p или p p p p (5) Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив d через pd получаем pd ( p) d ( p )dp или ( p ) d ( p ) dp откуда ( p )( d dp) Возможны два случая: ) p Из (5) получаем что следова- тельно ) d dp или d dp Интегрируя находим p R Подставляя p в (5) определяем : 69

70 ( ) ( ) или или или ( ) ( ) Найдем p-дискриминантное множество исключив параметр p из уравнений p p (5*) и p p (5) p Из второго уравнения системы p p сле- p дует что решение то это кандидат в особые реше- ния Так как p поэтому 7

71 Рис 5 Докажем что это решение особое (проверяем касание): ( ) R следовательно при в тождество обращается второе уравнение и первое уравнение: Через точку ( ) ( ) при проходит решение касающееся решения в этой точке и не совпадающее с ним ни в какой окрестности этой точки при Интегральные кривые представлены на рис 5 где особое решение отмечено жирной линией Пример 5 (8-) Найти общее решение найти особые решения начертить интегральные кривые уравнения ( ) ( ) 5 Вводим параметр ( 6) d p Тогда d 6 6 p 5 p (5) Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенства и заменив d через pd получаем 7

72 5 p p p 5 5 Возможны два случая: 5 6 ( p ) p 5 p ( p 6) p p или 6( p ) p 5 p ( p ) откуда ( ) ) p Из (5) получаем 6 ) p 5p 5 Это уравнение с разделяющимися переменными: 5 p 5 dp d Интегрируя находим p Подставляя p ( ) 5 5 R в (5) определяем : ( ) ( )( ) или ( ) 6 6 Найдем p-дискриминантное множество исключив параметр p из уравнений ( 6 6) 5 p( p 6 ) 5 (5*) и 5 5 ( 6 6) p( p 6) ) (5) p Из второго уравнения системы 5 ( 6 6) p( p 6) 5 ( p 6) 5 p( p 6) 5 получаем 6( )( 6) ) p 6 p p следовательно ) p ) Если p 6 то согласно (5*) это не решение исходного дифференциального уравнения 5 ) Если p то согласно (5*) 6 7

73 5 Так как решение то это единственный кандидат 6 в особые решения Рис 5 Докажем что это решение особое (проверяем касание): 5 6 ( ) R ( ) следовательно те при в тождество обращается второе уравнение и первое уравнение 5 Через точку проходит решение 6 ( ) 6 при касающееся решения 6 5 в этой точке и не совпадающее с ним ни в какой окрестности этой точки при 6 Интегральные кривые представлены на рис 5 где особое решение отмечено жирной линией 7

74 55 Задачи для самостоятельного решения Решить уравнения найти особые решения начертить интегральные кривые: (8-) ( 6 6) 5 ( 6 ) 5 (8-) ( ) ( ) 5 (8-) ( ) ( 6) 5 6 (8-) ( ) ( ) ln 8 7 (7-) ( ) 8 (7-) ( ) 9 (7-) ( ) (7-) 5 ( ) (5-) ( ) 8 8 (5-) ( ) (5-) ( ) 8 8 (5-) ( ) (6-) 7( ) 6 (6-) ln 7 (6-) 8 (6-) ln ln 9 (6-) ( ) ( ) (6-) ( ) (6-) ( ) (6-) ( ) 8 5 7

75 (8-5) ( ) (8-5) ( ) ln > 5 (8-5) ( ) 6 (8-5) ( ) ( ) 7 (8-6) ( ) ( ) 8 (8-6) ln > 9 (8-6) ( ) ( ) (8-6) ln ( ) 56 Ответы 5 6 особое решение; ( ) ( ) 6 6 особое решение; ( ) ( ) особое решение; ( ) 6 особое решение; ( ) 7 ln особое решение; ( ) ln 8 особое решение; ( ) ( ) 9 особое решение; ( ) 5 особое решение; ( ) 8 5 особое решение; ( ) 75

76 5 особое решение; ( ) 6 особое решение; ( ) ( ) особое решение; ( ) 6 особое решение ( ) 7 6 ln( ) 7 8 > < ln особое решение ( ) особое решение ( ) ( ) ln > > 9 ± ± особое решение ( ) особые решения ( ) особое решение ( ) особое решение ( ) 7 ± ( ) ln особые решения ( ) ( ) особое решение ( ) 5 ln особые решения ( ) особое решение ( ) ln 76

77 6 особое решение ( ) 7 особое решение ( ) ; 8 ln > ; особое решение ( ) ln 9 > особое решение ( ) > ; ln особое решение ( ) ; 77

78 6 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 6 Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка Линейным однородным уравнением первого порядка в частных производных называется уравнение вида u u u a ( ) a ( ) an ( ) (6) n где Ω R a ( ) a ( ) a n ( ) заданные непрерывно дифференцируемые функции в области причем в n каждой точке Ω имеет место a ( ) a ( ) an ( ) ; u u( ) непрерывно дифференцируемая функция подлежащая определению З а м е ч а н и е Уравнение (6) имеет очевидное решение u ( cons) Характеристической системой обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме соответствующей однородному линейному уравнению с частными производными (6) называется система d d d a ( ) a ( ) an ( n (6) ) Характеристической системой однородного уравнения (6) в нормальной форме Коши называется автономная система для функций () ( ) n n ( ) вида n 78

79 a( ) a ( ) n an ( ) где независимая переменная (6) З а м е ч а н и е Если в некоторой точке Ω имеет место ( a m ) те в силу непрерывности функции a m ( ) найдется такая окрестность точки в области Ω в которой a m ( ) то в качестве независимой переменной можно выбрать m При m система в нормальной форме Коши имеет вид d a( ) d ( ) m am d a ( ) d a ( ) (6') m m dn an ( ) dm am ( ) Первым интегралом системы (6) (или (6)) называется непрерывно дифференцируемая в Ω функция u( ) такая что для любого решения () системы (6) (или (6)) u( ( ) ) cons Непрерывно дифференцируемая в Ω функция u( ) является решением уравнения (6) тогда и только тогда когда она является первым интегралом характеристической системы (6) Если есть несколько первых интегралов u ( ) u k ( ) то произвольная непрерывно дифференцируемая функция Φ ( u( ) uk ( ) ) тоже первый интеграл Пусть u ( ) u k ( ) первые интегралы характеристической системы (6) определенные в некоторой окрестности 79

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) В М Ипатова О А Пыркова В Н Седов ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ второе

Подробнее

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия

2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ Основные понятия Нормальной линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами порядка n называется система вида n dk akj j k n d j () где a cons kj Вводя

Подробнее

5. УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Способы решения

5. УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Способы решения УРАВНЕНИЯ НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Способы решения Уравнениями первого порядка неразрешенными относительно производной называются уравнения вида F ( x ) () Уравнение () можно решать следующими

Подробнее

4. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. 4.1 Основные понятия. называется переменная величина, зависящая от функции y ( x)

4. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. 4.1 Основные понятия. называется переменная величина, зависящая от функции y ( x) ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Основные понятия Пусть M - некоторое множество функций Функционалом J = J ( y называется переменная величина зависящая от функции y ( если каждой функции y( M по некоторому

Подробнее

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение ( n ) ( n) F (, y,,, y, y ) = 0, () где

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка

6. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка 6 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 6 Решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка Линейным однородным уравнением первого порядка в частных производных называется

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Лекция 5. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ На практике существуют задачи оптимизации, в которых критерий качества зависит от функции, определить которую необходимо

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Семинар 8. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Семинар 8. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Семинар 8 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ Функционалы ( ) ( ) зависящие от одной функции ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим множество M допустимых

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая.

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая. sin cos R Z cos ImZ cos sin sin Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид или подробнее sin cos cos sin cos cos cos sin sin

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Содержание Конев В.В. 1. Рабочая программа (выписка) 2 2. Введение 3 3. Основные понятия 3 3.1. Начальные условия 5 3.2. Составление дифференциальных

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Методическая разработка Составитель: проф АН Саламатин На основе: АФ Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск НИЦ "Регулярная

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнения, допускающие понижение порядка [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 00 URL: htt://elibrarbsua/kitablar/846df [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен:

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен: Лекция 5 Задачи с подвижной границей Рассмотрим задачу минимизации функционала V F при условии что левый конец функции на которой достигается экстремум закреплен: а правый может перемещаться вдоль заданной

Подробнее

ТЕМА 8. Основные понятия вариационного исчисления. Задача с закрепленными концами.

ТЕМА 8. Основные понятия вариационного исчисления. Задача с закрепленными концами. ТЕМА 8 Основные понятия вариационного исчисления Задача с закрепленными концами Основные определения и теоремы Если на некотором множестве функций указано правило, которое ставит в соответствие каждой

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее