ЛЕКЦИЯ 9 Элементы теории деформированного состояния в точке. Потенциальная энергия упругой деформации

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛЕКЦИЯ 9 Элементы теории деформированного состояния в точке. Потенциальная энергия упругой деформации"

Транскрипт

1 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 203 ЛЕКЦИЯ 9 Элементы теории деформированного состояния в точке. Потенциальная энергия упругой деформации Понятие о деформированном состоянии в точке ДТТ Если в деформируемом твердом теле (рис. ) выделить элементарный параллелепипед, то под действием нормальных и касательных напряжений, выражающих его напряженное состояние, будут изменяться длины его ребер и углы, т.е. будут изменяться его размеры и форма. Как результат это приведет к Рис. изменению формы и размеров деформируемого твердого тела в целом за счет перемещения в пространстве отдельных его точек, т.к. деформация тела есть результат перемещения в пространстве всех его точек (примеры линейной и угловой деформаций на поверхности ДТТ показаны, соответственно, на рис. 2 и 3). Рис. 2 Рис. 3 Схемы простых деформаций показаны на рис. 4.

2 2 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 203 Рис. 4 Деформированным состоянием в точке называется совокупность линейных и угловых деформаций, возникающих вдоль различных осей и в различных плоскостях, проходящих через данную точку. Анализ деформированного состояния в точке ДТТ удобно проводить, опираясь на знания основ теории напряженного состояния, поскольку именно нормальные и касательные напряжения являются причинами появления в ДТТ линейных и угловых деформаций. В свою очередь, применяя принцип суперпозиции, сложное НС всегда можно представить как сумму шести простейших слагаемых, показанных на рис. 5. Слагаемым, 3, 5 мы уже дали понятие «чистое растяжение сжатие», а слагаемым 2, 4, 6 понятие «чистый сдвиг». Рассмотрим теперь схемы деформирования выделенных элементов ДТТ, соответствующие каждой из них, и определим компоненты линейных и угловых деформаций.

3 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ Рис. 5 2 Деформация одноосного растяжения сжатия Деформацию твердого тела под нагрузкой впервые начал изучать английский ученый Роберт Гук (Robert Hooke ), исследуя деформацию железных струн [Lectures De Potentia Restitutiva, or of Spring, xplaining the Power of Springig Bodies. London: John Maryn Переиздано в arly Science in Oxford (ed. R.T. Gunther). Vol. VIII, pp Oxford: R.T. Gunther, 93]. До сих пор опыты на одноосное растяжение, т.е. в условиях одноосного напряженного состояния, являются основой для теоретического исследования деформаций ДТТ и определения в нем напряжений при сложном напряженном состоянии, а также для создания физических моделей материала, устанавливающих связь между компонентами напряженного и деформированного состояний. Для оценки деформированного состояния, как и ранее, будем анализировать равновесие бесконечно малого элемента ДТТ, так как в общем случае нагружения оно неоднородно по объему ДТТ.

4 4 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 203 Как показывает опыт, в результате приложения внешних нагрузок, порождающих чистое растяжение, например, по схеме на рис. 5, происходит удлинение элемента dx на величину совпадающем с линией действия напряжения x (рис. 6б). dx в направлении, (а) Рис. 6 Очевидно, что величина dx абсолютное удлинение элемента. Она не дает представления об уровне интенсивности деформации тела, поэтому вводится понятие относительного удлинения или относительной деформации dx x. () dx Вдоль двух остальных осей действуют еще две составляющие деформированного состояния относительные деформации y и z. Для линейных упругих тел связь между растяжении или сжатии имеет вид x и (б) x при чистом, где (2) Е модуль продольной упругости материала (по-иному модуль упругости первого рода, модуль Юнга (Thomas Young, ), величина которого

5 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ устанавливается экспериментально. Поскольку величина безразмерная, то Е имеет размерность напряжения, т.е. Па. Соотношение (2) называется законом Гука при чистом растяжении сжатии в честь английского ученого Роберта Гука ( ), который открыл его экспериментально в 678 году. В нем и лишены индексов, связывающих эти величины с координатными направлениями, так как для изотропных материалов величина Е имеет одно и то же значение во всех направлениях. Опытом также установлено, что удлинение элемента dx в продольном направлении сопровождается его пропорциональным сужением в двух поперечных направлениях. Если продольная деформация dx dy dz прод, а поперечная попер или попер, то их величины в dx dy dz пределах пропорциональных деформаций связаны соотношением, (3) попер прод где попер, (4) прод коэффициент поперечной деформации, или коэффициент Пуассона (Siméon Denis Poisson, , французский механик, математик и физик), определяемый для каждого материала экспериментально. Знак минус в равенстве (3) указывает на то, что прод и попер всегда имеют противоположные знаки. Для деформируемых тел изменяется в пределах 0 0,5. При упругой деформации металлических материалов 0,28 0,33. 3 Деформация чистого сдвига Схема деформации под названием «чистый сдвиг» ясна из рис. 7, который иллюстрирует одну из схем 2, 4 или 6 на рис. 5. Величина dy смещение

6 6 d z В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 203 двух взаимно противоположных граней друг относительно друга, называется абсолютным сдвигом. Для оценки интенсивности сдвиговой деформации вводится понятие относительного сдвига O dy dy tgyz. (5) Рис. 7 dz Поскольку упругие деформации большинства конструкционных материалов весьма малы, т.е. dy dy, то tgyz yz и поэтому окончательно dy yz. (6) dz Величина yz zy относительный сдвиг, или угловая деформация в плоскости yoz, также как и две другие xz zx в плоскости xoz и xy yx в плоскости хоу, являются компонентами деформированного состояния в точке. yz zy dy yz Таким образом, деформированное состояние в точке ДТТ характеризуют 6 компонент деформаций образующие тензор деформаций T : xx, yy, zz, xy, xz, yz, T xx yx zx xy yy zy xz yz zz. (7)

7 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ Основные свойства деформированного состояния в точке Деформированное состояние обладает свойствами, аналогичными свойствам напряженного состояния в точке, а именно: ) если заданы шесть вышеуказанных составляющих деформированного состояния в точке в системе координат х, у, z, то могут быть определены линейные и угловые деформации в любой триаде взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающихся в данной точке; 2) в теории упругости доказывается, что в каждой точке ДТТ всегда существуют три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых отсутствуют угловые деформации. Эти оси называются главными осями деформированного состояния, а линейные деформации в системе этих осей носят название главных деформаций. В рамках принятых ранее гипотез при простом нагружении главные направления напряженного и деформированного состояний совпадают. 5 Связь между компонентами напряженного и деформированного состояний. Обобщенный закон Гука Не имея математической связи между напряжениями и деформациями, невозможно решить задачу о напряженно-деформированном состоянии, т.е. определить действующие в ДТТ напряжения и деформации, по которым в последующем мы должны проверять ДТТ на прочность, вычислять его перемещения для оценки его жёсткости. Построение соотношений, связывающих компоненты напряженного и деформированного состояний, производится на базе принципа суперпозиции и следующих подтвержденных экспериментально положений. ) При чистом растяжении сжатии развиваются относительные линейные деформации как в продольном направлении (вдоль линии действия ), так и в двух поперечных координатных направлениях.

8 8 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 203 2) При чистом растяжении сжатии не развиваются угловые деформации. 3) При чистом сдвиге угловые деформации развиваются только в тех плоскостях, в которых действует пара касательных напряжений. 4) При чистом сдвиге не развиваются линейные деформации. Вышесказанное можно аналитически сформулировать следующим образом: (,, ), ( ), xx xx xx yy zz (,, ), yy yy xx yy zz (,, ), zz zz xx yy zz xy xy xy ( ), yz yz yz ( ). zx zx zx В системе осей, совпадающих с главными направлениями напряженного и деформированного состояний, система уравнений принимает вид: (,, ), 0, xx xx xx yy zz (,, ), yy yy xx yy zz (,, ), zz zz xx yy zz xy yz zx 0, 0. Установим взаимосвязь между нормальными напряжениями и относительными линейными деформациями, описанную соотношением (9). Используя принцип независимости действия сил, определим относительное удлинение в координатном направлении х (см. рис. 8): xx xx( xx, yy, zz) xx( xx) xx( yy) xx( zz), где xx xx xx относительное удлинение в направлении х, обусловленное yy действием напряжения xx ; xx yy относительное удлинение в направлении х, обусловленное действием напряжения yy ; zz xx zz относительное удлинение в направлении х, обусловленное действием напряжения. В итоге zz (8) (9)

9 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ xx xx yy zz. (0) Проведя аналогичные выкладки для двух других координатных направлений, получим окончательно xx xx yy zz yy yy xx zz zz zz yy xx () Заметим, что полученные соотношения установлены для главных напряжений и деформаций, поэтому их можно переписать в виде (2) Если же нам предстоит устанавливать связь между напряжениями и деформациями в системе произвольных осей x, y, z, то в соответствии с уравнениями (9) к трем уравнениям () следует добавить шесть дополнительных уравнений, связывающих касательные напряжения и сдвиговые деформации. Уравнения (2) носят название обобщенного закона Гука. В случае одноосного напряженного состояния ( 0, 2 3 0) имеем: Рис. 8, 3 закон Гука при растяжении сжатии., 2 6 Закон Гука при чистом сдвиге. Модуль сдвига и его связь с модулем продольной упругости

10 0 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 203 Рассмотрим элемент ДТТ в условиях чистого сдвига и определим деформацию диагонали АС, которая совпадает с одним из главных направлений (как вы знаете, при чистом сдвиге главные направления находятся под углом 45): l AC a 2,, AC где l абсолютное удлинение диагонали АС. Окончательно 2 zy. С другой стороны, по обобщенному закону Гука 0 l CC2 CCcos S CC cos 45, 2 где S абсолютный сдвиг. Тогда l S S AC 2a 2 2 a zy tgzy. (3) (4) Поскольку известно, что при чистом сдвиге 3 zy, 2 0, то Приравнивая правые части (3) и (5), получаем: 2 G Рис. 9 zy zy zy 2 2 zy zy zy zy. (5) модуль упругости второго рода или модуль сдвига., где (6)

11 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 203 Тогда закон Гука при сдвиге приобретает вид: G. (7) 7 Относительное изменение объема при упругой деформации Из вышеизложенного ясно, что под действием внешних нагрузок ДТТ изменяет как свою форму, так и объем. Пусть до приложения внешних zy zy нагрузок некоторый элемент ДТТ имел размеры dx 0, dy 0, dz 0 и объем dv0 dx0dy0 dz0 (8) После приложения внешних нагрузок этот же элемент будет иметь размеры dx dx0 dx, dy dy0 dy, dz dz0 dz и объем dv dxdydz ( dx dx)( dy dy)( dz dz). (9) Относительное изменение объема элемента составит e V dv dv dv dv 0 0 dv0 или с учетом выражений (8) и (9) dx0 dx dy0 dy dz0 dz ev dx0 dy0 dz0 dx dy dz, dx0 dy0 dz0 где dx x ; dx 0 Рис. 0 dy y ; dy 0 dz z, и поэтому dz 0 (20) ev ( x)( y)( z) x y z xy xz yz xyz. Пренебрегая произведениями деформаций, так как, получаем

12 2 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 203 ev x y z. (2) Подставляя сюда значения x, (), после преобразований получим y, z из обобщенного закона Гука 2 ev x y z (22) или в системе главных осей e V (23) 8 Определение наибольшего значения коэффициента Пуассона Пусть некоторый элементарный объем ДТТ находится в условиях всестороннего равномерного растяжения (см. рис. ), тогда окончательно По определению 0, поэтому о чём говорилось ранее. Выводы: Рис Поскольку для всех реальных материалов при всестороннем растяжении ev 0, то в соответствии с (23) имеем Поскольку 3 0, то и 2 0. Отсюда 2 0 и 0,5. (24) 0 0,5, (25)

13 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ ) Для твердых тел, продольная деформация которых не сопровождается изменением поперечных размеров, 0. 2) Для абсолютно несжимаемых материалов 0,5, что следует из (22) при условии ev 0. Кстати, это условие выполняется при любом уровне напряжений. Конечно, таких твердых тел в природе нет, но гипотеза о несжимаемости иногда применяется при решении задач механики деформируемого твердого тела с получением результатов удовлетворительной точности. 3) По физической сущности коэффициент Пуассона характеризует уровень сжимаемости материала. 9 Примеры решения задач Пример В абсолютно твердом массиве без зазора установлен упругий параллелепипед с размерами 2 0 м (рис. 2). Упругие постоянные материала параллелепипеда 4 20 Па, 0,3. Рис. 2 Снаружи испытывает давление параллелепипед P 60 Па. Определить: напряжения на гранях параллелепипеда, деформации его ребер и изменение его объема. Решение

14 4 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 203 Рис. 3 Очевидно, что упругий элемент находится под действием главных напряжений, поскольку площадка нагружения является главной площадкой, т.к. в ней отсутствует касательные напряжения (рис. 3). Рассмотрим напряженное состояние элемента. Важно понять, что он находится в условиях трехстороннего сжатия, а, значит, напряжения x и y должны быть приложены к элементу так, чтобы создавать его сжатие. Во-вторых, очевидно уменьшение длины вертикального ребра элемента и неизменность его размеров в поперечном направлении, поскольку их изменению препятствует наличие вокруг элемента абсолютно твердого, т.е. недеформируемого тела. Это позволяет прийти к выводу, что P 60 МПа, 0. Три остальные компоненты НДС обобщенного закона Гука: z x, y, 0 60 x x y y 0 y x 60 z 0 60x y Решая эту систему уравнений, получаем: 25,7 МПа, y x z легко определяются из 5 22,3 0 е.о.д. Относительное изменение объема определяем по формуле V V0 5 5 ev x y z ,30 22,3 0. V 0 z x y

15 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ Пример 2 Условия задачи те же, что и в примере. Отличие лишь в том, что упругий элемент установлен без зазора в паз, выполненный в абсолютно твердом массиве. В этом случае напряженное состояние элемента будет иметь вид, представленный на рис. 5. Рис. 4 Рис. 5 Очевидно, что z 60 МПа, y 0, x 0, x 0, z 0, y 0 (понятно ли Вам, почему так?!). Три неизвестных компонента определяем из трех уравнений обобщенного закона Гука: 0 60 x x y y 0 y x 60 z 0 60x y Решая эти уравнения совместно, получаем: 8 МПа, y Относительное изменение объема 5,7 0, ev 5 5,7 0 27,3 0 5,6 0 x 5 27,3 0. (объем уменьшается). z

16 6 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 203 Решив оба примера, попробуйте провести сопоставительный анализ результатов: ) Почему e I V e II V? 2) Почему II z I z? 3) Почему II x II z? 3) Почему II y I y? 0 Определение потенциальной энергии упругой деформации деформируемого твердого тела Нам уже известно, что при упругой деформации твердого тела в каждой его точке возникают внутренние усилия, которые по существу являются силами упругого сопротивления деформированию. При деформировании упругого тела внутренние силы совершают работу на перемещениях граней выделенного элементарного объема. Очевидно, что при этом происходит накопление в указанном объеме, а, значит, и в упругом теле в целом, потенциальной энергии. Эта потенциальная энергия характеризует возможность совершить работу по деформированию элемента ДТТ. Если пренебречь рассеиванием энергии, то очевидно, что потенциальную энергию упругой деформации можно определить, вычислив работу, которую производят внутренние силы по деформированию бесконечно малого объема ДТТ см. рис 6): Сами внутренние силы, действующие в каждом из координатных направлений, Рис. 6 могут быть определены по формулам: dp dp dp x y z dydz 2dxdz 3dxdy (26)

17 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ Прежде чем вычислять искомую работу, надо сначала хорошо усвоить, что при упругом деформировании твердого тела перемещение меняется пропорционально деформирующему усилию. Рис. 7 Рис. 8 Заметим, что статическое нагружение характеризуется достаточно медленным характером приложения силы от 0 до заданной величины. Очевидно, что работа А должна при этом представлять собой интеграл элементарных работ, совершаемых на элементарных перемещениях d( l) : l l l k k k l Pl A da Pd l Cld l C 2 2 ( ) k k, (27) Рис Pl A. 2 (28) Работа пары сил (момента M P h) в таком случае приобретает вид: 2 l P h A l M, где угол поворота. M A. (30) 2

18 8 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 203 Вернемся теперь к определению потенциальной энергии упругой деформации через работу внутренних сил упругости перемещениях dx, dy, dz. Сначала определим главные деформации dx 2 3 dx dy dy dz 3 32 dz dp x, Отсюда перемещения точек приложения усилий (26) составит dx dx dy 2 dy dz 3 dz Работа усилий (26) на перемещениях (32) будет da dpx dx dydz dx, 2 2 da2 dpy dy 2dxdz dy, 2 2 dp y, dp z на (3) (32) da3 dpz dz 3dxdy dz. 2 2 Суммарная работа распределенных по поверхности элемента сил или потенциальная энергия его деформации равна da du dydz dx 2dzdx dy 3dxdy dz. (33) 2 Введем понятие удельной потенциальной энергии, т.е. энергии, накопленной в единичном объеме U 0 du du dv dxdydz. (34)

19 В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ Разделив правую и левую части уравнения (33) на dv, получим dx dy dz U dx dy dz, или с учетом выражений (3) U Подставив сюда значения, 2, 3 из обобщенного закона Гука после несложных преобразований получим формулу для определения удельной потенциальной энергии упругой деформации в виде U (35) Она пригодна для вычисления накопленной потенциальной энергии простых упругих деформаций. Например, при растяжении-сжатии следует положить, Тогда U 0 2 (36) 2

6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 6.1. Деформированное состояние в точке. Главные деформации

6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 6.1. Деформированное состояние в точке. Главные деформации Теория деформированного состояния Понятие о тензоре деформаций, главные деформации Обобщенный закон Гука для изотропного тела Деформация объема при трехосном напряженном состоянии Потенциальная энергия

Подробнее

Тема 2 Основные понятия. Лекция 2

Тема 2 Основные понятия. Лекция 2 Тема 2 Основные понятия. Лекция 2 2.1 Сопротивление материалов как научная дисциплина. 2.2 Схематизация элементов конструкций и внешних нагрузок. 2.3 Допущения о свойствах материала элементов конструкций.

Подробнее

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 5.1. Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки Теория напряженного состояния Понятие о тензоре напряжений, главные напряжения Линейное, плоское и объемное напряженное состояние Определение напряжений при линейном и плоском напряженном состоянии Решения

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 Определение внутренних силовых факторов, действующих в поперечном сечении бруса (продолжение темы)

ЛЕКЦИЯ 4 Определение внутренних силовых факторов, действующих в поперечном сечении бруса (продолжение темы) В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013 1 ЛЕКЦИЯ 4 Определение внутренних силовых факторов, действующих в поперечном сечении бруса (продолжение темы) 1 Классификация внутренних силовых факторов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 17 Расчеты на прочность при сложном напряженном состоянии. Теории (гипотезы) прочности. 1 Назначение гипотез прочности

ЛЕКЦИЯ 17 Расчеты на прочность при сложном напряженном состоянии. Теории (гипотезы) прочности. 1 Назначение гипотез прочности В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 03 ЛЕКЦИЯ 7 Расчеты на прочность при сложном напряженном состоянии. Теории (гипотезы) прочности Назначение гипотез прочности Теории (гипотезы) прочности (ТП)

Подробнее

В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ ЛЕКЦИЯ 7 Элементы теории напряженного состояния. 1 Напряженное состояние в точке (НС)

В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ ЛЕКЦИЯ 7 Элементы теории напряженного состояния. 1 Напряженное состояние в точке (НС) В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 013 1 ЛЕКЦИЯ 7 Элементы теории напряженного состояния 1 Напряженное состояние в точке (НС) Как было сказано ранее, НС в точке это совокупность напряжений,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 20 Энергетические методы определения перемещений. 1 Обобщенные силы и перемещения

ЛЕКЦИЯ 20 Энергетические методы определения перемещений. 1 Обобщенные силы и перемещения В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 013 1 ЛЕКЦИЯ 0 Энергетические методы определения перемещений 1 Обобщенные силы и перемещения Обобщенной силой (ОС) называется некоторое внешнее силовое воздействие

Подробнее

Деформированное состояние в точке. Связь между деформациями и напряжениями

Деформированное состояние в точке. Связь между деформациями и напряжениями Деформированное состояние в точке. Связь между деформациями и напряжениями. Деформированным состоянием в точке называется (-ются) ОТВТ: ) совокупность деформаций в точке; ) совокупность нормальных и касательных

Подробнее

Кроме деформации растяжения или сжатия (см. лекцию 3) материал нагруженного элемента конструкции может испытывать деформацию сдвига.

Кроме деформации растяжения или сжатия (см. лекцию 3) материал нагруженного элемента конструкции может испытывать деформацию сдвига. Сдвиг элементов конструкций Определение внутренних усилий напряжений и деформаций при сдвиге Понятие о чистом сдвиге Закон Гука для сдвига Удельная потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге Расчеты

Подробнее

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Белорусский государственный университет Механико-математический факультет Кафедра теоретической и прикладной механики ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Тема 4. ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ И ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

Подробнее

Литература. 1. Подскребко М.Д. Сопротивление материалов: учебник / М. Д. Подскребко. Минск: Выш. шк., 2007.

Литература. 1. Подскребко М.Д. Сопротивление материалов: учебник / М. Д. Подскребко. Минск: Выш. шк., 2007. Подобно напряжению, деформация характеризует состояние материала в точке и не связана с какой-либо длиной или формой тела. Если все точки деформированного тела в заданном направлении испытывают одинаковую

Подробнее

Лекция 2. Основы теории напряжений. Связь между напряжениями и деформациями

Лекция 2. Основы теории напряжений. Связь между напряжениями и деформациями Лекция 2. Основы теории напряжений. Связь между напряжениями и деформациями Теория напряжений описывае динамику упругих процессов. которые возникают в среде в ответ на воздействие внешних сил. Силы в теории

Подробнее

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е Тычина К.А. tychina@mail.ru К р у ч е н и е Крутящим называют момент, вектор которого направлен вдоль оси стержня. Кручением называется такое нагружение стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает

Подробнее

Курс лекций: «Прикладная механика»

Курс лекций: «Прикладная механика» Курс лекций: «Прикладная механика» Лекция 4: «Основные виды микромеханических элементов. Механические свойства материалов. Тензоры механического Лектор: д.т.н., доцент И.Е.Лысенко К основным видам конструкций

Подробнее

17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ

17. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДЕФОРМАЦИЙ УПРУГИХ СИСТЕМ Лекция 17 Энергетические методы расчета упругих систем. Потенциальная энергия деформации. Обобщенные силы и обобщенные перемещения. Основные энергетические уравнения механики (теорема Кастильяно). Метод

Подробнее

3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ

3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ 3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. НАПРЯЖЕНИЯ 3.. Напряжения Уровень оценки прочности по нагрузке отличают простота и доступность. Расчеты при этом чаще всего минимальны - требуется определить только саму нагрузку. Для

Подробнее

b + a + l + (Рис. 1) (8.2)

b + a + l + (Рис. 1) (8.2) Лекция 8. Теория упругости 8.. Закон Гука и принцип суперпозиции 8.. Однородная деформация. Всестороннее сжатие 8.3.Однородная деформация. Сдвиг 8.4. Деформация зажатого бруска 8.5. Продольный звук 8.6.

Подробнее

Рассмотрим стержень упруго растянутый центрально приложенными сосредоточенными

Рассмотрим стержень упруго растянутый центрально приложенными сосредоточенными Растяжение (сжатие) элементов конструкций. Определение внутренних усилий, напряжений, деформаций (продольных и поперечных). Коэффициент поперечных деформаций (коэффициент Пуассона). Гипотеза Бернулли и

Подробнее

Тема 5. Напряженное и деформированное состояние в точке. Лекция 6

Тема 5. Напряженное и деформированное состояние в точке. Лекция 6 Тема 5 Напряженное и деформированное состояние в точке. Лекция 6 Объемное напряженное состояние. 6. Главные напряжения и главные площадки. 6. Площадки экстремальных касательных напряжений. 6. Деформированное

Подробнее

Тычина К.А. В в е д е н и е.

Тычина К.А. В в е д е н и е. www.tchina.pro Тычина К.А. I В в е д е н и е. «Теоретическая механика» разработала уравнения равновесия тел, считая их абсолютно твёрдыми и неразрушимыми. Курс «Сопротивление материалов», следующий шаг

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1-11: ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1-11: ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Доц. Кузьменко В.С. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА -: ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Студент группы Допуск Выполнение Защита Цель работы: изучить виды деформации твердого тела и определить

Подробнее

Курс лекций: «Прикладная механика» Лекция 5: «Закон Гука. Диаграмма растяжений. Момент инерции сечения» Лектор: д.т.н., доцент И.Е.

Курс лекций: «Прикладная механика» Лекция 5: «Закон Гука. Диаграмма растяжений. Момент инерции сечения» Лектор: д.т.н., доцент И.Е. Курс лекций: «Прикладная механика» Лекция 5: «Закон Гука. Диаграмма растяжений. Момент инерции Лектор: д.т.н., доцент И.Е.Лысенко Английский ученый Роберт Гук открыл фундаментальную закономерность между

Подробнее

p x = σ x l + τ yx m + τ zx n, σ ν = p x l + p y m + p z n. (11.1.5)

p x = σ x l + τ yx m + τ zx n, σ ν = p x l + p y m + p z n. (11.1.5) ГЛАВА 11 РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ СЛОЖНОМ НАПРЯЖЕННОМ СО- СТОЯНИИ В гл. 9 в примерах 9.3, 9.4 мы столкнулись с напряженными состояниями, которые отличаются от простых состояний растяжения-сжатия и чистого

Подробнее

дов деформаций может быть сведено к двум основным: растяжение (или сжатие) и сдвиг.

дов деформаций может быть сведено к двум основным: растяжение (или сжатие) и сдвиг. Лекция 16 Силы упругости. Упругие свойства твердых тел. Закон Гука для разных деформаций. Модули упругости, коэффициент Пуассона. Диаграмма напряжений. Упругий гистерезис. Потенциальная энергия упругой

Подробнее

7.8. Упругие силы. Закон Гука

7.8. Упругие силы. Закон Гука 78 Упругие силы Закон Гука Все твердые тела в результате внешнего механического воздействия в той или иной мере изменяют свою форму, так как под действием внешних сил в этих телах изменяется расположение

Подробнее

6.1 Работа силы на перемещении

6.1 Работа силы на перемещении 6. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ. ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ РАБОТ ФОРМУЛА МАКСВЕЛЛА-МОРА 6.1 Работа силы на перемещении Пусть к точке приложена сила F и точка получает перемещение u по направлению действия силы

Подробнее

Тычина К.А. С л о ж н о е н а п р я ж ё н н о е с о с т о я н и е

Тычина К.А. С л о ж н о е н а п р я ж ё н н о е с о с т о я н и е www.tchina.pro Тычина К.А. IX С л о ж н о е н а п р я ж ё н н о е с о с т о я н и е П о л н о е н а п р я ж е н и е в п р о и з в о л ь н о й п л о щ а д к е Совокупность напряжений для всего множества

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 Энергетические методы определения перемещений (продолжение) 1 Теорема о взаимности работ

ЛЕКЦИЯ 21 Энергетические методы определения перемещений (продолжение) 1 Теорема о взаимности работ В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 03 ЛЕКЦИЯ Энергетические методы определения перемещений (продолжение) Теорема о взаимности работ Теорема о взаимности работ применима к системам, для которых

Подробнее

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е

Тычина К.А. III. К р у ч е н и е Тычина К.А. tychina@mail.ru III К р у ч е н и е Крутящим называют момент, вектор которого направлен вдоль оси стержня. Кручением называется такое нагружение стержня, при котором в его поперечных сечениях

Подробнее

СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ

СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ СПИСОК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ ПО «СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ» (часть 1) ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ ПТМ 2014-2015 уч. год 1. Какие допущения о свойствах материалов приняты в курсе "Сопротивление материалов

Подробнее

Кручение простой вид сопротивления (нагружения), при котором на стержень действуют моменты в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси стержня.

Кручение простой вид сопротивления (нагружения), при котором на стержень действуют моменты в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси стержня. Кручение стержней с круглым поперечным сечением. Внутренние усилия при кручении, напряжения и деформации. Напряженное состояние и разрушение при кручении. Расчет на прочность и жесткость вала круглого

Подробнее

Л.4 Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов

Л.4 Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов Л. Прочность, жесткость, устойчивость. Силовые нагрузки элементов Под прочностью понимают способность конструкции, ее частей и деталей выдерживать определенную нагрузку без разрушений. Под жесткостью подразумевают

Подробнее

. В этот же момент начинается разгрузка. Напряжения, деформации и перемещения естественно начнут изменяться, но они должны

. В этот же момент начинается разгрузка. Напряжения, деформации и перемещения естественно начнут изменяться, но они должны Лекция 9. Теорема о разгрузке. Итак, рассмотрен ряд теорий о поведении материала за пределами упругости. Теперь обратимся к другому вопросу: что будет, если начать разгружать образец, который уже находится

Подробнее

Тычина К.А. И з г и б.

Тычина К.А. И з г и б. Тычина К.А. tchina@mail.ru V И з г и б. Изгиб вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают внутренние изгибающие моменты и (или) : упругая ось стержня стержень Рис. V.1. М изг М

Подробнее

Виды напряженного состояния. 1. Напряженное состояние при значениях, является ОТВЕТ: 1) объемным; 2) плоским; 3) линейным; 4) чистого сдвига.

Виды напряженного состояния. 1. Напряженное состояние при значениях, является ОТВЕТ: 1) объемным; 2) плоским; 3) линейным; 4) чистого сдвига. Виды напряженного состояния 1. Напряженное состояние при значениях, является 2. Напряженное состояние элементарного объема является 3. Напряженное состояние элементарного объема, показанное на рисунке,

Подробнее

плоскости, а поперечные сечения поворачиваются. Их центры тяжести получают поступательные перемещения y(x). Искривленная

плоскости, а поперечные сечения поворачиваются. Их центры тяжести получают поступательные перемещения y(x). Искривленная В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 01 1 ЛЕКЦИЯ 16 Деформации при плоском изгибе. Основы расчета на жесткость при плоском изгибе. Дифференциальное уравнение упругой линии Ранее были рассмотрены

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1 к практическому занятию по «Прикладной механике» для студентов II курса медико-биологического факультета.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1 к практическому занятию по «Прикладной механике» для студентов II курса медико-биологического факультета. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1 ТЕМА Введение. Инструктаж по технике безопасности. Входной контроль. ВВЕДЕНИЕ В ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО КУРСУ «ПРИКЛАДНАЯ МЕХЕНИКА». ИНСТРУКТАЖ ПО ПОЖАРО- И ЭЛЕКТРОБЕЗОПАСНОСТИ.

Подробнее

Работа внешних сил. + δ и поверхностные δ. Изменение сил, естественно повлияют (5)

Работа внешних сил. + δ и поверхностные δ. Изменение сил, естественно повлияют (5) Работа внешних сил Рассмотрим некоторое тело, имеющее объём и поверхность Пусть в момент времени t к телу приложены объёмные силы X и поверхностные Pν Эти силы вызывают в теле перемещения относительно

Подробнее

Лекции 10. Тензор напряжений

Лекции 10. Тензор напряжений Тензор напряжений Лекции Упругие напряжения и обратимые деформации Тензор напряжений. Самые простые операции с тензорами. Тензор деформаций. Закон Гука. Соотношения Дюамеля-Неймана. Термодинамическое обоснование

Подробнее

3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 3. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 3.1. Сопротивление материалов. Задачи и определения. Сопротивление материалов - наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов инженерных конструкций. Первая задача сопротивления

Подробнее

Упругие свойства твердых тел

Упругие свойства твердых тел Упругие свойства твердых тел 1. Введение Механические свойства тел основные свойства конструкционных материалов, которые, с одной стороны, определяют их применение, а с другой являются теми конкретными

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 8 Круговые диаграммы напряженного состояния. (круги Мора)

ЛЕКЦИЯ 8 Круговые диаграммы напряженного состояния. (круги Мора) ВФ ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 01 1 ЛЕКЦИЯ 8 Круговые диаграммы напряженного состояния (круги Мора) 1 Графическое решение задачи о напряжениях на наклонных площадках (прямой задачи теории

Подробнее

x i dt + ξ α 1 ( ) ε iα = 1 2 ( vi x α + vα x i ).

x i dt + ξ α 1 ( ) ε iα = 1 2 ( vi x α + vα x i ). Тензор скоростей деформации. Чтобы замкнуть систему пяти дифференциальных уравнений, состоящую из законов сохранения, делают различные предположения о свойствах сплошной среды. Пусть за время dt вектор

Подробнее

Механика деформируемого твердого тела. (теория пластичности)

Механика деформируемого твердого тела. (теория пластичности) НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механика деформируемого твердого тела. (теория пластичности) материалы к лекциям для студентов 4-го курса ММФ (2-й поток) лектор: профессор Ю.М. Волчков НОВОСИБИРСК

Подробнее

Поверхностные интегралы 2-го типа

Поверхностные интегралы 2-го типа Глава 7 Поверхностные интегралы 2-го типа 71 Необходимые сведения из теории Основательно освоившись на предыдущих занятиях с поверхностными интегралами 1-го типа, перейдем ко второму типу поверхностных

Подробнее

F 1, затем F 2 точка C сначала перемещается на величину 11, затем

F 1, затем F 2 точка C сначала перемещается на величину 11, затем равна нулю: W +U = 0. (9) Возможными являются любые перемещения, которым не препятствуют наложенные связи. В линейно деформируемых системах вместо бесконечно малых можно рассматривать малые конечные перемещения.

Подробнее

Лабораторная работа Определение модуля сдвига и момента инерции вращающегося твердого тела при помощи крутильного маятника

Лабораторная работа Определение модуля сдвига и момента инерции вращающегося твердого тела при помощи крутильного маятника Лабораторная работа Определение модуля сдвига и момента инерции вращающегося твердого тела при помощи утильного маятника Цель работы: Ознакомиться с деформациями сдвига, учения и методами определения модуля

Подробнее

Лекция 3. Плоская задача теории упругости.

Лекция 3. Плоская задача теории упругости. Лекция 3 Плоская задача теории упругости. 3.1 Плоское напряженное состояние. 3. Плоская деформация. 3.3 Основные уравнения плоской задачи. 3.4 Использование функции напряжений 3.5 Решение плоской задачи

Подробнее

19. Тройной интеграл

19. Тройной интеграл 19. Тройной интеграл 19.1. Пусть f непрерывная функция трех переменных (x, y, z), заданная на ограниченной замкнутой области R 3. Тройной интеграл создается аналогично двойному: берут разбиение области

Подробнее

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет)

УДК Мирсалимов М. В. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ. (Тульский государственный университет) ВЕСТНИК ЧГПУ им И Я ЯКОВЛЕВА МЕХАНИКА ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ 7 УДК 5975 Мирсалимов М В ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ В ПОЛОСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ (Тульский государственный университет) Рассматривается задача механики

Подробнее

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный.

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный. Лекция 10 Плоский поперечный изгиб балок. Внутренние усилия при изгибе. Дифференциальные зависимости внутренних усилий. Правила проверки эпюр внутренних усилий при изгибе. Нормальные и касательные напряжения

Подробнее

Вопросы по дисциплине "Сопротивление материалов". Поток С-II. Часть 1 ( уч.г.).

Вопросы по дисциплине Сопротивление материалов. Поток С-II. Часть 1 ( уч.г.). Вопросы по дисциплине "Сопротивление материалов". Поток С-II. Часть 1 (2014 2015 уч.г.). ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ с подробным ответом. 1) Закрепление стержня на плоскости и в пространстве. Простейшие стержневые

Подробнее

Механика деформируемого твердого тела. (теория пластичности)

Механика деформируемого твердого тела. (теория пластичности) НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механика деформируемого твердого тела. (теория пластичности) материалы к лекциям для студентов 4-го курса ММФ (2-й поток) лектор: профессор Ю.М. Волчков НОВОСИБИРСК

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 18 Сложное сопротивление наиболее общий случай нагружения бруса. Расчеты на прочность произвольно нагруженных пространственных ломаных брусьев

ЛЕКЦИЯ 18 Сложное сопротивление наиболее общий случай нагружения бруса. Расчеты на прочность произвольно нагруженных пространственных ломаных брусьев В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 01 1 ЛЕКЦИЯ 18 Сложное сопротивление наиболее общий случай нагружения бруса. Расчеты на прочность произвольно нагруженных пространственных ломаных брусьев

Подробнее

90 лет со дня рождения академика А.В. Александрова. Решения задач олимпиады 45 по Сопротивлению материалов 2-й тур 2017 г МИИТ Задача 1

90 лет со дня рождения академика А.В. Александрова. Решения задач олимпиады 45 по Сопротивлению материалов 2-й тур 2017 г МИИТ Задача 1 Задача 1 Рассматривается два загружения плоской рамы, состоящей из стержневых элементов квадратного поперечного сечения При загружении распределенными нагрузками q и 2q в точке к указанного на рисунке

Подробнее

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ Глава 8 СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ 8.1. Шарнирно закрепленное твердое тело на упругих стержнях Постановка задачи. Определить усилия в стержнях статически неопределимой системы, состоящей из шарнирно

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ИЗ ИЗГИБА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ИЗ ИЗГИБА ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ИЗ ИЗГИБА Методические указания для выполнения лабораторной работы Томск 2014 Рассмотрено и утверждено методической комиссией

Подробнее

Л-1: ; Л-2: с

Л-1: ; Л-2: с Лекция 8 Волновое движение Распространение колебаний в однородной упругой среде Продольные и поперечные волны Уравнение плоской гармонической бегущей волны смещение, скорость и относительная деформация

Подробнее

Лабораторная работа 5. Краткая теория

Лабораторная работа 5. Краткая теория Лабораторная работа 5 Определение модуля сдвига по крутильным колебаниям Целью работы является изучение деформации сдвига и кручения, определение модуля сдвига металлического стержня. Краткая теория Модуль

Подробнее

Тычина К.А. III К р у ч е н и е

Тычина К.А. III К р у ч е н и е www.tychina.ro Тычина К.А. К р у ч е н и е стержня. Крутящим называют момент, вектор которого направлен вдоль оси Кручением называется такой вид нагружения стержня, при котором из всех шести внутренних

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса

ЛЕКЦИЯ 5 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013 1 ЛЕКЦИЯ 5 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса 1 Эпюры и основные правила их построения Определение Эпюрами

Подробнее

ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ ПРЕГРАДЫ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ АНИЗОТРОПИИ ЕЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ ПРЕГРАДЫ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ АНИЗОТРОПИИ ЕЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ ПРЕГРАДЫ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ АНИЗОТРОПИИ ЕЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ М.Н. Кривошеина ИФПМ СО РАН, г. Томск e-mal: marnа_nkr@mal.ru М.А. Козлова ИФПМ СО РАН, г. Томск e-mal:

Подробнее

Глава 5. Кинематика и динамика твердого тела

Глава 5. Кинематика и динамика твердого тела Глава 5. Кинематика и динамика твердого тела П.5.1.Кинематика твердого тела. П.5.1.1. Твердое тело как система материальных точек. Степени свободы. Изучение движения твердого тела проводится в предположении,

Подробнее

Тычина К.А. И з г и б.

Тычина К.А. И з г и б. www.tchina.pro Тычина К.А. V И з г и б. Изгибом называется такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях остаётся не равным нулю только внутренний изгибающий момент. Прямым изгибом

Подробнее

7. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ УПРУГОСТИ Введение в механику деформируемых тел. Задачи расчетов на прочность Основные понятия, гипотезы и принципы

7. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ УПРУГОСТИ Введение в механику деформируемых тел. Задачи расчетов на прочность Основные понятия, гипотезы и принципы 7. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ УПРУГОСТИ 7.1. Введение в механику деформируемых тел. Задачи расчетов на прочность 7.1.1. Основные понятия, гипотезы и принципы Внутренние силы упругости, возникающие в звеньях и элементах

Подробнее

Лекция 11. Полная система уравнений теории упругости. Уравнения равновесия. Соотношения Коши: (2) z yz. Соотношения Закона Гука (3)

Лекция 11. Полная система уравнений теории упругости. Уравнения равновесия. Соотношения Коши: (2) z yz. Соотношения Закона Гука (3) Полная система уравнений теории упругости si F () i Лекция Полная система уравнений теории упругости. Уравнения совместности деформаций. Уравнения Бельтрами. Уравнения Ламе. Плоское напряженное и плоское

Подробнее

Лекция 4 Предельные группы симметрии Кюри. Физические явления, описываемые этими группами

Лекция 4 Предельные группы симметрии Кюри. Физические явления, описываемые этими группами Лекция 4 Предельные группы симметрии Кюри. Физические явления, описываемые этими группами Пьер Кюри (1859 1906) ПРЕДЕЛЬНЫЕ ГРУППЫ симметрии Кюри. Условия существования сферических треугольников, содержащие

Подробнее

Прикладная механика. Учебное пособие. Санкт-Петербург

Прикладная механика. Учебное пособие. Санкт-Петербург Прикладная механика Учебное пособие Санкт-Петербург 2015 Министерство образования и науки Российской Федерации УНИВЕРСИТЕТ ИТМО А.С. Алышев, А.Г. Кривошеев, К.С. Малых, В.Г. Мельников, Г.И. Мельников ПРИКЛАДНАЯ

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА И МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА И МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА И МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ Цель работы: определение модуля сдвига и момента инерции диска методом крутильных колебаний. Приборы и принадлежности:

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ИЗ РАСТЯЖЕНИЯ ПРОВОЛОКИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ИЗ РАСТЯЖЕНИЯ ПРОВОЛОКИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» УТВЕРЖДАЮ Проректор-директор

Подробнее

Подставим эти выражения в последние две системы, и после преобразований уравнения несколько упростятся:

Подставим эти выражения в последние две системы, и после преобразований уравнения несколько упростятся: Запишем приращения функций χ ψ вдоль направления, определённого дифференциалами dx и dy: χ χ dx dy = dχ dy ϕ ϕ dx dy = dϕ y Введём новые функции и следующим образом: = χ ϕ, = χ ϕ. Тогда ϕ = ( ), χ = (

Подробнее

Элементы теории поля

Элементы теории поля Элементы теории поля Пусть Ω некоторая область в R 3. Будем говорить, что в Ω задано скалярное поле, если каждой точке M Ω поставлено в соответствие некоторое число U(M). Примерами скалярных полей могут

Подробнее

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования

Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Page 1 of 15 Аттестационное тестирование в сфере профессионального образования Специальность: 170105.65 Взрыватели и системы управления средствами поражения Дисциплина: Механика (Сопротивление материалов)

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА кинематика твёрдого тела

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА кинематика твёрдого тела ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА кинематика твёрдого тела ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов управления Санкт-Петербург

Подробнее

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАКОНЫ СУХОГО ТРЕНИЯ В КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАКОНЫ СУХОГО ТРЕНИЯ В КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, N- 4 161 УДК 539.3 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАКОНЫ СУХОГО ТРЕНИЯ В КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ А. Е. Алексеев Институт гидродинамики им. М. А.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЛЕКЦИЯ 5 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. 1 1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве. Геометрический смысл уравнений В аналитической геометрии всякую поверхность рассматривают как совокупность

Подробнее

Кузьмичев Сергей Дмитриевич

Кузьмичев Сергей Дмитриевич Кузьмичев Сергей Дмитриевич 2 СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ 10 Элементы теории упругости и гидродинамики. 1. Деформации. Закон Гука. 2. Модуль Юнга. Коэффициент Пуассона. Модули всестороннего сжатия и одностороннего

Подробнее

Анализ напряжённо-деформированного состояния в точке твёрдого тела

Анализ напряжённо-деформированного состояния в точке твёрдого тела МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им РЕ АЛЕКСЕЕВА»

Подробнее

Оглавление Введение... 3

Оглавление Введение... 3 Оглавление Введение... 3 Глава 1. Основные предпосылки, понятия и определения, используемые в курсе сопротивления материалов - механике материалов и конструкций... 4 1.1. Модель материала. Основные гипотезы

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Теоретическая механика наука об общих законах движения и равновесия материальных тел и о возникающих при этом механических взаимодействиях между телами Движение (механическое движение)

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН. по предмету «Прикладная механика»

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН. по предмету «Прикладная механика» МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ТАШКЕНТСКИЙ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра: «Машины и оборудование пищевой промышленности основы механики» РЕФЕРАТ

Подробнее

14.1. Система с двумя степенями свободы

14.1. Система с двумя степенями свободы Глава 14 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ В разделе МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ вы научитесь определять частоты малых собственных колебаний механической системы с двумя степенями свободы. Другие темы этого раздела,

Подробнее

Следующим шагом является отыскание x наиболее напряженного сечения. Для этого A

Следующим шагом является отыскание x наиболее напряженного сечения. Для этого A Лекция 05 Изгиб Проверка прочности балок Опыт показывает, что при нагружении призматического стержня с прямой осью силами и парами сил, расположенными в плоскости симметрии, наблюдаются деформации изгиба

Подробнее

РАСЧЁТНАЯ СХЕМА КОНСТРУКЦИИ. Модель нагружения АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ РАСЧЁТНОЙ МОДЕЛИ КОНСТРУКЦИИ. ЗАПАСЫ ПРОЧНОСТИ. ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ

РАСЧЁТНАЯ СХЕМА КОНСТРУКЦИИ. Модель нагружения АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ РАСЧЁТНОЙ МОДЕЛИ КОНСТРУКЦИИ. ЗАПАСЫ ПРОЧНОСТИ. ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ 1. В В Е Д Е Н И Е 1.1. З а д а ч и и м е т о д ы с о п р о т и в л е н и я м а т е р и а л о в Сопротивление материалов наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов инженерных конструкций. Методами

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПРОДОЛЬНЫХ УСИЛИЙ, НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ СТЕРЖНЯ ПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПРОДОЛЬНЫХ УСИЛИЙ, НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ - СЖАТИИ СТЕРЖНЯ ПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Лабораторная работа 8 ПРОВЕРКА ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА НА ПРИМЕРЕ УПРУГОГО И НЕУПРУГОГО СОУДАРЕНИЯ ТЕЛ.

Лабораторная работа 8 ПРОВЕРКА ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА НА ПРИМЕРЕ УПРУГОГО И НЕУПРУГОГО СОУДАРЕНИЯ ТЕЛ. Лабораторная работа 8 ПРОВЕРКА ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА НА ПРИМЕРЕ УПРУГОГО И НЕУПРУГОГО СОУДАРЕНИЯ ТЕЛ. Цель работы: Приборы и принадлежности: штатив с двумя подвесами, набор шаров, масштабная

Подробнее

= ε i j (t). Как отмечалось выше, напря- = u

= ε i j (t). Как отмечалось выше, напря- = u Лекция 6 Итак, нам известно, что в упругом теле напряжения и деформации связаны законом Гука. Далее мы установили критерий пластичности. Попытаемся выяснить теперь, как связаны деформации и напряжения

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ МЕТОДОМ КУНДТА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ТВЁРДЫХ ТЕЛАХ МЕТОДОМ КУНДТА Министерство образования и науки РФ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Утверждаю зав. кафедрой общей и экспериментальной физики В. П. Демкин 015 г. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ

Подробнее

(шифр и наименование направления)

(шифр и наименование направления) Дисциплина Направление Сопротивление материалов 270800 - Строительство (шифр и наименование направления) Специальность 270800 62 00 01 Промышленное и гражданское строительство 270800 62 00 03 Городское

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4 ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ И МОДУЛЯ СДВИГА ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4 ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ И МОДУЛЯ СДВИГА ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4 ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ И МОДУЛЯ СДВИГА ТВЕРДЫХ ТЕЛ МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Цель работы: 1. Изучить динамику и кинематику крутильных колебаний.. Измерить моменты инерции твердых

Подробнее

Процессы сложного деформирования упругопластической стержневой системы

Процессы сложного деформирования упругопластической стержневой системы УДК 539.3 Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 123 131 Механика Процессы сложного деформирования упругопластической стержневой системы О. Е. Энгельман Аннотация.

Подробнее

Тезисы курса сопротивления материалов Часть 1

Тезисы курса сопротивления материалов Часть 1 Тезисы курса сопротивления материалов Часть 1 1 Глава 1. Введение 1.1.Основные понятия Прочность- способность материала конструкции сопротивляться внешним воздействиям. Жесткость- способность элементов

Подробнее

Сложное сопротивление вид нагружения, представляющий собой комбинацию (сочетание) нескольких простых типов сопротивления.

Сложное сопротивление вид нагружения, представляющий собой комбинацию (сочетание) нескольких простых типов сопротивления. Лекция 14 Сложное сопротивление. Косой изгиб. Определение внутренних усилий, напряжений, положения нейтральной оси при чистом косом изгибе. Деформации при косом изгибе. 14. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ. КОСОЙ

Подробнее

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение)

Поверхностные интегралы 1-го типа (продолжение) Глава 5 Поверхностные интегралы -го типа (продолжение) 5 Задачи в классе Задача 5 (4349) Вычислить интеграл где часть поверхности конуса z d, x = ρ cos ϕ sin α, y = ρ sin ϕ sin α, z = ρ cos α ( ( ρ h,

Подробнее

Тычина К.А. К р и т е р и и п л а с т и ч н о с т и и р а з р у ш е н и я.

Тычина К.А. К р и т е р и и п л а с т и ч н о с т и и р а з р у ш е н и я. www.tychina.pro Тычина К.А. X К р и т е р и и п л а с т и ч н о с т и и р а з р у ш е н и я. Материал подавляющего большинства машин, механизмов и приборов, созданных человеком, работает в пределах упругости,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН АТЫРАУСКИЙ ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА КУРС ЛЕКЦИЙ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН АТЫРАУСКИЙ ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА КУРС ЛЕКЦИЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН АТЫРАУСКИЙ ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА копии КУРС ЛЕКЦИЙ По дисциплине «Теория упругости и пластичности» Для специальности - Промышленно-гражданское строительство

Подробнее

Труды международного симпозиума «Надежность и качество 2009», Пенза том 1

Труды международного симпозиума «Надежность и качество 2009», Пенза том 1 Труды международного симпозиума «Надежность и качество 009», Пенза том Горячев ВЯ, Савин АВ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СВЯЗИ МЕЖДУ УСКОРЕНИЕМ И ПОПЕРЕЧНОЙ ДЕФОРМАЦИЕЙ УПРУГОГО ЭЛЕМЕНТА ДАТЧИКА Упругий элемент является

Подробнее

В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ

В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013 1 ЛЕКЦИЯ 10 Опытное изучение механических свойств материалов в целях оценки прочности инженерных конструкций Основная цель получить предельные для испытуемого

Подробнее

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ ИЛИ СЖАТИИ

РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ ИЛИ СЖАТИИ Министерство образования Российской Федерации Кубанский государственный технологический университет Кафедра сопротивления материалов и строительной механики РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ОСЕВОМ РАСТЯЖЕНИИ

Подробнее