ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ОН Имас ЕГ Пахомова СВ Рожкова ИГ Устинова ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Рекомендовано в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Издательство Томского политехнического университета

2 УДК ББК 6я7 Л6 Л6 Имас ОН Лекции по дифференциальным уравнениям: учебное пособие / ОН Имас ЕГ Пахомова СВ Рожкова ИГ Устинова; Национальный исследовательский Томский политехнический университет Томск: Изд-во Томского политехнического университета 9 с Учебное пособие представляет собой конспект лекций по курсу «Дифференциальные уравнения» читаемых авторами для студентов АВТФ и ЭТО ТПУ Теоретический материал сопровождается подробно разобранными примерами Кроме того в пособии рассмотрены несколько вопросов которые как правило не включаются в лекционные курсы и оставляются на самостоятельное изучение Пособие предназначено для студентов технических вузов УДК ББК 6я7 Рецензенты Доктор технических наук декан ФПМК ТПУ профессор АМ Горцев Кандидат физико-математических наук доцент кафедры высшей математики СТИ НИЯУ МИФИ ИЛ Фаустова ГОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский политехнический университет» Имас ОН Пахомова ЕГ Рожкова СВ Устинова ИГ Оформление Издательство Томского политехнического университета

3 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее пособие предназначено для студентов института кибернетики но может быть использовано студентами и других инженерных специальностей В нем рассматриваются три раздела теории обыкновенных дифференциальных уравнений ОДУ В первой главе изучаются уравнения первого порядка Во второй главе рассматриваются уравнения высших порядков при этом наряду с задачей Коши рассматривается краевая задача В частности один параграф посвящен задаче Штурма-Лиувилля как частному случаю краевых задач В третьей главе изучаются системы дифференциальных уравнений Здесь же несколько параграфов посвящено линейным уравнениям в частных производных первого порядка Хотя уравнения в частных производных являются частью курса «уравнения математической физики» авторы считают что линейные уравнения в частных производных первого порядка полезнее изучать в рамках курса дифференциальных уравнений так как интегрирование такого типа уравнений сводится к интегрированию системы ОДУ Кроме того это позволит студентам привыкнуть к работе с уравнениями связывающими функцию нескольких переменных и ее частные производные и подготовит их к решению объемных задач математической физики Для удобства работы с пособием авторы использовали в главах сквозную нумерацию параграфов Нумерация формул теорем и примеров привязана к параграфам Использовались символы доказательство закончено и решение примера завершено Дополнительная информация уточняющая или поясняющая определения или теоремы выделена в виде замечаний

4 ВВЕДЕНИЕ Понятия а вслед за ними и целые разделы существующие в современной математике часто кажутся весьма далекими от реального мира Но именно они позволяют понять и описать строение атомного ядра движения геологических плит рассчитать движение объектов вблизи и в далеком космосе дают возможность строить математические модели экономики применять математику в изучении общественных явлений Один из таких разделов которые в обязательном порядке изучают студенты младших курсов дифференциальные уравнения Особенностью дифференциальных уравнений является их непосредственная связь с приложениями Чтобы изучить достаточно сложное явление природы предварительно рассматривают всевозможные связи между величинами их характеризующими Затем эти связи выражают математически функциями и их производными В результате получают дифференциальное уравнение а зачастую и систему дифференциальных уравнений Решая такое уравнение или систему мы фактически восстанавливаем функцию по ее свойствам Далее по виду полученной функции можно делать выводы о том как в дальнейшем будет развиваться изучаемое явление какие условия надо задать чтобы достигнуть требуемых результатов Как известно теория обыкновенных дифференциальных уравнений начала развиваться в XVII веке одновременно с возникновением дифференциального и интегрального исчисления Можно сказать что необходимость решать дифференциальные уравнения для нужд механики то есть находить траектории движений явилась толчком для создания Ньютоном нового исчисления Законы Ньютона позволяют строить математическую модель механического движения которая обычно представляет собой дифференциальное уравнение Рассмотрим например подробнее такую задачу С некоторой высоты сброшено тело массой m Требуется установить закон изменения скорости падения тела vt если на него действует сила сопротивления воздуха пропорциональная скорости коэффициент пропорциональности k По II закону Ньютона ma F где dv a ускорение движущегося тела F FT Fсопр mg kv dt сумма сил действующих на тело силы тяжести и силы сопротивления воздуха Таким образом имеем уравнение связывающее искомую функ-

5 dv цию vt и ее производную : dt dv m dt mg kv т е дифференциальное уравнение В настоящее время теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики Ее разработкой занимались крупнейшие ученые XVIII века такие как Ж Даламбер Ж Л Лагранж А Клеро и др Наибольшую роль в развитии этой теории сыграли труды Л Эйлера В первых двух томах его «Интегрального исчисления» содержится немало классических примеров интегрирования дифференциальных уравнений в том числе и решения линейного однородного уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами Отметим что изучение обыкновенных дифференциальных уравнений ОДУ на младших курсах обычно остается на уровне открытий XVIII века и заключается в освоении приемов интегрирования лишь хорошо изученных типов уравнений и некоторых экзотических случаев ибо "точно" интегрируемые уравнения это исключительная редкость во множестве возможных уравнений Переходя к реальным объектам исследования студенты инженеры и аспиранты сталкиваются с более сложными моделями и их математической реализацией Даже в кругах исследователей «чистых математиков» довольно долго интегрирование уравнений в квадратурах теоретико-групповой подход к уравнениям считались тупиковой ветвью в науке Тем не менее теория обыкновенных дифференциальных уравнений является базой для уравнений математической физики и кроме того развитие современной физики показало что именно те самые редкие и хорошо изученные случаи и представляют наибольший физический интерес А успехи достигнутые в ряде разделов математики в алгебраической топологии дифференциальной геометрии и коммутативной алгебре позволяют надеяться на то что общая теория уравнений с частными производными будет построена 5

6 ГЛАВА I ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия В математике и физике часто встречаются задачи для решения которых требуется решить уравнение содержащее не только неизвестную функцию и ее аргумент но и производную неизвестной функции Уравнение вида F связывающее независимую переменную искомую функцию и ее производные называется обыкновенным дифференциальным уравнением Порядок старшей производной входящей в дифференциальное уравнение называется порядком дифференциального уравнения Например уравнения 5 будут дифференциальными уравнениями первого порядка; уравнения будут дифференциальными уравнениями второго порядка; уравнение 5 имеет третий порядок Функция ϕ называется решением дифференциального уравнения на интервале a b если при ее подстановке в это уравнение получается тождество справедливое для всех из интервала a b Например функция cos является решением дифференциаль- ного уравнения на ; функция будет решением уравнения в интервале ; Чтобы это проверить достаточно подставить функцию в соответствующее уравнение 6

7 Уравнение Φ задающее в неявном виде решение дифференциального уравнения называется интегралом дифференциального уравнения График решения интеграла дифференциального уравнения называется интегральной кривой Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения Это название не случайно так как нахождение решений обычно связано с процессом интегрирования Поскольку процесс интегрирования функции приводит к появлению множества функций то и решений любое дифференциальное уравнение тоже будет иметь множество Основной задачей теории дифференциальных уравнений является отыскание всех решений данного дифференциального уравнения в заданной области в явной или неявной форме Дифференциальное уравнение называется интегрируемым в квадратурах если все его решения могут быть получены в результате конечной последовательности элементарных действий над известными функциями и интегрированием этих функций Таких уравнений сравнительно немного В нашем курсе мы рассмотрим основные типы дифференциальных уравнений интегрируемых в квадратурах Замечание В математике рассматриваются также уравнения которые связывают искомую функцию нескольких переменных ее аргументы и частные производные Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями в частных производных Их интегрирование представляет собой значительно более сложную задачу чем интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений Позднее мы познакомимся с одним типом дифференциальных уравнений в частных производных Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения разрешенного относительно производной В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F где независимая переменная неизвестная искомая функция F заданная функция трех переменных В - мы будем рассматривать дифференциальные уравнения первого порядка которые можно записать в виде f 7

8 Уравнение называется уравнением первого порядка разрешенным относительно производной Для уравнений вида справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА Коши Пусть в уравнении f функция f удовлетворяет двум условиям: f непрерывна в некоторой области D плоскости O ; ее частная производная f в области D ограничена Тогда для любой точки M D существует единственное решение ϕ уравнения определенное в некотором интервале b содержащем точку и удовлетворяющее условию ϕ a Числа называются начальными значениями данными для решения ϕ а условие ϕ начальным условием решения Задача нахождения решения ϕ дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию ϕ называется задачей Коши Поэтому теорему называют теоремой существования и единственности решения задачи Коши Геометрически задание начального условия означает что на плоскости O задается точка M через которую проходит интегральная кривая Согласно теореме через M D каждую точку области D проходит и притом единственная интегральная кривая уравнения O Закрепляя значение и изменяя в некоторых пределах значение так чтобы точка Рис принадлежала области D для каждого числа будем получать свое решение В результате вся область D будет покрыта интегральными кривыми которые нигде между собой не пересекаются рис Таким образом теорема подтверждает высказанное нами ранее предположение о том что дифференциальное уравнение имеет множество решений и говорит о том что эта совокупность решений зависит от произвольной постоянной ОПРЕДЕЛЕНИЕ Общим решением дифференциального уравнения f в области D существования и единственности решения задачи Коши называется функция ϕ 8

9 зависящая от и одной произвольной постоянной которая удовлетворяет следующим двум условиям: при любом допустимом значении постоянной С она удовлетворяет уравнению ; каково бы ни было начальное условие где D можно найти единственное значение такое что функция ϕ удовлетворяет данному начальному условию Уравнение Φ задающее общее решение в неявном виде называется общим интегралом уравнения С геометрической точки зрения общее решение общий интеграл дифференциального уравнения представляет собой семейство интегральных кривых зависящих от одного параметра Решение уравнения удовлетворяющее условию где D будет изображаться определенной кривой этого семейства рис Замечание Теорема дает достаточные условия существования условие теоремы и единственности условие теоремы решения задачи Коши Поэтому возможно что в точке условия теоремы не выполняются а решение уравнения удовлетворяющее условию существует и единственно ПРИМЕР Рассмотрим уравнение Имеем f f В точках оси O функция f разрывна и следовательно условия теоремы не выполняются Но через каждую точку проходит единственная интегральная кривая рис ПРИМЕР Рассмотрим уравнение Имеем f f Во всех точках плоскости O функция f определена и непрерывна Однако в точках производная функции f Так как в точках оси O нарушается второе условие теоремы то возможно нарушение единственности решения Легко проверить что 9

10 функция является общим решением данного уравнения Кроме того очевидно что уравнение имеет решение Таким образом че- 8 рез каждую точку проходит две интегральные кривые рис и в этих точках действительно нарушается единственность решения O O Рис Рис Решение интеграл в каждой точке которого выполняется условие единственности называется частным Очевидно что любое частное решение интеграл получается из общего решения интеграла при конкретном значении постоянной включая ± Общее решение не всегда описывает все множество решений дифференциального уравнения см пример Решение интеграл ψ в каждой точке которого нарушено условие единственности т е через каждую точку интегральной кривой ψ проходит помимо ψ еще хотя бы одна интегральная кривая называется особым Особое решение очевидно не входит в общее решение дифференциального уравнения График особого решения называют особой интегральной кривой уравнения С геометрической точки зрения особая интегральная кривая является огибающей семейства интегральных кривых ОПРЕДЕЛЕНИЕ Линия l называется огибающей однопараметрического семейства кривых если она в каждой своей точке касается одной кривой семейства причем в различных точках она касается различных кривых ПРИМЕР Прямые ± R являются огибающими семейства окружностей R рис Рис R

11 ПРИМЕР Прямая являются огибающей семейства кривых 8 рис Интегрируя дифференциальное уравнение необходимо всегда проверять не были ли потеряны в процессе преобразования какие-нибудь решения Если уравнение имеет особое решение оно всегда «теряется» и обладает тем свойством что оно могло бы быть включено в общее решение если бы допускалось так как огибающая касается в разных точках разных кривых семейства Вопросы связанные с существованием и нахождением особых решений в нашем курсе подробно рассматриваться не будут Уравнения с разделенными переменными Заметим что дифференциальное уравнение первого порядка разрешенное относительно производной всегда можно записать в виде P d Q d иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения d Действительно так как то уравнение можно переписать d следующим образом: d d f или f d d Умножая каждое слагаемое на d находим d f d Это уравнение вида где P f Q Обратно всякое уравнение вида если Q можно разрешить относительно производной: d P d Q или P f где f Q В дальнейшем мы будем использовать ту форму записи уравнения разрешенного относительно производной форму или которая нам более удобна в конкретном случае При этом если уравнение

12 записано в виде то обычно предполагают что переменные и равноправны Дифференциальное уравнение вида f d ϕ d где f и ϕ непрерывные функции называется уравнением с разделенными переменными Найдем общий интеграл уравнения Пусть F первообразная функции f Φ первообразная функции ϕ Тогда f d df ϕ d dφ f d ϕ d d F Φ Из следует что d F Φ Тогда F Φ где произвольная постоянная Итак мы получили соотношение связывающее решение независимую переменную и произвольную постоянную т е получили общий интеграл уравнения Его принято записывать в виде f d ϕ d где произвольная постоянная Замечание В как и всюду в теории дифференциальных уравнений символом f d обозначают одну из первообразных функции а не все множество первообразных как это принято в математическом анализе ПРИМЕР Найти общий интеграл уравнения d d РЕШЕНИЕ Это уравнение с разделенными переменными Интегрируя получаем: d d Обозначим ~ и получим что общий интеграл данного уравнения имеет вид ~

13 Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение вида M N d M N d называется уравнением с разделяющимися переменными функции M N M N предполагаются непрерывными Иначе говоря уравнение с разделяющимися переменными это уравнение в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители зависящие только от х и только от Уравнение может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих его частей на выражение N M Действительно в этом случае имеем M N N M M d N N M d После сокращения получим уравнение с разделенными переменными M N d d M N Замечания Деление на N M может привести к потере решений обращающих в нуль произведение N M Поэтому чтобы получить полное решение необходимо рассмотреть корни уравнений N M Уравнение разрешенное относительно является уравнением с разделяющимися переменными если оно имеет вид: f ϕ Действительно разделим уравнение на M N d M N d M N d и получим f ϕ M N где f ϕ M N ПРИМЕР Найти все решения уравнения d d РЕШЕНИЕ Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными так как коэффициенты при d и d представляет собой

14 произведение двух функций одна из которых зависит только от х а другая только от Разделим обе части уравнения на : d d где Получили уравнение с разделенными переменными Его общий интеграл d d Найдем общее решение Имеем: l l l или Так как произвольная постоянная то можно переобозначить через Следовательно общее решение уравнения будет иметь вид: l При делении на мы могли потерять решения Поэтому необходимо рассмотреть корни уравнений ± Подстановкой в дифференциальное уравнение убеждаемся что ± являются решениями Проверим входят ли они в общий интеграл Имеем: l ± ~ ~ ± где ± Решения ± могут быть включены в общее решение если снять ограничение на ~ Подставляя в исходное дифференциальное уравнение убеждаемся что удовлетворяет дифференциальному уравнению и в общее решение интеграл не входит но могло бы входить если бы допускалось l Это означает что через каждую точку кривой проходит еще одна интегральная кривая входящая в общее решение и следовательно мы имеем дело с особым решением

15 Таким образом все решения дифференциального уравнения определяются равенствами: причем решение l особое ПРИМЕР Найти все решения уравнения d d и указать частное решение удовлетворяющее условию РЕШЕНИЕ Разделим обе части уравнения на : d d где Получили уравнение с разделенными переменными Его общий интеграл d d или l l Найдем общее решение Так как функция l может принимать любое действительное значение то произвольную постоянную можно представить в виде l где > Получим: l l l или откуда ± Так как произвольная постоянная то ± можно переобозначить через Следовательно общее решение уравнения будет иметь вид: где При делении на мы могли потерять решения Поэтому необходимо рассмотреть функции и Подстановкой в дифференциальное уравнение убеждаемся что является решением В общее решение оно войдет при Следовательно ограничение на значения константы необходимо снять удовлетворяет дифференциальному уравнению и в общее решение входит при т е при Таким образом все решения дифференциального уравнения определяются равенством: где любое число Найдем решение удовлетворяющее начальному условию Подставим значения в общее решение и найдем значение С: 5

16 Таким образом при получаем частное решение которое удовлетворяет начальному условию В заключение параграфа рассмотрим следующее уравнение: f a b c где a b и c некоторые числа Оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой z a b c Действительно в этом случае имеем: dz d d dz a b a d d d b d Тогда уравнение примет вид dz dz a f z или bf z a b d d Это уравнение с разделяющимися переменными интегрируя которое получаем dz d где bf z a ; bf z a dz bf z a ПРИМЕР Найти общее решение уравнения РЕШЕНИЕ Положим z Тогда dz d d dz d d d d Подставляя эти выражения в исходное уравнение получим: dz dz z z d d Разделим переменные: dz d где z z Проинтегрируем: dz d l z где > ; l z l где > ; z где ; z 6

17 Возвращаясь к старой переменной получим: где В процессе преобразований потеряно решение z т е которое может быть включено в общее при Таким образом общее решение 5 Однородные уравнения К уравнению с разделяющимися переменными всегда можно привести уравнения которые получили название однородных Функция M называется однородной измерения m или однородной степени m если при любом t справедливо равенство m M t t t M 8 8 Например функция f однородная измерения так как f t t t t t t f ; функция f однородная измерения так как t t f t t t f t ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнение первого порядка f называется однородным относительно и если f однородная функция нулевого измерения Покажем как уравнение однородное относительно и можно привести к уравнению с разделяющимися переменными По определению имеем f t t f для любого t Положим в этом тождестве t и получим f f т е однородная функция нулевого измерения зависит от отношения Следовательно уравнение 5 можно записать в виде 7

18 f ϕ Сделаем замену d dz z Тогда z и z Подставим эти d d выражения в уравнение f и получим уравнение с разделяющимися переменными: dz dz z ϕz или ϕ z z d d Разделяя переменные и интегрируя находим: dz d где ϕ z z ; ϕ z z dz l ϕ z z Подставив после интегрирования вместо z отношение получим общий интеграл исходного уравнения Замечание Дифференциальное уравнение M d N d является однородным относительно и если функции M и N однородные функции одного и того же измерения Действительно в этом случае d M d N а отношение двух однородных функций одного и того же измерения очевидно является функцией нулевого измерения ПРИМЕР 5 Найти общее решение уравнения РЕШЕНИЕ Запишем уравнение в виде Функции и однородные первого измерения Тогда функция f однородная нулевого измерения Действительно t t f t t t f m t t Следовательно имеем однородное уравнение 8

19 Делаем замену d dz z Тогда z и z Подставляя в d d уравнение получаем dz z dz z z z или d z d z Разделяя переменные и интегрируя находим: z dz d dz z d или z z z z l z z l l > ; l z z l l > ; z z > Подставляя z получаем > ± Переобозначим ± через Тогда общий интеграл уравнения Потери решений в процессе интегрирования не произошло так как z z z а не является решением Замечание Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с помощью подстановки z которая как легко убедить- ся также приводит однородное уравнение к уравнениию с разделяющимися переменными ПРИМЕР 5 Найти общее решение уравнения d d d РЕШЕНИЕ Запишем уравнение в виде d d Функции и однородные измерения Следовательно уравнение является однородным относительно и Но так как уравнение можно записать в виде d d то в данном случае за свободную переменную удобнее выбрать а за искомую функцию 9

20 Положим z z и z z Подставляя в уравнение выражения для и получаем z z z Приводя подобные и разделяя переменные находим: d dz Отсюда после интегрирования будем иметь l l z С > ; z Заменяя z на получаем общий интеграл При делении на мы могли потерять решение Подстановкой в дифференциальное уравнение убеждаемся что является решением Из общего интеграла оно может быть получено при С Таким образом все решения дифференциального уравнения определяются равенством: ПРИМЕР 5 Найти общее решение уравнения d d РЕШЕНИЕ Запишем уравнение в виде или Функции f и ϕ однородные нулевого измерения Следовательно рассматриваемое уравнение однородное причем здесь замены z и z приведут к уравнениям одинаковой сложности Например будем работать с уравнением

21 Тогда свободной переменной является а искомая функция Полагаем z z z z Подставляя в уравнение выражения для и получаем z z z z z 6z z z z Разделяя переменные и интегрируя находим z d d6z z d dz или 6z z 6z z Подставляя l6z z l l С > ; 6 z z z получаем общий интеграл 6 Потери решений в процессе интегрирования не произошло так как 6z z z а не является решением 6 Уравнения приводящиеся к однородным a 6 Уравнение вида b c f a b c Рассмотрим уравнение a b c f 6 a b c Если c c то уравнение 6 будет однородным В противном случае в зависимости от коэффициентов при и оно может быть с помощью замены приведено либо к уравнению с разделяющимися переменными либо к однородному Рассмотри каждый из этих двух случаев

22 Пусть хотя бы одно из чисел или отлично от нуля а коэффициенты при c c и удовлетворяют условию b a b a Тогда система уравнений 6 c b a c b a будет иметь единственное решение Сделаем замену переменных: tα β z где α и β решения системы 6 Тогда dt dz d d и из уравнения 6 получим: c z b t a c z b t a f dt dz β α β α c b a z b t a c b a z b t a f dt dz β α β α Но α и β решения системы 6 Следовательно c b a β α и c b a β α и имеет место однородное уравнение z b t a z b t a f dt dz Теперь рассмотрим случай когда хотя бы одно из чисел или отлично от нуля а коэффициенты при c c и удовлетворяют условию b a b a Равенство нулю определителя второго порядка с ненулевыми элементами означает что его строки пропорциональны т е a a b b Но тогда уравнение 6 можно записать в виде c b a c b a f или b a ϕ

23 Это уравнение вида которые мы уже рассмотрели ранее в Мы показали что оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены a b z ПРИМЕР 6 Найти общий интеграл уравнения 5 7 РЕШЕНИЕ Запишем уравнение в виде 7 5 Это уравнение вида 6 Рассмотрим систему 7 5 Она имеет единственное решение Следовательно уравнение приводится к однородному заменой 7 9 t t z z 9 9 В результате получим однородное уравнение dz 7t z dt t z Сделаем еще одну замену переменных: dz du z ut u t dt dt Это приведет нас к уравнению du 7 u u t dt u du u u 7 t dt 6 u Это уравнение с разделяющимися переменными Запишем его в виде dt u du t u 6u 7 dt du 6u 7 t u 6u 7 Интегрируя получаем

24 ~ ~ l t lu 6u 7 l > ; ~ ~ u 6u 7 t > ; u 6u 7 t > z Сделаем обратную замену переменных u и получим: t z 6zt 7t > 9 7 Но z t Следовательно Переобозначив через окончательно получим где > 9 Потери решений в процессе интегрирования не произошло так как u 6u 7 > u а t не является решением ПРИМЕР 6 Найти общий интеграл уравнения РЕШЕНИЕ Запишем уравнение в виде Это уравнение вида 6 Рассмотрим систему Так как определитель ее матрицы то система не имеет решений и исходное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены z В этом случае имеем: z z и из уравнения получаем:

25 z z z Разделяя переменные и интегрируя находим: dz z 6 dz 5z 7 или d z d z z dz d 5z 7 5z 7 z dz d 5z 7 / 5 dz d 5 z 7 / 5 7 z l z Заменяя z получаем: 7 l l l l 5 7 В процессе интегрирования при делении на 5 z 7 было потеряно решение 5 7 Оно может быть включено в общий интеграл если переписать общий интеграл в виде: Обобщенно однородные уравнения Уравнение первого порядка называется обобщённо однородным если существует такое рациональное число α что каждое слагаемое уравнения однородная функция степени m относительно относительно d d если считать величиной измерения величиной измерения α d величиной измерения α d величиной измерения 5

26 Иначе говоря уравнение P d Q d является обобщено однородным если существует такое рациональное число α что α α α m P t t d Q t t t d t [ P d Q d] или что тоже выполняются равенства α m P t t d t P d 6 α α m Q t t t d t Q d Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному уравнению заменой α z Действительно после замены α z получим уравнение α α α P z d Q z α z dz 6 P z Q z Рассмотрим функцию P z Имеем: α α α α P t tz d P t tz d P t t z d P t t d По условию 6 α m P t t d t P d m m α m m P t tz t P z Q z имеем: α α α α α t tz dz Q t tz α tz dz Q t t z t P t tz d t P d t P z d t P z d Аналогично для Q По условию 6 Q t t m α Q t t t α α t d t m α m d Q d αz α dz Q t tz dz t Q d t Q z αz dz t Q z dz ; m Q t tz t Q z Итак функции P z и Q z однородные одинаковой степени и следовательно уравнение 6 однородное Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой α z α α m 6

27 Действительно из определения обобщенного однородного уравнения получаем: α P t t t m α m α P и Q t t t Q Положим t Тогда: α P t t P P α m α Q t t Q Q α m α Следовательно m mα P P α Q Q α P α ϕ α Q Таким образом обобщенно однородное уравнение разрешенное относительно производной имеет вид P α ϕ α Q α Делая в этом уравнении замену z получим: α α α z z α ϕ z z ϕ z αz Но последнее уравнение очевидно является уравнением с разделяющимися переменными ПРИМЕР 6 Найти все решения уравнения d d РЕШЕНИЕ Запишем уравнение в виде d d d Слагаемое d имеет измерение слагаемое d измерение α α слагаемое d измерение α Равенства α α справедливы при α Следовательно данное уравнение обобщённо однородное α 7

28 Приведем исходное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными сделав замену z Тогда: dz zd d и уравнение примет вид: z dz zd d d или z z d dz d dz z z d z z d или z z Интегрируя находим d dz l z z > l z l z l > z или z z z z Сделаем обратную замену переменных z и получим: В процессе преобразований было потеряно решение т е z Оно может быть включено в общее при Решение т е z входит в общее при т е при Таким образом все решения уравнения имеют вид: 8

29 7 Линейные уравнения первого порядка Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение которое может быть записано в виде p f 7 где p f заданные непрерывные функции Иначе говоря линейное дифференциальное уравнение первого порядка это уравнение в которое неизвестная функция и ее производная входят в первых степенях и не перемножаясь Если f то линейное уравнение называется однородным В противном случае уравнение называется неоднородным Рассмотрим их по отдельности Линейное однородное уравнение 7 Линейные однородные уравнения p 7 является уравнением с разделяющимися переменными Действительно разделяя переменные получаем d p d где Откуда находим l p d l > здесь для удобства постоянная С представлена в виде p d l ; p d 7 В процессе преобразований было потеряно решение Оно может быть получено по формуле 7 при Следовательно общее решение линейного однородного уравнения 7 будет иметь вид p d 7 Т е линейное относительно неизвестной функции и ее производной 9

30 7 Линейные неоднородные уравнения Имеются два метода интегрирования линейных неоднородных уравнений первого порядка Метод вариации постоянной метод Лагранжа Сначала решаем однородное уравнение которое имеет ту же левую часть что и уравнение 7 его называют однородным уравнением соответствующим данному неоднородному уравнению Общим решением такого уравнения как было показано выше является функция p d Далее полагаем что решение неоднородного уравнения по структуре совпадает с решением соответствующего линейного однородного уравнения т е имеет вид p d Функцию можно найти подставив и в исходное неоднородное уравнение 7 Действительно d d p d p d p d d Подставляя выражения для и в 7 получим d p d p d p d p p f d d p d f d d p d f d p d d f d Интегрируя находим p d f d И окончательно получим что общее решение неоднородного уравнения имеет вид p d p d f d или p d p d p d f d 75

31 Замечания С формальной точки зрения общее решение неоднородного уравнения получается из общего решения соответствующего однородного уравнения заменой константы на функцию Такой «произвол» объясняет происхождение названия метода «вариация постоянной» Формула 75 трудна для запоминания Поэтому в конкретных примерах обычно повторяют проведенные выше рассуждения Заметим что первое слагаемое в 75 совпадает с общим решением однородного уравнения а второе функция p d p d ϕ f d является частным решением линейного неоднородного уравнения получается из общего решения при ПРИМЕР 7 Решить уравнение Найти частное решение удовлетворяющее начальному условию РЕШЕНИЕ Это линейное неоднородное уравнение Запишем его в виде Интегрируем соответствующее однородное уравнение d или d d d Имеем: l l l > Откуда получаем что общее решение рассматриваемого линейного однородного уравнения Теперь полагаем что решение неоднородного уравнения совпадает по структуре с решением соответствующего однородного уравнения т е имеет вид: 76 d d Тогда d d d Подставим и в исходное уравнение Получим: d

32 d d d d 5 d 6 и d 6 Подставим найденное в 76 и получим что общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид Теперь найдем частное решение удовлетворяющее условию Подставляя в общее решение начальные значения находим Следовательно искомым частным решением 6 уравнения будет функция Метод Бернулли Решение уравнения 7 может быть сведено к последовательному интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными Будем искать решение уравнения 7 в виде произведения двух непрерывно дифференцируемых функций от : u v 77 Тогда d du dv v u d d d Подставим и в линейное неоднородное уравнение 7 и получим: du dv v u puv f d d du dv или v u pv f 78 d d Имеем одно дифференциальное уравнение 78 содержащее две неизвестные функции u и v Так как число неизвестных больше числа уравнений то одно неизвестное можно выбрать произвольно Выберем v так чтобы выражение в скобках в 78 обратилось в нуль Тогда

33 dv pv 79 d du v f 7 d Уравнение 79 совпадает с 7 Его решением является функция 7 причем учитывая свободу выбора v можно в 7 принять т е p v d Полученную функцию v подставим в уравнение 7 и найдем u : du p d p d f или du f d d p d u f d Подставив найденные таким образом u и v в 77 мы получим что общее решение линейного неоднородного уравнения 7 имеет вид: p d p d f d ПРИМЕР 7 Найти общее решение уравнения cos s cos РЕШЕНИЕ Запишем уравнение в виде tg cos Полагаем u v Подставляя uv и u v uv в исходное уравнение будем иметь u v uv tg uv cos или u v u v tg v cos Согласно 79 полагаем v tg v 7 Тогда u v cos 7 Находим одно решение уравнения 7 Имеем: dv dv v tg или tgd d v l v l cos l > v cos Так как нам требуется какое-нибудь одно решение то полагаем и получаем v cos Подставим найденную функцию v в уравнение 7:

34 u cos cos Откуда находим u или du d u l Так как по предположению u v то окончательно получаем что общее решение заданного линейного уравнения имеет вид u v cos l ПРИМЕР 7 Найти общее решение уравнения РЕШЕНИЕ Уравнение является линейным если считать функцией а аргументом Действительно в этом случае оно принимает вид Полагаем u v Подставляя uv и u v uv в исходное уравнение будем иметь u v uv uv u v u v v Согласно 79 полагаем v v 7 Тогда u v 7 Находим одно решение уравнения 7 Имеем: dv dv v или d d v l v l > v Так как нам требуется какое-нибудь одно решение то полагаем и получаем v Подставим найденную функцию v в уравнение 7: Откуда находим u u

35 du d Интегрируя два раза по частям находим: u Так как по предположению u v то окончательно получаем что общее решение заданного линейного уравнения имеет вид u v 8 Уравнения Бернулли Уравнением Бернулли называется уравнение вида p f 8 где p f непрерывные функции в противном случае это будет линейное уравнение Уравнение Бернулли можно привести к линейному уравнению Для этого достаточно обе части уравнения Бернулли разделить на а затем сделать замену z Действительно разделив обе части уравнения на получим: p f или p f 8 Теперь полагаем z Тогда dz d d dz d d d d Подставим z dz и d в уравнение 8 и получим: dz d p z f dz p z f d 5

36 dz p z f d Это линейное неоднородное уравнение относительно z и его общее решение методом Бернулли получим: z u v или u v u v z Найдя u ~ v ~ u v Таким образом решение уравнения Бернулли можно сразу искать в виде произведения двух функций методом Бернулли не приводя предварительно к линейному уравнению Замечание Уравнение Бернулли при > имеет решение Оно будет частным решением при > обычно входит в общее при и особым при < < ПРИМЕР 8 Найти общее решение уравнения d d РЕШЕНИЕ Запишем уравнение в виде: d или d Это уравнение Бернулли в котором Приведем его к линейному Для этого разделим обе части уравнения на : Далее полагаем z Тогда dz d или z d d Подставим z и z в исходное уравнение и получим z z или z z Это линейное неоднородное уравнение относительно z и z Решим его методом вариации произвольной постоянной Для соответствующего однородного уравнения z имеем: z 6

37 dz d z l z l l > ; z Считаем что решение неоднородного уравнения имеет вид z dz d Тогда d d Подставляем z и z в линейное неоднородное уравнение и находим: d d d или d d d Найденное подставим в общее решение z неоднородного уравнения и получим: z Вернемся к переменной по формуле z : Следовательно общее решение данного уравнения имеет вид ± ПРИМЕР 8 Найти все решения уравнения РЕШЕНИЕ Запишем уравнение в виде Это уравнение Бернулли Проинтегрируем его не приводя к линейному По методу Бернулли полагаем u v Тогда u v u v Подставив эти выражения в уравнение Бернулли получим u v uv uv u v u v uv v u v 7

38 Полагая выражение в скобках равным нулю запишем систему: v v u v u v Находим одно из решений первого уравнения: dv v dv d или d v l v l l > ; v Положим тогда v Из второго уравнения при v находим u : u u du du u или d d u u или u u В итоге получим что общее решение данного уравнения имеет вид u v В процессе интегрирования было потеряно решение Так как оно может быть получено из общего решения при то это решение особое Таким образом все решения дифференциального уравнения определяются равенствами: ; ПРИМЕР 8 Решить уравнение d d РЕШЕНИЕ Запишем уравнение в виде d или d Сравним полученное уравнение с 8 и заметим что это уравнение Бернулли но теперь роль свободной переменной играет а искомой функции Полагаем u v Тогда u v u v Подставив эти выражения в уравнение Бернулли получим 8

39 u v u v u v u v v u v uv u v Полагая выражение в скобках равным нулю запишем систему: v v u v u v Находим одно из решений первого уравнения: dv v dv d или d v l v l l > ; v Пусть тогда v Из второго уравнения при v находим u : u u u du d u u ± В итоге получим что общее решение данного уравнения имеет вид u v ± Потерянных решений нет 9

40 9 Уравнения в полных дифференциалах Уравнение M d N d 9 называется уравнением в полных дифференциалах если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u т е если M d N d du Очевидно что общий интеграл уравнения в полных дифференциалах будет иметь вид u Таким образом задача интегрирования дифференциального уравнения в полных дифференциалах фактически сводится к задаче отыскания функции двух переменных по ее полному дифференциалу Критерий когда выражение M d N d представляет собой дифференциал некоторой функции u и один из возможных способов ее нахождения дает следующая теорема ТЕОРЕМА 9 Пусть функции M N определены и непрерывны в области D плоскости O и имеют в ней непрерывные частные производные и Для того чтобы выражение M N M d N d представляло собой полный дифференциал некоторой функции u необходимо и достаточно чтобы во всех точках области D выполнялось условие M N ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Но Необходимость Пусть Следовательно M d N d du u u du d d u M u N

41 Тогда u M u N По условию теоремы u M и u N непрерывны в области и следовательно D u u N M Достаточность Пусть N M Найдем функцию u такую что d N d M du или что то же самое функцию для которой M u N u Сначала найдем любую функцию u удовлетворяющую условию M u Для этого достаточно проинтегрировать это равенство по считая постоянной Получим: d M u ϕ где ϕ произвольная функция Теперь необходимо подобрать ϕ так чтобы выполнялось условие N u Имеем: d M d M u ϕ ϕ и N u N d M ϕ

42 d M N ϕ Следовательно искомая функция ϕ будет существовать если выражение d M N не зависит от Убедимся в этом продифференцировав его по если выражение не зависит от то в результате дифференцирования должен получиться ноль: d M N d M N d M N d M N M N M N Итак выражение d M N действительно не зависит от и следовательно проинтегрировав его по получим: d d M N ϕ и d d M N d M u ПРИМЕР 9 Найти общий интеграл уравнения 6 6 d d РЕШЕНИЕ Имеем 6 M 6 N M N Так как условие M N выполнено то уравнение является уравнением в полных дифференциалах т е левая часть этого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции u Найдем эту функцию так как это было сделано в теореме Имеем: 6 d d M u ϕ ϕ ϕ

43 u u ϕ N 6 6 ϕ 6 ϕ 6 ϕ и ϕ Таким образом получили: u ϕ и общий интеграл уравнения будет иметь вид: Существуют и другие способы нахождения функции u Например она может быть найдена по одной из следующих формул которые появляются при изучении свойств криволинейных интегралов II рода: u M d N d 9 u M d N d 9 где любая точка области D непрерывности функций M N а интеграл M d в 9 вычисляется N d в 9 в предположении что переменная переменная является константой ПРИМЕР 9 Найти общий интеграл уравнения d d РЕШЕНИЕ Имеем M N M N M N Так как условие выполнено то уравнение является уравнением в полных дифференциалах т е левая часть этого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции u

44 Найдем функцию u по формуле 9 Так как функции M и N определены и непрерывны в любой точке плоскости O то можно взять в качестве точки начало координат Тогда u d d d d Следовательно общий интеграл исходного уравнения имеет вид Иногда функцию u можно найти сгруппировав члены выражения M d N d и приведя его таким образом к виду du Этот метод получил название метод интегрируемых комбинаций ПРИМЕР 9 Найти общий интеграл уравнения d d РЕШЕНИЕ Имеем M N M N M N Так как условие выполнено то уравнение является уравнением в полных дифференциалах т е левая часть этого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции u Чтобы найти функцию u группируем члены уравнения следующим образом d d d Имеем d d d и d d Следовательно уравнение можно записать в виде d d d Таким образом u и общий интеграл исходного уравнения имеет вид

45 Интегрирующий множитель M N Если условие не выполнено то уравнение M d N d не является уравнением в полных дифференциалах Но в некоторых случаях удается подобрать функцию μ после умножения на которую левая часть уравнения становится полным дифференциалом Такая функция называется интегрирующим множителем уравнения Покажем как можно в некоторых случаях найти интегрирующий множитель Поскольку уравнение μ M d μ N d является уравнением в полных дифференциалах то выполняется условие μ M μ N т е μ M μ N M μ N μ или M N μ μ μ N M Разделив обе части этого равенства на μ получим M N μ μ N M μ μ l μ l μ M N N M Таким образом всякая функция μ удовлетворяющая уравнению является интегрирующим множителем уравнения Следовательно для нахождения μ нужно проинтегрировать дифференциальное уравнение в частных производных В общем случае эта задача является сложной поэтому рассмотрим два частных случая Пусть μ μ Тогда условие принимает вид d l μ M N N d или d l μ M N d N 5

46 Откуда находим и M N l μ d N M N d N μ так как достаточно иметь какой-нибудь один интегрирующий множитель то можно взять Итак если выражение M N N зависит только от то интегрирующий множитель μ μ существует и может быть найден из уравнения d l μ M N ϕ где ϕ d N В противном случае интегрирующего множителя вида μ не существует или Пусть μ μ Откуда находим Тогда уравнение принимает вид d l μ M N M d d l μ M d M N M N d M μ Таким образом если M N M зависит только от то интегрирующий множитель μ μ существует и может быть найден из уравнения d l μ M N ψ где ψ 5 d M В противном случае интегрирующего множителя вида μ не существует 6

47 ПРИМЕР С помощью интегрирующего множителя найти общий интеграл уравнения d d РЕШЕНИЕ Для данного уравнения M N M N M N Это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах но M N отношение не зависит от Следовательно N существует интегрирующий множитель μ μ который может быть найден из уравнения : d l μ ϕ M N где ϕ d N Имеем: d l μ d l μ или μ μ при Умножим обе части исходного уравнения на и получим d d Тогда du d d Для нахождения функции u применим формулу 9 выбрав в качестве точки начало координат В этом случае будем иметь u d d Следовательно общее решение уравнения имеет вид ~ или где ~ 7

48 ПРИМЕР Найти общий интеграл уравнения d d d d Если известно что для него существует интегрирующий множитель вида μ μ РЕШЕНИЕ Если μ μ μ t то μ dμ t dμ μ dμ t dμ dt dt dt dt Следовательно из получаем: M N dμ dμ N M μ dt μ dt M N dμ N M μ dt M N d l μ N M dt M N d l μ 6 dt N M суще- Таким образом интегрирующий множитель ствует если функция M N N M μ μ зависит только от t и находится он в этом случае по формуле 6 Для заданного уравнения M N M N M N M N N M Следовательно интегрирующий множитель существует Из уравнения 6 находим: μ μ μ t 8

49 t dt d l μ t dt d μ l t l l μ или t μ t μ при Умножив заданное дифференциальное уравнение на получим: d d d d d d d d d d По формуле 9 полагая находим: u d d u arctg u arctg Следовательно общий интеграл заданного дифференциального уравнения имеет вид ~ arctg или arctg где ~ 9

50 Дифференциальные уравнения первого порядка не разрешенные относительно производной До сих пор рассматривались дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной то есть уравнения которые можно было записать в виде f В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид: F причем непосредственный переход от уравнения вида к уравнению вида не удается Такие уравнения называются не разрешенными относительно производной Рассмотрим некоторые частные случаи уравнений не разрешенных относительно производной и укажем способы их интегрирования Уравнения разрешаемые относительно неоднозначно Пусть уравнение таково что его можно разрешить в элементарных функциях относительно неоднозначно Т е уравнение эквивалентно k различным уравнениям f f f f k Предположим что для каждого из уравнений найден общий интеграл: Φ Φ Φk Совокупность общих интегралов называется общим интегралом уравнения разрешаемого относительно неоднозначно Эту совокупность можно записать в виде Φ Φ Φ k Замечание Если уравнение разрешается относительно неоднозначно то через каждую точку области в которой рассматривается это уравнение будет проходить не менее k интегральных кривых Однако условие единственности для этой точки будет считаться нарушенным только в том случае когда хотя бы две кривые в этой точке будут иметь общую касательную Т е если f f j j и через точку не проходят особые кривые семейств Φ k то решение уравнения удовлетворяющее условию считается единственным 5

51 ПРИМЕР Найти общий интеграл уравнения Найти решение удовлетворяющее условию а б РЕШЕНИЕ Разрешая уравнение относительно получаем: Интегрируя каждое из этих уравнений находим: Общий интеграл исходного уравнения имеет вид а Найдем решение удовлетворяющее условию Имеем: ; Таким образом искомое решение и Решение единственное так как указанные кривые имеют в точке ; разные касательные рис Рис Рис б Найдем решение удовлетворяющее условию Имеем: ; Таким образом искомое решение и Кривые и имеют в точке ; общую касательную Следовательно единственности решения в точке ; нет рис Если уравнение не удается разрешить относительно даже неоднозначно либо полученные в результате уравнения сложно интегрировать то в ряде случаев все же можно найти общее решение в параметрическом виде Рассмотрим этот метод на примере неполных уравнений т е уравнений не содержащих явно или 5

52 Неполные уравнения а Уравнения содержащие только производную Пусть дифференциальное уравнение имеет вид F 5 Так как уравнение 5 не содержит и то его корни тоже не будут зависеть от и т е будут постоянными Пусть существует хотя бы один вещественный корень k этого уравнения Интегрируя уравнение k получаем: k или k Так как k корень уравнения 5 то F Уравнению F удовлетворяют очевидно все решения дифференциального уравнения и следовательно оно является общим инте- гралом уравнения 5 ПРИМЕР Общим интегралом уравнения является выражение: вещественные корни уравнения существуют например корнем будет б Уравнения не содержащие искомой функции Рассмотрим уравнение вида F 6 в котором отсутствует искомая функция Возможны случая: уравнение 6 разрешимо относительно неоднозначно; уравнение 6 неразрешимо относительно но допускает параметрическое представление т е может быть заменено двумя уравнениями вида ϕ t ψ t 5

53 Первый случай сводится к уравнению рассмотренному в п Во втором случае можно попытаться найти его решение в параметрическом виде Имеем: d d d ϕ t dt d ψ t ϕ t dt ψ t ϕ t dt Таким образом интегральные кривые уравнения 6 определяются в параметрическом виде следующими уравнениями: ϕ t ψ t ϕ t dt Исключая здесь и далее в подобных ситуациях из параметрических уравнений параметр t получаем общий интеграл исходного уравнения т е запи- Если уравнение 6 можно разрешить относительно сать в виде ϕ то в качестве параметра удобно взять t Тогда ϕt d d t ϕ t dt t ϕ t dt Общее решение уравнения в этом случае определяется в параметрическом виде уравнениями: ϕ t t ϕ t dt ПРИМЕР Проинтегрировать уравнение РЕШЕНИЕ Уравнение не содержит и разрешено относительно Следовательно его решения можно найти в параметрическом виде Полагаем t Тогда t t d t dt d d t t dt t t dt t t 5

54 t t Таким образом уравнения t определяют в параметрическом виде общее решение заданного уравнения t ПРИМЕР Проинтегрировать уравнение l РЕШЕНИЕ Уравнение не содержит и может быть разрешено относительно : l Следовательно его решения можно найти в параметрическом виде Полагаем t Тогда d l t dt t t t d d t dt dt t t t Интегрируя получаем dt l t t t Таким образом уравнения lt t l t t определяют общее решение уравнения в параметрической форме в Уравнения не содержащие независимой переменной Рассмотрим уравнение вида F 7 в котором отсутствует свободная переменная Возможны случая: уравнение 7 разрешимо относительно неоднозначно; уравнение 7 неразрешимо относительно но допускает параметрическое представление т е может быть заменено двумя уравнениями вида ϕ t ψ t Первый случай мы рассмотрели выше в п Во втором случае можно попытаться найти его решение в параметрическом виде Имеем: 5

55 d d ϕ dt и ψ t d d ϕ t ϕ t d dt и dt ψ t ψ t ψ t Таким образом интегральные кривые уравнения 7 определяются в параметрическом виде следующими уравнениями: ϕ t dt ψ t ϕ t т е за- Если уравнение 7 можно разрешить относительно писать в виде ϕ то в качестве параметра удобно взять t Тогда ϕt d ϕ dt d ϕ t ϕ t d dt и dt t t Общее решение уравнения в этом случае определяется в параметрическом виде уравнениями: ϕ t dt t ϕ t 6 ПРИМЕР 5 Проинтегрировать уравнение РЕШЕНИЕ Уравнение не содержит и разрешено относительно Найдем его решения в параметрическом виде Полагаем t Тогда t t t 6 и d t 9t dt d Из следует d d t 9t d dt t 9t dt t t t 9 t 9t dt t t l t t 55


2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Тема: ДУ: основные понятия. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

Тема: ДУ: основные понятия. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: ДУ: основные понятия. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными Лектор Рожкова С.В. 2013 г. Теория дифференциальных уравнений

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В.В.Поддубный ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Введение и основные определения Многие задачи естествознания и техники связаны с решением уравнений, содержащих неизвестные функции некоторых независимых

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Содержание Конев В.В. 1. Рабочая программа (выписка) 2 2. Введение 3 3. Основные понятия 3 3.1. Начальные условия 5 3.2. Составление дифференциальных

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

0, 2. Уравнения 1-порядка (повторение) Заметим, что x y. Преобразуем заданное уравнение следующим

0, 2. Уравнения 1-порядка (повторение) Заметим, что x y. Преобразуем заданное уравнение следующим [Ф] Филиппов А.В. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». URL: htt://elibrar.bsu.az/kitablar/846.df [М] Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

dz dx получим линейное уравнение, решая которое найдем z и подставив вместо z выражение y -n+1 получим общий интеграл уравнения Бернулли.

dz dx получим линейное уравнение, решая которое найдем z и подставив вместо z выражение y -n+1 получим общий интеграл уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли Уравнение вида: n + P( x) y Q( x) y, (3126) называется уравнением Бернулли Решение этого уравнения при n 0 и n 1 (в противном случае получается линейное уравнение) находится следующим

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 4)

Дифференциальные уравнения (лекция 4) Дифференциальные уравнения лекция 4 Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 9. Уравнения в полных дифференциалах Уравнение d + d = 14 называется уравнением

Подробнее

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Т Н Черняева, И П Медведева Дифференциальные уравнения первого порядка Методическое пособие для самостоятельной

Подробнее

Конспект лекций по математике-3

Конспект лекций по математике-3 КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского А.С.Шкуро Конспект лекций по математике-3 для студентов Химического института Учебное пособие Казань

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной

ЛЕКЦИЯ 1. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной ЛЕКЦИЯ. Общие понятия. Интегрируемые типы уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной. Введение. Задача решения (интегрирования) дифференциальных уравнений это задача, обратная дифференцированию.

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения

Подробнее

Гл. I. Основные понятия. Простейшие типы ДУ.

Гл. I. Основные понятия. Простейшие типы ДУ. Лекция Гл I Основные понятия Простейшие типы ДУ Введение Термин aequatio differerialis или дифференциальные уравнения был введен Лейбницем (Leibiz) в 676 г для обозначения зависимости между дифференциалами

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Лектор: Батяев Евгений Александрович

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

А.В. Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА

А.В. Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА МАТЭМАТЫКА 9 УДК 579 АВ Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА Рассматривается метод построения общего интеграла специальной формы для нелинейного дифференциального

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

История. где x 0 некоторое фиксированное значение независимой переменной (фиксированный момент времени), а y 0 и y (i)

История. где x 0 некоторое фиксированное значение независимой переменной (фиксированный момент времени), а y 0 и y (i) Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) это дифференциальные уравнения для функции от одной переменной. (Этим оно отличается от уравнения в частных производных, где неизвестная это функция нескольких

Подробнее

О. А. Кононова, Н. И. Ильинкова, Н. К. Филиппова. Учебно-методическая разработка

О. А. Кононова, Н. И. Ильинкова, Н. К. Филиппова. Учебно-методическая разработка Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Физический факультет Кафедра высшей математики и математической физики О А Кононова, Н И Ильинкова, Н К Филиппова Линейные

Подробнее

DIRECTION FIELDS AND THEIR CORRESPONDING TRAJECTORIES. å. à. Çàòàä M. I. VISHIK. This paper is an introduction

DIRECTION FIELDS AND THEIR CORRESPONDING TRAJECTORIES. å. à. Çàòàä M. I. VISHIK. This paper is an introduction ÇË ËÍ å.à., 1996 DIRECTION FIELDS AND THEIR CORRESONDING TRAJECTORIES M. I. VISHIK This paper is an introduction to the theory of the first order ordinary differential equations on a plane. The following

Подробнее

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши)

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Лекция 7 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения -го порядка f (, ). Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Дифференциальным

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://elibrarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее