ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ"

Транскрипт

1 Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу важнейших задач современной математики и исследуются во многих математических курсах таких, как, например, «Экстремальные задачи», «Оптимальное управление», «Линейное программирование», «Выпуклое программирование» и некоторых других Вариационное исчисление является классическим разделом математики, основы вариационного исчисления заложены еще в 7-8 веках Функционалы, которые исследуются в вариационном исчислении, будут описаны ниже Функционал это оператор, множество значений которого состоит из чисел Мы будем рассматривать только вещественные функционалы, множествами значений которых являются вещественные числа В дальнейшем вместо слов «вещественный функционал» мы будем говорить просто «функционал» Простейший пример функционала - интеграл ( x Каждой функции x, ( ) интегрируемой по Риману на отрезке [,, ] сопоставляется число значение интеграла Типичной задачей вариационного исчисления является задача Дидоны: среди всех замкнутых плоских кривых заданной длины найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь Хорошо известно, что это окружность Понятие функционала Вариация функционала Мы будем изучать функционалы, действующие из линейного нормированного пространства Y в пространство вещественных чисел R В качестве пространства Y мы будем рассматривать следующие пространства: ) C [, ] пространство непрерывных на отрезке [, ] функций, в котором определена норма = mx ( ) x C[, ] x [, ] Напомним, что сходимость по норме этого пространства называется равномерной сходимостью на отрезке [, ] ) C () [, ] пространство функций, непрерывных вместе со своими первыми производными на отрезке [, ] Норма в этом пространстве определяется как = mx ( x ) + mx ( x ) C () [, ] x [, ] x [, ] Можно ввести эквивалентную норму: = mx{, } C () [, ] C[, ] C[, ] (сходимость функциональных последовательностей по обеим введенным нормам одна и та же - равномерная на отрезке [, ] сходимость как последовательности функций, так и их первых производных) В дальнейшем мы будем пользоваться только первой нормой ( p 3) C ) [, ] пространство функций, непрерывных на [, ] вместе со своими p -ми производными включительно, нормированное с помощью 59

2 p ( p ) C [, ] ( k ) mx k = x [, ] x = ( ) Сходимость по норме этого пространства равномерная на отрезке [, ] сходимость с производными до p - го порядка включительно Итак, функционал V[ ] : Y R, где в качестве Y мы будем рассматривать только введенные выше функциональные пространства или их подмножества Y Y, тогда V : Y R Приведем пример функционала: V[ ] = + ( ( ) x - длина кривой, () описываемой функцией x, ( ) V : C [, ] R Определение Функционал V [] называется непрерывным в точке Y, если ε > δ > такое, что Y : δ выполняется неравенство V [ ] V[ ] ε Аналогично можно дать определение непрерывности функционала в точке Y ', если функционал рассматривается только на множестве Y Функционал называется непрерывным на всём пространстве Y (множестве Y ), если он непрерывен в каждой точке YY ( ) Определение Будем называть (замкнутым) шаром с центром в точке и радиусом r > множество точек: ) = { Y : } S r ( r Определение Точка является точкой локального минимума (максимума) функционала V[ ], если найдется r > такое, что V[ ] V[ ] ( V[ ] V[ ] ) для любого S r ( ) (или Sr ( ) Y, если речь идет о локальном минимуме на множестве Y ) В дальнейшем мы будем говорить об отыскании только локальных минимумов или максимумов (локальных экстремумов), причем слово «локальный» мы будем опускать Пусть Y - произвольная фиксированная точка, h Y - произвольный элемент Y Рассмотрим функцию Φ ( t ) V[ + th] вещественной переменной t Определение Если для любого h Y существует производная Φ () t = V[ + th], то эта производная называется вариацией функционала V[ ] в t точке и обозначается δ V ( Очевидно, что V[ + th] V[ ] = tδv( + o( t ) Чтобы разъяснить смысл введенного понятия, вспомним математический анализ и рассмотрим случай, когда V : R n R (функция многих переменных) Тогда Φ () t = V[ + th] называется производной функции V по направлению h t Теперь определим, что такое дифференцируемый функционал Функционал V[ ] называется дифференцируемым в точке, если для любого h Y V[ + h] V[ ] = V( + o( h ), где V ( - линейный и непрерывный по h функционал, который иногда называют сильной вариацией в точке (в отличие от функционала δ V ( (от аргумента h ), называемого в этом случае слабой вариацией в точке ) Заметим, что точно такое же определение дифференцируемости вводилось и в курсе математического анализа для функций многих переменных V : R R При этом n 6

3 доказывалось, что, если функция многих переменных дифференцируема в точке, то в этой точке существуют производные по всем направлениям Обратное, вообще говоря, неверно Точно такая же ситуация и в вариационном исчислении - если существует сильная вариация, то существует и вариация (слабая вариация) Обратное неверно Далее мы будем использовать только данное выше следующее вариации δ V V[ + th ( = ] t Теорема (необходимое условие экстремума) Пусть Y - точка экстремума функционала V [], и для всякого h Y существует δ V ( Тогда δ V ( = Доказательство Пусть для определённости - точка минимума функционала V [] (для максимума доказательство аналогично) Тогда существует шар S r ( ), r >, r такой, что V[ ] V[ ] для любого S r ( ) Если t, то + th S r ( ) и h V[ + th] V[ ] Рассмотрим функцию Φ ( t ) = V[ + th] Заметим, что для тех же t выполнено неравенство Φ( t ) Φ() По условию теоремы Φ (t) дифференцируема в точке t = и, следовательно, Φ () t = Таким образом, δ V (, ) h =, что и требовалось доказать Теорема справедлива и в случае, когда функционал рассматривается на множестве Y Y, но для таких h Y, что + th Y по крайней мере для достаточно малых t В этом случае нужно соответствующим образом изменить и определение вариации 3 Задача с закреплёнными концами Необходимое условие экстремума Будем рассматривать множество функций Y Y = C () [, ] такое, что: () Y = { C [, ], ( ) = A, ( ) = B}, где A и B - заданные числа, те множество непрерывно дифференцируемых на [, ] функций, у которых известны значения на концах отрезка (концы закреплены) Рассмотрим функционал V [ ] x, ) x = Простейшая задача вариационного исчисления (задача с закрепленными концами): найти экстремум этого функционала на множестве Y В вариационном исчислении принята следующая терминология Будем говорить, что на функции ( ) достигается сильный минимум, если V ] V[ ] для всякого x [ Y из окрестности в метрике пространства С [, ] : mx x ( ) ( r, r> x [, ] (шар с центром в радиуса r ) Определение слабого минимума дается аналогично, но окрестность выбирается в () метрике C [, ] : mx ( ( + mx ( ( r, r > x [, ] x [, ] В первом случае требуется, чтобы функции x ( ) были равномерно «близки» к функции ( x ), а во втором случае дополнительно требуется равномерная «близость» и 6

4 первых производных Очевидно, что, если функционал имеет сильный минимум в точке ( x ), то он имеет и слабый минимум в той же точке Обратное, вообще говоря, неверно Определения слабого и сильного максимума даются аналогично Необходимое условие экстремума, полученное в предыдущем параграфе, δ V ( =, справедливо как для слабого, так и для сильного экстремума Получим необходимое условие для задачи с закрепленными концами Для этого найдем вариацию δv( = V[ + th] t Cначала вычислим производную V[ + th] = F( x, th, th ) x t t + +, предполагая, что функция F имеет все необходимые для этого непрерывные частные производные () Относительно h( C [, ] потребуем, чтобы x ( ) + thx ( ) Y, те h ( ) =, h ( ) = Итак, V [ + th ] = [ F ( x, th, th ) h F ( x, th, th ) h ] x t Полагая t = и приравнивая нулю получившуюся вариацию, получаем, что для функции (, на которой достигается экстремум, имеет место δ V( = [ F( x, ) h+ F ( x, ) h ] x= Разобьем интеграл на два и проинтегрируем по частям второй: Fhx = F h Fhx x = Так как h ( ) = h ( ) =, то подстановка F ' h = Объединяя оба интеграла в один, получаем ( F F h ) x = x Ниже мы докажем, что, если этот интеграл равен нулю для любой функции () h( C [, ], обращающейся в нуль на концах отрезка h ( ) = h( ) =, то F F, при условии, что в скобках стоит непрерывная функция Поэтому в x качестве необходимого условия экстремума для задачи с закрепленными концами мы получаем следующую краевую задачу для уравнения Эйлера: F F = x ( ) = A, ( ) = B Теорема (Необходимое условие экстремума для задачи с закрепленными концами) ) Пусть ( осуществляет экстремум (сильный или слабый) в задаче с закреплёнными концами и дважды непрерывно дифференцируема ) Функция F( x, ) непрерывна с частными производными до второго порядка включительно Тогда ( является решением краевой задачи для уравнения Эйлера 6

5 или Теорема уже доказана F F = x, ( ) = A, ( ) = B F F F F = ; ( ) = A, ( ) = B x Основная лемма вариационного исчисления Пусть ϕ ( - фиксированная непрерывная на отрезке [, ] функция, и для всякой непрерывно дифференцируемой функции h ( такой, что h ( ) = h( ) =, имеет место ϕ ( h( x = Тогда ϕ ( Доказательство Пусть ϕ ( не равна нулю тождественно Не ограничивая общности, будем считать, что эта функция принимает положительные значения (если ϕ ( для всех x [, ], то заменим ϕ ( на ϕ( ) Тогда в силу непрерывности ϕ ( существуют точка x (, ) такая, что ϕ ( x ) >, и интервал ϕ( x ) [ x δ, x + δ ] (, ), δ > такой, что ϕ( для любого x [ x δ, x + δ ] Пусть теперь h ( - непрерывно дифференцируемая функция, причем h(, x ( x δ, x + δ ); h( >, x ( x δ, x + δ ) x + δ x + δ ( ) Тогда ( ) ( ) = ϕ x ϕ x h x x ϕ( h( x ( ) > h x x, что приводит к противоречию с x δ x δ условием теоремы В качестве примера функции hx ( ), удовлетворяющей записанным выше условиям, можно взять ( x ( x δ )) ( x ( x + δ)), x ( x δ, x + δ); hx ( ) =, x ( x δ, x + δ ) Приведем некоторые простые примеры π = Рассмотрим функционал V[ ] x и зададим различные граничные условия а) Пусть ( ) =, ( π ) = Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид =, а его решение, удовлетворяющее граничным условиям, есть x ( ) На этом решении, очевидно, достигается минимум исследуемого функционала б) Пусть () =, ( π ) = Тогда краевая задача для уравнения Эйлера не имеет решений в классе непрерывно дифференцируемых функций π Пусть V [ ] = ( ( ) ) x, а граничные условия () =, ( π ) = Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид " + =, а его общее решение есть = C sn x + C cos x Краевая задача имеет бесконечно много решений, так как C =, а C - произвольная постоянная Рассмотрим некоторые частные случаи зависимости функции F ( x, ) от своих аргументов 63

6 ) F ( x, ) = F ( x, ) Уравнение Эйлера имеет вид F ( x, ) = и не является дифференциальным, поэтому его решение (если оно существует), вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям ( ) = A, ( ) = B Следовательно, решение краевой задачи для уравнения Эйлера, вообще говоря, не существует ) F( x, ) = M( x, ) + N( x, ) (линейность по ) Уравнение Эйлера имеет вид M + N N( x, ) = M + N N x N =, x или M N x = Полученное уравнение также не является дифференциальным, и краевая задача для уравнения Эйлера, вообще говоря, не имеет решения 3) F = F ( ) Уравнение Эйлера имеет вид F =, и существуют две возможности а) "= ; его общее решение = Cx + C, где C и C произвольные постоянные б) F ( ) = Если k - корни последнего уравнения, то = k, а соответствующие решения уравнения Эйлера - также линейные функции = kx+ C Итак, экстремалями в этой задаче являются прямые [ ] ( '( )) ; ( ), ( ) В частном случае, когда l= + x x = A = B (длина кривой, соединяющей две точки на плоскости), доказанное выше отражает известный факт, что среди всех кривых, соединяющих две точки плоскости ( A, ) и ( B,, ) минимальную длину имеет отрезок прямой 4) F = F( x, ) Уравнение Эйлера имеет вид F ( x, ) = x или F ( x, ) = C 5) F = F( ) Уравнение Эйлера имеет вид F F F " ' =, или ( F F ) = x Это уравнение, очевидно, имеет первый интеграл F F ' = C В качестве конкретного примера такого типа рассмотрим классическую задачу о брахистохроне - кривой, по которой материальная точка в поле тяжести скатывается за наименьшее время из точки (, ) в точку ( x, ) Эта задача была решена Иоганном Бернулли еще в 696 году Пусть на плоскости ( x, ) ось направлена вниз, и в том же направления действует и сила тяжести Заметим, что при движении в поле силы тяжести S g t =, где S - путь, g - ускорение свободного падения С другой стороны, = +, S ( ) x 64

7 где = ( - траектория движения материальной точки Время движения по этой траектории определяется функционалом x + ( ) T[ ] = x g Определим траекторию, для которой функционал T[ ] принимает минимальное значение, те ту, где перемещение из точки (, ) в точку ( x, ) происходит за наименьшее время Заметив, что подынтегральная функция не зависит явно от x, запишем сразу первый интеграл уравнения Эйлера (см выше) F F = C, или + ( ) ( ) = C ( + ( ) ) Отсюда = C ( + ( ) ) = C ( + ( ) ) Вводя параметр t по формуле = ctg t, найдем C C t () = = C sn ( cos) t + ctg t Теперь определим x() t Имеем C snt cost t x = = = Csn t t = C( cos t) t, ctg t C откуда x C = (t sn t) Из полученных выражений для x() t, t ( ) и условия ( ) =, находим C = После замены t = t и C ~ = C получаем уравнение брахистохроны x = C ( t sn t), = C ( cos t ) ~ Итак, брахистохрона это циклоида, а C находится из условия ( x ) = Рассмотрим теперь некоторые обобщения Пусть функционал граничные условия имеют вид: ( ) = ( n) [ ] (,,,, ) V = F x x, а ( n ) () ( n ) () ( ) = n, ( ) = n Запишите самостоятельно уравнение Эйлера для этой задачи Пусть теперь функционал имеет вид () ( ) = (), ( ) = (), ( ) = ; () V[ ] = x,, n;,, n) x, ; 65

8 n = (,, ) - вектор-функция Рассмотрим задачу с закрепленными концами ( ) = A, где =,, n; A, B - заданные числа ( ) =, B ) Теорема Пусть: Функции (,, n ( x ) осуществляют экстремум функционала V [ ] в задаче с закрепленными концами и дважды непрерывно дифференцируемы на отрезке[, ] ) F( x,, n;,, n) непрерывна с частными производными до второго порядка включительно Тогда (,, n ( x ) удовлетворяют системе уравнений Эйлера F F = x ( ) = A ; ( ) = B ; где =, n Для доказательства сформулированного выше необходимого условия экстремума x ( ) = (, (,, ( осуществляет достаточно заметить, что если вектор-функция ( n ) экстремум функционала [ ] V в задаче с закрепленными концами в случае, когда можно изменять все компоненты вектор-функции, то эта же вектор-функция осуществляет экстремум V [ ] в случае, когда меняется одна компонента, а остальные фиксированы Отсюда немедленно следует, что x ( ) удовлетворяет записанной выше системе уравнений Эйлера Пример Рассмотрим задачу из механики Пусть n материальных точек, имеющих массы m и координаты ( x,, z ), =,,, n, движутся под действием сил u u u F =,,, x z порожденных потенциальной функцией u = u( x, z,, xn, n, zn) Считая, что координаты точек зависят от времени t, заметим, что кинетическая энергия системы материальных точек имеет вид n m T = (( x ) + ( ) + ( z ) ) = Введем функционал действия t t L t, где L функция Лагранжа L = T u, или n m L= (( x ) + ( ) + ( z ) ) u( x, z,, xn, n, zn) = По принципу наименьшего действия (принцип Гамильтона) материальные точки движутся t по траекториям, для которых значение функционала L t минимально Система уравнений Эйлера для функционала t t 66 t L t имеет вид:

9 L L = x t x L L =, где =,, n t L L = z t z Вычисляя производные, получаем систему уравнений движения (к которым нужно добавить начальные условия): u m x = ; x u m = ; где =,, n u m z = ; z Читателю предлагается самостоятельно получить первый интеграл этой системы - закон сохранения энергии: T + u = const 67

10 Экзаменационные вопросы ) Определения и формулировки теорем Сформулировать определение функционала Сформулировать определение непрерывного функционала 3 Сформулировать определение дифференцируемого функционала 4 Сформулировать определение вариации функционала 5 Сформулировать постановку простейшей задачи вариационного исчисления задачи с закрепленными концами 6 Сформулировать определение сильного минимума функционала 7 Сформулировать определение сильного максимума функционала 8 Сформулировать определение слабого минимума функционала 9 Сформулировать определение слабого максимума функционала Сформулировать определение строгого минимума (максимума) функционала Сформулировать необходимое условие экстремума для задачи с закрепленными концами Сформулировать основную лемму вариационного исчисления 3 Сформулировать постановку задачи с закрепленными концами и необходимые условия экстремума для функционала V[ ] = x,, n;,, n) x ) Утверждения и теоремы, которые необходимо уметь доказывать Теоретические задачи Доказать, что необходимым условием экстремума функционала является равенство нулю его вариации при условии, что вариация существует Сформулировать постановку задачи с закрепленными концами и получить необходимое условие экстремума 3 Доказать основную лемму вариационного исчисления 4 Сформулировать постановку задачи с закрепленными концами и получить необходимые условия экстремума для функционала V[ ] = x,, n;,, n) x 5 Привести пример первой краевой задачи для уравнения Эйлера для функционала V [ ] x, ) x, которая не имеет решения = 6 Привести пример первой краевой задачи для уравнения Эйлера для функционала V [ ] x, ) x, которая имеет неединственное решение = 7 Записать решения уравнения Эйлера для функционала V [ ] ) x 8 Записать первый интеграл уравнения Эйлера для функционала V [ ] x, ) x 9 Записать первый интеграл уравнения Эйлера для функционала V [ ] ) x Сформулировать и решить задачу о брахистохроне Исходя из вариационного принципа наименьшего действия, получить уравнения движения материальной точки в потенциальном поле = = = 68

11 69


4. Задачи на условный экстремум. Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала b. a, с граничными условиями. удовлетворяют уравнению связи

4. Задачи на условный экстремум. Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала b. a, с граничными условиями. удовлетворяют уравнению связи Лекция 0 4 Задачи на условный экстремум Рассмотрим задачу об отыскании экстремума функционала V [ ] = F(,,,,,, где = (, = (, с граничными условиями ( = 0, ( = 0; ( =, ( = Кроме того, предположим, что функции

Подробнее

ТЕМА 8. Основные понятия вариационного исчисления. Задача с закрепленными концами.

ТЕМА 8. Основные понятия вариационного исчисления. Задача с закрепленными концами. ТЕМА 8 Основные понятия вариационного исчисления Задача с закрепленными концами Основные определения и теоремы Если на некотором множестве функций указано правило, которое ставит в соответствие каждой

Подробнее

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b

6. Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами. Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала b Лекция 1 6 Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала [ ] (,, ) V = F x x при условии, что = A, = B Необходимое

Подробнее

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Лекция 15. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Лекция 5. ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ На практике существуют задачи оптимизации, в которых критерий качества зависит от функции, определить которую необходимо

Подробнее

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен:

5. Задачи с подвижной границей. при условии, что левый конец функции, на которой достигается экстремум, закреплен: Лекция 5 Задачи с подвижной границей Рассмотрим задачу минимизации функционала V F при условии что левый конец функции на которой достигается экстремум закреплен: а правый может перемещаться вдоль заданной

Подробнее

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА

ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА ВАРИАЦИЯ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА А. Н. Мягкий Интегральные уравнения и вариационное исчисление Лекция Пусть задан функционал V = V [y(x)], y(x) M E. Зафиксируем функцию y (x) M. Тогда любую другую функцию

Подробнее

Простейшие задачи вариационного исчисления

Простейшие задачи вариационного исчисления Глава VI. Простейшие задачи вариационного исчисления 1. Функционалы в линейном нормированном пространстве Опр. 6. 1. Функционалом J[y] в линейном нормированном пространстве E называется закон соответствия,

Подробнее

Лекция 12. Задачи классического вариационного исчисления

Лекция 12. Задачи классического вариационного исчисления Лекция Задачи классического вариационного исчисления Постановка задачи J u infsup G u G u & r u U R 3 Γ 4 Граничные условия 4 закрепленные когда значения траектории закреплены на обоих концах отрезка [

Подробнее

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Глава 3 ПОНЯТИЕ О МЕТОДАХ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ Лекции 3-4 Интегральное уравнение Фредгольма -го рода как пример некорректно поставленной задачи Эта тема по предмету рассмотрения

Подробнее

Вариационное исчисление

Вариационное исчисление Глава 1 Вариационное исчисление Началу появления вариационного исчисления дала толчок работа И. Бернулли 1696 года Новая задача, к решению которой приглашаются математики, в которой поставлена задача о

Подробнее

Семинар 12. Вариационное исчисление

Семинар 12. Вариационное исчисление Семинар 12 Вариационное исчисление О. Если каждой функции (из некоторого нормированного пространства вещественнозначных функций ) поставлено в соответствие некоторое (вещественное) число, то говорят, что

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

Математический анализ Раздел: вариационное исчисление

Математический анализ Раздел: вариационное исчисление Математический анализ Раздел: вариационное исчисление Тема: Второе определение вариации функционала. Необходимое условие экстремума функционала. Простейшая задача вариационного исчисления Лектор Пахомова

Подробнее

Лекция 17(3). 3. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 3.1. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С КОНЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Лекция 17(3). 3. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 3.1. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С КОНЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Лекция 7(3) 3 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 3 ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ С КОНЕЧНЫМИ СВЯЗЯМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим множество M допустимых вектор-функций ( ( ( удовлетворяющих

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

ТЕМА 10. Условный экстремум. Задача Лагранжа. Изопериметрические задачи.

ТЕМА 10. Условный экстремум. Задача Лагранжа. Изопериметрические задачи. ТЕМА Условный экстремум Задача Лагранжа Изопериметрические задачи Основные определения и теоремы В вариационных задачах на условный экстремум множество функций, на которых исследуется функционал, подчиняется

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э.

Министерство образования и науки Российской Федерации «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Министерство образования и науки Российской Федерации «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского Кафедраа «Высшая математика» Основы вариационного исчисления Методические

Подробнее

Дифференциальные уравнения Т С

Дифференциальные уравнения Т С Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Ю. В. Жерновый 1. Введение. Постановка задачи. Наиболее

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Принцип максимума Понтрягина Задача оптимального управления f(t, x, u): [t 0, t 1 ] R n R r R

Подробнее

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы.

Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Лекция 4. Вариационные методы. Полуограниченные функционалы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 19 сентября 212 г. Обозначения пусть B это некоторое банахово пространство

Подробнее

Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава 1 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Лекция 1 1 Введение Уравнение называется интегральным, если неизвестная функция входит в уравнение под знаком интеграла Разумеется, мы не будем рассматривать интегральные

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R..

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R.. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 5 Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция Пространство R 6 Лекция Предел и непрерывность функции нескольких переменных 5 Лекция 3 Функции многих переменных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

13. Частные производные высших порядков

13. Частные производные высших порядков 13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Подробнее

Лекция 16(2) МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ. Случай гладких экстремалей ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Лекция 16(2) МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ. Случай гладких экстремалей ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Лекция 6() МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ Функционалы ( t ) t зависящие от одной функции Случай гладких экстремалей ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим множество M допустимых функций (кривых)

Подробнее

Математический анализ 2.5

Математический анализ 2.5 Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f ( x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Подробнее

Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление"

Материалы к экзамену по курсу Интегральные уравнения. Вариационное исчисление Материалы к экзамену по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" Экзамен по курсу "Интегральные уравнения Вариационное исчисление" состоит из -х частей -я часть экзамена - тест на знание

Подробнее

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K)

Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Пространство функций D(K) Лекция 4 ПРОСТРАНСТВА ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 1. Пространство функций D(K) Символом α будем обозначать длину мультииндекса α: α α 1 + α 2 + + α N, α Z N + Z + Z }{{ +. } N Символом α k k обозначаем

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Курс лекций для студентов «Прикладная информатика», «Бизнес-информатика» всех форм обучения

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Курс лекций для студентов «Прикладная информатика», «Бизнес-информатика» всех форм обучения Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Кафедра Информационных технологий и моделирования ГЛНохрина ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Подробнее

Глава 3. Исследование функций с помощью производных

Глава 3. Исследование функций с помощью производных Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

4. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. 4.1 Основные понятия. называется переменная величина, зависящая от функции y ( x)

4. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. 4.1 Основные понятия. называется переменная величина, зависящая от функции y ( x) ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Основные понятия Пусть M - некоторое множество функций Функционалом J = J ( y называется переменная величина зависящая от функции y ( если каждой функции y( M по некоторому

Подробнее

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов

Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ. 1. Производная Фреше операторов Тематическая лекция 4 ПРОИЗВОДНАЯ ФРЕШЕ И ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ В этой лекции мы напомним определение производной Фреше и получим выражения для производных Фреше некоторых важных функционалов и операторов,

Подробнее

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z

Пусть Γ C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой Γ непрерывная функция. Для любой точки z C \ Γ функция z Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Подробнее

Дельта-функция. Определение дельта-функции

Дельта-функция. Определение дельта-функции Дельта-функция Определение дельта-функции Пусть финитная бесконечно дифференцируемая функция (т. е. основная функция),. Будем писать:. О. Дельта-функцией Дирака называется линейный непрерывный функционал

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции.

Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. 1. Измеримые по Лебегу функции. Лекция 1 ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА И ПРОСТРАНСТВА ЛЕБЕГА. Интеграл Лебега, конечно, строиться не для всех функций, а только для так называемых измеримых. В дальнейшем для удобства вместо тройки (, µ,µ ) мы будем

Подробнее

Конспект лекций по курсу «Гамильтонова механика»

Конспект лекций по курсу «Гамильтонова механика» Конспект лекций по курсу «Гамильтонова механика» Иван Полехин февраль май 2017, МИАН 1 Динамика системы точек. Идеальные связи. Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек в R 3, на которые действуют

Подробнее

Семинар 8. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Семинар 8. ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Семинар 8 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ПОИСКА БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ Функционалы ( ) ( ) зависящие от одной функции ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим множество M допустимых

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора.

Глава 5. Исследование функций с помощью формулы Тейлора. Глава 5 Исследование функций с помощью формулы Тейлора Локальный экстремум функции Определение Функция = f ( достигает в точке с локального максимума (минимума), если можно указать такое δ >, что ее приращение

Подробнее

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Лекция 4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ Тема: Элементарная кривая Касательная Длина кривой План лекции Понятие и способы задания элементарной кривой Вектор-функция одного переменного Касательная к кривой

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ Глава 28 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 28.1. Пространства D, D основных и обобщенных функций Понятие обобщенной функции обобщает классическое понятие функции и дает возможность выразить в математической форме такие

Подробнее

Лекция 13. Задачи оптимального управления

Лекция 13. Задачи оптимального управления Лекция 13 Задачи оптимального управления 1 мая 014 Содержательная постановка задачи оптимального управления закон движения фазовой точки (самолета или объекта управления) и закон воздействия управления

Подробнее

7. Экстремумы функций нескольких переменных

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n ) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Подробнее

3 Следствия теоремы Коши

3 Следствия теоремы Коши 3 Следствия теоремы Коши Дифференцируемость интегралов типа Коши позволяет получить важное следствие: Теорема 3.1. Дифференцируемая в области Ω C функция f(z) является бесконечно дифференцируемой в каждой

Подробнее

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1)

5. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ. определена и непрерывна в замкнутом ( m + 1) Лекция 5 5 Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ Постановка задачи Задача Коши для нормальной системы ОДУ x = f (, x), () состоит в отыскании решения x =

Подробнее

Шарипов К.С. ЫГУ им. К. Тыныстанова УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Шарипов К.С. ЫГУ им. К. Тыныстанова УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ УДК 517.2 + 519.3 Шарипов К.С. ЫГУ им. К. Тыныстанова УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В статье дан новый способ нахождений экстремалей функционалов. Рассмотрим

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 19 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА. ИНТЕГРАЛ ЯКОБИ

ЛЕКЦИЯ 19 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА. ИНТЕГРАЛ ЯКОБИ ЛЕКЦИЯ 19 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА. ИНТЕГРАЛ ЯКОБИ 1. Дифференциальные уравнения аналитической динамики Начнём эту лекцию с темы,

Подробнее

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций.

Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Лекция 5. Пространства основных и обобщенных функций. Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 27 марта 2012 г. Обозначения Символом α будем

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2012-2013 гг. Мы заканчиваем обсуждать круг вопросов, связанных с класической задачей вариационного исчисления

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

Лекция Дифференцирование сложной функции

Лекция Дифференцирование сложной функции Лекция 8 Дифференцирование сложной функции Рассмотрим сложную функцию t t t f где ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t Теорема Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке N t t t а функция f дифференцируема

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Лекция 6. Векторные топологические пространства и их свойства

Лекция 6. Векторные топологические пространства и их свойства Лекция 6. Векторные топологические пространства и их свойства Корпусов Максим Олегович, Панин Александр Анатольевич Курс лекций по линейному функциональному анализу 3 октября 2011 г. Линейные функционалы.

Подробнее

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ):

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ): Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

Подробнее

ds N 2 ν ξ r N 2 ξ ;

ds N 2 ν ξ r N 2 ξ ; Лекция 7 ПОТЕНЦИАЛ ПРОСТОГО СЛОЯ В этой лекции мы изучим свойства потенциала простого слоя при N 3.. План лекции. Потенциал простого слоя. 2. Теорема о непрерывности потенциала простого слоя. 3. Формулы

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы

I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Обозначим через D множество всех бесконечно дифференцируемых финитных функций действительного переменного. Это

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Лекции 19, Локальные экстремумы функции многих переменных

Лекции 19, Локальные экстремумы функции многих переменных Лекции 9 Локальные экстремумы функции многих переменных Определение Пусть функция многих переменных f f ( задана на ( некотором множестве D и ( некоторая точка этого множества Точка называется точкой локального

Подробнее

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков

Лекция 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков 1 Лекция 7 Производные и дифференциалы высших порядков Аннотация: Вводится понятие дифференцируемой функции, дается геометрическая интерпретация первого дифференциала и доказывается его инвариантность

Подробнее

Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных. Нахождение максимального и минимального значения функции в замкнутой области Условный экстремум Комплексные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ''Оренбургский государственный

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

Курсовая работа по дисциплине «Вариационное исчисление» Тема: Постановка задач классического вариационного исчисления оптимального управления

Курсовая работа по дисциплине «Вариационное исчисление» Тема: Постановка задач классического вариационного исчисления оптимального управления МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы

С.А. Лавренченко. Лекция 9. Экстремумы 1 СА Лавренченко Лекция 9 Экстремумы 1 Определения и примеры Определение 11 Говорят, что функция имеет (или достигает) абсолютный максимум в точке, если для всех из области определения Значение называется

Подробнее

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции

10. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1. Возрастание и убывание функции 10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x ( 1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

Подробнее

9.1 Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов. τ(x) = Ax + B, (9.3)

9.1 Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов. τ(x) = Ax + B, (9.3) Классические ортогональные полиномы Определение классических ортогональных полиномов Основные свойства классических ортогональных полиномов 9 Лекция 9.1 Классические ортогональные полиномы 9.1.1 Определение

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 20

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 20 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 20 ДЕЙСТВИЕ ПО ГАМИЛЬТОНУ ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА-ОСТРОГРАДСКОГО (ДЛЯ НАТУРАЛЬНЫХ СИСТЕМ) ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО ДЕЙСТВИЯ ПО ГАМИЛЬТОНУ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПО

Подробнее

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя

Лекция 2.8. Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных.

ЛЕКЦИЯ 23. Экстремум функции нескольких переменных. ЛЕКЦИЯ Экстремум функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных Необходимые и достаточные условия существования экстремума Точка M, 0) называется точкой минимума максимума) функции

Подробнее

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +,

r N 2 ds ξ, r = x ξ. ν ξ ds ξ c < +, Лекция 6 ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ В этой лекции мы введём потенциалы простого и двойного слоя, которые уже мы встречали в третьей формуле Грина из предыдущей тематической лекции, и изучим сначала свойства

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Полнота, компактность, внутренние метрики.

Полнота, компактность, внутренние метрики. Тема 2 Полнота, компактность, внутренние метрики. 2.1 Сходимость и полнота Определение 2.1. Последовательность точек x 1, x 2,... метрического пространства (X, d) называется фундаментальной, если для любого

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Лекция Исследование функции и построение ее графика

Лекция Исследование функции и построение ее графика Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

Подробнее

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский

Подробнее

Математический анализ Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 3.4

Математический анализ Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 3.4 Математический анализ Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Лекция 3.4 Аннотация Условия существования экстремума. Выпуклость функции. Точки перегиба. Схема полного исследования

Подробнее

Математический анализ. Лекция 3.4

Математический анализ. Лекция 3.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Математический анализ Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Подробнее

Федеральное агентство по образованию

Федеральное агентство по образованию Федеральное агентство по образованию Тихоокеанский Государственный Университет Факультет математического моделирования и процессов управления Специальность Программное обеспечение вычислительной техники

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее

Лекция 3. Нелинейные операторы.

Лекция 3. Нелинейные операторы. Лекция 3. Нелинейные операторы. Корпусов Максим Олегович Курс лекций по нелинейному функциональному анализу 12 сентября 2012 г. Обозначения. Пусть B 1 и B 2 это два банаховых пространства относительно

Подробнее

Необходимо определить управляющий вектор U оп (t)

Необходимо определить управляющий вектор U оп (t) Лекция 2 3.5.2 Поиск оптимального управления непрерывными детерминированными процессами методами Лагранжа-Понтрягина В общем виде управляемая динамическая система описывается системой дифференциальных

Подробнее

α = q q обращает условие = 1 в

α = q q обращает условие = 1 в Лекция 7 Канонические уравнения Гамильтона Скобки Пуассона Вариационные принципы Пример Уравнения динамики материальной точки в потенциальном поле Параметризация направляющих косинусов радиус-вектора точки

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 14 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

ЛЕКЦИЯ 14 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА ЛЕКЦИЯ 14 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА 1. Общее уравнение динамики в обобщённых координатах Продолжим изучать общее уравнение динамики и получать с

Подробнее

ГЛАВА I Абстрактная теорема Пикара

ГЛАВА I Абстрактная теорема Пикара ГЛАВА I Абстрактная теорема Пикара ЛЕКЦИЯ Абстрактные функции S. Абстрактные функции. Непрерывность, предел Пусть B банахово пространство с нормой.. Для простоты будем считать это пространство вещественным.

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 4

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 4 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 4 ОБОБЩЁННЫЕ КООРДИНАТЫ И СИЛЫ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ВИРТУАЛЬНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СИЛЫ Лектор: Батяев Евгений Александрович

Подробнее

Лекция 4. Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование

Лекция 4. Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование СА Лавренченко wwwlawrencenkoru Лекция 4 Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование Вспомним правило дифференцирования для функций одной переменной также называемое цепным правилом (см

Подробнее

Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета

Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Подробнее