ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ"

Транскрипт

1 КИ Лившиц ЛЮ Сухотина ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Учебно-методическое пособие Томск Издательский Дом Томского государственного университета 6

2 УДК 7 ББК Л Рецензенты: д-р физ-мат наук профессор кафедры высшей математики НИ ТПУ СВ Рожкова; д-р техн наук профессор зав кафедрой теории вероятностей и математической статистики НИ ТГУ АА Назаров Лившиц КИ Сухотина ЛЮ Л Задачи и упражнения по линейной алгебре : учебно-методическое пособие Томск : Издательский Дом Томского государственного университета 6 с В пособие вошли задачи по следующим разделам линейной алгебры: матрицы и определители системы линейных уравнений линейные пространства линейные операторы билинейные и квадратичные формы В каждом разделе приведены краткие теоретические сведения и подробные решения некоторых задач Такая структура делает пособие удобным для самостоятельной работы Для студентов ФПМК Томский государственный университет 6 Лившиц КИ Сухотина ЛЮ 6

3 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Матрицы Действия с матрицами Определение Пусть F множество чисел и ij набор из m элементов множества F Прямоугольная таблица чисел A m m m состоящая из m строк и столбцов называется матрицей Числа ij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами Совокупность элементов i i i образуют i ю строку матрицы а совокупность элементов j j mj образует j й столбец матрицы Величины m и называются порядками матрицы Две матрицы имеющие одинаковое число m строк и одинаковое число столбцов называются матрицами одинакового типа Две матрицы A ij и B ij называются равными если они имеют одинаковые порядки и i j ij ij Если m матрица называется квадратной Совокупность элементов называется главной диагональю матрицы Квадратная матрица у которой отличны от нуля лишь элементы главной диагонали называется диагональной Если все диагональные элементы диагональной матрицы ii то диагональная матрица называется единичной и обозначается символом E Матрица у которой все элементы равны нулю называется нулевой матрицей и обозначается O Нулевые матрицы различных порядков считаются различными так как состоят из разного числа элементов Квадратная матрица называется верхней треугольной если из i j следует что ij и нижней треугольной если из i j следует что ij Матрицу состоящую из одной строки называют вектор - строкой а матрицу состоящую из одного столбца называют век-

4 тор - столбцом Например матрица A вектор - строка размера Транспонирование матриц Операция транспонирования матриц состоит в перемене местами строк и столбцов с сохранени- A порядка m Тогда ем их номеров Пусть дана матрица транспонированной по отношению матрице A называется матри- B порядка m элементы которой i j ца ij ij T ij ji Транспонирование матрицы обозначается как A Пример Пусть A 6 Тогда T A 6 Сложение матриц Операция сложения вводится только A и для матриц одинакового типа Суммой двух матриц ij B одинакового типа называется матрица ij C того же ij ij типа элементы которой i j Используется обозначение C A B Умножение матрицы на число Произведением матрицы A порядка B ij Используется обозна- того же типа элементы которой чение B A ij m и числа называется матрица ij ij ij ij матрицы A на матрицу ij Пример Пусть A B Тогда матрица A B 6 Умножение матрицы на матрицу Операция умножения B вводится для прямоугольных матриц при условии что число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B Произведением матрицы A порядка m k и матрицы B порядка k заданных в определенном порядке ( A первая B вторая) называется матрица C порядка m элементы которой ij

5 k ij ir r rj i j i j ik kj i j Таким образом элемент ij матрицы C A B есть сумма произведений элементов i - й строки матрицы A на соответствующие элементы j - го столбца матрицы B Пример Пусть A B Тогда A B B A Пример Пусть A B Тогда A B Задачи Вычислить произведения матриц: d Доказать что если для матриц A и B произведения AB и AB BA то матрицы A и B - квадрат- BA существуют причем ные и имеют одинаковый порядок Вычислить: 7 A B

6 порядок матрицы равен Найти значение многочлена f ( ) от матри- цы A Доказать что если матрицы A и B - квадратные и имеют одинаковый порядок причем AB BA то а) ( A B)( A B) A B б) ( A B) A AB B Доказать что если матрицы A и B - квадратные и имеют одинаковый порядок причем AB BA то ( A B) C A B C i i i i Определители Основные определения Понятие определителя вводится только для квадратных матриц Пусть A ij квадратная матрица порядка Составим произведение из различных элементов матрицы A выбирая по одному и только одному элементу из каждой строки и каждого столбца Запишем это произведение в виде Будем называть его членом определителя Рассмотрим последовательность чисел По самому построению члена определителя это различные числа которые представляют собой перестановку чисел от до Назовем инверсией в перестановке такое расположение чисел когда старшее стоит перед младшим Например в перестановке 7986 будет инверсий Обозначим число инверсий в перестановке через 6

7 S( ) Так как из чисел можно составить! различных перестановок то число различных членов определителя равно! Определение Определителем (детерминантом) матрицы A называется алгебраическая сумма! членов определителя перед S( ) каждым из которых стоит знак ( ) Или det A S( ( ) ( ) ) где сумма берется по всем возможным перестановкам Хотя определитель матрицы это число будем для удобства столбцы и строки матрицы A называть также столбцами и строками ее определителя det A Пример Вычислим определитель матрицы второго порядка A Члены определителя имеют вид где принимают значения и Возможны две пары значений и Поэтому det A ( ) S () ( ) S () Свойства определителя При транспонировании матрицы ее определитель не меняется те det A det A Поэтому свойства сформулированные для T столбцов матрицы справедливы и для строк При перестановке двух столбцов (строк) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный 7

8 j ( i Обозначим через ) определитель j й столбец кото- рого есть вектор-столбец Если все элементы j го столбца определителя представлены в виде линейной комбинации двух слагаемых ij i di где и фиксированные числа то определитель равен линейной комбинации двух определителей j ( i di ) j ( i ) j ( di ) Например d d d d Определитель матрицы с двумя одинаковыми столбцами равен нулю 6 Если некоторый столбец матрицы состоит из нулей то определитель этой матрицы равен нулю 7 Если к элементам одного столбца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца умноженные на одно и то же число то определитель не изменится Например Алгебраические дополнения Миноры Формулы разложения определителя по столбцу или строке Рассмотрим определитель матрицы S( ) det ( ) A ( ) Выделим в этом определителе произвольный элемент ij соберем в правой части равенства все члены определителя в которые входит ij и вынесем этот элемент за скобки Величина A ij стоящая в скобках называется алгебраическим дополнением элемента ij в определителе det A 8

9 Например в определителе третьего порядка алгебраическое дополнение элемента : A а элемента : A Так как в каждый член определителя входит один и только один элемент j го столбца то можно записать что det A j A j j A j j Aj Это соотношение называется формулой разложения определителя по элементам j го столбца Аналогичная формула записывается и для любой i й строки det A iai i Ai i Ai Рассмотрим теперь квадратную матрицу A го порядка A Выделим в этой матрице произвольные k строк с номерами i i i k и столько же столбцов с номерами j j j k Элементы стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов образуют квадратную матрицу k го порядка Ее определитель называется минором k го порядка матрицы A и обозначается i i ik m j j j Всякий элемент по определению есть минор -го порядка а det A есть минор го порядка k Если в исходной матрице зачеркнуть k строк с номерами i i i k и k столбцов с номерами j j j k то оставшиеся элементы образуют квадратную матрицу порядка k Определитель этой матрицы называется дополнительным минором для минора элементу ij обозначается M ij Например в матрице i i ik M j j jk i i ik m j j jk Дополнительный минор к 9

10 m A M m 6 7 M Миноры M ij и алгебраические дополнения A ij связаны между i j собой следующим равенством: A ij ( ) M ij Из формул разложения определителя по строке или столбцу получаем что i j ( ) ijm ij j i i j det A ( ) M Обобщением этих формул является теорема Лапласа Пусть в определителе det A го порядка выделены любые k столбцов с номерами j j j k Составим всевозможные миноры k го порядка из элементов находящихся на пересечении этих столбцов и произвольных k строк определителя с номерами i i i k ( i i i k ) Тогда ii ik p i i ik j j jk ij ij i i ik j j jk det A ( ) m M где p i i ik j j jk Аналогичное разложение можно записать и для произвольных k строк определителя j j jk p i i ik j j jk i i ik j j jk det A ( ) m M Вычисление определителей Основным приемом вычисления определителя го порядка является сведение его к определителям более низкого порядка с помощью формул разложения При этом полезен учет свойств определителя позволяющий существенно уменьшить объем вычислений Пример Вычислить определитель

11 det A Разложим определитель по первому столбцу Получим Таким образом вычисление определителя четвертого порядка свелось к вычислению четырех определителей третьего порядка Далее разлагая определители третьего порядка по первому столбцу получим и тд Окончательно получим 6 det A Вычисления значительно упростятся если воспользоваться свойствами определителя По свойству 7 можно не меняя значения определителя прибавить второй третий и четвертый столбцы к первому а затем первую строку вычесть из второй третьей и четвертой Получим 6 ) ( Пример Вычислить определитель треугольной матрицы го порядка

12 -* Для вычисления разложим определитель по последней строке Получим что ( ) M где треугольный определитель порядка Определитель снова разложим по последней строке и тд Продолжая аналогичные рассуждения получим что Пример Вычислить определитель матрицы го порядка Подобные определители можно достаточно просто преобразовать к треугольному виду Для этого прибавим все столбцы к первому и затем вычтем первую строку из всех остальных Получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )( ) Пример Следующий метод вычисления определителей го порядка называется методом рекуррентных соотношений Этот метод заключается в том что данный определитель выражают преобразуя его и раскладывая по строке или столбцу через определители того же вида но более низкого порядка Полученное равенство называется рекуррентным соотношением

13 находятся из условий Рассмотрим идею метода на примере вычисления определителя трехдиагональной матрицы или матрицы Якоби (матрицей Якоби называется матрица A ij если из i j следует ij ) Вычисление определителей матриц Якоби часто приводит к рекуррентному соотношению вида где и постоянные числа Для нахождения необходимо решить полученное уравнение Заменим соответствующей степенью переменной Перенося все слагаемые в левую часть и сокращая на получим квадратное уравнение называемое характери- стическим уравнением Пусть корни этого уравнения Тогда возможны два случая: и Если то определитель имеет вид C C где числа C C C C C C Определители и в левых частях условий вычисляются непосредственно из вида Если то ( C C) а числа C C ( C C ) ( C C ) Рассмотрим конкретный пример Вычислим определитель го порядка

14 Разложим определитель по последнему столбцу Первый определитель в правой части является определителем порядка того же типа что и Второй определитель разложим еще раз по последней строке Минор дополнительный к ненулевому элементу в последней строке вновь представляет собой определитель того же типа что и но порядка В итоге получим рекуррентное соотношение для Соответствующее характеристическое уравнение имеет корни и Так как то и C C Из вида находим Тогда для определения C C получим систему уравнений C C C C решая которую находим C C (при решении использовались равенства: ) Тогда Пример Вычислить определитель го порядка

15 Представим элементы последнего столбца в виде суммы двух слагаемых: i i Тогда по свойству определитель представится в виде суммы двух определителей Первый определитель разложим по последнему столбцу Второй определитель приведем к треугольному виду вычитая последний столбец из всех остальных Тогда ii i () где является определителем порядка того же типа что и Решим полученное уравнение для Из вида при имеем ( ) Выписывая () при с учетом равенства для получаем ( ) ( ) Методом математической индукции теперь нетрудно показать что ii i j jj Пример 6 Вычислить определитель го порядка

16 6 Представим элементы последнего столбца в виде суммы двух слагаемых: ) ( и распишем определитель как сумму двух определителей Первый определитель разложим по последнему столбцу Для вычисления второго определителя умножим последний столбец на и вычтем из остальных Получим ) ( ) ( ) ( Для решения полученного рекуррентного соотношения воспользуемся тем что при транспонировании матрицы ее определитель не меняется В нашем случае транспонировании приводит к замене на наоборот Поэтому имеем два равенства ) ( ) ( ) ( ) ( Откуда ) ( ) ( Пример 7 Следующий пример иллюстрирует применение теоремы Лапласа Нужно вычислить определитель квазитреугольной матрицы порядка Квазитреугольной называют блочную

17 матрицу вида D B A O C где A C квадратные матрицы B прямоугольная матрица O нулевая матрица В подробной записи матрица имеет вид k k kk D k k k k k k k k Пусть det A detc Покажем что det D Воспользуемся теоремой Лапласа Разложим этот определитель по первым k строкам Очевидно что из первых k строк можно составить только один минор k го порядка не содержащий нулевого столбца у которого номера выделяемых столбцов удовлетворяют условию j j j k Этот минор есть Дополнительным к нему минором является определитель что и доказывает формулу Задачи Определить число инверсий в перестановках: а) 9678 б) в) 6 Выбрать значения i и k так чтобы произведение k 6i67 входило в определитель 7-го порядка со знаком плюс С каким знаком входит в определитель порядка произведение элементов побочной диагонали? Найти члены определителя 7

18 8 содержащие и Пользуясь только определением вычислить определитель 6 Пользуясь только свойствами определителей вычислить следующие определители: а) ) si( os si ) si( os si ) si( os si б) в) г) os os si os os si os os si д) i i i i i i где i 7 Не вычисляя определителей доказать следующие тождества: а) б) ) (

19 9 в) ) )( )( ( г) ) ( 8 Пользуясь свойствами определителей включая разложение по строке или столбцу доказать тождество ) )( )( )( )( )( ( ) )( )( )( ( 9 Разлагая по -му столбцу вычислить определитель d Вычислить определители:

20 В следующих задачах где по виду определителя нельзя установить его порядок предполагается что он равен Вычислить следующие определители приводя их к треугольному виду: Вычислить следующие определители методом рекуррентных соотношений: Пользуясь теоремой Лапласа вычислить следующие определители:

21 Вычислить определители: 6 7 Порядок следующего определителя равен :

22 Обратная матрица Определение Квадратная матрица A называется обратной по отношению к квадратной матрице A того же порядка если E A A A A Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является невырожденность матрицы A те det A

23 В этом случае обратная матрица существует является единственной и определяется соотношением A A A A A A A A det A A A где A ij алгебраические дополнения элементов ij матрицы A Обратная матрица обладает следующими свойствами: det A (det A) ( A B) B A T T ( A ) ( A ) Полезно помнить что если матрица A является треугольной то A является треугольной того же типа что и матрица A Обратная к симметричной матрице тоже симметрична Пример Найти матрицу обратную к матрице A Определитель det A и следовательно обратная матрица существует Алгебраические дополнения элементов матрицы A равны A A A A A A A A A Поэтому A

24 Задачи Найти матрицы обратные к данным: os si 7 si os Решить матричные уравнения: а) X б) X Показать что вычисление матрицы обратной к данной матрице порядка можно свести к решению систем линейных уравнений каждая из которых содержит уравнений с неизвестными и имеет матрицей коэффициентов при неизвестных матрицу A 9 Как изменится обратная матрица A если в данной матрице A : а) переставить i ю и j ю строки? б) i ю строку умножить на число? в) к i й строке прибавить j ю умноженную на число или совершить аналогичное преобразование столбцов?

25 Ранг матрицы Основные определения Определение Пусть даны m вектор столбцов порядка m A A A m m m и m скаляров m Умножая A i на i и складывая получим вектор столбец C A A m A m с элементами i i i mim i который называется линейной комбинацией столбцов A A Am Определение Столбцы A A Am называются линейно зависимыми если найдутся такие числа m не равные нулю одновременно что линейная комбинация A A m A m где ноль справа это нулевой вектор столбец Определение Столбцы A A Am называются линейно независимыми если равенство A A m A m возможно только при условии m Необходимым и достаточным условием линейной зависимости вектор столбцов является равенство одного из них линейной комбинации других Пример Пусть даны вектор столбцы A A A A A Нетрудно заметить что столбец A равен сумме A A Поэтому при линейная комбинация

26 данных столбцов равна нулю и следовательно они линейно зависимы В общем случае проверка условия линейной зависимости сводится к нахождению ненулевого решения системы уравнений mm mm mm Рассмотрим теперь матрицу A порядка m Определение Натуральное число r называется рангом матрицы A если у нее имеется минор порядка r отличный от нуля а все миноры порядка r и выше если это возможно равны нулю Очевидно что r mi( m ) Определение Если ранг матрицы равен r то всякий отличный от нуля минор порядка r матрицы A называется базисным минором Строки и столбцы матрицы A на пересечении которых расположен базисный минор называются базисными строками и столбцами Теорема (о базисном миноре) Базисные столбцы (строки) матрицы линейно независимы Любой столбец (любая строка) матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов (строк) Из последних утверждений следует второе определение ранга матрицы: ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов (строк) Вычисление ранга матрицы Вычисление ранга матрицы можно проводить одним из следующих способов Первый способ состоит в сведении данной матрицы с помощью элементарных преобразований к канонической матрице Каноническая матрица является блочной матрицей у которой один из блоков представляет собой единичную матрицу а все остальные блоки нулевые матрицы Каноническую матрицу можно записать в виде 6

27 7 Ранг канонической матрицы равен очевидно числу единиц стоящих на диагонали Преобразования не меняющие ранга матрицы называются элементарными К их числу относятся: Перестановка двух любых столбцов (строк) матрицы Умножение столбца (строки) на отличное от нуля число Прибавление к одному столбцу (строке) линейной комбинации других столбцов (строк) Пример Вычислить ранг матрицы Вычтем первый столбец из четвертого и шестого а в получившейся матрице второй столбец прибавим к четвертому вычтем его из шестого и удвоенный второй столбец вычтем из пятого: ~ ~ ~ ~ В полученной матрице третий столбец прибавим к пятому и вычтем из четвертого ~

28 8 Далее четвертый столбец прибавим к третьему удвоенный четвертый столбец прибавим к пятому и шестому Наконец в полученной матрице вычтем третий столбец из второго а получившийся второй из первого ~ ~ Ранг последней матрицы равен очевидно Второй способ вычисления матрицы дает метод окаймления миноров основанный на следующей теореме: Теорема Пусть матрица A имеет минор r го порядка отличный от нуля а все миноры r го порядка содержащие (окаймляющие) его равны нулю Тогда ранг матрицы A равен r Пример Вычислить ранг матрицы методом окаймления миноров 8 7 У матрицы имеется минор второго порядка m Поэтому ранг данной матрицы не меньше двух Окаймляют данный минор следующие миноры третьего порядка Так как все они равны нулю ранг матрицы равен двум Задачи Вычислить ранг следующих матриц методом окаймления миноров:

29 Вычислить ранг следующих матриц при помощи элементарных преобразований: Чему равен ранг матрицы 6 при различных значениях? 6 Доказать что система вектор столбцов содержащая нулевой вектор линейно зависима 7 Доказать что если часть системы вектор столбцов линейно зависима то и вся система линейно зависима 8 Найти все значения при которых вектор столбец B линейно выражается через вектор столбцы A A A : а) A 7 7 A A 6 B 8 7 б) A A A B 9 6 9

30 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Определение Системой линейных уравнений относительно неизвестных называется система уравнений вида m m m m где ij произвольные заданные числа коэффициенты уравнений io свободные члены Если ввести матрицы ~ A A X A A A m m m то систему уравнений можно записать в матричном виде A X A Матрица A называется основной матрицей системы матрица A ~ расширенной матрицей системы Если m то система называется квадратной Если все i система называется однородной Определение Решением системы линейных уравнений называется всякая совокупность чисел которая при подстановке в систему вместо неизвестных превращает систему уравнений в систему тождеств Система имеющая хотя бы одно решение называется совместной (разрешимой) Определение Всякое решение совместной системы называется ее частным решением Совокупность всех частных решений называется общим решением Определение Две системы уравнений называются эквивалентными если каждое решение одной системы является решением другой В следующей теореме формулируется условие совместности системы линейных уравнений

31 Теорема Кронекера Капелли Система линейных уравнений A X A совместна тогда и только тогда когда ранг расширенной матрицы A ~ системы равен рангу основной матрицы A этой системы Теорема (о числе решений совместной системы) Всякая совместная система уравнений с неизвестными ранга r при r имеет единственное решение Если r то система имеет бесконечно много решений Выделим в основной матрице совместной системы базисный минор Определение Уравнения системы соответствующие базисным строкам матрицы называются базисными уравнениями Их совокупность называется базисной системой уравнений Неизвестные коэффициенты при которых образуют базисные столбцы матрицы системы называются главными неизвестными остальные свободными Всякая линейная система эквивалентна системе своих базисных уравнений При решении линейной системы прежде всего выделяют базисную систему Если базисная система является совместной и состоит из r уравнений с неизвестными то далее r главных неизвестных выражают через r свободных Квадратные системы Формулы Крамера Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными A X A Матрица A является квадратной Ее определитель det A называется определителем системы Заменим в определителе det A j й столбец на столбец свободных членов A и обозначим получившийся определитель через j : j j j j j j j

32 Правило Крамера Если определитель квадратной системы отличен от нуля то система совместна и имеет единственное решение которое находится по формулам Крамера j j j Заметим что базисная система уравнений относительно главных неизвестных при фиксированных значениях свободных переменных может быть решена по правилу Крамера Каждому набору свободных неизвестных будет соответствовать единственный набор главных неизвестных Правило Крамера применимо только к решению квадратных систем с невырожденной матрицей Равенство нулю det A не означает что система не совместна К решению таких систем следует применять другие методы например метод Гаусса Отметим так же что пользоваться формулами Крамера имеет смысл при решении систем небольшого порядка иначе возникают трудности с вычислением определителей Пример Решить систему уравнений: 6 Определитель системы поэтому система совместна и имеет единственное решение Определители : j

33 Тогда Метод Гаусса Идея метода Гаусса состоит в том что путем последовательного исключения неизвестных система уравнений превращается в ступенчатую (в частности треугольную) эквивалентную систему уравнений Ступенчатой системой называется система вида k k где k и ii i При k получаем треугольную систему Очевидно что треугольная система имеет единственное решение Если k то система уравнений является неопределенной При этом k первых переменных можно принять за главные а остальные за свободные неизвестные Для приведения системы уравнений к ступенчатому виду используются следующие преобразования переводящие систему в эквивалентную: ) перестановка любых двух уравнений ) умножение обеих частей уравнений на одно и тоже число ) прибавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения В результате таких преобразований получается или совместная ступенчатая система эквивалентная исходной или несовместная ступенчатая система Несовместной будет система в которой одно из уравнений имеет в правой части отличный от нуля свободный член а коэффициенты в левой части равны нулю В этом случае исходная система также несовместна При решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему а ее расширенную матрицу выполняя все преобразования над ее строками k k

34 Пример Решить методом Гаусса систему уравнений 9 6 Выпишем расширенную матрицу системы Умножая первую строку матрицы соответственно на вычтем ее из второй третьей и четвертой строк: 9 6 ~ 9 6 Умножим вторую строку на и и вычтем ее из третьей и четвертой В итоге получим матрицу Таким образом эквивалентная ступенчатая система имеет вид За главные неизвестные можно принять и а за свободные Выражая главные через свободные получим Поэтому общее решение нашей системы есть вектор столбец X где свободные переменные могут принимать любые значения

35 Задачи Решить системы уравнений с помощью правила Крамера Сделать проверку: 9 6 Решить системы уравнений методом Гаусса:

36 Найти все матрицы перестановочные с матрицей Однородные линейные системы Однородной линейной системой называется система уравнений вида m m m Любая однородная система совместна так как всегда имеет нулевое (тривиальное) решение Для существования нетривиального решения необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных Особенностью однородной системы является то что всякая линейная комбинация ее решений вновь является решением системы Определение Если ранг матрицы равен r то всякая совокупность из k r линейно независимых решений называется фундаментальной системой решений Для отыскания общего решения системы достаточно найти ее k фундаментальную систему решений X X X и составить их линейную комбинацию k X X X k X Фундаментальная система решений строится следующим образом Выделяем базисную систему уравнений главные и свободные неизвестные Предположим что свободными являются неизвестные r r Зададим определитель порядка r отличный от нуля 6

37 7 k k r r r k r r r Принимая значения элементов j го столбца определителя за значения свободных переменных решаем базисную систему уравнений Получившиеся r k решений образуют фундаментальную систему решений Один из возможных вариантов выбора определителя состоит в задании его как определителя единичной матрицы Пример Найти фундаментальную систему решений и построить общее решение системы уравнений Приведем матрицу системы к ступенчатому виду ~ 6 ~ Очевидно ранг матрицы системы равен следовательно фундаментальная система будет состоять из двух решений За главные неизвестные можно принять за свободные Базисная система уравнений Задаем свободные неизвестные

38 8 Решая базисную систему получим фундаментальные решения X X Тогда общее решение X X X Задачи Найти фундаментальную систему решений и построить общее решение систем уравнений:

39 6 Неоднородные системы Рассмотрим неоднородную линейную систему A X A Соответствующая ей однородная система A X называется приведенной системой уравнений Решения неоднородной и приведенной систем связаны следующим образом Сумма любого решения неоднородной системы и любого решения приведенной системы является решением неоднородной системы Разность двух произвольных решений неоднородной системы есть решение приведенной системы Поэтому общее решение неоднородной системы можно получить прибавляя к любому ее частному решению общее решение приведенной системы X О Н ХЧ Н Х О ПР Пример Найти общее решение системы уравнений 6 Выделим базисную систему уравнений приведя расширенную матрицу системы к ступенчатому виду ~ A ~ 6 ~ Так как rg ( A) rg ( A) то система совместна Базисная система уравнений Найдем теперь частное решение неоднородной системы Примем за главное а за свободные неизвестные Положим Тогда частное решение X Ч Н Соответствующая приведенная система имеет вид 9

40 Для нахождения фундаментальной системы решений зададим значения свободных неизвестных Тогда фундаментальные решения приведенной системы X X Откуда общее решение неоднородной системы X Пример Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от значения параметра : Исследование начинаем с проверки системы на совместность Так как система является квадратной то по теореме Крамера при det A она совместна и имеет единственное решение Для значений при которых det A необходимы дополнительные исследования Вычислим A det ) )( ( Если то det A и решение системы находим по формулам Крамера Пусть Тогда расширенная матрица системы ~ ~ A

41 Очевидно что ) ~ ( ) ( A rg A rg и система совместна Базисная система уравнений Решая эту систему так же как в примере получим общее решение X где произвольные постоянные Пусть Преобразуем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду ~ ~ По виду первой строки ступенчатой матрицы определяем что система несовместна 6 Задачи Исследовать системы уравнений и найти общее решение в зависимости от значений входящих в коэффициенты параметров: ) ( ) ( ) ( d z d z z 6 z z z

42 7 z z z 8 ) ( ) ( ) ( ) ( 9 Система z z имеет единственное решение Доказать что и найти решение системы

43 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение Множество X называется линейным пространством над полем K если: Существует закон который позволяет каждым двум элементам X поставить в соответствие элемент z X называемый суммой и обозначаемый z Существует закон который позволяет каждому элементу X и каждому числу K поставить в соответствие элемент z X называемый «произведением элемента на число» и обозначаемый z Законы введенные в X удовлетворяют следующим аксиомам: X z z z X X X X X X K 6 X K 7 X K 8 X где единица поля K Элементы пространства X обычно называют векторами элемент нулевым вектором элемент противоположным (обратным) к вектору Из определения непосредственно вытекают следующие элементарные свойства линейного пространства: В любом линейном пространстве существует единственный В любом линейном пространстве для каждого элемента существует единственный противоположный элемент Для всякого вектора Для всякого вектора

44 Примеры Рассмотрим множество квадратных матриц -го порядка с вещественными элементами Поле K поле вещественных чисел Законы сложения элементов и умножения на число определены в матричном анализе Из свойств сложения матриц и умножения матрицы на число следует выполнение аксиом 8 В частности является нулевая матрица -го порядка Следовательно данное множество есть линейное пространство Линейным пространством является также множество V геометрических векторов операции над которыми были определены в векторном анализе Поле K поле вещественных чисел Сами проверьте что аксиомы 8 выполняются Рассмотрим множество P элементами которого являются упорядоченные наборы из вещественных чисел Поле K поле вещественных чисел Сложение и умножение на то число определяется следующим образом Если если i i i Сами проверьте выполнение аксиом 8 Нулевой вектор в данном случае это упорядоченный набор нулей ( ) Данное пространство называется арифметическим пространством Линейная зависимость Базис и координаты вектора Рассмотрим линейное пространство X над полем K Пусть X t m t m K Линейной комбинацией векторов m пространства X называется сумма вида t t t m m Числа t t t m называются коэффициентами линейной комбинации

45 Определение Элементы пространства X называются линейно зависимыми если существуют числа t m t t m не все равные нулю одновременно такие что линейная комбинация t t t () k k Если же равенство () выполнено только тогда когда все числа t то векторы i i называются линейно независимыми Необходимым и достаточным условием линейной зависимости векторов является равенство одного из них линейной комбинации других Примеры Рассмотрим пространство геометрических векторов V В нем два вектора линейно зависимы когда они коллинеарны; три вектора линейно зависимы когда они компланарны Всякие четыре вектора этого пространства всегда линейно зависимы Рассмотрим арифметическое пространство R Попытаемся построить линейно независимую систему векторов этого пространства Рассмотрим k векторов i k i i i i Если линейно зависимы то t t t одновременно i k такие что t t t m m где ноль пространства R По определению R отсюда следует что k i t j ji i Получаем в результате относительно t i систему линейных однородных уравнений с k неизвестными и матрицей ji размера k Такая система имеет только нулевое решение если Rg ji k и имеет ненулевое решение если Rg ji k Отсюда следует что в пространстве R не может быть больше чем линейно независимых векторов Линейно независимыми яв-

46 ляются всякие векторы компоненты которых образуют матрицу полного ранга Например векторов () Определение Совокупность линейно независимых векторов e e e пространства X называется базисом этого пространства если X найдутся такие числа K что справедливо равенство e e e () Соотношение () называется разложением вектора по базису В силу линейной независимости векторов базиса разложение () определяется единственным образом Определение Коэффициенты разложения вектора по базису e e e называются координатами вектора относительно базиса Пример Совокупность векторов () образует очевидно базис пространства R так как для всякого вектора имеет место разложение При решении задач полезно помнить что векторы линейно зависимы тогда и только тогда когда линейно зависимы векторстолбцы из их координат относительно произвольного базиса Определение Если в линейном пространстве X существует линейно независимых векторов а всякие вектор этого пространства линейно зависимы то число называется размерностью линейного пространства dim X Само линейное пространство X называется при этом -мерным Линейное пространство в котором можно указать сколь угодно 6

47 большое число линейно независимых векторов называется бесконечно мерным Примеры Пространство V В этом пространстве всякие три некомпланарных вектора линейно независимы а всякие четыре вектора линейно зависимы Следовательно dimv Пространство R В этом пространстве всякие вектор линейно зависимы и существуют системы из линейно независимых векторов например система векторов () Следовательно dim R Если в линейном пространстве X существует базис из векторов то dim X обратно если dim X то всякая система из линейно независимых векторов образует базис пространства X Всякие два базиса e e e и e e e пространства X связаны между собой симметричными формулами e e i () i ji j j i ji j j e e i () где невырожденные матрицы A ji и A ji являются взаимно обратными i-й столбец матрицы A образуют координаты вектора e i в базисе из векторов e e e Формулы () и () называются формулами перехода матрицы A и A матрицами перехода Если и координаты вектора в базисах e e e и e e e соответственно то i ij j j i ij j j i (6) i (7) 7

48 Пример: Доказать что каждая из данных двух систем векторов является базисом R и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах: e e e 7 e e e 6 Для доказательства того что данные системы векторов являются базисными вычислим как и в предыдущем примере ранги матриц B 7 и C 6 Нетрудно убедиться что RgBRgC и следовательно в R данные системы векторов образуют базисы Для определения связи координат необходимо получить формулы перехода () и () Имеем Откуда получаем систему девяти скалярных уравнений Решая системы уравнений получаем матрицу перехода 8

49 7 7 A и связь между «старыми» и «новыми» координатами: Задачи Проверить образуют ли следующие множества линейные пространства Операции сложение элементов и умножение на число определены общепринятым образом Поле K поле вещественных чисел Множество -мерных симметричных матриц с вещественными элементами Множество -мерных кососимметричных матриц с вещественными элементами Все векторы плоскости концы которых лежат на данной прямой а начало совпадает с началом системы координат Все векторы плоскости начала и концы которых лежат на данной прямой Все многочлены степени k от одного неизвестного с вещественными коэффициентами 6 Все многочлены степени от одного неизвестного с вещественными коэффициентами 7 Доказать что если система векторов содержит нулевой вектор то совокупность векторов линейно зависима 8 Доказать что если часть из векторов линейно зависима то и вся эта совокупность векторов линейно зависима 9

50 Векторы e e e и заданы своими координатами в некотором базисе Показать что векторы e e e сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе: 9 6 e e e 9 6 e e e 7 7 e e e e Доказать что каждая из двух систем векторов является базисом и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах e e e e e e e e

51 Доказать линейную независимость системы функций e e где попарно различные действительные числа Определить размерность линейного пространства квадратных матриц -го порядка Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому если: а) поменять местами два вектора первого базиса; б) поменять местами два вектора второго базиса; в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке? Подпространства линейного пространства Определение Всякое подмножество L линейного пространства X заданного над полем K которое в свою очередь является линейным пространством называется линейным подпространством Для того чтобы подмножество L линейного пространства X являлось линейным подпространством необходимо и достаточно чтобы L L L и K L Примеры Рассмотрим векторы пространства R координаты которых удовлетворяют уравнению Покажем что они образуют линейное подпространство в R Тогда Пусть и для координат векторов и выполняются условия и :

52 Рассмотрим подмножество симметричных матриц линейного пространства квадратных матриц -го порядка Покажем что они образуют линейное подпространство Пусть A ij и B ij симметричные матрицы Матрицы A B ij ij и A ij будут очевидно также симметричными и следовательно данное подмножество является линейным подпространством Основные свойства линейных подпространств вытекают из следующих утверждений: Размерность всякого линейного подпространства L пространства X не превосходит размерности самого пространства Если в подпространстве L dim L k пространства X dim X задан базис e e e то его можно всегда дополнить векторами e e из X так что система e e e об- k k разует базис пространства X Координаты всякого вектора L k k-мерному подпространству -мерного пространства X в любом базисе удовлетворяют некоторой системе линейных однородных уравнений m m m ранга -k Определение Пусть M подмножество векторов пространства X Совокупность всех линейных комбинаций векторов из М называется линейной оболочной L(M) векторов М Всякая линейная оболочка является линейным подпространством Размерность линейной оболочки L(M) натянутой на векторы множества M равна числу линейно независимых векторов данного множества Определение Суммой L двух подпространств L и L одного и того же пространства X называется множество векторов вида z где L и L Обозначается L L L

53 Сумма линейных подпространств L L L сама является линейным подпространством Определение Пересечением L линейных подпространств L и L называется совокупность векторов принадлежащих одновременно L и L Обозначается L L L Пересечение линейных подпространств L L L также является линейным подпространством Определение Прямой суммой L двух подпространств L и L называется сумма этих подпространств при условии что их пересечение состоит лишь из нулевого вектора Обозначается L L L Размерности суммы и пересечения подпространств L и L связаны между собой следующим соотношением dim L L dim L dim L dim L L Примеры Определим размерность и базис линейного подпространства натянутого на следующие векторы заданные своими координатами Для определения размерности линейной оболочки нужно определить число линейно независимых векторов в исходной системе Воспользуемся тем что векторы линейно независимы тогда и только тогда когда линейно независимы вектор-столбцы из их координат Составим матрицу из координат векторов и найдем ее ранг

54 Ранг матрицы равен трем Следовательно dim L Базис образуют например следующие линейно независимые векторы Найдем систему линейных уравнений которая задает линейное подпространство натянутое на следующую систему векторов заданных своими координатами в некотором базисе e e e e Для решения задачи удобно найти сначала базис в L Аналогично предыдущей задаче убеждаемся что базис образуют векторы и например Некоторыми векторами и достроим базис и до базиса всего пространства В новом базисе любой вектор из L будет иметь координаты удовлетворяющие системе уравнений Остается перейти теперь к системе уравнений относительно старых координат вектора относительно базиса e i Они будут связаны с новыми координатами формулами перехода i i ij j j где ij матрица перехода от e e e e к базису Подставляя координаты векторов и получим Исключая и окончательно получаем

55 Найти размерности и базисы суммы и пересечения линейных подпространств L и L натянутых на векторы заданные своими координатами: L : L : Нетрудно убедиться что векторы базис в L а векторы базис в L Поэтому всякий вектор из L а всякий вектор из L Если z L L то z Таким образом L L L это линейная оболочка векторов Аналогично первой задаче устанавливаем что dim L а базис например Пусть M L L Тогда dim M dim L dim L dim L L Остается найти базисный вектор в М Пусть M тогда L и L Значит существуют такие числа и что Получаем для значений и которые определяют общие для L и L векторы систему уравнений которая в координатной форме имеет вид Решая эту систему получим где - произвольно Поэтому всякий вектор из М имеет вид

56 Вектор можно принять за базис в M L L адачи Доказать что следующие системы векторов из R образуют линейные подпространства и найти их размерность и базис: Все -мерные векторы у которых первая и последняя координата равны между собой Все -мерные векторы у которых координаты с четными номерами равны нулю Все -мерные векторы вида где и любые числа Показать что всякое линейное пространство есть линейная оболочка любого своего базиса Показать что решение системы линейных однородных уравнений с неизвестными ранга K образуют подпространство R размерности K 6 Доказать что если размерность суммы двух линейных подпространств пространства R на единицу больше размерности их пересечения то сумма совпадает с одним из этих подпространств а пересечение с другим 7 Доказать что пространство R есть прямая сумма двух линейных подпространств: L заданного уравнением и L заданного системой уравнений 8 Найти размерность и базис линейного подпространства натянутого на следующую систему векторов заданных своими координатами 6

57 9 Найти систему линейных уравнений задающую линейное подпространство натянутое на следующую систему векторов 7 Найти размерности суммы и пересечения линейных подпространств: L натянутого на векторы и L k натянутого на векторы : m Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств натянутых на системы векторов и k : 7

58 Линейным многообразием называется совокупность векторов пространства R координаты которых удовлетворяют системе линейных уравнений m m m m Показать что если к каждому вектору подпространства L пространства X прибавить фиксированный вектор то получится линейное многообразие Точечно-векторное аффинное пространство Определение Пусть некоторое множество V состоит из элементов двух типов которые будем называть «точками» и «векторами» Пусть при этом множество векторов образует -мерное линейное пространство а множество точек не пусто Множество V называется точечно-векторным аффинным пространством если: 8

59 Каждая пара точек А и A заданных в определенном порядке определяет единственный вектор AA Для каждой точки А и каждого вектора существует единственная точка A такая что AA Если AA и AA то AA Пространство V называется -мерным если -мерно соответствующее линейное пространство Пример Данному определению удовлетворяет очевидно обычное геометрическое пространство в котором векторы вводятся как упорядоченные пары точек Вторая аксиома соответствует возможности отложить любой вектор из произвольной точки а третья аксиома соответствует определению сложения векторов Система координат в пространстве V Если в пространстве V зафиксировать некоторую точку O то в силу свойств и между всеми остальными точками и векторами устанавливается взаимно однозначное соответствие Вектор OA называется радиус-вектором точки А относительно точки O Определение Системой координат в пространстве V называется совокупность фиксированной точки O и некоторого базиса e e e в V Координатами вектора в заданной системе координат пространства V называются координаты вектора относительно базиса e e e Координатами точки А в данной системе координат пространства V называются координаты радиус-вектора точки OA относительно базиса Всякие два базиса пространства V e e e и e e e связаны между собой формулами перехода e e i ji j j i ji j j 9 e e

60 где вектор-столбцы матриц перехода A ij и A ij состоят из координат векторов e i и e i соответственно в базисах e e и e e Если даны две системы координат O e e и O e e то координаты любой точки A и относительно этих систем координат связаны соотношениями i i ij j io j где o o o координаты точки O в O e e e ij матрица перехода Прямая и плоскость в V Определение Пусть в аффинном пространстве V заданы собственное подпространство L и фиксированный вектор Множество X L называется плоскостью в V Размерностью плоскости X называется размерность соответствующего подпространства Ldim X dim L Одномерная плоскость пространства V называется прямой линией Плоскость размерности называется гиперплоскостью Две плоскости называются совпадающими если они состоят из одних и тех же точек (векторов) пространства; в противном случае они называются несовпадающими Множество точек -мерного пространства принадлежащих как плоскости X так и плоскости X называется их пересечением а сами плоскости X и X пересекающимися если X X Две несовпадающие плоскости X L и X L полученные сдвигом одного и того же подпространства L называют- ся параллельными 6

61 Из определения плоскости следует что всякая плоскость является линейным многообразием Всякая k-мерная плоскость X L может быть задана либо параметрическим уравнением e e e k k где X e e e базис в L k k произвольные числа либо как линейное многообразие системой линейных неоднородных уравнений m m m m ранга -k где координаты вектора X В частности всякая прямая задается либо системой линейных уравнений ранга либо параметрическим уравнением e где e направляющий вектор прямой λ параметр Если и радиус-векторы двух точек прямой то можно записать уравнение прямой проходящей через две данные точки X Наконец в координатной форме можно записать каноническое уравнение прямой e e e где координаты точки X координаты некоторой фиксированной точки прямой; e e e - координаты направляющего вектора e прямой Всякая гиперплоскость задается одним линейным уравнением Примеры Необходимо найти условия необходимые и достаточные для того чтобы две прямые t и t пространства V лежали в одной двумерной плоскости 6

62 Предположим вначале что две данные прямые лежат в одной плоскости с уравнением C C C где λ λ параметры Тогда при некоторых C C C а при некоторых C C C Поэтому вектор принадлежит линейной оболочке векторов C и C Далее для произвольной точки прямой найдутся такие λ и λ что t C C C Значит и L Аналогично L Но всякие три вектора из двумерного подпространства линейно зависимы Следовательно необходимым условием принадлежности прямых плоскости является линейная зависимость векторов Обратно пусть линейно зависимы Тогда существуют такие λ и λ что Поэтому уравнение второй прямой можно переписать в виде t Очевидно что теперь оба уравнения содержатся в уравнении плоскости H: t где t и τ параметры и следовательно прямые принадлежат плоскости H Найти необходимые и достаточные условия для того чтобы две прямые t и t проходили через одну точку но не совпадали Предположим что при некоторых значениях параметров t t для первой прямой и t t для второй прямые пересекаются Тогда t t Отсюда следует что векторы линейно зависимы Данное соотношение далее можно при известных рас- 6

63 сматривать как систему линейных уравнений (в координатной форме) на определение t и t Так как прямые не совпадают то решение системы t t () единственно Значит ранг матрицы системы равен и векторы должны быть линейно независимы Обратно пусть линейно независимы векторы линейно зависимы Тогда система () имеет и причем единственное решение Следовательно прямые пересекаются в единственной точке Задачи Найти точку пересечения двух прямых t и t: а) б) Найти прямую проходящую через точку заданную вектором и пересекающую прямые t и t и найти точки пересечения искомой прямой с двумя данными: 6

64 а) 8 9 б) 7 Описать все случаи взаимного расположения двух плоскостей t t t t в -мерном пространстве и указать необходимые и достаточные условия для каждого из этих случаев Доказать что всякая система K точки пространства V определяет плоскость размерности r K Доказать что линейное многообразие может быть охарактеризовано как множество векторов содержащее вместе с любыми двумя векторами и их линейные комбинации при любых α 6 Найти параметрические уравнения плоскости заданной общими уравнениями: а) б) Найти общие уравнения плоскости заданной параметрическими уравнениями в координатной форме: 6

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Линейная алгебра с приложениями

Линейная алгебра с приложениями Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий РМ Минькова Линейная алгебра с приложениями Учебно-методическое

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва ОВ

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 11 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ Определение 1. Определитель матрицы,

Подробнее

Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 1)

Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 1) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ПГУ) О.В. Якунина МНОГОМЕРНАЯ

Подробнее