ОПТИМИЗАЦИЯ РЕСТРИКТИВНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ УПРАВЛЕНИЕМ НА ПРИМЕРЕ ИНЕРЦИОННОГО РЫНКА ОДНОГО ТОВАРА

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ОПТИМИЗАЦИЯ РЕСТРИКТИВНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ УПРАВЛЕНИЕМ НА ПРИМЕРЕ ИНЕРЦИОННОГО РЫНКА ОДНОГО ТОВАРА"

Транскрипт

1 УДК ОПТИМИЗАЦИЯ РЕСТРИКТИВНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ УПРАВЛЕНИЕМ НА ПРИМЕРЕ ИНЕРЦИОННОГО РЫНКА ОДНОГО ТОВАРА ВВ Поддубный Томский государственный университет ОВ Романович Аннотация Рассматривается рестриктивная (подчиняющаяся ограничениям типа неравенств управляемая динамическая система описываемая в каждый момент дискретного времени неуправляемой переменной x x min x x и управляемой переменной y подчиняющейся рекуррентному соотношению y +1 f(y u -τ z где u -τ 0 запаздывающее на время τ управление z f 1 (x y u -τ если φ(x y u -τ > 0 и z f (x y u -τ если φ(x y u -τ 0 причём функции f f 1 f φ дифференцируемы f 1 f монотонны φ строго монотонна по всем аргументам Найдена структура оптимального управления такой системой по локальному критерию максимума вогнутой по x кусочно-дифференцируемой целевой функции (x y z u -τ В качестве примера решена задача математического описания и имитационного моделирования инерционного рынка одного товара при оптимальном управлении поставкой товара на рынок в условиях запаздывания поставок 1 Постановка задачи Рассмотрим рестриктивную (подчиняющуюся ограничениям типа неравенств управляемую динамическую систему описываемую в каждый момент дискретного времени 01 неуправляемой переменной x x min x x (1 и управляемой переменной y 0 подчиняющейся рекуррентному соотношению ( x y z u y + 1 f ( где u τ 0 запаздывающее на время τ 0 управление z рестриктивное отображение вида f1 z f ( x y u если ϕ( x y u ( x y u если ϕ( x y u f непрерывная функция своих аргументов f 1 f φ непрерывные функции своих аргументов непрерывно дифференцируемые и монотонные по x и u τ причём φ строго монотонна по x и u τ Требуется найти структуру оптимального управления такой системой по локальному критерию максимума вогнутой по аргументам x z u τ и кусочно-дифференцируемой целевой функции x y z u (4 x u 0 где максимум ищется при ограничениях (1 (3 и заданных начальных условиях x 0 y 0 в > 0 0 * * момент времени 0 и на предшествующем интервале τ < 0 x у (3

2 Подобные рестриктивные динамические математические модели могут быть использованы при описании некоторых экономических систем (например рынков [1 3] биологических систем (например дыхательных систем [4] и др Необходимые условия оптимальности и алгоритм решения задачи При решении задачи оптимизации рестриктивной динамической системы (1 (3 по локальному критерию (4 целесообразно выделить для каждого текущего момента дискретного времени допустимые области U возможных значений управляющей переменной u τ соответствующие знакам функции φ(x y u τ : область где ϕ x y u > U 1 0 область где ϕ x y u < U 0 область где ϕ x y u U 3 0 Рассмотрим схему решения задачи оптимизации (4 при ограничениях (1 (3 для каждой из этих областей В каждой из них переменная z подчиняется своей связи с другими переменными в соответствии с записанными выше условиями принадлежности к этой области и решение задачи оптимизации (4 распадается на два этапа На первом этапе решается задача оптимизации целевой функции (4 по переменной x при фиксированном значении переменной u τ для каждой области В результате получается ( условно-оптимальное значение x i ( y u переменной x для каждой области i 13 и границы возможных (допустимых значений переменной u τ для каждой области определяющие эту область ( i На втором этапе для каждой области U i 13 решается задача отыскания ( оптимального управления i y обеспечивающего максимум условно-оптимальной целевой функции: где ( i u ( i u ( y arg i ( y u ( i u U i 1 3 ( ( y u u ( i ( i ( i ( y u x ( y u y z x ( y u τ так что максимальное значение критерия для каждой области даётся выражением: ( i i ( i y y u ( y i 1 3 Окончательное решение u ( y задачи даёт сравнение максимальных значений критериев { i ( y } по областям: выбирается u j τ y u ( y той области для которой ( i j arg y значение критерия максимально: Рассмотрим эти этапы для каждой из областей более подробно 1 : ϕ x y u > U 1 0 В этой области В силу вогнутости функции ( i ( i U z f1 x y u так что целевая функция (4 принимает вид: ( x y f ( x y u u 1 ( x u 0 x y z u и монотонности f 1 ( x y u решение этой задачи существует в том числе и при фиксированной переменной u

3 На первом этапе фиксируя u находим: x 1 y u arg x ( y f ( x y u u τ 1 x ( 1 ( y u τ x 1 ( y u y f ( x 1 1 ( y u y u u x 1 y u ϕ( y u Подставляя x в x находим условие принадлежности к области U 1 : ( 1 ( 1 U u : ϕ x y u y u > 0 { ( } откуда находятся границы области для допустимых в этой области управлений На втором этапе находим: u : ϕ x y u < U 0 ( 1 U 1 ( 1 ( y arg ( y u ( 1 u U Аналогично предыдущему решаем задачу для этой области используя теперь другое представление рестриктивной переменной f ( x y u x ( y u arg ( x y f ( x y u u u τ z В результате получаем: τ x ( ( y u τ x ( y u y f ( x ( y u y u u U 3 : ϕ x y u U 3 0 ( { u : ϕ( x ( y u y u < 0} ( u ( ( ( y arg ( y u ( u U u Поскольку при фиксированном значении это равенство определяет единственную (в силу строгой монотонности φ зависимость x от y и то за x 3 y u принимаем решение этого u уравнения и решение оптимизационной задачи не требуется (в силу единственности это решение является и условно оптимальным В этом случае рестриктивная переменная также принимает вид z f x y u и дальнейший ход решения задачи оптимизации совпадает с предыдущим: ( j u ( ( 3 ( 3 ( y u τ x ( y u y f x ( y u ( 3 ( 3 U u : ϕ( x ( yu y u < u 3 3 ( y arg ( y u ( ( y u u { 0} ( 3 ( 3 u U Окончательно за оптимальное значение управления u ( y ( y которому соответствует максимальное значение j ( y z принимаем то значение Обратим внимание что для вычисления в момент времени τ запаздывающего на время τ оптимального управления требуется предсказание значения переменной состояния y на будущий момент времени (на τ шагов вперёд Такое предсказание можно сделать с помощью представленной здесь математической модели

4 3 Пример: оптимизация поставки товара на рынок 31 Математическая модель инерционного рынка одного товара В качестве примера рассмотрим решение задачи математического описания и имитационного моделирования инерционного рынка одного товара при оптимальном управлении поставкой товара на рынок в условиях запаздывания поставок Рассмотрим модель рынка одного товара функционирующую в дискретном времени N {01} В этой модели x цена товара в момент времени (обозначим её ( y остаток товара на рынке (обозначим его O ( u τ объём товара заказываемого в момент времени τ для поставки на рынок в момент (стратегия поставок обозначим её Z ( τ Спрос на товар при цене ( обозначим через D ( Пусть в момент дискретного времени спрос на товар имеет вид простейшей линейной зависимости: D a (5 m где m > 0 и a > 0 заданные константы Пусть ( объём товара предлагаемого к продаже в момент времени Представим ( в виде суммы остатка товара в объеме O ( от продаж на предыдущем интервале дискретного времени (и перешедшего на рынок в момент и товара в объеме Z ( τ заказанного продавцом в момент времени τ (с учётом запаздывания поставки для поставки его на рынок к моменту времени : O Z + ( τ Обозначим объём продаж на интервале дискретного времени через S ( Очевидно Эта величина играет роль f1 функций φ играют функции ( D f z S D O Z ( + ( τ min (6 в общей модели а величина O ( роль y Следовательно роль f ϕ D O Z ( τ D ( O ( Z f ( τ Очевидно остатки товара удовлетворяют рекуррентному соотношению: O O Z ( +1 + ( τ S O Z S так что роль функции f играет функция f + ( τ 1 (7 Роль целевой функции играет прибыль продавца равная разности между выручкой от продажи товара и затратами на его приобретение и хранение Если 1 цена закупки товара (на оптовом рынке или у производителя цена хранения единицы товара не проданного на предыдущем интервале дискретного времени то прибыль продавца в момент времени составит величину: S Z O ( ( ( ( 1 ( ( ( ( 1 (8 Последнее слагаемое (с коэффициентом > 0 выражает «штрафные санкции» за изменение цены товара и определяет инерционность рынка за резкое повышение цены могут последовать санкции законодательного характера за резкое снижение цены "санкции" конкурентов выражающиеся в нанесении ущерба продавцу в размере эквивалентном этой штрафной функции Возникает вопрос какое значение примет цена товара ( в момент времени если на предыдущем шаге 1 она равнялась ( 1 и какую величину Z ( дополнительной

5 поставки товара на рынок должен произвести продавец чтобы прибыль продавца при заданной линии спроса на -ом интервале дискретного времени была максимальной: sup S ( ( При решении этой задачи автоматически получатся значения и объёмов продаж S ( и остатков непроданного товара O ( для каждого текущего момента дискретного времени При этом естественно должны выполняться ограничения на величину возможной цены товара (: 1 < min < ( < m /a и на величину дополнительного заказа товара Z ( 0 3 Условно-оптимальная цена товара Пусть объем поставки товара на рынок в момент времени есть ( Найдем оптимальную (обеспечивающую максимум прибыли продавца (8 цену ( товара при фиксированном значении (: ( ( При решении этой задачи учитывая ее рестриктивный в силу соотношения (6 характер очевидно следует выделить области соответствующие дефициту товара на рынке (область 1 в которой ( < D ( затовариванию рынка (область в которой ( > D ( и балансу спроса и предложения (область 3 область динамического равновесия в которой ( D ( Рассмотрим эти области подробнее 1 В области товарного дефицита ( < D ( и в соответствии с соотношением (6 имеем S ( ( так что O ( ( ( ( 1 + (( 1 ( ( ( 1 sup (9 ( ( Это квадратичная функция переменной ( выпуклая вверх Следовательно точка максимума достигается при ( ( ( ( ( 1 0 откуда ( ( ( ( 1 ( 1 + (10 Как видим (1 ( растет с ростом ( по линейному закону Выражение (10 справедливо не при любом ( а лишь при ( удовлетворяющем условию ( < D ( принадлежности к области 1 Это условие с учетом (5 и (10 имеет вид: ( 1 a ( < m a ( m a( 1 ( откуда ( m a 1 ( 1 ( ( < (11 a + Таким образом в области 1 ( линейно растёт с ростом ( от значения ( 1 ( ( 1 0

6 до значения ( ( 1 ( ( m + ( ( ( 1 ( a + причем условие принадлежности ( к области 1 выражается неравенством (11 В области затоваривания рынка ( > D ( и в соответствии с выражением (6 имеем S ( D ( так что с учетом (5: 1 1 O ( ( a( ( ( + (( ( ( ( 1 m 1 1 sup ( ( (1 Это квадратичная выпуклая вверх функция переменной ( Следовательно точка максимума достигается при ( m a( ( ( ( 1 0 откуда ( ( ( 1 ( ( m + (13 a + Как видим ( ( не зависит от ( (остается постоянной при любом ( в этой области Выражение (13 справедливо лишь при условии что ( > D ( то есть при условии: откуда ( ( > a ( m ( a + a( 1 m a + ( m a 1 + am ( ( ( > (14 a + Последнее неравенство определяет условие принадлежности ( к области Нетрудно показать что ( ( > (1 ( Действительно используя выражения (7 и (10 получим: ( ( 1 ( ( a ( m + ( 1 ( a + ( a + что и требовалось доказать 3 В области баланса спроса и предложения (то есть в области динамического равновесия рынка ( D ( и в соответствии с выражением (6 имеем как и в области объем продаж равный спросу то есть S ( D ( и прибыль ( в виде (1 При этом однако ( m a( откуда ( ( m 3 ( a (15 Границами области 3 по ( являются точки (1 ( и ( (: ( 1 ( ( > 0 Как видим из (15 в этой области (3 ( линейно убывает с ростом ( от значения до значения ( ( ( ( ( 1 ( m + 1 a ( 3 ( ( ( ( 1 ( ( m + a +

7 На рис 1 в качестве примера изображена зависимость условно-оптимальной (при фиксированном ( цены ( товара при следующих параметрах: m 4 a ( 1 7 При этом (1 ( 1191 ( ( 113 Полужирным шрифтом выделены номера зон ( ( ( 6969 Рис 1 Условно-оптимальная цена товара Рис Условно-максимальная прибыль 33 Условно-максимальная прибыль Оптимальная цена товара и максимальная прибыль Найдем теперь оптимальную цену товара и оптимальный уровень поставки товара на рынок обеспечивающие максимальную прибыль продавца если ( 1 ( 1 ( ( и удовлетворяют ограничениям на ( Решение этой задачи проведём по зонам (по зоне 1 дефицита товара зоне затоваривания рынка зоне 3 баланса спроса и предложения то есть динамического рыночного равновесия 1 В зоне 1: 0 < ( < (1 ( После подстановки ( (1 ( в выражение (9 для ( имеем: ( o ( 1 ( + ( ( 1 1 ( + (( 1 ( Как видим (1 ( монотонно растет с ростом ( по линейно-квадратичному закону достигая максимального значения на границе области при ( (1 (: ( 1 ( 1 ( ( 1 Если остаток товара O ( от продаж предыдущего интервала дискретного времени не превышает величину (1 ( то дополнительный заказ и поставка товара на рынок в объеме Z ( (1 ( O ( (в частности Z ( 0 при O ( (1 ( обеспечивает максимум прибыли Иначе при O ( > (1 ( следует искать решение задачи оптимизации прибыли в областях или 3 В зоне : ( > ( ( После подстановки в ( для этой зоны ( ( ( не зависящего от ( имеем: ( ( ( ( o ( ( ( ( ( a ( ( m ( Как видим ( ( монотонно убывает с ростом ( по линейному закону так что достигает в этой зоне наибольшего значения при ( ( (: ( ( ( (

8 Если O ( < ( ( то дополнительный заказ и поставка товара на рынок в объеме Z ( ( ( O ( обеспечивает получение этого максимума прибыли Если же O ( > ( ( то Z ( 0 и достигается лишь значение прибыли ( ( ( o ( < ( 3 В зоне 3: (1 ( ( ( ( После подстановки ( (3 ( в ( для этой зоны имеем: ( ( a ( m 3 o ( + (( m a ( ( ( Это выпуклая вверх линейно-квадратичная функция переменной ( В точке максимума (3 ( по ( откуда ( 3 ( ( 1 a ( [ ( a( 1 + a( a ( a + ( ] 0 m m 1 ( m a 1 + a m a1 ( 3 ( a + В этой точке (3 ( достигает максимального значения Нетрудно видеть что (1 ( < (3 ( < ( ( то есть точка максимума (3 ( лежит в области 3 Действительно с учетом того что m > ( 1 > 1 имеем: ( 3 ( 1 ( ( С другой стороны a ( m a( 1 ( a + ( a + a + ( m a1 a ( m a( 1 > a + ( a + ( a + ( 3 ( ( a1 ( < 0 a + Максимальное значение прибыли в зоне 3 равно (при O ( < (3 (: ( 3 ( 3 ( ( 3 Это значение является и глобально максимальным потенциально возможным при O ( (3 ( Если же (3 ( < o ( ( ( то глобально максимальное значение прибыли не может быть достигнуто и достигается только условно-максимальное значение (при фиксированном O ( внутри зоны 3 лежащее между 3 и ( ( > 0 На рис для примера рассмотренного выше приведен ход условно-оптимальной прибыли (при фиксированном ( и при O ( 0 с указанием точки глобального максимума ( ( (3 ( Очевидно глобальный максимум прибыли может быть получен только в том случае если объем остатка товара не проданного на предыдущем интервале времени не превышает величину оптимального объема поставки товара на рынок: O ( (3 ( В противном случае прибыль продавца будет меньше максимально возможной Причем если при этом объём остатков товара будет оставаться в зоне 3 то есть будет лежать в интервале (3 ( < O ( ( ( то рынок будет оставаться в состоянии динамического равновесия (спрос на товар будет оставаться равным предложению в качестве которого будет выступать остаток товара И только при O ( > ( ( предложение товара перейдет в зону и начнется затоваривание рынка

9 На рис 3 представлена топокарта поверхности ( как функция координат ( ( Линии горизонтальных сечений более высокого уровня более светлые низкого более тёмные На этом же рисунке светлыми кружочками показаны границы зон чёрным кружочком показана точка абсолютного максимума прибыли Полужирной линией представлена кривая условно-оптимальной цены ( как функция предложения товара ( (та же что на рис1 Как видим эта кривая в зонах 1 и проходит по линиям градиента ( то есть перпендикулярно линиям равного уровня поверхности прибыли а в зоне 3 по гребню поверхности прибыли где спрос равен предложению Двигаясь вдоль кривой условно-оптимальной цены можно проследить как меняется условно-максимальная прибыль продавца Рис 3: Топокарта поверхности прибыли 34 Численное моделирование динамики рынка одного товара с оптимальным запаздывающим управлением Рассмотрим модель функционирования рынка одного товара в дискретном времени N {01} Моделируется ситуация когда сначала рынок находится в состоянии равновесия а в некоторый момент времени 0 выводится из равновесного положения (цена на товар резко меняет свое значение например резко увеличивается Расчёты проводились при 50 m 4 a 04 T min 1 + m /a * τ Динамика параметров рынка изображена на рис 4 9 Рис 4 Оптимальная динамика цены Рис 5 Стратегия заказа товара

10 Рис 6 Покупательский спрос Рис 7 Оптимальный запас товара Рис 8 Динамика продаж Рис 9 Динамика прибыли На рис 4 видно что цена сначала резко падает а затем по экспоненте плавно поднимается до равновесного значения Причем резкое падение цены происходит до момента 10 (для τ 10 0 (для τ 0 и 30 (для τ 30 Дело в том что на интервале [010] ситуация на рынке уже изменилась (в связи с повышением цены товара спрос упал но на рынок (в связи с задержкой в поставках товара продолжает поступать товар в объемах необходимых для равновесного рынка Как следствие затоваривание рынка и скопление излишков товара на складе (рис 7 Изменение поведения цены в момент например 10 (для τ 10 связан с тем что с этого момента на рынок поступает товар в уже скорректированных объемах продавец делал заказ товара уже после скачка цены на товар следовательно заказывал его в уже меньших объемах что предотвращает затоваривание рынка и стремительное уменьшение цены на товар Заметим что момент времени изменения поведения цены не обязательно совпадает с задержкой τ Если в этот момент рынок все еще затоварен то цена еще некоторое время будет резко падать (например если изменить параметр линии спроса a 05 Интересно поведение функции прибыли На начальном интервале прибыль падает Это связано с падением спроса на товар Но затем идет скачкообразное повышение прибыли связанное с тем что продавцу не надо платить за покупку товара так как размер заказанного товара в этот момент равен нулю (это связано с затовариванием рынка На рис отображена динамика основных переменных функционирования рынка при условии что в момент времени 0 рынок был выведен из состояния равновесия резким падением цены товара Расчёты проводились при 50 m 4 a 04 T min 1 + m /a * τ 10030

11 Рис 10 Оптимальная динамика цены Рис 11 Стратегия заказа товара Рис 1 Покупательский спрос Рис 13 Оптимальный запас товара Рис 14 Динамика продаж Рис15 Динамика прибыли Проанализируем ситуацию когда цена на товар резко упала Рынок реагирует на это резким повышением спроса на товар На интервале [010] на рынок поступает товар в недостаточных объёмах что связано с задержкой в поставках товара когда на рынок поступает объём товара который был необходим для рынка в состоянии равновесия Как следствие излишков товара на складе нет (рис 13 На рис 10 видно что так же как и в предыдущем примере есть точка изменения характера поведения цены товара Это изменение также связано с тем что с этого момента на рынок поступает товар в уже скорректированных объемах и происходит постепенное насыщение рынка

12 ЛИТЕРАТУРА [1] Гальперин ВМ Игнатьев СМ Морозов ВИ Микроэкономика: В -х т Т1 СПб: Экономическая школа 00 [] Поддубный ВВ Романович ОВ Рынок как самоуправляемая инерционная динамическая система с запаздыванием при сбалансированной стратегии поставок товара // Вестник ТГУ УВТИ (9 С 5 16 [3] Поддубный ВВ Романович ОВ Рынок с фиксированной линией спроса как оптимальная система // Труды X Международной ФАМЭТ 011 конференции / Под ред ОЮ Воробьева Красноярск: КГТЭИ СФУ 011 С [4] Горячев АС Савин ИА Основы ИВЛ [Электронный ресурс] Режим доступа: hp://anesuganskru/ebookmv/indexhml

Математический анализ

Математический анализ Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Подробнее

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных

С.А. Лавренченко. Лекция 10. Исследование функции при помощи производных 1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Подробнее

( t) Процесс «нащупывания» равновесия по Вальрасу описывается дифференциальным уравнением с запаздывающим

( t) Процесс «нащупывания» равновесия по Вальрасу описывается дифференциальным уравнением с запаздывающим УДК 59.865 8 В.В. Поддубный ОПТИМАЛЬНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ РЫНКА, ОПИСЫВАЕМОГО МОДИФИЦИРОВАННОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛЬЮ ВАЛЬРАСА МАРШАЛЛА В ПРОСТРАНСТВЕ ПЕРЕМЕННЫХ «ПРЕДЛОЖЕНИЕ ЦЕНА СПРОС» Рассматривается динамическая

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

К. В. Григорьева. Методические указания Тема 3. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г.

К. В. Григорьева. Методические указания Тема 3. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции. Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 2007 г. К. В. Григорьева Методические указания Тема. Методы решения задачи минимизации квадратичной функции Факультет ПМ-ПУ СПбГУ 7 г. ОГЛАВЛЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.... МЕТОДЫ СПУСКА

Подробнее

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу Методы Оптимизации Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Дальневосточный государственный университет Выпуклые функции и их свойства Учебно-методическое пособие по курсу "Методы Оптимизации"

Подробнее

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ . РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ вида Численное решение нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений. заключается в нахождении значений

Подробнее

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно,

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. = 0, 5. Следовательно, Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

Подробнее

X = . X = P X. Ответ. X =

X = . X = P X. Ответ. X = Задачи по микроэкономике (Всероссийские олимпиады разных лет, сайт iloveeconomics). Спрос, предложение, равновесие, эластичность, госрегулирование. Уравнение спроса (региональная олимпиада, Пермь, 203,

Подробнее

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА 780 УДК 517.97 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ УПРАВЛЕНИЙ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА В. А. Срочко Иркутский государственный университет Россия, 664003, Иркутск, ул. К. Маркса, 1 E-mail:

Подробнее

Математическое моделирование оптимального рынка конкурирующих товаров в условиях лага поставок

Математическое моделирование оптимального рынка конкурирующих товаров в условиях лага поставок КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ Т. 4 С. 43 45 УДК: 59.865 МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ И СОЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ Математическое моделирование оптимального рынка конкурирующих товаров в условиях лага поставок

Подробнее

Методические указания к решению "простейшей задачи" вариационного исчисления. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин

Методические указания к решению простейшей задачи вариационного исчисления. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Методические указания к решению "простейшей задачи" вариационного исчисления А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Казань, 2013 УДК 519.6, 517.97 ББК Печатается по решению методической комиссии Института математики

Подробнее

, в то время как предложение труда работниками

, в то время как предложение труда работниками 1.4. Развитие теории совокупного предложения Кейнсианский и неоклассический подходы к моделированию рынка труда получили развитие с учетом жесткости цен и асимметрии информации 1. Фундаментальную роль

Подробнее

1. Задача финансирования инвестиционных проектов

1. Задача финансирования инвестиционных проектов ' В.Н.Бурков, Л.А.Цитович МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ ФИНАНСИРОВАНИЯ В УСЛОВИЯХ РЫНОЧНОЙ ЭКОНОМИКИ Введение В статье рассматриваются механизмы финансирования инвестиционных проектов и программ в рыночной

Подробнее

ОПТИМИЗАЦИИ: ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ

ОПТИМИЗАЦИИ: ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ Г. И. Просветов МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ: ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ Учебно-практическое пособие Москва 009 УДК 59.8(075.8) ББК.8я7 П 8 Предисловие Никогда не ставьте задачу, решение которой вам неизвестно. Правило Берке

Подробнее

Б.Ф. Харчистов МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Б.Ф. Харчистов МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТАГАНРОГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Б.Ф. Харчистов МЕТОДЫ

Подробнее

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность*

Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* Выпуклые ленточные матрицы и их положительная определенность* В. Н. РАЗЖЕВАЙКИН Аннотация. Доказывается теорема о положительной определенности ленточных матриц широко используемых в задачах математической

Подробнее

МАТЕМАТИКА ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

МАТЕМАТИКА ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по

Подробнее

Задачи по микроэкономике (сборник задач, Пермь). Простые.

Задачи по микроэкономике (сборник задач, Пермь). Простые. Задачи по микроэкономике (сборник задач, Пермь). Простые. Спрос, предложение, равновесие. 1. Спрос потребителя на товар можно было представить как Q d = 100 2. Через два месяца спрос увеличился на 50%.

Подробнее

Перечень Контрольных вопросов по дисциплине «Микроэкономика» Аксенова Т.Н.

Перечень Контрольных вопросов по дисциплине «Микроэкономика» Аксенова Т.Н. Санкт-Петербургский государственный технический университет Перечень Контрольных вопросов по дисциплине «Микроэкономика» Аксенова Т.Н. г.санкт-петербург 2002 год. АННОТАЦИЯ: Предлагается серия контрольных

Подробнее

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ Обозначим через значение некоторого выражения при подстановке в него целого числа Тогда зависимость члена последовательности от членов последовательности F F со значениями

Подробнее

Однокритериальные и многокритериальные задачи в управленческой деятельности. 1. Задачи однокритериальной оптимизации

Однокритериальные и многокритериальные задачи в управленческой деятельности. 1. Задачи однокритериальной оптимизации Однокритериальные и многокритериальные задачи в управленческой деятельности. Задачи однокритериальной оптимизации Существует значительное число экономических систем, в частности из области управленческой

Подробнее

Теоретический материал.

Теоретический материал. 0.5 Логарифмические уравнения и неравенства. Используемая литература:. Алгебра и начала анализа 0- под редакцией А.Н.Колмогорова. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 0- под редакцией Е.П.Ершова

Подробнее

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных

Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Необходимое и достаточное условие экстремума функции многих переменных Рассмотрим задачу на нахождение условного экстремума для случае функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Пусть имеется

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр. (типовые задания С5) ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ Функция и параметр (типовые задания С5) Прокофьев АА Корянов АГ Прокофьев АА доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики НИУ МИЭТ, учитель математики ГОУ лицей

Подробнее

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг.

А.В. Колесников. Вариационное исчисление. Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. А.В. Колесников Вариационное исчисление Высшая Школа Экономики. Математический факультет. Москва. 2013 гг. Необходимые и достаточные условия второго порядка в простейшей вариационной задаче Необходимые

Подробнее

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин

Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры. А.В. Ожегова, Р.Г. Насибуллин Казань, 213 УДК 519.6, 517.97 ББК Печатается по решению методической комиссии Института математики и механики им. Н.И.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÔÓÍÊÖÈÈ

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр. Курс лекций для студентов экономических специальностей вузов МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УО «Белорусский государственный экономический университет» М.П. Дымков ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Второй семестр Курс лекций для студентов экономических специальностей

Подробнее

Банк заданий для промежуточного контроля

Банк заданий для промежуточного контроля Банк заданий для промежуточного контроля Тест. Тема «Линейное программирование» Состоит из - 3 теоретических вопроса по теме и 4 6 практических заданий, предусматривающих умения и навыки: составлять математические

Подробнее

Лекция 7: Векторные пространства

Лекция 7: Векторные пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы приступаем к изучению линейной алгебры как таковой,

Подробнее

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА Глава 3 НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ И МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА 3 Число и вектор Фробениуса Число и вектор Фробениуса используются в балансовых экономических моделях и, в частности, в модели международной торговли

Подробнее

Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Excel ЗАДАНИЕ. кг сырья первого типа, a

Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Excel ЗАДАНИЕ. кг сырья первого типа, a Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Ecel ЗАДАНИЕ. Предприятие выпускает два вида продукции: Изделие и Изделие. На изготовление единицы

Подробнее

Введение. 1. Задача линейного программирования. Основные понятия

Введение. 1. Задача линейного программирования. Основные понятия Введение Данные методические указания адресованы студентам заочной формы обучения всех специальностей, которые будут выполнять контрольную работу т 4 по высшей математике, и охватывают раздел математического

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ УДК 589 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С РАЗНОТИПНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ ВВ ОСТАПЕНКО ИЛ РЫЖКОВА Рассмотрены линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями на управления игроков

Подробнее

ЧАСТЬ v РЫНКИ ФАКТОРОВ ПРОИЗВОДСТВА

ЧАСТЬ v РЫНКИ ФАКТОРОВ ПРОИЗВОДСТВА ЧАСТЬ v РЫНКИ ФАКТОРОВ ПРОИЗВОДСТВА 5.1 Задачи Задача 1 Функция полезности индивида U( I, F) = I + 200 R, где I суточный доход, R свободное время (часов в сутки). Найти объем предложения труда при следующих

Подробнее

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений

dx dt ОБЩИЙ ВИД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теория обыкновенных дифференциальных уравнений dx d ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ N 2, 2004 Электронный журнал, рег. N П23275 от 07.03.97 hp://www.neva.ru/journal e-mail: diff@osipenko.su.neva.ru Теория обыкновенных дифференциальных

Подробнее

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией.

непрерывной на отрезке a; b и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, Эту фигуру будем называть криволинейной трапец ией. Лекция: Определенный интеграл. Введение. Рассмотрим график функции y f () непрерывной на отрезке ; и вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y 0, y f ( ),,. Эту фигуру будем называть криволинейной

Подробнее

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа. В.В. Колыбасова, Н.Ч. Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

Подробнее

Кемеровский технологический институт пищевой промышленности. Указания к выполнению контрольных работ по дисциплине «МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ»

Кемеровский технологический институт пищевой промышленности. Указания к выполнению контрольных работ по дисциплине «МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ» Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Кемеровский технологический институт пищевой

Подробнее

ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ C ЧАСТИЧНО ЗАДАННОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ Н.Ю. Таратынова. Введение. f(x) = (c, x) max

ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ C ЧАСТИЧНО ЗАДАННОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ Н.Ю. Таратынова. Введение. f(x) = (c, x) max ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ C ЧАСТИЧНО ЗАДАННОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ Н.Ю. Таратынова Черноморский Филиал Московского Государственного Университета, отделение прикладной математики ул. Гер.Севастополя, 7, г.севастополь,

Подробнее

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2004. Т. 45, N- 2 5 УДК 517.91 ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВИДА y = f(x, y) Л. В. Овсянников Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 630090

Подробнее

ПРИМЕНЕНИЕ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА К ЗАДАЧАМ ОПТИМИЗАЦИИ. РЕАЛИЗАЦИЯ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА ДЛЯ ЗАДАЧИ КОММИВОЯЖЕРА

ПРИМЕНЕНИЕ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА К ЗАДАЧАМ ОПТИМИЗАЦИИ. РЕАЛИЗАЦИЯ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА ДЛЯ ЗАДАЧИ КОММИВОЯЖЕРА УДК 519.856 В.А. Моров ПРИМЕНЕНИЕ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА К ЗАДАЧАМ ОПТИМИЗАЦИИ. РЕАЛИЗАЦИЯ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА ДЛЯ ЗАДАЧИ КОММИВОЯЖЕРА В статье рассматриваются применение генетического алгоритма к

Подробнее

Методы принятия оптимальных решений

Методы принятия оптимальных решений Агишева Д. К., Зотова С. А., Светличная В. Б., Матвеева Т. А. Методы принятия оптимальных решений Часть Волгоград г. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы

системы линейных уравнений Б.М.Верников Лекция 3: Однородные и неоднородные системы Лекция 3: Однородные и неоднородные системы линейных уравнений Система линейных уравнений Определение Линейным уравнением (или уравнением первого порядка) с n неизвестными x 1, x 2,..., x n называется

Подробнее

Лекция. Преобразование Фурье

Лекция. Преобразование Фурье С А Лавренченко wwwwrckoru Лекция Преобразование Фурье Понятие интегрального преобразования Метод интегральных преобразований один из мощных методов математической физики является мощным средством решения

Подробнее

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:

К теме Теория игр. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: К теме Теория игр На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют

Подробнее

Лекция 2: Многочлены

Лекция 2: Многочлены Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Понятие многочлена Определения Многочленом от одной переменной называется выражение вида

Подробнее

Ведение. Формулировка задач.

Ведение. Формулировка задач. Труды Петрозаводского государственного университета Серия Математика Выпуск 3, 996 УДК 57.54 ОЦЕНКА ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛОКАЛЬНО ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ И.Р.Каюмов и В.В.Старков В [] введены и изучались

Подробнее

Элементы линейного и выпуклого программирования

Элементы линейного и выпуклого программирования Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» В.М. Гончаренко Элементы

Подробнее

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Т А Матвеева В Б Светличная С А Зотова ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное бюджетное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ

Подробнее

Решение задач первого тура.

Решение задач первого тура. Задача 1. [Ноттингем-1][0 баллов] Решение задач первого тура. Ноттингем, XII век. В городе есть две группы жителей: бедные и богатые. Счастье любого человека в городе можно рассчитать по формуле H = Y

Подробнее

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Сибирский математический журнал Ноябрь декабрь, 27. Том 48, 6 УДК 517.53/.57 НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛА НАД H 1 В. Г. Рябых Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики

Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии. Кафедра высшей математики Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Кафедра высшей математики Высшая математика ( семестр Разделы Функции. Пределы. Дифференцирование. Интегрирование. Основные формулы по темам

Подробнее

Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Цель: познакомить читателя с симплекс-методом решения задачи линейного программирования и основными понятиями и теоремами теории двойственности

Подробнее

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения

С. А. Бутерин. обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения С А Бутерин обратная спектральная задача восстановления одномерного возмущения МАТЕМАТИКА УДК 517984 ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ВОЛЬТЕРРОВА ОПЕРАТОРА

Подробнее

Конспект лекций по высшей математике

Конспект лекций по высшей математике Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Брестский государственный технический университет» Кафедра высшей математики Конспект лекций по высшей математике для студентов экономических

Подробнее

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012

arxiv: v1 [math.ca] 29 Dec 2012 Оценка снизу скорости блуждания решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка через частоту нулей Тихомирова А.В. arxiv:11.6657v1 [math.ca] 9 Dec 1 В работе сравниваются две характеристики

Подробнее

Факультативно. Ковариантная форма физических законов.

Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Факультативно. Ковариантная форма физических законов. Ковариантность и контравариантность. Слово "ковариантный" означает "преобразуется так же, как что-то", а слово "контравариантный" означает "преобразуется

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ. где - текущая угловая координата,,, - сечения ЛП на входе и

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ. где - текущая угловая координата,,, - сечения ЛП на входе и Труды III международной межвузовской научно-практической конференции "Инновационные технологии и передовые решения". - 2015 - С. 43-47 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА ЗАДАЧ

Подробнее

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...}

{ z } { 1 2 3, 4,..., ( 1) n = ; ,, n,...} Тема Теория пределов Как мы понимаем слово «предел»? В повседневной жизни мы часто употребляем термин «предел», не углубляясь в его сущность В нашем представлении чаще всего предел отождествляется с понятием

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ к практической подготовке по дисциплине «Высшая математика: Математическое программирование» для студентов заочного

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им ПГ Демидова Кафедра дискретного анализа СБОРНИК ЗАДАЧ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Подробнее

Решение задач второго тура

Решение задач второго тура Задача 6 [Ноттингем-][ баллов] Решение задач второго тура Ноттингем, XXI век На рынке гаджетов действуют сто фирм, воспринимающие цену как заданную У половины фирм функция индивидуального предложения имеет

Подробнее

Линейная функция: (2.2.1) График этой функции приведён на рисунке 2.2.1.

Линейная функция: (2.2.1) График этой функции приведён на рисунке 2.2.1. 2.2. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ, ВЫСТУПАЮЩИЕ КАК МОДЕЛИ ТРЕНДА Если в ходе предварительного анализа временного ряда удалось обнаружить в его динамике некоторую закономерность, возникает задача описать математически

Подробнее

Лекция 4 Операции над нечеткими множествами

Лекция 4 Операции над нечеткими множествами Лекция 4 Операции над нечеткими множествами Прежде чем приступить к рассмотрению операций над нечеткими множествами следует привести некоторые важные соображения, которые необходимо принимать во внимание

Подробнее

Глава 6 МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ

Глава 6 МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ Глава 6 МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ Изучив материал главы 11 учебника, вы познакомились с основными идеями, на основе которых разработана современная теория макроэкономического равновесия. С вопросами

Подробнее

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Сибирский математический журнал Январь февраль, 2010. Том 51, 1 УДК 519.233.5+519.654 О СВЯЗИ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОСТОЙ И МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ В. Г. Панов, А. Н. Вараксин Аннотация. Рассмотрена

Подробнее

А.С. Хританков. Математическая модель характеристик производительности распределённых вычислительных систем

А.С. Хританков. Математическая модель характеристик производительности распределённых вычислительных систем Информатика, управление, экономика ТРУДЫ МФТИ 2 Том 2, (5) УДК 59687+475 АС Хританков Московский физико-технический институт (государственный университет) Математическая модель характеристик производительности

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора.

ТЕМА 3. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора. ТЕМА 3 Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного самосопряженного оператора Основные определения и теоремы Оператор A : E E, действующий в евклидовом пространстве, называется сопряженным

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный институт электроники и математики Технический университет) Л.А. МАНИТА УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

Подробнее

Лекция 9. Хаос в одномерных отображениях и диссипативных системах. 1. Одномерные отображения. 2. Универсальность Фейгенбаума. 3. Аттрактор Рёсслера.

Лекция 9. Хаос в одномерных отображениях и диссипативных системах. 1. Одномерные отображения. 2. Универсальность Фейгенбаума. 3. Аттрактор Рёсслера. Лекция 9. Хаос в одномерных отображениях и диссипативных системах. 1. Одномерные отображения. 2. Универсальность Фейгенбаума. 3. Аттрактор Рёсслера. 1. Одномерные отображения. 1.1 Треугольное отображение

Подробнее

ПолесГУ П.А. ПАВЛОВ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ПолесГУ П.А. ПАВЛОВ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Национальный банк Республики Беларусь УО «Полесский государственный университет» П.А. ПАВЛОВ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Учебно-методическое пособие для студентов нематематических

Подробнее

Труды Петрозаводского государственного университета Серия Математика Выпуск 13, 2006

Труды Петрозаводского государственного университета Серия Математика Выпуск 13, 2006 Труды Петрозаводского государственного университета Серия Математика Выпуск 13, 2006 УДК 517.54 Е. Г. Ганенкова ТЕОРЕМА РЕГУЛЯРНОСТИ УБЫВАНИЯ В ЛИНЕЙНО-ИНВАРИАНТНЫХ СЕМЕЙСТВАХ ФУНКЦИЙ В статье доказываются

Подробнее

Практикум по дифференциальному исчислению

Практикум по дифференциальному исчислению Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников А.Л. Магазинников Практикум по дифференциальному исчислению Учебное пособие

Подробнее

Преобразуем уравнение. Обозначим Тогда

Преобразуем уравнение. Обозначим Тогда Задача 1 Решения задач по математике «Плехановской олимпиады школьников» (очный тур 11 класс) Если двухзначное число разделить на некоторое целое число, то в частном получится 3 и в остатке 8 Если в делимом

Подробнее

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim

Òåîðåìû î ïðåäåëàõ. 1 Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè. lim. [f (x) + g (x)] = lim. f (x) + lim Òåîðåìû î ïðåäåëàõ Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Основные теоремы о пределах. Предел числовой последовательности. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Экспонента. Натуральный логарифм.

Подробнее

Оценивание скорости убывания экспоненциального хвоста распределения

Оценивание скорости убывания экспоненциального хвоста распределения Информационные процессы, Том 9, 3, 2009, стр. 210 215. c 2009 Давиденко. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ Оценивание скорости убывания экспоненциального хвоста распределения М.Г. Давиденко

Подробнее

Лекция 17: Евклидово пространство

Лекция 17: Евклидово пространство Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания При решении многих задач возникает необходимость иметь числовые

Подробнее

Лекция 7 Классификация задач и методов принятия решений План Классификация задач принятия решений Задачи принятия решений в условиях определенности.

Лекция 7 Классификация задач и методов принятия решений План Классификация задач принятия решений Задачи принятия решений в условиях определенности. Лекция 7 Классификация задач и методов принятия решений План 1. Классификация задач принятия решений 2. Классификация методов принятия решений 3. Характеристика методов теории полезности Классификация

Подробнее

ПАРАДОКС УГЛОВОЙ КРОМКИ ПРОФИЛЯ В НЕСТАЦИОНАРНОМ ПОТОКЕ. Д. Н. Горелов

ПАРАДОКС УГЛОВОЙ КРОМКИ ПРОФИЛЯ В НЕСТАЦИОНАРНОМ ПОТОКЕ. Д. Н. Горелов ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2002. Т. 43, N- 1 45 УДК 532.5:533.6 ПАРАДОКС УГЛОВОЙ КРОМКИ ПРОФИЛЯ В НЕСТАЦИОНАРНОМ ПОТОКЕ Д. Н. Горелов Омский филиал Института математики СО РАН, 644099 Омск

Подробнее

Конспект лекции «Уменьшение размерности описания данных: метод главных компонент» по курсу «Математические основы теории прогнозирования» 2011

Конспект лекции «Уменьшение размерности описания данных: метод главных компонент» по курсу «Математические основы теории прогнозирования» 2011 Конспект лекции «Уменьшение размерности описания данных: метод главных компонент» по курсу «Математические основы теории прогнозирования» 2 Проблема анализа многомерных данных При решении различных задач

Подробнее

10. Определенный интеграл

10. Определенный интеграл 1. Определенный интеграл 1.1. Пусть f ограниченная функция, заданная на отрезке [, b] R. Разбиением отрезка [, b] называют такой набор точек τ = {x, x 1,..., x n 1, x n } [, b], что = x < x 1 < < x n 1

Подробнее

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ООО «Резольвента» www.resolventa.ru resolventa@list.ru (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Теория пределов Составитель: доцент

Подробнее

Глава 11 МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ

Глава 11 МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ Глава 11 МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ Материал 11 -й главы следует отнести к разряду трудных, возможно, он наиболее сложен во всем курсе основ экономической теории. Это обусловлено, прежде всего, его

Подробнее

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ)

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ) 5 ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА РЯДЫ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 5 Программа курса «Ряды и обыкновенные дифференциальные уравнения» Аннотация: Изучаются числовые и степенные ряды а также

Подробнее

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда.

4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. 4. Понятие числового ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Под словом "ряд"в математическом анализе понимают сумму бесконечного числа слагаемых. Рассмотрим произвольную числовую последовательность

Подробнее

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ

ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 007. Т. 48, N- 5 УДК 539.3 ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРОГИБОВ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКИ Ю. В. Захаров, К. Г. Охоткин,

Подробнее

Тема 3: ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

Тема 3: ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА Тема 3: 1 ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА 2 План темы 3 «Транспортная задача»: 3.1. Постановка задачи, основные определения 3.2. Закрытая и открытая транспортная задача 3.3. Метод северо-западного угла 3.4. Метод

Подробнее

Лекция 4. Статистические методы распознавания, Распознавание при заданной точности для некоторых классов, ROC-анализ. Лектор Сенько Олег Валентинович

Лекция 4. Статистические методы распознавания, Распознавание при заданной точности для некоторых классов, ROC-анализ. Лектор Сенько Олег Валентинович Лекция 4 Статистические методы распознавания, Распознавание при заданной точности для некоторых классов, ROC-анализ Лектор Сенько Олег Валентинович Курс «Математические основы теории прогнозирования» 4-й

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ -1- ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 0. Постановка задачи Задача нахождения корней нелинейного уравнения вида y=f() часто встречается в научных исследований

Подробнее

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Ткачев С.Б. каф. Математического моделирования МГТУ им. Н.Э. Баумана ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ИУ5 4 семестр, 2015 г. Лекция 10. АЛГЕБРЫ: ПОЛУКОЛЬЦА Определение 10.1. Полукольцо это алгебра с двумя бинарными

Подробнее

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 16 октября 010 г. На современном уровне излагается теория условий оптимальности второго порядка в нелинейном

Подробнее

Занятие 1 «Спрос и его факторы» Вопросы для обсуждения:

Занятие 1 «Спрос и его факторы» Вопросы для обсуждения: Занятие 1 «Спрос и его факторы» 1. Спрос как характеристика рыночного поведения покупателей. Качественная и количественная характеристика спроса. Спрос на рынках потребительских благ. Спрос на рынках факторов

Подробнее