Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по естественнонаучным специальностям и направлениям подготовки Ростов на Дону 2016

2 Пособие подготовлено доцентом кафедры геометрии института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича ФГАОУВО «Южный федеральный университет» Ириной Алексеевной Чернявской. Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Ростовского военного института РВ Задорожная Н. С. кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и дискретной математики ЮФУ Кряквин В. Д. Практикум содержит необходимый для решения задач по аналитической геометрии теоретический материал, конкретные примеры с методическими советами, а также задания для самостоятельного решения и тесты для самопроверки. И. А. Чернявская Электронное пособие подготовлено в системе X T E X E Макет, компьютерная вёрстка Е. В. Ширяевой

3 Содержание 1 Прямая линия на плоскости Решение задач Задачи для самостоятельного решения Кривые второго порядка (элементарная теория) Эллипс Гипербола Парабола Решение задач Задачи для самостоятельного решения Общие уравнения кривых второго порядка Эллипс Гипербола Парабола Решение задач Задачи для самостоятельного решения Векторная алгебра Задачи для самостоятельного решения Прямая и плоскость в пространстве Задачи для самостоятельного решения Тесты для самопроверки 50 ы и указания 56 7 Ключи ответов к тестам 61 Список литературы 62 Предметный указатель 63 Об авторе 64 Интерфейс пользователя 65

4 1 ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ. 4 1 Прямая линия на плоскости Заметим, что не существует алгоритмов решения геометрических задач. Однако, решение любой задачи можно свести к последовательности простейших задач. Поэтому, сначала мы приведем решения таких простейших задач. Напомним основные виды уравнения прямой: уравнение прямой с угловым коэффициентом k, y = kx + b (1.1) y y 0 = k(x x 0 ) (1.2) уравнение прямой, проходящей через точку (x 0 ; y 0 ), с угловым коэффициентом k, уравнение прямой по двум точкам (x 1 ; y 1 ) и (x 2 ; y 2 ), y y 1 y 2 y 1 = x x 1 x 2 x 1 (1.3) Ax + By + C = 0; A 2 + B 2 0; (1.4) общее уравнение прямой, n = (A; B) вектор нормали прямой, общее уравнение прямой с известной точкой, уравнение прямой в отрезках на осях, нормальное уравнение прямой, A(x x 0 ) + B(y y 0 ) = 0 (1.5) x a + y b = 1; (1.6) x cos + y sin p = 0; (1.7) (A 1 x + B 1 y + C 1 ) + (A 2 x + B 2 y + C 2 ) = 0; ; (1.8) уравнение пучка прямых, заданного двумя пересекающимися прямыми: Условия параллельности прямых: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0: k 1 = k 2 или A 1 A 2 = B 1 B 2 : (1.9)

5 1.1 Решение задач. 5 Условия перпендикулярности прямых: Угол между прямыми: k 1 = 1 k 2 или A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0: (1.10) tg ' = k 2 k 1 1 k 1 k 2 : (1.11) Расстояние d от точки M 0 (x 0 ; y 0 ) до прямой Ax + By + C = 0: d = Ax 0 + By 0 + C A 2 + B 2 : (1.12) 1.1 Решение задач Задача 1.1. Составить уравнение прямой a, проходящей через точку M 0 (1; 2) параллельно прямой b: 3x + 5y 1 = 0. Решение. При решении задачи на составление уравнения прямой прежде всего надо выбрать тот вид уравнения, который наиболее удобен в данных условиях. Так как прямая b задана общим уравнением, то нам известен ее вектор нормали n = (3; 5). Так как прямая a параллельна прямой b, то n является и ее вектором нормали. Поэтому удобнее выбрать уравнение вида (1.5), получим : a: 3x + 5y 13 = 0. a : 3(x 1) + 5(y 2) = 0 или 3x + 5y 13 = 0: Задача 1.2. Составить уравнение прямой a, проходящей через точку M 0 (5; 1) перпендикулярно прямой b: y = 6x 7. Решение. Из уравнения прямой b находим ее угловой коэффициент k b = 6. Так как a b, то k a = 1=k b. Поэтому удобнее выбрать уравнение вида (1.2), получим : a: x + 6y + 1 = 0. a : y + 1 = 1 (x 5) или x + 6y + 1 = 0: 6 Задача 1.3. Составить уравнение прямой a, проходящей через точку M 0 (7; 2) перпендикулярно прямой b: 5x + 3y + 1 = 0. Решение. Задача 1.3 отличается от задачи 1.2 только видом уравнения прямой b. В этом случае можно воспользоваться условием перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями, A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0, получим 5A 2 + 3B 2 = 0 или A 2 B 2 = 3 5 :

6 1.1 Решение задач. 6 Пусть, например, A 2 = 3, B 2 = 5. Теперь удобно записать уравнение прямой a вида (1.5): a : 3(x 7) 5(y + 2) или 3x 5y 31 = 0: : a: 3x 5y 31 = 0. Замечание. Если у одной из двух перпендикулярных прямых вектор нормали n 1 = (A; B), то у второй вектором нормали может служить вектор n 2 = (B; A). Задача 1.4. Найти точку M пересечения двух прямых a : 3x y + 1 = 0 и b : x + 2y = 0: Решение. Координаты точки пересечения должны удовлетворять уравнению прямой a и уравнению прямой b. Поэтому, следует решить систему уравнений: { { { 3x y + 1 = 0; x = 2y; x = 2=7; ( ) M : = = x + 2y = 0: 6y y + 1 = 0: y = 1=7: Задача 1.5. Составить уравнение прямой a, проходящей через точку пересечения прямых c: 11x 13y + 6 = 0, b: 7x + 8y 15 = 0 и через начало координат. Решение. Будем искать прямую a как прямую из пучка, заданного прямыми c и b. Уравнение прямой a запишем в виде (1.8) a : (11x 13y + 6) + (7x + 8y 15) = 0: Так как начало координат O(0; 0) принадлежит прямой a, то координаты (0; 0) должны удовлетворять уравнению прямой a, отсюда следует 6 15 = 0; или = 5: 2 Пусть = 5, = 2. Подставим эти значения в уравнение пучка a : 5(11x 13y + 6) 2(7x + 8y 15) = 0; или a : 41x 81y = 0: : a: 41x 81y = 0.

7 1.1 Решение задач. 7 Задача 1.6. Найти тангенс угла между прямыми a: x + 2y 1 = 0 и b: 2x + 3y + 5 = 0: Решение. Найдем угловые коэффициенты прямых. Для этого перепишем уравнения прямых в виде (1.1) a : y = 1 2 x ; k a = 1 2 ; b : y = 2 3 x 5 3 ; k b = 2 3 : Воспользуемся формулой для нахождения тангенса угла между прямыми tg = k 2 k k 1 k 2 : tg = 1 + ( ( ) ( 2 3 ) 1 2 ) = = 1 8: : tg = 1=8. Замечание. В этой задаче мы воспользовались формулой для нахождения ориентированного угла между прямыми. Если ориентация угла не важна, то верным будет также ответ tg = 1=8. Задача 1.7. Найти расстояние от точки M 0 (5; 6) до прямой a: y = 5x 6. Решение. Воспользуемся формулой для нахождения расстояния от точки M 0 (x 0 ; y 0 ) до прямой a: Ax + By + C = 0 d(m 0 ; a) = Ax 0 + By 0 + C A 2 + B 2 : Запишем уравнение прямой a в общем виде a: 5x y 6 = 0. Тогда d(m 0 ; a) = = : : d(m 0 ; a) = Рассмотрим теперь решение более сложных типовых задач. Решение этих задач следует начинать с плана действий, в котором задача будет разбита на простейшие задачи это и есть самая важная часть решения.

8 1.1 Решение задач. 8 Задача 1.8. Даны координаты вершин треугольника A(1; 2), B(3; 2), C(4; 5). Составить уравнение высоты AD треугольника. План решения: 1) Найдем уравнение прямой BC по двум точкам, 2) Составим уравнение прямой, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BC: A B D BC : или 7x y 23 = 0. x = y ; C AD : 1 (x 1) + 7 (y 2) = 0; или x + 7y 15 = 0. : AD: x + 7y 15 = 0. Задача 1.9. Даны две прямые a: x + 2y 1 = 0 и b: 3x y 3 = 0. Найти прямую c так, чтобы прямая b была биссектрисой угла между прямыми a и c. План решения: 1) Найдем точку M 0 пересечения прямых a и b, 2) Найдем угловые коэффициенты прямых a и b, 3) Воспользуемся равенством углов 1 и 2 : tg 1 = tg 2. Найдем k c. M 0 α 1 α 2 a b c 4) Составим уравнение прямой c вида (1.2) y y 0 = k c (x x 0 ). Решение. 1) M 0 : { x + 2y 1 = 0; 3x y 3 = 0: = { x = 1; y = 0: M 0 (1; 0). 2) a: y = 1 2 x + 1 2, k a = 1 2, b: y = 3x 3, k b = 3. 3) tg 1 = tg 2 = k b k c 1 + k b k a = k a k b 1 + k a k b =

9 1.1 Решение задач. 9 = 3 k c 1 + 3k c = 1= =2 = k c = ) c: y 0 = 2 (x 1) или 2x + 11y 2 = : c: 2x + 11y 2 = 0. Задача Найти точку M, симметричную точке M (2; 3) относительно прямой a: 2x + 3y 8 = 0. План решения: 1) Составим уравнение прямой MM, проходящей через точку M перпендикулярно прямой a, 2) Найдем точку O пересечения прямых a и MM, 3) Так как MO = OM, то воспользуемся формулами деления отрезка MM точкой O пополам. M O a M 1 Решение. 1) MM : 3(x 2) 2(y 3) = 0, или 3x 2y 12 = 0. { 2x + 3y 8 = 0; 2) O: = O(4; 0). 3x 2y 12 = 0: 3) x x 1 + x 2 0 =, y y 1 + y 2 0 = 2 2 : M (6; 3). = 4 = 2 + x 2, 0 = 3 + y Задача Найти расстояние между прямыми a : 3x 2y + 5 = 0 и b : 6x 4y 7 = 0: = x 2 = 6, y 2 = 3. Заметим, что так как коэффициенты при x, y в уравнениях прямой пропорциональны то прямые параллельны. 3 6 = 2 ; 4 Решение. Будем искать расстояние между параллельными прямыми как расстояние от точки M 0 на прямой a до прямой b. 1) Выберем произвольную точку M 0 на прямой a. Для этого зададим произвольно x 0, например, x 0 = 1, подставим в уравнение a и найдем y 0 : y 0 = 1, M 0 ( 1; 1). a b M 0 d

10 1.1 Решение задач. 10 2) Найдем d(m 0 ; b): d(m 0 ; b) = 6 ( 1) = = : : d(a; b) = Задача Треугольник ABC задан координатами вершин A(1; 2), B( 1; 4), C(3; 5). Найти площадь треугольника. План решения: 1) Найдем длину стороны AC. B 2) Найдем уравнение прямой AC. 3) Найдем длину высоты BD как расстояния от точки B до прямой AC. 4) Найдем площадь треугольника по формуле S = 1 A AC BD : 2 D C Решение. 1) AC = (3 1) 2 + (5 2) 2 = 13. 2) AC: x 1 y 3 1 = 2, или 3x 2y + 1 = ( 1) ) BD = d(b; AC) = = ) S = = 5 (кв. ед.). : S = 5. Задача Известны две вершины треугольника A(6; 5), B(10; 1) и точка H(8; 1) пересечения его высот. Найти координаты вершины C. План решения: A Будем искать точку C как точку пересечения двух прямых AC и BC. Для этого 1) Найдем вектор AH вектор нормали прямой BC. 2) Составим уравнение прямой BC вида (1.5). 3) Найдем вектор BH вектор нормали прямой AC. 4) Составим уравнение прямой AC вида (1.5). H B 5) Найдем точку C пересечения прямых BC и AC. C

11 1.1 Решение задач. 11 Решение. 1) AH = (8 6; 1 5) = (2; 4). 2) BC: 2(x 10) 4(y 1) = 0, или x 2y 8 = 0. 3) BH = (8 10; 1 1) = ( 2; 0). 4) AC: 2 (x 6) + 0 (y 5) = 0, или x 6 = 0. { x 2y 8 = 0; 5) C: : x 6 = 0: C(6; 1). = C(6; 1). Задача Дано уравнение одной из сторон квадрата 3x 4y + 1 = 0 и точка S(1; 1) пересечения его диагоналей. Составить уравнения остальных сторон. План решения: Пусть дано, например, уравнение стороны AB: 3x 4y + 1 = 0. 1) Найдем d(s; AB). B C 2) Составим общее уравнение стороны CD, учитывая, что CD AB и d(s; CD) = d(s; AB). 3) Составим общие уравнения сторон BC и AD, S учитывая, что они перпендикулярны прямой AB и d(s; BC) = d(s; AD) = d(s; AB). A D Решение. 1) d(s; AB) = ( 1) = ) CD: 3x 4y + C = 0, d(s; CD) = 8 5 = = ( 1) + C 5 = 8 5 = C + 7 = 8 = = C 1 = 1; C 2 = 15 = CD : 3x 4y 15 = 0 (при C 1 = 1 получим известную сторону AB). 3) BC: 4x + 3y + C = 0, d(s; BC) = 8 5 = ( 1) + C 5 = 8 5 = C + 1 = 8 = C 1 = 7; C 2 = 9 = : BC: 4x + 3y + 7 = 0, AD: 4x + 3y 9 = 0.

12 1.1 Решение задач. 12 Для следующих задач мы приведем планы решения разбивку на простейшие задачи, которые предлагаем решить самостоятельно. Задача Даны уравнения двух сторон параллелограмма x 2y + 1 = 0 и 3x + 5y 8 = 0 и точка пересечения его диагоналей M (1; 2). Составить уравнения двух других сторон. План решения: Заметим, что даны непараллельные стороны, например, B M C AB : x 2y + 1 = 0; BC : 3x + 5y 8 = 0: A D 1) Найдем точку B пересечения прямых AB и BC. 2) Найдем точку D, учитывая, что точка M середина отрезка BD. 3) Через точку D проведем прямую CD параллельно AB и прямую AD параллельно BC. : CD: x 2y + 5 = 0, AD: 3x + 5y 18 = 0. Задача Вершина треугольника находится в точке A( 2; 9), а биссектрисами двух его углов служат прямые 2x 3y + 18 = 0, y + 2 = 0. Составить уравнение стороны, противоположной вершине A. Заметим, что точка A не лежит на заданных прямых, т. к. ее координаты не удовлетворяют уравнениям этих прямых. Пусть, например, CD : 2x 3y + 18 = 0; BE : y + 2 = 0: План решения: 1) Т. к. биссектриса угла является его осью A симметрии, то точка A, симметричная точке A относительно прямой CD лежит на прямой BC. Найдем точку A E. D 2) Аналогично, найдем A, симметричную точке A относительно прямой BE. Она также лежит на прямой BC. 3) Составим уравнение прямой BC по двум точкам A и A. C A A : BC: 4x y 5 = 0. B

13 1.1 Решение задач. 13 Задача Составить уравнения сторон квадрата ABCD, зная его центр S(1; 6) и по точке на двух непараллельных сторонах: M (4; 9) на стороне AB, N ( 5; 4) на стороне BC. B N C План решения: 1) Будем искать уравнение прямой AB в виде (1.2): S y y M = k(x x M ): M Ищем k. A D 2) Так как BC AB, то уравнение BC ищем также в виде (1.2): y y N = 1 k (x x N ): Тем самым уже обеспечено, что ABCD прямоугольник. 3) Так как S центр квадрата, то d(s; AB) = d(s; BC): Из этого условия найдем k. Так как в формуле для расстояния от точки до прямой содержится знак модуля, то получим два варианта решения. : A 1 B 1 : 3x + 5y 57 = 0, B 1 C 1 : 5x 3y + 37 = 0, C 1 D 1 : 3x + 5y 9 = 0, D 1 A 1 : 5x 3y 11 = 0; A 2 B 2 : 9x y 27 = 0, B 2 C 2 : x + 9y 31 = 0, C 2 D 2 : 9x y + 21 = 0, D 2 A 2 : x + 9y 79 = 0.

14 1.2 Задачи для самостоятельного решения Задачи для самостоятельного решения 1.1. Зная уравнения двух сторон параллелограмма x 3y = 0 и 2x + 5y + 6 = 0 и одну из его вершин (4; 1), составить уравнение двух других сторон Даны две стороны треугольника x + 3y 1 = 0; 3x + 5y 6 = 0 и точка пересечения его высот (0; 0). Найти уравнение третьей стороны Найти проекцию точки ( 5; 6) на прямую 7x 13y 105 = Дано уравнение стороны ромба x + 3y 8 = 0 и уравнение его диагонали 2x+y +4 = 0. Составить уравнение остальных сторон, зная, что точка ( 9; 1) лежит на стороне, параллельной данной Найти расстояние между параллельными прямыми 12x 16y 480 и 3x 4y + 43 = 0: 1.6. Составить уравнение сторон квадрата ABCD, зная по точке на каждой из сторон: P (2; 1) на AB; Q(0; 1) на BC, R(3; 5) на CD, S( 3; 1) на DA.

15 2 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ) Кривые второго порядка (элементарная теория) Приведем основные факты, необходимые для решения задач. 2.1 Эллипс Каноническое уравнение эллипса x 2 a + y2 = 1 (a > b); (2.1) 2 b2 y c 2 = a 2 b 2 ; b F 1 ( c; 0), F 2 (c; 0) фокусы эл- F 2 O c F 1 a x липса; " c = a эксцентриситет; x = a/ε x = a/ε x = ± a " директрисы; условие касания эллипса и прямой Ax + By + C = 0 A 2 a 2 + B 2 b 2 = C 2 ; уравнение касательной с известной точкой (x 0 ; y 0 ) касания xx yy 0 a + 0 = 1: 2 b Гипербола Каноническое уравнение гиперболы x 2 a y2 = 1: (2.2) 2 b2 y c 2 = a 2 + b 2, F 1 ( c; 0), F 2 (c; 0) b фокусы гиперболы; F 2 O a c F 1 x " c = a эксцентриситет; x = ± a " директрисы; x= a/ε x=a/ε y = ± b a x асимптоты.

16 2.3 Парабола. 16 условие касания гиперболы и прямой Ax + By + C = 0 A 2 a 2 B 2 b 2 = C 2 ; уравнение касательной с известной точкой (x 0 ; y 0 ) касания 2.3 Парабола Каноническое уравнение параболы xx 0 a 2 yy 0 b 2 = 1: y 2 = 2px (p > 0); y ( p ) F 2 ; 0 фокус; x = p 2 директриса; O x=p/2 F x x= p/2 Условие касания параболы и прямой Ax + By + C = 0; pb 2 = 2AC: Уравнение касательной с известной точкой (x 0 ; y 0 ) касания yy 0 = p(x + x 0 ):

17 2.4 Решение задач Решение задач Задача 2.1. Найти фокусы, эксцентриситет, директрисы эллипса x y2 16 = 1: Решение. a = 5, b = 4, c = = 3. Фокусы F 1 ( 3; 0), F 2 (3; 0), эксцентриситет " = c=a, или " = 3=5 (заметим, что эксцентриситет эллипса " < 1). Директрисы x = ±a=", или x = ±5=3. Задача 2.2. Найти фокусы, эксцентриситет, директрисы эллипса x2 9 + y2 25 = 1. Решение. Заметим, прежде всего, что a = 3, b = 5 и b > a. Следовательно большая ось эллипса лежит на оси Oy (обратите внимание на чертеж). Поэтому фокусы расположены на оси Oy. c = 25 9 = 4, F 1 (0; 4); F 2 (0; 4); y O F 2 F 1 y= b ε x " = c=b, или " = 4=5. y= b ε Директрисы параллельны малой оси эллипа, т. е. в этом случае они параллельны оси Oy y = ±b=", или y = ±5=4. Задача 2.3. Составить каноническое уравнение эллипса, зная его фокус (2; 0) и эксцентриситет " = 1=2. Решение. Фактически нужно найти полуоси a и b эллипса. Воспользуемся определениями фокусов и эксцентриситета: F 2 (c; 0); или F 2 (2; 0) = c = 2; " = c a ; или " = 1 2 Учтем, кроме того, связь a, b, c: = c a = 1 2 = a = 4: c 2 = a 2 b 2 = b 2 = 16 4 = 12: : x y2 12 = 1.

18 2.4 Решение задач. 18 Задача 2.4. Составить уравнения касательных к эллипсу x2 6 + y2 4 прямой `: 3x 2y + 5 = 0. = 1, параллельных Решение. Уравнения прямых, параллельных `, имеют вид 3x 2y +C = 0. Потребуем выполнение условия касания A 2 a 2 + B 2 b 2 = C 2 = = C 2 = C = ± 70: : Две касательные: 3x 2y + 70 = 0 и 3x 2y 70 = 0. Задача 2.5. Составить уравнения касательных к эллипсу x 2 + 2y 2 = 8, проходящих через точку M (2; 2). Решение. Проверим, лежит ли точка M на эллипсе: ( 2) 2 = 8 это верное равенство, значит точка M лежит на эллипсе, т. е. является точкой касания. В этом случае через точку M проходит единственная касательная и можно записать уравнение касательной с известной точкой касания: xx yy 0 a + 0 = 1: 2 b 2 Сначала уравнение эллипса перепишем в виде x2 8 + y2 4 = 1, тогда 2x 2y 8 + = 1 4 уравнение касательной. x 2y : 4 + = 1. 4 Задача 2.6. Составить уравнения касательных к эллипсу x2 8 + y2 4 через точку M (0; 6). = 1, проходящих Решение. Проверим, лежит ли точка M на эллипсе: , следовательно точка M не лежит на эллипсе. В этом случае есть две касательные, проходящие через точку M. Будем искать уравнение касательной в виде y y 0 = k(x x 0 ), или y 6 = kx эта прямая должна касаться эллипса. Потребуем выполнение условие касания A 2 a 2 + B 2 b 2 = C 2, или k = 36; k 2 = 4; k = ±2: : 2x y + 6 = 0, 2x y + 6 = 0. y O M x

19 2.4 Решение задач. 19 Задача 2.7. Найти фокусы, эксцентриситет, директрисы, асимптоты гиперболы x 2 16 y2 9 = 1: Решение. Из уравнения гиперболы находим a = 4, b = 3. F 1 ( c; 0), F 2 (c; 0), c = = 5, следовательно, фокусы: F 1 ( 5; 0), F 2 (5; 0). Эксцентриситет по определению " = c=a, или " = 5=4 (заметим, что для гиперболы " > 1). Директрисы: x = ± a ", или x = ±16 5. Асимптоты: y = ± b a x, или y = ±3 4 x. Задача 2.8. Составить уравнение гиперболы с асимптотами y = ±x и директрисами x = ± 6. Решение. Из определения асимптот y = ± b a x и директрис x = ±a " следует, что в данной задаче b a = 1, a " = 6, или { a = b; a 2 = 6c: Так как c 2 = a 2 + b 2, то получим систему уравнений a = b; a 2 = 6c; c 2 = a 2 + b 2 : = c 2 = 2 6c; a 2 = 6c; a = b: Учитывая, что c 0, находим { c 2 = 2 6; a 2 = b 2 = 12: : Уравнение гиперболы x y2 12 = 1. = 1, перпенди- Задача 2.9. Составить уравнения касательных к гиперболе x2 y2 9 4 кулярных прямой x + 2y = 0. Решение. Уравнения всех прямых, перпендикулярных прямой x + 2y = 0, имеют вид 2x y + C = 0. Потребуем выполнение условия касания A 2 a 2 B 2 b 2 = C 2, или = C 2 ; C 2 = 32; C = ±4 2: : 2x y = 0, 2x y 4 2 = 0.

20 2.4 Решение задач. 20 Задача Найти фокус и директрису параболы y 2 = 32x. Решение. Из определения фокуса и директрисы ( p ) F 2 ; 0 ; x = p 2 следует, что для данной параболы фокус F (8; 0) (обратите внимание, что p = 16), директриса x = 8. Задача Найти фокус и директрису параболы x 2 = 16y. Решение. Обратите внимания на чертеж. По определению фокус параболы в этом случае y F (0; p=2) ; директриса y = p=2, или F (0; 4); (p = 8); y = 4: F x Задача Составить уравнения касательных к параболе y 2 = 24x, проходящих через точку M ( 2; 4). Решение. Проверим, лежит ли точка M на параболе: ( 2), следовательно точка M не является точкой касания. Будем искать уравнение касательной в виде y 4 = k(x + 2) или kx y + 2k + 4 = 0. Потребуем выполнения условия касания pb 2 = 2AC, или 12 = 2 k (2k + 4); k 2 + 2k 3 = 0; k 1 = 3; k 2 = 1: : 3x + y + 2 = 0, x y + 6 = 0.

21 2.5 Задачи для самостоятельного решения Задачи для самостоятельного решения 2.1. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b = На эллипсе 9x y 2 = 225 найти точку, расстояние которой от правого фокуса (r 1 ) в четыре раза больше ее расстояния от левого фокуса (r 2 ) Указание. Воспользоваться формулами для фокальных радиус-векторов r 1 = a + "x, r 2 = a "x Составить уравнения касательных к эллипсу x 2 + 4y 2 = 20, перпендикулярных биссектрисе первого координатного угла Найдите фокусы, эксцентриситет, директрисы и асимптоты гиперболы x 2 9 y2 16 = 1: Указание. Обратите внимание на знак правой части уравнения гиперболы и сделайте чертеж Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что вещественная полуось a = 2 5, а эксцентриситет " = 1; Найти эксцентриситет гиперболы, асимптота которой составляет с вещественной осью угол Составить уравнения касательных к гиперболе x2 y2 2 6 прямой 5x 2y + 1 = Найти фокус и директрису параболы x 2 4y = 0. = 1, параллельных 2.9. На параболе y 2 = 6x найти точку, расстояние которой от фокуса равно 4; Составить уравнение касательной к параболе y 2 прямой x + y 5 = 0. = 8x, параллельной

22 3 ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА Общие уравнения кривых второго порядка В этом разделе приведены решения задач двух основных типов: 1) составить общее уравнение кривой по заданным геометрическим условиям. 2) по общему уравнению кривой определить тип кривой и ее размеры (приведение общего уравнения кривой к каноническому виду). Заметим, прежде всего, что уравнение кривой 2-го порядка имеет канонический вид, если система декартовых прямоугольных координат выбрана специальным образом, например, для эллипса: начало координат совпадает с центром эллипса, а оси координат служат осями симметрии эллипса (такое расположение кривой назовем каноническим). В любой другой системе координат уравнение кривой имеет, так называемый, общий вид: ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0: Для составления общих уравнений кривых используют их геометрические свойства, которые полностью определяют кривые и могут быть приняты за определения кривых. 3.1 Эллипс Определение 1. Эллипсом называют множество точек плоскости, для каждой из которых сумма её расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная, большая расстояния между фиксированными точками (фиксированные точки называют фокусами эллипса): MF 1 + MF 2 = 2a; где M (x; y) произвольная точка эллипса, 2a большая ось эллипса. y b M F 2 O F 1 a x

23 3.2 Гипербола. 23 Определение 2. Эллипсом называют множество точек плоскости, для каждой из которых отношение её расстояния от фиксированной точки (фокус) к её расстоянию до фиксированной прямой (директриса, ближайшая к данному фокусу) есть величина постоянная, меньшая единицы (эксцентриситет эллипса): MF d(m; дир.) = ": 3.2 Гипербола Определение 3. Гиперболой называют множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности её расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная, меньшая расстояния между фиксированными точками (фиксированные точки называют фокусами гиперболы): MF 1 MF 2 = 2a; где M (x; y) произвольная точка гиперболы, 2a вещественная ось гиперболы. y M F 2 O a F1 x Определение 4. Гиперболой называют множество точек плоскости, для каждой из которых отношение её расстояния от фиксированной точки (фокус) к её расстоянию до фиксированной прямой (директриса, ближайшая к данному фокусу) есть величина постоянная, большая единицы (эксцентриситет гиперболы): MF d(m; дир.) = ":

24 3.3 Парабола Парабола Определение 5. Параболой называют множество точек плоскости, равноудалённых от фиксированной точки (фокус) и от фиксированной прямой (директриса): MF d(m; дир.) = 1: y M x= p F x= p 2 x 3.4 Решение задач Задача 3.1. Найти уравнение эллипса с фокусами F 1 (1; 0), F 2 (0; 1), если большая ось его равна 2a = 2. Решение. Как видно из чертежа, расположение эллипса не является каноническим. Воспользуемся определением эллипса: для любой точки M (x; y) эллипса MF 1 + MF 2 = 2a. Запишем это равенство в координатах: (x 1) 2 + y 2 + x 2 + (y 1) 2 = 2: Далее упростим это уравнение стандартным образом: (x 1) 2 + y 2 = 2 x 2 + (y 1) 2 ; y 1 O 1 x x 2 2x y 2 = 4 4 x 2 + (y 1) 2 + x 2 + y 2 2y + 1;

25 3.4 Решение задач x 2 + (y 1) 2 = 2 + x y; 4x 2 + 4y 2 8y + 4 = 4 + x 2 + y 2 + 4x 4y 2xy: : 3x 2 + 2xy + 3y 2 4x 4y = 0 общее уравнение эллипса. Задача 3.2. Составить уравнение гиперболы, один из фокусов которой F (1; 1), соответствующая ему директриса `: x + y 1 = 0 и эксцентриситет " = 2. Решение. Как следует из условия, расположение гиперболы не является каноническим. Воспользуемся теоремой: для любой точки M (x; y) гиперболы MF = ". Запишем это равенство в координатах: d(m; `) (x 1) 2 + (y 1) 2 = 2: x + y 1 2 Далее упростим это уравнение: (x 1) 2 + y 2 = x + y 1 ; x 2 2x y 2 2y + 1 = x 2 + y xy 2x 2y: : 2xy 1 = 0 общее уравнение гиперболы. Задача 3.3. Составить уравнение параболы с фокусом F (2; 3) и директрисой ` : x 2y + 1 = 0: Решение. Как следует из условия, расположение параболы не является каноническим. Воспользуемся определением параболы: для любой точки M (x; y) параболы MF = d(m; `): Запишем это равенство в координатах: (x 2) 2 + (y 3) 2 = x 2y : Далее упростим уравнение: 5(x 2 4x y 2 6y + 9) = x 2 + 4y xy + 2x 4y: : 4x 2 + 4xy + y 2 22x 26y + 64 = 0 общее уравнение параболы.

26 3.4 Решение задач. 26 Рассмотрим теперь решения задач на определение типа кривой по ее общему уравнению. Одним из методов решения таких задач является метод перехода к новой системе координат, в которой кривая расположена канонически. Как известно, перейти к новой системе координат можно в два этапа: совершить поворот осей координат и затем выполнить параллельный перенос. Известно, что всегда можно найти такой угол, при повороте на который осей координат в новом уравнении кривой исчезнет слагаемое с произведением переменных. Задача 3.4. Определить тип линии и ее размеры по общему уравнению 5x 2 + 4xy + 8y 2 32x 56y + 80 = 0: (3.1) Решение. 1) Перейдем к новой системе координат, совершив поворот осей на угол : { x = x cos y sin ; y = x sin + y cos : Подставим эти выражения x, y в уравнение кривой, раскроем скобки, выпишем коэффициент при произведении x y и потребуем, чтобы он обратился в ноль: 5 ( 2 cos sin ) + 4 (cos 2 sin 2 ) sin cos = 0; получим уравнение для отыскания угла поворота осей, решим его: 4 sin 2 6 sin cos 4 cos 2 = 0; 2 tg 2 3 tg 2 = 0; tg 1;2 = 3 ± 25 ; 4 tg 1 = 2; tg 2 = 1 2 : Выберем, например, tg 1 = 2. Найдем cos 1 = 1 = 1 ; sin 1 = 1 + tg tg 1 = 2 : 1 + tg Запишем формулы поворота осей: x = x 2y 5 ; y = 2x + y 5 :

27 3.4 Решение задач. 27 Подставим эти выражения x, y в уравнение (3.1), раскроем скобки приведем подобные члены, при этом коэффициент при произведении x y обращается в ноль: ( ) ( ( ) ) x y ) ( ) ) + x ( y ( = 0; или 9x 2 + 4y x y + 80 = 0: (3.2) 2) Теперь будем искать параллельный перенос, который приведет уравнение кривой к каноническому виду. Для этого можно применить прием «дополнение до полных квадратов»: сгруппируем слагаемые, содержащие x, и слагаемые, содержащие y, в уравнении (3.2) вынося при этом коэффициент при квадратах x, y за скобки 9 ( ) ( ) x 2 16 x + 4 y y + 80 = 0: 5 Дополним слагаемые в каждой скобке до полных квадратов: ( ) ( ) 9 x 2 16 x y y = 0; 5 5 ( ) 9 x 8 2 ( ) + 4 y = 36: (3.3) 5 5 Рассмотрим параллельный перенос осей по формулам x = x 8 ; 5 y = y : или В новой системе координат уравнение (3.3) примет вид 9x 2 + 4y 2 = 36; x y 2 9 = 1: Итак, заданная кривая есть эллипс с полуосями a = 2, b = 3.

28 3.4 Решение задач. 28 Задача 3.5. Определить тип линии и ее размеры по общему уравнению x 2 4xy + 4y 2 + 4x 3y 7 = 0: (3.4) Решение. 1) { x = x cos y sin ; y = x sin + y cos : Подставим эти выражения x, y в уравнение, найдем коэффициент при x y и приравняем его к нулю: 2 cos sin 4(cos 2 sin 2 ) sin cos = 0; 2 sin sin cos 2 cos 2 = 0; 2 tg tg 2 = 0; tg 1;2 = 3 ± 25 4 = 3 ± 5 ; 4 tg 1 = 1 2 ; tg 2 = 2: Выберем, например, tg 1 = 1 2. Находим cos 1 = 2 5 ; sin 1 = 1 5 : Запишем формулы найденного поворота осей координат x = 2x y 5 ; y = x + 2y 5 : Подставим эти выражения x, y в уравнение (3.4), раскроем скобки и приведем подобные слагаемые ( ) x x ( ) 1 + y (4 5 ( ( ) + y ( 1 5 ) 3 ) ) 7 = 0; или 5y 2 + 5x 2 5y 7 = 0: (3.5) 2) Будем искать параллельный перенос осей. Из уравнения (3.5) уже видно, что речь идет о кривой параболического типа. Сначала дополним до полного квадрата слагаемые с переменной y : ( ) 5 y y x 7 = 0;

29 3.4 Решение задач. 29 или 5 ( y ) 2 = 5x + 8: Теперь вынесем за скобку справа коэффициент при x : ( ) 5 y = ( ) 5 x 8 : (3.6) 5 5 Совершим параллельный перенос по формулам x = x 8 5 ; y = y : В новой системе координат уравнение (3.6) привет вид 5y 2 = 5x или y 2 = 1 5 x : Итак, заданная кривая есть парабола с параметром p =

30 3.5 Задачи для самостоятельного решения Задачи для самостоятельного решения 3.1. Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет " = 1=2, фокус F (3; 0) и соответствующая директриса x + y 1 = Составить уравнение эллипса с фокусами F 1 (1; 3), F 2 (3; 1), если расстояние между директрисами равно Составить уравнение гиперболы, зная расстояние между вершинами 24 и фокусы F 1 ( 10; 2), F 2 (16; 2) Составить уравнение гиперболы, зная один из фокусов ( 2; 2), соответствующую директрису 2x y 1 = 0 и точку M (1; 2) на гиперболе Составить уравнение параболы с фокусом F (2; 1) и директрисой x y 1 = Привести уравнение кривой к каноническому виду, используя преобразование координат: а) 3x xy + 3y 2 2x 14y 13 = 0. б) 25x 2 14xy + 25y x 64y 224 = 0. в) 9x xy + 4y 2 24x 16y + 3 = 0. г) 9x 2 24xy + 16y 2 20x + 110y 50 = 0.

31 4 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Векторная алгебра В этом разделе приведены решения простейших задач векторной алгебры в координатной форме: умножение вектора на число, сложение (вычитание) векторов; скалярное, векторное произведение векторов; смешанное произведение трех векторов. Основная цель этих задач подготовить аппарат, который успешно используется при решении задач на тему «прямая и плоскость в пространстве». Предполагается, что во всех задачах координаты векторов заданы в ортонормированном базисе. Задача 4.1. Найти единичный вектор, сонаправленный с вектором a = (2; 1; 3): Эта операция называется нормированием вектора a и часто используется при решении более сложных задач. Решение. Обозначим искомый вектор a. Найдем длину вектора a: a = a 21 + a22 + a23 = 14: Умножим вектор a на число 1= a, получим вектор единичной длины: a = a ( ) 2 a = ; 1 3 ; : Задача 4.2. Даны векторы a = (2; 3; 1), b = (4; 0; 5). Найти единичный вектор l, противоположно направленный с вектором c = 3a 2b. Решение. Найдем координаты вектора c: c = 3 (2; 3; 1) 2 (4; 0; 5) = (6 8; 9 0; 3 10) = ( 2; 9; 13): Пронормируем вектор c: Тогда l = c = c = ( ; c c = ; ( c 2 = ; ). ) 9 ; 13 :

32 4 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. 32 Задача 4.3. Найти угол между векторами a = (2; 1; 5) и b = ( 3; 2; 1). Решение. Воспользуемся формулой a a a2 3 b b2 2 + b2 3 (a; b) a cos(â; b) = a b = 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = = = 1 = 1 : : = arccos Задача 4.4. Найти проекцию вектора a = (3; 2; 5) на ось, заданную вектором u = (2; 1; 2): Решение. Воспользуемся формулой Пронормируем вектор u: u = пр. u a = (a; u ): u u = u ( 2 3 = пр. u a = (a; u ) = ; 1 3 ; 2 3 ( ) 1 3 ) : = 14 3 : Задача 4.5. Найти координаты векторного произведения векторов a = (8; 3; 1) и b = (2; 4; 7): Решение. Будем искать векторное произведение «в форме определителя третьего порядка» (i, j, k это векторы ортонормированного базиса): i j k [a b] = = i(21 + 4) j(56 2) + k( 32 6) = = 25i 54j 38k = (25; 54; 38):

33 4 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. 33 Задача 4.6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a = (3; 1; 1) и b = (4; 2; 3): Решение. Воспользуемся геометрическим смыслом длины векторного произведения: [a b] площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b. Найдем координаты [a b]: i j k [a b] = = i(3 2) j( 9 4) + k(6 + 4) = = i + 13j + 10k = (1; 13; 10): S = [a b] = = 270 (кв. ед.): Задача 4.7. Найти смешанное произведение векторов a = (2; 1; 3); b = (3; 2; 1); c = ( 1; 0; 4): Решение. Воспользуемся правилом нахождения смешанного произведения в координатах: a 1 a 2 a 3 (a; b; c) = b 1 b 2 b 3 = c 1 c 2 c = = 2(8 0) + 1(12 + 1) + 3(0 + 2) = = 35: Задача 4.8. Проверить, являются ли векторы a = (3; 1; 2); b = (6; 4; 1); c = (0; 6; 3) компланарными. Решение. Воспользуемся критерием компланарности векторов: (a; b; c) = 0 векторы компланарны (a; b; c) = = 3(12 + 6) + 1(18 0) + 2( 36 0) = = = 0 = векторы компланарны.

34 4 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. 34 Задача 4.9. Найти объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, если A(1; 0; 1); B(2; 1; 3); D(3; 2; 4); A 1 (2; 2; 2): Решение. Воспользуемся геометрическим смыслом смешанного произведения: (AB; AD; AA 1 ) = V объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AD, AA 1. Найдем координаты этих векторов: AB = (2 1; 1 0; 3 1) = (1; 1; 2); A 1 B 1 C 1 D 1 AD = (3 1; 2 0; 1 + 4) = (2; 2; 5); AA 1 = (2 1; 2 0; 2 1) = (1; 2; 1): A B D C V = mod = 1(2 10) 1(4 2) + 2(4 2) = = = 6 (куб. ед.)

35 4.1 Задачи для самостоятельного решения Задачи для самостоятельного решения 4.1. Пронормировать вектор a = ( 2; 2; 1) Найти вектор c = 3a 4b, если a = (1; 2; 1), b = (2; 1; 3) Проверить, являются ли векторы a = (2; 3; 7) и b = (1; 3; 1) ортогональными Найти высоты параллелограмма, построенного на векторах a = (8; 4; 1); b = (3; 2; 6): 4.5. Проверить, компланарны ли векторы a = (2; 1; 5); b = (1; 0; 3); c = (7; 2; 3): 4.6. Найти высоты параллелепипеда, построенного на векторах a = (1; 2; 1); b = (3; 1; 0); c = ( 1; 2; 4): 4.7. Доказать, что четыре точки A(1; 2; 1), B(0; 1; 5), C( 1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости Даны вершины треугольника A(1; 1; 2), B(5; 6; 2), C(1; 3; 1). Найти длину его высоты, опущенной из вершины B на сторону AC.

36 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Прямая и плоскость в пространстве В начале этого раздела приведем основные виды уравнений прямых и плоскостей в пространстве. Общее уравнение плоскости, n = (A; B; C) вектор нормали (вектор, перпендикулярный плоскости): Ax + By + Cz + D = 0; A 2 + B 2 + C 2 0: (5.1) Общее уравнение плоскости с известной точкой (x 0 ; y 0 ; z 0 ): A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0: (5.2) Уравнение пучка плоскостей: (A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 ) + (A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0; : (5.3) Параметрические уравнения прямой, u = (`; m; n) направляющий вектор прямой: x = x 0 + `t; y = y 0 + mt; z = z 0 + nt; Канонические уравнения прямой: `2 + m 2 + n 2 0: (5.4) x x 0 ` = y y 0 m = z z 0 n : (5.5) Прямая задана как линия пересечения двух непараллельных плоскостей: { A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0; A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0: (5.6) Расстояние d от точки M (x 0 ; y 0 ; z 0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0: d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A 2 + B 2 + C 2 : Приведем, прежде всего, решение простейших задач на эту тему. Решение более сложных задач, как правило, можно разбить на последовательность простейших задач.

37 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 37 Задача 5.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( 1; 2; 3) параллельно плоскости : 5x 7y + z 4 = 0. Решение. Заметим, что т. к., то можно считать, что вектор нормали n = (5; 7; 1) является вектором нормали и плоскости. Далее воспользуемся уравнением (5.2): : 5(x + 1) 7(y 2) + (z 3) = 0; или : : 5x 7y + z + 16 = 0. Задача 5.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки M 1 (2; 1; 0), M 2 (3; 1; 4), M 3 ( 3; 2; 5). Решение. Заметим, что векторы M 1 M 2, M 1 M 3 лежат в плоскости. По определению их векторное произведение перпендикулярно плоскости, поэтому можно считать i j k n = [M 1 M 2 M 1 M 3 ] = = ( 4; 25; 1): α n M 3 M 1 M 2 Далее составим уравнение вида (5.2), выбрав в качестве известной, например, точку M 1 : : 4(x 2) 25(y 1) + z = 0: : : 4x + 25y z + 33 = 0. Задача 5.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (2; 1; 3) и через линию пересечения плоскостей : x + y z = 0 и : 2x + y + z 1 = 0. Решение. Заметим, что в тех задачах, где требуется найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух заданных плоскостей, удобнее воспользоват ься уравнением пучка плоскостей (5.3): : (x + y z) + (2x + y + z 1) = 0: Подставим в это уравнение вместо переменных координаты точки M 0, потребовав тем самым, чтобы точка M 0 лежала в плоскости : (2 1 3) + ( ) = 0;

38 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 38 или = 0; = 5 2 : Пусть, например, = 5, = 2. Эти значения, подставляем в уравнение плоскости. : : 9x + 7y 3z 2 = 0. Задача 5.4. Найти параметрические уравнения прямой { x 3y + 6 = 0; a : 2x + y z = 0: Решение. Заметим, что из условия мы видим векторы нормалей плоскостей n 1 = (1; 3; 0); n 2 = (2; 1; 1): Их векторное произведение есть вектор, перпендикулярный к ним, т. е. параллельный прямой a, поэтому является направляющим вектором искомой прямой. u = [n 1 n 2 ] = i j k = (3; 1; 7): u n 1 n 2 Найдем какую-нибудь точку M 0 на прямой a, т. е. любое решение системы { x 3y + 6 = 0; 2x + y z = 0: α a M 0 β Пусть, например, x 0 = 0, тогда y 0 = 2, z 0 = 2. Составим параметрические уравнения прямой a. x = 3t; : a: y = 2 + t; z = 2 + 7t:

39 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 39 Задача 5.5. Составить уравнение прямой a, проходящей через точку M 0 (5; 2; 3) перпендикулярно плоскости : 3x y + 2z 1 = 0. Решение. Заметим, что вектор нормали плоскости n = (3; 1; 2) a n можно принять за направляющий вектор прямой, поэтому можно сразу записать или параметрические, или канонические уравнения прямой. : : x 5 3 = y 2 1 = z 3 2. α Задача 5.6. Найти точку M пересечения прямой a: x 1 2 = y 3 = z и плоскости : x + 2y z + 5 = 0. Решение. Запишем параметрические уравнения прямой x = 1 + 2t; y = 3t; z = 1 + t: Так как точка пересечения лежит одновременно в плоскости и на прямой, то ее координаты одновременно удовлетворяют уравнениям прямой и уравнению плоскости. Поэтому следует решить систему уравнений: x = 1 + 2t y = 3t : z = 1 + t x + 2y z + 5 = 0 Подставим в последнее уравнение выражения x, y, z и найдем t: 1 + 2t + 2 3t ( 1 + t) + 5 = 0; 7t + 7 = 0; t = 1: Теперь находим x = 1 2 = 1, y = 3, z = 1 1 = 2. : M ( 1; 3; 2).

40 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 40 Задача 5.7. Найти угол между прямой a: x 1 1 = y = z 2 и плоскостью : 2x y + 3z 1 = 0. Решение. Заметим, что cos( n; u) = cos(90 ') = sin ': Из условия видим Поэтому sin ' = n = (2; 1; 3); u = (1; 1; 2): (n; u) n u = = : n u ϕ : ' = arcsin Рассмотрим теперь несколько типовых задач на установление взаимного расположения прямых и плоскостей. Задача 5.8. Установить взаимное расположение двух прямых a : x = 1 + 4t; y = t; z = 3 + 2t; b : x = 1 + 2t; y = 1; z = 2 + t: Решение. Покажем, какие возможны ситуации u 1 u 2 u 1 u 1 u 1 u 2 a u 2 u 2 b a b a совпадает с b a и b пересекаются a и b скрещиваются Из уравнений прямых видим u 1 = (4; 1; 2), u 2 = (2; 0; 1). Векторы не параллельны, значит прямые или пересекаются, или скрещиваются. Проверить пересекаются ли прямые можно двумя способами.

41 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 41 Способ 1. Если прямые пересекаются, то векторы u 1, u 2, M 1 M 2 (M 1 и M 2 точки на прямой a и на прямой b) лежат в одной плоскости (компланарны). Найдем смешанное произведение этих векторов, выбрав M 1 (1; 0; 3), M 2 ( 1; 1; 2): (u 1 ; u 2 ; M 1 M 2 ) = = 0; следовательно векторы компланарны, т. е. прямые пересекаются. Способ 2. Если прямые пересекаются, то у них есть общая точка, координаты которой могут быть найдены из уравнений прямой a при каком-то значении t 1 параметра и из уравнений прямой b при каком-то значении t 2 параметра. Выясним, есть ли такие значения t 1, t 2, при которых 1 + 4t 1 = 1 + 2t 2 ; t 1 = 1; 3 + 2t 1 = 2 + t 2 : Решим любые два из этих уравнений и подставим найденные t 1, t 2 в третье уравнение. Если получим верное равенство, то будет найдено решение t 1, t 2 системы. t 1 = 1; t 2 = 1; 3 2 = 2 1 верно, значит есть точка пересечения. Ее координаты можно найти, подставив t 1 в уравнение прямой a, или подставив t 2 в уравнение прямой b. В нашем случае точка пересечения M ( 3; 1; 1). Замечание. Способ 2 дает возможность не только проверить пересекаются ли прямые, но и найти точку пересечения. Задача 5.9. Установить взаимное расположение прямых a : x = 1 + t; y = 2 t; z = 3t; b : x = 2t; y = 1 2t; z = 3 + 6t: Решение. Находим u 1 = (1; 1; 3), u 2 = (2; 2; 6). Так как u 1 u 2, то прямые или параллельны, или совпадают. В последнем случае любая точка прямой a лежит и на

42 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 42 прямой b. Возьмем точку M ( 1; 2; 0) на прямой a. Подставим ее координаты в уравнение прямой b. Так как получаем одно и то же значение t = 1=2, то точка M лежит и на прямой b. : Прямые совпадают. Задача Установить взаимное расположение прямой и плоскости : 3x + 2y 3z + 1 = 0. x 1 2 = y = z 4 Решение. Покажем, какие возможны ситуации. a u n a n u α a M α α M a α a α a α = M Из условия видим u = (2; 3; 4), n = (3; 2; 3). Если a или a, то эти векторы перпендикулярны. Проверим это. (u; n) = = 0 = векторы перпендикулярны. Если a, то любая точка прямой лежит и в плоскости. Возьмем, например, точку M (1; 2; 0). Подставим ее координаты в уравнение плоскости ( 2) + 1 = 0 = M : : Прямая лежит в плоскости. Теперь приведем решения типовых задач на отыскание расстояний между точками, прямыми, плоскостями. Задача Найти расстояние от точки M 0 (2; 3; 5) до плоскости : 2x y 2z 3 = 0: Решение. Для решения этой задачи воспользуемся известной формулой d(m 0 ; ) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A 2 + B 2 + C 2 ;

43 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 43 или : d(m 0 ; ) = 2. d(m 0 ; ) = = 6 3 : Задача Найти расстояние от точки M 0 (1; 2; 3) до прямой a: x 1 2 = y 2 1 = z : Решение. Для решения этой задачи есть два способа. Способ 1. Выберем любую точку N на прямой a, например, N (1; 2; 5). Построим параллелограмм на векторах NM 0 и u = (2; 1; 3). Тогда высота h и является искомым расстоянием d(m 0 ; a). Высоту h найдем, из формулы для площади параллелограмма S = h u, а площадь параллелограмма найдем как длину векторного произведения S = [NM 0 u]. [NM 0 u] = i j k = ( 4; 16; 8); a N M 0 h u S = [NM 0 u] = d(m 0 ; a) = h = = 4 21; 4 21 = 4 3 = 2 6: Способ 2. Построим плоскость, проходящую через точку M 0, перпендикулярно прямой a: : 2(x 1) (y + 2) + 3(z 3) = 0; : 2x y + 3z 13 = 0: u=n Найдем точку пересечения плоскости и прямой a: ( )P : x = 1 + 2t; y = 2 t; z = 5 + 3t; 2x y + 3z 13 = 0; P a M 0 α

44 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 44 2(1 + 2t) (2 t) + 3( 5 + 3t) 13 = 0; 14t 28 = 0; t = 2; тогда точка P (5; 0; 1). Так как P M 0 a, то d(m 0 ; a) = P M 0 = (1 5) 2 + ( 2 0) 2 + (3 1) 2 = 2 6: : d(m 0 ; ) = 2 6. Задача Найти расстояние между параллельными плоскостями : x 2y + 2z 1 = 0 и : 2x 4y + 4z + 3 = 0: Решение. Выберем любую точку M 0, например, в плоскости. Пусть M 0 (1; 0; 0). Найдем d(m 0 ; ) = d(; ). d(m 0 ; ) = = 5 6 : M 0 α β Задача Найти расстояние между скрещивающимися прямыми a : x 1 2 = y 3 = z и b : x = y 1 2 = z : Решение. Расстояние между скрещивающимися прямыми это длина отрезка их общего перпендикуляра. Однако искать общий перпендикуляр не обязательно. Сведем эту задачу к отысканию расстоя- u 1 ния от точки M 0 a до плоскости, которую a проведем через прямую b параллельно прямой a (см. чертеж). Так как векторное произведение направляющих векторов прямых a и b перпендикулярно к u 1, u 2, то [u 1 u 2 ] и поэтому b u 2 k α M 0 n n = [u 1 u 2 ] = i j k = ( 4; 3; 1):

45 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 45 Проведем плоскость через любую точку K прямой b с найденным вектором нормали n = ( 4; 3; 1). Пусть, например, K( 2; 1; 3). : 4(x + 2) + 3(y 1) + (z + 3) = 0; : 4x + 3y + z 8 = 0: Выберем точку M 0 (1; 0; 2) на прямой a. d(a; b) = d(m 0 ; ) = = : : d(a; b) = Рассмотрим теперь более сложные типовые задачи. Задача Найти точку, симметричную точке M (3; 1; 1) относительно плоскости : 3x + y + z 20 = 0. План решения: 1) Проведем через точку M прямую MO, M n выбрав для нее направляющий вектор u = n. 2) Найдем точку O пересечения плоскости и прямой MO. O 3) Воспользуемся формулами деления отрезка MM точкой O пополам. (Вычисление проделайте самостоятельно) M : M (9; 3; 1). Задача Найти точку, симметричную точке M (1; 2; 8) относительно прямой a : x 1 2 = y 1 = z 1 : План решения: 1) Построим плоскость, проходящую че- a u рез точку M перпендикулярно a, n = u. 2) Найдем точку O = a. 3) Найдем M из формул деления отрезка MM пополам точкой O. M O M α : M (5; 4; 6).

46 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 46 Задача Найти проекцию прямой a: x 3 5 = y : 2x 2y + 3z 5 = 0: = z 4 1 на плоскость Решение. Заметим, что в задачах на составление уравнения прямой сначала следует определиться, в каком виде искать прямую: как линию пересечения двух плоскостей, или искать параметрические (канонические) уравнения прямой. В данной задаче искомая проекция a пр есть прямая, по которой пересекается плоскость с плоскость, проходящей через прямую a перпендикулярно. Поэтому искать будем a пр как линию пересечения и. Проведем плоскость через прямую a. Канонические уравнения прямой a можно записать в виде системы или a : a : x 3 y = + 1 ; 5 1 x 3 z = 4 ; 5 1 { x 5y 8 = 0; x 5z + 17 = 0: Фактически a оказывается линией пересечения двух плоскостей. Поэтому плоскость удобно искать как плоскость из пучка : (x 5y 8) + (x 5z + 17) = 0: Так как, то n n = (n ; n ) = 0, или Пусть = 13, = 12, тогда 2( + ) 2( 5) + 3( 5) = 0 = = 0; = : α a пр β a : a пр : { 2x 2y + 3z 5 = 0; 5x 13y 12z + 20 = 0: : 25x 65y 60z = 0:

47 5 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. 47 Задача Составить уравнения прямой c, проходящей через точку M 0 (2; 3; 1) и пересекающую прямые a : { x + y = 0; x y + z + 4 = 0; и b : { x + 3y 1 = 0; y + z 2 = 0: План решения: 1) Так как прямые a и c пересекаются, то они лежат в одной плоскости, аналогично, прямые b и c лежат в одной плоскости. Поэтому будем искать прямую c как линию пересечения плоскостей и. a M 0 2) Составим уравнение плоскости как плоскости из пучка, определяемого прямой a, и проходя- b щей через точку M 0. 3) Составим уравнение плоскости как плоскости из пучка, определяемого прямой b, и проходя- α c β щей через точку M 0. { x 9y + 5z + 20 = 0; : c: x 2y 5z + 9 = 0:

48 5.1 Задачи для самостоятельного решения Задачи для самостоятельного решения 5.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ox и точку M 0 (0; 2; 3) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M 1 ( 1; 2; 0), M 2 (1; 1; 2) и перпендикулярной плоскости x + 2y + 2z 4 = Найти расстояние между параллельными плоскостями 4x + 3y 5z 8 = 0 и 4x + 3y 5z + 12 = 0: 5.4. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2x + 2y + z 8 = 0 и удаленных от нее на расстояние d = Найти канонические уравнения прямой { x + 2y + 3z 13 = 0; 3x + y + 4z 14 = 0: 5.6. Найти расстояние от точки M (2; 1; 3) до прямой x = y z = 1 5 : 5.7. Найти расстояние между параллельными прямыми x 2 1 = y = z и x 1 1 = y 1 2 z = : 5.8. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми x = y 1 = z 1 2 и x 1 = y z = 2 4 :

49 5.1 Задачи для самостоятельного решения Проверить, что прямые пересекаются и составить уравнение плоскости, в которой они лежат: { x = z 2 y = 2z + 1 и x 2 3 = y 4 1 = z 2 1 : Установить, какие из следующих пар прямых скрещиваются, параллельны, пересекаются или совпадают. а) x = 1 + 2t, y = 7 + t, z = 3 + 4t; x = 6 + 3t, y = 1 2t, z = 2 + t. б) x = 1 + 2t, y = 2 2t, z = t; x = 2t, y = 5 + 3t, z = 4. в) x = 2 + 4t, y = 6t, z = 1 8t; x = 7 6t, y = 2 + 9t, z = 12t. г) x = 1 + 9t, y = 2 + 6t, z = 3 + 3t; x = 7 + 6t, y = 6 + 4t, z = 5 + 2t Установить, лежит ли данная прямая в данной плоскости, параллельна плоскости или пересекает ее. { 3x + 5y 7z + 16 = 0; а) 5x z 4 = 0. 2x y + z 6 = 0; { 2x + 3y + 6z 10 = 0; б) y + 4z + 17 = 0. x + y + z + 5 = 0; в) { x + 2y + 3z + 8 = 0; 5x + 3y + z 16 = 0; 2x y 4z 24 = 0.

50 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ Тесты для самопроверки Тест 1 «Алгебра векторов» Перейти к ответам 1. Даны три вектора: a(1; 1; 1), b(1; 2; 2), c(2; 4; 2). Найти вектор 3a + 4b 0;5c. 1) (6; 10; 10) 2) (6; 10; 12) 3) (6; 9; 10) 4) (8; 10; 10) 2. Найти косинус угла между векторами b 1 и b 2, если b 1 = 3a + 4c; b 2 = 6a 4c; где a(0;5; 0;5; 0;5), c(0;5; 0;25; 0;75). 1) 1 2) 0 3) 0;5 3. Выяснить, ортогональны ли векторы a(1; 3; 2) и b(1; 3; 4). 1) да 2) нет 4. Найти координаты векторного произведения векторов a(2; 1; 4) и b( 1; 3; 0). 1) ( 12; 4; 7) 2) ( 12; 4; 7) 3) (12; 4; 7) 5. Найти длину векторного произведения векторов a(2; 1; 4) и b(1; 3; 0). 1) 209 2) 23 3) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a( 2; 1; 4) и b( 1; 3; 0). 1) 209 2) 23 3) Найти площадь треугольника ABC, если A( 1; 0; 1), B(0; 2; 3), C(4; 4; 1). 1) 18 2) 36 3) 9 4) Установить, являются ли векторы (3; 5; 1), (2; 1; 5), (7; 7; 11) компланарными. 1) да 2) нет 9. Найти объём параллелепипеда, зная одну из его вершин (1; 2; 3) и концы выходящих из неё рёбер (1; 1; 1), (2; 3; 4), (3; 1; 1). 1) 48 2) 54 3) 32 4) Найти объём треугольной пирамиды, построенной на векторах (1; 1; 1), (2; 3; 4), (3; 1; 1) как на рёбрах. 1) 1=3 2) 3 3) 6 4) 5

51 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. 51 Тест 2 «Прямая линия на плоскости» Перейти к ответам 1. Найти угловой коэффициент прямой 3x + 5y 1 = 0. 1) 3 5 2) 3 5 3) Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; 3) параллельно прямой 3x 2y 1 = 0. 1) 3x + 2y 1 = 0 2) 3x 2y + 1 = 0 3) 3x 2y = 0 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (5; 3) перпендикулярно прямой 2x + 3y 6 = 0. 1) 3x 2y 9 = 0 2) 3x + 2y 9 = 0 3) 3x 2y 6 = 0 4. Найти расcтояние от точки (3; 5) до прямой 3x 4y + 1 = 0. 1) 1 2) 2 3) 0;5 5. Найти точку пересечения прямых 2x 4y 3 = 0 и 2x + y + 2 = 0. 1) ( 0;5; 1) 2) (1; 0;5) 3) (2; 1) 6. Найти угол между прямыми 3x 5y = 0 и 5x + 3y 1 = 0. 1) 60 2) 30 3) Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и через точку пересечения прямых 3x 5y 2 = 0, 2x + 7y 1 = 0. 1) x + 19y = 0 2) x 19y = 0 3) x + 9y = 0 8. Найти площадь треугольника, заданного координатами своих вершин (1; 1), (2; 3), (5; 2). 1) 24;5 2) 49 3) Найти площадь квадрата, две стороны которого лежат на прямых 2x y 4 = 0 и 2x y + 1 = 0. 1) 5 2) 25 3) Найти проекцию точки (2; 1) на прямую x y 3 = 0. 1) (3; 0) 2) (0; 3) 3) (4; 1)

52 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. 52 Тест 3 «Кривые второго порядка» Перейти к ответам 1. Составить уравнение эллипса, фокусы которого имеют координаты F 1 (0; 1), F 2 (1; 0) и большая ось равна 2. 1) 3x 2 + 2xy + 3y 2 4x 4y = 0 2) 3x 2 2xy + 3y 2 4x 4y = 0 3) 3x 2 + 2xy + 3y 2 + 4x + 4y = 0 2. Найти уравнение касательной к эллипсу x y2 16 = 1 в точке M (0; 4). 1) y 4 = 0 2) x y + 2 = 0 3) x 2 = 0 3. Дан эллипс = 1. Найти его фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис. x y2 16 1) (±3; 0), 3 5, x = ±25 3 2) (±3; 0), 3 4, x = ± Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами 2 14, а расстояние между директрисами ) x2 y2 8 6 x2 = 1 2) y2 9 5 = 1 3) x2 9 y2 25 = 1 5. Найти асимптоты гиперболы x2 9 y2 25 = 1. 1) 3y ± 5x = 0 2) 3x ± 5y = 0 3) 3x ± 4y = 0 6. Дана гипербола x2 y2 9 4 через точку M (9; 32). = 1. Составить уравнение касательной, проходящей 1) 4x 32 y 4 = 0 2) 4x + 32 y + 4 = 0 3) x + 2 y 1 = 0 7. Составить уравнение параболы, зная её фокус F (2; 1) и директрису 3x 4y 1 = 0: 1) 16x xy + 9y 2 94x 58y = 0 2) 16x xy + 9y 2 94x 58y + 24 = 0

53 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ Найти уравнение касательной к параболе y 2 = 16x, параллельной прямой x y + 8 = 0. 1) x y + 4 = 0 2) x + y 4 = 0 3) x y + 2 = 0 9. Дана парабола y 2 = 36x, найти её фокус и уравнение директрисы. 10. Определить тип кривой r = 1) (18; 0), y = 18 2) (18; 0), x = 18 3) (9; 0), x = cos '. 1) эллипс 2) гипербола 3) парабола

54 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. 54 Тест 4 «Прямая и плоскость в пространстве» Перейти к ответам 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ( 3; 5; 1) параллельно плоскости x + 2y + 4z = 0. 1) x + 2y + 4z 11 = 0 2) x + 2y + 4z + 11 = 0 3) x 2y 4z 11 = 0 2. Найти точку пересечения плоскости 3x y + z 1 = 0 и прямой x = 2 + t; y = 3 t; z = 1 + 2t: ( ) 11 1) (2; 3; 1) 2) 6 ; 19 6 ; 4 3 ( ) 11 3) 6 ; 13 6 ; Составить уравнение плоскости, проходящей через точки (1; 2; 3), (3; 4; 1), перпендикулярно плоскости x + y + z 1 = 0. 1) x y + 1 = 0 2) 8x + 3y z + 2 = 0 3) x 3y + 2z + 1 = 0 4. Найти расстояние от точки (1; 1; 0) до плоскости 2x + 3y 4z + 5 = 0. 1) 10 2) ) Составить уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (1; 2; 1) на плоскость 2x + 3y 4z + 5 = 0. 1) x 1 2 = y 2 3 = z 1 4 2) x 2 y 1 = 3 z 2 = ) x 1 3 = y 2 2 = z Найти точку, симметричную точке (2; 0; 1) относительно плоскости x 4y + z 39 = 0: 1) (6; 16; 5) 2) (1; 1; 5) 3) (6; 6; 5)

55 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ Параметрические уравнения прямой { x + y z + 1 = 0; x y + z 2 = 0 имеют вид: x = 1 + t; x = 0;5; x = t; 1) y = 2t; z = 1 2t 2) y = 2t; z = 1;5 2t 3) y = 1 + t; z = 5 + 8t 8. При каком значении параметра t плоскость tx 2y + z 5 = 0 проходит через точку (1; 3; 2). 1) 9 2) 9 3) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (1; 3; 2) и через прямую { x + y z + 1 = 0; x y + z 2 = 0: 1) 5x y + z 4 = 0 2) 5x + y + z + 4 = 0 3) x y + z 2 = Найти угол между плоскостями x 2y z 1 = 0 и 2x + 2y 2z 3 = 0. 1) 90 2) 60 3) 30

56 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. 56 ы и указания Тема: «Прямая линия на плоскости» 1.1 x 3y 7 = 0, 2x + 5y 3 = x 9y 4 = (2; 7) 1.4 x + 3y + 12 = 0, 3x y 4 = 0, 3x y + 16 = Два решения: A 1 B 1 : 7x + y 15 = 0, B 1 C 1 : x 7y + 7 = 0, C 1 D 1 : 7x + y 26 = 0, D 1 A 1 : x 7y 4 = 0; A 2 B 2 : x 3y + 1 = 0, B 2 C 2 : 3x + y 1 = 0, C 2 D 2 : x 3y + 12 = 0, D 2 A 2 : 3x + y + 10 = 0.

57 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. 57 Тема: «Кривые второго порядка (элементарная теория)» 2.1 x y2 9 = ( 15 4 ; ± 63 4 ) 2.3 x + y ± 5 = F 1 (0; 5), F 2 (0; 5), " = 5 4, y = ±16 5 ; y = ±4 3 x 2.5 x 2 16 y2 9 = " = x 2y ± 26 = F (0; 1), y = (3; ±3 2) 2.10 x + y + 2 = 0

58 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. 58 Тема: «Общие уравнения кривых второго порядка» 3.1 7x 2 2xy + 7y 2 46x + 2y + 71 = x 2 + 2xy + 11y 2 48x 48y 24 = (x 3) (y 2)2 25 = x 2 100xy + 16y 2 136x + 86y 47 = x 2 + 2xy + y 2 6x + 2y + 9 = а) x 2 1 y 2 4 = 1 б) x y 2 9 = 1 в) пара параллельных прямых x = ±1 г) y 2 = 2x

59 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. 59 Тема: «Векторная алгебра» 4.1 a = ( ) 2 3 ; 2 3 ; c = ( 5; 10; 9) 4.3 a и b ортогональны 4.4 h 1 = 4 2, h 2 = Нет , 3 5, h = 5

60 6 ТЕСТЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. 60 Тема: «Прямая и плоскость в пространстве» 5.1 3y + 2z = x 2y + z 2 = x + 2y + z 20 = 0, 2x + 2y + z + 4 = x 3 1 = y 5 1 = z x + 2y 5z = а) Пересекаются в точке ( 3; 5; 5) 5.10 б) 5.10 в) 5.10 г) Скрещивается Параллельны Совпадают 5.11 а) Пересекаются в точке (2; 4; 6) 5.11 б) 5.11 в) Параллельны Прямая лежат в плоскости

61 7 КЛЮЧИ ОТВЕТОВ К ТЕСТАМ Ключи ответов к тестам Тест 1 «Алгебра векторов» Тест 2 «Прямая линия на плоскости» Тест 3 «Кривые второго порядка» Тест 4 «Прямая и плоскость в пространстве»

62 . 62 Список литературы [1] Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, [2] Владимирский Б. М., Горстко А. Б., Ерусалимский Я. М. Математика. СПб: Лань, [3] Ерусалимский Я. М., Чернявская И. А. Алгебра и геометрия: теория и практикум. М.: Наука, [4] Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Наука, [5] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, [6] Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, [7] Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М.: Наука, При создании электронного пособия использовались системы L A T E X 2", X T E X и материалы книги: Жуков М. Ю., Ширяева Е. В. L A T E X 2": искусство набора и вёрстки текстов с формулами. Ростов н/д: Изд-во ЮФУ, с. E

63 Предметный указатель гипербола, 23 асимптоты, 15 директрисы, 15 каноническое уравнение, 15 уравнение касательной с известной точкой касания, 16 условие касания гиперболы и прямой, 16 фокусы, 15, 23 эксцентриситет, 15, 23 парабола, 24 директриса, 16, 24 каноническое уравнение, 16 уравнение касательной с известной точкой касания, 16 условие касания параболы и прямой, 16 фокус, 16, 24 плоскость общее уравнение, 36 уравнение пучка плоскостей, 36 прямая канонические уравнения, 36 параметрические уравнения, 36 расстояние от точки до прямой, 5 уравнение прямой, 4 условия параллельности прямых, 4 условия перпендикулярности прямых, 5 уравнение касательной с известной точкой касания, 15 условие касания эллипса и прямой, 15 фокусы, 15, 22 эксцентриситет, 15, 23 эллипс, 22 директрисы, 15 каноническое уравнение, 15 63

64 . 64 Об авторе Чернявская Ирина Алексеевна доцент кафедры геометрии Южного федерального университета, кандидат физико-математических наук, заместитель директора по академической политике Института математики, механики и компьютерных наук ЮФУ, области научных интересов дифференциальная геометрия и геометрия «в целом», теория и методика высшего профессионального образования. И. А. Чернявская автор более 70 научных и методических работ, в том числе трех учебных пособий, среди которых «Практикум по элементарной математике» (Изд-во «Вузовская книга». М., 2002), «Элементарная математика в примерах и задачах» (Изд-во «Вузовская книга». М., 2006).


АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики С. И. Яблокова Кривые второго порядка Часть Практикум

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола.

Лекция 13. Тема: Кривые второго порядка. Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Лекция 13 Тема: Кривые второго порядка Кривые второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Вывод уравнений кривых второго порядка исходя из их геометрических свойств. Исследование формы эллипса,

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2)

(x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2. A (x x 0 ) + B (y y 0 ) = 0. (1) Ax + By + C = 0. (2) Занятие 9 Прямая на плоскости и плоскость в пространстве На этом занятии мы будем заниматься кривыми и поверхностями, которые задаются простейшими уравнениями алгебраическими уравнениями первой степени.

Подробнее

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 )

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: В.П.Белкин

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Составитель: В.П.Белкин РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ по теме "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Составитель: ВПБелкин Занятие Прямая на плоскости Пример Определить коэффициенты k, b в уравнении прямой y = kx+ b, если прямая определена уравнением x y=

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра алгебры и математической логики Кривые второго порядка Часть I Методические указания

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости.

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии Аналитическая геометрия раздел математики, в котором изучаются геометрические объекты с помощью алгебраических методов. Основным методом аналитической геометрии

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 9 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 1. Каноническое уравнение эллипса Определение 1. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма расстояний от каждой

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция 7 Аннотация Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики.

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.1 Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Связь

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a.

x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (1 k) y = b a a 2 x 2, 0 x a. Занятие 12 Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения. Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F 1 и F 2, называемых

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве

Глава 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве Положение точки в пространстве обычно определяется заданием тройки чисел координат точки в декартовом базисе 1)

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3.

a + b(a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ), ka(ka 1, ka 2, ka 3 ). a 1 = k b 1, a 2 = k b 2, a 3 = k b 3. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЮГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Финогенов А.А. Финогенова О.Б. Руководство по решению задач по аналитической геометрии Учебно-методическое

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии

1. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Векторы в пространстве Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия: абсолютная величина

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИТИЧЕСКУЮ ГЕОМЕТРИЮ НА ПЛОСКОСТИ НС Анофрикова, ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 5 (самостоятельное изучение) Аннотация Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве Формулы для расстояния

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости

Линейная алгебра Лекция 9. Прямая линия на плоскости Линейная алгебра Лекция 9 Прямая линия на плоскости Пусть дана декартовая прямоугольная система координат Oxy на плоскости Геометрическое место точек (ГМТ) Определение Уравнением линии на плоскости Оху

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1 Кривые второго порядка Задача 1 Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему есть величина

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия в пространстве. Аналитическая геометрия в пространстве Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию Прямоугольная система координат Охy в пространстве

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Тема: Кривые второго порядка

Тема: Кривые второго порядка Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Кривые второго порядка Лектор Рожкова С.В. 01 г. 15. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и ) невырожденные Вырожденные

Подробнее

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю)

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки Педагогическое

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 2.2 Аннотация Уравнения прямой в пространстве: общие, канонические, параметрические уравнения прямой и уравнения

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 3. Аналитическая геометрия на плоскости 1. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(4; 1) a) параллельно прямой

Подробнее

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R

( ) ( ) ( ) x x + y y + z z = R Глава II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекции 0-2 2. УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 2.. Основные понятия Поверхность и ее уравнение Поверхность в пространстве можно рассматривать

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

) вычисляется по формуле

) вычисляется по формуле 5-6 уч. год. 4, кл. Математика. Стереометрия.. Векторы в пространстве. Координатный метод решения задач стереометрии Вектором называется направленный отрезок, и буквально так же, как и на плоскости, определяются

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Положение плоскости в пространстве можно задать точкой M 0 (x 0, y 0, z 0 ), принадлежащей этой плоскости и вектором

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Д.Ю. ВОЛКОВ, К. В. ГАЛУНОВА, В. В. КРАСНОЩЕКОВ МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ СБОРНИК

Подробнее

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики НЛ Воронцова АВ Маргулян НК Орехова ЕС Филимонова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее