МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, ТС Соболева, НО Фастовец МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть 1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ (Для факультета АиВТ) Москва 2013

2 Оглавление Предисловие 4 1 Определители 7 2 Матрицы Операции над матрицами 16 3 Обратная матрица 24 4 Ранг матрицы 31 5 Линейное пространство арифметических векторов 36 6 Системы линейных алгебраических уравнений Правило Крамера 41 7 Системы линейных алгебраических уравнений Метод Гаусса 45 8 Однородные и неоднородные системы 55 Варианты контрольных работ 63 Ответы 65 Список рекомендуемой литературы 66 3

3 Предисловие В связи с введением новых федеральных государственных образовательных стандартов программы многих дисциплин значительно изменились Возникла необходимость создания новых методических пособий Данное методическое пособие посвящено основным элементам линейной алгебры: матрицам, определителям, арифметическим векторам, системам линейных алгебраических уравнений Пособие отражает многолетний опыт авторов в проведении практических занятий по математике на факультете АиВТ В начале каждого раздела приводится необходимый теоретический материал, затем очень подробно разбирается большое количество примеров, после которых предлагаются задания для аудиторной и самостоятельной работы в качестве домашних заданий (с ответами) В конце приведены примерные варианты контрольных работ Предлагаемое пособие может быть полезно не только студентам всех специальностей, начинающим знакомство с линейной алгеброй, но также аспирантам и магистрантам для восстановления своих знаний в этой области 4

4 Исторически линейная алгебра возникла в процессе развития теории систем линейных алгебраических уравнений К идее определителя пришел Лейбниц в конце XVII века в связи с поиском общего метода решения таких систем В 1752 году швейцарский математик Крамер сформулировал и обосновал правило (правило Крамера), которое позволяет решать квадратные системы n линейних уравнений с n неизвестными Согласно этому правилу, каждая неизвестная, входящая в систему уравнений, равна отношению двух определителей В 1772 году французский математик Вардермонд опубликовал обширное исследование определителей (важный класс определителей сегодня носит его имя) Первое полное изложение теории определителей было дано в 1812 году французскими математиками Бине и Коши Что касается матриц, то впервые матрица под названием «волшебный квадрат» появилась еще в Древнем Китае Позже подобными квадратами пользовались арабские математики Но изучение матриц, как самостоятельного объекта математического исследования, началось только в середине XIX века в Европе Именно в это время появляются работы Гамильтона и Кэли, посвященные матрицам В 1841 году Кели ввел современное обозначение для матриц и определителей Примерно в то же время появился метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений, который опирается на преобразования расширенной матрицы системы Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат немецким математикам Вейерштрассу и Фробениусу В частности, Фробениус ввел понятие ранга матрицы В конце XIX века немецкий математик Кронекер в своих лекциях использовал теорему, дающую необходимое и достаточное условия существования решения системы m линейных уравнений с n неизвестными Позже итальянский математик Капелли сформулировал эту теорему, используя понятие ранга матрицы 5

5 Матричный язык широко используется в различных областях современной математики и ее приложений Матрицы применяются при исследовании линейных отображений векторных пространств, линейных и квадратичных форм, систем линейных алгебраических уравнений и систем дифференциальных уравнений Используются матрицы и в механике и теоретической электротехнике, в теории вероятностей, в квантовой механике, экономике и многих других областях 6

6 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Основные понятия Квадратную таблицу чисел, состоящую из n строк и n столбцов, будем называть квадратной матрицей порядка n Обозначение: a a a a a a A a a a Здесь n n n1 n2 nn или A ( a ) ( i 1,2,, n; j 1,2,, n) a ij элементы матрицы A ( a ij или aij ij ), первый индекс i указывает номер строки, второй индекс j номер столбца Элементы a11, a22,, a nn образуют главную диагональ, а элементы a1 n, a2( n 1),, an1 образуют побочную диагональ матрицы Одной из важных характеристик квадратной матрицы является ее определитель или детерминант Определителем матрицы A ( a ) ( i 1,2,, n; j 1,2,, n) называется число, которое ставится в соответствие этой матрице и вычисляется по ее элементам Обозначается определитель матрицы любым из символов: a a a n a a a n a a a n1 n2 nn ij,, det A, A 1 Определителем матрицы A ( a11), состоящей из одного элемента, является само число a 11 7

7 2 Определитель второго порядка вычисляется по формуле a a a a a a a a ПРИМЕР 1 Вычислить определитель 1 2 Решение Определитель третьего порядка вычисляется по формуле a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Для того чтобы запомнить эту формулу, используют правило Саррюса (или правило треугольников) Произведение a11a22a 33 элементов главной диагонали входит в формулу со знаком, также как и произведения a12a23a 31 и a21a32a 13 элементов, расположенных в вершинах треугольников, основания которых параллельны главной диагонали: А произведение a13a22a 31 элементов побочной диагонали, а также произведения a11a23a 32 и a21a12a 33 входят со знаком : 8

8 ПРИМЕР 2 Вычислить определитель Решение Используя правило Саррюса, получим ( 1) ( 1) Чтобы сформулировать общее правило вычисления определителя произвольного порядка, введем понятия минора и алгебраического дополнения элемента матрицы Если из матрицы A порядка n вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец (строку и столбец, на пересечении которых расположен элемент a ), то определитель полученной матрицы порядка n1 ij называется минором элемента a ij и обозначается Алгебраическим дополнением элемента произведение ( 1) i A j M ij ij 9 M ij a ij будем называть Рассмотрим, например, матрицу Найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 Вычеркнем вторую строку и третий столбец, на пересечении которых находится элемент a 23, тогда M23 1, A23 ( 1) M23 1 Вычеркнув третью 1 2 строку и первый столбец, на пересечении которых находится элемент a 31, получим M31 5, A31 ( 1) M

9 Определитель n-го порядка может быть вычислен по любой из формул: a A a A a A (разложение по i-й строке), i1 i1 i2 i2 in in 1j 1j 2 j 2 j nj nj a A a A a A (разложение по j-му столбцу), причем результат вычислений не зависит от выбора строки или столбца ПРИМЕР 3 Вычислить определитель Решение Разложим определитель, например, по второй строке: a A a A a A ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) ПРИМЕР 4 Вычислить определитель Решение Разложим определитель по третьему столбцу: ( 1) ( 1) ( 1) Полученные определители 3-го порядка также можно вычислить разложением по любой строке (столбцу) Разложим первый определитель, например, по второму столбцу, второй определитель по третьему столбцу, а третий определитель по третьей строке: 10

10 ( 1) 2 ( 1) 16, ( 1) 3 ( 1) 19, ( 1) 3 ( 1) Окончательно имеем 1 ( 16) Свойства определителя 1 Определитель не изменится, если его строки сделать столбцами, сохраняя их нумерацию: a a a a a a a a a a a a a a a a a a Из свойства 1 следует, что всякое утверждение о строках определителя справедливо и для его столбцов, и обратно Поэтому остальные свойства будем формулировать только для строк 2 Определитель, имеющий нулевую строку, равен нулю 3 Если поменять местами две строки определителя, то знак определителя изменится на противоположный 4 Определитель, две строки которого совпадают, равен нулю 5 Если все элементы некоторой строки имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя 6 Определитель, имеющий пропорциональные строки, равен нулю 11

11 7 Если все элементы какой-либо строки представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у первого из которых в данной строке стоят первые слагаемые, у второго вторые слагаемые: a a a a a a a b a b a a b b Если к элементам какой-либо строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится: a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Замечание 1 Вычислить определитель третьего порядка можно следующим образом: к определителю справа приписывается сначала первый столбец, а затем второй столбец: a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Со знаком входят в формулу произведения a11a22a 33, a12a23a 31 и a13a21a 32 (произведение элементов главной диагонали и произведения элементов, находящихся на линиях, параллельных главной диагонали), со знаком входят произведения a31a22a 13, a32a23a 11 и a33a21a 12 (произведение элементов побочной диагонали и произведения элементов, находящихся на линиях, параллельных побочной диагонали) 12

12 Замечание 2 При вычислении определителя разложением по строке (столбцу) сначала можно, используя свойства определителя, получить в выбранной строке (столбце) максимально возможное число нулевых элементов Замечание 3 Используя свойства определителя, можно привести определитель к треугольному виду, когда все элементы под (или над) одной из диагоналей (главной или побочной) равны нулю Например, если все элементы определителя под (или над) главной диагональю равны нулю, то определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали ПРИМЕР 5 Вычислить определитель Решение Вычислим определитель разложением по третьему столбцу, предварительно получив в этом столбце как можно больше нулей Для этого из элементов первой строки вычтем элементы второй строки (обозначение III), затем из элементов второй строки вычтем элементы четвертой строки, умноженные на 3: I II II 3IV Разложив полученный определитель по третьему столбцу, в котором всего один ненулевой элемент, имеем ( 1) ( )

13 ПРИМЕР 6 Вычислить определитель 4-го порядка, элементы которого находятся по формуле: aij min{i,j} Решение Приведем определитель к треугольному виду: a a a a a a a a a a a a a a a a IV III III II II I Задачи 1 Вычислить определители: а) ; б) 2 3 i i ; в) ; г) Решить уравнения и неравенство: а) x 0; б) 1 7 x 3 0; в) x x x 3 Вычислить определители: а) ; б) Ответы: 1 а) 24; б) 1; в) 0; г) 12 2 а) 13; б) 5; в) x 6; 4 3 а) 63; б)

14 Задания для самостоятельной работы Теоретические упражнения: 1 Как изменится определитель, если а) к каждой строке, кроме последней, прибавить последнюю строку; б) первый столбец поставить последним, а остальные столбцы сдвинуть влево, сохраняя их порядок? 2 Доказать, что сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю 3 Не вычисляя определители, доказать равенство Задачи: a b x a x b c a b c (1 ) a b x a x b c x a b c a b x a x b c a b c Вычислить определители: а) 2 5 ; б) 1 i i ; в) 12 Решить уравнения и неравенство: а) x 4 x 0 ; б) x Вычислить определители: а) ; б) ; в) ; в) ; г) 0 1i 1i 1i 0 1i 1i 1i x x 1 5 a b c d 5 4

15 2 МАТРИЦЫ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ Основные понятия Прямоугольную таблицу чисел, состоящую из m строк и n столбцов, будем называть матрицей размера mn Обозначение: a a a a a a A a a a n n m1 m2 mn или A ( a ) ( 1,2, ; 1,2,, ) ij i m j n Здесь a ij элементы матрицы, i номер строки, j номер столбца При mn получаем квадратную матрицу Матрица размера 1n называется матрицей-строкой Матрица размера m1 называется матрицей-столбцом Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой T T ij Назовем матрицу A ( a ) размера nm транспонированной к матрице A ( a ij ) размера mn, если то есть строки матрицы столбцами матрицы A ПРИМЕР 1 Транспонировать матрицу 16 a T ij a ( i 1,, n; j 1,, m), ji T A совпадают с соответствующими A Решение Записав столбцы данной матрицы в виде строк, получим матрицу T A , транспонированную к матрице A 3 1

16 Матрицы A ( a ij ) и B ( b ij ) называются равными, если они одного размера, а элементы, стоящие на одинаковых местах, равны, те aij bij Квадратную матрицу A ( a ) ( i 1,2, n; j 1,2,, n) будем называть диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю ij Диагональная матрица, для которой a ( i 1, 2, n), называется скалярной Диагональная матрица, для которой a 1 ( i 1, 2, n), называется единичной и обозначается буквой E, то есть E Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю В противном случае матрица называется невырожденной ii ii Операции над матрицами 1 Суммой матриц A ( a ij ) и B ( b ij ) размера mn называется матрица C размера mn, элементы формулам c a b ( i 1,2,, m; j 1,2,, n) ij ij ij Обозначение: CA+B c ij которой находятся по 17

17 2 Произведением матрицы A ( a ij ) размера mn на число называется матрица C размера mn, элементы которой c ij имеют вид c a ( i 1,2,, m; j 1,2,, n) ij ij Обозначение: C A ПРИМЕР 2 Найти 2A B, если A, B Решение A B ( 1) Произведением матрицы A ( a ij ) размера mn на матрицу B ( b ij ) размера nk называется матрица C размера mk (обозначение CAB), элементы c ij которой находятся по формулам c a b a b a b a b ( i 1,2,, m; j 1,2,, k) ij i1 1 j i2 2 j in nj is sj s1 (правило перемножения матриц: «строка на столбец») n Замечание Матрицу A можно умножить на матрицу B только при условии, что число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B ПРИМЕР 3 Найти AB, если A 3 4, B Решение Число столбцов матрицы A равно двум и равно числу строк матрицы B, следовательно, эти матрицы можно перемножить Матрица CAB имеет размер 32 18

18 Найдем элементы матрицы C: c a b a b 1 ( 1) 23 5; c a b a b ( 5) 8; c a b a b 3 ( 1) 43 9; c a b a b ( 5) 14; c a b a b 5 ( 1) 63 13; c a b a b ( 5) Итак, окончательно имеем 5 8 C Замечание В последнем примере было найдено произведение AB Что касается произведения BA, то оно не существует, так как число столбцов матрицы B не совпадает с числом строк матрицы A Замечание Для квадратных матриц одного порядка можно рассматривать как произведение AB, так и произведение BA В общем случае ABBA ПРИМЕР 4 Найти произведения AB и BA, если Решение A, B AB, BA Легко видеть, что ABBA Матрицы A и B называются коммутирующими или перестановочными, если ABBA Скалярная и единичная матрицы коммутируют с любой квадратной матрицей того же порядка 19

19 4 Натуральная степень квадратной матрицы находится по формуле Если n A A A A ( n ) n раз n n1 n1 1 0 f ( x) a x a x a x a многочлен n-й степени относительно x, то n n n1 n1 1 0 f ( A) a A a A a A a E, n где E единичная матрица того же порядка, что и матрица A то ПРИМЕР 5 Найти f( A ), если Решение Поскольку A A A , 2 f ( x) 2x 5x 3 и A f ( A) 2A 5A 3E Элементарными преобразованиями строк матрицы являются следующие операции: 1) перестановка двух строк матрицы; 2) умножение строки на ненулевое число; 3) прибавление к элементам одной строки элементов другой строки, умноженных на одно и то же число Если матрица B получена из матрицы A с помощью элементарных преобразований, то матрицы A и B называются эквивалентными Обозначение: A~B 20

20 С помощью элементарных преобразований любая матрица может быть приведена к ступенчатому виду (первый ненулевой элемент в каждой следующей ненулевой строке находится правее первого ненулевого элемента в предыдущей ненулевой строке) ПРИМЕР 6 Привести к ступенчатому виду матрицу Решение II 3I III 5 I 2III 3II Замечание Любая квадратная невырожденная матрица A эквивалентна единичной матрице E того же порядка Например, рассмотрим матрицу A Матрица A является невырожденной, так как deta3 Применяя элементарные преобразования строк, получим II 3 I III /3 III 5I II III III 2I A II 2III III ( 1) I III E

21 1 Найти 4A5B, если Задачи A 3 4 2, B Найти AB и BA, если возможно: A, B Найти f( A ), если 2 f ( x) 3x 5x 2 и 4 Привести к ступенчатому виду: а) Ответы: A ; б) AB Задания для самостоятельной работы Теоретические упражнения: 1 Как изменится произведение матриц AB, если а) переставить i-ю и j-ю строки матрицы A; б) переставить i-й и j-й столбец матрицы B? 2 Существует ли квадратная матрица второго порядка, квадрат которой равен единичной матрице E ? 22

22 3 Доказать следующие свойства: а) A B B A; б) ( )A A A; в) ( A B) A B ; г) A( B C) AB AC, где A, B матрицы, а, числа Задачи: 21 Найти 3A2B, если 22 Найти AB и BA, если это возможно: A 3 0 1, B а) A B б) 1, 0, 4, 2, 1, 5, 2, 1, 3, 6 T ; A, B ; в) Найти AA, A A, если 24 Найти f( A ), если T T A f ( x) x 6x 9x 4 и 25 Привести матрицы к ступенчатому виду: а) ; б) A, B A

23 3 ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Обратной матрицей к квадратной невырожденной матрице A называется матрица, обозначаемая 1 1 AA A A E, 1 A и удовлетворяющая условию где E единичная матрица того же порядка, что и матрица A Если матрица 1 A существует, то она единственная Методы вычисления обратной матрицы A 1 Метод присоединенной матрицы Присоединенная матрица определяется как транспонированная к матрице, состоящей из алгебраических дополнений A ij элементов матрицы A, то есть A T n n1 A A A A A A A21 A22 A 2n A12 A22 A n2 A A A A A A n1 n2 nn 1n 2n nn Обратная матрица к любой невырожденной матрице A находится по формуле A 1 1 A det A ПРИМЕР 1 Найти матрицу, обратную к матрице 24 A Решение Так как deta10, то обратная матрица существует Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы A: A 1; A 0; A 2; A 1, A 1

24 тогда T A, A A det A Сделаем проверку: A A E ПРИМЕР 2 Найти матрицу, обратную к матрице A Решение Вычислим определитель матрицы A: det A Так как deta0, то обратная матрица существует Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A: A A A12 A A A23 A A A ( 1) 48; ( 1) 42; ( 1) 3; ( 1) 24; ( 1) 21; ( 1) 6; ( 1) 3; ( 1) 6; ( 1)

25 Составим присоединенную матрицу A Тогда обратная матрица имеет вид T / 9 8 / 9 1/ A A / 9 7 / 9 2 / / 9 2 / 9 1/ 9 Проверка: 16 / 9 8 / 9 1/ A A 14 / 9 7 / 9 2 / E 1/ 9 2 / 9 1/ Метод элементарных преобразований строк К квадратной матрице A порядка n справа приписывают единичную матрицу E того же порядка Полученную матрицу (A E) размера n2n с помощью элементарных преобразований строк (строки длины 2n) приводят к виду (E A 1 ) 1 2 ПРИМЕР 3 Найти матрицу, обратную к матрице A 0 1 Решение К матрице (A E) размера 24 применим элементарные преобразования строк так, чтобы слева получилась единичная матрица, тогда справа будет обратная матрица: II ( 1) I 2II ( A E) Следовательно, A

26 ПРИМЕР 4 Найти матрицу, обратную к матрице A Решение К матрице (A E) размера 36 применим элементарные преобразования строк так, чтобы слева получилась единичная матрица: II 2I III 3 I III 2II ( A E) II /2 II III III /3 I 3 III / / 3 2 / 3 1/ / 3 7 / 3 5 / 3 I 2II / 3 1/ 6 1/ / 3 1/ 6 1/ / 3 2 / 3 1/ / 3 2 / 3 1/ 3 Итак, 1 A 4 / 3 7 / 3 5 / 3 2 / 3 1/ 6 1/ 3 1/ 3 2 / 3 1/ 3 Сделаем проверку: 4 / 3 7 / 3 5 / A A 2 / 3 1/ 6 1/ E 1/ 3 2 / 3 1/

27 С помощью обратной матрицы можно решать матричные уравнения: AXC, XAC, AXBC Если матрицы A и B квадратные невырожденные, то решения матричных уравнений могут быть найдены следующим образом: AX C A AX A C EX A C X A C; XA C XAA CA XE CA X CA AXB C A AXBB A CB X A CB ПРИМЕР 5 Найти матрицу X, удовлетворяющую уравнению X Решение Запишем данное уравнение в виде XAC Поскольку deta11, то существует X CA 1 Найдем матрицу 1 A, и решение находится по формуле 1 A : T /11 3 /11 A A det A /11 2 /11 Тогда /11 1/11 4 /11 3 /11 X /11 10 /11 1/11 2 / Сделаем проверку: 6 /11 1/ XA 5 /11 10 / B ; 28

28 ПРИМЕР 6 Найти матрицу X, удовлетворяющую уравнению X Решение Запишем уравнение в виде AXBC Матрицы A и B невырожденные, так как deta2, detb1 Тогда решение уравнения может быть найдено по формуле XA 1 CB 1 Найдем матрицы A B A и 1 B : A ; det A / 2 1/ B 1 det B Окончательно имеем X 1/ 2 1/ Сделаем проверку: AXB C T T Задачи 1 Найти обратную матрицу двумя способами: а) 1 1 A 2 0 ; б) A

29 2 Решить матричные уравнения: а) X ; б) X ; в) X / 2 Ответы: 1 а) 1 1/ 2 ; б) а) 3 / 2 1 ; б) ; в) / 7 16 / 7 11/ 7 Задания для самостоятельной работы 31 Найти обратную матрицу двумя способами: а) A ; б) A ; в) A С помощью обратной матрицы решить матричные уравнения: а) X ; б) / X / ; в) X ; г) X

30 4 РАНГ МАТРИЦЫ Пусть дана произвольная матрица размера mn a a a a a a A a a a n n m1 m2 mn Выделим любые k (kmin{m,n}) строк и любые k столбцов матрицы A Элементы, находящиеся на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы A и обозначается M Рассмотрим, например, матрицу k A Любой элемент матрицы является минором 1-го порядка Всего миноров 1-го порядка двенадцать Найдем какой-нибудь минор 2-го порядка Выделим, например, первую и третью строки и второй и третий столбцы матрицы На пересечении выделенных строк и столбцов получим минор 2-го 2 3 порядка: M 2 Кстати, число всех миноров 2-го порядка 9 1 данной матрицы равно числу способов выбора двух строк из трех возможных, умноженному на число способов выбора двух столбцов 2 2 3! 4! из четырех возможных, а именно, C3 C4 18, где 2!1! 2!2! k n! Cn число сочетаний из n по k k!( n k)! 31

31 Укажем какой-нибудь минор 3-го порядка Всего миноров 3-го 3 3 3! 4! порядка C3 C4 4 Выделив, например, второй, третий, 3!0! 3!1! четвертый столбцы матрицы, получим: M Очевидно, старший порядок миноров для данной матрицы равен трем Рангом матрицы A называется наибольший из порядков ее ненулевых миноров Обозначение: r(a) или ranga Любой ненулевой минор порядка r(a) называется базисным минором В примере, рассмотренном выше, минор М3 36 не равен нулю, его порядок равен трем Это максимальный порядок ненулевых миноров, следовательно, r(a)3, а сам минор M 3 является базисным Методы нахождения ранга матрицы 1 Метод окаймляющих миноров Пусть в матрице A найден ненулевой минор M порядка k Выделим k строк и k столбцов, на k пересечении которых стоят элементы этого минора, добавим к ним еще одну любую из оставшихся строк матрицы и один любой из оставшихся столбцов Таким образом, число выделенных строк равно k1, и число выделенных столбцов равно k1 На пересечении этих строк и столбцов получилась квадратная матрица порядка k1, определитель которой M k 1 и является окаймляющим минором для минора M k Если все миноры M k 1, окаймляющие минор то r(a)k Если нашелся ненулевой минор k 1 то r(a)k1, и вся процедура повторяется 32 M k, равны нулю, M k, M, окаймляющий

32 ПРИМЕР 1 Найти ранг матрицы A Решение r(a)1, так как у матрицы есть ненулевые элементы Найдем какой-нибудь ненулевой минор 2-го порядка Например, 3 3 M Следовательно, r(a)2 Согласно методу окаймляющих миноров, достаточно рассмотреть только те миноры 3-го порядка, которые окаймляют M 2 Таких миноров всего два (к строкам с номерами 1, 2 и к столбцам с номерами 2, 3, содержащим элементы минора M 2, можно добавить строку с номером 3 и один из оставшихся столбцов: с номером 1 или 4): M , M Итак, все миноры 3-го порядка, окаймляющие M 2, равны нулю 3 3 Следовательно, r(a)2, а минор M является 0 1 базисным Можно указать другие базисные миноры Например, 0 1 M2 6 0 или M

33 Замечание Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк 2 Метод элементарных преобразований Матрица A с помощью элементарных преобразований приводится к ступенчатому виду Затем определяется ранг ступенчатой матрицы, который совпадает с рангом исходной матрицы ПРИМЕР 2 Найти ранг матрицы Решение Приведем данную матрицу к ступенчатому виду: II 3I III 3 I III 2II Очевидно, что минор M является ненулевым минором максимального порядка для ступенчатой матрицы Поскольку порядок этого минора равен трем, то ранг ступенчатой матрицы тоже равен трем и совпадает с числом ее ненулевых строк А так как элементарные преобразования не меняют ранга матрицы, то ранг исходной матрицы также равен трем 34

34 Задачи 1 Найти ранги матриц с помощью метода окаймляющих миноров или с помощью элементарных преобразований: а) Ответы: 1 а) 3; б) ; б) Задания для самостоятельной работы Теоретические упражнения: 1 Как может измениться ранг матрицы при добавлении к ней а) одной произвольной строки; б) одной строки, такой же, как первая строка матрицы? 2 Ранг матрицы A равен r Что можно сказать о ранге матрицы 2A? Задачи: 41 Найти ранг матрицы с помощью метода окаймляющих миноров: а) ; б) Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований: а) ; б)

35 5 ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО АРИФМЕТИЧЕСКИХ ВЕКТОРОВ Арифметическим вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел Обозначение x ( x1, x2,, x n ) Числа x1, x2,, x n называются компонентами вектора x Введем операции над арифметическими векторами: сложение арифметических векторов и умножение арифметического вектора на действительное число Если x ( x1, x2,, x n ) и y ( y1, y2,, y n ) n- компонентные арифметические векторы, то x y ( x y, x y,, x y ), (,,, ), где x x1 x2 x n Пусть L произвольное множество n-компонентных арифметических векторов с введенными выше операциями сложения и умножения на число Множество L называется линейным пространством арифметических векторов, если для любых x, y, z L и для любых, выполняются следующие восемь аксиом: 1 x y y x ; 2 ( x y) z x ( y z ); 36 n 3 во множестве L существует нулевой элемент 0 такой, что для любого x из L выполняется равенство x 0 x; 4 для любого x из L во множестве L существует противоположный элемент ( x) такой, что x ( x) 0 ; 5 1x x; 6 ( x) ( ) x; 7 ( )x x x ; 8 ( x y) x y n

36 Из аксиом линейного пространства следует, что если векторы x1, x2,, x k принадлежат линейному пространству L, то их линейная комбинация 1 x1 2x2 x ( ) тоже принадлежит L k k i Примером линейного пространства является множество всех n- компонентных арифметических векторов, которое обозначается Назовем систему арифметических векторов x x x 1 2 n,,, s линейно зависимой, если найдутся действительные числа 1, 2,, s, не равные нулю одновременно, такие, что 1 x1 2x2 x 0, где 0 (0,0,,0) нулевой вектор В противном случае система называется линейно независимой Пусть s s n Q произвольная система (множество) векторов Упорядоченная система векторов базисом в Q, если: а) e Q ( i 1,2,, r) ; что i б) система e1, e2,, e r линейно независима; e1, e2,, e r называется в) для любого вектора x из Q найдутся числа 1, 2,, r, такие, x e e e r r Последняя формула называется разложением вектора x по базису e1, e2,, e r, а числа 1, 2,, r, которые определяются однозначно, называются координатами вектора x в базисе e1, e2,, e r Всякая система векторов Q имеет хотя бы один базис Если базисов несколько, то все они состоят из одинакового числа векторов, которое называется рангом системы векторов Q 37

37 Если Q является линейным пространством, то число векторов в базисе называется размерностью линейного пространства n В частности, размерность равна n, а в качестве базиса можно взять следующую систему векторов: e1 e2 e n (1,0,,0), (0,1,,0),, (0,0,,1) Теорема о базисном миноре Ранг матрицы равен рангу системы ее столбцов (строк), при этом столбцы и строки, содержащие элементы базисного минора, образуют базис в системе столбцов (строк) этой матрицы Замечание Элементарные преобразования строк матрицы не изменяют линейных соотношений между ее столбцами Итак, ранг системы векторов равен рангу матрицы, столбцами которой являются данные векторы А базис состоит из векторов, которые соответствуют столбцам, содержащим элементы какогонибудь базисного минора ПРИМЕР 1 Исследовать линейную зависимость системы арифметических векторов x (1,4,3), x (3, 3, 1), x (2,3,2) Решение Составим матрицу, столбцами которой являются заданные векторы, и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк: II 4I III 3 I 3III 2II Итак, ранг матрицы равен трем Следовательно, ранг системы векторов тоже равен трем, таким образом, заданные векторы (их всего три) линейно независимы и образуют базис 38

38 ПРИМЕР 2 Найти ранг и какой-нибудь базис системы арифметических векторов x (2,1,1), x ( 1,1, 5), x (5,3,1), x (6,5, 3) Решение Составим матрицу, столбцами которой являются данные векторы, и с помощью элементарных преобразований строк приведем ее к ступенчатому виду: 39 II 2I III I I II / 3 11/ 3 I II 0 1 1/ 3 4 / / 3 4 / III 2II II / 3 Ранг матрицы равен двум, следовательно, ранг системы векторов тоже равен двум 1 0 Рассмотрим последнюю матрицу Минор M является базисным По теореме о базисном миноре первый и второй столбцы, содержащие элементы базисного минора, образуют базис в системе столбцов матрицы, а третий и четвертый столбцы линейным образом выражаются через базисные Очевидно, третий столбец равен сумме первого столбца, умноженного на 8/3, и второго столбца, 8 1 умноженного на 1/3 III I II, а четвертый столбец является 3 3 суммой первого, умноженного на 11/3, и второго, умноженного на 4/ IV I II Поскольку при элементарных преобразованиях 3 3 строк линейные соотношения между столбцами не изменяются, то для столбцов исходной матрицы выполняются те же самые соотношения, то есть арифметические векторы x 1 и x 2,

39 соответствующие первому и второму столбцам, образуют базис в заданной системе векторов, а x3 8 x1 1 x , x4 x1 x / 3 Если рассмотреть другой базисный минор M2 0, то 1 1/ 3 получим еще один базис, состоящий из векторов x 2 и x 3 Задачи 1 Исследовать линейную зависимость системы арифметических векторов x (1, 1, 2,1), x (0,1, 1, 2), x (1,1, 0, 1), x (2,1,1,3)? Найти ранг и все базисы системы арифметических векторов x ( 1,1, 2, 2), x ( 3, 0, 1, 0), x (0, 1,1, 2), x ( 1, 0,1, 0) Задания для самостоятельной работы 51 Исследовать линейную зависимость следующих систем векторов: x (1,3, 0, 1), x (2, 0,1,1), x (1,1,1, 0), x (4, 4, 2, 0) ; а) x (2,3, 4), x (1, 3,2), x (3,1,5) б) Найти ранг и все базисы систем арифметических векторов: x (1, 0,1, 2), x (3,1, 2, 0), x (2,1,1, 2), x (1,1, 0, 4) ; а) x (1, i, 1, i,1), x (1, i, 1, i,1), x (1, 1,1, 1,1), б) x4 (3, 1, 1, 1,3) 40

40 6 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРАВИЛО КРАМЕРА Пусть дана система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (такие системы называют квадратными) a11x1 a12 x2 a1nx n b1, a21x1 a22x2 a2nxn b2, an1x1 an2x2 annxn bn, где a ( i 1,2,, n; j 1,2,, n) коэффициенты при неизвестных ij x1, x2,, x n, которые нужно найти, b 1, b 2,, b n свободные члены Систему можно записать в матричном виде где AXB, a11 a12 a1 n x1 b1 a21 a22 a 2n x 2 b 2 A, X, B a a a x b n1 n2 nn n n Матрица A, состоящая из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы, X столбцом неизвестных, а B столбцом свободных членов Совокупность чисел , 2,, n x x x является решением системы, если при подстановке их в каждое уравнение системы получатся тождества Поскольку матрица A квадратная, то ей соответствует определитель 41

41 Если матрица системы A невырожденная, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера 1 2 x1, x2,, x n n, где deta, а определитель матрицы, полученной из матрицы A k заменой ее k-го столбца столбцом свободных членов Это же решение можно найти другим способом Так как матрица A невырожденная, то она имеет обратную матрицу части матричного уравнения AXB слева на 1 X A B ПРИМЕР 1 Решить систему x1 2x2 3, 3x1 x2 1 1 A Умножив обе 1 A, получим Решение Вычислим определитель матрицы A, составленной из коэффициентов при неизвестных: 1 2 det A Первый способ Так как deta0, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера: 1 2 1, x2 x Заменим в первый столбец столбцом свободных членов, тогда , x Заменив в второй столбец столбцом свободных членов, имеем , x

42 Второй способ Так как deta0, то существует 1 A : / 5 2 / 5 A A det A / 5 1/ 5, тогда T 1 1/ 5 2 / X A B 3 / 5 1/ Полученное решение совпадает с решением, найденным по формулам Крамера Подставив x1 1, x2 2 во все уравнения системы, убеждаемся в правильности нашего решения 2x1 x2 x3 2, ПРИМЕР 2 Решить систему 5x1 x2 3x3 14, 2x1 x2 2x3 5 Решение Найдем определитель матрицы системы: det A Так как 0, то данная система имеем единственное решение Первый способ Найдем решение по формулам Крамера: 1 2 x 3 1, x2, x3 Поскольку , , , то x1 2, x2 5, x

43 Тогда Второй способ Так как deta0, то существует обратная матрица A / 3 1/ 3 2 / A / 3 2 / 3 1/ 3 det A / 3 1/ 3 2 / X A B 4 / 3 2 / 3 1/ Подставив найденные значения в каждое уравнение системы, убеждаемся, что (2, 5, 3) T X является решением Замечание Правило Крамера имеет большое теоретическое значение Ввиду громоздких вычислений на практике его обычно применяют только при решении квадратных систем с двумя или тремя неизвестными Задачи 1 Решить системы двумя способами: а) x1 x2 4, б) 2x1 x2 5 2x1 3x2 x3 7, x1 2x2 3x3 14, x1 x2 5x3 18 Ответы: 1 а) ( 3, 1) T X ; б) (1, 2, 3) T X Задания для самостоятельной работы 61 Решить системы двумя способами: а) 2x13 x2 13, 3x1 x2 3 б) 2x1 4x2 x3 3, x1 5x2 3x3 1, x1 x2 x3 1 2x1 x2 3x3 3, в) 3x1 4x2 5x3 22, 2x2 7x3 8 44

44 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОД ГАУССА Основные понятия Рассмотрим произвольную систему m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными где a11x1 a12 x2 a1 nxn b1, a21x1 a22x2 a2nxn b2, am1x1 am2x2 amnxn bm В матричной форме система записывается так: AXB, a11 a12 a1n x1 b1 a21 a22 a 2n x 2 b 2 A, X, B a a a x b m1 m2 mn n m Здесь A матрица системы, X столбец неизвестных, а B столбец свободных членов Если в системе AXB столбец свободных членов состоит из нулей (обозначение B0), то система называется однородной, в противном случае, неоднородной Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений Система называется определенной, если она имеет единственное решение 45

45 Если система имеет более одного решения, то она называется неопределенной В этом случае каждое решение называется частным, а совокупность всех решений называется общим решением системы Элементарными преобразованиями системы являются следующие преобразования: 1) перестановка уравнений системы; 2) умножение уравнения на ненулевое число ; 3) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число Две системы называются эквивалентными, если у них один и тот же набор неизвестных, и множества их решений совпадают В частности, системы, полученные друг из друга с помощью элементарных преобразований, эквивалентны Расширенной матрицей системы называется матрица a a a b a a a b A a a a b n n 2 m1 m2 mn m Теорема (Кронекера-Капелли) 1 Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то есть rangarang A 2 Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение 3 Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений 46

46 ПРИМЕР 1 Установить, является ли совместной система x1 2x2 3x3 2, 2x1 x2 x3 1, 3x1 x2 4x3 3 Решение Найдем ранги матриц A и A : II 2I III 3 I III II Так как ranga2, а rang A 3, то по теореме Кронекера-Капелли система решений не имеет Исследовать систему линейных алгебраических уравнений означает определить, совместна она или нет, а в случае совместности системы найти множество ее решений Метод Гаусса Для исследования системы линейных алгебраических уравнений применяют метод Гаусс, состоящий в том, что с помощью элементарных преобразований заданная система приводится к системе более простого вида Любой системе можно поставить в соответствие расширенную матрицу Расширенная матрица с помощью элементарных преобразований строк приводится к ступенчатому виду (заметим, что элементарные преобразования строк матрицы напрямую связаны с элементарными преобразованиями системы), причем можно сделать так, чтобы в каждой ненулевой строке ступенчатой матрицы первый ненулевой элемент был равен единице Рассмотрим возможные случаи: 47

47 1 Если расширенная матрица системы имеет вид k2 1kr 1n kr 2n r где r 1 0, то rangarang A По теореме Кронекера-Капелли система несовместна 2 Если расширенная матрица имеет вид rn 12 1, n1 1n 1 2, n1 2n n1, n n то rangarang A n, и система имеет единственное решение Чтобы получить это решение, выпишем систему, соответствующую полученной расширенной матрице: n, x1 12x2 1, n1xn 1 1n xn 1, x2 2, n1xn 1 2nxn 2, xn1 n1, nxn n1, xn n r 0,

48 Из последнего уравнения однозначно определяется x n Подставив найденное значение x n в предпоследнее уравнение, находим однозначно xn 1 и тд И, наконец, из первого уравнения определяем однозначно x 1 3 Если расширенная матрица имеет вид k2 1kr 1n kr 2n то rangarang A rn, и система имеет бесконечно много решений Минор, составленный из элементов матрицы, расположенных в первых r строках и столбцах с номерами 1, k2,, k r, является базисным Неизвестные x1, xk,, x 2 k, соответствующие столбцам r базисного минора, назовем базисными, а остальные nr неизвестных назовем свободными Свободные неизвестные могут принимать произвольные значения C1, C2,, Cn r Запишем систему, соответствующую полученной матрице: rn r, x1 1k x 2 k 2 1k x 1 1, r k r nxn xk 2 2k x 2 2, r k r nxn xk r rnxn r После подстановки вместо свободных неизвестных произвольных значений C1, C2,, Cn r из последнего уравнения 49

49 системы определяем x k r Подставляя x k r в предпоследнее уравнение, получим и так далее Итак, общее решение системы выражается xk r 1 через C1, C2,, Cn r Заметим, что каждому фиксированному набору значений свободных неизвестных соответствует единственное частное решение системы ПРИМЕР 2 С помощью метода Гаусса решить систему 3x1 2x2 5x3 4x4 2, 6x1 4x2 4x3 3x4 3, 9x1 6x2 3x3 2x4 4 Решение Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк приведем ее к ступенчатому виду: II 2I III 3 I III 2II A / 3 5 / 3 4 / 3 2 / / 6 1/ Система совместна, так как rangarang A 2, и имеет бесконечно много решений, так как ranga4 1 5 / 3 Выберем в качестве базисного минор M2 (элементы 0 1 этого минора стоят на пересечении первой и второй строк матрицы и первого и третьего столбцов) Неизвестные x1, x 3, соответствующие столбцам базисного минора, являются базисными, тогда остальные неизвестные x2, x 4 свободные 50

50 Пусть x2 C1, x4 C2 Тогда исходная система эквивалентна следующей системе x1 x3 C1 C2, x3 C2 6 6 Здесь свободные неизвестные перенесены в правые части уравнений системы 1 5 Из последнего уравнения сразу находим x3 C2 6 6 Подставляя это выражение в первое уравнение системы, получаем x1 C1 C Итак, общее решение системы имеет следующий вид C1 C x /18 2 / 3 1/18 x C X С С x / / 6 C2 x C 2 Замечание Выбор базисных и свободных неизвестных не является однозначным Он определяется выбором базисного минора В последнем примере в качестве базисного можно было выбрать 1 4 / 3 минор M2, тогда базисными неизвестными были бы x1, x 4, 0 5 / 6 а свободными x2, x 3 В этом случае вид общего решения был бы другим 51

51 ПРИМЕР 3 С помощью метода Гаусса решить систему 2x1 x2 x3 1, 3x1 2x2 x3 8, 2x1 x2 3x3 1, x1 x2 2x3 3 Решение Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду: II 3I III 22 I I IV IV I II IV III 3II IV 5II Система совместна, так как rangarang A 3, и имеет единственное решение, так как ранг равен числу неизвестных Все неизвестные базисные Полученной расширенной матрице соответствует система x1 x2 2x3 3, x2 3x3 5, x3 1 Из третьего уравнения сразу видим, что x3 1 Из второго уравнения находим x2 2 Из первого уравнения получаем x1 1 Итак, заданная система имеет единственное решение X (1, 2, 1) T 52

52 Можно привести расширенную матрицу системы к более простому виду II 3III I 2III I II , тогда система, соответствующая полученной ступенчатой матрице имеет вид x x x , 2, 1 То есть решение заданной системы находится в правом столбце расширенной матрицы Задачи 1 С помощью метода Гаусса решить системы: а) в) x1 x2 2x3 2, x1 2x2 x3 2, б) 2x1 x2 x3 2 3x1 x2 x3 0, 5x1 x2 2x3 2, 2x1 2x2 x3 3 x1 x2 2x3 3x4 5, x1 x2 x3 2x4 x5 2, 2x1 3x2 x3 x4 1, x1 x2 2x3 x4 2x5 3, г) 2x1 x2 2x3 x4 2, x1 3x2 4x3 3x4 1 3x1 2x2 2x3 x4 1 53

53 Задания для самостоятельной работы Теоретические упражнения: 1 Доказать, что система n линейных алгебраических уравнений с n1 неизвестными совместна тогда и только тогда, когда определитель расширенной матрицы равен нулю 2 Существует ли такая система линейных уравнений, что (1, 2, 3) T является ее решением, а ( 1, 2, 3) T нет? Если существует, то что можно сказать об этой системе? 3 Доказать, что если система решение, то abc0 Задачи: ay bx c, cx az b, bz cy a 71 С помощью метода Гаусса решить системы уравнений: 4x1 2x2 3x3 2x4 3, а) 2x1 3x2 2x3 3x4 2, 3x1 2x2 3x3 4x4 1 3x1 2x2 x3 0, б) 7x1 6x2 5x3 4, 5x1 4x2 3x3 2 в) x1 4x2 2x3 3x5 1, 2x1 9x2 5x3 2x4 x5 0, x1 3x2 x3 2x4 9x5 3 x1 x3 2x4 1, x2 x3 2x4 2, г) 7x1 5x2 2x3 4x4 3, 4x1 3x2 x3 2x имеет единственное

54 8 ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ Однородные системы Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравнений AX0 Очевидно, что любая однородная система имеет, по крайней мере, нулевое решение (0, 0, 0) T X 55, то есть однородные системы всегда совместны, при этом возможны два случая: 1) если rangan, где n число неизвестных, то система имеет только тривиальное (нулевое) решение; 2) если rangan, то система имеет ненулевые решения Множество всех решений однородной системы является линейным пространством, размерность которого равна nr, где r ранг матрицы A Любой базис пространства решений однородной системы называется фундаментальной системой решений однородной системы и состоит из nr линейно независимых частных решений системы Фундаментальную систему решений (ФСР) обычно обозначают E1, E2,, En r, тогда общее решение однородной системы X оо имеет следующую структуру: X C E C E C E, оо nr nr где C1, C2,, Cn r произвольные постоянные Укажем способ нахождения фундаментальной системы решений Поскольку ФСР состоит из частных решений системы, а частные решения получаются, если свободным неизвестным придавать конкретные значения, то поступим следующим образом:

55 будем свободным неизвестным придавать поочередно значение равное единице, приравнивая при этом остальные свободные неизвестные нулю Например, если первой свободной неизвестной придать значение 1, а остальные свободные неизвестные приравнять нулю, то соответствующее частное решение и есть E 1 Если вторая свободная неизвестная равна единице, а все остальные свободные неизвестные равны нулю, то получается E 2, и так далее Такой способ гарантирует линейную независимость найденных частных решений E1, E2,, En r ПРИМЕР 1 Решить однородную систему и указать ФСР: x1 2x2 x3 x4 x5 0, 2x1 4x2 2x3 3x4 2x5 0, 3x1 6x2 3x3 x4 2x5 0 Решение Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду: II 2I III 3 I III 2II III / Выберем в качестве базисного минор M Тогда базисными являются неизвестные x1, x4, x 5, соответствующие столбцам этого минора, а x 2 и x 3 свободные неизвестные 56

56 Полученной расширенной матрице соответствует система (все свободные неизвестные перенесены в правые части уравнений) x1 x4 x5 2 x2 x3, x4 4x5 0, x5 0 Фундаментальная система решений состоит из двух частных решений E 1 и E 2, так как nr532 Чтобы найти E 1, придадим свободным неизвестным значения 1 и 0 и, подставив их в последнюю систему, найдем значения базисных неизвестных (из третьего уравнения находим x 5, из второго x 4, а из первого x 1) Чтобы найти E 2, придадим свободным неизвестным значения 0 и 1 и найдем соответствующие значения базисных неизвестных x5, x4, x 1 Итак, x 1, x 0 E ( 2, 1, 0, 0, 0), x 0, x 1 E (1, 0, 1, 0, 0) Общее решение системы имеет вид Xоо C1E1 C2E2 C1 0 C ПРИМЕР 2 Решить однородную систему и указать ФСР: 2x1 x2 3x3 x4 x5 0, 5x1 2x2 x3 x4 2x T T Решение Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду: II 2I II 2I

57 II /( 9) I 4II / 9 7 / 9 1/ / 9 1/ 9 4 / / 9 7 / 9 1/ 9 0 Полученной расширенной матрице соответствует следующая система x1 x3 x4 x5, x2 x3 x4 x5, где x1, x 2 базисные, x3, x4, x 5 свободные неизвестные Найдем фундаментальную систему решений: x 1, x 0, x 0 E ( 5 / 9, 17 / 9, 1, 0, 0) ; x 0, x 1, x 0 E (1/ 9, 7 / 9, 0, 1, 0) ; x 0, x 0, x 1 E ( 4 / 9, 1/ 9, 0, 0, 1) ; Итак, общее решение данной системы имеет вид 5 / 9 1/ 9 4 / 9 17 / 9 7 / 9 1/ 9 3 Xоо CkEk C1 1 C2 0 C3 0 k T T T Неоднородные системы Рассмотрим неоднородную систему AXB и соответствующую ей однородную систему AX0 (матрица A общая) Общее решение неоднородной системы X он равно сумме некоторого частного 58

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Экономический факультет Л.С. Павлова МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ (отд. «Менеджмент») Москва 05 УДК 5.64 ББК.5.54я7 П Павлова Л.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ БУРЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Т.И. Некипелова ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Рекомендовано Учебно-методическим советом БГУ

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B:

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B: Лекция 3. Обратная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий обратимости матрицы. Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратных

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие........................................................... 5 1. Элементы линейной алгебры............................................ 6 ИДЗ 1. Определители..............................................

Подробнее

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Математический анализ» А.П.

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Набор тестов для студентов очной формы обучения всех специальностей Автор

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x Лекция V V Системы линейных уравнений a x +a ++a n b a x +a ++a n b a m x +a m ++a mn b m () Запишем систему m линейных уравнений с n неизвестными в несколько необычном виде: a a a m x + a a a m ++ a n

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.2

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.2 Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Лекция 12 Аннотация Вырожденные и невырожденные матрицы Присоединенная матрица Обратная матрица и ее свойства Вычисление обратной матрицы

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст (самостоятельное изучение) Аннотация Понятие линейной зависимости строк или столбцов матрицы. Ранг матрицы, теорема о ранге

Подробнее

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ В.Л. Клюшин Высшая МАтемаТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Учебное пособие Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее