ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ"

Транскрипт

1 ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00

2 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании кафедры математики и физики от 0000 г Протокол 7 Зав кафедрой Гладков ЛЛ

3 5 ВАРИАНТ Показать, что четырёхугольник с вершинами А(;0;8), В(5;;6), С(;;) и D( ; - ;6) является квадратом Определить объём тетраэдра, вершины которого находятся в точках А(0;0;0), В(;;-), С(;;5), D(6;0;-) На материальную точку действуют силы f i k, f i j k, f i j k Найти работу равнодействующей этих сил при перемещении из точки А(;-;5) в точку В(;;-) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (;-;5) перпендикулярно линии пересечения плоскостей z 0 и z Написать канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки М (;-;-) и М (;;-) 6 Доказать, что прямая 5 0, z 9 0 и плоскость 8 6z 0 перпендикулярны 7 Дана прямая 0 Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(-;) перпендикулярно данной прямой 8 Привести уравнения кривых к каноническому виду и построить: а) ; б) 0 9 Найти z, если z si 0 Исследовать на экстремум функцию z 5 Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) 8 а) ; б) e ; Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) 7 0 0; 0 ; 0 б)

4 6 а) изменить порядок интегрирования: 0 5 d f, d ; б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам): r ; r 0 Вычислить работу, совершаемую переменной силой F P; i Q; j на криволинейном пути L, соединяющем заданные точки М и N F ( ) i (5 ) j ; L дуга параболы ; М(0;0); N(;) 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du ( )d ( 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ( ) 5 ; в) 5 )d ВАРИАНТ Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a i j, b i j k и вычислить угол между его диагоналями Даны векторы a ( ; ; ) и b ( ; ; ) Найти проекцию вектора a b на направление вектора a b Даны вершины пирамиды А(-;0;5), В(;;-), С(0;;), D(-;0;) Найти объём пирамиды, длину высоты, опущенной на грань АВС Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М (;;-) и М (;5;) перпендикулярно плоскости z Написать канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М 0 (-;-;) параллельно вектору S (;-;) 6 Найти проекцию точки А(;-;) на плоскость z 0 7 Найти точку пересечения прямых 5 0 и Привести уравнения кривых к каноническому виду и построить их 7 а) 8 0 ; б) 6 0 z z 9 Найти и, если z e cos

5 7 0 Исследовать на экстремум функцию z 8 6 Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) б) si ; Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) 0 0; 0 ; б) 5 6 e а) Изменить порядок интегрирования: 0 5 d f (,) d ; 9 б) Вычислить площадь, ограниченную линиями: a Вычислить работу, совершаемую переменной силой F P; i Q; j на криволинейном пути L, соединяющем заданные точки М и N F (8 ) i ( ) j ; L дуга параболы М(0;); N(;9) 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du ( ) d ( ) d 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; ; б) ( ) ; в) 5 ВАРИАНТ Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m и b m, если m, m 0 Найти длину и направляющие косинусы вектора a m 5 p, зная, что m i 7 j k, i j k, p i j k Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах a i j k, b i j k, c i j k, если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и c Найти высоту пирамиды SАВС, опущенную из вершины S на грань АВС, если S(;;-); А(0;-;); В(;5;); С(;-;-) 5 Даны вершины треугольника АВС: А(;;-); В(;-;0); С(-;;) Составить канонические уравнения медианы АР

6 8 6 Провести плоскость через пару параллельных прямых z и z 7 Даны вершины треугольника А(;5); В(-;); С(5;8) Написать уравнение медианы, проведённой из вершины С 8 Привести уравнения кривых к каноническому виду и построить их 5 а) ; б) z 9 Найти, если z 0 Исследовать на экстремум функцию z 6 Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) ; б) e l ; 0 Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) ; 0 ; 0 0 а) изменить порядок интегрирования: 0 5 d f, d ; б) вычислить площадь, ограниченную линиями: ; 8 Вычислить работу, совершаемую переменной силой F P; i Q; j на криволинейном пути L, соединяющем заданные точки М и N F i 8 j ; L дуга гиперболы ; М(0;0); N(;8) 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du l d d 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ; в) 5

7 9 ВАРИАНТ Проверить будут ли точки А(-;;-); В(;;5); С(;-;); D(;;-) лежать в одной плоскости Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a i j k, b i j k Найти проекцию вектора a b на направление вектора b i j k, если a 5i 8 j 5k Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М (;-;); М (;-;-); М (;0;) 5 Привести к каноническому виду уравнения прямой z 0, 5z 0 z 6 Провести плоскость через прямую и точку М 0 (;0;) 7 Составить уравнение прямой, походящей через точку М 0 (5;-) перпендикулярно прямой Привести уравнения кривых к каноническому виду и построить их 5 а) ; б) 0 9 Найти z, если z l 0 Исследовать на экстремум функцию z 6 Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) tg ; б) ctg ; 0 si Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) ; 0 ; 0 ; б) 6 8 e а) Изменить порядок интегрирования: 0 d f, d б) Вычислить площадь, ограниченную линиями: ; Вычислить работу, совершаемую переменной силой F P; i Q; j на криволинейном пути L, соединяющем заданные точки М и N

8 0 F 8 i j ; L дуга параболы 7 ; М(0;0); N(;) 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du l arctg d d 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ; в) ВАРИАНТ 5 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a m 6 и b m, если m,, m 5 6 Сила F (;-;5) приложена в точке М 0 (;-;) Найти величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат Показать, что треугольник с вершинами А(5;-); В(;); С(;-5) прямоугольный Из точки Р(-;-;) опущен на плоскость перпендикуляр; его основание Q(;;) Найти уравнение плоскости 5 Найти угол между прямыми z и z 5 z 6 Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую z параллельно прямой 5 7 Точки А(-;); В(5;6); С(;) вершины треугольника Написать уравнение высоты, проведённой из вершины С 8 Привести уравнение кривых к каноническому виду и построить их а) 8 0 ; б) Проверить, что z z, если z si 0 Исследовать на экстремум функцию z Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) l 0; б) si;

9 Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) 9 0; 0; ; б) e а) Изменить порядок интегрирования: 0 d f, d ; б) вычислить площадь, ограниченную линиями: ; 6 0 Вычислить работу, совершаемую переменной силой F P; i Q; j на криволинейном пути L, соединяющем заданные точки М и N F 5 i j ; L отрезок прямой, соединяющей точки М(;) и N(;5) 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du e d si e d 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; в) ; б) ВАРИАНТ 6 Даны вершины четырёхугольника АВСD: А(9;;); В(;;); С(7;;); D(- ;0;6) Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a i j k, b i j k и вычислить угол между его диагоналями Найти вектор, если он перпендикулярен векторам a (;-;); b (;-;) и удовлетворяет условию i j 7k 0 Найти угол между плоскостями z 5 0 и 6 z 0 5 Доказать, что прямые взаимно перпендикулярны z 0, 5z 0 и t, t, z 6t 6 Найти проекцию точки А(;-;) на плоскость z 0 7 Показать, что точки А(6;); В(;-); С(-;-5) лежат на одной прямой 8 Привести уравнение кривых к каноническому виду и построить их а) ; б) Найти z, если z

10 0 Исследовать на экстремум функцию z 8 Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) si ; б) cos tg ; 0 Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными б) общее решение ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами а) 7 0; ( 0) ; ( 0) ; б) e а) Изменить порядок интегрирования: 0 d si 0 f, d б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 7 a ; a ; a ; 0; (a 0) Вычислить работу, совершаемую переменной силой F P; i Q; j на криволинейном пути L, соединяющем заданные точки М и N F i j ; L дуга параболы ; М(;); N(;0) 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du d d 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ; в) ВАРИАНТ 7 Даны векторы a i j k и b i j k Вычислить a b a b Вычислить проекцию вектора a (;-;-) на направление вектора b (- ;;6) Найти, при каком векторы a m 5 и b m ортогональны, если m,, m 60 Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (-;7;) параллельно плоскости 5z 0 5 Через точку М 0 (;-;-) провести прямую, параллельную прямой z 0, z 0

11 6 Найти проекцию точки А(;;) на прямую z 7 Дана прямая 5 0 Через точку М 0 (;-) провести прямую, наклонённую к данной под углом 5 8 Привести уравнения кривых к каноническому виду и построить их а) ; б) z z 9 Проверить, что, где z l 0 Исследовать на экстремум функцию z 8 Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) ; б) ; Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) 9 0 ; ( 0) ; ( 0 ) ; б) cos а) Изменить порядок интегрирования: d f (,) d ; б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: ; ; Вычислить работу, совершаемую переменной силой F P; i Q; j на криволинейном пути L, соединяющем заданные точки М и N F i j ; L дуга гиперболы ; М(0;); N(;) 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du d d 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) 7 ; б) ; в) 5

12 ВАРИАНТ 8 Даны векторы a (;;) и b (-;;) Найти проекцию вектора a b на направление вектора b a Вычислить момент силы F (;-;5), приложенной в точке А(;5;-) относительно точки В(;;) Вычислите объём треугольной пирамиды с вершинами в точках А(0;0;); В (- ;;); С(;-;0); D(;-;) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (;-;) параллельно векторам a (-;;-) и b (;;) 5 Написать канонические уравнения перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость z 0 6 Найти проекцию точки А(6;-;-) на плоскость z 0 7 Составить уравнение прямой, проходящей через точку М 0 (;) параллельно прямой 8 Привести уравнения кривых к каноническому виду и построить их а) 8 0 ; б) Найти z, где z l 0 Исследовать на экстремум функцию z Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) ( ) ; б) ( ) arctg, ( 0) Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) 0; ( 0) 0 ; ( 0) ; б) 7 а) Изменить порядок интегрирования: d f (,) d ; б) Вычислить площадь, ограниченную линиями(перейти к полярным координатам): ( ) Вычислить работу, совершаемую переменной силой F P; i Q; j на криволинейном пути L, соединяющем заданные точки М и N F i ; L дуга гиперболы ; М(;); N(;0) j

13 5 5 Найти функцию по её полному дифференциалу 5 d d du 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ; в) ( ) 7 ВАРИАНТ 9 На материальную точку действуют силы f i j k, f i j k, f i j k Найти работу равнодействующей этих сил при перемещении из точки А(;-;0) в точку В(;;-) Найти вектор, коллинеарный вектору a =(;;-) и удовлетворяющий условию a 8 Даны вершины четырёхугольника А(;;-); В(;;-5); С(-;;); D(;0;) Найти синус угла между его диагоналями z Найти угол между прямой и плоскостью, проходящей через 6 три точки А(;;); В(;;-); С(0;;0) 5 Составить уравнение прямой, проходящей через точку М о (;0;5) параллельно прямой z 5 0, z 0 6 Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат, t, перпендикулярно прямой, z t 7 Вычислить длину высоты треугольника с вершинами А(;); В(;); С(-;), опущенной из вершины А 8 Привести уравнения кривых к каноническому виду и построить их а) ; б) 0 9 Найти z, где z e 0 Исследовать на экстремум функцию z ( ) ( ) Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл)

14 6 а) l 0; б) e ; ( 0) 0 Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) ; ( 0 ) 5; ( 0) 0 ; б) 8 e а) Изменить порядок интегрирования: 0 d f (,) d ; б) Вычислить площадь, ограниченную линиями: ; 5 Вычислить работу, совершаемую переменной силой F P; i Q; j на криволинейном пути L, соединяющем заданные точки М и N F i 5 j ; L дуга параболы ; М(;); N(;) 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du e cos d e cos d 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ( ) ; в) 5 ВАРИАНТ 0 Найти площадь треугольника, построенного на векторах a b и a b, если a b 5, a b 5 Даны три вектора: a i j k, b i 5 j, c i j k Вычислить пр с a b Проверить, что точки А(;-;); В(;;-); С(-;;-); D(;-5;) служат вершинами трапеции Найти длины её параллельных сторон Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(;0;5), перпендикулярно плоскости z 0 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка С с концами А(;0;) и В(-;6;), перпендикулярно этому отрезку 6 Найти угол между прямыми z и z 0, z 0 7 Проверить, лежат ли на одной прямой три данные точки А(;-); В(5;); С(;) 8 Привести уравнения кривых к каноническому виду и построить их

15 7 а) 0; б) Найти z, если z e e 0 Исследовать на экстремум функцию z 5 Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) l l ; б) cos ; Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) 5 0 ; ( 0) ; ( 0) 0; б) 0 e а) Изменить порядок интегрирования: d f (, )d б) Вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам): ( ) a Установить независимость от пути интегрирования и вычислить криволинейный интеграл по контуру, связывающему точки М(;) и N(;5) ( ) d ( 5) d 5 Найти функцию по ее полному дифференциалу du ( ) d ( ) d 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) 5 ; б) ( ) ; в) 7

16 8 ВАРИАНТ При каком а объём пирамиды ABCD равен 7 куб ед, если А(0;0;0); В(;;- ); С(а;;5); D(;0;-) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a m 5 и 5 b m, если m,,( m ) 6 Даны точки А(-;;-); В(;;5); С(;-;); D(;;-) Вычислить пр AB CD Привести уравнение прямой, z 7 0, к каноническому виду 0 5 При каком значении В плоскости B z 0 и z 5 0 перпендикулярны? 6 Дан треугольник с вершинами А(5;); В(;-); С(;-) Написать уравнение высоты, опущенной из вершины С 7 Написать уравнение плоскости, перпендикулярной к прямой 7 z и проходящей через точку М(0;;-) 8 Привести уравнения кривых к каноническому виду и построить их 7 а) 9 0 ; б) Найти z, если z e l( ) 0 Исследовать на экстремум функцию z Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) ctg ; б) si ctg; Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) 6 0; ( ) ; ( ) 0; б) а) Изменить порядок интегрирования: 5 d d ; 0 5 б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам) ; 6

17 9 Вычислить работу, совершаемую переменной силой F P; i Q; j на криволинейном пути L, соединяющем заданные точки М и N F ( )i ( ) j ; L дуга параболы ; М(;); N(;9) 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du ( 0 8 )d ( 5 8 )d 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ( ) ; в) 5 ВАРИАНТ Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a i j k и b i j k Найти площадь треугольника, построенного на векторах a b и a b, если a b 5,( a b ) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a( ; ; ),b( ; ; ) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(;0;-) перпендикулярно к двум плоскостям z 8 0 и z 0 5 Даны вершины треугольника А(;;); В(;-;); С(0;5;-) Составить уравнение медианы, проведённой из вершины С 6 Вычислить расстояние между параллельными плоскостями z 8 0 и z Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(;) перпендикулярно прямой Привести уравнения к каноническому виду и построить: а) 0 0; б) z 9 Найти, если z l( ) 5 0 Исследовать на экстремум функцию z e ( Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) ; б) arcsi; ( 0 ) Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными )

18 0 б) общее решение ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами а) 0 5 0; (0) ; (0) ; б) 5 ( ) e а) Изменить порядок интегрирования: 0 d d ; б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам); ; 5 7 Установить независимость от пути интегрирования и вычислить криволинейный интеграл по контуру, связывающему точки М(;) и N(;5) ( )d ( )d 5Найти функцию по её полному дифференциалу du ( ) d ( ) d 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ( ) ; в) 7 ВАРИАНТ При каком b точки А(;b;); В(0;;5); С(-;;) и D(;;) лежат в одной плоскости? Даны векторы a (;;),b ( ;;) Найти проекцию вектора a b на направление вектора a b Вычислить объём треугольной пирамиды с вершинами в точках А(0;0;); В(-;;); С(;-;0); D(;-;) Показать, что прямые t, t, и 5z 0, взаимно перпендикулярны z 0 z t 5 Найти расстояние от точки М(0;;) до плоскости, проходящей через три точки А(0;;-); В(;;0); С(;;) 6 Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно плоскости 7 5z 0 7 Написать уравнение средней линии треугольника с вершинами А(6;); В(- ;); С(0;8), параллельной стороне ВС 8 Привести уравнения к каноническому виду и построить

19 5 5 а) ; б) Найти z, если z l( ) 0 Исследовать на экстремум функцию z 6 Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) ; б) arctg ; 0 0 Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными б) общее решение ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами а) 6 0; ( 0 ) ; ( 0 ) ; б) 8e а) Изменить порядок интегрирования: 5 0 d б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам)а) ; ; Установить независимость от пути интегрирования и вычислить криволинейный интеграл по контуру, связывающему точки М(;) и N(;5) ( )d ( )d 5 Найти функцию по её полному дифференциалу 5 du ( si) d (5 e ) d 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ( ) ; в) ( ) ( ) 5 5 d ; 5 ВАРИАНТ Точки А(;-;); В(;;6); С(;-;) вершины треугольника АВС Найти длину стороны АВ и внутренний угол при вершине А Даны точки А(;-;); В(;;-); С(;;) Найти координаты вектора c ( BC AC ) CB Даны три вектора a i j k, b i 5 j, c i j k Вычислить p a b ) C (

20 Привести уравнение прямой к каноническому виду z 7 0, 0 5 При каком значении L плоскости z 5 0 и L z 0 перпендикулярны? 6 Дан треугольник с вершинами А(5;); В(;-); С(;-) Написать уравнение высоты СD 7 Написать уравнение плоскости, перпендикулярной к прямой 5 z и проходящей через начало координат 8 Привести уравнение кривых к каноническому виду и построить а) ; б) 5 5 z z 9 Найти и, если z cosl 0 Исследовать на экстремум функцию z Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) ; б) tg si6; ( 0 ) Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными б) общее решение ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами а) 0; (0) ; (0) ; б) e а) Изменить порядок интегрирования 6 0 d d ; б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам) 6 ; 5 Установить независимость от пути интегрирования и вычислить криволинейный интеграл по контуру, связывающему точки М(;) и N(;5) ( ) d d,

21 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du (cos si) d (cos si ) d 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ( ) ; в) ВАРИАНТ 5 Найти площадь треугольника, построенного на векторах c a b и d a b, если a b 5 и ( a b ) 5 Доказать, что точки А(;0;7); В(-;-;); С(;-;); D(0;;9) лежат в одной плоскости Вычислить ( a b ) ( b a), если a 5, b, ( a b ) 6 Найти угол между плоскостями z 5 0 и z 0 5 Написать канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М о (-;-;) параллельно оси ОХ z 6 Найти угол между прямой и плоскостью 6 z 0 7 Дан треугольник с координатами вершин А(-8;); В(8;5); С(8;-5) Найти уравнение медианы АD 8 Привести уравнение кривых к каноническому виду и построить: а) 0; б) 5 0 z 9 Найти z и, если z e 0 Исследовать на экстремум функцию 5 z Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) ( ) ; б) ( ) arctg; (0) Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными б) общее решение ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами а) 8 5 0; (0) ; (0) ; б) 8 ( ) e а) Изменить порядок интегрирования d d; 0 9

22 б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам) 5 ; Установить независимость от пути интегрирования и вычислить криволинейный интеграл по контуру, связывающему точки М(;) и N(;5) ( 5 ) d ( ) d, 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du d d ( ) ( ) 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ( ) ; в) ВАРИАНТ 6 Сила F (;;9 ) приложена в точке А(;;-) Определить величину и направляющие косинусы момента M этой силы относительно точки В(;;0) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a i j, b i j k, и вычислить угол между его диагоналями Лежат ли точки А(-;;-); В(;;5); С(;-;); D(;;-) в одной плоскости? Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (;-;-7) параллельно плоскости 6 z Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М о (;-5;) и образующей с осями координат углы ; ; 6 Составить уравнения прямой, проходящей через точку М о (;-;) перпендикулярно плоскости 5 7z 0 7 Дан треугольник с координатами вершин А(-8;); В(8;5); С(8;-5) Найти длину высоты АD 8 Привести уравнение кривых к каноническому виду и построить а) 6 6 0; б) Найти z, если z si( ) Исследовать на экстремум функцию z 0 6 7

23 5 Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) arctg а) ; б) ; (0) Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) 7 0; 0; ; б) e а) Изменить порядок интегрирования 5 d d ; ( ) б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам) ; 5 Установить независимость от пути интегрирования и вычислить криволинейный интеграл по контуру, связывающему точки М(;) и N(;5) ( )d ( )d 5 Найти функцию по её полному дифференциалу ( e ) e du d d ( ) 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) 5 ; б) ( ) ; в) 5 ВАРИАНТ 7 Найти площадь треугольника, построенного на векторах a b и 5 a b, если a b, ( a b ) Вычислить высоту пирамиды АВСD, опущенную из точки D, зная координаты её вершин: А(;;5); В(;0;8); С(6;-;8); D(5;0;) На материальную точку действуют силы f i j k, f 5i j k, f i k Найти работу равнодействующей этих сил при перемещении из точки А(-;5;-) в точку В(0;0;-) Плоскость проходит через точку Р(;-;-) и отсекает отрезки на оси абсцисс a, на оси аппликат с= Составить уравнение плоскости 5 Доказать, что прямые взаимно перпендикулярны

24 z 5z 0, ; 8z Найти точку пересечения прямой 9 z и плоскости 5 z 0 7 Даны уравнения сторон треугольника 9 0, 0, 0 Определить координаты вершин 8 Привести уравнения кривых к каноническому виду и построить а) 6 5 0; б) Найти z, если z 8l( ) Исследовать на экстремум функцию z Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) ; б) ctg ; si si Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) 0; () 0; () ; б) ( ) e а) Изменить порядок интегрирования d 0 9 б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам) 6 ; Установить независимость от пути интегрирования и вычислить криволинейный интеграл по контуру, связывающему точки М(;) и N(;5) ( )d ( )d 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du ( e ) d ( cos) d 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ( ) ; б) ( ) ; в) d;

25 7 ВАРИАНТ 8 Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a i j, b i j k и вычислить угол между его диагоналями Установить, компланарны ли векторы a ( ;; ), b (;;), c (;; ) Даны две точки М(-5;7;-6), N(7;-9;9) Вычислить проекцию a ( ; ; ) на направление вектора M N Точка М(;-;) основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость Составить уравнение плоскости 5 Доказать, что прямые параллельны z и z 0, 5z Найти угол между прямой, проходящей через точки А(-;0;-5); В(;;0) и плоскостью z Найти точку, симметричную точке А(;7) относительно прямой Привести уравнение кривых к каноническому виду и построить а) ; б) Найти z, если z e 9 0 Исследовать на экстремум функцию z Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) si ; б) ; ( ) Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) 0; ( ) ; ( ) ; б) 6 ( ) e а) Изменить порядок интегрирования d 0 8 б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам) ; d ;

26 8 Установить независимость от пути интегрирования и вычислить криволинейный интеграл по контуру, связывающему точки М(;) и N(;5) ( )d ( )d, 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du ( arcsi ) d d si 6а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ( ) ; в) 5 7 ВАРИАНТ 9 Построить пирамиду с вершинами в точках А(;0;0), B(0;;0), C(0;0;6), D(;;8) Вычислить ее объем Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a m 6 и b m, если m,, m 5 / 6 Проверить, что точки А(;-;), В(;;-), C(-;;-), D(;-5;) служат вершинами трапеции Найти длины ее параллельных сторон Дано уравнение плоскости z 0 Написать для нее уравнение в отрезках и построить ее 5 Даны вершины треугольника АВС: А(-5;7;), В(;;-), C(-;;5) Найти канонические уравнениея медианы, опущенной из вершины В на АС 6 Найти проекцию точки А(-;0;-5) на плоскость z 0 7 Через точку М(;5) провести прямую, отсекающую на осях координат отрезки равной величины 8 Привести уравнение кривых к каноническому виду и построить а) 8 0; б) 0 9 Найти z, если z 8cos 0Исследовать на экстремум функцию z Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) arcsi а) l ; б) ; ( 0 ) Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными б) общее решение ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами а) 7 6 0; (0) ; (0) 0; б) а) Изменить порядок интегрирования

27 0 d d ; 9 б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам) 5 ; Установить независимость от пути интегрирования и вычислить криволинейный интеграл по контуру, связывающему точки М(;) и N(;5) ( 8) d ( ) d 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du ( l arctg ) d d 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ( ) ; в) 5 8 ВАРИАНТ 0 Определить, при каком векторы p a 7b и q a b окажутся перпендикулярными, если a, b 5, a b В треугольнике АВС найти длину стороны АВ и внутренний угол при вершине А, если известны координаты его вершин А(;-;); В(;;6); С(5;- ;) Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах a i j k, b i j k, c i j k Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Р(;;) и отсекающей на осях ОХ и ОY отрезки a ; b 5 Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точку М 0 (;-;5) z 7 0, параллельно прямой z 0 6 Найти проекцию точки А(;;0) на прямую z 5 7 Две стороны квадрата лежат на прямых 0 ; 0 Вычислить площадь квадрата 8 Привести уравнение кривых к каноническому виду и построить а) 6 0; б)

28 0 9 Найти z, если z si( ) 8 7 0Исследовать на экстремум функцию z Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) ( ) ; б) cos tg; (0) Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) 8 6 0; (0) ; (0) 0; б) 5 6 e а) Изменить порядок интегрирования 5 d d ; ( ) б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам) 5; Установить независимость от пути интегрирования и вычислить криволинейный интеграл по контуру, связывающему точки М(;) и N(;5) ( 5 )d ( )d, 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du d d ( ) si 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) 8 ; б) ( ) ; в) 7 ВАРИАНТ Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a i j k, b i j k и вычислить длину его диагоналей Найти проекцию вектора a b на направление b i j k, если a 5i 8 j 5k Найти угол между векторами m и, если m, а векторы a m, b m перпендикулярны Даны уравнения катета и середина гипотенузы К(;) прямоугольного равнобедренного треугольника Найти уравнения двух других его сторон

29 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(0;0;) и В(;0;0) и образующей с плоскостью OXY угол 60 6 Написать уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости 5 5z 0 0 и образующей с плоскостью 8z 0 угол 5 7 Вычислить расстояние от точки М о (;- 5;8) до прямой z t, t, z t 8 Уравнения кривых привести к каноническому виду и построить их, а) 0; б) Найти z, если z arcsi 0 Исследовать на экстремум функцию z ( ) Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) d d 0; б) ( l ) d d; (0) Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) 0; (0) 0; (0) ; б) 8si 6cos а) Изменить порядок интегрирования 9 0 d d ; 9 б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам) ; Вычислить ( 5 )d ( )d; L контур образованный кривыми L ; 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du d d 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ( ) ; в) ( )

30 ВАРИАНТ На материальную точку действуют силы f 5i k, f i j, f i j k Найти работу равнодействующей этих сил при перемещении из точки М(;-;) в точку N(-;;) Найти при каком векторы a m 5 и b m перпендикулярны, если m,, m 60 Даны векторы a (;; ) и b (;; ) Найти проекцию вектора c a b на направление вектора d b a Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольника 7 9 0; 5 0 и точка М 0 (;-8), лежащая на его основании Составить уравнение основания 5 Найти координаты точки, симметричной точке Р(;-;) относительно плоскости z 0 6 Составить уравнение плоскости, проходящей через ось OZ и образующей с плоскостью 5z 7 0 угол z z 6 7 Доказать, что прямые и пересекаются и найти координаты точки их пересечения 8 Привести уравнение кривых к каноническому виду и построить а) 6 7 0; б) 6 0 z 9 Найти z l 0 Исследовать на экстремум функцию z Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) ( ) d ( ) d 0; б) ( ) ( );( ) Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) 0 0; (0) ; (0) 0; б) cos а) Изменить порядок интегрирования, если 7 d d ; ( ) 6 б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам) 5;

31 Вычислить работу, совершаемую переменной силой F P; i Q; j на криволинейном пути L, соединяющем заданные точки М и N F i j; L отрезок прямой М(;); N(;6) 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du d e d 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ( ) ; в) ( ) ВАРИАНТ Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a ( ;; ), b ( ; ;), и вычислить угол между его диагоналями Вычислить скалярное произведение векторов a и b, если b m, m,, m 6 Найти проекцию вектора b на вектор AB, если b BD AC, А(;-;); В(-;;); С(;;5); D(;-;) Составить уравнения прямых, перпендикулярных прямой 6 0 и находящихся от точки А(5;) на расстоянии 0 5 Написать уравнение плоскости, отсекающей на осях координат отрезки, пропорциональные числам,, и отстоящей от точки А(;5;7) на расстоянии единиц 6 Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 6 z 0; 5 z 0 0 параллельно оси OX 7 Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку А(;;) 0, 0, и пересекающей прямые и z 0 z 0 8 Привести уравнение кривых к каноническому виду и построить а) б) z 9 Найти, если z arctg 0 Исследовать на экстремум функцию z ( ) Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) ; б) ctg ; (0) Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными

32 а) 5 6 0, (0) 0; (0) ; б) e а) Изменить порядок интегрирования d d; 0 8 б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам) ; ; Вычислить ( ) d ( ) d ; L контур треугольника А(;0); В(;), L С(0;) 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du e sid e cos d 6а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ( ) ; в) ВАРИАНТ Найти a b ) C ( p, если даны три вектора a i j k, b i j k, c 0i j k Вычислить объём треугольной пирамиды с вершинами в точках А(0;0;), В(-;;); С(;-;0); D(;-;) Векторы a и b взаимно перпендикулярны Вычислить a b a b, если a, b В параллелограмме АВСD даны уравнения сторон 0 (АВ) и (АD) и середина Е ; 6 стороны ВС Составить уравнения других сторон параллелограмма 5 Даны две точки А(;5;); В(;-6;) Найти отношение, в котором делит отрезок АВ точка С пересечения прямой АВ с плоскостью 6z 0 6 Убедиться в том, что три плоскости 0, 0 z 0, z 0 образуют призму, и вычислить косинус её внутреннего двугранного угла, образованного первыми двумя плоскостями

33 5 7 Написать уравнение прямой, являющейся проекцией прямой z 6 на плоскость OXY Привести уравнение кривых к каноническому виду и построить а) ; б) Найти z, если z e 0Исследовать на экстремум функцию z Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) б) ; ( ) Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) 0; (0) 0; (0) ; б) 5 e Изменить порядок интегрирования 6 0 d d ; б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам) 6 ; 5 Вычислить работу, совершаемую переменной силой F P; i Q; j на криволинейном пути L, заданному параметрически t, F i j; z 0 t t 5Найти функцию по её полному дифференциалу du 6 5 d d 6 6а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ( ) ; в) ( ) ВАРИАНТ 5 На плоскости даны точки А(;-); В(-;); С(0;) Найти площадь треугольника АВС Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(;0;); В(;;); С(9;6;) Найти четвёртую вершину и точку пересечения диагоналей

34 6 Найти, при каком векторы a m и b m перпендикулярны, если m,, m 6 Составить уравнение прямой, находящейся на расстоянии двух единиц от точки А(;) и на расстоянии четырёх единиц от точки В(;) 5 Найти координаты центра и радиус шара, вписанного в тетраэдр, образованный координатными плоскостями и плоскостью 0 z На пересечении плоскостей z 8 0; z 0 найти точки, отстоящие от плоскости 6z 0 0 на расстоянии семи единиц 7 Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку А(0;;), 0, образующей прямой угол с прямой и пересекающей прямую z 7 0, 0, z 0 8 Привести уравнение кривых к каноническому виду и построить а) 6 0; б) 6 0 z 9 Найти, если z arctg 0 Исследовать на экстремум функцию z 7 5 Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) ; б) ctg ; (0) Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) 0; (0) ; (0) ; б) 6 7 Изменить порядок интегрирования d 0 б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам) ; 8 Вычислить криволинейный интеграл ( )d ( )d ; L d ;

35 7 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du cosd d 6а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ( ) ( )! ; в) ( ) ( ) ВАРИАНТ 6 На материальную точку действуют силы f i k, f i j k, f i j k Найти работу равнодействующей этих сил при перемещении из точки А(-;-;5) в точку В(;;-) Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах a i j k, b 5i j k, c i j k, если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и b Дано a, b, a b Вычислить a b a b Составить уравнение сторон квадрата, две параллельные стороны которого проходят через точки Р(;) и Q(;5), а две другие через точки М(0;) и N(-;-) 5 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(;5;) и В(7;7;8) и отсекающей на осях ОХ и OY отрезки равной длины 6 Даны вершины тетраэдра А(5;;); В(;6;); С(5;0;); D(;0;6) Написать уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ параллельно ребру СD 7 Составить канонические уравнения прямой, проходящей через начало t, t, координат и пересекающей две прямые: t, t, z t, z t 8 Привести уравнение кривых к каноническому виду и построить а) ; б) z z 9 Найти, если z l( ) 0 Исследовать на экстремум функцию z Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) 8 б) ; () 0 Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными

36 8 б) общее решение ЛНДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами а) 0; (0) 0; (0) 7; б) e Изменить порядок интегрирования d d ; 0 8 б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам) ; Вычислить криволинейный интеграл ( ) d ( ) d ; L контур треугольника А(0;0); В(;0); С(;) 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du 5 e d 5 si d 6а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ( ) ; в) L ( ) ВАРИАНТ 7 Найти площадь треугольника с вершинами А(;;0); В(-;;); С(;5;0) Даны вершины четырёхугольника А(;;-); В(-5;;-5); С(-;;); D(;0;) Доказать, что его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны Даны три последовательные вершины параллелограмма О(0;0;0); А(;-;5); В(-;;-) Найти четвёртую вершину С Найти координаты центра круга и его радиус, если круг вписан в треугольник, ограниченный осями координат и прямой Составить уравнение плоскости, которая находится на расстоянии 9 от начала координат и перпендикулярна прямой пересечения плоскостей z 0, 6 7z 0 6 Составить уравнение плоскости, делящий острый двугранный угол между плоскостями 6z 0 и OYZ пополам 7 Написать канонические уравнения прямой, перпендикулярной плоскости t, t, OXZ и пересекающей две прямые: t, t, z t; z 5t

37 9 8 Привести уравнение кривых к каноническому виду и построить а) 6 0; б) Найти z, если z l( ) 0 Исследовать на экстремум z Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) tg ; б) ; (0) 0 Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) 5 0; (0) ; (0) ; б) e Изменить порядок интегрирования 0 d 9 б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам) 7; t e cost, F i j ; z : 0 t t e sit, 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du d ( ) d 6а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ()! ( ) ; в) 0 ВАРИАНТ 8 Вычислить синус угла, образованного векторами a i j k и b i j k Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a ( ; ; ) и b ( ; ; ) Доказать, что точки А(;0;7); В(-;-;); С(;-;); D(0;;9) лежат в одной плоскости На прямой 0 найти точки, равноудалённые от прямых d ;

38 0 5 0 и Составить уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости 5z 0 0 и проходящей через линию пересечения данной плоскости с плоскостью OXY 6 Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, через точку А(;;) и перпендикулярной плоскости z 0 t, 8t, 7 Убедиться, что прямые t, 6 t, пересекаются и написать z t; z t; уравнения биссектрисы тупого угла между ними 8 Привести уравнение кривых к каноническому виду и построить а) 6 0; б) Найти z, если z 0 Исследовать на экстремум z Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) d d ; б) 0; (0) 0 Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) 7 6 0; (0) ; (0) ; б) 9 e Изменить порядок интегрирования 0 d d ; б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам) ; 9 Вычислить работу, совершаемую переменной силой F P; i Q; j на криволинейном пути L, соединяющем заданные точки М и N F i j ; Z отрезок прямой от т А(0;8) до В(;6) 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du d d 6а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ( ) ; в) ( ) 5

39 ВАРИАНТ 9 Показать, что треугольник АВС с вершинами в точках А(5;-); В(;); С(;-5) прямоугольный Вычислить момент силы F ( ; ; ), приложенной к точке С(-;0;), относительно точки В(;;) Даны точки А(-;;-); В(;;5); С(;-;); D(;;-) Вычислить p CD A B Составить уравнение прямой, равноудалённой от прямых 0 и 0 5 Вычислите косинусы внутренних двугранных углов тетраэдра, образованного координатными плоскостями и плоскостью 6z 0 6 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(5;;0), удалённой от точки В(6;;-) на расстоянии единицы и от точки С(0;5;) на расстоянии трёх единиц 7 Провести через точку пересечения плоскости z 0 с прямой, прямую, лежащую в этой плоскости и перпендикулярную к данной z 0; прямой 8 Привести уравнение кривых к каноническому виду и построить а) ; б) Найти z, если z 8cos( ) 0 Исследовать на экстремум z l 8l, (0; 0) Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) d d ; б) ; (0) Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) 0; (0) ; (0) ; б) si Изменить порядок интегрирования 0 8 d d; 8

40 б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам) 6 ; Вычислить работу, совершаемую переменной силой F P; i Q; j на криволинейном пути L, заданному параметрически F i j ; z дуга окружности 5cost, 0 t 5sit; 5Найти функцию по её полному дифференциалу du ( tg cos )d e si d cos 6а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ; б) ( )! ; в) ВАРИАНТ 0 Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах a 6i j 5k, b i j, c i j k Определить правую или левую тройку образуют векторы a, b, c Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a m 5 и 5 b m, если m,, m 6 Вычислить скалярное произведение векторов a и b, если a m, b m, m,, m 6 Центр симметрии квадрата находится в точке Р(-;0), а уравнение одной из его сторон 5 0 Составить уравнения остальных сторон 5 Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости z 5 0 и отстоящей от точки А(;;0) на расстоянии 6 Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки А(;;5) на прямую, по которой пересекаются плоскости z 0 и z 0 7 Составить канонические уравнения прямой, лежащей в плоскости 0 и t, t, пересекающей прямые t, t, z t; z

41 8 Привести уравнение кривых к каноническому виду и построить а) ; б) 0 9 Найти z, если z 8l( ) Исследовать на экстремум функцию z 0, 5 8 Найти общее или частное решение (общий или частный интеграл) а) ( l l ); б) ; () 0 Найти: а) частное решение ЛОДУ II-го порядка с постоянными а) 8 7 0; (0) ; (0) ; б) 6 0si Изменить порядок интегрирования d б) вычислить площадь, ограниченную линиями (перейти к полярным координатам) ; Вычислить работу, совершаемую переменной силой F P; i Q; j на криволинейном пути L, заданному параметрически 5 cost, F i j ; Z половина окружности 0 t sit; 5 Найти функцию по её полному дифференциалу du ( e si ) d ( e cos ) d 6 а); б) - исследовать ряды на сходимость; в) найти радиус сходимости и исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости а) ( )! ; б) ( ) ; в) ( ) d ;

42 План 000/00, поз 7 Рябенкова Людмила Александровна Сборник типовых расчётов по дисциплине «Высшая математика» ч для студентов специальности «Почтовая связь» Редактор Вердыш НВ Подписано к печати 0900г Формат 60S8/6 УслПечЛ, Уч-издл, Тираж 0 экз Заказ 6 Высший колледж связи 0, г Минск, ул ФСкорины 8, к

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3).

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). 1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). -1-2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (2;1) и уравнение

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) С.А. Гришин, С.В. Мустяца, М.А. Петрова, Е.Х. Садекова

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) С.А. Гришин, С.В. Мустяца, М.А. Петрова, Е.Х. Садекова МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) СА Гришин, СВ Мустяца, МА Петрова, ЕХ Садекова Зачет по аналитической геометрии 1 семестр Москва 2009 УДК 5147(075) БДК 221515я7 З-39

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. Е.А. Жукова, О.Г. Илларионова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. Е.А. Жукова, О.Г. Илларионова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ Е.А. Жукова, О.Г. Илларионова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ по выполнению практических заданий для студентов I курса направления подготовки

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

10 класс Алгебра. Количество контрольных работ по математике класс

10 класс Алгебра. Количество контрольных работ по математике класс Количество контрольных работ по математике класс количество из них контрольных работ по алгебре по геометрии итоговая к/р 10 класс 12 7 4 1 11 класс 13 7 5 1 10 класс Алгебра Геометрия КОНТРОЛЬНАЯ

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ»

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» Составитель кпн Пекельник НМ НМ Пекельник - 1 - Указания по выполнению

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

ГЕОМЕТРИЯ 7КЛАСС КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

ГЕОМЕТРИЯ 7КЛАСС КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЯ 7КЛАСС КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ 1 вариант 1. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости α. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие

Подробнее

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В.

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В. -- Доказать, что векторы e = { ;2;, e 2 = { 2;; }, e 3 = { ;2;3 } образуют базис Найти разложение в этом базисе вектора a = { ;3;2 } 2 Найти длину вектора a = 3e 2e2, где e =, e2 = 2, векторы угол в 30

Подробнее

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ.

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки до начала координат. 3. При каком

Подробнее

11 класс. Типовой расчет по теме «Призма». Вариант 16

11 класс. Типовой расчет по теме «Призма». Вариант 16 11 класс. Типовой расчет по теме «Призма». Вариант 16 1. Основанием наклонной призмы служит прямоугольник со сторонами a и b. Две смежные боковые грани составляют с плоскостью основания углы и. Найти объём

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

Координатная плоскость

Координатная плоскость Координатная плоскость 1. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке. 2. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (8;2), (8;4), (1;9). 3. Найдите площадь

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

В. И. Белугин И. Н. Пирогова Э. Е. Поповский Часть 1

В. И. Белугин И. Н. Пирогова Э. Е. Поповский Часть 1 Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» В И Белугин И Н Пирогова Э Е Поповский Часть Екатеринбург Федеральное

Подробнее

рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. Всего: 196 Прототипы В 6 1 На клетчатой бумаге с клетками размером 5 На клетчатой бумаге с клетками размером 9 Найдите площадь квадрата ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1 2 На клетчатой бумаге

Подробнее

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии.

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Обозначения: AВС треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне

Подробнее

Все прототипы задания года 1. Прототип задания 4 ( 27238)

Все прототипы задания года 1. Прототип задания 4 ( 27238) Все прототипы задания 4 2015 года 1. Прототип задания 4 ( 27238) В треугольнике ABC угол C равен 90, АС 4, 8 7 sin A. Найдите AB. 25 2. Прототип задания 4 ( 27240) В треугольнике ABC угол C равен 90, АС

Подробнее

Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости.

Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости. Аксиомы стереометрии 1. 2. 3. 4. 5. Следствия из аксиом 1. 2. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости. 1 2. Любые 4 точки лежат в одной плоскости. 3. Любые 3 точки не лежат

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

11 класс. Типовой расчет по теме «Круглые тела». Вариант 1

11 класс. Типовой расчет по теме «Круглые тела». Вариант 1 11 класс. Типовой расчет по теме «Круглые тела». Вариант 1 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна а. Найти объем цилиндра, если известно, что его осевое сечение является квадратом. 2. В прямоугольной

Подробнее

ВАРИАНТ Найти уравнение проекции прямой. на плоскость

ВАРИАНТ Найти уравнение проекции прямой. на плоскость ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 1); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Все прототипы заданий В3

Все прототипы заданий В3 1. Прототип задания B3 ( 27543) Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 Все прототипы заданий В3 2. Прототип задания B3 ( 27544) Найдите площадь треугольника,

Подробнее

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0.

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0. Вариант. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин ( 4; 5) и уравнения двух биссектрис х = и х+ у =.. Из точки ( ) 8; 6 к прямой х+ у+ 4= направлен луч света под углом, тангенс которого

Подробнее

Контрольная работа 3

Контрольная работа 3 Контрольная работа 3 ВАРИАНТ 1 Составить уравнение прямой, перпендикулярной и проходящей через точку пересечения прямых и.. Записать уравнение прямой проходящей через точки и и найти расстояние от точки

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (планиметрия) уч. год ТЕОРЕМЫ, СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ 1. Теорема о вертикальных углах. 2.

В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (планиметрия) уч. год ТЕОРЕМЫ, СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ 1. Теорема о вертикальных углах. 2. В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (планиметрия) 2018-2019 уч. год ТЕОРЕМЫ, СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ 1. Теорема о вертикальных углах. 2. Первый признак равенства треугольников. 3. Второй признак

Подробнее

1.2. Тесты. 1) 24, 2 ; 2) 2 2 ; 3) 10 ; 4) 3; 5) другое число.

1.2. Тесты. 1) 24, 2 ; 2) 2 2 ; 3) 10 ; 4) 3; 5) другое число. 1.2. Тесты 31. Отношение боковой стороны к диагонали равнобедренной трапеции с основаниями 12 и 20 при условии, что центр описанной окружности лежит на большем основании, равно 1) 1; 2) 0,5; 3) 0,8; 4)

Подробнее

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным

1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Задания 1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Г-11. 1.1. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало с началом координат, называется данной

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы.

Подготовка к С4. Треугольник, основные теоремы. Подготовка к С4 Треугольник, основные теоремы. Материал разработан преподавателем математики подготовительных курсов Учебного центра «Азъ» Трубецким Алексеем Петровичем Учебный центр «Азъ»,. Две прямые

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ 1. Определители 2-го и 3-го порядков. 1. Вычислить определитель второго порядка: а) 1 1 1 1 ; б) 1 + 2 2 5 13547 13647 ; в) 2+ 5 1 2 28423 28523. 2. Вычислить определитель третьего порядка:

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

В5 (2014) 3). На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. 4.

В5 (2014) 3). На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. 4. В5 (2014) 8 17 25 1) Найдите тангенс угла 9 18 26 2) Найдите тангенс угла AOB 10 19 27 11 20 28 3) На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см рисунок) Найдите его площадь

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ

ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ Инструкция. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Апофема правильной треугольной пирамиды 4 см, а сторона основания 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Подробнее

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ.

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки A(1; 2; 3) до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки B( 1; 1; 1) до начала

Подробнее

Задание 3. Планиметрия: длин и площадей Треугольник

Задание 3. Планиметрия: длин и площадей Треугольник Задание 3 Планиметрия: длин и площадей Треугольник 1. Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет. 2. В треугольнике ABC AC = BC, угол C

Подробнее

2.2. Тесты В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания

2.2. Тесты В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания 60 2.2. Тесты 161. Если стороны основания правильной усеченной пирамиды 6 и 4, а двугранный угол при основании равен 0, то боковая поверхность правильной треугольной усеченной пирамиды равна 1) 10; 2)

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий практические

Подробнее

3. Точка Е не лежит в плоскости параллелограмма АВСD. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков ЕА и ЕВ, параллельна стороне СD.

3. Точка Е не лежит в плоскости параллелограмма АВСD. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков ЕА и ЕВ, параллельна стороне СD. Примерные материалы контрольных работ Геометрия 10 класс (А.В.Погорелов) Контрольная работа 1 Вариант 1 1. Точки К, М, Р, Т не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые КМ и РТпересекаться? 2. Через точки

Подробнее

Все прототипы заданий В года

Все прототипы заданий В года 1. Прототип задания B5 ( 27450) Найдите тангенс угла AOB. Все прототипы заданий В5 2014 года 2. Прототип задания B5 ( 27456) Найдите тангенс угла AOB. 7. Прототип задания B5 ( 27547) Найдите площадь треугольника,

Подробнее

ЗАДАНИЯ 20 ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ (ОТРЕЗКИ, ПРЯМЫЕ И УГЛЫ)

ЗАДАНИЯ 20 ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ (ОТРЕЗКИ, ПРЯМЫЕ И УГЛЫ) ЗАДАНИЯ 20 ОГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ (ОТРЕЗКИ, ПРЯМЫЕ И УГЛЫ) 1) Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка. 2) Существуют три

Подробнее

ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ. 1 КУРС

ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ. 1 КУРС ПРОВЕРОЧНЫЕ РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ. 1 КУРС ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА 1 1) Найти площадь равнобедренного треугольника с углом при основании, если а) боковая сторона равна с; б) основание равно р 2) Стороны параллелограмма

Подробнее

ЧАСТЬ I. Координаты и векторы

ЧАСТЬ I. Координаты и векторы ЭКЗАМЕН ПО ГЕОМЕТРИИ КЛАСС ЧАСТЬ I Координаты и векторы Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M (;3;5 ) параллельно векторам a = ( ; ;5) и b = ( 4;3;0 ) Составьте уравнение плоскости, проходящей

Подробнее

ЗАДАНИЯ С РАЗВЕРНУТЫМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ. Инструкция. Запишите развёрнутую запись решения без обоснования и ответ.

ЗАДАНИЯ С РАЗВЕРНУТЫМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ. Инструкция. Запишите развёрнутую запись решения без обоснования и ответ. ЗАДАНИЯ С РАЗВЕРНУТЫМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ Инструкция. Запишите развёрнутую запись решения без обоснования и ответ. 1. 36 3 см2 площадь полной поверхности треугольной пирамиды, все ребра которой равны.

Подробнее

Оценочные материалы по курсу Математика (профильный уровень), если

Оценочные материалы по курсу Математика (профильный уровень), если вариант Найдите координаты вектора А(; -; ), В(; -; ) Даны векторы Найдите в с Оценочные материалы по курсу Математика (профильный уровень) AB, если в {; ; -} и с {; ; -} Изобразите систему координат Охуz

Подробнее

Лабораторные работы по курсу «Практикум по решению математических задач» Т.А. Капитонова

Лабораторные работы по курсу «Практикум по решению математических задач» Т.А. Капитонова Лабораторные работы по курсу «Практикум по решению математических задач» ТА Капитонова САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н Г ЧЕРНЫШЕВСКОГО Министерство образования и науки Российской федерации

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Факультет доуниверситетской подготовки и профессиональной ориентации

Подробнее

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;-1;1) параллельно

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;-1;1) параллельно -1-1. Даны стороны треугольника 3 x + y 5 0;4x + 3y 5 0; x + 2y 5 Найти уравнения двух (любых) его высот. 2. Найти точку пересечения прямой x y z 3 2 1 и плоскости 2 x y + z 3 0. 3. Найти проекцию точки

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное.

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 2. Объединение фигур Объединением двух треугольников может быть:

Подробнее

7. Сторона ромба равна 8 см, тупой угол содержит 150. Найти площадь вписанного в ромб круга.

7. Сторона ромба равна 8 см, тупой угол содержит 150. Найти площадь вписанного в ромб круга. Задания с развернутым ответом по геометрии Задание. Запишите развёрнутую запись решения без обоснования и ответ. 1. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника равна 17 см, а один из

Подробнее

Репозиторий БНТУ ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ. для проведения текущего и промежуточного контроля знаний по математике

Репозиторий БНТУ ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ. для проведения текущего и промежуточного контроля знаний по математике Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ для проведения текущего и промежуточного контроля знаний

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Проверь себя. Вот небольшой список вопросов по геометрии и стереометрии.

Проверь себя. Вот небольшой список вопросов по геометрии и стереометрии. Мастер-класс «Геометрия и стереометрия на ЕГЭ по математике, часть 1. Октябрь 2017. Для решения задач необходимы знания о геометрических фигурах и их свойствах, вычислении площадей плоских фигур, объемах

Подробнее

Анализ геометрических высказываний

Анализ геометрических высказываний Анализ геометрических высказываний 1. Укажите номера верных утверждений. 1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 2) Вертикальные углы

Подробнее

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ПЛАНИМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКИ 1. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника больше длины другого на 10 см, но меньше длины гипотенузы

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

11 класс. Типовой расчет по теме «Круглые тела». Вариант 16

11 класс. Типовой расчет по теме «Круглые тела». Вариант 16 11 класс. Типовой расчет по теме «Круглые тела». Вариант 16 1. Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения, как π Найти угол между диагоналями осевого сечения. 2. На поверхности шара

Подробнее

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр

Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА (1 курс, 1, 2 и 9 гр) специальности , семестр Вопросы к экзамену по математике для студентов ИСиА ( курс,, и 9 гр) специальности 6, 6 семестр Теоретическая часть часть Матрицы Действия с ними Определители квадратных матриц Свойства Миноры и алгебраические

Подробнее

Образовательный минимум Четверть 1 Предмет Геометрия Класс 8

Образовательный минимум Четверть 1 Предмет Геометрия Класс 8 Четверть 1 1. Сумма углов выпуклого п угольника равна ( п 2 ) 180. 2. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 3. Свойства параллелограмма: 1)

Подробнее

11 класс. Типовой расчет по теме «Призма». Вариант 1

11 класс. Типовой расчет по теме «Призма». Вариант 1 11 класс. Типовой расчет по теме «Призма». Вариант 1 1. Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник со стороной a, длина бокового ребра равна b, одно из боковых ребер образует с прилежащими

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний»

Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Задание 13 Тема «Полный курс геометрии за 7-9 класс. Тестовые вопросы» http://vekgivi.ru/13_oge/ Задание 13 ОГЭ по математике «Анализ геометрических высказываний» Вопрос 1: Вертикальные углы равны Обоснование:

Подробнее

С=А Т В 2В Т, А= 2 3 1, В= = = = =3

С=А Т В 2В Т, А= 2 3 1, В= = = = =3 Вариант 1. 1. Вычислить определитель 5 1 4 1 1 4 1 5. 4 1 8 1 3 2 6 2 С=А Т В 2В Т, А= 2 3 1, В=1 1 2 1 1. 2+6+5 =1 5+3 2 =0. 7+4 3 =2 2 3 4 12 1 1 1 Х= 2. 5 4 2 1 3 +4 =1 7 +3 5 +5 =10. 2 +2 3 +2 =3 6.

Подробнее

Предмет «Математика» Вариант ХХХХ

Предмет «Математика» Вариант ХХХХ Предмет «Математика» Вариант ХХХХ I часть При выполнении заданий 1-15 следует записать только ответ. 1. Найдите знаменатель дроби, которая равна дроби, если ее числитель равен. 2. Найдите точку пересечения

Подробнее

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратовский государственный университет им.н.г.чернышевского Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратов 2001 Контрольная работа 1 по теме Основные формулы аналитической

Подробнее

Тест 95. Равнобедренный треугольник. Свойство

Тест 95. Равнобедренный треугольник. Свойство Тест 94. Равнобедренный треугольник. Свойство В любом равнобедренном треугольнике: 1. хотя бы одна медиана является его биссектрисой; 2. хотя бы одна биссектриса не является его высотой; 3. хотя бы две

Подробнее

Е. А. Ширяева ( Задачник (ОГЭ 2019) 20. Анализ геометрических высказываний Часть 1. ФИПИ

Е. А. Ширяева (  Задачник (ОГЭ 2019) 20. Анализ геометрических высказываний Часть 1. ФИПИ 20. Анализ геометрических высказываний Часть 1. ФИПИ Задание. Укажите (обведите) номера верных утверждений. I) Начальные геометрические сведения (отрезки, прямые и углы) 1. Точка, лежащая на серединном

Подробнее

три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения.

три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения. три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения. 17. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см², а высота

Подробнее

5. M и N - вся плоскость и точке с координатами (x, y ) соответствует точка с

5. M и N - вся плоскость и точке с координатами (x, y ) соответствует точка с Тест 299. Преобразование плоской фигуры. Соответствие является преобразованием фигуры M в фигуру N, если: 1. каждая точка фигуры N является образом хотя бы одной точки фигуры M. 2. каждой точке фигуры

Подробнее

Планиметрия (расширенная)

Планиметрия (расширенная) 1. Площади плоских фигур Площадь треугольника: стр. 1 2. Средняя линия 3. Треугольники Сумма углов треугольника равна 180. Тупой угол между биссектрисами двух углов треугольника равен 90 + половина третьего

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее