3.4 Векторы. Метод координат

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "3.4 Векторы. Метод координат"

Транскрипт

1 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ Векторы. Метод координат Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства (плоскости, прямой). Два направленных отрезка AB и CD будем называть эквивалентными AB CD, если AB = CD и они одинаково направлены. Одинаково направленными будем считать такие AB CD, если они либо расположены на одной прямой и принадлежат одному лучу [AB) или [CD), точнее [AB) [CD) = [AB) [AB) [CD) = [CD), либо на разных параллельных прямых и лежат в одной полуплоскости, образованной граничной прямой (AC) и точкой B и/или D. Длиной направленного отрезка M N будем считать длину обычного отрезка MN. Коллинеарными будем называть такие AB и CD и обозначать AB CD, если они либо расположены на одной прямой, либо на разных параллельных прямых. Таким образом, Коллинеарные не одинаково направленные AB и CD будем называть противоположно направленными AB CD. AB CD AB CD. (47) Определение 100. Вектором будем называть множество эквивалентных между собой направленных отрезков, т. е. a def = { XY XY AB}, для некторого выбранного AB. Таким образом, векторы будут непустыми множествами. Таким образом, AB a, но такая запись не принята. Можно было бы писать a = v( AB) ( a задан с помощью AB), но такая запись громоздка и еще более непривычна. Поэтому, мы будем часто на практике обозначать AB = a, подразумевая AB a. При этом говорить более правильно «AB задает или выражает a», хотя традиционное школьное «AB равно a» ошибкой считать не будем. Введение такого понятия вектора позволило сохранить понятие равенства только для одних и тех же векторов, как и в случае чисел. Эквивалентные направленные

2 168 ГЛАВА 3. СЕМЕСТР: ОСЕНЬ 2015 отрезки, если они состоят из двух разных пар точек, мы не будем считать равными, как это обычно принимается в школе. Легко заметить (а почему??? Д/З), что если два вектора содержат направленные отрезки, эквивалентные между собой, то эти векторы равны иными словами для векторов понятия эквивалентности и равенства сливаются, для направленных отрезков нет. Введенное понятие эквивалентности действительно является эквивалентностью 10, т. е. является: 1) рефлексивным для любого AB: AB AB; 2) симметричным для любых AB и CD: AB CD CD AB; 3) тразитивным для любых AB, CD и EF : Домашнее задание!!! ( AB CD & CD EF ) AB EF. Замечание 77. От произвольной точки O и для заданного ненулевого вектора a мы всегда сможем отложить направленный отрезок OA такой, что OA a. В самом деле, так всегда найдется некоторый направленный отрезок XY a, то строим через точку O единственную прямую, параллельную (XY ), а на ней направленный отрезок OA так, чтобы OA XY и OA = XY. Таким образом, OA a, что и требовалось. Длиной вектора будем считать длину любого направленного отрезка, его задающего a def = AB, если AB a. Нулевым вектором будем считать направленные отрезки вида AA для произвольных точек A, т. е. 0 = { AA A произвольная точка}. При этом 0 = 0. Направленные отрезки вида AA будем иногда называть вырожденными. Расширим ряд только что введенных понятий на векторы. Два вектора a b одинаково направлены a b def A 1 A 2 a B 1 B 2 b A 1 A 2 B 1 B 2. (48) Аналогично, a b def A 1 A 2 a B 1 B 2 b A 1 A 2 B 1 B 2. (49) В обоих случаях необходимо показать, что введенные определения не зависят от выбранных направленных отрезков A 1 A 2 и B 1 B 2. (Домашнее задание!!!???) 10

3 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 169 При этом считается 0 a, 0 a. Если A 1 A 2 a, то A 1 A 2 A 2 A 1 и таким образом, A 2 A 1 задает вектор a В школе для направленных отрезков были определены правила сложения правило треугольника и правило параллелограмма. Эти правила задают и соответствующие правила сложения векторов, причем вновь независимо от выбора задающих направленных отрезков. Напомним школьное определение умножение вектора на число. Определение 101 [13, C. 8]. Произведением вектора a на число α R называется такой вектор b = α a, что 1) b = α a ; 2) b a (этот пункт следует из 3-го); 3) b a, если α > 0; и b a, если α < 0. Если α = 0, то из 1-го условия следует, что b = 0. Если a = 0, то из 1-го условия следует, что α R α a = α 0 = 0. Сложение векторов и умножение их на число обладает следующими свойствами. Предложение 79 (свойства сложения векторов). 1) a b a + b = b + a; 2) a b c a + ( b + c) = ( a + b) + c. 3) a a + 0 = a; 4) a ( a) a + ( a) = 0. Предложение 80 (свойства умножения вектора на число). 1) a α, β R (αβ) a = α(β a); 2) a α, β R (α + β) a = α a + β a; 3) a, b α R α( a + b) = α a + α b; 4) a 1 a = a. Теорема 69 (признак коллинеарности). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. v u 0 ( v u α R v = α u). (50) Если ( v = 0), то в качестве α мы можем взять 0. Обратно, если α = 0, то v = 0 и по определению нулевой вектор будет коллинеарен произвольному u. ( ) Если u v, то α := v v. Если u v, то α :=. u u ( ) Если ( v = α u) для некоторого R α 0, то в силу определения 101 (произведения вектора на число, п. 2) и в силу определения по формуле (49) коллинеарности векторов (и коллинеарных направленных отрезков) получаем v u.

4 170 ГЛАВА 3. СЕМЕСТР: ОСЕНЬ Базис на плоскости Напомним известные факты из школы. Рассмотрим направленные отрезки и векторы на некоторой фиксированной плоскости. Теорема 70 (о разложении вектора на плоскости) [14, C. 23]. Пусть a, b произвольные неколлинеарные (следовательно, оба не нулевые) векторы. Тогда для произвольного вектора c найдется единственная пара чисел x, y R, что ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. найдется такое число x, что c = x a, тогда c = x a + y b. (51) Если c a (или c b), то по признаку коллинеарности c = x a + 0 b, что и требовалось. Аналогично, если c b. Пусть теперь c a и c b. Отложим направленные отрезки OA, OB, OC от некоторой точки O так, чтобы OA = a, OB = b, OC = c. Через точку C проведем прямые (CE) [OB] и (CF ) [OA] таким образом, что E [OA), F [OB). Тогда по правилу параллелограмма OC = OE + OF, где OE a, OF b. Следовательно, по признаку коллинеарности найдутся такие числа x и y, что OE = x a, OF = y b. Но тогда c = OC = x a + y b. Докажем единственность разложения. Предположим, имеется другое такое разложение для которых, скажем x x. Тогда и поэтому c = x a + y b, (x x ) a + (y y ) b = 0, a = y y x x b. Но последнее равенство невозможно, так как векторы a и b неколлинеарны. Следовательно, x = x и, аналогично, y = y.

5 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 171 Определение 102 [14, C. 25]. Любые два неколлинеарные вектора на плоскости, взятые в определенном порядке, называются базисом (или векторным базисом) на этой плоскости. Из доказанной выше теоремы следует, что любой вектор на плоскости имеет единственное разложение по базису. Следствие 26. Любой вектор вектор на плоскости имеет единственное разложение по базису. При разложении вектора по базису (т. е. по формуле (51)) числа x и y называются координатами вектора (в указанном базисе) и чаще всего обозначаются парой чисел следующим образом: c = (x; y) Компланарность векторов Определение 103. Три направленных отрезка называются компланарными, если они одновременно параллельны некоторой плоскости, рассматривая их как обычные отрезки. Они будут компланарными, если среди них есть хотя бы пара равных, эквивалентных, коллинеарных, или хотя бы один вырожденный. Определение 104. Три вектора u, v, w называются компланарными, если какиелибо задающие их направленные отрезки будут компланарны. Подобно компланарным направленным отрезкам, эти векторы будут компланарны, если среди них есть хотя бы пара равных, коллинеарных, или хотя бы один нулевой. Предложение 81. Данное определение корректно, т. е. не зависит от выбора задающих направленных отрезков. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В самом деле, пусть у нас есть три вектора u, v, w и предположим мы первоначально выбрали направленные отрезки U 1 U 2 u, и нашлась некоторая плоскость π, что V 1 V 2 v, U 1 U 2, V 1 V 2, W 1 W 2 π. W 1 W 2 w Выберем теперь другие направленные отрезки U 1U 2 u, V 1V 2 v, W 1W 2 w, не обязательно равные первоначально выбранным, но в силу выбора эквивалентные соответствующим исходным.

6 172 ГЛАВА 3. СЕМЕСТР: ОСЕНЬ 2015 Тогда по предложению 47 2-го семестра (стереометрия: «если a α и b a, то b α») ( (U1 U 2 ) π & (U 1 U 2 ) (U 1U 2) ) (U 1U 2) π; ( (V1 V 2 ) π & (V 1 V 2 ) (V 1V 2) ) (V 1V 2) π; ( (W1 W 2 ) π & (W 1 W 2 ) (W 1W 2) ) (W 1W 2) π. Таким образом, направленные отрезки тоже будут одновременно параллельны плоскости π как обычные отрезки прямых. Следовательно, они тоже будут компланарны, и таким образом, наше определение корректно. Введем рабочее обозначение для компланарных векторов (и для направленных отрезков): Kpl( u, v, w). Теорема 71 (достаточный признак компланарности) [15, C. 86]. Если для a, b и c существуют числа x и y такие, что то a, b и c компланарны. c = x a + y b, ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим два случая. 1) a b. Тогда z R b = z a. Следовательно, c = x a + y b = x a + y(z a) = (x + yz) a = k a, где k = x + yz, и по признаку коллинеарности векторов, c a, аналогично, c b. Тогда найдется прямая l a, b, c. Проведем через l плоскость α. Тогда по признаку параллельности прямой и плоскости (предложение 46 2-го семестра признак параллельности прямой и плоскости) и определению коллинеарности векторов и направленных отрезков, a, b, c α, следовательно, Kpl( a, b, c). 2) a b. Отложим от некоторой точки O направленные отрезки OA = a, OB = b, OC = c. По условию теоремы OC = x a + y b. Предположим Kpl( a, b, c). Это означает, что C / (AOB). Но построением на плоскости (AOB) можно указать точку D такую, что OD = x a+y b. Но тогда, OC = OD, поэтому C и D одна и та же точка. Полученное противоречие означает, что Kpl( a, b, c). Теорема 72 (необходимый признак компланарности) [15, C. 87]. Если Kpl ( a, b, c) (т. е. они компланарны) и a b, тогда существует единственная пара чисел x и y таких, что c = x a + y b. (52)

7 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 173 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как все три вектора компланарны, то значит, найдется плоскость, которой будут параллельны представляющие эти вектора направленные отрезки. Не нарушая общности можно считать (ну либо легко доказать построением этих направленных отрезков от точки на плоскости), что все три направленные отрезка лежат на плоскости. И тогда мы вправе применить теорему 70, и по формуле (51) получим, что найдется единственная пара чисел x и y таких, что c = x a + y b Базис в пространстве Теорема 73 (о разложении вектора в пространстве) [15, C. 87]. Пусть a, b, c некомпланарные векторы (т. е. Kpl( a, b, c)). Тогда d! (x, y, z) R 3 d = x a + y b + z c. (53) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Существование. Если d c, то так как c 0 (иначе из замечания к определению было бы Kpl( a, b, c)) z R d = z c = 0 a + 0 b + z c. В случае, если d a или d b, поступаем аналогично. Теперь, будем считать, что d a, b, c. C 1 C D c d O b B a A D 1 l Отложим от некоторой точки O направленные отрезки OA = a, OB = b, OC = c, OD = d. Точки C, O, D не лежат на одной прямой, так как d c, проведем через них плоскость α. Отметим, что a b, так если бы было иначе, то было бы Kpl( a, b, c), таким образом,

8 174 ГЛАВА 3. СЕМЕСТР: ОСЕНЬ 2015 точки A, O, B также не лежат на одной прямой, проведем через них плоскость β. Так как Kpl( a, b, c), то плоскости различны, α β. Но так как O α, β, то по аксиоме 3 раздела (2-й семестр, стереометрия) следует, что l (α β = l). В плоскости α проведем (DC 1 ) l, (DD 1 ) (OC), где C 1 (OC), D 1 l. (и так как по предположению d a, b, то D D 1, O C 1, (DD 1 ) (OC)) По правилу параллелограмма OD = OC 1 + OD 1. Так как OC 1 OC c, c 0 (иначе было бы Kpl( a, b, c)), следовательно z R OC 1 = z c. Кроме того, в плоскости β, вектор, задаваемый направленным отрезком OD 1 можно разложить по неколлинеарным векторам a = OA и b = OB: Следовательно, окончательно получаем OD 1 = x a + y b. d = OD = OC1 + OD 1 = z c + x a + y b. Единственность. Предположим, найдется еще одно разложение d = x a + y b + z c для некоторых x, y, z R. Без ограничения общности, будем считать, что по крайней мере x x. Тогда рассмотрим разность Но тогда, так как x x, получим (x x ) a + (y y ) b + (z z ) c = d d = 0. a = y y x x b z z x x c. Следовательно, по теореме 71 (достаточный признак компланарности), получаем, что Kpl( a, b, c), противоречие с условием. Таким образом, единственность доказана. Определение 105 [14, C. 186]. Любые три некомпланарные вектора в пространстве, взятые в определенном порядке, называются базисом (или векторным базисом) в пространстве. Из доказанной выше теоремы следует, что любой вектор в пространстве имеет единственное разложение по базису.

9 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 175 Следствие 27. Любой вектор в пространстве имеет единственное разложение по базису. При разложении вектора по базису (т. е. по формуле (53)) числа x, y, z называются координатами вектора (в указанном базисе) и чаще всего обозначаются тройкой чисел следующим образом: d = (x; y; z) Скалярное произведение Под углом между векторами будем понимать угол между соответствующими им направленными отрезками с общим началом. В необходимых случаях будем указывать от какого направленного отрезка (вектора) угол отсчитывается. Если такого указания нет, то углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит π. Если угол прямой, то векторы называются ортогональными (иногда перпендикулярными) и обозначем как a b. Определение 106. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хоть один из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное произведение по определению считают равным нулю. Обозначают где φ угол между векторами a и b. a b = ( a, b) def = a b cos φ, (54) Задача 16 (д/з). Определение скалярного произведения корректно, т.е. не зависит от выбора...??? Теорема 74 (свойства скалярного произведения, [15, C. 93]). 1) a, b a b = b a; 2) a a a = a 2 = a 2 ; 3) a, ( b a b = 0 ( a b a = 0 b = 0) ) ; 4) a, b k R (k a) b = k( a b); 5) a, b, c a ( b + c) = a b + a c. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Свойства 1 3 очевидны и непосредственно следуют из определения скалярного произведения. Докажем свойство 4. Если k = 0, то обе части равенства будут равны нулю, очевидно. Пусть k > 0. Тогда Пусть k < 0. Тогда (k a) b = k a b cos (k a, b) = k a b cos (k a, b) = k( a b). (k a) b = k a b cos (k a, b) = k a b cos(π ( a, b)) = = k a b ( cos ( a, b)) = k a b cos (k a, b) = k( a b).

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

Тема 1-12: Линейные операции над векторами

Тема 1-12: Линейные операции над векторами Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

Лекция 2: Линейные операции над векторами

Лекция 2: Линейные операции над векторами Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе:

Лекция 3. Базис. Вычтем из первого разложения второе: Лекция 3 Базис Теорема 3.1. Любой вектор d единственным образом раскладывается по данному базису, b, c в пространстве. Аналогично, любой вектор c на плоскости единственным образом раскладывается по данному

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M

Деление отрезка в данном отношении Пусть M 1. = λ. (7) . Если же λ < 0, то точка M лежит вне отрезка M 1M Лекция 8 Тема: Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости Угол между векторами на ориентированной плоскости План лекции Деление отрезка в данном отношении Ориентация плоскости 3 Угол между

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 5 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Проекция вектора на ось Дадим определение. Определение 4. Осью называется прямая, на которой указано направление. Рис. 1. Ось. Пусть A и B это

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

92 ГЛАВА 2. СЕМЕСТР: ВЕСНА sin x lim. Следствие 10. В соответствии с системой обозначений определения 61. sin(x) x при x 0.

92 ГЛАВА 2. СЕМЕСТР: ВЕСНА sin x lim. Следствие 10. В соответствии с системой обозначений определения 61. sin(x) x при x 0. 92 ГЛАВА 2. СЕМЕСТР: ВЕСНА 2015 Заметим, что неравенства будут верны и при π < x < 0, так как все входящие 2 в неравенство функции четные. Устремим x 0 и воспользуемся теоремой 24 (о двух милиционерах

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Векторы в пространстве. Выполнили: Девахина Д.П., Иванова П.М. Учитель: Шорникова С.П.

Векторы в пространстве. Выполнили: Девахина Д.П., Иванова П.М. Учитель: Шорникова С.П. Векторы в пространстве Выполнили: Девахина Д.П., Иванова П.М. Учитель: Шорникова С.П. Понятие вектора в пространстве Вектор(направленный отрезок) отрезок, для которого указано какой из его концов считается

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны.

и AC компланарны, а векторы AB, AD и AA не компланарны. Лекция 3 Тема: Линейная зависимость векторов Базис векторного пространства План лекции Компланарные векторы Линейная зависимость/независимость системы векторов: определение свойства геометрический смысл

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Основы векторной алгебры Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 4-е, испр. и

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное

Подробнее

Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 10 АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции Лекция Аффинные пространства. 1. Аффинный базис. 2. Аффинные координаты точек. 3. Векторное уравнение прямой. 4. Векторное уравнение плоскости. 5.

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число

Лекция 4. Скалярное произведение. Определение. Скалярным произведением (СП) двух векторов a и b называется число Лекция 4 Скалярное произведение φ Определение. Углом φ между ненулевыми векторами и называется тот из углов, образованных этими векторами, отложенными от единого начала, который лежит в пределах от до

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность

Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность Практическое занятие 3. Практикум (рекомендации к практической части) МОДУЛЬ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Тема: Линейные операции над векторами План. Понятие вектора. Основные отношения векторов.. Сложение векторов.

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

Действия с направленными отрезками

Действия с направленными отрезками Тема 0. Направленные отрезки. Операции с направленными отрезками: сравнение, сложение и умножение на число. Множество векторов. Свойства линейных операций с векторами. Коллинеарность и компланарность.

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 8 ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ 1. Различные уравнения прямой в пространстве Уравнение прямой в векторной параметрической форме было получено нами в предыдущей лекции:

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

на множестве векторов Понятие линейного пространства

на множестве векторов Понятие линейного пространства Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Векторы. Линейные операции на множестве векторов Понятие линейного пространства Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Глава II. Векторная алгебра. Элементы теории

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

1 Глава 1. Векторы. Аффинная система координат. 1. Равенство направленных отрезков. Векторы. Семейство множеств называется направленным, если в пересе

1 Глава 1. Векторы. Аффинная система координат. 1. Равенство направленных отрезков. Векторы. Семейство множеств называется направленным, если в пересе 1 Глава 1 Векторы Аффинная система координат 1 Равенство направленных отрезков Векторы Семейство множеств называется направленным, если в пересечении любых двух его элементов лежит третий (возможно, совпадающий

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

и c r к одному началу точке O, через конец вектора c r проведём прямые, параллельные векторам a r и b r

и c r к одному началу точке O, через конец вектора c r проведём прямые, параллельные векторам a r и b r . Векторный метод решения задач стереометрии без использования прямоугольных координат Напомним следующую теорему о векторах одной плоскости (теорема о разложении): Пусть векторы a и b не коллинеарны,

Подробнее

Лекция 5: Смешанное произведение векторов

Лекция 5: Смешанное произведение векторов Лекция 5: Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции рассматривается

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я Произведения векторов

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я Произведения векторов А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я Произведения векторов ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики процессов

Подробнее

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я линейная зависимость и независимость векторов

А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я линейная зависимость и независимость векторов А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я линейная зависимость и независимость векторов ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович shymanchuk@mail.ru Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной

Подробнее

Коллоквиум по аналитической геометрии

Коллоквиум по аналитической геометрии Коллоквиум по аналитической геометрии Решения 07/11/2013 Напоминание некоторых обозначений. f : A B: f функция с областью определения A и областью значений B. Z, Q, R множества целых, рациональных, и действительных

Подробнее

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8.

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8. 0 класс (технологический профиль) 208 209 уч год Геометрия УМК Атанасян ЛС Модуль 8 Тема модуля: «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» В процессе изучения данного модуля ученик научится/получит

Подробнее

7. НАПРАВЛЕННЫЕ ОТРЕЗКИ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНОСЫ И ВЕКТОРЫ

7. НАПРАВЛЕННЫЕ ОТРЕЗКИ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНОСЫ И ВЕКТОРЫ 7. НАПРАВЛЕННЫЕ ОТРЕЗКИ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНОСЫ И ВЕКТОРЫ Напомним (определение 1.4), что отрезком в плоскости аффинного типа называется пара ее точек { A, B }. Понятно, что { B, A } отрезок, совпадающий

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой.

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой. Вариант 1 Задача 1. Является ли векторным пространством множество многочленов P (x) степени не выше 2, удовлетворяющих условию P (1) = 0? Если да, постройте какой-нибудь базис и найдите размерность этого

Подробнее

ГЛАВА 1. Проективная геометрия

ГЛАВА 1. Проективная геометрия ГЛАВА 1. Проективная геометрия 1.1. Проективное пространство Пусть дано (n + 1)-мерное векторное пространство V ( 6.1, часть I) и непустое множество P произвольной природы. Говорят, что множество P наделено

Подробнее

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В. В. АНИСЬКОВ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КУРС ЛЕКЦИЙ В 3 ЧАСТЯХ. ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРЫ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Гомель, 2007 Содержание Тема 1. Векторы и линейные операции над ними 5 1.1 Предмет,

Подробнее

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов

Тема 1-13: Скалярное произведение векторов Тема 1-13: Скалярное произведение векторов А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

13. Смешанное произведение векторов

13. Смешанное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение смешанного произведения Определение Смешанным произведением векторов a, b

Подробнее

Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Конспект лекции 12 НОРМАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 0. План лекции 1. Взаимный базис. 1.1. Определение; 1.2. Линейная независимость; 1.3. Формулы скалярного произведения; 1.4. Формулы векторного

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ

Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ Глава 7 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В СТЕРЕОМЕТРИИ 7.1.1. Аксиомы стереометрии (наличие четырех точек не на плоскости, принадлежность прямой B к плоскости, плоскость через три точки

Подробнее

11. Скалярное произведение векторов

11. Скалярное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение скалярного произведения векторов Материал этого параграфа, как и предыдущего,

Подробнее

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы

IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Теоретические вопросы векторами. IX. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Теоретические вопросы 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. 2. Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя 3. Определители, их свойства.

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. Методические указания для студентов заочной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее