Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА"

Транскрипт

1 Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для всех специальностей Составители: Постникова Л.С. Субанова Э.В. г. Улан-Удэ,1998 г.

2 Данные методические указания содержат индивидуальные задания, состоящие из 5 вариантов. Студент выполняет одну задачу из каждого задания с номером, соответствующим его варианту. По своему усмотрению преподаватель может использовать задания для проведения контрольных работ, самостоятельных работ, для домашних заданий. Методические указания содержат краткие теоретические сведения. Теоретические вопросы могут быть использованы студентами для подготовки к экзамену. Рецензенты: Мижидон А.Д., д.т.н. Гармаев В.Д., к.э.н. Содержание

3 3 1. Краткие теоретические сведения для выполнения каждого задания.. Теоретические вопросы для защиты типового расчета. 3. Литература. 4. Индивидуальные задания. Краткие теоретические сведения

4 4 a11 a1... a1m a a a m матрица размерности n m. Если n=m, то А an1 an... anm квадратная матрица порядка n.. Д d11... d = d nn - диагональная матрица. Если в матрице Д d 11 = d =... = d nn = 1, то получится единичная матрица Е. 3. А - квадратная матрица порядка n. Если в А строки заменить столбцами, то полученная матрица A T называется транспонированной с матрицей А. 4. Определителем матрицы А n-го порядка называется сумма всех n! произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строчки и по одному из каждого столбца; при этом каждое произведение снабжено знаком плюс или минус по правилу: пусть Р - фиксированное произведение, входящее в состав определителя матрицы А n-го порядка. Выпишем сомножители в порядке следования строчек P= a 1α a β... a nω. Тогда номера столбцов дадут перестановку ( α, β... ω. Р берется со знаком +, если эта перестановка четная, и со знаком -, если она нечетная. a11 a1 a13 Пример. a1 a a3 - матрица 3-го порядка. Определитель мат- a31 a3 a33 рицы А, который обозначается ΔА или A или det A= a11aa33 + a13a1a3 + + a1a3a31 a13aa3 a1a1a33. a a B = 11 1 a a 1 a11 a1 ΔB= B = = a a a a a a

5 5 5. Пусть задана матрица А n- го порядка. Вычеркнем в ней i-ую строку и k-й столбец и сдвинем, не нарушая порядка, оставшиеся элементы. Определитель полученной матрицы (n-1-го порядка называется минором элемента i-ой строки и k- го столбца. Обозначим его M 6. Пусть А - матрица n-го порядка. Минор M, взятый со знаком ( 1 i+ k, называется алгебраическим дополнением элемента a. Обозначается A. 7. Определитель матрицы А n-го порядка равен сумме произведений всех элементов какой-нибудь фиксированной строчки или фиксированного столбца на их алгебраические дополнения, т.е. ai1ai1+ aiai ainain. 8. Рангом матрицы А называется наивысший порядок минора, составленного из элементов А, отличный от нуля Например, A. Наивысший порядок минора для матрицы А ра вен. M = = 9 4= 5 R( rang a111 + a a1nn = b1 a + a a nn = b a + a a nn = b a 11 + a a = b n n nn n n (1 - неоднородная система n линейных уравнений с n неизвестными, если хотя бы один из свободных членов bi, i = 1,,..., n. 1. Если все b i, то система (1 однородная. 11. Теорема Кронеккера -Капелли (об исследовании решений системы (1. Aa (, i= 1,,..., n; k= 1,,..., n- матрица системы. С - расширенная матрица, полученная из матрицы А присоединением столбца свободных членов. I. Если R(A=R( C =r, то система (1 совместна, т.е. имеет решение. II. Если r = n, то система (1 имеет единственное решение.

6 6 III. Если r < n, то система (1 имеет множество решений. IV. Если R( A R( C, то система несовместна, т.е. не имеет решений. 1. Следствие 1. (для однородной системы I. Однородная система всегда совместна. II. Если r = n, то система имеет единственное нулевое решение. III. Если r < n, то система имеет множество решений. 13. Решение системы (1 матричным способом. а Система (1 записывается в виде матричного уравнения AX = B, где Aa ( ; X 1 =.. n b1 b - матрица - столбец. B =., i = 1,,..., n. k = 1,,..., n. bn б решение системы запишется в виде матричного уравнения X = A 1 B, где A обратная матрица для матрицы А. ( A A ki, где ( Δ A ki - матрица, составленная из алгебраических дополнений для элементов матрицы A T. 14. Решение системы (1 по формулам Крамера. Решения системы имеют вид, где Δ- определитель матрицы А; Δ Xi - определитель, полученный из заменой i-го столбца на столбец свободных членов. 1 Δ1 Δ Δn = ; =,..., n = - формулы Крамера. Δ Δ Δ 15. a111 + a a1nn a11 + a ann am11+ am amnn (, m < n R( r, r m, k = n - r - число свободных неизвестных. Систему ( записать в виде

7 7 a111 + a a1rr = a1r+ 1r a1nn, a11 + a arr = ar+ 1r ann, ar11+ ar arr r = arr+ 1r arnn. Систему (3 решить по формулам Крамера. 16. Множество R элементов,y,z,... называются линейным, или векторным, пространством, если для любых двух его элементов х, у определена сумма + y R и для каждого элемента R и каждого вещественного числа α определено произведение α 1 + y = y+ для всех, y R ( + y + z= + ( y+ z для всех, yz, R (3 R так, что выполнены следующие условия: 3 Существует такой (нулевой элемент O R, что + = для всех R 4 Для каждого элемента R существует такой элемент -х ( называемый противоположным к х, что х+(-х=. 5 1 = 6 α( β = ( α β 7 ( α + β = α + β 8 α ( + y = α + α y Элементы векторного пространства называются векторами. 17. Векторы a 1, a,..., a k линейного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа α, α,..., αk, не равные одновременно нулю, что α a + α a α a =. 1 1 k k 1 α1 α αk 1 Например, α k, то ak = a1 a... a α α α k 18. Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. 19. Совокупность n линейно независимых векторов n - мерного пространства R называется его базисом. k k k 1

8 8. Число базисных векторов определяет размерность векторного пространства. 1. Каждый вектор х линейного n - мерного пространства R можно представить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации векторов базиса. Например,,,..., - базис. X = α + α + α 1 n Пусть в пространстве R n имеются два базиса 1,,..., n и 1,,..., n. Пусть первый называется старым базисом, второй - новым. Каждый из элементов нового базиса можно линейно выразить через векторы старого базиса: nn = a + a a n1 n = a + a a 1 1 n n (1 = a + a a n 1n 1 n nn n Можно сказать, что новые координатные векторы получаются из старых с помощью матрицы a11 a1... a1n a a a n a a... a n1 n nn Матрица А называется матрицей перехода от базиса,,..., к базису 1,,..., n. Определитель матрицы А не равен нулю, т.к. в противном случае ее столбцы, а следовательно, и векторы 1,,..., n были бы линейно зависимы. 3. Пусть X = nn и в то же время X = + + n n. Подставляя вместо 1,,..., n их выражения (1, получим X = ( a + a a + ( a + a a ( a + a a = n1 n 1 1 n n n 1n 1 n nn n = ( a + a a + ( a + a a ( a + a a n n n n n1 1 n1 nn n n 1 n

9 9 что Т.к. разложение любого вектора по базису - единственное, то следует, 1 = a111 + a a1nn = a11 + a ann = a + a a n n1 1 n1 nn n Таким образом, старые координаты вектора X получаются из новых с помощью той же матрицы А, только коэффициенты соответствующих разложений образуют строки этой матрицы. вектору 4. В линейном пространстве R задано преобразование A, если каждому R поставлен в соответствие определенный вектор A х. Вектор A х называется образом вектора х. 5. Преобразование A называется линейным, если для любых двух векторов х и у из R и произвольного действительного числа α выполняются свойства 1 A ( + y = A + A y A ( α = α A 6. Выберем в пространстве R базис 1,,..., n. Если X = nn, то в силу линейности преобразования A имеем AX= A A A n n.,,...,. 1 Но так как A i - тоже вектор из R, то A i n i 1i 1 i... ni n a + a + + a Тогда AX= nn можно разложить по базису Ввиду единственности разложения вектора по базису имеем 1 = a111+ a a1nn = a + a a 1 1 n n = a + a a n n1 1 n nn n

10 1 Таким образом, каждому линейному преобразованию A в заданном базисе,,..., отвечает матрица 1 n a11 a1... a1n a a a n a a... a n1 n nn Справедливо обратное утверждение, каждая квадратная матрица А порядка n может рассматриваться как матрица некоторого линейного преобразования. 7. Если преобразование A таково, что A только при х, то оно называется невырожденным; в противном случае преобразование A - вырожденное. 8. Для того, чтобы преобразование A было невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А этого преобразования был отличен от нуля. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной матрицей. 9. Если A и В * - два линейных преобразования линейного пространства R, то суммой A +В * называется такое преобразование С *, что для любого R C = A + B. Сумма двух линейных преобразований тоже линейное преобразование. Матрица С называется суммой матриц А и В. 3. Если A - линейное преобразование пространства R и α - число, то произведением A на α называется такое преобразование α A, что для каждого вектора R ( αa = αa. αa - тоже линейное преобразование. Матрица αа называется произведением матрицы А на число α. 31. Произведением A В * преобразований A и В * называется такое преобразование С *, что для каждого вектора C= A( B R

11 11 Таким образом, перемножение преобразований состоит в последовательном их выполнении одного за другим; при этом сначала производится преобразование В *, а затем полученный вектор В * х подвергается преобразованию А *. Произведение линейных преобразований тоже будет линейным преобразованием. Матрица С называется произведением матриц А и В Для каждого невырожденного линейного преобразования А * существует такое линейное преобразование (А * -1, что A ( A = ( A A. Преобразование (А * -1 - обратное к А * преобразование. Существует матрица А -1 обратная для матрицы А такая, что 1 1 A A E, где Е - единичная матрица. 33. Если преобразования А * и В * невырожденные, то невырожденным будет их произведение. 34. Пусть линейное преобразование А х в базисе 1,,..., n имеет матрицу А, а в базисе 1,,..., n другую матрицу А /. Обозначим через С матрицу перехода от базиса i к базису i, где i = 1,,..., n C= ( C. Тогда i = C1i1 + Ci Cnin. Будем рассматривать матрицу С как матрицу линейного преобразования С * в базисе,,...,. Тогда Ci = C i + C i+ + Cnin = i. Значит, линейное преобразование С * переводит векторы 1,,..., n соответственно в векторы 1,,..., n. Для преобразования С * существует обратное преобразование (С * -1, при котором * 1 * * ( C = 1 ;( C = 1,...,( C 1 1 = n По условию, A i = a i + a i + + ani n. Применяя к обеим частям этого равенства преобразование (С * -1, получим A = C AC. n. 1 1 n

12 1 35. Вектор X называется собственным вектором линейного преобразования А *, если найдется такое число λ, что A X = λ X. λ называется собственным значением преобразования А * ( матрицы А. 36. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного преобразования. Выбирается в пространстве R базис,,...,. Пусть X = nn, а матрица преобразования А* в этом базисе А(а. Тогда AX= ( a111+ a a1nn 1+ ( an11+ an annn n = λ( nn Откуда получим систему ( a11 λ 1 + a a1nn a11 + ( a λ ann an11+ an ( ann λ n Для существования ненулевого решения этой системы ее определитель должен быть равен нулю. a11 λ a1... a1n a1 a λ... an a a... a λ n1 n nn Это равенство называется характеристическим уравнением, а левая часть его характеристическим многочленом преобразования А *. Этот многочлен не зависит от выбора базиса. Каждый корень характеристического многочлена будет собственным значением. Соответствующие собственные векторы находятся из системы (1. ( 37. Квадратичной формой называется однородный многочлен f = f( 1,,..., n второй степени от n переменных. Укажем для квадратичной формы одну специальную форму записи 1 n

13 13 f = f(,,..., = a + a a + 1 n n 1 n a + a... + a n n (1 n1 n 1 n n nn n a + a a Матрица, составленная из коэффициентов формы a11 a1... a1n a a a n a a... a n1 n nn называется матрицей квадратичной формы. Элементы матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой, т.е. А - симметричная матрица. Справедлива теорема: если в квадратичной форме с матрицей А сделано линейное преобразование переменных с матрицей С, то полученная квадратичная форма будет, иметь матрицу С / АС, которая является диагональной матрицей. Пример. Квадратичная форма имеет матрицу После преобразования = y + y + y = y + y + y 1 3 = y + y + y с матрицей C = 1 данная квадратичная форма перейдет в форму с матрицей = = CAC ,

14 14 т.е. в форму y + 3y y Квадратичная форма вида α + α α не содержащая членов 1 1 n n с произведениями различных переменных и имеющая поэтому диагональную матрицу, называется диагональной квадратичной формой. Диагональную квадратичную форму называют канонической. 39. Квадратичная форма f(, y= α + βy + γ y в пространстве R с 1 помощью ортогонального преобразования приводится к сумме квадратов. Например, f(, y= 66 4y+ 59 y. Составляется характеристический многочлен матрицы этой формы 66 λ 1 ϕ( λ = = λ 15λ λ Находятся корни многочлена: λ = 75, λ = 5. В новом базисе, состоящем 1 из собственных векторов, соответствующих собственным значениям λ 1 и λ, квадратичная форма примет вид f(, y= y 1 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 1. Матрицы. Виды матриц.. Линейные операции над матрицами. 3. Умножение матриц. 4. Обратная матрица. Существование обратной матрицы. 5. Ранг матрицы.

15 15 6. Матричная запись системы линейных уравнений, решение системы матричным способом. 7. Теорема Кронекера-Капелли. 8. Определители. Свойства. Вычисление определителей. 9. Формулы Крамера. 1. Решение однородных систем линейных уравнений. 11. Линейное пространство. 1. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. 13. Базис линейного пространства. 14. Размерность линейного пространства. 15. Разложение вектора по базису. 16. Матрица перехода от одного базиса к другому. 17. Преобразования. Линейные преобразования. Матрица линейного преобразования. 18. Линейные операции над линейными преобразованиями. 19. Умножение линейных преобразований.. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. 1. Нахождение собственных векторов.. Квадратичная форма. 3. Приведение квадратичной формы к диагональному виду или каноническому виду. 4. Приведение общего уравнения кривой -го порядка к каноническому виду с помощью квадратичных форм. ЛИТЕРАТУРА 1. Л.И. Головина. Линейная алгебра и некоторые ее приложения.

16 16. З.И. Доревич. Определители и матрицы. 3. Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 4. О.В. Мантуров, Н.М. Матвеев. Курс высшей математики. 5. И.В. Проскуряков. Сб. задач по линейной алгебре. Задание 1а Решить систему по формулам Крамера = = = = = = = = = = = =

17 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1

18 = = = 17 Задание 1б Исследовать и решить систему матричным способом = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 8

19 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1

20 = = = = 1 Задание 1в Исследовать и решить однородную систему

21 Задание Решить матричные уравнения = X X = = X X =

22 X = = X X = = X X = X = X = = X X = = 7 8 X X = X = X = X X = = X X = X = X = X =

23 X = ( 1,, Задание 3 Найти координаты вектора в базисе (,,, если он задан в базисе = + + = 1 = + + = { 6; 13 ; } = = 1 3 = + + = ;; { 136} 4 = = 41 = + + = ;; { 631} 5 = = 51 = + + = ;; { 841} = = 1 = + + = ;; { 14} 3 = + + = 31 = + + = ;; { 41} = = 1 4 = + + = ;; { 148} = = 1 5 = + + = ;; { 51}

24 4 9 6 = = = = 6 1 = + + { 1 5 1} = ;; = + + { 16 1} = ; ; 11 7 = = = = 7 1 = + + { 1 6 1} = ; ; = + + { 17 14} = ;; 13 = + 1 = = + + = = + + { 34} = ;; = + + { 43} = ;; 15 = + = = = 1 = + + { 6 ; ; 3} = = + + { 1;; 3 1} = 17 = = = = 4 1 = + + { 1; 4; 8} = = + + { 14 ;; 8} =

25 5 19 = = = = 4 1 = + + { 7; 5; 1} = = + + { 5; 5; 4} = 1 = = = = 5 1 = + + { 1; 6; 6} = = + + { 66} = ; ; 3 = = = = 6 1 = + + { 17 ;; 7} = = + + { 77} = ;; 5 = = 8 1 = + + { 3; 8; 8} = Пусть = (,,. Являются ли линейными следующие преобразования: 1. Задание ( 6 5 4, 3, + B = ( 6 5 4, 3, + C = (, 3,

26 ( 5 4 3,, + B = ( 5 4 3,, + C = ( 5 4 3,, ( 4 3,, B = ( 4 3,, C = ( 4 3,, ( 3 + +,, 3 4 B = ( 3 + +, 1, 3 4 C = ( 3 + +,, (, 34, B = (, 3, C = (, 3, ( +,, B = ( +,, C = ( +, 3, (, + + 3, B = (, , C = (, + + 3, ( 3, 1, B = ( 3,, C = ( 3,, (,, B = (,, C = (, 1, (, , B = (, , C = (, 5,

27 ( 6 5 4, 3, B = ( , C = ( 6 5 4, 3, ( 5 4 3,, B = ( 5 4 4,, 1 C = ( 5 4 3,, ( 4 3,, + B = ( 4 3,, + C = ( 4 3,, ( 3 + +,, 3 B = ( ,, 3 C = ( 3 + +,, (,, B = (,, C = (,, ( +,, 3 4 B = ( +,, 3 4 C = ( +,, (, +, B = (, +, C = (, +, ( 3 1,, B = ( 3,, C = ( 3,, (,, + 3 B = (,, + 3 C = (,,

28 (, + + 3, B = (, + + 3, C = (, + + 3, ( 6 5 4, 3, B = ( ,, C = ( 6 5 4, 3, ( 5 4 3, + 3 B = ( 5 4 3,, C = ( 5 4 3,, ( 4 3, +, B = ( 4 3, +, C = ( 4 3, +, ( , , 9 + B = ( , , 9 + C = ( , , ( , , 8 + B = ( , , C = ( , , Задание 5 Даны два линейных преобразования: = a + a + a = a + a + a = a + a + a = b111 + b1 + b133 = b11 + b + b33 3 = b311 + b3 + b333 Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее,, через,,

29 9 1 = = = = 1 3 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 3 1 = 6 3 = = = = = = = = = 1 3 = = = = = = = = = 1 53 = =

30 3 1 = + + = = = = = = = 1 3 = = 31+ = = = = = = 3 + = = = = = = = = = = = = 3 63 = = + + 1= 31 + = = = = = = 3 = = = = = = + 33 = = = = = = = = = = = = = = = = =

31 31 1 = 1+ 3 = = = = = = = = = 4 9 = = = = 3 = = = = = = = 1 3 1= = = = = = 3 1 = = = = + 3 = = = = = Задание 6 Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей А

32

33 Задание 7 а С помощью квадратичных форм привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду; б построить кривую. 1. y + 4y+ 4y+ 1=. + y y y+ 1= 3. 4y + 4 4y 4. y + y 6+ 6y + 3= y + 4y 6+ 4y + = 6. y y + 1= 7. y 4y 4 y+ = y + y+ 1 1y + 1= 9. 4y + 4 4y = 1. + y + y 8 8y+ 1= y + y+ 1+ 1y+ 1= y + 4y+ 8+ 1y+ 1= y 8y + y+ 1= y y 6+ y+ 1= y 4y+ 6 4y y y+ 1 y+ 1= 17. y + y+ y+ 1=

34 y + 4y+ 8+ 8y+ 1= y + y 1 4y+ 1=. + y 4y 8+ 8y+ 1= 1. 4y y + 1=. + y y+ 6 6y y + 4y+ 4+ y 5= 4. 4y + 4 4y + 4= y 4y+ 4+ 4y+ 1= Задание 8 Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов a и b и произведение любого на любое число α. 1. Множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых - целые числа; сумма a + b, произведение α a.. Множество всех векторов, лежащих на одной оси; сумма a+ b, произведение α a. 3. Множество всех векторов на плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей; сумма a + b, произведение α a. 4. Множество всех векторов трехмерного пространства; сумма [ a b], произведение α a. 5. Множество всех векторов, лежащих на одной оси; сумма a+ b, произведение α a. 6. Множество всех векторов, являющихся линейными комбинациями векторов х, у, z; сумма a + b, произведение α a. α (. 7. Множество всех функций a = f ( t, b = g( t принимающих положительные значения; сумма f ( t g( t, произведение f t

35 35 8. Множество всех непрерывных функций a = f ( t, b = g( t, заданных на [;1]; сумма f ( t + g( t, произведение α f ( t. 9. Множество всех нечетных функций a = f ( t, b = g( t, заданных на отрезке [-1; +1]; сумма f ( t g( t, произведение α f ( t. 1. Множество всех нечетных функций a = f ( t, b = g( t, заданных на отрезке [-1; +1]; сумма f ( t + g( t, произведение α f ( t. 11. Множество всех линейных функций a = f( 1,, b= g( 1, ; сумма f(, + g(,, произведение α f(, 1. Множество всех многочленов третьей степени от переменной х; сумма a b, произведение α a. 13. Множество всех многочленов степени, меньшей или равной трем от переменных х, у; сумма a + b, произведение α a. 14. Множество всех упорядоченных наборов из n чисел a = { 1,,..., n}, b= { y1, y,..., yn} ; сумма { 1+ y1, + y1,..., n + yn}, произведение { α, α,..., α } 1 n. 15. Множество всех упорядоченных наборов из n чисел a = { 1,,..., n}, b= { y1, y,..., yn} ; сумма { 1y1, y1,..., nyn}, произведение { α, α,..., α } 1 n. 16. Множество всех сходящихся последовательностей a = { un} b= { vn} сумма { u + v }, произведение α u n. n n, ; 17. Множество всех многочленов от одной переменной степени меньшей или равной n; сумма a a + b, произведение α a. 18. Множество всех многочленов от одной переменной степени n; сумма + b, произведение α a. 19. Множество всех диагональных матриц a = a, b= b, i, k = 1,,..., n; сумма a + b, произведение α a.

36 36. Множество всех невырожденных матриц a = a, b= b, i, k = 1,,..., n; сумма a b, произведение α a. 1. Множество всех квадратных матриц a = a, b= b, i, k = 1,,..., n; сумма a + b, произведение α a.. Множество всех диагональных матриц a = a, b= b размера n n: сумма a b, произведение α a. 3. Множество всех прямоугольных матриц a = a,b = b, i = 1,,..., m; k = 1,,..., n ; сумма a + b, произведение α a. 4. Множество всех симметричных матриц ( a,b= ( a = a ki = a b bki = b,, i k = 1,,..., n; сумма a + b, произведение α a. 5. Множество всех целых чисел; сумма a+ b, произведение [ α a ].

37 37

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 1. Ранг матрицы 1. Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы. Указать базисные строки и базисные столбцы. ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ Ранг матрицы Указать какой нибудь базисный минор и определить ранг матрицы Указать базисные строки и базисные столбцы 0 0 а) ; б) 0 0 ; в) 0 0 ; г) 0 0 0 ; 0 0 0 д) 0 0 ; е) 3 3 ; ж) 0 0

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль Матричная алгебра Векторная алгебра Текст (самостоятельное изучение) Аннотация Однородные СЛАУ их совместность Критерий существования ненулевого решения однородной СЛАУ его

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Аннотация Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства.

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Экономический факультет Л.С. Павлова МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ (отд. «Менеджмент») Москва 05 УДК 5.64 ББК.5.54я7 П Павлова Л.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Линейная алгебра с приложениями

Линейная алгебра с приложениями Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий РМ Минькова Линейная алгебра с приложениями Учебно-методическое

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра»

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» 2 Содержание 1. Матрицы и определители 4 1.1. Матрицы и действия над ними 4 1.2. Определители 7 1.3. Обратная матрица 10 1.4.

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие........................................................... 5 1. Элементы линейной алгебры............................................ 6 ИДЗ 1. Определители..............................................

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула Важные понятия утверждения формулы и некоторые примеры по высшей алгебре Тема «К о м п л е к с н ы е ч и с л а» Записать заданное комплексное число в алгебраической тригонометрической и показательной форме

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ЛЕКЦИЯ 7 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 7 Линейные пространства Базис линейного пространства 7 Линейный оператор: определение действия над линейным оператором

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Тема: Линейные операторы

Тема: Линейные операторы Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Линейные операторы Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1. Определение линейного оператора Пусть L и V линейные пространства над F (где F

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А, называется число:

Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А, называется число: 1. Определители второго и третьего порядка. Квадратная таблица, составленная из четырех действительных чисел (или комплексных), называется квадратной матрицей второго порядка. A = ( a 11a 12 a 21 a ) 22

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление

Подробнее

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Математический анализ» А.П.

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Набор тестов для студентов очной формы обучения всех специальностей Автор

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2]

Контрольная работа T=3. Задание 1. [1, стр. 2] Дана матрица Контрольная работа A 0 T= Задание [, стр ] Определите ее размерность Выпишите характеристики этой матрицы: прямоугольная, квадратная, симметричная, единичная, нулевая, треугольная, диагональная,

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

Линейная алгебра 12(6) 18(9)

Линейная алгебра 12(6) 18(9) Линейная алгебра Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. E-mail: vachurikov@list.ru. 1 Линейная

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.4

Линейная алгебра. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц Пусть квадратная матрица порядка n Матрица, удовлетворяющая

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст (самостоятельное изучение) Аннотация Понятие линейной зависимости строк или столбцов матрицы. Ранг матрицы, теорема о ранге

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.2

Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.2 Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.2 Аннотация Квадратичные формы. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Квадратичная

Подробнее

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ»

Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» Общие сведения Действия над матрицами Определитель квадратной матрицы 4 Основные свойства определителей 5 Обратная матрица 6 Виды матриц 9 Ранг матрицы Метод окаймляющего

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.1 Аннотация Вещественное линейное пространство, аксиомы и примеры. Линейно зависимые и

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Группа АМ-12-06 Вопросы к экзамену 1Векторная алгебра 1 Определение вектора Равенство векторов Свободные вектора Линейные операции над векторами и их свойства

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 2.2

Линейная алгебра. Лекция 2.2 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве.квадратичные

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители)

Смысл. 1-й способ исследования системы (через определители) ) Является ли система векторов линейно зависимой? a ; ; 0 ; a 0 ; ; ; a 3 30 ; ; ; a 4 000 ; ; ; Смысл Векторы линейно независимы, если векторное равенство a a a 3 3 4a 4 0 имеет единственное (нулевое,

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.3

Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.3 Линейная алгебра Модуль 2. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Квадратичные формы Лекция 2.3 Аннотация Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогонального преобразования.

Подробнее

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x Лекция V V Системы линейных уравнений a x +a ++a n b a x +a ++a n b a m x +a m ++a mn b m () Запишем систему m линейных уравнений с n неизвестными в несколько необычном виде: a a a m x + a a a m ++ a n

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее