1 Экспонента линейного оператора.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "1 Экспонента линейного оператора."

Транскрипт

1 ЭКСПОНЕНТА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. 1 Экспонента линейного оператора. 1.1 Напоминание: геометрическая формулировка основной задачи ОДУ. Напомним, что векторное поле это отображение, которое каждой точке x ставит в соответствие вектор, приложенный в этой точке: x v(x). Если мы рассматриваем векторное поле в R n, вектор v(x) берётся из R n. В общем случае, когда векторное поле определено на поверхности M, вектор v(x) принадлежит касательному пространству к M в точке x. Область определения векторного поля называется фазовым пространством. Кривая, которая во всех своих точках касается векторного поля, называется фазовой кривой этого поля. Векторные поля соответствуют автономным дифференциальным уравнениям: задача по заданному полю v(x) нарисовать фазовые кривые почти равносильна задаче решить дифференциальное уравнение ẋ = v(x). Подробнее см. в разделе 13.3 главы Линейные дифференциальные уравнения. Определение 1.1. Линейным дифференциальным уравнением называется векторное поле 1 вида v(x) = Ax, где A: R n R n линейный оператор. Пример 1.2. В одномерном случае получается уравнение вида ẋ = ax, а в двумерном случае система уравнений {ẋ = ax+by ẏ = cx+dy (2.1) На рисунке изображены фазовые портреты нескольких векторных полей вида (2.1). На самом деле, для любой невырожденной 2 2-матрицы A (deta 0) фазовый портрет векторного поля v(x) = Ax имеет один из этих четырех видов. Рис. 2.1: Седло, узел, фокус и центр 1 Вернее, уравнение, соответствующее этому полю. В дальнейшем мы не будем различать векторные поля и автономные дифференциальные уравнения

2 1.2. Линейные дифференциальные уравнения 135 Цель этого параграфа найти уравнение траекторий линейных векторных полей в общем виде. Для этого нужно решить уравнение ẋ = Ax, x R n (2.2) В одномерном случае уравнение имеет вид ẋ = ax, и его решения функции вида ϕ(t) = e at ϕ(0). Оказывается, эта формула верна и в общем случае. Теорема 1.3 (Основная теорема). Любое решение ϕ(t) уравнения (2.2) имеет вид ϕ(t) = e At ϕ(0) Здесь ϕ(0) n-мерный вектор, а e At экспонента оператора A t. Напомним определение экспоненты линейного оператора, которое было в курсе линейной алгебры: Определение 1.4. Экспонентой линейного оператора A называется сумма ряда e A := E +A+ A2 Ak (2.3) 2! Оказывается, этот ряд всегда сходится. Неполное доказательство основной теоремы. Нам нужно доказать, что функция A k t k ϕ(t) = ϕ(0) k=1 является решением уравнения (2.2). Продифференцируем это равенство: A k t k 1 ϕ(t) = (k 1)! ϕ(0) = A A k t k ϕ(0) = Aϕ(t) откуда ϕ = Aϕ. Нам осталось доказать два предложения: Предложение 1.5. Ряд сходится для любой матрицы A. A k t k (2.4) Предложение 1.6. Мы имеем право дифференцировать ряд (2.4) почленно. Сначала нужно понять, в каком смысле мы будем говорить о сходимости ряда из матриц. Матрицы n n образуют n 2 мерное векторное пространство. Мы введем в нем метрику и будем рассматривать сходимость ряда относительно этой метрики. В пространстве матриц есть несколько естественных метрик, но они все эквивалентны (то есть последовательность сходится в смысле одной метрики тогда и только тогда, когда она сходится в смысле другой). Мы введем метрику, связанную с операторной нормой A.

3 ЭКСПОНЕНТА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. 1.3 Норма линейного оператора. Пусть в R n определено скалярное произведение (x,y). Нормой вектора эвклидового пространства x R n называется его скалярный квадрат x = (x,x). Определение 1.7. Норма оператора A: R n R n это максимальный коэффициент растяжения: Ax A = max x 0 x. (2.5) Лемма 1.8. Норма A корректно определена (то есть максимум в (2.5) достигается). Доказательство. Если растянуть векторxвλраз, дробь Ax x не изменится: ведь A(λx) = λ Ax и λx = λ x. Поэтому max x 0 Ax x = max S n 1 Ax, где S n 1 = {x R n x = 1} единичная сфера. Легко доказать (сделайте это!), что функция x Ax непрерывна. Так как единичная сфера компакт, эта функция ограничена и принимает своё максимальное значение. Лемма 1.9. Пространство линейных операторов A: R n R n с метрикой ρ(a, B) = A B полно (всякая последовательность Коши сходится). Доказательство. Полноту пространства с такой нормой мы выведем из полноты евклидова пространства. Фиксируем базис в R n ; тогда пространство операторов можно отождествить с пространством n n-матриц. В пространстве матриц выберем базис, состоящий из матричных единиц e ij (матриц, у которых на месте (i,j) стоит единица, а в остальных местах нули). Тогда коэффициенты матрицы это и есть её коэффициенты разложения по такому базису: (a ij ) = a ij e ij. Определим новую норму 0 в пространстве операторов: положим A 2 0 = a 2 ij То есть норма матрицы равна корню из суммы квадратов её координат при разложении по базису e ij. Это обычная эвклидова норма в n 2 мерном пространстве, и полнота относительно такой нормы доказана в курсе анализа. Теперь утверждение леммы следует из такого предложения: Предложение Нормы 0 и эквивалентны, т.е. существуют положительные константы c,c такие, что для любого оператора A c A 0 A C A 0 (2.6)

4 1.4. Существование экспоненты линейного оператора 137 Действительно, из равенства (2.6) следует, что если последовательность A k сходится к A в смысле одной из норм ( A k A 0 0), то она сходится и в смысле другой нормы: A k A 0. Кроме того, если последовательность фундаментальна в смысле одной из норм, то она фундаментальна и в смысле другой нормы. Раз для нормы 0 любая фундаментальная последовательность сходится, то это верно и для нормы. Доказательство предложения 1.10 об эквивалентности норм. Доказательство идейно близко к доказательству леммы 1.8. Достаточно доказать оценку (2.6) для тех операторов A, для которых A 0 = 1, то есть a 2 ij = 1 (ведь если умножить оператор на число, то его норма умножится на модуль этого числа). Заметим, что множество матриц {A (a ij ) a 2 ij = 1} это сфера вn 2 мерном эвклидовом пространстве. На этой сфере функция A A непрерывная строго положительная функция (докажите это!). Непрерывная функция на компакте ограничена: c > 0, C > 0 : c A C, а это и есть наше неравенство (2.6), так как A 0 = Существование экспоненты линейного оператора. Мы доказали, что пространство операторов с нормой полно. Поэтому предложение 1.5 о сходимости ряда для экспоненты следует из такой леммы: Лемма Последовательность S m = m Ak фундаментальна. Доказательство. Заметим, что AB A B. Действительно, AB = max x =1 ABx max x =1 A Bx A B. В частности, A k A k. Докажем, что последовательность S m фундаментальна: m A k m S m S l = A k l+1 l+1 (2.7) Обозначим a := A и рассмотрим ряд для экспоненты e a. Этот ряд сходится, поэтому последовательность его частичных сумм s n = n ak фундаментальна: ε > 0 N N : m,l > N s m s l < ε. Равенство (2.7) означает, что S m S l < s m s l. Поэтому последовательность S n тоже фундаментальна.

5 ЭКСПОНЕНТА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. На самом деле, для ряда Ak выполнено условие Вейерштрасса: он мажорируется положительным сходящимся рядом l+1 A k. Поэтому мы могли просто применить признак Вейерштрасса сходимости ряда, но вместо этого повторили его доказательство в случае матричного ряда. Чтобы завершить доказательство основной теоремы, нам осталось доказать предложение 1.6 о почленном дифференцировании ряда для экспоненты. Повторим его формулировку в более развернутом виде: Предложение. Ряд e At = t k A k можно почленно дифференцировать: (e At ) = t k 1 A k (k 1)! (2.8) Доказательство. Мы будем пользоваться теоремой о почленном дифференцировании ряда: Теорема 1.12 (Вейерштрасс). Если ряд функций (или вектор-функций) равномерно сходится на отрезке вместе со своими первыми производными 2, то его можно почленно дифференцировать. Мы имеем дело с рядом из матриц, зависящих от t; матрица элемент пространства R (n2), поэтому её можно рассматривать как вектор-функцию. Докажем, что для нашего ряда теорему Вейерштрасса можно применить на отрезке [ T,T] при любом T. Из этого мы получим, что ряд можно дифференцировать внутри любого отрезка вещественной оси, а значит, на всей вещественной оси. Равномерная сходимость ряда (2.8) на [ T, T] следует из признака Вейерштрасса: наш ряд мажорируется положительным сходящимся числовым рядом t k 1 A k (k 1)! Tk 1 a k (k 1)!, где a := A. Поэтому для частичных сумм S m ряда (2.8) верна оценка Ae At S m (t) = k=m+1 A k t k 1 (k 1)! a k T k 1 (k 1)! k=m+1 ( ) m 1 a e at (at) k 0 при m (2.9) Норма разности оценена членом последовательности, не зависящей от t и стремящейся к нулю. Это и означает, что ряд сходится равномерно. Равномерная сходимость ряда для e At доказывается так же. Поэтому можно применить теорему Вейерштрасса. 2 Достаточно требовать равномерной сходимости ряда из производных и сходимости в одной точке для исходного ряда. В курсе математического анализа теорему Вейерштрасса формулируют именно так

6 1.4. Существование экспоненты линейного оператора 139 Тем самым, закончено и доказательство основной теоремы. В основной теореме утверждается, что функция e At x 0 даёт решение дифференциального уравнения ẋ = Ax с начальным условием x(0) = x 0. Из общей теоремы существования и единственности следует, что других решений нет. Но в данном случае проходит совсем простое доказательство единственности: Доказательство теоремы единственности для линейных уравнений. Пусть x(t) решение уравнения ẋ = Ax. Положим y(t) := e At x(t). Простая выкладка показывает, что ẏ = 0, поэтому y(t) const. Значит, x(t) имеет вид e At x 0.

3 Линейные уравнения в C n

3 Линейные уравнения в C n 145 3 Линейные уравнения в C n Определение экспоненты и результаты, полученные в разделах 1 «Экспонента линейного оператора» и 2 «Экспонента и фазовый поток», можно перенести на случай уравнений в C n.

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В этом параграфе мы докажем теорему, которой пользовались в

Подробнее

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется

8. Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида.. При этом предел S последовательности ( S n ) называется 8 Комплексные числовые ряды Рассмотрим числовой ряд с комплексными числами вида k a, (46) где ( a k ) - заданная числовая последовательность с комплексными членами k Ряд (46) называется сходящимся, если

Подробнее

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве

Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства. 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Глава IX. Евклидовы и унитарные пространства 35. Скалярное произведение в векторном пространстве Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ. 1. Основные понятия теории устойчивости ГЛАВА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В этой главе исследуется устойчивость самого простого класса дифференциальных систем линейных систем В частности, устанавливается, что для линейных систем с постоянными

Подробнее

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова.

28. Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прямой метод Ляпунова. 8 Устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений Прямой метод Ляпунова ВДНогин 1 о Введение Для того чтобы можно было поставить задачу об устойчивости, необходимо располагать объектом,

Подробнее

Программа курса математического анализа

Программа курса математического анализа Программа курса математического анализа 1-й курс 2-й семестр 2015-2016 уч. года М. Э. Казарян 1. Изображение кривых, заданных параметрически и неявно. Особые и характерные точки. Изображение кривой в окрестности

Подробнее

2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом

2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом 2 Формулировка и доказательство принципа максимума Понтрягина для задачи со свободным концом Приведем формулировку и доказательство принципа максимума Понтрягина для следующего частного случая задачи оптимального

Подробнее

Программа курса математического анализа

Программа курса математического анализа Программа курса математического анализа 1-й курс 2-й семестр 2013-2014 уч. года М. Э. Казарян 1. Изображение кривых, заданных параметрически и неявно. Особые и характерные точки. Изображение кривой в окрестности

Подробнее

2 Экспонента и фазовый поток

2 Экспонента и фазовый поток 140 2. ЭКСПОНЕНТА И ФАЗОВЫЙ ПОТОК 2 Экспонента и фазовый поток 2.1 Абстрактный фазовый поток. В разделе 8 главы 1, «Фазовые потоки», мы определили фазовый поток векторного поля. Здесь мы дадим определение

Подробнее

Теория полугрупп. Полугруппы линейных операторов

Теория полугрупп. Полугруппы линейных операторов Теория полугрупп Полугруппы линейных операторов Пример Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами dx ax x x Как решить эту начальную задачу или, другими словами, задачу

Подробнее

Локальная теорема Коши Пикара.

Локальная теорема Коши Пикара. Локальная теорема Коши Пикара. Теорема (о существовании и единственности локального решения). Пусть дана задача Коши x = f(t, x) x(t 0 ) = x 0, (1) где правая часть f(t, x) определена и непрерывна в прямоугольнике

Подробнее

Лекция 1. Функциональные ряды

Лекция 1. Функциональные ряды С А Лавренченко wwwlwrecekoru Лекция Функциональные ряды Понятие функционального ряда Ранее мы изучали числовые ряды, т е членами ряда были числа Сейчас мы переходим к изучению функциональных рядов, т

Подробнее

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности

и ряды» Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп

ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ГЛАВА II Элементы теории полугрупп ЛЕКЦИЯ 7 Неограниченные линейные операторы Хотя методами главы I нам удалось исследовать многие задачи математической физики, некоторые вполне классические задачи не

Подробнее

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ФТК, 2-ой семестр Матрицы и определители. 1. Понятие матрицы. Основные действия с матрицами и их свойства. 2. Пространство квадратных матриц. Обратная матрица и ее свойства.

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка

1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка 1. Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения и системы. Понятие решения. Автономные и неавтономные уравнения. Уравнения и системы порядка выше первого и их сведение к системам первого порядка.

Подробнее

1. Что такое двумерные поверхности

1. Что такое двумерные поверхности Н. Б. Гончарук, Ю. Г. Кудряшов Совместный бакалавриат ВШЭ-РЭШ, 2011-12 уч. год. Топология двумерных поверхностей Формальное определение многообразия (8 ноября) Н. Б. Гончарук, Ю. Г. Кудряшов 1. Что такое

Подробнее

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке.

9. Принцип сжимающих отображений. Теоремы о неподвижной точке. Лекция 6 9 Принцип сжимающих отображений Теоремы о неподвижной точке Пусть D оператор, вообще говоря, нелинейный, действующий из банахова пространства B в себя Определение Оператор D, действующий из банахова

Подробнее

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1. Матрицы, операции над матрицами. 2. Верхние и нижние грани числовых множеств. Поле действительных чисел. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 1. Определители. Свойства определителей, методы

Подробнее

Линейные неавтономные системы

Линейные неавтономные системы Линейные неавтономные системы А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В предыдущих лекциях исследовались линейные автономные системы. Они допускают точные решения, которые выражаются

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения Обыкновенные дифференциальные уравнения Лекторы: В. А. Кондратьев, Ю. С. Ильяшенко III IV семестры, программа экзамена 2003 2004 г, варианты 2001 2009 г. 1. Программа экзамена 1.1. Первый семестр Введение.

Подробнее

Метрические и нормированные пространства

Метрические и нормированные пространства Метрические и нормированные пространства А. Л. Лисок, Р. О. Резаев, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Функциональный анализ Лекция Фундаментальным в анализе является предельный переход (сходимость). Для

Подробнее

15. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора

15. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора 15. Символы o и O, теорема о среднем, формула Тейлора Начнем эту лекцию с того, что введем два часто используемых в анализе обозначения. Именно: пусть f и g две функции переменной x, обе стремящиеся к

Подробнее

Список задач с решениями по функциональному анализу.

Список задач с решениями по функциональному анализу. Список задач с решениями по функциональному анализу Пусть линейное нормированное пространство Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство из аксиом нормы:, тогда: Можно ли в пространстве

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Устойчивость решения задачи Коши по начальным данным и правой части Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области

Подробнее

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал

1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал В.В. Жук, А.М. Камачкин 1 Степенные ряды. Радиус сходимости и интервал сходимости. Характер сходимости. Интегрирование и дифференцирование. 1.1 Радиус сходимости и интервал сходимости. Функциональный ряд

Подробнее

Лекция Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса.

Лекция Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса. Лекция 9-10. Теорема существования и единственности решения стационарного уравнения Навье Стокса. Мы докажем теорему существования и единственности обобщенного решения системы уравнений Навье Стокса с

Подробнее

6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром.

6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром. Лекция 4 6. Характеристические числа и собственные функции интегрального оператора Фредгольма с симметрическим непрерывным ядром. Подытожим результаты полученные в предыдущем параграфе в следующей теореме.

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Вариант 1. Математический факультет ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН уч.г., Вариант 2.

Вариант 1. Математический факультет ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН уч.г., Вариант 2. Вариант 1. 1. Поле комплексных чисел. Его конструкция. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Формула Муавра и формула извлечения корней n ой степени из комплексного числа.

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2

ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2 ЛЕКЦИЯ 4Б Метрические пространства 2. Простейшие (и важнейшие) свойства метрических пространств. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна по совокупности аргументов.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств

ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. 1. Общие вопросы теории нормированных пространств ЛЕКЦИЯ 7А Нормированные и банаховы пространства: элементарные сведения. Линейные функционалы. Общие вопросы теории нормированных пространств. Пространство L(N, N 2 ) банахово, если пространство N 2 банахово.

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ

Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Понятие устойчивости решения ДУ и решения системы ДУ Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 5. Понятие устойчивости решения 1. Предварительные замечания

Подробнее

Некоторые материалы из лекций по анализу ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ. Содержание

Некоторые материалы из лекций по анализу ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ. Содержание Некоторые материалы из лекций по анализу ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Постановка вопроса Содержание Некоторые напоминания Итерационные методы решения уравнений. Сжимающие отображения. Принцип неподвижной

Подробнее

3. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий.

3. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий. Лекция 4 3 Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметров и начальных условий Постановка задачи Простейшим примером параметра, от которого зависит решение задачи Коши = f ( xy, ), yx ( ) = y

Подробнее

Некоторые решения задач из лекции 8.

Некоторые решения задач из лекции 8. кафедра Проблемы теор. физики, II курс Введение в теорию групп Некоторые решения задач из лекции 8. Задача 4. а) Алгебра Ли so(3, R) изоморфна алгебре векторов R 3. б) Обозначим через SU(2) группу унитарных

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ

ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ ЛЕКЦИЯ 2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СЛАУ Как правило, при решении большинства практических задач задача решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) встречается в виде некоторой вспомогательной подзадачи.

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные ураннения

Обыкновенные дифференциальные ураннения Обыкновенные дифференциальные ураннения Преподаватель: Колотий Александр Дмитриевич Литература: 1 Понтрягин Лев Семенович Обыкновенные дифференциальные уравнения Петровский И Г Лекции по теории обыкновенных

Подробнее

Системы однородных линейных уравнений

Системы однородных линейных уравнений Системы однородных линейных уравнений А И Буфетов, Н Б Гончарук, Ю С Ильяшенко 10 февраля 2015 г В этом параграфе мы займёмся самым простым типом многомерных дифференциальных уравнений линейными уравнениями

Подробнее

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств

Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ. 1. Простейшие свойства метрических пространств Дополнительная Лекция 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ДОПОЛНЕНИЕ 1. Простейшие свойства метрических пространств Свойство 1. Непрерывность расстояния. Легко видеть, что функция «расстояние» ρ(x, y) непрерывна

Подробнее

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие

Боревич А.З. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Учебное пособие Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого Боревич АЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Учебное пособие Санкт-Петербург 5 Оглавление Глава Предел Непрерывность

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИКА. Вопросы для самоподготовки ПО ДИСЦИПЛИНЕ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Глава 6. Основы теории устойчивости

Глава 6. Основы теории устойчивости Глава 6 Основы теории устойчивости Лекция Постановка задачи Основные понятия Ранее было показано, что решение задачи Коши для нормальной системы ОДУ = f, () непрерывно зависит от начальных условий при

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R..

СОДЕРЖАНИЕ. ВВЕДЕНИЕ.. 5 Тема 1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 1. Пространство R.. СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 5 Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция Пространство R 6 Лекция Предел и непрерывность функции нескольких переменных 5 Лекция 3 Функции многих переменных

Подробнее

1 Метрические пространства

1 Метрические пространства 1 Метрические пространства Многие важные понятия и утверждения математического анализа, в частности, связанные с пределами и непрерывностью, опираются на понятие расстояния. Причем сами определения этих

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

Теория устойчивости разностных схем

Теория устойчивости разностных схем Теория устойчивости разностных схем 1 Операторно-разностные схемы 1.1 Введение Пусть B банахово (то есть полное нормированное) пространство функций, заданных в некоторой области G R m, и пусть u(t) абстрактная

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? . КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком

Подробнее

Математический анализ (v2.0)

Математический анализ (v2.0) Математический анализ (v.) 1 Числовые ряды. 1.1 Понятие числового ряда. Сходимость числового ряда. Определение. Рассмотрим числовую последовательность {a n } и образуем выражение вида: a 1 + a +... + a

Подробнее

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "Дифференциальное. УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА. КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины Дифференциальное. УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН дисциплины "Дифференциальное УЧЕБНЫЙ ПЛАН : Факультет исчисление и аналитическая геометрия" геофизики. на осенний семестр

Подробнее

4 Вычисление экспоненты

4 Вычисление экспоненты 15 4 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭКСПОНЕНТЫ 4 Вычисление экспоненты В этом параграфе мы обсудим, каким образом можно вычислять экспоненту оператора Начнем с простейшего случая 41 Случай вещественного собственного базиса

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Билинейные и квадратичные формы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е,

Подробнее

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств. 2.1 Постановка задачи Пусть

Подробнее

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1

Введение. Правило Декарта. Число положительных корней многочлена P (x) = a k x m k a1 x m 1 Введение В курсе математического анализа первого семестра одно из центральных мест занимает теорема Ролля. Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a,

Подробнее

5 Элементы функционального анализа

5 Элементы функционального анализа 5 Элементы функционального анализа 5.1 Линейные, нормированные и банаховы пространства 5.1.1 Определение пространств Непустое множество X элементов x, y, z,... называется линейным (векторным) пространством,

Подробнее

Линейные системы со специальной правой частью

Линейные системы со специальной правой частью Линейные системы со специальной правой частью А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В этой лекции мы рассмотрим неоднородные линейные уравнения, однородная часть которых автономна.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

Функциональный анализ

Функциональный анализ А. Ю. Пирковский Функциональный анализ Лекция 4 4.1. Банаховы пространства Напомним, что последовательность (x n ) в метрическом пространстве (, ρ) называется фундаментальной (или последовательностью Коши),

Подробнее

Лекция 8. Группы Ли, алгебры Ли.

Лекция 8. Группы Ли, алгебры Ли. МФТИ-НМУ, 017г. Введение в теорию групп Лекция 8. Группы Ли, алгебры Ли. Обсудим еще раз группу SO() ( на которой мы) закончили прошлую лекцию. Она состоит их элементо вид g(α) =. Матрицы g(α) удовлетворяют

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Лекция 11. Оптимальное управление

Лекция 11. Оптимальное управление Лекция 11. Оптимальное управление 11.1 Постановка задачи Задана динамическая система с управлением, описываемая системой дифференциальных уравнений в форме Коши { ẋi = f i (x, u(t)), (11.1) (i = 1,...,

Подробнее

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр

Образцы базовых задач и вопросов по МА за 1 семестр Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Подробнее

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции

5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции 5. Теория меры, лекция 5: измеримые функции Мера и интеграл понятия весьма близкие. Мера множества есть интеграл его характеристической функции. Наоборот, если на пространстве задана мера, можно говорить

Подробнее

1 Организационно-методический раздел

1 Организационно-методический раздел Программа курса Обыкновенные дифференциальные уравнения 3-й и 4-й семестры, 2012-2013 учебный год Основной курс для студентов II курса, I потока Составил доцент, к.ф.-м.н. Г. А. Чумаков 1 Организационно-методический

Подробнее

1. Численные методы решения уравнений

1. Численные методы решения уравнений 1. Численные методы решения уравнений 1. Системы линейных уравнений. 1.1. Прямые методы. 1.2. Итерационные методы. 2. Нелинейные уравнения. 2.1. Уравнения с одним неизвестным. 2.2. Системы уравнений. 1.

Подробнее

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1

u k (x), k=1 u k (x) k=1 называется сходящимся на множестве X к функции S(x), если последовательность S n (x) = k=1 В.В. Жук, А.М. Камачкин 5 Функциональные последовательности и ряды. Равномерная сходимость, возможность перестановки предельных переходов, интегрирование и дифференцирование рядов и последовательностей.

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Математический анализ 1-й семестр 1-го курса НМУ учебного года. М. Э. Казарян Программа

Математический анализ 1-й семестр 1-го курса НМУ учебного года. М. Э. Казарян Программа Математический анализ -й семестр -го курса НМУ 205-206 учебного года. М. Э. Казарян Программа. Рациональные и вещественные числа. Рациональное число как класс эквивалентности пар целых чисел. Рациональное

Подробнее

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости

Функциональные ряды Функциональный ряд, его сумма и область сходимости Функциональные ряды Функциональный ряд его сумма и область функциональног о Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций k ( k 1 Функциональным рядом называется

Подробнее

2. Метрические пространства

2. Метрические пространства 2 2. Метрические пространства Одним из часто встречающихся в математике понятий является понятие расстояния. Оно используется в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов в евклидовых

Подробнее

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1)

1 о. Определение асимптотически устойчивого решения. Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений в векторной форме (1) 29. Асимптотическая устойчивость решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, область притяжения и методы ее оценки. Теорема В.И. Зубова о границе области притяжения. В.Д.Ногин 1 о. Определение

Подробнее

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2.

Всего 66 вопросов. 1 год обучения. Модули 1 2. ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Подробнее

Теорема (Единственность предела последовательности) Если x 0 = lim x n и y 0 = lim x n, то x 0 = y 0.

Теорема (Единственность предела последовательности) Если x 0 = lim x n и y 0 = lim x n, то x 0 = y 0. Глава 2. Предел последовательности. 1. Сходящиеся числовые последовательности. Опр. 2.1.1. Числовой последовательностью называется отображение x :. Число x = x() называется -ым членом последовательности.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

Тема 2-17: Сопряженное отображение

Тема 2-17: Сопряженное отображение Тема 2-17: Сопряженное отображение А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Евклидовы, унитарные, нормированные, метрические пространства Раздел электронного учебника для сопровождения

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. a n. последовательность. 8. Дайте определение пределов lim a a, lim a,,. Приведите примеры. Математический анализ, 27/28 Группы БПМ7 75 Промежуточный экзамен, модули 2 На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ Расскажите о числах: натуральных,

Подробнее

Комплексные поверхности,

Комплексные поверхности, Комплексные поверхности, лекция 11: Эллиптические операторы и сильный принцип максимума НМУ/матфак ВШЭ, Москва 23 апреля 2012 1 Векторные поля и дифференциальные операторы ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Пусть R - кольцо

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д.

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики. А.Д. ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Высший колледж информатики А.Д.Больбот Задачи по алгебре Часть 2 Последнее изменение: 5 мая

Подробнее

Глава 7. Функции многих переменных

Глава 7. Функции многих переменных Глава 7. Функции многих переменных 7.1. Евклидово пространство R n Начнем с определения n-мерного эвклидова пространства. Определение 7.1. n-мерным эвклидовым пространством R n над полем действительных

Подробнее

7. Теорема Гильберта-Шмидта.

7. Теорема Гильберта-Шмидта. Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K( удовлетворяет следующим условиям: K( s ) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Подробнее

Тема 2-18: Нормальные операторы

Тема 2-18: Нормальные операторы Тема 2-18: Нормальные операторы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Некоторые свойства линий с аффинно эквивалентными дугами

Некоторые свойства линий с аффинно эквивалентными дугами УДК 513.83 Некоторые свойства линий с аффинно эквивалентными дугами Поликанова И.В. Алтайский государственный педагогический университет anirix1@yandex.ru Аннотация В статье продолжается изучение линий

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11А Гильбертовы пространства. 0. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения

ЛЕКЦИЯ 11А Гильбертовы пространства. 0. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения ЛЕКЦИЯ А Гильбертовы пространства. Необходимое условие «евклидовости». Простейшее свойство скалярного произведения Как следует из лекционного материала, необходимым (а также и достаточным см. Колмогорова,

Подробнее