МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ АНГАРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ Иванова СВ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Учебное пособие АНГАРСК АГТА 4

2 Иванова СВ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ Рекомендовано учебно-методическим советом факультета технической кибернетики Ангарской государственной технической академии в качестве учебного пособия для магистрантов и аспирантов АГТА АНГАРСК АГТА 4

3 УДК 575 ББК 65 Методы математической физики: учебное пособие // Иванова СВ Ангарск, АГТА, 4-65 с В данном учебном пособии изложен теоретический материал по дисциплине «Методы математической физики» Теоретический материал проиллюстрирован достаточным количеством примеров с решениями, приведены задания для самостоятельной работы студентов Пособие предназначено для магистрантов и аспирантов факультета технической кибернетики и технологического факультета АГТА Рецензенты: дтн, профессор ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный университет путей сообщения» Асламова Ангарская государственная техническая академия, Кафедра высшей математики

4 СОДЕРЖАНИЕ Введение Глава Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка Основные понятия Линейные и квазилинейные дифференциальные уравнения первого порядка Глава Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с частными производными Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка Приведение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к канонической форме 3 Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными Глава 3 Аналитические методы решения дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными Основные уравнения математической физики и виды граничных условий Метод Фурье 3 Решение первой начально-краевой задачи для волнового уравнения методом Фурье 4 Решение первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье 5 Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге методом Фурье 6 Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в кольце методом Фурье 7 Метод Даламбера 8 Метод продолжений (частные случаи метода Даламбера)

5 ВВЕДЕНИЕ Математическая физика занимает особое положение и в математике, и в физике, находясь на стыке этих наук, и представляет собой теорию математических моделей физических явлений В той части, которая касается построения математической модели, математическая физика тесно связана с физикой В то же время, математическая физика раздел математики, так как модели исследуются математическими методами Математические методы изучения моделей физики не только позволяют получить количественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной точностью ход реальных процессов, но и дают возможность проникнуть в суть физических явлений, выявить скрытые закономерности, предсказать новые эффекты Методы математической физики широко применяются в электродинамике, акустике, теории упругости, гидродинамике и аэродинамике и ряде других направлений исследования физических явлений в сплошных средах При этом особое место в физических задачах занимают дифференциальные уравнения с частными производными первого и второго порядков Именно эти уравнения и методы их решения рассматриваются в учебном пособии В данном учебном пособии изложены основные понятия математической физики Предполагается, что читатель знает материал курса «Высшая математика» Учебное пособие состоит из трёх глав В первой главе рассматриваются основные понятия теории дифференциальных уравнений с частными производными и решение линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка Во второй главе даётся классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными Рассматривается метод характеристик для приведения линейных дифференциальных уравнений к каноническому виду и их решение В третьей главе приводятся основные уравнения математической физики и виды граничных условий Представлены аналитические методы решения

6 различных краевых задач математической физики: метод Фурье (метод разделения переменных или метод собственных функций) и метод Даламбера Теоретический материал проиллюстрирован достаточным количеством примеров с решениями В конце каждой главы приведены задания для самостоятельной работы студентов При составлении пособия использовались различные источники, список которых приведён

7 Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Определение Дифференциальным уравнением с частными производными называется соотношение, которое связывает неизвестную функцию u, зависящую от нескольких переменных, независимые переменные и частные производные искомой функции, те уравнение вида: k u u u u u u F u,,,,,,,,,,,,, k = (),,, Определение Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение с частными производными, называется порядком этого дифференциального уравнения Определение 3 Дифференциальное уравнение с частными производными называется линейным, если сама функция и ее частные производные входят в уравнение линейно Например, линейное уравнение первого порядка с двумя переменными имеет вид: a(, y) u + b(, y) u + c(, y) u = f (, y), y где функции a(, y), b(, y), c(, y ) - коэффициенты (заданные функции), f (, y) - правая часть (заданная функция) линейного дифференциального уравнения Определение 4 Решением (классическим решением) дифференциального уравнения с частными производными порядка k называется функция u u = (,,, ), определенная и непрерывная вместе с частными производными до порядка k в некоторой области D R, такая, что при подстановке её и её частных производных в уравнение обращает его в тождество для каждого R Определение 5 Дифференциальное уравнение с частными производными называется однородным, если его правая часть тождественно равна нулю, те

8 f (, y) при всех (, y) D и неоднородным, если f (, y) при некоторых (, y) D Определение 6 Если коэффициенты дифференциального уравнения постоянны, то такое уравнение называется дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами Линейные и квазилинейные дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка Определение Квазилинейным дифференциальным уравнением с частными производными первого порядка называется уравнение вида: A (,,, u) u + A (,,, u) u + + A (,,, u) u = R(,,, u) () где Ai, R- известные функции, непрерывно-дифференцируемые в области D R в окрестности точки (,,, ); (,, ) Если функции u u неизвестная функция A i и R от u не зависят, то уравнение () называется линейным неоднородным уравнением первого порядка с частными производными Если при этом и R, то уравнение () называется линейным однородным в частных производных П Рассмотрим сначала решение линейного однородного дифференциального уравнения в частных производных: A (,,, ) u + A (,,, ) u + + A (,,, ) u = () Пусть Ai Для решения уравнения () составим систему обыкновенных дифференциальных уравнений в симметричной форме: d d d = = (3) A A A Выберем в качестве независимой переменной и перепишем систему (3) в нормальной форме: di Ai = d A i =,, (4)

9 Ai Обозначим fi ( ) A =, тогда систему (4) можно записать в виде: di = fi ( ) d (5) i =,, Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно: Для существования хотя бы одного решения системы (5), удовлетворяющего некоторым начальным условиям, достаточно предположить, что функции fi( ) непрерывны в окрестности начальной точки (,, ) = (теорема Пеано); Чтобы решение задачи Коши для системы (5) было единственным, надо, чтобы существовали ограниченные частные производные от функций fi( ) по переменным i (теорема Пикара) 3 При указанных выше условиях система (5) будет иметь ровно ( ) независимых решений Определение Совокупность ( ) функций: = ϕ( C,, C, ) = ϕ ( C,, C, ) определенных в некоторой области D (6), R изменения переменных C,, C, и непрерывно дифференцируемых относительно, называется общим решением системы (4) При этом должно выполняться следующее: Система (6) должна быть разрешима в области D относительно произвольных постоянных C,, C, те Ci =ψ i (,,, ) i =,, (7)

10 Совокупность (6) является решением системы (3) при всех значениях произвольных постоянных, определяемых формулами (7), когда точка (,,, ) пробегает область D Определение 3 Функция ψ (,,, ), не равная тождественно постоянной, называется интегралом системы (4), если при подстановке в нее какого-либо решения системы (4), получается постоянная Определение 4 Соотношение ψ (,,, ) = C, где ψ - интеграл системы (4), C - cost, называется первым интегралом системы Определение 5 Интегралы ψ,, ψ называются независимыми, если не существует соотношения Φ ( ψ,, ψ ) = в области D или в области D D Так как правые части системы (4) определены и дифференцируемы в окрестности точки D, то эта система имеет ровно ( ) независимых интегралов (первых интегралов), а значит и система (3) имеет ( ) независимых интегралов Определение 6 Совокупность ( ) независимых интегралов называется общим интегралом системы (4) Определение 7 В пространстве координат,,, система интегралов (7) определяет семейство линий, зависящее от ( ) -го параметра, которые называются характеристиками дифференциального уравнения вида () Соответственно, система (3) называется характеристической системой дифференциальных уравнений для уравнения () Теорема Приведем без доказательства ряд важных теорем Если ψ (,,, ),, ψ (,,, ) - непрерывно-дифференцируемые интегралы системы (4), то любая непрерывно-дифференцируемая от них функция ψ = F( ψ,, ψ ), производные которой по переменным ψ,, ψ не обращаются в нуль одновременно, также является интегралом системы Теорема

11 Если ψ (,,, ) - непрерывно-дифференцируемый интеграл системы (4), то функция u = ψ (,,, ) является решением уравнения () Если функция u = u(,,, ) cost является решением уравнения (), то Теорема 3 u (,,, ) - интеграл системы (4) Если ψ,, ψ - независимые интегралы системы (4), то функция u = Φ ( ψ,, ψ ), где Φ - произвольная функция, является общим решением дифференциального уравнения (), те решением, которое содержит все без исключения решения уравнения () Таким образом, для отыскания общего решения уравнения () необходимо проинтегрировать систему (4) и записать общее решение в виде u = Φ ( ψ,, ψ ) Пример Найти общее решение дифференциального уравнения u + y uy + z uz = Решение Составим систему обыкновенных дифференциальных уравнений в симметричной форме: d dy dz = = y z Запишем эту систему в нормальном виде: dy y = d dz z = d Каждое из уравнений представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными y Из первого уравнения получаем первый интеграл C = z Из второго уравнения получаем еще один первый интеграл C = y z Общее решение данного уравнения будет иметь вид: u = Φ,

12 y z Ответ: u = Φ, В приложениях часто требуется найти решение дифференциального уравнения () удовлетворяющего условию: при = u = H (,, ) (8) (задача Коши) Схема решения задачи Коши следующая Фиксируем в (7) переменную, тогда: ψ = i =,, i (,,,, ) Ci (9) Систему (9) можно разрешить в окрестности точки (,, ) относительно,,, : = ϕ( C,, C ) = ϕ ( C,, C ) Подставим полученные соотношения i в начальное условие u H (,, ) где H известная функция, получим: u = H ( ϕ ( C,, C ),, ϕ ( C,, C )) =, Так как общее решение уравнения () имеет вид u = Φ ( ψ,, ψ ), то, учитывая (9), можем записать u = Φ ( C,, C ) = H ( ϕ( C,, C ),, ϕ ( C,, C )), те получили общий вид функции Φ α Подставляя вместо C i интегралы ψ i, окончательно имеем: (,, ) α u(,,, ) = Φ ( ψ,, ψ ) = H ( ϕ ( ψ,, ψ ),, ϕ ( ψ,, ψ )) Пример Найти решение уравнения u + u + u =, удовлетворяющее условию u Решение = y z при = y z ) Составим систему обыкновенных дифференциальных уравнений в симметричной форме: d dy dz = = Запишем систему в нормальном виде и найдем первые интегралы:

13 dy = d dz = d, y C, z C = = Тогда общее решение будет иметь вид: u = Φ( y, z) ) Найдем функцию Φ, пользуясь начальными условиями При = получим y = C, z = C Учитывая, что при = u = y z, можем записать u = ( + C ) ( + C) Таким образом, подставляя первые интегралы, найдем искомое решение: u = ( + y) ( + z) Ответ: u = ( + y) ( + z) П Покажем, что решение квазилинейного дифференциального уравнения A (,,, u) u + A (,,, u) u + + A (,,, u) u = R(,,, u) () сводится к решению линейного однородного дифференциального уравнения в частных производных Пусть Ai Решение уравнения вида () будем искать в неявном виде: v(,,, u ) = (), где v - непрерывно-дифференцируемая функция своих аргументов Предположим, что v (,,, u ) u Продифференцируем равенство () по произвольной переменной k : v k v + v k u u = u k = k (), где k,, v Подставим () в () и умножим на ( v u ), тогда: u = A (,, ) v + A (,, ) v + + A (,, ) v + R(,, ) v = () u Получили однородное линейное дифференциальное уравнение относительно функции v(,,, u ) = Этому уравнению () соответствует характеристическая система: d d du = = = (3) A A R В нормальном виде система (3) имеет уравнений и первых интегралов:

14 ψ (,,,, u) = C i =,, i i (4) Общее решение уравнения () имеет вид: v(,,, u) = Φ ( ψ,, ψ ) Подставим общее решение в (): Φ ( ψ,, ψ ) = (5), те получили общее решение уравнения () в неявном виде Если u входит только в один из общих интегралов ψ i, то соотношение (5) можно разрешить относительно u и тогда решение уравнения () можно записать в явном виде: u F(,, ) = Задача Коши для квазилинейного дифференциального уравнения ставится так же, как и для линейного однородного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка Найти решение уравнения A (,,, u) u + A (,,, u) u + + A (,,, u) u = R(,,, u), удовлетворяющее условию: при = u = H (,, ) Общее решение уравнения () в неявном виде имеет вид Φ ( ψ,, ψ ) = Подставим начальные условия = в (4), получим: ψ = i =,, i (,,,, u) Ci Разрешим эту систему относительно,,, u : i = ϕi ( C,, C), i =,, u = ϕ( C,, C) Полученные соотношения подставим в начальные условия, тогда: ϕ( C,, C ) = H ( ϕ ( C,, C ),, ϕ ( C,, C )) Общее решение будет иметь вид: Φ ( C,, C ) = ϕ( C,, C ) H ( ϕ ( C,, C ),, ϕ ( C,, C )) = Заменяя в общем решении C i на ψ i, получим решение уравнения () в неявном виде: ϕ( ψ,, ψ ) = H ( ϕ ( ψ,, ψ ),, ϕ ( ψ,, ψ )) Пример 3 Решить задачу Коши: y z + y z = ; =, z = y y

15 Решение: ) Составим характеристическую систему: d dy dz = = y y Запишем систему в нормальном виде и найдем первые интегралы: d = dy dz = dy y y y + = = y C, z l y C Общее решение в неявном виде запишется следующим образом: ( y ; z l y ) Φ + = Или в явном виде: z y f y = l + ( + ) ) Воспользуемся начальными условиями z y =, = : y = C y l y = C Исключим из системы y : C l C = C Подставим в полученное соотношение вместо C, C первые интегралы, тогда решение задачи Коши запишется в виде: y l y z l y = Ответ: y l y z l y = Пример 4 Решить задачу Коши: si y u + e u = si y u, u(, y) = e, e + cos y = y Решение: Данное уравнение является квазилинейным ) Составим характеристическую систему: d dy du = = si y e si y u Семейство характеристик описывается двумя первыми интегралами: e + cos y = C, u e = C Тогда общее решение запишется в виде: Φ ( e + cos y; ue ) =

16 Если разрешить полученное равенство относительно второго аргумента, то общее решение примет вид: u(, y) e F( e cos y) = +, где F - произвольная непрерывно дифференцируемая функция ) Воспользуемся начальными условиями = + =, тогда u(, y) e, e cos y u (, y ) e F () e F () = = = Полученное равенство будет верным, если e + cos y= Таким образом, задача Коши имеет множество решений вида u(, y) = e F( e + cos y), где функция F( z) - произвольная функция, принимающая значение при z = Такая неопределенность решения объясняется тем, что начальная кривая, определяемая уравнением e + cos y =, является одной из характеристик уравнения Ответ: u(, y) = e F( e + cos y), F () = Задания для самостоятельной работы Для каждого из уравнений найти общее решение: а) u + y u + z u = б) z y z = y y z а) u y u y u + + = б) si z + si y z = si z y z 3 а) ( y) z y z + = б) yz z + z z = y y 4 а) z + ( y ) z = б) y z z = yz y 5 а) u + y u + z u = б) e z + y z = ye y z Найти решения уравнений, удовлетворяющие указанным условиям: а) u + u + u = ; u = yzпри = б) y u + y u = ; u = y при = y z а) u y u = ; u = при y = б) z y z = z ( 3 y); yz + = при = y 3 а) z + ( e y) z = ; z = yпри = б) z ( + z y ) + z = ; z = при y = y y y y y y y y y 4 а) u y u u ; u yzпри + + = = = б) y z z y z = + y z = при y = y ; 5 а) z y z = ; z = y при = б) z + y z = z y; z = y + при = y y

17 Глава ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТО- РОГО ПОРЯДКА Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка Определение Линейным однородным дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка называется уравнение вида: A(, y) u + B(, y) u + C(, y) u + D(, y) u + E(, y) u + G(, y) u = () y yy y Равенство () напоминает общее уравнение кривой второго порядка, поэтому для классификации таких уравнений применяется та же терминология, что и для кривых второго порядка на плоскости Определение Дифференциальное уравнение () называется уравнением: -гиперболического типа (в области D ), если выражение для любых (, y) D; δ (, y) = B AC > - эллиптического типа (в области D ), если выражение δ (, y) = B AC < для любых (, y) D; -параболического типа (в области D ), если выражение δ (, y) = B AC = для любых (, y) D; - смешанного типа (в области D ), если в области D оно имеет разный тип в разных точках В качестве примера уравнения смешанного типа рассмотрим уравнение Трикоми y u + u = (это уравнение возникает в газовой динамике) yy Для данного уравнения Возможны следующие случаи: δ (, y) = B AC = y = y а) y >, тогда выражение δ (, y) < и уравнение имеет эллиптический тип; б) y <, тогда выражение δ (, y) > и уравнение имеет гиперболический тип; в) y =, тогда выражение δ (, y) = и уравнение имеет параболический тип Таким образом, действительно, уравнение Трикоми относится к уравнению смешанного типа

18 Замечания Тип дифференциального уравнения определяется только коэффициентами при частных производных второго порядка Уравнения с постоянными коэффициентами имеют один тип на всей области определения Приведение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к каноническому виду Классификация и приведение дифференциальных уравнений к каноническому виду обусловлены следующими причинами: тип дифференциального уравнения определяет основные свойства решений; три типа уравнений соответствуют трем видам физических процессов: волновым (колебания сред, сооружений; электрические, звуковые, электромагнитные колебания); диффузионным (тепломассоперенос); стационарным (стационарное распределение температуры, установившиеся колебания сред, задачи дифракции, потенциальное течение жидкости, электростатический потенциал); 3 канонические уравнения хорошо изучены и их решения часто можно найти аналитически; 4 для канонических уравнений разработаны численные методы решений Рассмотрим линейное уравнение с частными производными второго порядка для неизвестной функции с двумя независимыми переменными: A(, y) u + B(, y) u + C(, y) u + D(, y) u + E(, y) u + G(, y) u = () y yy y Для уравнения () существует невырожденная замена переменных ξ = ξ (, y), η = η(, y) (где ξ = ξ (, y), η = η(, y) - дважды непрерывно диф- ξ ξ y ференцируемые функции, для которых η η ), такая, что оно приводится к одному из следующих видов: y

19 ) ) u u,,, u, u = f ξ η u ξ η ξ η или u f ξ, η, u, u, u =, если уравнение () имеет гиперболический ξ η ξ η тип; u u f ξ, η, u, u, u + =, если уравнение () имеет эллиптический ξ η ξ η тип; 3) u f ξ, η, u, u, u =, если уравнение () имеет параболический тип η ξ η Уравнения ),),3) называются каноническими уравнениями Замечания: Для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами всегда существует линейная замена переменных ξ = a + b y, η = c + d y, с помощью которой уравнение можно привести к каноническому виду В случае > переменных дифференциальное уравнение второго порядка всегда можно привести к каноническому виду в любой точке, однако в области не всегда можно это сделать Для приведения дифференциального уравнения к каноническому виду используется метод характеристик Вначале составляется уравнение характеристик: A dy B ddy C d ( ) + ( ) = или A y B y C ( ) + = При этом следует обратить внимание, что при записи уравнения характеристик, соответствующего дифференциальному уравнению (), изменяется знак, с которым коэффициент B входит в это уравнение Уравнение характеристик распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения, при интегрировании которых возможны следующие случаи: а) Для уравнения гиперболического типа ( δ (, y) > ) имеем два различных семейства действительных характеристик ϕ(, y) = C, ϕ(, y) = C, где C, C - произвольные постоянные Вводя вместо (, y ) новые независимые

20 переменные по формулам ξ = ϕ(, y), η = ϕ(, y), приведем уравнение () к каноническому виду u u,,, u, u = f ξ η u ξ η ξ η или u f ξ, η, u, u, u = ξ η ξ η б) Для уравнения эллиптического типа ( δ (, y) = B AC < ) получаем два семейства мнимых характеристик ϕ (, y) = α(, y) + i β (, y), ϕ (, y) = α(, y) i β (, y) Полагая ξ = α (, y), η = β (, y), приведем уравнение () к каноническому виду u u f ξ, η, u, u, u + = ξ η ξ η в) Для уравнения параболического типа ( δ (, y) = ) получаем один общий интеграл уравнения характеристик ϕ (, y) = C Полагая ξ = ϕ(, y), η = η(, y), где η (, y) произвольная функция, удовлетворяющая ξ ξ y условию η η в рассматриваемой области, получим каноническое уравнение вида: y u f ξ, η, u, u, u = η ξ η При получении канонического вида уравнения используются следующие формулы преобразования производных функции u = u(, y), входящих в уравнение (), к новым переменным ξ, η : u = u ξ + u η ξ η u = u ξ + u η y ξ y η y u = u ξ + u ξ η + u η + u ξ + u η ξξ ξη ηη ξ η u = u ξ ξ + u ( ξ η + η ξ ) + u η η + u ξ + u η y ξξ y ξη y y ηη y ξ y η y u = u ξ + u ξ η + u η + u ξ + u η yy ξξ y ξη y y ηη y ξ yy η yy Пример Определить тип уравнения u + 5 u + 4 u = и привести его к каноническому виду y yy

21 Решение: Сравнивая данное уравнение с уравнением (), можем записать: A B C y B AC = ; =,5; = 4 δ (, ) = > Следовательно, уравнение относится к гиперболическому типу Составим уравнение характеристик: + = Оно распадается ( y ) 5y 4 на два обыкновенных дифференциальных уравнения: y = 4 и y = Решая эти уравнения, найдем два первых интеграла: y 4 C Характеристиками данного уравнения будут функции: ϕ (, y) = y 4, ϕ (, y) = y 3 Выполним замену: ξ = y 4, η = y 4 Вычислим частные производные: u = u ξ + u η = 4u u ξ η ξ η u = u ξ + u η = u + u y ξ y η y ξ η u = u ξ + u ξ η + u η + u ξ + u η = 6u + 8u + u = и y = C ξξ ξη ηη ξ η ξξ ξη ηη u = u ξ ξ + u ( ξ η + η ξ ) + u η η + u ξ + u η = 4u 5u u y ξξ y ξη y y ηη y ξ y η y ξξ ξη ηη u = u ξ + u ξ η + u η + u ξ + u η = u + u + u yy ξξ y ξη y y ηη y ξ yy η yy ξξ ξη ηη 5 Подставляя полученные выражения в первоначальное уравнение, приведем его к каноническому виду: u = ξ η Ответ: u = ξ η Пример Определить тип уравнения ( ) u uyy ( ) u = и привести его к каноническому виду Решение: Сравнивая данное уравнение с уравнением (), можем записать: A = + B = C = y = B AC = + = + < ( ) ; ; δ (, ) ( ) ( ) для любых значений х Следовательно, уравнение относится к эллиптическому типу

22 Составим уравнение характеристик: ( + ) ( y ) + = y = ± i + Решив полученное дифференциальное уравнение, получим два комплексно-сопряженных первых интеграла: y + arctg i = C, y arctg i = C Характеристиками данного уравнения будут функции: ϕ (, y) = y + arctg i, ϕ (, y) = y arctg i 3 Выполним замену: ξ = y, η = arctg 4 Вычислим частные производные: u = uξ ξ + uη η = uη + u = u ξ + u η = u y ξ y η y ξ u = u ξ + u ξ η + u η + u ξ + u η = u u ( + ) ( + ) ξξ ξη ηη ξ η ηη η u = u ξ + u ξ η + u η + u ξ + u η = u yy ξξ y ξη y y ηη y ξ yy η yy ξξ 5 Подставляя полученные выражения в первоначальное уравнение, приведем его к каноническому виду: u + u = Ответ: u + u = ξξ ηη ξξ ηη Пример 3 Определить тип уравнения y u + yu + u = и привести его к y yy каноническому виду Решение: Будем рассматривать уравнение на всей плоскости, исключая точки координатных осей, тк при = и y = уравнение уже имеет канонический вид Сравнивая данное уравнение с уравнением (), можем записать: A y B y C y B AC y y = ; = ; = δ (, ) = = = Следовательно, уравнение относится к параболическому типу Составим уравнение характеристик: y ( y ) yy + = Отсюда получим один общий интеграл уравнения характеристик y = C

23 3 Выполним замену: ξ = y, η = Легко проверить невырожден- ξ ξ y ность преобразования, установив, что η η 4 Вычислим частные производные: u = u ξ + u η = u + u ξ η ξ η u = u ξ + u η = y u y ξ y η y ξ u = u ξ + u ξ η + u η + u ξ + u η = 4 u 4 u + u u ξξ ξη ηη ξ η ξξ ξη ηη ξ u = u ξ ξ + u ( ξ η + η ξ ) + u η η + u ξ + u η = 4y u + y u y ξξ y ξη y y ηη y ξ y η y ξξ ξη u = u ξ + u ξ η + u η + u ξ + u η = 4y u + u yy ξξ y ξη y y ηη y ξ yy η yy ξξ ξ 5 Подставляя полученные выражения в первоначальное уравнение, y получаем его в виде: y uηη y uξ + ( ) = Выразим старые переменные (, y ) через новые ( ξ, η ), тогда каноническое уравнение примет вид: u ηη ξ u ξ ξ + η = Ответ: u ξ ηη u ξ ξ + η = 3 Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными Иногда после приведения к каноническому виду дифференциальное уравнение настолько упрощается, что его можно решить Прежде чем рассматривать такие примеры, рассмотрим следующее уравнение: v = f ( ξ ) g( v) (), где v = v( ξ, η) искомая функция, а f ( ξ ) и g( v ) заданные функции Частный дифференциал функции v( ξ, η ) по переменной ξ имеет вид: d v = v d ξ ξ ξ ξ Тогда v ξ dξv = и уравнение () можно записать в виде: dξ dξv dξv f ( ξ) g( v) f ( ξ) dξ dξ = g( v) = ()

24 Так как dv dv d dv v dξv dξ = dξ = dξ = g( v) ξ g( v) dv g( v) ξ g( v) d f ξ dξ f ξ dξ, и ( ) = ( ) dv то уравнение () примет вид: dξ d f ( ξ ) dξ = g( v) (3) А) Пусть функция v =ɶ v( ξ, η) является каким-нибудь решением уравнения dv (3) (а значит, и уравнения ()), тогда f ( ξ ) dξ = dξ (, ) f ( ) d g( v) v = v ɶ ξ η ξ ξ (4) dv Следовательно, (, ) f ( ) d C( ) g( v) v = v ɶ ξ η ξ ξ η (5), где C( η ) произвольная функция Равенство (5) означает, что решение vɶ ( ξ, η) уравнения () опреде- dv ляется неявно равенством f ( ξ) dξ = C( η) g( v) (6) Б) Пусть, наоборот, функция vɶ ( ξ, η) функция, определенная неявно равенством (6) при какой-нибудь функции C( η ), тогда верно равенство (5), а значит, верно и (4) Но это значит, что функция vɶ ( ξ, η) является решением дифференциального уравнения () Из А) и Б) следует, что решениями уравнения () являются функции v( ξ, η ), определяемые равенством (6) при любой функции C( η ), и только они В этом смысле равенство (6) в неявном виде задает общее решение уравнения () Пример Найти общее решение дифференциального уравнения Решение: u y u + u y u = в области, y yy y В указанной области δ (, y) = B AC = y > Следовательно, в этой области уравнение гиперболическое y С помощью замены ξ = y, η = уравнение приводится к виду y 4y uξη uη = или u ξη + uη = y Учитывая, что ξ = y, получим каноническое уравнение в виде

25 u ξη + uη = (*) ξ Решим полученное уравнение Обозначим u = v( ξ, η), тогда уравнение при- v мет вид: v ξ + = Это уравнение типа () Его общее решение, согласно (6), ξ η определяется равенством: dv dξ + = C( η) l v + l ξ = C( η) v ξ Последнее выражение можно записать в виде C ( η ) e ω( η) v = = (так как функция ξ ξ C( η) - произвольная, то функция ω( η ) также является произвольной) Таким образом, u η ω( η) = ξ Интегрируя по переменной η, найдем функцию ( ) u = ω η d η + ψ ( ξ ), где ψ ( ξ ) ξ произвольная функция Обозначим ω ( η ) d η = ϕ ( η ), где ϕ( η) - произвольная функция Тогда общее решение уравнения (*) запишется в виде: u = ϕ( η) + ψ ( ξ) ξ y Возвращаясь к переменным (, y ) по формулам ξ = y, η =, получим об- щее решение исходного уравнения, где ϕ, ψ произвольные функции y u(, y) = ϕ + ψ ( y) ξ Ответ: y u(, y) = ϕ + ψ ( y) ξ Задача Коши для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными формулируется следующим образом: найти решение уравнения A(, y) u + B(, y) u + C(, y) u + D(, y) u + E(, y) u + G(, y) u =, y yy y

26 удовлетворяющее условиям u y= o = f, uy y= = f, где f, f заданные функции Чтобы решить задачу Коши надо: привести уравнение к каноническому виду; найти общее решение полученного уравнения; 3 используя данные задачи Коши, найти неизвестные функции, входящие в формулу общего решения, те найти решение задачи Коши Замечание При решении задачи Коши замена переменных выбирается таким образом, чтобы при начальных условиях аргументы функций ξ = ξ (, y), η = η(, y) были одинаковы Пример Найти решение дифференциального уравнения u + u 3u =, y yy удовлетворяющее начальным условиям u = 3, u = y= y y= Решение: Так как δ (, y) = B AC = 4 >, то уравнение имеет гиперболический тип Составим уравнение характеристик и найдем два первых интеграла: Выполним замену: ξ = + y, η = y В результате получим канониче- 3 ское уравнение u y = (*) = + = = 3 ( y ) y 3, y C, y C Обозначим u = v( ξ, η), тогда уравнение (*) примет вид v η = ξ функция v от η не зависит, те v = ω( ξ ), где ω( ξ ) произвольная функция Таким образом, для функции u имеем уравнение ω( ξ ) u ξ = Интегрируя полученное уравнение по ξ, найдем общее решение уравнения (*): u = ω ( ξ ) d ξ + ψ ( η ) = ϕ ( ξ ) + ψ ( η ), где ϕ, ψ - произвольные функции

27 Возвращаясь к переменным (, y ), получим общее решение в виде u(, y) = ϕ( + y) + ψ ( y) 3 3 Теперь из бесконечного множества решений нам надо найти то, которое удовлетворяет начальным условиям u = 3, u = y= y y= Так как uy = ϕ ( + y) ψ ( y), тогда при y = можем записать: 3 3 ϕ( ) + ψ ( ) = 3 ϕ ( ) + ψ ( ) = 3 ϕ ( ) ψ ( ) = ϕ ( ) ψ ( ) = C 3 3 Из системы находим функции ( ) ϕ = + C и ψ ( ) = C Подставив эти функции в общее решение, получим решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям: Ответ: u(, y) ( y) C ( y) C 3 y u(, y) 3 y = = + = + Задания для самостоятельной работы Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду: а) u + u u + u + u = б) u + 8u + u = y yy y y yy а) u + 4u + 4u u u = б) u + 8u + u = y yy y y yy 3 а) u u + u + u u = б) 4u + 8u + 3u = y yy y y yy 4 а) u + 6u + 9u + u + 3u = б) 5u + u + 3u = y yy y y yy 5 а) u 6u + 9u u + 6u = б) u + 4u + 3u = y yy y y yy Решить задачу Коши для дифференциальных уравнений: u 3u + u + u u =, y yy y u u e y= =, y y= = u 3y u + 3u =, y yy y u =, u = 3 y= y y=

28 3 u + ( + y) u + yu = (, y > ), y yy u =, u = 3 y= y= 4 3u + 5u u + 7( u + u ) =, y yy y u =, u = 3 y = = 5 5u + 6u + u + u + u =, y yy y u = y, u = 5 y = = Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИ- АЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ЧАСТНЫМИ ПРО- ИЗВОДНЫМИ Основные уравнения математической физики и виды граничных условий Многие задачи физики и техники приводят к исследованию сравнительно небольшого числа типов дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка Например, в задачах об электрических колебаниях, в гидродинамике и акустике, в теории упругости, при изучении магнитных полей используется волновое уравнение (волнами в физике называют механические колебания с малыми амплитудами) Для одномерного, двумерного и трехмерного случая волновое уравнение имеет соответственно следующий вид: utt a u = () u = a ( u + u ) () tt yy где a физическая константа u = a ( u + u + u ) (3), tt yy zz Для изучения процессов распространения тепла и диффузии используется уравнение теплопроводности, имеющее для одномерного, двумерного и трехмерного случая соответственно вид:

29 ut a u = (4) u = a ( u + u ) (5) t yy u = a ( u + u + u ) (6) t yy zz Потенциальное движение несжимаемой жидкости, потенциал стационарного электрического тела, установившееся тепловое состояние в изотропном теле описываются уравнениями Лапласа и Пуассона: u + u = (7) yy u + u yy + uzz = (8) u + u = f (, y) (9) yy u + u + u = f (, y) () yy zz Уравнения () - (6), а также уравнения Лапласа (7) и (8), соответствующие плоскому и пространственному случаям, относятся к линейным однородным дифференциальным уравнениям Уравнения Пуассона (9) и () являются линейными неоднородными дифференциальными уравнениями Кроме того, можно показать, что волновое уравнение на плоскости и в пространстве относится к уравнению гиперболического типа, уравнение теплопроводности на плоскости и в пространстве к уравнению параболического типа Уравнения Лапласа и Пуассона имеют эллиптический тип Вывод приведенных выше уравнений, называемых основными уравнениями математической физики, опирается на физические или механические законы и достаточно подробно изложен в литературе (см,,3,5) Замечание Неоднородное волновое уравнение для одномерного случая имеет вид utt a u f t = + (, ) и описывает малые поперечные колебания струны под действием силы упругости и внешних сил (влияние внешних сил учитывает функция f (, t ) ) Неоднородное уравнение теплопроводности имеет вид ut a u f t = + (, ) и описывает процесс изменения температуры стержня во времени под действи-

30 ем физических законов распространения теплоты с учетом влияния внутреннего источника теплоты, который задается функцией f (, t ) Для полного описания реального физического процесса одного дифференциального уравнения недостаточно Необходимо задать начальные условия, те состояние процесса в тот момент времени, когда мы начали его наблюдать, а также граничные условия, те режим на границе той области, на которой этот процесс совершается Совокупность начальных и граничных условий называется краевой задачей Таким образом, построение математической модели реального физического процесса заключается в написании соответствующего дифференциального уравнения и формулировке начальных и граничных условий Для основных уравнений математической физики различают три типа краевых задач: Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов (тк область задания уравнения совпадает со всем пространством, то граничные условия отсутствуют и задаются только начальные условия) Краевая задача для уравнения эллиптического типа Начальные условия отсутствуют, задаются только условия на границе области задания уравнения 3 Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов (задаются и начальные и граничные условия) Кроме того, различают три типа граничных условий, имеющих для каждого типа уравнений соответствующий физический смысл: Граничные условия I рода: u Граничные условия II рода: Г = f u Г = f 3 Граничные условия III рода:

31 ( u hu) = f Г 3 Приведенным граничным условиям соответствуют краевые задачи первого, второго и третьего родов Для уравнений Лапласа и Пуассона краевая задача I рода называется задачей Дирихле; краевая задача II рода называется задачей Неймана Кроме этих краевых задач в математической физике встречаются и другие краевые задачи (задача Гурса, задача Трикоми, задача Зарембы и др), с которыми можно ознакомиться в литературе (3) Граничные условия называются однородными, если функции f, f, f 3 тождественно равны нулю при всех значениях t В противном случае граничные условия называются неоднородными Необходимо также отметить, что поскольку задачи математической физики представляют собой модели реальных физических процессов, то поставленная краевая задача должна быть корректна, те должна удовлетворять следующим условиям: Решение задачи должно существовать Решение задачи должно быть единственным 3 Решение должно быть устойчивым (те при малых изменениях параметров задачи решение меняется мало) Для эллиптических уравнений корректны граничные задачи, для гиперболических и параболических задачи с начальными условиями и смешанные задачи Метод Фурье Метод Фурье (метод разделения переменных или метод собственных функций) для линейных задач математической физики является одним из самых распространенных и эффективных методов классической теории Основная идея метода заключается в том, что решение задачи для уравнения с частными производными сводится к решению вспомогательных задач для уравнений с меньшим числом независимых переменных В частности, если заданное уравнения содержит две независимые переменные, то вспомогательные

32 задачи будут уже зависеть только от одной переменной и решение уравнения с частными производными сведется к решению обыкновенных дифференциальных уравнений При применении метода Фурье используется следующая лемма Лемма (основная лемма метода Фурье) Если в прямоугольнике R плоскости XOY : ( R ) : a < < b A < y < B для некоторых функций выполняется тождество X ( ) = Y ( y) (), то в этом случае ( ) ( ) X = Y y = cost Доказательство: Предположим противное, те что X ( ) cost Тогда существуют, ( a, b) такие, что X ( ) X ( ) Рассмотрим точки ( y ) и ( y ), принадлежащие прямоугольнику R В R справедливо равенство (), поэтому X ( ) Y ( y) X ( ),, = и = Y ( y) Следовательно X ( ) = X ( ), те получили противоречие Таким образом, X ( ) = cost, а значит Y ( y) = cost 3 Решение первой начально-краевой задачи для волнового уравнения методом Фурье Рассмотрим задачу о колебаниях однородной струны, закрепленной на концах (первая начально-краевая задача для волнового уравнения): u = a u < < l t > (), где,, tt (, ) = (, ) = () u t u l t (,) = ( ), (,) = ϕ( ) (3) u f u Решим эту задачу методом Фурье t Шаг Будем искать частные решения уравнения (), не равные тождественно нулю (нетривиальные), в виде произведения u(, t) = X ( ) Y ( y) Найдем частные производные u tt и u и подставим их в уравнение ():

33 тогда u = X ( ) T ( t), u = T ( t) X ( ), tt T X X ( ) T ( t) = a T ( t) X ( ) или = a T X В полученном уравнении левая часть зависит только от t, а правая только от На основании леммы можем записать: T X = = λ, где λ= cost a T X Таким образом, получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения: X λ X и T a λt + = (4) + = (5) Из граничных условий () можем записать: X () = X ( l) = (6) Шаг Ищем числа λ, для которых дифференциальное уравнение X + λx = имеет нетривиальное решение на отрезке [,l ], удовлетворяющее граничным условиям X () = X ( l) = Эта задача называется задачей Штурма - Лиувилля Искомые числа λ называются собственными значениями (или числами), а соответствующие нетривиальные функции, удовлетворяющие граничным условиям (7), называются собственными функциями Решение дифференциального уравнения будем искать среди λ > (при λ < и λ = существует только тривиальное решение) Для решения уравнения (4) составим характеристическое уравнение и найдем его корни: k λ, k, λ i + = = ± Общее решение будет иметь вид: X ( ) = C cos( λ ) + C si( λ ) Из граничных условий можем записать: C C = si( λ l) = Чтобы получить нетривиальное решение, надо считать, что C Тогда π si( λ l) = и λ =,( =,,) (7) l

34 Таким образом ( ) si π X = C l (8) Шаг 3 Подставим найденные значения λ в уравнение (5) и решим его: π T a T + = l Соответствующее характеристическое уравнение π + a = имеет кор- l ни k, π a = ± i l k Общее решение запишется в виде π a π a T ( t) = A cos t + B si t, =,, (9) l l Шаг 4 Для каждого значения, следовательно, для каждого λ, выражения (8) и (9) подставим в равенство u(, t) = X ( ) Y( y) Получим решение уравнения (), удовлетворяющее граничным условиям (), которое примет вид: π π a π a u(, t) = si ( A cos t + B si t) () l l l Для волнового уравнения решения вида () называются собственными колебаниями Так как уравнение () линейное и однородное, то линейная комбинация этих решений также является решением данного уравнения, удовлетворяющим граничным условиям (): π π a π a u (, t) = si ( A cos t + B si t) () l l l = Замечание Здесь предполагается, что полученный функциональный ряд равномерно сходится и его можно дважды почленно дифференцировать по переменным и t в области < < l, t > Шаг 5 Определим коэффициенты A и B в формуле (), используя начальные условия (3) Из первого начального условия можем записать

35 π u(,) = A si = f ( ) l = () Равенство () означает, что начальная функция f ( ) разлагается в ряд Фурье по синусам, которые в данном случае являются собственными функциями X ( ) задачи Штурма - Лиувилля Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам: l π A = f ( )si d (3) l l Из второго начального условия находим коэффициенты B : π a π ut (,) = B si = ϕ( ) (4), l l = тогда l π B = ϕ( )si d (5) π a l Вычислив коэффициенты A и B для конкретных начальных функций и подставив их значения в (), получим решение первой начально-краевой задачи Сформулируем без доказательства теоремы существования и единственности решения первой начально-краевой задачи для волнового уравнения) Теорема (существование решения первой начально-краевой задачи для волнового уравнения) Если функция f ( ) на отрезке [,l ] дважды непрерывно дифференцируема, имеет кусочно-непрерывную третью производную и удовлетворяет условиям f () = f ( l) = и f () f ( l) = =, а функция ϕ ( ) непрерывно дифференцируема, имеет кусочно-непрерывную вторую производную и удовлетворяет условиям ϕ() ϕ( l) = =, то функция u (, t ), определяемая рядом (), имеет непрерывные производные второго порядка и удовлетворяет уравнению () с граничными условиями () и начальными условиями (3) При этом возможно почленное дифференцирование ряда () по и по t два раза, и полученные ряды сходятся равномерно и абсолютно при любом t и l

36 Теорема (единственность решения первой начально-краевой задачи для волнового уравнения) Возможно только одно решение u (, t ) волнового уравнения удовлетворяющее граничным и начальным условиям: Замечания ( ) ( ) u, t = u l, t = ( ) u, = f ( ), u (,) = ϕ( ) t utt a u =, Решения задач о свободных колебаниях ограниченной струны или стержня с однородными граничными условиями второго и третьего родов также могут быть построены в виде бесконечных функциональных рядов аналогичной структуры, которые будут отличаться лишь собственными значениями и собственными функциями соответствующей задачи Штурма-Лиувилля Изложенный метод Фурье позволяет также решать задачи для неоднородного волнового уравнения Пример Найти отклонение u(, t ) от положения равновесия закрепленной на концах = и = l однородной горизонтальной струны, если в начальный момент времени струна имела форму si 4, а начальные скорости отсутствовали Решение: π l Предполагая, что струна совершает малые колебания, получим следующую задачу: найти решение уравнения ( ) ( ) u, t = u l, t = u = a u < < l t >, где,, tt π u (,) = si = f ( ), ut (,) = = ϕ( ) 4 l Шаг Решение задачи ищем в виде произведения u(, t) = X ( ) Y ( y) Найдем частные производные u tt и u и подставим их в уравнение: u = X ( ) T ( t), u = T ( t) X ( ), tt

37 тогда T X X ( ) T ( t) = a T ( t) X ( ) или = a T X На основании леммы можем записать: T X = = λ, где λ= cost a T X Таким образом, получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения: X + λ X = и T + a λt = Используя граничные условия u (, t) = u ( l, t) =, можем записать: ( ) u, t = X () T ( t) = X () = ( ) u l, t = X ( l) T ( t) = X ( l) = Шаг Решаем задачу Штурма Лиувилля: ищем числа λ, для которых дифференциальное уравнение X + λx = имеет нетривиальное решение на отрезке [ ],l, удовлетворяющее граничным условиям X () = X ( l) = Решение дифференциального уравнения будем искать среди λ > (при λ < и λ = существует только тривиальное решение) Для решения уравнения составим характеристическое уравнение и найдем его корни: k λ, k, λ i + = = ± Общее решение будет иметь вид: X ( ) = C cos( λ ) + C si( λ ) Из граничных условий можем записать: C C = si( λ l) = π Пусть C, тогда si( λ l) = и λ =,( =,,) l Таким образом ( ) si π X = C l Шаг 3 Подставим найденные значения λ в уравнение T + a λt = и решим его: π T a T + = l

38 Соответствующее характеристическое уравнение имеет корни k, k π + a = l π a = ± i, тогда общее решение запишется в виде l π a π a T ( t) = A cos t + B si t, =,, l l Шаг 4 Для каждого значения, следовательно, для каждого λ, выражения ( ) si π X = C l π a π a и T ( t) = A cos t + B si t подставим в равенст- l l во u(, t) = X ( ) Y ( y) Получим решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям, которое примет вид: π π a π a u (, t) = si ( A cos t + B si t) l l l Так как уравнение линейное и однородное, то линейная комбинация этих решений также является решением данного уравнения, удовлетворяющим граничным условиям: π π a π a u (, t) = si ( A cos t + B si t) l l l = Шаг 5 Определим коэффициенты π u (,) = si = f ( ), ut (,) = = ϕ( ) 4 l A и Из первого начального условия можем записать π π u(,) = A si = si l 4 l = B, используя начальные условия Это равенство означает, что начальная функция f ( ) разлагается в ряд Фурье по синусам, которые в данном случае являются собственными функциями ( ) π π X задачи Штурма Лиувилля, поэтому = =, тогда A = и l l 4 A = при Из второго начального условия находим коэффициенты B : π π a π a π a π a u (, t) = si ( A si t + B cos t) l l l l l t =

39 π a π u (,) = B si = B = t = l l Подставив значения коэффициентов A и B в формулу π π a π a u (, t) = si ( A cos t + B si t), l l l = получим решение первой начально-краевой задачи в виде π π a u(, t) = si cos t 4 l l Ответ: π π a u(, t) = si cos t 4 l l 4 Решение первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности методом Фурье Рассмотрим однородную первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности: u = a u < < l t > (), где,, t u(, t) = u( l, t) =, t > () u(,) = f ( ), l (3) Шаг Ищем решение нашей задачи в виде u(, t) = X ( ) Y ( y) Найдем частные производные u t и u и подставим их в уравнение (): u = X ( ) T ( t), u = T ( t) X ( ) t Получим X ( ) T ( t) = a T ( t) X ( ) или Используя основную лемму, можем записать: a T X T X = = λ T ( t) X ( ) = a T ( t) X ( ) Таким образом, получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения: X + λ X = (4) и T + a λt = (5) На основании граничных условий () имеем X (), X ( l) = =

40 Шаг Решаем задачу Штурма-Лиувилля: X + λ X = (4), X () = X ( l) = Эта задача совпадает с задачей 3, поэтому собственные значения и собственные функции будут иметь вид: π π λ =,( =,,) (6), X ( ) = C si (7) l l Шаг 3 Подставим найденные значения λ в уравнение (5) и решим его: π T a T + = l Полученное уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными Его решение будет иметь вид: π a l t T = A e (8) Шаг 4 Для каждого значения, следовательно, для каждого λ, выражения (7) и (8) подставим в равенство u(, t) = X ( ) Y ( y) Получим решение уравнения (), удовлетворяющее граничным условиям (), которое примет вид: t l π u(, t) = A e si l π a Так как уравнение () является линейным и однородным, то линейная комбинация этих решений также является решением данного уравнения, удовлетворяющим граничным условиям (): t l π u(, t) = A e si = l (9) π a Шаг 5 Определим коэффициенты A, используя начальные условия (3): π u(,) = A si = f ( ) = l () Равенство () означает, что начальная функция f ( ) разлагается в ряд Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля Коэффициенты Фурье находятся по формулам:

41 l π A = f ( ) si d l l () Вычислив коэффициенты A для конкретной начальной функции f ( ) и подставив их значения в формулу (9), получим решение однородной первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности Теорема (существование решения первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности) Пусть функция f ( ) непрерывна вместе со своими производными до -го порядка включительно, а третья производная кусочно-непрерывна на отрезке [ ],l и f () = f ( l) =, f () f ( l) = =, тогда ряд π a t l π A e si = l с коэффициентами l π A = f ( ) si d l l сходится равномерно в полуполосе l, t к решению уравнения теплопроводности () с граничными и начальными условиями (), (3) Доказательство единственности решения первой начально-краевой задачи основано на принципе максимума Теорема (принцип максимума) Если функция u(, t ) определена и непрерывна в замкнутой области l, t T и удовлетворяет уравнению теплопроводности (), то максимальное (минимальное) значение функция u(, t ) принимает или в начальный момент времени, или в граничных точках = и = l Теорема 3 (единственность решения первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности) Пусть функции u(, t ) и u(, t ), определенные и непрерывные в области l, t T, являются решениями уравнения теплопроводности () и удовлетворяют граничным и начальным условиям (),(3), тогда u(, t) = u(, t) Замечания В случае граничных условий второго рода краевая задача имеет вид:

42 u a u l t t =,, < < > u (, t) = u ( l, t) = u(,) = f ( ), l Эта задача описывает процесс выравнивания температуры в стержне, в котором в начальный момент времени задан температурный профиль f ( ), а концы стержня теплоизолированы При решении такой задачи собственные значения и собственные функции будут иметь вид: π π λ =, =,,,, X ( ) = cos l l Решение второй краевой задачи будет иметь вид: t l π u(, t) = A e cos = l, π a где коэффициенты A вычисляются по формулам: l π A = f ( ) d l, A = f ( ) cos d l l l При t температура стержня выравнивается и стремится к стационарному распределению Пример Найти решение u(, t ) первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке: u = 6 u, < < 4, t >, u(, t) = u(4, t) =, t, u(,) = 4, < 4 Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой t l π u(, t) = A e si, где = l π a l π A = f ( ) si d (,,) l = l

43 Вычислим коэффициенты Фурье, учитывая, что разбивая интеграл по отрезку ;4 на сумму двух интегралов:, l = 4, f ( ) = 4, < 4 и Так как 4 π π A = si d + ( 4 ) si d u, du d π = = 8 π si d = = cos + 4 π 4 π π dv = si d, v = cos 4 π 4 u =, du = d 4 π + cos d π 4 π π = = 4 dv cos d, v si = = 4 π 4 8 π 4 4 π 4 π = cos + si si d = π π π 4 π cos π si π cos π cos π si π cos π = + + = π π π π 4 π π π и 4 u = 4, du = d π 4 si d = π 4 π = 4 dv = si d, v = cos 4 π 4 ( ) π 4 π 8 π 6 π = ( 4 ) cos cos d cos si π 4 π = = 4 π π 4 8 π 6 π = cos + si, π π то 8 π 3 π 64 π 8 π 6 π A = cos si cos cos si π π π π π = 3 6 π 64 π = si + cos 3 3 π π Таким образом, решение задачи будет иметь вид:

44 Ответ: 8 π 4 π π u(, t) = 3si + cos e si π = π 4 ( π ) t 8 π 4 π π u(, t) = 3si + cos e si π = π 4 ( π ) t Можно доказать, что полученный функциональный ряд сходится равномерно в замкнутой области 4, t, определяя непрерывную функцию двух переменных Действительно, при t > члены ряда 8 π 4 π π π = π 4 ( π ) 3si cos t + e si, а также члены рядов, полученных из него дифференцированием по и по t приобретают быстро убывающие множители e π t ( ) В результате ряд определяет бесконечно дифференцируемую функцию двух переменных При t = из ряда 8 π 4 π π π = π 4 ( π ) 3si cos t + e si получается ряд π A si = l, который совпадает с функцией f ( ), так как является рядом Фурье этой функции Таким образом, ряд 8 π 4 π π π = π 4 ( π ) 3si cos t + e si представляет бесконечно дифференцируемую функцию в открытой области < < 4, t > и эта функция удовлетворяет уравнению теплопроводности В замкнутой области 4, t полученный ряд определяет непрерывную функцию, которая удовлетворяет однородным граничным условиям и начальному условию Следовательно, функция 8 π 4 π ( π ) (, ) 3si cos t π u t = e si π = + π 4 является классическим решением задачи Замечание

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

МИНОБРНАУКИ РОССИИ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

МИНОБРНАУКИ РОССИИ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Р.Е.АЛЕКСЕЕВА» МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Учебное пособие

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА МИИТ» Кафедра «Высшая и вычислительная

Подробнее

14. Задача Штурма-Лиувилля.

14. Задача Штурма-Лиувилля. Лекция 8 4 Задача Штурма-Лиувилля Рассмотрим начально-краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных второго порядка описывающего малые поперечные колебания струны Струна рассматривается

Подробнее

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения . Метод Эйлера Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения ( ) f (6.) может быть приближенно решена численными методами. Для нахождения частного решения уравнения (6.) на отрезке [ a

Подробнее

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1. Дифференциальные уравнения с частными производными Уравнение, связывающее неизвестную функцию u (x 1, x 2,..., x n ), независимые переменные x 1, x 2,..., x n и частные

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОСНОВНЫЕ АНАЛИТИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОСНОВНЫЕ АНАЛИТИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОСНОВНЫЕ АНАЛИТИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. Классические уравнения математической физики. Вывод и классификация. Основные краевые задачи

Подробнее

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Министерство образования и науки молодежи и спорта Донбасская государственная машиностроительная академия Составитель Костиков А.А. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Методические указания к выполнению практических

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Глава 2 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Уравнение с частными производными это уравнение, содержащее частные производные. В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в которых неизвестная

Подробнее

Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера

Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера 37, 438, I, II, 385, 439, 445, 37, III, IV, 37, 446.. 37 Найти общее решение уравнения u tt a u xx..) Шаг. Находим замену переменных Способ через

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ):

Примеры: 1. Площадь треугольника. M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ): Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Подробнее

Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных Елькин ЮЕ Дифференциальные уравнения в частных производных Дифференциальные уравнения в частных производных Дифференциальным уравнением в частных производных (ДУЧП) называется уравнение, содержащее искомую

Подробнее

Уравнения математической в ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА

Уравнения математической в ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА Уравнения математической в ОПИСАНИИ ПРОЦЕССОВ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА Решение вопросов организации эффективной добычи полезных ископаемых требует изучения закономерностей движения воды, тепла, распределен

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Общее решение дифференциального уравнения y = 0 имеет вид

Общее решение дифференциального уравнения y = 0 имеет вид Задача 1.1. Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным краевым условиям (задача Штурма-Лиувилля) Решение: Рассмотрим

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Уравнения математической физики

Уравнения математической физики МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ РАСТИТЕЛЬНЫХ

Подробнее

Решение систем нелинейных уравнений в частных производных. с производной по времени первого порядка. Е.Г. Якубовский

Решение систем нелинейных уравнений в частных производных. с производной по времени первого порядка. Е.Г. Якубовский Решение систем нелинейных уравнений в частных производных с производной по времени первого порядка с коэффициентами зависящими от времени ЕГ Якубовский e-i uovi@rerru Аннотация В статье [ получено решение

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

Лекции по уравнениям математической физики

Лекции по уравнениям математической физики Лекции по уравнениям математической физики Соловьев Вячеслав Викторович черновая версия 31 декабря 5 г. Оглавление 1 Уравнения с частными производными -го порядка и их классификация 3 1.1 Понятие уравнения

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Уравнения математической физики. Ю. Л. Калиновский

Уравнения математической физики. Ю. Л. Калиновский Уравнения математической физики Ю. Л. Калиновский Классификация дифференциальных уравнений 1 Лекция 1.1 Классификация дифференциальных уравнений Большое число различных физических задач приводит к дифференциальным

Подробнее

4.1 Уравнения гиперболического типа. Колебания бесконечной и полубесконечной струны. Метод Фурье

4.1 Уравнения гиперболического типа. Колебания бесконечной и полубесконечной струны. Метод Фурье Уравнения гиперболического типа. Колебания бесконечной и полубесконечной струны. Метод Фурье Метод Фурье Стоячие волны 4 Лекция 4.1 Уравнения гиперболического типа. Колебания бесконечной и полубесконечной

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Тесты по курсу Уравнения в частных производных. 1. Какое из названий правильно характеризует уравнение

Тесты по курсу Уравнения в частных производных. 1. Какое из названий правильно характеризует уравнение Тесты по курсу Уравнения в частных производных. Какое из названий правильно характеризует уравнение 3 ( + u) + = u : а) квазилинейное уравнение с частными производными второго порядка; б) линейное уравнение

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Теоретическая часть. Классификация уравнений в частных производных 2-го порядка

Теоретическая часть. Классификация уравнений в частных производных 2-го порядка Освоение дисциплины «Уравнения математической физики» необходимо начинать последовательно раздел за разделом. Освоение раздела начинать с теоретической справки, затем перейти к разбору приведенного решения

Подробнее

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» И. М. Борковская, О. Н. Пыжкова УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Рекомендовано Учебно-методическим объединением высших учебных

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Математика и теоретическая механика» Методические рекомендации

Подробнее

имеет вид: где C произвольная постоянная, где C произвольная постоянная. является функция:

имеет вид: где C произвольная постоянная, где C произвольная постоянная. является функция: Тест по дисциплине «Уравнения с частными производными» Раздел Уравнения с частными производными -го порядка Общее решение уравнения u u 0 имеет вид: u(, ) ln C, где C произвольная постоянная, u(, ) F(

Подробнее

7.1 Уравнениям параболического типа. Метод разделения переменных. Рассмотрим решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке:

7.1 Уравнениям параболического типа. Метод разделения переменных. Рассмотрим решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке: Уравнениям параболического типа. Метод разделения переменных Однородная краевая задача Функция источника Неоднородное уравнение теплопроводности 7 Лекция 7.1 Уравнениям параболического типа. Метод разделения

Подробнее

ϕ называется ортогональной на [ a, b]

ϕ называется ортогональной на [ a, b] ТЕМА V РЯД ФУРЬЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разложение периодической функции в ряд Фурье Многие процессы происходящие в природе и технике обладают свойствами повторяться через определенные промежутки времени Такие процессы

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие

Аксёнов А.П. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Учебное пособие Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный технический университет Аксёнов АП СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Темы, выносимые на промежуточный экзамен по курсу «Уравнения математической физики» (2 сессия)

Темы, выносимые на промежуточный экзамен по курсу «Уравнения математической физики» (2 сессия) Темы, выносимые на промежуточный экзамен по курсу «Уравнения математической физики» (2 сессия) 1. Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности в стержне. Неоднородное уравнение с однородными

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Министерство образования и науки Российской Федерации Псковский государственный университет А. А. Хватцев, И. А. Строчков ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ Учебное пособие Псков Псковский

Подробнее

Уравнение Лапласа в полярной системе координат.

Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Лапласа в полярной системе координат. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 518 Глава 5. Уравнения эллиптического типа 25.2. Разделение

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

Лекция Дифференцирование сложной функции

Лекция Дифференцирование сложной функции Лекция 8 Дифференцирование сложной функции Рассмотрим сложную функцию t t t f где ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t Теорема Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке N t t t а функция f дифференцируема

Подробнее

МЕХАНИКА И СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

МЕХАНИКА И СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ СООРУЖЕНИЙ МЕХАНИКА И СЕЙСМОСТОЙКОСТЬ СООРУЖЕНИЙ УДК 538 УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ Тарабара ИЮ Перешиткин КА студенты группы ПГС Бородачева ТИ ст преп Национальная академия природоохранного и курортного строительства

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Методы интегрирования уравнений в нормальной форме ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие............................................. 5 Глава 1 Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка................................. 8 1. Основные понятия

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

6.1 Определения, предварительные сведения

6.1 Определения, предварительные сведения 6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

Подробнее

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет математики,

Подробнее

Основы теории специальных функций

Основы теории специальных функций Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

Подробнее

Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода

Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода Часть 4 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Общие идеи метода Метод разделения переменных применяется для решения линейных однородных уравнений с линейными однородными граничными условиями вида α 0, β0, 0,

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя.

Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Линейные и нелинейные уравнения физики Модифицированные функции Бесселя. Ряды Фурье-Бесселя и Дини. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя. Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич

Подробнее

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2).

F x, F. Пример. Записать уравнение касательной к кривой x y 2xy 17 точке М(1, 2). Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (, ) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее