a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1)."

Транскрипт

1 Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,], функция φ непрерывна и имеет непрерывную производную φ на отрезке [,β], где φ, φβ, функция φ определена и непрерывна на отрезке [,β], то d β d.. Доказательство. Если F первообразная для, то d F C, d F C см. теорему 6.. Тогда, используя формулу Ньютона Лейбница, получим: d F F F, β β d F F β F F F, откуда следует справедливость формулы.. Замечание. В отличие от неопределенного интеграла, в определенном интеграле нет необходимости возвращаться к прежней переменной интегрирования, так как результатом вычисления будет число, не зависящее от выбора переменной. 8 Вычислить интеграл d. Сделаем замену:, откуда,. При этом, β 8. Тогда d d d Теорема.. Если функции u и v непрерывны вместе со своими производными на отрезке [,], то udv uv vdu.. Формула. называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла. Доказательство. PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp://

2 uv d uv u v d udv vdu. Все интегралы в этом равенстве существуют, так как подынтегральные функции непрерывны. При этом uv d uv, поэтому uv udv vdu, откуда следует.. Примеры.. Вычислить интеграл e d. Пусть u, dv e d. Тогда du d, v e. Применим формулу.: de e e d e e e e e e e e.. rcs rcs rcs d d d принималось u, v rcs.. Вычислить e d d. При интегрировании s d. Пусть u e, dv sd. Тогда du e d, v -cos. Следовательно, e s d e cos cos e d e cos e d. Применим к интегралу в правой части полученного равенства еще раз формулу интегрирования по частям, положив u e, dv cosd: e s d e e s s e d e e s d e e s d. Поскольку при этом в правой части равенства стоит такой же интеграл, как в левой, его значение можно найти из уравнения: e s d e, то есть e s d e. Геометрические приложения определенного интеграла.. Вычисление площадей плоских фигур. Вспомним, каким образом вводилось понятие определенного интеграла. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой при сумму площадей прямоугольников с основанием и высотой ξ. Переходя к пределу при τ, PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp://

3 получаем, что d при представляет собой площадь так называемой криволинейной трапеции А В, то есть фигуры, ограниченной частью графика функции у у A B х Рис. Рис. от х а до и отрезками прямых х а, и у рис. : S d.. Если требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций: и рис., то ее можно рассматривать как разность площадей двух криволинейных трапеций: верхней границей первой из них служит график функции, а второй. Таким образом, d d S d.. Замечание. Формула. справедлива, если графики функций и не пересекаются при < <. Замечание. Функции и могут при этом принимать на интервале [,] значения любого знака. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций ² - 5 и 5. Найдем абсциссы точек пересечения указанных графиков, то есть корни уравнения ² ² -,,. Таким образом, найдены пределы интегрирования. Так как на интервале [,] прямая 5 проходит выше параболы у ² - 5, формула. примет вид: 6 S 5 5 d d. Лекция. Площадь в полярных координатах. Длина дуги кривой и ее вычисление. Вычисление объемов тел. Введем на плоскости криволинейную систему координат, называемую полярной. Она состоит из точки О полюса и выходящего из него луча полярной оси. PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp://

4 O у М ρ φ уρsφ ρ O ρcosφ М Рис. Рис. Координатами точки М в этой системе рис. будут длина отрезка МО полярный радиус ρ и угол φ между МО и полярной осью: Мρ,φ. Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, ρ >, а полярный угол φ будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным при измерении в противоположном направлении. Замечание. Если ограничить значения φ интервалом [,] или [-, ], то каждой точке плоскости соответствует единственная пара координат ρ,φ. В других случаях можно считать, что φ может принимать любые значения, то есть полярный угол определяется с точностью до слагаемого, кратного. Связь между полярными и декартовыми координатами точки М можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось у Ох с полярной осью рис.. Тогда ρcosφ, уρsφ. Отсюда ρ х у, g. х Выясним, как с помощью определенного интеграла вычислить площадь фигуры, границы которой заданы в полярных координатах. а Площадь криволинейного сектора. ρρ φ ρρφ О ρρ φ β β О Рис. Рис. Найдем площадь фигуры, ограниченной частью графика функции ρρφ и отрезками лучей φ и φ β. Для этого разобьем ее на п частей лучами φ φ и найдем сумму площадей круговых секторов, радиусами которых служат ρ ρ, где < <. Как известно, площадь сектора вычисляется по формуле S r, где r радиус сектора, а его центральный угол. Следовательно, для суммы площадей рассматриваемых секторов можно составить интегральную сумму ρ, где. В пределе при получим, что площадь криволинейного сектора S β ρ d.. б Площадь замкнутой области. Если рассмотреть замкнутую область на плоскости, ограниченную кривыми, уравнения которых заданы в полярных координатах в виде ρ ρ и ρ ρ ρ ρ, а PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp:// 5

5 полярный угол φ принимает для точек внутри области значения в пределах от до β рис., то ее площадь можно вычислять как разность площадей криволинейных секторов, ограниченных кривыми ρ ρ и ρ ρ, то есть β S ρ ρ d.. Вычислим площадь области, заключенной между дугой окружности ² ² и прямой при. В точках пересечения прямой и окружности, ±, то есть полярный угол φ изменяется внутри области в пределах от до. Уравнение окружности в полярных координатах имеет вид ρ, уравнение прямой - ρ cos, то есть ρ cos. Следовательно, площадь рассматриваемой области можно найти по формуле.: S d g. cos 8. Длина дуги кривой. а Длина дуги в декартовых координатах. у Рассмотрим функцию, непрерывную Δу на отрезке [,] вместе со своей производной. Δх Выберем разбиение τ отрезка [,] и будем считать длиной дуги кривой, являющейся графиком, от ха до предел при τ длины ломаной, проведенной через точки графика с абсциссами х, х,, х п точками а - разбиения τ при стремлении длины ее наибольшего звена к нулю: Рис. 5 l l l.. l Убедимся, что при поставленных условиях этот предел существует. Пусть. Тогда l рис. 5. По формуле конечных приращений Лагранжа ξ, где - < ξ <. Поэтому l ξ, а длина ломаной l ξ. Из непрерывности и следует и непрерывность функции, следовательно, существует и предел интегральной суммы, являющейся длиной ломаной, который равен PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp:// 6

6 7 d l l ξ. Таким образом, получена формула для вычисления длины дуги: d d d d l.. Найти длину дуги кривой l от х до х l d d d d l. Сделаем замену: u, тогда, d du u, а пределами интегрирования для u будут u при х и и при х 5. Получим: du u u du u u l 5 9 l l u u u. б Длина дуги кривой, заданной в параметрической форме. Если уравнения кривой заданы в виде ψ, где, β а φ и ψ непрерывные функции с непрерывными производными, причем φ на [,β], то эти уравнения определяют непрерывную функцию, имеющую непрерывную производную d d ψ. Если,, β то из. β ψ, d l или β ψ d l..5 Замечание. Если пространственная линия задана параметрическими уравнениями z χ ψ, то при указанных ранее условиях β χ ψ d l..6 в Длина дуги в полярных координатах. Если уравнение кривой задано в полярных координатах в виде ρ φ, то ρ cos φ φcos φ, ρ s φ φs φ параметрические уравнения относительно параметра φ. Тогда для вычисления длины дуги можно использовать формулу.5, вычислив предварительно производные х и у по φ:. cos s, s cos d d d d Следовательно, ρ ρ d d d d, поэтому PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp://

7 l ρ ρ d..7 Найти длину дуги спирали Архимеда ρ φ от φ до φ. l rcg rcg rcg d s s s d cos d cos u u s. du u u l cosd cos u u. Вычисление объемов тел. u u u du l u u были применены замены φ g и Пусть имеется некоторое тело, для которого известна площадь любого его сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, являющаяся функцией от х: Q Q. Определим объем рассматриваемого тела в предположении, что Q непрерывная функция. Если значение х внутри тела меняется от а до, то можно разбить тело на слои плоскостями х х а, х х, х х,, х х. Затем выберем в каждом слое значение х ξ, - ξ, и рассмотрим сумму объемов цилиндров с площадями оснований Qξ и высотами Δ -. Эта сумма будет равна v Qξ. Получена интегральная сумма для непрерывной функции Q на отрезке [,], следовательно, для нее существует предел при τ, который равен определенному интегралу v Q d,.8 называемому объемом данного тела. Замечание. Если требуется определить объем так называемого тела вращения, то есть тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной частью графика функции от х а до и отрезками прямых х а, х и у, то площадь сечения такого тела плоскостью cos равна, и формула.8 в этом случае имеет вид: v d d..9 Найдем объем эллипсоида вращения z. При cos сечениями будут круги z с радиусом R и площадью Q. Применим формулу.8, учитывая, что х изменяется от до : PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp:// 8

8 9 v 8 d.. Площадь поверхности тела вращения. Пусть требуется определить площадь поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси Ох при. Выберем разбиение τ отрезка [,] и рассмотрим, как и при определении длины кривой, ломаную, проходящую через точки кривой с абсциссами. Каждый отрезок такой ломаной при вращении опишет усеченный конус, площадь боковой поверхности которого равна l S. По формуле конечных приращений Лагранжа ξ, где < < ξ. Поэтому S ξ. Следовательно, площадь всей поверхности, описанной ломаной при вращении, равна S ξ. Назовем площадью поверхности вращения предел этой суммы при Δl. Заметим, что эта сумма не является интегральной суммой для функции, так как в каждом ее слагаемом фигурирует несколько точек данного отрезка разбиения. Однако можно доказать, что предел такой суммы равен пределу интегральной суммы для, откуда получаем формулу для площади поверхности вращения: d S.. Вычислим площадь поверхности, полученной вращением части кривой от х до х. Используя формулу., получим: d d S. Лекция 5. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Теорема сравнения для интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость. Признак абсолютной сходимости. Несобственные интегралы от неограниченных функций, исследование их сходимости. В предыдущих лекциях рассматривались определенные интегралы, соответствующие с геометрической точки зрения площадям замкнутых ограниченных областей криволинейных трапеций. Расширим понятие определенного интеграла на случай неограниченной области. Такую область можно получить, либо приняв какой-либо из пределов интегрирования равным бесконечности, либо рассматривая график функции с PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp://

9 бесконечными разрывами то есть неограниченной. Рассмотрим отдельно каждый из указанных случаев. Несобственные интегралы с бесконечными пределами несобственные интегралы -го рода Пусть функция определена и непрерывна при х а. Тогда интеграл d имеет смысл при любом > и является непрерывной функцией аргумента. Определение 5.. Если существует конечный предел l d, 5. то его называют несобственным интегралом -го рода от функции на интервале [, и обозначают d. Таким образом, по определению d l d. 5. При этом говорят, что несобственный интеграл существует или сходится. Если же не существует конечного предела 5., несобственный интеграл не существует или расходится. Повторим, что геометрической интерпретацией несобственного интеграла -го рода является площадь неограниченной области, расположенной между графиком функции, прямой х а и осью Ох. Замечание. Аналогичным образом можно определить и несобственные интегралы -го рода для других бесконечных интервалов: d l d d d, c d 5. В частности, последний интеграл существует только в том случае, если сходятся оба интеграла, стоящие в правой части равенства. Часто достаточно бывает только установить сходимость или расходимость несобственного интеграла и оценить его значение. Лемма. c Если на интервале [,, то для сходимости интеграла d необходимо и достаточно, чтобы множество всех интегралов d > было ограничено сверху, то есть чтобы существовала такая постоянная c >, чтобы [, выполнялось неравенство d > c PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp://

10 Доказательство. Рассмотрим функцию g d и покажем, что в условиях леммы она монотонно возрастает на [,. Действительно, при < g d d d d g, так как при d. Следовательно, функция g монотонно возрастает и ограничена сверху, поэтому она имеет конечный предел при, что по определению означает существование интеграла d. Теорема 5. признак сравнения. Пусть при [,. Тогда: если интеграл d сходится, то сходится и интеграл d ; если интеграл d расходится, то расходится и интеграл Доказательство. d. Из условия теоремы следует, что d d [,. Поэтому, если интегралы d d ограничены сверху по лемме, то сверху ограничены и интегралы, следовательно, d сходится по той же лемме. Если же интеграл d расходится, то, если бы интеграл d сходился, то по ранее доказанному d должен был бы сходиться, что противоречит сделанному предположению. Значит, в этом случае d расходится. Теорема полностью доказана. Следствие. Пусть, на [,, [, и существует конечный или бесконечный предел l k, то: а если интеграл d сходится и k <, то сходится и интеграл d ; б если интеграл d расходится и < k, то интеграл расходится. d тоже 5 PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp://

11 В частности, если k, то есть функции и φх эквивалентны при, то интегралы d и d сходятся и расходятся одновременно. При применении признака сравнения удобно сравнивать подынтегральную функцию с функцией, >, для которой сходимость или расходимость соответствующего несобственного интеграла легко установить непосредственно. Пусть, тогда <. При d l d l l > d l d l l ll l. Следовательно, d сходится при > и расходится при. Исследуем на сходимость эквивалентна 7 d 5. При подынтегральная функция. Таким образом, >, и данный интеграл сходится. Абсолютная сходимость несобственных интегралов -го рода. Определение 5.. Несобственный интеграл d называют абсолютно сходящимся, если сходится интеграл d. Функция называется при этом абсолютно интегрируемой на [,. Признак абсолютной сходимости несобственного интеграла критерий Коши без доказательства. Для того, чтобы d абсолютно сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > существовало такое η, что при η > η, η > η η η d < ε. Теорема 5.. Если интеграл d абсолютно сходится, то он сходится и в обычном смысле. Доказательство. η η Согласно критерию Коши d d d d < ε. η Следовательно, существует конечный предел η η η η d при η, то есть 5 PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp://

12 рассматриваемый интеграл сходится. Несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами несобственные интегралы -го рода. Определение 5.. Пусть функция определена и непрерывна при < и имеет разрыв при. Тогда d определяется следующим образом: ε d l d ε 5.5 и называется несобственным интегралом -го рода. Если предел, стоящий справа, существует и конечен, интеграл называется сходящимся, в противном случае расходящимся. Аналогичным образом определяются несобственные интегралы от функции, имеющей разрыв при х а: d l с ε ε d d d, с d и от функции, разрывной в точке с <c< : если существуют оба интеграла, стоящие в правой части равенства. Для несобственных интегралов -го рода справедливы те же утверждения, что и для несобственных интегралов -го рода: Теорема 5.признак сравнения. Пусть функции и φх непрерывны при < и имеют разрыв при. Пусть, кроме того, при [,. Тогда: если интеграл d сходится, то сходится и интеграл d ; если интеграл d расходится, то расходится и интеграл d. Теорема 5.. Если знакопеременная функция, непрерывная на [, и имеющая разрыв при, и если d сходится, то сходится и интеграл d. Замечание. Эти теоремы доказываются так же, как теоремы 5. и 5.. Замечание. При выполнении условий теоремы 5. несобственный интеграл d называется абсолютно сходящимся, а функция абсолютно интегрируемой. Следствие из теоремы 5.. Если при, то при < Доказательство. d сходится, а при расходится. 5 PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp://

13 d d l ε ε Таким образом, интеграл, < ; d ll lε, ; ε l, ε ε d сходится при < и расходится при. >. Лекция 6. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Изоклины. Задача Коши. Теорема существования и единственности задачи Коши. Уравнения, в которые неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями. Подобными уравнениями описываются многие физические явления и процессы. Примеры. d k - уравнение радиоактивного распада k постоянная распада, х d d количество неразложившегося вещества в момент времени, скорость распада d пропорциональна количеству распадающегося вещества. d r d r F, r, - уравнение движения точки массы т под влиянием силы F, d d зависящей от времени, положения точки, определяемого радиус-вектором r, и ее dr скорости d. Сила равна произведению массы на ускорение. u u u ρ,, z - уравнение Пуассона, задающее зависимость между z многими физическими величинами. Например, можно считать, что u,,z потенциал электростатического поля, а ρ,,z плотность зарядов. Мы будем рассматривать уравнения, где неизвестная функция является функцией одной переменной. Такие уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Определение 6.. Уравнение вида F, u, u, u,..., u 6. называется обыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка. При этом порядком уравнения называется максимальный порядок входящей в него производной. PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp:// 5

14 Определение 6.. Функция, которая при подстановке в уравнение 6. обращает его в тождество, называется решением дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Рассмотрим уравнение вида d,. 6. d Можно показать, что общее решение такого уравнения зависит от одной произвольной постоянной. С геометрической точки зрения уравнение 6. устанавливает d зависимость между координатами точки на плоскости и угловым коэффициентом d касательной к графику решения в той же точке. Следовательно, уравнение 6. определяет некоторое поле направлений, и задача его решения состоит в том, чтобы найти кривые, называемые интегральными кривыми, направление касательных к которым в каждой точке плоскости совпадает с направлением этого поля. Примеры. d. В каждой точке, кроме начала координат, угловой коэффициент к искомой d интегральной кривой равен, то есть тангенсу угла, образованного с осью Ох прямой, проходящей через данную точку и начало координат. Следовательно, интегральными кривыми в данном случае будут прямые вида у сх рис.. у у х х Рис.. Рис.. d. В этом случае касательная в каждой точке плоскости перпендикулярна d направлению прямой, проходящей через эту точку и начало координат, так как угловые коэффициенты этих прямых удовлетворяют условию ортогональности: х у. Поэтому направление касательной в данной точке совпадает с у х направлением касательной к окружности с центром в начале координат, на которой лежит выбранная точка. Такие окружности и являются интегральными кривыми данного уравнения рис.. Часто для построения интегральных кривых удобно предварительно найти геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами. PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp:// 55

15 Изоклины уравнения d d задаются уравнениями k k, так как на каждой изоклине производная d d или должна сохранять постоянное значение. Полученные уравнения задают семейство концентрических окружностей с центром в начале координат, а угловой коэффициент касательной к интегральной кривой равен радиусу проходящей через данную точку окружности. Задача Коши для уравнения первого порядка. Как уже было сказано, общим решением уравнения 6. является все множество функций, обращающих при подстановке рассматриваемое уравнение в тождество. Пусть теперь требуется найти решение этого уравнения, удовлетворяющее условию у х у, 6. называемому начальным условием. Если общее решение уравнения 6. задается формулой у φ х, С, 6. то значение постоянной С, соответствующее поставленному начальному условию, можно определить, подставив в равенство 6. х х и у у. Определение 6.. Задача выбора из общего решения 6. уравнения 6. решения, удовлетворяющего начальному условию 6., называется задачей Коши, а выбранное решение называется частным решением уравнения 6.. Замечание. Если воспринимать множество всех решений уравнения 6. как множество интегральных кривых на плоскости, то ставится задача поиска той из них, которая проходит через точку с координатами х, у. Выясним, при каких условиях такая кривая существует и является единственной. Теорема существования и единственности задачи Коши. Рассмотрим предварительно метод приближенного решения дифференциальных уравнений, обоснование которого будет дано в приведенной ниже теореме. Метод Эйлера. Метод Эйлера заключается в том, что искомая интегральная кривая уравнения 6., проходящая через точку х, у, заменяется ломаной, каждое звено которой касается интегральной кривой в одной из своих граничных точек рис.. у h h O Рис. PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp:// 56

16 Пусть требуется найти приближенное значение искомого решения при. Разделим отрезок [,] на п равных частей полагаем, что > и назовем шагом вычисления h длину отрезка [ -, ]. Заменим на отрезке [, ] интегральную кривую отрезком ее касательной в точке х, у. Ордината этого отрезка при х х равна h, где у,. Так же найдем h, где, ; h, где, ; h -, где - -, -. Можно предположить, что при h построенные таким образом ломаные Эйлера приближаются к графику искомой кривой. Доказательство этого утверждения будет дано в следующей теореме: Теорема 6. теорема существования и единственности решения. Если в уравнении d, d функция, непрерывна в прямоугольнике D:, 6.5 и удовлетворяет в D условию Липшица:,, N, 6.6 где N постоянная, то существует единственное решение, H H,уравнения 6., удовлетворяющее условию 6., где H <,,, M, в D. M N Замечание. Нельзя утверждать, что искомое решение будет существовать при [, ], так как интегральная кривая может выйти из прямоугольника 6.5, и тогда решение может быть не определено. Замечание. Условие Липшица 6.6 можно заменить более сильным требованием, N в D. Тогда по теореме Лагранжа,,, ξ,, где ξ. Таким образом, ξ D и ξ N. Поэтому,, N. Доказательство теоремы 6.. Заменим уравнение 6. с начальным условием 6. эквивалентным интегральным уравнением, d. 6.7 o Легко проверить, что функция, обращающая в тождество уравнение 6., будет решением и уравнения 6.7. H Построим ломаную Эйлера у у п х, исходящую из точки х,у с шагом h на отрезке [, H] аналогично можно доказать существование решения на [ H, ]. Такая ломаная не может выйти за пределы D, так как угловые коэффициенты каждого ее звена по модулю меньше М. Теперь докажем последовательно три утверждения: Последовательность у у п х равномерно сходится. Функция l является решением интегрального уравнения 6.7. PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp:// 57

17 Решение уравнения 6.7 единственно. Доказательство. По определению ломаной Эйлера k, k при k k, k,,...,, или,,,. 6.8 k k Обозначим,, η, тогда в силу равномерной непрерывности в D k k k η,, < ε 6.9 k при > N ε, где ε при, так как k h, а k < Mh и H h при. Интегрируя 6.8 по х в пределах от х до х и учитывая, что, получим:, d η d. 6. Так как п любое целое положительное число, то для любого >, d η d, откуда,, d η d d η,, d d η η d. Тогда из 6.9 и условия Липшица следует, что N d ε ε H H. Следовательно, N d ε ε H, откуда ε ε H < ε ε > при > N ε, то есть H NH последовательность непрерывных функций у п х равномерно сходится при H к непрерывной функции. Итак, утверждение доказано. Доказательство. Перейдем в 6. к пределу при : l l, d l η d. 6. В силу равномерной сходимости у п х к и равномерной непрерывности, в D последовательность, равномерно сходится к,. Действительно,,, < ε при < δ ε, что выполняется при > N δ ε [, H ]. Следовательно, возможен переход к пределу под знаком интеграла. Учитывая, что η ε <, где ε при, получим из 6.: ε, d, o PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp:// 58

18 то есть удовлетворяет уравнению 6.7. Утверждение доказано. Доказательство. Предположим, что существуют два различных решения уравнения 6.7 у х и у х, то есть. Тогда, подставляя эти функции в H 6.7 и вычитая полученные равенства друг из друга, получим:,, d, откуда H H H,, d,, d.применим к этому неравенству условие Липшица: H NH H теоремы N H H. Если NH H H <. Следовательно, N d N H H H, то полученное равенство: противоречиво, так как по условию H, то есть у х у х. d Лекция 7. Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными, «однородных», линейных и сводящихся к ним.. Уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальные уравнения вида d d 7. называются уравнениями с разделяющимися переменными. Тогда любое решение ух этого уравнения будет удовлетворять и уравнению d d c, 7. где с произвольная постоянная. Если удается найти первообразные функций и, выраженные в элементарных функциях, то из 7. можно получить конечное уравнение вида Ф х, у, 7. которое определяет решение ух уравнения 7. как неявную функцию х. Определение 7.. Уравнение вида 7. называется интегралом уравнения 7., а если оно определяет все решения 7. общим интегралом этого уравнения. d d. Приведем уравнение к виду 7.: d d, откуда d d C. Проинтегрируем обе части равенства: l C. Полученное уравнение можно считать общим интегралом или решением исходного уравнения. PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp:// 59

19 Если требуется найти частное решение уравнения 7., удовлетворяющее условию ух у, достаточно подставить значения х и у в уравнение 7. и найти значение с, соответствующее начальному условию. Найти решение уравнения cg, удовлетворяющее условию у -. d s d Разделим переменные: c, -l -l cos - l c, cos c cos. Подставив в это равенство х и у -, получим, что с. Следовательно, искомое частное решение имеет вид: cos.. Уравнения, приводимые к уравнениям с разделяющимися переменными. d Если требуется решить уравнение вида, 7. d где а и постоянные числа, то с помощью замены переменной z оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными: dz d dz dz, z, d. d d d z dz. Замена: z, тогда d z интеграл в левой части равенства: замена udu u u с. Вычислим u z, z u, dz udu приводит к du u l u z l z l. Проинтегрировав теперь правую часть равенства, получим общий интеграл: х у l х с.. Однородные уравнения. К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка, имеющие вид: d. 7.5 d Действительно, замена или приводит к d d d d, d, d d d d, l l c, ce. Еще одной формой однородного уравнения является уравнение M, d N, d, 7.6 если Мх,у и N, однородные функции одинаковой степени однородности. При d M, этом. d N, d PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp:// 6

20 d ² ². Преобразуем уравнение к виду 7.5: ² ²,, d d d d d. После замены получим:,, d d d d d c,, d l l l C, С e, C e. В однородные можно преобразовать и уравнения вида d c 7.7 d c с помощью замены Х х х, Y, где х, у решение системы уравнений c, c. C геометрической точки зрения производится перенос начала координат в точку d dy пересечения прямых c и c. Тогда, поскольку, d dx в новых переменных уравнение примет вид: Y dy X Y dy dx или Y X - однородное уравнение. X Y dx Y X X d у d d. Запишем уравнение в виде. Решением d системы у, х у будут х, у -. В новых переменных Х х, dy Y Y получим однородное уравнение, которое можно решить с dx X Y d d помощью обычной замены Y X. Тогда X, X, dx dx d dx, X dx d c X, l l X l C, и после обратной замены общий интеграл выглядит так: C. Заметим, в это общее решение входит при С и частное решение у х, которое могло быть потеряно при делении на у х.. Линейные уравнения. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида d p, 7.8 d линейное относительно неизвестной функции ух и ее производной. При этом будем предполагать, что рх и непрерывны. В случае, когда, уравнение 7.8 называется однородным. Такое уравнение является уравнением с разделяющимися переменными: d d p, откуда p d, l d p d l c, p d Ce.7.9 PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp:// 6

21 При делении на у могло быть потеряно решение у, но оно входит в общее решение при С. Для решения неоднородного уравнения 7.8 применим метод вариации постоянной. Предположим, что общее решение уравнения 7.8 имеет форму 7.9, в которой С не постоянная, а неизвестная функция аргумента х: p d C х e. Тогда d dc p d p d e C p e. Подставив эти выражения в уравнение 7.8, d d получим: dc p d p d e C p e рх p d C х e, откуда dc d d e p d, C e p d d c, ce p d e p d e p d d. 7. Замечание. При решении конкретных задач удобнее не использовать в готовом виде формулу 7., а проводить все указанные преобразования последовательно. Найдем общее решение уравнения у х х². Представим уравнение в виде: - ³ и решим соответствующее однородное уравнение: -. d d d, d, d C,l l C, Ce. Применим метод d вариации постоянных: пусть решение неоднородного уравнения имеет вид: d C e, тогда C e C e. Подставим полученные выражения в d уравнение: C e C e C e. Следовательно, C e, C e d e d e d e e d e e c e e При этом общее решение исходного уравнения e e c e ce. К линейным уравнениям можно свести с помощью замены некоторые другие дифференциальные уравнения, например, уравнение Бернулли: c. d п p у, п. d Разделив на у п п d п, получим: у p, а замена z -, d приводит к линейному уравнению относительно z: dz p z. d dz d 7. d d d cos g, g cos, g cos. Сделаем замену: d dz d z,. Относительно z уравнение стало линейным: z zg cos. d d dz dz s d Решим однородное уравнение: zg,,l z l cos l C, d z cos dz z C cos. Применим метод вариации постоянных: z C cos, C cos d PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp:// 6

22 C cos s. Подставим эти результаты в неоднородное уравнение: d C cos C cos s C cos g cos, C, C cos cos g c. Окончательно получаем: g ccos c cos s cos. Дополним это общее решение частным решением у, потерянным при делении на у. Лекция 8. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка. Рассмотрим дифференциальное уравнение п-го порядка: F,,,,, 8. где F предполагается непрерывной функцией всех своих аргументов. Тогда по теореме о существовании неявной функции см. лекцию можно разрешить это уравнение относительно старшей производной: у п,,,, - 8. и сформулируем для него без доказательства теорему существования и единственности решения: Теорема 8.. Существует единственное решение уравнения 8., удовлетворяющее условиям,,...,, 8. если в окрестности начальных значений х, у, у,, у п- функция является непрерывной функцией всех своих аргументов и удовлетворяет условию Липшица по всем аргументам, начиная со второго. Замечание. Так же, как и для дифференциального уравнения -го порядка, задача отыскания решения уравнения 8., удовлетворяющего условиям 8., называется задачей Коши. Замечание. Теорема 8. утверждает существование частного решения уравнения 8., удовлетворяющего данным начальным условиям. С геометрической точки зрения это соответствует существованию интегральной кривой, проходящей через точку,,,...,. Но, используя эту теорему, можно доказать и существование общего решения уравнения 8., содержащего п произвольных постоянных и имеющего вид:, C, C,..., C 8. или, в неявной форме: Φ,, C, C,..., C. 8.5 PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp:// 6

23 Соотношение 8.5 будем называть общим интегралом уравнения 8. или 8.. Уравнения, допускающие понижение порядка. В некоторых случаях порядок дифференциального уравнения может быть понижен, что обычно облегчает его интегрирование. Рассмотрим несколько типов подобных уравнений.. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных по порядок k включительно: k k F,,,...,. 8.6 В этом случае можно сделать замену р у k, которая позволяет понизить порядок уравнения до k, так как после замены уравнение примет вид k F, p, p,..., p. Из этого уравнения можно найти р р х, С, С,, С -k, а затем найти у с помощью интегрирования k раз функции р р х, С, С,, С -k. Уравнение при замене p становится уравнением -го порядка относительно р: p p, откуда d, C, p. Тогда p p C d p d C l C C, d l C C d l C d C C l C d C C l C C C C C C C Cl C C l.. Уравнение не содержит независимой переменной: F,,,. 8.7 Порядок такого уравнения можно понизить на единицу заменой у ру. При этом производные функции по аргументу х нужно выразить через производные р по у: d d dp dp d p, p p и т.д. d d d d d. Пусть p, p p, тогда pp p. Отметим частное решение р, то есть, C. Если, p после сокращения на р получим dp d p C, d, rcg C, Cg C C. C C C d,. Уравнение F х,,,, однородно относительно аргументов,,,, то есть справедливо тождество p F, k, k, k,..., k k F,,,,...,. В этом случае можно понизить порядок уравнения на единицу, вводя новую неизвестную функцию z, для которой zd zd zd e. Тогда e z, e z z и т.д. PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp:// 6

24 PDF creed wh FePr pdfcor rl verso hp:// 65

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.С. Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ МИНИСТЕРСТВО НАУКИ и ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ВС Черномырдина КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ и ФИЗИКИ ЕФ КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Определенный интеграл Несобственные интегралы

Определенный интеграл Несобственные интегралы Математический анализ Тема: Определенный интеграл Несобственные интегралы Лектор Пахомова Е.Г. 2017 г. ГЛАВА II. Определенный интеграл и его приложения 1. Определенный интеграл и его свойства 1. Задачи,

Подробнее

6.7. Определенный интеграл и его свойства

6.7. Определенный интеграл и его свойства 7 Определенный интеграл и его свойства Определенный интеграл Пусть функция f ( ) определена на отрезке [,] и пусть i (i,,n )- совокупность точек этого отрезка, таких, что n Назовем эту совокупность точек

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной

РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной РАЗДЕЛ 5 Интегральное исчисление функций одной переменной Материалы подготовлены преподавателями математики кафедры общеобразовательных дисциплин для системы электронного дистанционного обучения Содержание

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

dx = F (+ ) F (a) (8.37)

dx = F (+ ) F (a) (8.37) 8.9. Несобственные интегралы До данного момента рассматривались определенные интегралы для случая конечного промежутка интегрирования (отрезка) [, ] и интегрируемой функции на нем. Расширим область применения

Подробнее

. Если промежуток времени ti

. Если промежуток времени ti Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла ) Пусть тело движется с переменной скоростью v( t ) Найти путь, пройденный телом за промежуток времени [ ; ] Разобьем отрезок

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n d lm n m Δõ ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4)

Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Лекция 26 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ(4) Вычисление площадей плоских фигур Площадь в полярных координатах Вычисление объемов тел Вычисление объема тела по известным

Подробнее

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Тема 12. Определенный интеграл. Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Тема Определенный интеграл Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Задача о вычислении площади криволинейной трапеции В системе координат Оху дана криволинейная трапеция,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла J n lm n m Δх 0 f ξ Δ Геометрический смысл определённого интеграла площадь криволинейной трапеции Физический смысл определённого

Подробнее

4 2dx. cos. Решение типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание 1. Вычислите неопределенный интеграл I 1 x cos x x 4

4 2dx. cos. Решение типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание 1. Вычислите неопределенный интеграл I 1 x cos x x 4 I типового варианта «Интегральное исчисление функций одной переменной» Задание Вычислите неопределенный интеграл I cos d 9 Представим данный интеграл I в виде суммы интегралов: d I cos d d d 9 Используя

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Лекция 7 Несобственные интегралы Несобственными интегралами называются определенные интегралы, для которых не выполнено хотя бы одно из условий существования определенного (собственного) интеграла: )либо

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Определённый интеграл Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. Национальный

Подробнее

задана на отрезке [ ab ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками a x0 x

задана на отрезке [ ab ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками a x0 x ГЛАВА ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Свойства определенного интеграла Пусть функция y f ( ) задана на отрезке [ ], и произведено разбиение этого отрезка на n частей точками n n Интегральной суммой функции f( )

Подробнее

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет»

Тема13. «Ряды» Министерство образования Республики Беларусь. УО «Витебский государственный технологический университет» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной . Основные

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 15. Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла.

ЛЕКЦИЯ N 15. Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла. ЛЕКЦИЯ N 5 Методы вычисления определенного интеграла, приложения определенного интеграла Замена переменной в определенном интеграле Интегрирование по частям в определенном интеграле Интегрирование нечетных

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. Составитель:В.П.Белкин. Лекция 1. Определенный интеграл ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Составитель:ВПБелкин Лекция Определенный интеграл Вычисление и свойства определенного интеграла Определенным интегралом функции f ( ) по отрезку [, ] называется число, обозначаемое

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций.

Приближенное вычисление определенных интегралов. 1. Формула трапеций. ЛЕКЦИЯ N 7. Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы. Приближенное вычисление определенных интегралов..... Формула трапеций.....формула парабол.... Несобственные интегралы....

Подробнее

Тема6. «Определенный интеграл»

Тема6. «Определенный интеграл» Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема6. «Определенный интеграл» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б.Дуниной

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ. В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы»

51 Методические указания к выполнению контрольной работы 3 «Неопределенный и определенный интегралы» Методические указания к выполнению контрольной работы «Неопределенный и определенный интегралы» Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования

Подробнее

Математический анализ_ уч.год. ТЕМА 1. Пределы последовательностей и функций

Математический анализ_ уч.год. ТЕМА 1. Пределы последовательностей и функций Математический анализ_- уч.год ТЕМА. Пределы последовательностей и функций Если lim ( ), то функция (х) называется бесконечно большой функцией в точке х= бесконечно малой функцией в точке х= постоянной

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новгородский государственный университет имени

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Примеры решения задач 1. Постоянная функция f(x) = C интегрируема на [a, b], так как для любых разбиений и любого выбора точек ξ i интегральные

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 5,6. Краткие теоретические сведения., называется первообразной функцией функции f (x) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Краткие теоретические сведения Функция F () производная от которой равна данной функции f () т е F ( ) f ( ) называется первообразной функцией функции

Подробнее

. Предполагается, что эта величина аддитивна, т. е. точкой с [ a,

. Предполагается, что эта величина аддитивна, т. е. точкой с [ a, Лекция 0 Приложения определённого интеграла Приложения определённого интеграла Метод интегральной суммы Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или физической величины A (площадь фигуры,

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для студентов 1 курса физического факультета

Подробнее

Рис. 12. точке. Рассмотрим вопрос о длине дуги l кривой, заданной y f (x), a x b. Впишем в данную гладкую кривую ломаную линию A M

Рис. 12. точке. Рассмотрим вопрос о длине дуги l кривой, заданной y f (x), a x b. Впишем в данную гладкую кривую ломаную линию A M Лекция подготовлена доц Мусиной МВ Приложения определенного интеграла Длина дуги кривой Определение Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 07 07 Кафедра «Высшая

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Учебное пособие. Часть 2. Е.А. Алашеева

МАТЕМАТИКА. Учебное пособие. Часть 2. Е.А. Алашеева ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ» Кафедра высшей математики

Подробнее

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ(

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ( Лекция.. Интегральное исчисление Неопределенный интеграл Определение Функция F) называется первообразной для функции f) на отрезке [;], если для всех [;] выполнено равенство F)f) Примеры f ) F ) Замечание

Подробнее

Лекция Несобственные интегралы

Лекция Несобственные интегралы Лекция..9. Несобственные интегралы Аннотация: Рассматриваются несобственные интегралы первого и второго рода. Вводится понятие главного значения несобственного интеграла. Определенный интеграл был введен

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл

Подробнее

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР )

ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР ) ВОПРОСЫ К ПЕРВОЙ ЧАСТИ ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ (I КУРС, ВЕСЕННИЙ СЕМЕСТР 2007-2008) 1 Сформулируйте определение шаровой окрестности точки пространства R 2 Сформулируйте определение прямоугольной

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Δ = i i Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Основные понятия и теоремы 1. Интегральные суммы и определенный интеграл. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a, b] (где a < b). Произвольное

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Вопросы и задачи по математическому анализу

Вопросы и задачи по математическому анализу Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СР Свирщевский Вопросы и задачи по математическому

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

РАЗДЕЛ V. Интегральное исчисление функций одной переменной. Введение

РАЗДЕЛ V. Интегральное исчисление функций одной переменной. Введение РАЗДЕЛ V Интегральное исчисление функций одной переменной Введение «Ни для кого не секрет, что математику учат, решая задачи, а не наблюдая, как их решают другие». М.Рид, В. Саймон, Методы современной

Подробнее

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Амурский государственный университет» Кафедра

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Украины Севастопольский национальный технический университет ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов всех специальностей очной формы

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий Разделы Интегральное

Подробнее

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx.

b lim b a f x dx, то он называется несобственным f x dx, при этом говорят, что интеграл f x dx. Тема курса лекций: НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. Лекция 5. Понятие несобственного интеграла -го рода, его вычисление. Критерий сходимости. Интегралы от положительных функций. Признаки сравнения, абсолютная

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально,

I курс, задача 1. Докажите, что функция Римана. 1, если x 0, 1 R( x), если x, m, n, m 0, и дробь несократима, 0, если x иррационально, I курс, задача. Докажите, что функция Римана, если 0, m m R( ), если, m,, m 0, и дробь несократима, 0, если иррационально, разрывна в каждой рациональной точке и непрерывна в каждой иррациональной. Решение.

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК)

Федеральное агентство по образованию. Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Подробнее

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур.

1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур. . ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.. Вычисление площадей плоских фигур. Прямоугольные координаты Как уже было установлено, площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс

Подробнее

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл

Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл Интегрируемость функции (по Риману) и определенный интеграл 1. Для данных функций на указанных сегментах найдите верхнюю S и нижнюю s суммы Дарбу при разбиении сегментов на n равных частей: а) f(x) = x

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I. Лекции 1 2 Определители и матрицы. Лекция 1 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Подробнее

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля.

Лекция 19. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Подробнее

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год

Составитель: доц. Никонова Т.В. 2012/2013 учебный год Практические занятия по курсу высшей математики (II семестр) на основе учебного пособия «Сборник индивидуальных заданий по высшей математике», том, под ред Рябушко АП для студентов дневной формы обучения

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических

Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определенного интеграла. При решении инженернотехнических задач порой бывает необходимо вычислить среднее значение

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Методические указания к самостоятельной подготовке за второй семестр по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 09 Содержание.

Подробнее

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл

( ) S -1. Решение Если α 1, то. Следовательно. В случае α = 1 имеем. сходится при α > 1 и расходится при α 1. Итак, интеграл 89 Решение Если, то Следовательно В случае имеем Итак, интеграл d d lim ( ) lim lim d > < d liml lim l d сходится при > и расходится при Пример Исследовать на сходимость интеграл По формуле (), полагая

Подробнее

Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения

Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения Методические указания для студентов заочного факультета, обучающихся по ускоренной программе в филиалах ИГТА Министерство образования Российской федерации

Подробнее

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ].

Лекция 8. Определённый интеграл. Определенный интеграл Римана. Пусть f ( x ) некоторая функция, определенная на отрезке [ a, b ]. Лекция 8 Определённый интеграл Определенный интеграл Римана Пусть f ( ) некоторая функция, определенная на отрезке [, ] Произведем разбиение R отрезка [, ] на п частей: = < 1 < K < n = Выберем на каждом

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D.

2. Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения. , т.е. (, ) f xy M в D. Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f ( ) d =,, () = Функция f (, ) задана в области G плоскости (,

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Первообразная функции и неопределенный интеграл.. Определение. Функция F (x) дифференцируема на ( a, b)

Первообразная функции и неопределенный интеграл.. Определение. Функция F (x) дифференцируема на ( a, b) Лекция подготовлена доц Мусиной МВ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функции и неопределенный интеграл В прошлой главе мы ввели понятие производной и научились находить производные элементарных функций

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида

xdx, где m, 22. Какие существуют методы нахождения интегралов вида sin xcos R x, a x dx? 23. Какие существуют методы нахождения интегралов вида 1. Что такое первообразная для функции? 2. Для каких функций существуют первообразные? 3. Как связаны между собой две первообразные для одной и той же функции? 4. Что такое неопределённый интеграл от функции?

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 12-13

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 12-13 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекции 1-13 Вычисление

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора.

ЛЕКЦИЯ N 27. Степенные ряды и ряды Тейлора. ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Подробнее

Теоретичеcкие вопроcы и задачи

Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Теоретичеcкие вопроcы и задачи Дифференциальное иcчиcление функции неcкольких переменных. Дайте определение раccтояния (, b ) между точками, b, q докажите cвойcтва функции

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x)

.3 Вычисление длины кривой. Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат. Пусть функция y = f( x) 6 3 Вычисление длины кривой Длина дуги плоской кривой в прямоугольной системе координат Пусть функция = f определена и непрерывна на отрезке [ ; ] и кривая l график этой функции Требуется найти длину дуги

Подробнее

А.П. Потапов. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Оглавление

А.П. Потапов. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Оглавление АП Потапов Интегральное исчисление функций нескольких переменных Оглавление Глава Кратные интегралы Двойной интеграл Вычисление объема цилиндрического тела Понятие двойного интеграла 3 Условия интегрируемости

Подробнее

1. Определенный интеграл: основные понятия, свойства, способы вычисления

1. Определенный интеграл: основные понятия, свойства, способы вычисления Определенный интеграл: основные понятия, свойства, способы вычисления К понятию определенного интеграла приводит рассмотрение различных задач геометрии, физики, техники Простейшей из них является задача

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ГЕОМЕТРИИ И ЭКОНОМИКЕ Для студентов экономических специальностей Составил В С Мастяница ГЛАВА Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная Неопределѐнный интеграл Методы

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Министерство образования Республики Беларусь КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования Республики Беларусь "Высший государственный колледж связи" Кафедра Математики и физики КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть Минск 5 г РАЗДЕЛ 4 Функции нескольких переменных

Подробнее

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды»

«Интегральное исчисление функции одной переменной. Функции двух переменных. Дифференциальные уравнения. Ряды» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Новосибирский технологический институт филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

Подробнее