ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ"

Транскрипт

1 А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

2 ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского совета ПГПИ им СМ Кирова Рецензент: Медведева ИН, кандидат физ мат наук, доцент кафедры алгебры и геометрии ПГПИ им СМ Кирова Кирсанов АА К Задачник-практикум по линейной алгебре Матрицы Детерминанты Системы линейных уравнений Псков: ПГПИ, - с Учебно-методическое пособие предназначено для проведения практических занятий и выполнения самостоятельных заданий по теме «Матрицы, детерминанты и системы линейных уравнений» в курсе линейной алгебры К Издано в авторской редакции Псковский государственный педагогический институт им СМ Кирова, (ПГПИ им СМКирова), Кирсанов АА, PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

3 Матрицы Таблица чисел (вещественных или комплексных) m m называется прямоугольной матрицей порядка Элементы,, n n, () mn m n i,i,, in образуют i -ю строку, а элементы j, j mj - j -й столбец матрицы Элемент ij лежит на пересечении i -й строки и j -го столбца матрицы и мы будем всегда иметь в виду, что первый индекс обозначает номер строки, второй - номер столбца В некоторых случаях матрицу () удобнее записать в виде m m n n () m n В данном случае индекс стоящий вверху обозначает номер строки, внизу - номер столбца Если число строк совпадает с числом столбцов, те m n, то такая матрица называется квадратной матрицей порядка n В частности при n мы имеем квадратную матрицу состоящую из одной строки и одного столбца - просто число Матрицу, состоящую из одной строки ( ) n будем называть матрицей строкой длины n, а матрицу, состоящую из одного столбца PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

4 m будем называть матрицей столбцом высоты m Используя приведённые выше обозначения можно матрицу () записать так: ( ) или n () m В качестве примера матрицы строки (матрицы столбца) мож- но представить упорядоченную пару чисел ( ) или представляющие собой, например, матричную запись вектора r r r e e Матрицу будем называть нулевой O, если все её элементы равны нулю Например: O, ( ) O, O Если строки матрицы B состоят из соответствующих столбцов матрицы, те ik ki, матрицу B будем называть транспонированной по отношению к матрице и обозначать как T B Заметим, что T T T B ( ) Если квадратная матрица, то её элементы,,, образуют главную диагональ матрицы и называются диагональны- nn PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

5 ми, а их сумма называется следом матрицы и обозначается как tr или Sp Например:, tr Если все элементы квадратной матрицы кроме диагональных равны нулю, то матрицу будем называть диагональной Например: Диагональную матрицу у которой элементы на главной диагонали равны единице назовём единичной матрицей и обозначим как E Например: E Пусть M множество матриц размера m n Определим m n на этом множестве линейные операции сложения матриц и умножения матрицы на число из поля K Суммой двух матриц B M m n, будем называть матрицу C M m n, C B, если элементы матрицы C связаны с соответствующими элементами матриц и B соотношениями Произведением числа λ K и матрицы M m n будем называть матрицу, элементы которой определены соотношениями ik λ B M m n ik c ik ik ik PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

6 Матрицу ( ) будем называть матрицей противоположной матрице С помощью понятия линейных операций мы можем из матриц i M m n и чисел α K составить линейную комбинацию i α α α снова принадлежащую k k () M m n Если какая-то матрица представлена в виде линейной комбинации (), то мы можем сказать, что она разложена по матрицам линейной комбинации α α α k k Нулевая матрица O всегда может быть разложена в линейную комбинацию () если положить все α Такая комбинация называется тривиальной Систему матриц i M m n i будем называть линейно независимой, если нулевая комбинация раскладывается по ней однозначно, те если α α α O, () k k i то все α, в противном случае () называется линейно зависимой комбинацией Строки (столбцы) любой матрицы мы можем рассматривать как матрицы строки (матрицы столбцы) Составляя из них линейные комбинации мы можем определить их линейную зависимость или независимость Для некоторых матриц и B может быть определено их произведение B Это возможно если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй Так, если матрица имеет размеры m n, а B имеет размеры n q, то матрица C B будет иметь размер m q, а её элементы будут определены соотношениями PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

7 c ij n k ik kj, i,, m, j,, q () B B, те матри- Следует отметить, что в общем случае цы и B не коммутируют Если окажется, что B B, то тогда говорят, что матрицы и B коммутируют Над строками (столбцами) матриц можно совершать элементарные преобразования: а) умножение строки (столбца) на число α ; б) прибавление одной строки (столбца) к другой строке (столбцу) Более сложные преобразования, которые могут быть сведены к элементарным преобразованиям: прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца) в) умноженным на число α ; г) вычитание строк (столбцов); д) перестановка двух строк (столбцов) Отличие числа α от нуля обеспечивает обратимость элементарных преобразований Каждое элементарное преобразование строк (столбцов) матрицы размеров m n равносильно умножению матрицы слева (справа) на некоторую квадратную матрицу S прядка m ( n ), причём матрица S не зависит от матрицы, а полностью определяется выполняемым ею преобразованием Матрицу S будем называть элементарной матрицей Квадратную матрицу с линейно зависимыми строками (столбцами) будем называть вырожденной Примерами вырожденных матриц могут служить матрицы с нулевой строкой или двумя пропорциональными строками Важными примерами невырожденных матриц могут служить единичная матрица и элементарные матрицы С помощью элементарных преобразований каждая невырожденная матрица может быть сведена к единичной, а каждая вырожденная может быть сведена к матрице с последней нулевой строкой PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

8 Каждая невырожденная матрица имеет обратную матрицу такую, что E Вырожденная матрица не имеет обратной Пусть в матрице размера m n существует линейно независимая система из r строк и нет линейно независимой системы из большего числа строк В этом случае говорят, что матрица имеет ранг r : Rg r В матрице в этом случае найдётся и r линейно независимых столбцов, а значит, и невырожденная квадратная подматрица размера r Линейно независимую систему столбцов (строк) матрицы будем называть базисными столбцами (строками) Каждый столбец (строка) матрицы раскладывается в линейную комбинацию её базисных столбцов (строк Линейные зависимости между столбцами матрицы не меняются при элементарных преобразованиях строк Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях матрицы Ранг произведения двух матриц не превосходит рангов сомножителей Матрица размеров m n называется упрощённой, если некоторые r её столбцов являются первыми r столбцами единичной матрицы порядка m, а в случае m > r её последние m r строк нулевые B Решение Нам даны две матрицы строки одинакового размера и, следовательно, можно определить их сумму Сложить матрицы ( ) и ( ) C B ( ) ( ) ( ) ( ) PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

9 Даны матрицы и B Найти их линейную комбинацию B Решение Заданы квадратные матрицы одного порядка и мы можем составить их линейную комбинацию B Вычислить линейную комбинацию матриц: ; ; i i i i ; ( ) ( ) Дана матрица Какую матрицу B нужно прибавить к данной матрице, чтобы получить единичную матрицу E Решение Искомая матрица может быть определена из уравнения E B, или PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

10 E B Найти матрицу X если: ( ) ( ) X ; X ; X ; i i X i i Найти матрицу транспонированную к матрице f e d c Решение Строки транспонированной матрицы T состоят из соответствующих столбцов матрицы f c e d T Транспонировать матрицы: ( ) e e e e ; cos sin sin cos ; i i ; PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

11 ; Вычислить произведение матриц: ( ) и B ; C и ( ) D, E и F Решение Число столбцов матрицы равно числу строк матрицы B и мы можем составить их произведение: ( ) ( ) ( ) B В данном случае число элементов в столбце матрицы C и число элементов в строке матрицы D могут быть произвольными В результате перемножения матриц, получится матрица размера : ( ) D C Данный пример показывает, что матрицу строку можно умножить на матрицу столбец только в том случае, когда длина первой равна высоте второй Произведение матрицы столбца на матрицу строку возможно всегда, так как число столбцов первой матрицы всегда равно числу строк второй Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй и мы можем составить их произведение: PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

12 E F Вычислить произведение матриц: ; ; ( ) ; ( ) ( ) ; ; ; n ; ; n Проверить непосредственным вычислением, что ( ) T T T B B, если, B ; и B Найти произведение матриц АВ и ВА, если и B ; и B ; PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

13 и B ; α α α α cos sin sin cos и β β β β cos sin sin cos B Найти, если Найти значение матричного многочлена E, если, а E Найти значение матричного многочлена E, если, E В квантовой механике широко используются так называемые матрицы Паули: σ / /, σ / / i i, σ / / Составить таблицу умножения матриц Паули PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

14 σ σ σ σ σ i σ σ Решение σ σ / / i / i / i / / i i / i σ / В теории матриц выражение вида [ B] B B, называют коммутатором матриц и B Вычислить коммутаторы матриц Паули: [ ],σ σ, [ σ ], [ ],σ σ,σ Установить линейную зависимость или независимость строк (столбцов): e ( ) ); ( ) ( ) ; ( ) ; ( ) ; c ; ; c Решение Составим из данных строк линейную комбинацию равную нулевой строке: αe βe γe O, (*) или α β γ ( ) ( ) ( ) ( ) PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

15 С другой стороны α ( ) β( ) γ ( ) ( α ) ( β ) ( γ) ( α β γ) ( ) Линейная комбинация (*) равна нулю лишь при α β γ, что говорит о линейной независимости данных матриц строк Проверить линейную независимость матриц, B Решение Составим нулевую линейную комбинацию матриц и B : α βb O, или α α β β α β α β α β α α β β α β α β Эта запись равносильна системе из четырёх уравнений: α β, α β, α β, α β ; решение которой очевидно: α β независимы Матрицы и B линейно Проверить линейную независимость матриц:, B, C, D? Разложить матрицу C по матрицам и B из PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

16 Можно ли разложить матрицу D по матрицам и B из? Записать данные элементарные преобразования в виде произведения элементарных матриц: λ λ λ λ Решение В данном случае мы имеем три элементарные операции: умножение первой строки на λ ; прибавление первой строки ко второй и умножение первой строки на λ Эти операции соответствуют последовательному умножению исходной матрицы на элементарные матрицы, соответствующие указанным выше элементарным преобразованиям: λ λ, λ λ λ, λ λ λ λ Или λ λ λ Разложить данные матрицы в произведение элементарных матриц: ; B ; C, D PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

17 Решение Матрицу можно получить если у единичной матрицы к первой строке прибавить вторую, а затем умножить вторую строку на - Эти операции соответствуют произведению следующих элементарных матриц: Единичную матрицу можно не писать К каким преобразованиям строк (столбцов) приводят следующие элементарные матрицы: S ; S ; S ; S S S? Привести данные матрицы к единичной используя метод Гаусса-Жордана: ; B ; C ; D ; E Решение Так как на пересечении второй строки и первого столбца стоит, удобно будет поменять местами пер- PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

18 вую и вторую строку Далее вычтем из третьей строки первую, умноженную на Дальнейший ход решения понятен E Поступая как и в первом случае, получим: E Мы видим, что в третьей строке стоят одни нули Это говорит о том, что исходная матрица вырожденная Найти матрицы, обратные данным элементарным матрицам ; ; ; ; PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

19 Решение Припишем к данной матрице справа единичную матрицу такого же порядка, в результате чего получим матрицу B размера Элементарными преобразованиями строк преобразуем полученную матрицу так, чтобы обратить её левую половину в единичную, тогда правая половина обратится в матрицу Для получения решения нам достаточно поменять строки местами: B Мы получили в данном случае, что Это и понятно: матрица меняет местами строки, обратная к ней матрица возвращает их на место, те тоже меняет местами строки Заметим также, что Вычислить матрицы, обратные данным: ; ; ; ; ; ; PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

20 ; ; Найти матрицу X из уравнения: X ; X ; X ; X Решение X Мы имеем уравнение вида C X Если матрица невырождена, то умножив обе части данного равенства слева на получим: C X или C X Пусть, тогда B и C X Дать описание всех матриц ранга и PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

21 Могут ли существовать матрицы без базисного минора? Привести матрицы к упрощённому виду, определить базисные миноры и ранги Указать базисные строки и столбцы ; ; ; ; ; Решение При использовании метода Гаусса-Жордана удобно в качестве ведущего элемента взять, тк он уже равен Умножив первую строку последовательно на - и - прибавим её ко второй и третьей строкам соответственно Вычтя из третьей строки вторую и поменяв местами два последних столбца получим в верхнем левом углу единичную матрицу второго порядка являющуюся базисным минором Ранг данной матрицы равен, а в качестве базисных столбцов и базисных строк следует взять две первые строки и два первых столбца Третий столбец есть линейная комбинация базисных столбцов: (В качестве базисных столбцов можно взять второй и третий столбцы) Указать базисный минор, базисные строки и базисные столбцы невырожденной квадратной матрицы Чему равен ранг такой матрицы? PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

22 Вычислить ранг матрицы ( ) ; ( ) ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; * ; * ; * ; * ; * ; * PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

23 Решение * В левом верхнем углу мы получили единичную матрицу второго порядка Таким образом ранг исходной матрицы Rg, первые два столбца (строки) базисные Вычислить ранги матриц и B и ранги их произведения B ( ), B ;, B ; PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

24 , B Перестановки Числа,, n p,, p n будем называть перестановкой Например, числа, образуют две перестановки: ( ) и ( ) Числа, написанные в каком либо порядке ( ),, n образуют очевидно! n перестановок вида ( p,, ) p n Будем считать, что число p i нарушает порядок в перестанов- p,, p n, если оно стоит левее меньшего числа: i < k, но p k > pi ке ( ) Например в перестановке ( ) число p стоит перед числом p, что нарушает порядок следования натуральных чисел Явление нарушения порядка следования натуральных чисел будем называть инверсией В данном примере мы имеем одну инверсию Перестановку будем называть чётной, если она содержит чётное число инверсий и нечетной в противном случае Подсчитать число инверсий и определить чётность перестановки ( ); ( ); ( ); ( ); ( ); ( ); ( ); (n n- ) Решение ( ) Для подсчёта числа инверсий следует подсчитать, сколько для каждого числа имеется следующих за ним меньших его чисел и сложить найденные значения Таким образом для перестановки ( ) число инверсий будет Полученной число инверсий чётное, значит перестановка ( ) чётная PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

25 Детерминанты Каждой квадратной матрице порядка n можно сопоставить некоторое число, называемое детерминантом матрицы, обозначаемое через det, или n n n n nn () Основные формулы для вычисления детерминантов: ; c d d c ; c c c c c c c c c Пусть ik - элемент матрицы порядка n расположен в i -й строке и k -м столбце Назовём дополнительной подматрицей этого элемента матрицу D ik порядка n, полученную из вычёркиванием i -й строки и k -го столбца Например:, тогда D получен вычёркиванием в -й строки и -го столбца PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

26 Дополнительным минором (минором) элемента число dik ik ik назовём det D () Например: d Дополнительный минор d ik элемента ik матрицы порядка n взятый со знаком (, называется алгебраическим дополнением ik элемента ik ) i k i k ( ) ik ik d () Рекуррентные формулы: формула разложения детерминанта по i -й строке n i ( ) k k det ikdik () формула разложения детерминанта по j -му столбцу ( n i j det ) kjdkj () k Свойства детерминантов: При транспонировании матрицы её детерминант не меняется (свойство равноправности строк и столбцов) Если в квадратной матрице поменять местами две строки (столбца), оставив остальные на своих местах, то детерминант полученной матрицы будет равен детерминанту исходной матрицы с противоположным знаком (свойство антисимметрии при перестановке двух строк или столбцов) Если квадратная матрица имеет две одинаковые строки (столбца), то её детерминант равен нулю Детерминант матрицы n -го порядка равен сумме про- PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

27 изведений всех элементов какой нибудь одной фиксированной строки (столбца) на их алгебраические дополнения Сумма произведений элементов одной строки (столбца) матрицы n -го порядка на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю Если все элементы какой нибудь строки (столбца) матрицы n -го порядка умножить на число λ, то её детерминант так же умножится на это число Если матрица n -го порядка имеет две пропорциональные строки (столбца), то её детерминант равен нулю Если все элементы i -й строки матрицы n -го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых ik ik ik, k,,, n, (*) то её детерминант можно представить в виде суммы детерминантов двух матриц, у которых элементами i -й строки являются соответственно первая и вторая слагаемые разложения (*), а все остальные строки такие же, как у исходной матрицы Детерминант матрицы n -го порядка не изменится, если к элементам одной её строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на одно и тоже произвольное число Вычислить детерминанты матриц второго порядка: ; B ; C ; i D ; E ; F ; i G cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ; e H e PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

28 Решение В соответствии с основными формулами для вычисления детерминантов det Вычислить детерминанты матриц третьего порядка: ; B ; C ; D ; E ; i i i i F ; G ; H Решение В соответствии с основными формулами для вычисления детерминантов PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

29 det ( ) ( ) Решить относительно неизвестного λ уравнения: λ λ ; ; λ λ λ λ ; λ λ Решение λ λ или ( λ) ( λ) После раскрытия скобок и приведения подобных членов, получим: λ λ Решением этого уравнения будут: λ, λ Имеются ли в формуле для вычисления детерминанта матрицы пятого порядка ik слагаемые ; ; ;? Решение Расположим элементы в порядке возрастания первого индекса: Мы видим, что элементы и принадлежат одной строке (третьей) и нет элемента из пятой строки Такое слагаемое не может входить в формулу для вычисления детерминанта матрицы пятого порядка PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

30 С какими знаками входят в формулу для вычисления детерминанта пятого порядка слагаемые ; ; ;? Решение Расположим сомножители в данном слагаемом так, чтобы первые индексы расположились по порядку номеров, те Вторые индексы образовали перестановку ( ) число инверсий которой есть () число чётное Данное слагаемое входит в формулу для вычисления детерминанта пятого порядка со знаком плюс ) Как изменится детерминант, если в матрице переставить две строки? ) Как изменится детерминант, если к одной строке матрицы прибавить другую её строку? ) Как изменится детерминант, если одну строку в матрице умножить на число λ? ) Как изменится детерминант, если матрицу транспонировать? Вычислить алгебраические дополнения для элементов,,, матриц ; Решение, D, d det D, PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

31 ( ) ( ) ( ) d D, det D d, ( ) ( ) ( ) d Вычислить детерминанты матриц четвёртого порядка: d c ; d c B ; C ; D ; E ; F ; G ; t z y H ; PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

32 M ; N ; d d c c O ; P Решение d c Очевидно, что det будет линейной функцией от чисел d c,,,, в силу чего разложение матрицы лучше всего провести по -й строке ( ) ( ) ( ) ( ) det dd cd d d d d d c d d d c d, d, PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

33 d, d d c det Вычислить детерминанты матриц пятого порядка: ; B ; C ; D Числа,,, делятся на Объяснить без вычислений, почему число тоже делится на? PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

34 Системы линейных уравнений Систему уравнений вида, m n m n n n m n, n, или (используя правило суммирования Эйнштейна) вида i k i k, i,, m, k,, n, (*) будем называть системой m линейных уравнений с n неизвестными n,,, Коэффициенты при неизвестных уравнений () можно записать в виде матрицы размера m n : m m m, n n m n которую мы будем называть матрицей системы Числа стоящие в правых частях () образуют матрицу столбец:, m называемую столбцом свободных членов Матрица системы, дополненная справа матрицей свободных членов называется расширенной матрицей системы (), которую мы будем обозначать * : () PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

35 или * m m ( ) * n n m n, m Пользуясь понятием линейных операций со столбцами можно записать () как или короче: m m n n n, () m m n n n, () или ещё короче: i i, i,, n, () или совсем коротко: () Равенства () - () говорят о том, что столбец свободных членов раскладывается по столбцам i матрицы с коэффициентами i При этом, если столбцы матрицы линейно независимы, то система () не может иметь двух различных решений: она или несовместна (не имеет решений), или совместна - имеет решение и притом только одно Теорема Кронекера-Капелли Система линейных уравнений () совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы ( ) * PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

36 * При этом, если Rg Rg r, возможны два случая: r n, те число неизвестных равно числу уравнений и det, система имеет единственное решение, те она совместная и определённая r < n, система совместная и неопределённая Если Rg * > Rg - система () несовместная Если в системе () все свободные члены i равны нулю, те O, () то такая система называется однородной приведённой системой Очевидно, что однородная система совместна всегда, её решением будет, например, нулевая матрица столбец O Такое решение называется тривиальным Если ранг матрицы при этом равен n, тогда () имеет единственное тривиальное решение и других решений нет Если Rg < n, система () будет совместной, но неопределённой, те будет иметь бесконечно много решений Если система () имеет нетривиальные решения, мы можем выбрать несколько линейно независимых решений, таких, что любое решение () будет их линейной комбинацией Из столбцов линейно независимых решений мы можем составить матрицу F высоты n, которую будем называть фундаментальной матрицей системы () При этом будет выполняться равенство: F O Если ранг матрицы однородной системы линейных уравнений r < n, то система имеет фундаментальную матрицу из n r столбцов Если - некоторое решение системы (), а F - фундаментальная матрица её приведённой системы (), тогда столбец F c, () где c произвольная матрица столбец высоты n r, является решением системы () Правая часть () называется общим решением системы () Если f, f,, - столбцы фундаментальной мат- f n r PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

37 рицы системы (), а r n c c c,,, - произвольные постоянные, тогда () можно записать так: r n r n c c c f f f () Решить систему линейных уравнений:,,, Решение Мы не будем вычислять ранги матриц и * по отдельности Для решения поставленной задачи составим расширенную матрицу и упростим её с помощью элементарных преобразований ( ) * Мы видим, что * r Rg Rg и r n Данная система уравнений в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли совместная и неопределённая Первые два столбца полученной мат- PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

38 рицы образуют базисный минор Соответствующие этим базисным столбцам неизвестные и будут базисными неизвестными Неизвестные и, соответствующие второму и третьему столбцам будем называть параметрическими: они могут принимать произвольные значения, обеспечивая множество решений данной системы уравнений Исходную систему уравнений мы можем записать теперь так:,, где и - произвольные числа Решить систему линейных уравнений:,,, Решение Как и в примере составим расширенную матрицу и переставив местами вторую и третью строки упростим её: ( ) * Последняя строка равносильна записи: или, что невозможно и, таким образом, мы имеем несовместную систему уравнений PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

39 Рассмотрим решение поставленной задачи с точки зрения теоремы Кронекера-Капелли: * Rg > Rg и система уравнений несовместна На основании этого примера мы можем предположить, что если в упрощённой расширенной матрице есть строка ( ) - система уравнений будет несовместной Решить систему линейных уравнений:,, ;,,,,, z y z y z y При каких параметрах система уравнений совместна,, z y z y z y PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

40 При каких система уравнений совместная и определённая ( ),, z y z y z y Найти фундаментальную систему решений,,,,,,,,,,,,, PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

41 , Решение,,, В данном случае расширенная матрица * совпадает с матрицей коэффициентов системы Вычтем из второй строки матрицы третью и поменяем её местами с первой строкой: В верхнем левом углу мы получили базисный минор второго порядка, следовательно Rg и в качестве базисных неизвестных мы возьмём и, параметрические неизвестные и могут принимать любые значения Перепишем исходную систему в соответствии с упрощённой матрицей:, (*) Мы можем неизвестным и придать любые значения, но для получения фундаментальной системы решений мы должны позаботиться об их линейной независимости Этого легко достичь если из всего множества значений параметрических неизвестных PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

42 выбрать простейшие значения и, так, чтобы в фундаментальной матрице F в последних n r строках получилась единичная матрица Итак, положим сначала, а, тогда из (*) имеем, и первое фундаментальное решение есть ( ) T Полагая теперь, а, получим, и второе фундаментальное решение ( ) T Теперь мы можем записать фундаментальное решение данной однородной системы линейных уравнений в виде: X F c c c Фундаментальное решение можно записать и так: X c c Здесь c и c - произвольные числа Таким образом мы видим, что для любых значений c и c соответствующее решение будет линейной комбинацией фундаментальных решений PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

43 Найти решение системы линейных уравнений:,,,,,, Найти общее решение системы линейных уравнений:,,,,,,,, PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

44 ,,,,,, y z y, z y z y Решение,,, Будем искать общее решение данной системы линейных уравнений в виде: c F X X, где X - частное решение данной системы уравнений; PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

45 F - матрица, составленная из столбцов фундаментальной системы решений приведённой системы; c - матрица столбец высоты r n произвольных чисел Составим расширенную матрицу * данной системы и упростим её: Упрощённая расширенная матрица говорит о том, что * Rg Rg, r n, r n< Это значит, что в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли данная система уравнений совместная и неопределённая Упрощённая расширенная матрица соответствует системе уравнений,, (*) эквивалентной данной Здесь и - базисные неизвестные, а и - параметрические (свободные) неизвестные и (*) можно переписать так: PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

46 , (**) В качестве частного решения возьмём простейшее из решений системы (**), а именно, положим Тогда, а и частное решение есть X ( ) T Для нахождения фундаментальной системы решений составим из (*) приведённую систему, соответствующую левой части упрощённой расширенной матрицы:,, или, Полагая (см решение ), и затем, находим систему из двух фундаментальных решений: f ( ) T и ( ) T f Общее решение данной системы линейных уравнений будет: c X X F c c Решение y Мы имеем всего лишь одно уравнение с двумя неизвестными, которое тем не менее, мы можем рассматривать как систему линейных уравнений Будем искать общее решение также как и в п или * ( ) ( ) PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

47 y * Rg Rg, n r Частное решение будет ( ) T ( ) T f Общее решение данной системы будет X, фундаментальное - X c Дадим геометрическое толкование полученного решения Очевидно, что записав данное уравнение как y мы сразу увидим в нём хорошо известное из школьно курса уравнение прямой вида y k Частное решение X ( ) T мы можем рассматривать как координаты начальной точки данной прямой, а ( ) T f как компоненты направляющего вектора Прямая y проходит через точку X (,) параллельно вектору r r r f i j Система линейных уравнений задана расширенной матрицей Составить систему линейных уравнений явно и найти общее решение ; ; PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

48 ; ; Система линейных уравнений задана в виде линейного матричного уравнения Найти неизвестную матрицу X X ; X ; X ; X ; PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

49 X ; X ; X Решение X Запишем данное уравнение в общем виде: B X Исходя из правил умножения матриц, мы видим, что матрица X в данном случае не матрица столбец а матрица размеров, те X, где, как мы договорились ранее, индекс стоящий вверху обозначает номер строки, а индекс стоящий внизу обозначает номер столбца Данное линейное матричное уравнение мы можем рассматривать как две системы линейных уравнений: первой системе принадлежит первый столбец матрицы X и первый столбец матрицы B ; второй системе принадлежат соответственно вторые столбцы PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

50 указанных матриц Матрица коэффициентов у обеих систем одна и та же Будем искать решение поставленной задачи по известной нам схеме Составим расширенную матрицу * и с помощью элементарных преобразований строк упростим её: * ( B) Упрощённая расширенная матрица говорит о том, что * Rg Rg, n r, n < r Это значит, что в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли данная система уравнений совместная и неопределённая Упрощённая расширенная матрица соответствует системе уравнений или,,, Здесь и - параметрические неизвестные, а, и, - базисные неизвестные Полагая α, β, где α и β - произвольные числа, запишем решение данной системы в виде: α, α, α ; β, β, β Окончательно мы можем записать: α β X α β α β, PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

51 Решение X или B X Матрица X должна иметь вид X Мы снова имеем две системы линейных уравнений с тремя неизвестными В соответствии с решением приведённом выше, имеем: * Мы видим, что в упрощённой расширенной матрице есть строка ( ), а значит для системы со вторым столбцом матрицы B решений нет, значит нет решений и для матричной системы в целом Решение и В задаче надо исходное уравнение B X переписать используя операцию транспонирования: ( ) T T B X или T T T B X В задаче исходное уравнение C B X следует представить в виде C Y, где Y B X или T T T Y X B PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

52 Решение систем линейных уравнений методом Крамера Решить систему уравнений методом Крамера y, y Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и вычислим её детерминант ( ) Так как, система уравнений имеет единственное решение Вычислим детерминанты матриц, и y y ( ) Тогда, y, y Решить системы линейных уравнений методом Крамера: y, ; y, ; y, y y y Ответы: ; y ; ; y ; ; y PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

53 Решить систему линейных уравнений методом Крамера y z, y z, y z Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и вычислим её детерминант Так как, система уравнений имеет единственное решение Вычислим детерминанты матриц, y и z, y, z Тогда, y, y, z z PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

54 Решить системы линейных уравнений методом Крамера y z, y z, y z y z, y z, y z Ответы:, y, z ;, y, z Литература Беклемишева ЛА, Петрович АЮ, Чубаров ИА Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебра М: Наука, Беклемишев ДВ Курс аналитической геометрии и линейной алгебры М: ФМЛ, Гантмахер ФР Теория матриц М: ГИ ФМЛ, Гельфанд ИМ Лекции по линейной алгебре М: Наука, Милованов МВ, Тышкевич РИ, Феденко АС Алгебра и аналитическая геометрия Ч I Мн: PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

55 Содержание Матрицы Перестановки Детерминанты Системы линейных уравнений PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

56 К Александр Алексеевич Кирсанов ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Матрицы Детерминанты Системы линейных уравнений Учебно-методическое пособие Издательская лицензия ИД от года Подписано в печать г Формат х/ Объем издания в услпечл, Тираж экз Заказ Псковский государственный педагогический институт им СМКирова,, г Псков, пл Ленина, Редакционно-издательский отдел ПГПИ им СМКирова,, г Псков, ул Советская,, телефон -- Отпечатано в типографии газеты «Товары и цены» PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИП КАРАСЁВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рязань Министерство образования и науки Российской Федерации Рязанский

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

А. А. КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

А. А. КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА А А КИРСАНОВ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ПСКОВ ББК 57 К45 Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского совета ПГПИ им СМ Кирова Рецензент: Медведева ИН, кандидат физ мат наук, доцент

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца.

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца. ) Матрицы, основные определения ) Элементарная алгебра матриц ) Определители и их свойства 4) Обратные матрицы ) Матрицы, основные определения I Определения Совокупность элементов, расположенных в виде

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ Лекций ч. Практических занятий ч. Всего ч. Итоговый контроль экзамен. Проф., д.ф.-.м.н. Пантелеев Андрей Владимирович ЛИТЕРАТУРА. Беклемишев Д.В.

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Как изменится произведение B матриц и B если: а переставить -ю и j -ю строки матрицы? б переставить -й и j -й столбцы матрицы B? в к -й строке матрицы прибавить ее j -ю строку

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц.

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц. Введение Определители являются базовым инструментарием, который применяется в различных приложениях математики. Предмет изучения данной темы изучение понятия определителя, его свойств и способов вычисления,

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И.

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И. Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов Москва

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Определители. Определители второго порядка и их свойства.

Определители. Определители второго порядка и их свойства. Определители Определители второго порядка и их свойства Рассмотрим матрицу Определение Определителем (или детерминантом) второго порядка, называется число, определяемое по формуле: det Пример Вычислить

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Алгебра и теория чисел

Алгебра и теория чисел Московский международный институт эконометрики информатики финансов и права Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел Москва УДК ББК А Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел // Московский

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2)

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть ) Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 1 (самостоятельное изучение) Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка, его свойства Вычисление определителей 2-ого

Подробнее

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Математический анализ» А.П.

Подробнее