Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Кафедра высшей математики ГВУЗ "НГУ" matem.org.ua"

Транскрипт

1 matmorgua

2 Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Библиотека иностранного студента ЛВ Новикова ЕС Синайский ЛИ Заславская МАТЕМАТИКА Часть ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (в примерах и задачах) matmorgua Учебное пособие Днепропетровск НГУ 007

3 УДК 579(076) ББК 66я7 Н 7 Затверджено до видання навчально-методичним управлінням НГУ як навчальний посібник для студентів технічних спеціальностей різних форм навчання (протокол 0 від 9007) Н 7 Новікова ЛВ Сінайський ЄС Заславська ЛІ Математика У ч Ч Звичайні диференціальні рівняння (у прикладах і задачах): Навч посібник Д: Національний гірничий університет с Рос мов (Бібліотека іноземного студента) Посібник містить стислі теоретичні відомості та практичні рекомендації до розв`язування прикладів за темою «Звичайні диференціальні рівняння» Матеріал подано у формі розділів (модулів) усі задачі даються із розв`язуванням та доведені до відповіді Контрольні питання та вправи у кінці кожного модуля дозволяють визначити ступінь засвоєння навчального матеріалу Для студентів технічних вузів денної вечірньої заочної і дистанційної форм навчання а також для тих хто навчається екстерном Пособие содержит краткие теоретические сведения и практические рекомендации к решению примеров по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Материал представлен в форме разделов (модулей) все задачи даются с решениями и доведены до ответа Контрольные вопросы и упражнения в конце каждого модуля позволяют определить степень усвоения учебного материала Для студентов технических вузов дневной вечерней заочной и дистанционной форм обучения а также обучающихся экстерном matmorgua УДК 579(076) ББК 66я7 Новікова ЛВ Сінайський ЄС Заславська ЛІ 007 Національний гірничий університет 007

4 ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие подготовлено с целью повышения качества и прогнозирования результатов обучения иностранных студентов в областях знаний: разработка полезных ископаемых; информатика и вычислительная техника; машиностроение и металлообработка Пособие соответствует проекту НГУ об издании серии «Библиотека иностранного студента» авторами которого являются профессора кафедры высшей математики Новикова ЛВ и Мильцын АМ а также начальник управления международных связей профессор Рогоза МВ декан горного факультета профессор Бузило ВИ и директор ИЗДО профессор Рыбалко АЯ Серия содержит четырнадцать справочно-практических руководств к решению задач элементарной и высшей математики Содержание части «Обыкновенные дифференциальные уравнения» отвечает общему курсу высшей математики для технических специальностей Она вмещает следующие разделы: дифференциальные уравнения -го порядка (с разделяющимися переменными однородные линейные Бернулли); некоторые типы дифференциальных уравнений высших порядков допускающие понижение порядка; линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения -го и более высоких порядков с постоянными коэффициентами а также некоторые элементы теории систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами В начале каждого раздела помещены краткие теоретические сведения затем приводятся подробные решения типовых примеров доведенные до ответа Список литературы дает ссылки на учебники по которым возможно предварительное изучение теоретического материала Для справки в приложении приведены таблицы основных производных и интегралов Справочно-практическое руководство издается на русском языке что обусловлено договором между университетом и иностранными студентами о языке их образования Пособие может быть также использовано для самостоятельной работы и подготовки к модульному контролю студентов всех специальностей очной и заочной форм обучения matmorgua

5 СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ -ГО ПОРЯДКА 8 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 8 Однородные дифференциальные уравнения 5 Линейные дифференциальные уравнения Уравнения Бернулли ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Уравнения вида n f Уравнения не содержащие явно искомой функции 8 Уравнения не содержащие явно независимой переменной ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ -ГО И БОЛЕЕ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ 7 ЛОДУ -го порядка с постоянными коэффициентами 7 ЛНДУ -го порядка с постоянными коэффициентами 5 Метод неопределенных коэффициентов 5 Метод вариации произвольных постоянных 67 ЛОДУ п-го порядка с постоянными коэффициентами 70 matmorgua ЛНДУ п-го порядка с постоянными коэффициентами 7 5 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ -ГО ПОРЯДКА 8 Приложение ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ 9 Приложение ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 9 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 9 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 9

6 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Обыкновенным дифференциальным уравнением (сокращенно ОДУ или просто ДУ) называют уравнение которое содержит производные или дифференциалы искомой функции одной переменной Например: а) ln ; б) d d 0; в) ; d г) sin Существуют также дифференциальные уравнения с частными производными от неизвестной функции -х или более переменных В данном пособии такие уравнения не рассматриваются Порядком дифференциального уравнения называют порядок высшей производной (или дифференциала) от искомой функции входящей в уравнение Так в приведенных выше примерах а) и б) уравнения -го порядка а в) и г) -го порядка Формально ДУ п-го порядка записывают так: n F 0 () Отметим что в равенстве () обязательно присутствует старшая производная а прочие аргументы функции F (частично или даже все) могут n отсутствовать Например 0 дифференциальное уравнение -го порядка Решением обыкновенного дифференциального уравнения порядка п на некотором промежутке называют любую функцию дифференцируемую не менее чем п раз которая при подстановке (вместе с ее производными) в ДУ обращает его в тождество решением служит произвольные постоянные (прило- Пример Функция Действительно подставляя в данное ДУ приходим к тождеству: Пример Для ДУ -го порядка 0 функция cos sin где и Проверим это утверждение для чего найдем вторую производную жение ) и подставим и в ДУ: 5 d matmorgua является решением ДУ -го порядка и ее производную cos sin sin cos ;

7 sin cos cos sin cos sin cos sin 0 6 те 0 0 решени- Пример Проверить является ли функция ln ем уравнения d d 0 Решение Найдем дифференциал функции d d Подставим и d в заданное уравнение: ln d ln d ln d ln d ln d 0 ln d ln d 0 Пришли к тождеству Таким образом функция ln d d 0 ; те 0 0 решение ДУ Различают общее и частное решения ДУ Общее решение это решение которое содержит столько произвольных постоянных каков порядок уравнения при условии что количество постоянных не может быть уменьшено переобозначениями Например легко проверить (см пример ) что функции и являются решениями уравнения Однако произведя переобозначения или всякий раз получаем решение в виде Это и будет общее решение тк оно содержит столько произвольных постоянных каков порядок уравнения Если общее решение получено в неявной форме то его называют общим интегралом Частное решение (частный интеграл) получается из общего при определенных значениях всех или хотя бы нескольких произвольных постоянных matmorgua Пример Для ДУ -го порядка 0 cos sin является общим а cos как получено из общего при 0 Если положить например 0 получим частное решение этого уравнения имеем другое частное решение cos sin и тд (пример ) решение частным так Для отыскания частного решения задают дополнительные условия в которых могут участвовать значения искомой функции и ее производных в неко-

8 торых фиксированных точках оси Ох Если задают функцию и ее производные до (п )-го порядка в одной и той же точке то их называют начальными условиями Построение решения дифференциального уравнения удовлетворяющего начальным условиям составляет задачу Коши: нужно найти такое решение n которое удовлетворяет условиям 0 уравнения F 0 h0 0 h n 0 h n где 0 и h 0h h n известные числа Пример 5 Функция ( произвольная постоянная) тк Пусть задано начальное Подставив согласно этому условию и в общее общее решение ДУ условие решение получим: Это означает что частным решением отвечающим заданному начальному условию будет Геометрически каждое частное решение ДУ представляют линией на плоскости хоу которую называют интегральной кривой Общему решению соответствует совокупность (семейство) интегральных кривых Пример 6 Дифференциальное уравнение рассмотренное в примере 5 имеет общее решение Графически это семейство парабол с вершинами на оси Оу смещенных по вертикали относительно друг друга (рис ) Находя частное решение отвечающее начальному условию мы из семейства интегральных кривых выбираем только одну а именно ту линию которая проходит через точку ; M М matmorgua у О Рис у = х +5 у = х + х у = х 7

9 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ -ГО ПОРЯДКА Любое ДУ -го порядка формально записывают как F 0 Если это равенство можно разрешить относительно производной то оно приобретает вид f () или M d N d () 0 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Так называют ДУ в форме () или () если функции M и 8 f или N можно разбить на множители каждый из которых зависит только от одной переменной или В этом случае уравнения () и () запишутся соответственно: или f f () M d N N d 0 M () можно разделить В таких уравнениях с учетом тождества d d переменные те сделать так чтобы с одной стороны равенства стояла функция зависящая только от с множителем d а с другой стороны функция аргумента умноженная на d После разделения переменных необходимо обе части равенства проинтегрировать по соответствующей переменной Общее решение (общий интеграл) такого уравнения должно содержать одну произвольную постоянную Так для уравнения вида () разделив каждое matmorgua слагаемое на произведение M N M d N приходим к равенству N M d которое называют уравнением с разделенными переменными Проинтегрировав обе части полученного выражения получим общий интеграл исходного ДУ: M N d N M d Аналогично поступают и с уравнением () предварительно подставив

10 в него d : d d f d f d f f d d f f d Пример Решить ДУ собой произведение двух функций Решение Это уравнение вида () причем правая часть представляет f и f После замены d d d d оно приобретает вид равенство на d и разделим на d Приходим к ДУ с разделенными переменными d лу таблицы интегралов (приложение )) Умножим полученное которое необходимо проинтегрировать (см форму- d d Из полученного общего интеграла легко выразить в явном виде Таким образом общее решение заданного ДУ Полученный результат можно проверить подставляя и в заданное ДУ: те пришли к тождеству Отметим что проверку можно было осуществить продифференцировав общий интеграл matmorgua как функцию заданную неявно: 9

11 вернулись к исходному уравнению Пример Решить ДУ d d 0 Решение Это уравнение вида () где M M N Разделим равенство на произведение N и перенесем одно из слагаемых в правую часть уравнения Получим d d d d Переменные разделены теперь можно интегрировать (левую часть равенства по переменной правую по ): d d Оба интеграла вычис- ляются по формуле таблицы интегралов (приложение ) d d d d ln ln ln Произвольная постоянная выбрана здесь в виде ln для удобства чтобы иметь возможность упростить полученный результат пользуясь свойствами ln логарифмической функции: общий интеграл заданного ДУ ln ln ln ln Для проверки решения продифференцируем общий интеграл записав и пользуясь формулой udv : его предварительно в виде d uv vdu d Получили исходное ДУ matmorgua d 0 d d 0 и запишем в виде Пример Решить ДУ d d 0 Решение Разделим уравнение на произведение 0

12 d d Проинтегрируем обе части равенства используя формулы и таблицы интегралов (приложение ): arctg ln d d d d Последнее равенство и есть общий интеграл данного ДУ Пример Решить ДУ 0 Решение Разрешим уравнение относительно : или d d уравнение вида () в котором f а f Разделим теперь переменные домножив уравнение на d и поделив на : d d d d Интегралы сведем к табличным с помощью таких преобразований: d d d d d d d d Применяя теперь формулы и таблицы интегралов (приложение ) получим общий интеграл заданного ДУ: ln ln matmorgua

13 Пример 5 Решить задачу Коши 0 0 Решение Преобразовав уравнение к виду убедимся в том что оно допускает разделение переменных (правая часть произведение d функций f и f ) Заменим на умножим равенство на d и разделим на после чего произведем d интегрирование d d ln d d d d или ln общее решение ДУ Чтобы найти частное решение используем начальное условие те подставим Следова- в общее решение 0 : ln тельно частное решение имеет вид ln Пример 6 Решить ДУ d d Решение В уравнении можно разделить переменные и проинтегрировать его: d d d d d d d d исходного ДУ ln matmorgua это и есть общий интеграл Пример 7 Решить задачу Коши ln d Решение Заменяя на разделяя переменные и интегрируя нахо- d дим общий интеграл заданного уравнения:

14 ln ln d d ln ln d d ln d ln d ln d ln d Подставляем в полученное решение начальные условия ( ): ln Частный интеграл (решение задачи 0 ln Коши) принимает вид Пример 8 Решить задачу Коши 0 0 Решение Переходим от производной к дифференциалам и разделяем переменные d d d d 0 Интеграл от правой части равенства табличный от левой части вычисляем по частям (формула 7 приложения ): d u d dv Возвращаясь к уравнению получаем или ( 0 d d du d v d d общий интеграл Учитывая начальное условие ) определим значение произвольной постоянной: или Итак решение задачи Коши matmorgua

15 или Пример 9 Решить задачу Коши Решение Производим разделение переменных после чего интегрируем уравнение: d ): В полученный общий интеграл подставим начальное условие ( Таким образом имеем решение задачи Коши d d d ln ln d d d d ln d ln ln ln ln d ln d d Если последнее равенство разрешить относительно получим частное решение в явном виде: Пример 0 Решить ДУ sin sin Решение Чтобы убедиться что перед нами уравнение с разделяющимися переменными можно например воспользоваться тригонометрической формулой Имеем: sin matmorgua sin sin sin cos sin sin cos

16 d d sin cos d cos d sin d sin cos d Применив формулы и 6 таблицы интегралов (приложение ) получим общий интеграл ДУ ln tg lntg sin или lntg Из последнего выражения несложно найти sin tg sin и в явном виде: sin arctg sin sin arctg общее решение ДУ Однородные дифференциальные уравнения Функция f есть однородная функция своих аргументов и п-го измерения (степени) если выполняется тождество f n tt t f Пример Функция измерения тк f f (5) однородная -го matmorgua tt t tt t t t t t f t Если n 0 то условие (5) примет вид tt f f (6) другими словами замена переменных и соответственно на t и t не изменяет вида функции В этом случае говорят что f однородная функция нулевого измерения 5

17 Пример Функция f однородная нулевого изме- рения Действительно f tt t t tt t t Дифференциальное уравнение -го порядка разрешенное относительно производной f называют однородным если f однородная функция нулевого измерения Дифференциальное уравнение записанное в дифференциалах M d Nd 0 N однородные одного измерения Чтобы проверить является ли заданное ДУ однородным необходимо подставить в него вместо и соответственно t и t Если после такой подстановки и упрощений вид уравнения останется прежним то исходное ДУ однородное является однородным если функции M и Пример Среди данных ДУ найти однородные ) ln ; ) f ; ; ) d d 0 ) d d 0 Решение Дифференциальное уравнение относится к виду f где f ln Очевидно что f tt ln ln f те Следовательно ДУ однородное f f однородная функция нулевого измерения В данном уравнении f Имеем f tt matmorgua t t t t те условие (6) не выполнено ДУ не относится к однородным 6

18 В этом случае удобнее сделать подстановку t вместо и t вместо (дифференциалы преобразовывать не следует): t tt d t d 0 t t d t d 0 Привести полученное уравнение к первоначальному виду разделив на какуюлибо степень t не удается Вывод ДУ не является однородным Сделаем подстановку как в предыдущем случае : t t t t d d 0 t t d d 0 t t t d d 0 d d 0 t те после сокращения на t уравнение преобразовалось к первоначальному виду значит данное ДУ однородное Всякое однородное дифференциальное уравнение -го порядка посредством замены z z z новая неизвестная функция сводится к ДУ с разделяющимися где переменными На этом и основан метод решения однородных ДУ Пример Решить ДУ d d 0 Решение Предварительно проверим является ли уравнение однородным (см пример ): t td t d 0 t d t d 0 d d 0 ДУ однородное Положим z при этом d dz z d выражения для и d после чего упростим его: Подставим в уравнение zd dz z d 0 zd dz z d 0 zd dz z d 0 z zd dz zd dz Пришли к ДУ с разделяющимися переменными Поделив его на произведение z получим matmorgua dz z d Проинтегрируем обе части равенства: 7

19 dz z d ln z ln ln z или z ln z Для решения уравнения была сделана подстановка ln z В ре- z найдена Теперь необходимо вернуться к искомой функции зультате записываем общее решение заданного ДУ: Функция Пример 5 Решить ДУ d Решение Заменим в уравнении на t а на t ( при этом не d преобразовываем): t t t t t t t t t t t уравнение однородное Полагаем z тогда z z Подставляем и в ДУ: z z z z z z z z z z z z z z z z z z Получили ДУ в котором можно разделить переменные: dz d z dz z d z dz d ln z z ln ln z z Чтобы вернуться к искомой функции подставим в полученное выражение z Приходим к общему интегралу заданного ДУ: matmorgua или Отметим что в данном случае из общего интеграла можно получить и явное 8

20 выражение для функции : Пример 6 Решить ДУ cos d cos d 0 Решение Уравнение однородное (проверьте это самостоятельно) Делаем замену d dz z z d z z z cos d cos dz z d 0 z cos zd cos z dz z d 0 cos zd cos z dz z cos z d 0 z d z cos z d cos z dz z cos z d 0 cos z dz d Интегрируем полученное равенство: cos z dz d cos z dz sin z ln d z arcsin ln matmorgua Записываем общее решение заданного ДУ: arcsin ln Пример 7 Решить задачу Коши d d 0 Решение Поскольку ДУ однородное делаем замену d dz z d и преобразовываем его к уравнению с разделяющимися переменными z z d dz z d 0 z zd dz z d 0 z 9

21 z zd dz z d 0 z z z d dz 0 z zd dz dz z z d dz d z z 0 Для вычисления интеграла стоящего в левой части последнего равенства необходимо выделить полный квадрат в знаменателе Следовательно общее решение ДУ запишется так: z dz z dz z z d d z dz z z ln z z z ln ln z z z Учитывая теперь начальное условие решение d ln ln z z те подставляя в общее и определим произвольную постоянную : Подставляя полученное значение в общее решение найдем решение задачи Коши: или Пример 8 Решить ДУ ln z z Решение Легко убедиться что уравнение однородное Подстановкой z сводим его к ДУ с разделяющимися переменными отно- z сительно функции matmorgua 0

22 z z z z z ln z z z z z ln zln z zln z d z ln z z dz dz zln z d dz При вычислении интеграла в левой части равенства можно сделать замену переменной u ln z du u lnu dz du z после чего он сведется к табличному В результате получаем ln ln z ln ln z z z Общее решение заданного ДУ ( d ln z ) имеет вид 6 Пример 9 Решить задачу Коши 8 0 Решение Заданное однородное ДУ сводим к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки z z z z 6 z z z 8 z z 6z 8 dz z z z 8 z z 8 d z dz z 8 matmorgua d dz z z arctg z После возвращения к исходной функции z d ln z dz z 8 dz d z получим общий интеграл d

23 arctg ln Согласно начальному условию при 0 или arctg ln Поэтому arc tg ln arctg Запишем окончательно частный интеграл исходного ДУ: arctg ln Пример 0 Решить ДУ Решение Если вместо записать и разрешить уравнение относительно то становится очевидным что это уравнение однородное: Решаем его подстановкой z z dz z z d z z z z z Возвращаемся к функции dz z z d : z z z подставляя dz z d z : ln общий интеграл заданного дифференциального уравнения z z matmorgua dz d ln z Линейные дифференциальные уравнения Уравнения Бернулли Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) называют уравнение вида (7) где p и p q q произвольные непрерывные функции

24 и ее производная В это уравнение неизвестная функция входят линейно те в первой степени не перемножаясь между собой Если q 0 то уравнение называют линейным неоднородным (ЛНДУ) а при q 0 линейным однородным ДУ (ЛОДУ) Используют два метода решения ЛДУ: метод вариации произвольной постоянной и метод подстановки Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) состоит в том что предварительно решают ЛОДУ соответствующее (7): p 0 Это уравнение допускает разделение переменных: (8) d d p и его общее решение имеет вид p d где произвольная постоянная Решение ЛНДУ (7) ищут в виде здесь и ее произ- в исходное уравнение получают ДУ с разделяющимися пере- водную pd уже новая неизвестная функция Подставляя менными относительно Пример Методом вариации произвольной постоянной решить дифференциальное уравнение Решение В данном уравнении p решим ЛОДУ 0: d d d d 0 d d d Будем теперь искать решение ЛНДУ в виде matmorgua Подставим и в заданное уравнение q Запишем и d ln Тогда ln

25 d d d d Получили ДУ с разделяющимися переменными проинтегрировав которое найдем функцию d где c ~ произвольная постоянная d c ~ Решение ЛНДУ мы искали в виде общее решение заданного уравнения запишется так: c ~ следовательно Метод подстановки (метод Бернулли) состоит в том что решение уравнения (7) представляется как произведение двух неизвестных функций где виду u u и v Подстановка Если в качестве функции v u v и uv u v uv (9) в (7) приводит это уравнение к u v u pv v q (0) v выбрать любое частное решение уравнения v v 0 p () matmorgua то выражение в квадратных скобках формулы (0) обратится в нуль что приведет к уравнению () u v q u и следова- из которого можно найти вторую вспомогательную функцию тельно записать решение u v Дифференциальные уравнения () и () с разделяющимися переменными Таким образом линейное дифференциальное уравнение (7) сводится к двум ДУ с разделяющимися переменными () и () Пример Решить методом Бернулли ДУ из примера

26 Решение В уравнении uv u v: 5 делаем подстановку u v u v u v u v u v u v v (*) Приравнивая выражение в скобках к нулю решаем полученное ДУ и находим функцию v dv dv v v 0 v v v d d v dv v Мы выбрали для равной нулю Если d ln v v v частное решение положив постоянную интегрирования v подставить в уравнение (*) то скобка обратиться в нуль и u мы получим уравнение относительно функции Сокращая на имеем u du u du d du d u d Зная u и v строим общее решение заданного уравнения u v matmorgua Уравнением Бернулли называют уравнение вида p q () Оно отличается от ЛДУ тем что в правую часть входит множителем Отметим что при 0 это уравнение превращается в линейное а при его можно переписать так: p q p q 0 p q 0 f f

27 те оно становится уравнением с разделяющимися переменными В общем случае ( 0 ) уравнение () с помощью подстановки z приводится к линейному ДУ Действительно () можно записать в виде p и сделать указанную подстановку: z p z q те линейное ДУ относительно функции q Получим z z или z pz q z (см (7)) Отметим что при интегрировании уравнений Бернулли их не надо предварительно преобразовывать к линейным можно сразу применять либо метод Бернулли (подстановка) либо метод вариации произвольной постоянной Пример Решить ДУ Решение Перед нами уравнение Бернулли ( ) Решим его методом подстановки (см пример ): Имеем u v uv u v u v u v uv u v uv uv v u v (*) Приравнивая выражение в скобках к нулю получим уравнение с разделяющимися переменными из которого найдем один из неизвестных сомножителей v : v v 0 те dv d v dv v d v dv v d Возвращаясь к (*) с учетом найденной функции ln v ln v имеем второе ДУ с разделяющимися переменными из которого определим второй сомножитель u : matmorgua u v u du u v u u u u d 6

28 du d u записываем общее решение уравнения Бер- Перемножая нулли: du u u и v d 7 u u или Пример Решить ДУ Решение Уравнение линейное его можно записать в виде Решим его методом Бернулли Сделаем подстановку u v u v u v u v uv u v : v u v uv (*) Приравнивая выражение в скобках к нулю получаем ДУ с разделяющимися переменными а затем находим его решение v dv v dv d v 0 d v d v ln v dv d v dv ln v По уравнению помеченному (*) подставляя туда v получим второе ДУ с разделяющимися переменными Решив это уравнение найдем вторую вспомогательную функцию u du u v du u d d du matmorgua d du d u Запишем общее решение ЛДУ u v или

29 Пример 5 Решить задачу Коши ln ln Решение Данное уравнение линейное неоднородное Решим его методом вариации произвольной постоянной Соответствующее ему линейное однородное уравнение имеет вид ln 0 Разделим в нем переменные и проинтегрируем: d d ln d d ln d d ln d ln lnln ln ln dln ln Ищем решение заданного уравнения в виде ln где новая неизвестная функция Тогда ln ln Подставив и в исходное уравнение получим ДУ с разделяющимися переменными из которого определим : d d ln ln ln d где c ~ произвольная постоянная ln ln ln ln ln ln ln d d d c ~ matmorgua Таким образом общее решение исходного уравнения запишется так: c ~ ln Согласно начальному условию при переменных в общее решение и найдем произвольную постоянную c ~ Подставим эти значения 8

30 c ~ 0 ln c ~ c ~ В результате записываем частное решение отвечающее заданному начальному условию ln Пример 6 Найти частное решение ДУ 0 9 tg sin6 если Решение Это линейное ДУ решим методом Бернулли для чего сделаем подстановку u v uv u v выделим и решим два ДУ с разделяющимися переменными (см примеры и ) v vtg sin uv u v u vtg sin6 uv u 6 Первое уравнение: v vtg 0 uv sin6 dv dv v vtg 0 vtg tg d d v dv v Второе уравнение: tgd ln v ln cos v cos uv sin6 ucos sin6 ucos sincos du u sin sin du sin d d Таким образом du sin d u cos u v coscos В общее решение подставим начальное условие те 0 и matmorgua cos0cos0 ; :

31 Записываем частное решение coscos Пример 7 Решить ДУ Решение В данном линейном неоднородном дифференциальном уравнении p q Решим его методом вариации произвольной постоянной для чего запишем соответствующее ему линейное однородное ДУ разделим в нем переменные и найдем его общее решение: d d d 0 0 d d d d d ln ln Будем теперь искать решение ЛНДУ в виде уравнение Тогда Подставим и в заданное d d d d Получили ДУ с разделяющимися переменными проинтегрировав которое найдем функцию а следовательно и решение исходного уравнения Возникающий при этом интеграл от правой части равенства вычислим применяя дважды формулу интегрирования по частям (см формулу 7 в приложении ) d matmorgua d d ; u du d dv d v d 0

32 d d u du d d dv d v c ~ c~ Определили c ~ значит общее решение ДУ запишется: c ~ c ~ или c~ Пример 8 Решить ДУ 0 Решение Имеем уравнение Бернулли ( ) Решим его методом вариации произвольной постоянной Для этой цели предварительно необходимо найти общее решение ДУ 0: d d d d d d ln ln Теперь решение уравнения Бернулли можно искать в виде где новая неизвестная функция для определения которой следует подста- вить и в заданное уравнение d d matmorgua d d d d

33 Интеграл записанный слева равен (см таблицу интегралов в приложении ) к интегралу в правой части применяем формулу интегрирования по частям: Таким образом u d dv d v du d c ~ c ~ d c ~ Записываем общее решение исходного ДУ: c ~ Учтем начальное условие 0 : или c ~ 0 0 c ~ 8 c ~ c ~ c ~ в общее решение записываем частное решение задан- Подставив 8 ного ДУ 8 или Замечание Может оказаться что дифференциальное уравнение становится линейным только после того как поменять ролями независимую переменную и искомую функцию те записать это уравнение в виде matmorgua d d f g () d В уравнение () и входят в первой степени те линейно d Пример 9 Решить ДУ Решение Относительно функции уравнение не является линейным (оно содержит слагаемое ) Однако относительно функции это ДУ линейно Действительно:

34 d d d d d Получили уравнение (*) вида () в котором d d Решим его методом Бернулли те подставим (u и v теперь являются функциями аргумента ) du v d f d (*) а u v d d dv u v du dv v u v u d d d du v d g dv u d Приходим к двум дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными (см примеры 6): dv v du 0 v d d Решая первое из записанных уравнений найдем вспомогательную функцию dv v dv d dv d v : ln v ln v d v v Из второго уравнения подставляя в него du d du d du d v определим функцию u : du d u Теперь можно записать общее решение исходного уравнения ( Упражнения для самоконтроля u v ): Показать что функция является решением уравнения Показать что выражение ln ln является общим интегралом уравнения ln d ln d 0 В каждом примере указать тип дифференциального уравнения и найти его общее решение Если дано начальное условие то наряду с общим получить также решение задачи Коши а) ; б) d ctg d 0 ; в) ; г) ctg sin ; matmorgua

35 образом ; е) д) 0 d d ; ; ж) 0 з) 0 0 и) 0 0 sin cos к) 0 ; Ответы tg ; а) ДУ с разделяющимися переменными; ln ; б) ДУ с разделяющимися переменными; cos cos ; ln ln ; в) однородное ДУ; г) линейное ДУ; sin ; д) ДУ с разделяющимися переменными; е) однородное ДУ; arcsin ж) однородное ДУ; ; ; ln ln з) линейное ДУ; ln ln ; и) ДУ Бернулли; к) линейное ДУ; ctg sin ; cos ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Уравнения вида Учитывая что matmorgua d d ; n f () n d n перепишем уравнение следующим d n f или d n f d

36 Интегрируя последнее равенство приходим к дифференциальному уравнению (п )-порядка f d n откуда Аналогично n d n те d f n d d f d n d d уравнение (п )-порядка диф- После п-кратного интегрирования получаем общее решение ференциального уравнения Пример Решить ДУ sin d d Решение Подставляем в уравнение и интегрируем полученное выражение: d d sin d sin d d sin d cos Получили ДУ -го порядка интегрируя которое найдем общее решение исходного уравнения d d matmorgua cos d cos d d cos d 6 sin Пример Решить ДУ sin cos Решение Уравнение можно представить в виде трехкратным интегрированием: 5 cos и решить sin

37 d d cos sin cos sin d d d d cos sin d sin sin sin sin получили ДУ -го порядка d d Далее d d sin d d ctg ДУ -го порядка sin Окончательно d d ctg d sin ctg d d ctg d ln sin общее решение исходного уравнения Пример Найти решение ДУ удовлетворяющее начальным условиям 0 0 Решение Данное дифференциальное уравнение -го порядка вида () Для получения общего решения необходимо последовательно проинтегрировать его дважды d d d d d d d d matmorgua ; d d 6

38 d d d d Начальные условия подставим в и : 0 ; 0 0 Используя найденные значения для и из общего решения получаем частное удовлетворяющее заданным начальным условиям: Отметим что выполнение начальных условий можно обеспечить и в процессе последовательного интегрирования дифференциального уравнения В нашем примере это выглядело бы так После первого интегрирования получили Поскольку 0 имеем 0 Таким образом подставив 0 в дальше уже решаем уравнение : d Из последнего равенства и условия matmorgua 0 имеем: Учитывая полученный результат окончательно записываем 7

39 Уравнения не содержащие явно искомой функции Введение новой неизвестной функции n F 0 () p 8 F 0 преобразуется в ДУ -го порядка F p p 0 p или p (тогда p p и тд) понижает порядок такого уравнения на единицу В частности дифференциальное уравнение -го порядка Решая последнее определяют функцию Интегрируя затем полученное уравнение находят общее решение получим Пример Решить ДУ Решение Уравнение вида () Сделаем замену p дел ) Подставив d полученное равенство dp d p p и p Это ДУ с разделяющимися переменными (см разdp вместо p разделим переменные и проинтегрируем dp d dp d p p p p p p Отметим что в качестве произвольной постоянной мы выбрали для удобства дальнейшего интегрирования Возвращаясь к переменной (те подставляя p ) приходим к ДУ -го порядка также с разделяющимися переменными из которого и найдем общее решение: d d matmorgua d d d d ln d d d

40 Пример 5 Найти решение ДУ sin удовлетворяю- щее начальным условиям Решение Уравнение не содержит явно функции заменить на а на p p : p p p sin поэтому можно Получили однородное относительно p и дифференциальное уравнение -го порядка для решения которого (см раздел ) надо делать подстановку где p z p z z z новая неизвестная функция Имеем z z z z sin z z z sin z z sin z dz sin z d dz sin z d dz sin z d z z lntg ln ln tg z arctg Следовательно p z arctg или arctg Учитывая начальное условие постоянную : arctg d arctg или arctg d в получаем уравнение порядка с разделяющимися переменными можно сразу найти произвольную arctg Подставляя matmorgua d d arctg d arctg d ; u arctg du d arctg d dv d v Это ДУ -го arctg d arctg d arctg 9

41 d d arctg arctg arctg arctg и начальное условие Имеем Поэтому arctg arctg Записываем частное решение исходного уравнения приходим к линейному дифференциальному уравнению -го порядка: arctg arctg или arctg Пример 6 Решить задачу Коши Решение Уравнение относится к виду () Подставляя p p и p p или p p Решаем полученное ДУ методом Бернулли (см раздел ) те выбираем функцию p u v p uv u v где u u и v вспомогательные функции u v uv u v v u v uv matmorgua v две Далее необходимо последовательно решить два дифференциальных уравнения с разделяющимися переменными Для первого из уравнений: dv v v v 0 и d dv d u v ln v ln v dv v d v 0

42 Для второго уравнения после подстановки в него v : u u d du d du d du u В результате u v p или те для определения получено ДУ -го порядка с разделяющимися переменными: d d d d d d d d d d d 6 arctg общее решение исходного ДУ Учтем начальные условия: 0 6 arctg ; Подставляя найденные значения произвольных постоянных 0 и в общее решение находим решение задачи Коши: 6 arctg matmorgua

43 Уравнения не содержащие явно независимой переменной n F 0 () Понизить порядок уравнения в этом случае можно посредством подстановки p где p новая неизвестная функция а новая независимая переменная Ограничимся рассмотрением ДУ -го порядка 0 F () Применяя формулу дифференцирования сложной функции имеем d d d d p и указанное уравнение приобретает вид dp d d d те dp p p 0 d dp p d F (5) p или Решая (5) находим функцию p Последнее равенство дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными из которого и определяется общее решение ДУ () Пример 7 Решить ДУ Решение Уравнение не содержит в явном виде независимую переменную Сделаем подстановку dp p p d dp p p d : Подучили ДУ с разделяющимися переменными (см раздел ) Проинтегрируем его: p dp matmorgua p dp d p dp d p d p p d p d ln p ln ln p

44 p p p В результате имеем (подставляя p ) дифференциальное уравнение: или d d Разделим в нем переменные и проинтегрируем: d d d d общий интеграл исходного ДУ Пример 8 Найти решение ДУ начальным условиям 0 0 удовлетворяющее Решение Уравнение относится к виду () Понизим его порядок при помощи подстановки p dp p : d dp p p d В результате пришли к однородному ДУ -го порядка которое решается заменой p z раздел ) dp p d dp dz z Здесь z z новая неизвестная функция (см d d matmorgua p z z dz d z dz dz dz z z z z z z z d d d z dz d d z z dz ln z ln z ln Поскольку z Возвращаясь к функции p имеем p ln (те подставляя вместо p ) получаем ДУ

45 ln Это уравнение -го порядка его можно проинтегрировать разделив предварительно переменные: d d ln d ln d d ln d d ln ln d ln общий интеграл заданного уравнения Воспользуемся начальными условиями: ln ln 0 Отметим что начальные условия приводят к однозначному выбору знака в выражении для а следовательно и в решении Учитывая полученные значения произвольных постоянных запишем частный интеграл исходного уравнения: ln который можно за- писать и в явной форме удовлетворяю- Пример 9 Найти решение ДУ ln щее начальным условиям 0 0 Решение Это дифференциальное уравнение -го порядка не содержащее явно аргумента Положим преобразуется в уравнение -го порядка: dp p d p ln или p dp d dp p d и данное уравнение p ln p которое является уравнением Бернулли (см раздел ) относительно функции matmorgua p Решим его подстановкой p u v dp du dv v u d d d Имеем ;

46 du v d dv u v u d ln u v или 5 du v d dv u d Отсюда для нахождения u и v получим два уравнения: dv d v 0 и v ln u v du ln v d u v Из первого уравнения разделив в нем переменные и проинтегрировав v : находим dv d v Подставив du d u dv v d dv d ln v ln v v v во второе уравнение находим его общее решение ln u ln u du du ln d u ln d u ln p имеем Заменяя p через полу- Поскольку u v p ln чим ДУ с разделяющимися переменными: u du ln d u du ln d ln u ln u : ln Прежде чем интегрировать это уравнение имеет смысл определить значение постоянной используя начальные условия из которых следует что (в этом случае в выражении для следует выбрать знак «+»): и ln 0 Подставим значение 0 в последнее уравнение разделим в нем переменные и проинтегрируем: ln matmorgua d d ln d ln d

47 d ln d d ln ln d lnln В полученное выражение подставим начальное условие 0 и определим постоянную : ln ln 0 Теперь можно окончательно записать частный интеграл исходного дифференциального уравнения: ln ln или ln или Упражнения для самоконтроля Не решая данные ДУ показать что приведенные функции являются их решениями: а) ln для уравнения ; б) для уравнения 0 если и постоянные Найти решения данных дифференциальных уравнений: а) IV ; б) в) cos sin ; г) Ответы 5 а) или после переобозначения постоянных ; б) ; в) sin ; г) ln matmorgua ; 6

48 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ -ГО И БОЛЕЕ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) п-го порядка называется уравнение вида n n n a a a f n () Если правая часть уравнения f 0 то его называют линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) В случае f 0 уравнение носит название линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) В дальнейшем будут рассматриваться ЛДУ у которых все коэффициенты a i i n числа Такие уравнения называют линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами ЛОДУ -го порядка с постоянными коэффициентами Здесь p и q постоянные p q 0 () Общее решение уравнения () имеет следующую структуру: () где и произвольные постоянные а и два линейно независимых частных решения уравнения () Для случая двух функций понятие линейной независимости сводится к тому чтобы отношение этих функций не было постоянной величиной те matmorgua const Для построения решения уравнения () составляют и решают так называемое характеристическое уравнение pk q 0 k () Для получения () необходимо в уравнении () заменить на k на k и на Корни характеристического уравнения определяются формулой 7

49 p D k где дискриминант D p q При этом возможны три случая I D 0 корни характеристического уравнения действительные и различные: k k В этом случае линейно независимыми решениями являются функции k и k и общее решение () принимает вид k k (5) II D 0 корни характеристического уравнения действительные и равные: k k k k k Можно показать что и два линейно независимых решения и в соответствии с () записать общее решение k k (6) III D 0 корни характеристического уравнения комплексные: α В качестве линейно независимых решений можно взять функции cos и sin и построить общее решение согласно () k βi cos Пример Решить ДУ 0 sin (7) Решение Имеем ЛОДУ -го порядка с постоянными коэффициентами Составляем и решаем характеристическое уравнение: matmorgua k 0 k k k k Получили действительные и различные корни По формуле (5) составляем общее решение заданного ДУ: Пример Решить ДУ 0 Решение Характеристическое уравнение в данном случае имеет вид неполного квадратного уравнения 8

50 k 0 k 0 k k k 0 k Корни получились действительными и различными поэтому общее решение получим воспользовавшись формулой (5): 0 или окончательно Пример Решить задачу Коши Решение Характеристическое уравнение имеет вид k 6k 9 0 его корни действительные и равные: k k Поэтому воспользуемся формулой (6) и запишем общее решение Для получения частного решения необходимо использовать начальные условия для и Предварительно найдем выражение для продифференцировав полученное общее решение: Подставляем в и начальные условия ( 0 ): С учетом найденных значений постоянных ( ) из общего решения получаем частное решение исходного уравнения удовлетворяющее заданным начальным условиям те получаем решение задачи Коши: matmorgua или Пример Решить ДУ 5 0 Решение Найдем корни характеристического уравнения 6 0 i k k 5 0 k i Получили комплексные корни k i где Применив формулу (7) находим общее решение заданного дифференциального уравнения:

51 cos sin Пример 5 Найти решение ДУ удовлетворяющее начальным условиям 50 Решение Записываем характеристическое уравнение и находим его корни k 0 k k i Корни чисто мнимые (это случай комплексных корней при 0 ) По формуле (7) выписываем общее решение 0 cos sin или cos sin Для нахождения частного решения понадобится поэтому продифференцируем последнее равенство cos sin sin cos Далее в и подставим начальные условия ( 0 cos sin ): sin cos Подстановка найденных значений и в общее решение приводит к частному решению исходного ДУ отвечающему заданным начальным условиям: cos sin Пример 6 Решить задачу Коши Решение Характеристическое уравнение k 0 имеет корни matmorgua k k k k действительные и различные В соответствии с (5) записываем общее решение Для получения частного решения находим :

52 Воспользуемся начальными условиями: Пришли к системе уравнений относительно и : Складывая первое уравнение со вторым получаем 5 Подставляя найденные значения произвольных постоянных в общее решение получаем решение задачи Коши 5 Пример 7 Составить ЛОДУ и записать его общее решение если известны корни соответствующего ему характеристического уравнения k i Решение Корни характеристического уравнения комплексные вида k i где Общее решение можно записать сразу воспользовавшись формулой (7): cos sin Чтобы получить ЛОДУ которому отвечает записанное решение составим предварительно его характеристическое уравнение k pk q 0 По- следнее можно представить также в виде k k k k 0 где k и k его корни Подставим в это равенство заданные в условии k i и k i и произведем необходимые действия: k ik i 0 k ik i 0 matmorgua i 0 k k 0 k k 5 0 k

53 это и есть характеристическое уравнение с указанными корнями Заменяя теперь в полученном уравнении k на k на и 5 на 5 0 искомое ЛОДУ Упражнения для самоконтроля Решить дифференциальные уравнения: а) 5 0 г) 0 д) 8 0 е) имеем ; б) 0 ; в) ; ; ; Составить ЛЮДУ и записать его общее решение если известны корни соответствующего ему характеристического уравнения: а) k k ; б) k k ; в) k i Ответы 5 а) ; б) в) cos sin ; г) д) sin ; е) а) 0 б) 0 в) 0 ; 5 ; ; ; cos sin matmorgua ЛНДУ -го порядка с постоянными коэффициентами Здесь p и q постоянные p q 5 f f заданная функция Структура общего решения ДУ (8) имеет вид (8) Y (9) где Y общее решение соответствующего уравнению (8) линейного однородного дифференциального уравнения () а некоторое частное решение ЛНДУ (8)

54 Рассмотрим два способа решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами: метод неопределенных коэффициентов и метод вариации произвольных постоянных Метод неопределенных коэффициентов применим в случае специального вида правой части например для P a n f a a P cosb R n sinb (0) n a где n 0 n и m m R m b m m 0 b b многочлены от степеней n и m соответственно а a и b постоянные Схема решения ЛНДУ (8) методом неопределенных коэффициентов предполагает следующие этапы: ) записывают ЛОДУ соответствующее данному ЛНДУ и находят его общее решение (см раздел ) обозначаемое ниже Y ; ) выбирают вид частного решения (которое и содержит в себе неопределенные коэффициенты) в зависимости от правой части f и корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ (подробнее об этом выборе смотри ниже); ) требуют чтобы функция была решением уравнения (8) Другими словами подставляют и в данное уравнение и находят значения неопределенных коэффициентов при которых это уравнение обращается в тождество; ) подставляют полученные коэффициенты в и составляют общее решение Y Рассмотрим подробно все частные случаи правой части (0) a І f A () Здесь A и a известные числа Решение следует искать в виде: a A а) если ни один из корней характеристического уравнения не совпадает с числом a : k a k a ; a A б) если один из корней характеристического уравнения совпадает с числом a : k a k a ; A a k matmorgua в) если оба корня характеристического уравнения совпадают с числом a : k a В приведенных выражениях A неопределенный коэффициент Пример 8 Решить ДУ 5

55 Решение Следуя схеме решения изложенной выше запишем ЛОДУ соответствующее данному ЛНДУ: 0 Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: k k 0 k k Y Следовательно общее решение ЛОДУ имеет вид Дальше необходимо выбрать вид частного решения Поскольку в на- шем случае правая часть f имеет вид () a и не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения ( a k a k ) то будем искать в виде (см І а) A где A неопределенный коэффициент Найдем необходимые производные функции A A A и подставим и в заданное уравнение: A 5 A A A Сокращая на и приводя подобные приходим к равенству A откуда находим значение неопределенного коэффициента Таким образом можно записать A A Сумма полученного частного решения и общего решения Y однородного ДУ согласно формуле (9) дает общее решение исходного неоднородного ДУ Пример 9 Решить ДУ Решение Характеристическое уравнение k k 0 имеет корни k Общее решение ЛОДУ соответствующего данному ЛНДУ: k 0 и Правая часть f matmorgua Y a и совпадает с одним имеет вид () причем a k a k ) В этом A (см І б) Находим из корней характеристического уравнения ( случае частное решение выбирается в виде

56 производные: A A A A A A и подставляем и A A A A в заданное уравнение: A A A A A A A A A A Следовательно Воспользовавшись формулой (9) записываем общее решение исходного ДУ: Пример 0 Решить задачу Коши Решение Решая характеристическое уравнение k 0k 5 0 определяем корни k k 5 В этом случае 5 5 Y Правая часть f 5 имеет вид () где 5 a k k a и совпадает с обоими корнями характеристического уравнения ( ) Поэтому частное решение будем выбирать в виде 5 A (см І в) Находим производные 5 5A 5 5 A 5A 5 5 A A A 5 0A matmorgua 5 0A 5 5A A 0A 5A Подставляем и в заданное уравнение: A 5 0A 5 5A 5 A A 5 5 5A 5 A 0A 5A 0A 50A 5A A A 55

57 Таким образом 5 5 ЛНДУ: Продифференцируем : 5 Добавляя Y получим общее решение заданного Воспользуемся начальными условиями: 0 ; Подставляя значения Коши: 56 5 и в получаем решение задачи или ІІ f P Отметим что n () P n может быть неполным многочленом те содержать не все степени Например частный случай многочлена -й степени многочлен -й степени Частное решение следует искать в виде: n n а) Qn A0 A An если среди корней характеристического уравнения отсутствует нулевой корень: k 0 k 0 ; б) Qn если один из корней характеристического уравнения равен нулю: k 0 k 0 или k 0 k 0 В приведенных выражениях A 0 A An неопределенные коэффициенты Важно помнить: многочлен Q n следует выбирать в общем виде как matmorgua многочлен который содержит все степени переменной от нуля до n даже если в правой части уравнения стоит неполный многочлен P n Пример Решить ДУ Решение Составляем характеристическое уравнение k k 8 0 и находим его корни k 6 k Выписываем общее решение ЛОДУ: 6 Y Правая часть заданного уравнения f 8 5 неполный многочлен -й степени среди корней характеристического уравнения нет нулевых

58 ( k 0 k 0 ) Поэтому частное решение ЛНДУ следует искать в виде полного многочлена -й степени (см ІІ а): A B где A B неопределенные коэффициенты Находим производные и : A B A B Подставляем и в исходное уравнение: A B A A B8A B 8 5 A или A 6A B 8A 8B Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной в левой и правой частях последнего равенства получаем систему уравнений из которой определяются вид: 0 8A 8 6A 8B 0 A B 8 A B и : 5 Следовательно A B и общее решение Y 6 matmorgua Пример Найти решение ДУ (задача Коши) удовлетворяющее начальным условиям имеет Решение Характеристическое уравнение k k 0 имеет корни k 0 и k Общее решение соответствующего ЛОДУ Y Правая часть f 8 6 многочлен -й степени один из корней характеристического уравнения нулевой ( k 0 k 0 ) поэтому частное решение выбираем в виде полного многочлена -й степени домножив его на (см ІІ б): A B D Находим производные 57

59 58 D B A D B A B A D B A 6 и подставляем их в ЛНДУ: D B A B A Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях : D B A D B B A A Получаем и записываем общее решение ЛНДУ: Для отыскания частного решения исходного уравнения понадобится производная Учтем начальные условия: Подставляя и в общее решение приходим к частному решению ІІІ P f n a () Частное решение ищут в виде: а) Q n a если ни один из корней характеристического уравнения не совпадает с числом a : a k a k ; matmorgua

60 a б) Q n если один из корней характеристического уравнения совпадает с числом a : k a k a ; a в) Qn если оба корня характеристического уравнения совпадают с числом a : k k a В приведенных выражениях Q n полный многочлен степени п с неопределенными коэффициентами (см случай ІІ) Пример Найти решение ДУ 5 Решение Составляем характеристическое уравнение k 5k 0 Находим его корни k и k Записываем общее решение соответствующего ЛОДУ: Y P n многочлен -й степени а a и не совпадает с корнями характеристического уравнения ( a k a k ) Следовательно (см ІІІ а) Тогда Правая часть уравнения имеет вид () где Подставим и A A B A B A B A B A B A в заданное ДУ A B A B 5A B A B A B matmorgua 0 откуда после упрощения и сокращения на следует: A B A B A Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа в полученном равенстве: 0 A A B 0 A B 0 A B 59

61 и общее решение ЛНДУ Это означает что Пример Найти решение задачи Коши 0 P n многочлен -й степени а a k a k 0 Решение Характеристическое уравнение k 0 имеет корни k и k Общее решение ЛОДУ Y Правая часть ЛНДУ f вида () где a совпадает с одним из корней ( Вычисляем производные ) Поэтому частное решение ищем в виде (случай ІІІ б): A B или A B A B A B A B A B A подставляем и в исходное ДУ производим упрощения и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной A A B A B A B 0 A B A ; matmorgua A A B A B Записываем частное и общее решения ЛНДУ: Y Для вычисления значений постоянных и найдем : Используем начальные условия: 60

62 0 0 Таким образом решение задачи Коши имеет вид Пример 5 Задано ДУ В каком виде следует искать его частное решение? Числовых значений неопределенных коэффициентов не находить Решение Чтобы ответить на поставленный в задаче вопрос необходимо знать корни характеристического уравнения и вид правой части Характеристическое уравнение k k 0 имеет действительные и равные корни k k Правая часть f вида () где P n многочлен -й степени а a и совпадает с обоими корнями ( a k a k ) Имеем случай ІІІ в) те частное решение ЛНДУ необходимо искать в виде A B или A B ІV f M cosb N sinb () Здесь M N и b числа (возможен случай когда одно из чисел M или N равно нулю) Частное решение необходимо искать в виде: а) Acos b B sinb если k bi ; k b б) Acosb B sinb если i A и B неопределенные коэффициенты 6 Важно помнить: в следует вводить обе функции cos b и sin b даже если в правой части уравнения одна из них отсутствует Пример 6 Решить ДУ 8sin 6cos Решение Составляем и решаем характеристическое уравнение: k k 0 k k Y Общее решение ЛОДУ: Правая часть уравнения f 8sin 6cos имеет вид () где M 6 N 8 b Выполняется условие k bi или k i что соответствует случаю IV а) следовательно частное решение ищем в форме matmorgua


, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» Кафедра высшей математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Занимаясь дифференцированием функций, мы по данной функции находили ее производную Сейчас перейдем к обратной задаче: найти функцию, зная

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий Разделы Интегральное

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Направления подготовки бакалавров: 60600; 605050;60500; 60006 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5 Решить уравнения: 0 Преобразуем уравнение: Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 0 Уравнение с разделяющимися переменными: ( ) d ( ) arcsin arcsin d Ответ: arcsin d d d Так как f, то заданное

Подробнее

1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ. Действия со степенями. Степени чисел имеют следующие основные свойства:

1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ. Действия со степенями. Степени чисел имеют следующие основные свойства: ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Действия со степенями Степени чисел имеют следующие основные свойства: y + y y y a a = a ; ( a b) = a b ; ( a ) = a ; y y a a = a a = a ; 5 y = a a

Подробнее

Интегралы. Часть 1. Основные приёмы интегрирования.

Интегралы. Часть 1. Основные приёмы интегрирования. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А. И. ЕФИМОВ В. А. ЗНАМЕНСКИЙ Интегралы. Часть. Основные приёмы интегрирования. Учебное

Подробнее

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл: Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Подробнее

Уравнения в полных дифференциалах

Уравнения в полных дифференциалах [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Практическая работа 9

Практическая работа 9 Практическая работа 9 Тема: «Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле» Цель занятия: освоение знаний формул и методов интегрирования функций, умений вычислять неопределённые

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

"В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие"

В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие "В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие" -площади плоских фигур и поверхности; -объема и массы тела; -статистическиих моментов и моментов инерции плоской фигуры, материальной

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы для студентов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Т Н Черняева, И П Медведева Дифференциальные уравнения первого порядка Методическое пособие для самостоятельной

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им ТГ ШЕВЧЕНКО Физико-математический факультет Кафедра математического анализа Контрольные работы по дифференциальным уравнениям (направление «Прикладная математика

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее