2. Симметричная каноническая форма

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "2. Симметричная каноническая форма"

Транскрипт

1 2. Симметричная каноническая форма... Свойство оптимальных решений задач линейного программирования (2.)-(2.2) Экономическая интерпретация задач линейного программирования (2.) и (2.2)... 3 Основное неравенство линейного программирования.. 6 Признак оптимальности... 7 Основная теорема линейного программирования... 7 Условия дополняющей нежесткости для пары взаимно двойственных задач линейного программирования в симметричной канонической форме (2.)-(2.2)... 8 Табличная модель Решение задач линейного программирования графическим способом Решение задачи линейного программирования (2.) графическим способом... 9 Случай : задача ЛП (2.) с двумя технологическими способами Решение задачи линейного программирования (2.2) графическим способом... 5 Случай : задача ЛП (2.) с двумя ресурсами Контрольная работа Симметричная каноническая форма Пара взаимно двойственных задач линейного программирования в симметричной канонической форме (2.)-(2.2) имеют следующую математическую запись:

2 ( 2.) aij x j bi, i =,..., m ( 2.2) x j 0, j= j =,..., c j x j max j= yi 0, i =,..., m m yiaij c j, j =,..., i= m yibi mi i= Функция f ( x ) = c, x = c j x j j= называется целевой функцией задачи (2.). Функция m g ( y ) = y, b = y i b i i= называется целевой функцией задачи (2.2). Множество допустимых планов в задаче (2.) является выпуклым многогранником в пространстве R. Обозначим его K : K = x = ( x,..., x ) x j 0, j =,...,, aij x j bi, i =,..., m. j = Множество допустимых оценок в задаче (2.2) является выпуклым многогранником в пространстве m R. Обозначим его K 2 : m K2 = y = ( y,..., ym ) yi 0, i =,..., m, yiaij c j, j =,...,. i= Введем следующие обозначения: x = ( x,..., x ) - -мерный вектор-столбец; c = ( c,..., c ) - -мерный вектор-строку; y = ( y,..., y m ) - m -мерный вектор-строку; b = ( b,..., b m ) - m -мерный вектор-столбец; A = ( aij ), i =,..., m; j =,..., - матрица технологических коэффициентов;

3 ( a a ) j A = j,..., mj - m -мерный вектор-столбец ( j -й столбец матрицы A ); A i = ( ai,..., ai ) - -мерный вектор-строка ( i -я строка матрицы A ). Из свойства (.6) следует, что если x ( ) = x,..., x - оптимальный K L x, c = или + K L ( x, c) H ( x,. K L x, c, то найдется ~ x K L ( x, c). f ~ x < f x. Следовательно, план задачи (2.), то ( ) Действительно, если ( ) Тогда, по свойству (.7), имеем ( ) ( ) x ( ) = x,..., x Из свойства (.5) следует, что если ( ) y y,..., y не является оптимальным решением задачи (2.). = m - оптимальные + K 2 L y, b = или оценки ресурсов в задаче (2.2), то ( ) K 2 L ( y, b) H ( y, b). Действительно, если + K L ( y, b) найдется ~ + y K2 L ( y, b). Тогда по свойству (.6) имеем ( y ) > g ( y ) Следовательно, ( ) y y,..., y 2, то g ~. = m не является оптимальным решением задачи (2.2). Из проведенных рассуждений вытекает следующее свойство оптимальных решений задач (2.)-(2.2). Свойство оптимальных решений задач линейного программирования (2.)-(2.2). Оптимальные решения задачи (2.) лежат на границе множества K, оптимальные решения задачи (2.2) лежат на границе множества K 2. Экономическая интерпретация задач линейного программирования (2.) и (2.2) Опишем математическую модель производственного процесса, которая приводит к паре взаимно двойственных задач линейного программирования в симметричной канонической форме (2.)-(2.2). Пусть в производственном процессе задействовано m видов ресурсов, которые расходуются на производство продуктов по технологиям. Здесь m и - произвольные, но заданные числа. Занумеруем все ресурсы и технологии. Индекс i будем использовать для обозначения

4 номера ресурса, индекс j - для обозначения номера технологии, так что i =,..., m, j =,...,. Немного упрощая постановку задачи ради облегчения первоначального понимания, будем предполагать, что по разным технологиям производятся разные продукты. Технология номер j в линейном программировании описывается m -мерным вектор-столбцом T j = ( a j,..., aij,..., amj ), в котором i -я компонента a ij представляет собой количество i -го ресурса, необходимое для производства единицы j -го продукта. Одной из основных гипотез линейного программирования является гипотеза бесконечной делимости продукта и ресурсов. Если требуется произвести j -го продукта в количестве x j, то расход всех ресурсов увеличивается пропорционально объему произведенного продукта, т.е. i -й ресурс расходуется в количестве: a ij x j. Производственным планом или просто планом называется неотрицательный -мерный вектор x = ( x,..., x j,..., x ), x j 0, j =,...,, j -я компонента x j которого определяет объем продукта, производимого по j -й технологии. Общее количество i -го ресурса, необходимое для выполнения плана x, очевидно, будет равно: a ij x j. j = Если на предприятии наличие i -го ресурса составляет b i, то для того, чтобы план x можно было выполнить, необходимо выполнение неравенства: aij x j bi. j= План x = ( x,..., x j,..., x ), x j 0, j =,..., называется допустимым, если по каждому ресурсу выполнено неравенство: aij x j bi, i =,..., m. j = Для оценки качества планов вводится понятие универсального измерителя экономического эффекта. С j -м продуктом связывается число c j, определяющее количество экономического эффекта, содержащееся

5 в единице j -го продукта. В количестве c j x j экономического эффекта, а в плане x ( x,..., ) x j содержится =,..., x j x экономического эффекта содержится c j x j. j = Теперь задача (2.) интерпретируется как задача нахождения допустимого плана, обеспечивающего максимальный экономический эффект. Экономическая интерпретация задачи (2.2) заключается в анализе эффективности производственного процесса. Вводится переменная y i, которая называется объективно обусловленной оценкой (или просто оценкой) i -го ресурса, согласованной с универсальным измерителем экономического эффекта. При наличии введенных оценок ресурсов y i мы можем сравнить полученный экономический эффект от производства единицы j -го продукта c j с затратами ресурсов на его производство. Затраты ресурсов выражаются суммой: m y i a ij, i= а экономический эффект числом c j. Вводятся следующие понятия: Технология номер j называется неэффективной, если затраты больше результата: m y iaij > c j. i= Технология номер j называется эффективной, если затраты равны результату: m y iaij = c j. i= Технология номер j называется сверхэффективной, если затраты меньше результата: m y iaij < c j. i= В этих терминах задача (2.2) интерпретируется как задача нахождения оценок ресурсов, при которых отсутствуют сверхэффективные тех-

6 нологии, и суммарная оценка задействованных ресурсов оказывается наименьшей. Основное неравенство линейного программирования Пусть x ( x,..., x ) y ( y,..., ) = - произвольный допустимый план задачи (2.), = y m - произвольные допустимые оценки задачи (2.2). Тогда справедливо неравенство: m (2.3) f ( x) = c j x j g( y) = yibi j = i= = y m является допустимым решением задачи (2.2), то для каждого j выполнено неравенство: m c j yiaij, i= а так как x j 0, то Доказательство. Так как y ( y,..., ) m m c j x j y = iaij x j yiaij x j. i= i= Суммируем полученные неравенства по j и получаем: m m f ( x) = c j x j y = iaij x j yi aij x j. j = j = i= i= j = Далее, так как x = ( x,..., x ) является допустимым планом задачи (2.), то для каждого i выполнено неравенство: aij x j bi, j= или после умножения на y i 0 : y i aij x j yib i. j = Суммируем полученные неравенства по i, и получаем:

7 m m y a x i ij j yibi = g( y). i= j = i= Основное неравенство доказано. Признак оптимальности Пусть x ( ) = x,..., x - допустимый план задачи (2.), ( ) y = y,..., ym - допустимые оценки задачи (2.2) и выполнено равенство: m (2.4) c j x j = yi bi. j = i= Тогда x ( ) = x,..., x ( ) y y - оптимальное решение задачи (2.2). Доказательство. Подставим в (2.4) вместо x ( x,..., x ) - оптимальное решение задачи (2.), y =,..., m = любой другой допустимый план задачи (2.). По основному неравенству (2.3) будем иметь: m c j x j yi bi, j = i= откуда следует, что x ( x,..., x ) = является оптимальным решением задачи (2.). Теперь подставим в (2.4) вместо ( ) y = y,..., ym любые другие допустимые оценки. По основному неравенству (2.3) будем иметь: m c j x j yi bi, j = i= откуда следует, что ( ) y y,..., y = m является оптимальным решением задачи (2.2). Основная теорема линейного программирования Пусть в задаче (2.) имеется допустимый план, в задаче (2.2) имеются допустимые оценки. Тогда в задаче (2.) имеется оптимальный план

8 ( x x ) ( ) y y x =,...,, в задаче (2.2) имеются оптимальные оценки y =,..., m, для которых выполнено равенство (2.4). Условия дополняющей нежесткости для пары взаимно двойственных задач линейного программирования в симметричной канонической форме (2.)-(2.2) Пусть x ( ) = x,..., x ( ) y y - оптимальный план задачи (2.), y =,..., m - оптимальные оценки задачи (2.2). Тогда: (2.5.) если для некоторого j имеется неравенство x j > 0, то j -я m технология в оптимальных оценках эффективна y i aij = c j ; i= (2.5.2) если j -я технология в оптимальных оценках неэффективна m y i aij > c j, то x j = 0 ; i= (2.5.3) если для некоторого i имеется неравенство y i > 0, то i -й ресурс в оптимальном плане используется полностью a ij x j = bi ; j = (2.5.4) если i -й ресурс в оптимальном плане недоиспользуется a ij x j < bi, то оптимальная оценка i -го ресурса равна нулю y i = 0. j= Определение. Оптимальные решения задачи (2.2) называются предельными полезностями ресурсов. Табличная модель Табличной моделью пары задач ЛП (2.)-(2.2) называется следующим образом структурированный список всех коэффициентов задач (2.)-(2.2).

9 ( 2.6) a... am c a... am c b... bm 3. Решение задач линейного программирования графическим способом 3.. Решение задачи линейного программирования (2.) графическим способом Решение задачи линейного программирования (2.) графическим способом основано на возможности графически изобразить множество допустимых планов этой задачи. Для большинства студентов доступно графическое изображение множества K только в случае 2. Нарисовать множество K в пространстве 3 R уже мало кому доступно. В пространствах размерности > 3, в принципе, отсутствует наглядная интерпретация множества K. Поэтому принимаем, что нарисовать множество K можно только в двух случаях: = (задача ЛП (2.) с одним технологическим способом), и = 2 (задача ЛП (2.) с двумя технологическими способами). Случай = очень простой, и его предлагается рассмотреть студентам в качестве самостоятельного упражнения. Случай = 2 : задача ЛП (2.) с двумя технологическими способами Методику решения задачи (2.) с двумя технологическими способами опишем на следующем примере. Рассмотрим пару взаимно двойственных задач ЛП (2.)-(2.2) когда = 2, m = 3, со следующей табличной моделью:

10 Математическая запись задачи (2.) для данной табличной модели имеет вид: x 0 x2 0 9x + 3x2 7 ( 3.) 36x + 42x x x2 f ( x) = 48x + 62x2 max Графически рисуем множество K. ). Ограничения x 0 x2 0 задают первый квадрант координатной плоскости (точки плоскости, обе координаты которых неотрицательны). 2). Строим ограничение по первому ресурсу. Математическая запись ограничения по первому ресурсу имеет вид: 9x + 3x2 7. Объемы производства, при которых первый ресурс используется полностью, удовлетворяют равенству: 9x + 3x2 = 7. На координатной плоскости это равенство описывает прямую линию. Нас интересует отрезок, по которому эта прямая пересекает первый квадрант, т.к. по первому условию вне первого квадранта допустимых планов нет. Определим точку A = ( a ;a 2 ), в которой эта прямая пересекает ось x. Так как точка A лежит на координатной оси x, то вторая координата этой точки должна быть равна нулю: a 2 = 0. С другой стороны, так как точка A лежит на прямой: 9x + 3x2 = 7, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой: 9a + 3a2 = 9a = 7. Отсюда получаем: a = 7 9 = 3. Следовательно, A = ( 3;0 ). Аналогично определим координаты точки B = ( b ;b 2 ), в которой эта прямая пересекает ось x 2. Так как точка B лежит на координатной оси x 2, то первая координата этой точки должна быть равна нулю: b = 0. Так как точка B лежит на прямой: 9x + 3x2 = 7, то ее координаты

11 должны удовлетворять уравнению этой прямой: 9b + 3b2 = b2 = 7. Отсюда получаем: b 2 = 7 3 = 39. Следовательно, B = ( 0;39 ). Рисуем теперь отрезок с концами в точках A и B. Х2 В Для выполнения этого плана первого ресурса не хватает На этом плане первый ресурс используется полностью О А На этом плане первый ресурс недоиспользуется Рис. 3.. Точки x = ( x.x 2 ), лежащие на отрезке [ A; B], характеризуют объемы производства, при которых первый ресурс используется полностью. Если точка x = ( x.x 2 ) лежит внутри треугольника ОАВ, то первый ресурс при таких объемах производства недоиспользуется, т.е. выполнено неравенство 9x + 3x2 < 7. Если точка x = ( x.x 2 ) лежит вне треугольника ОАВ, то первого ресурса при таких объемах производства недостаточно, т.е. выполнено неравенство: 9x + 3x2 > 7. Убедиться в этом самостоятельно. Следовательно, вне треугольника ОАВ допустимых планов нет. Рисуем аналогичные треугольники для второго и третьего ресурсов и накладываем их на треугольник ОАВ. В результате получаем следующую картинку. Х

12 39 Х2 Первый ресурс используется полностью Второй ресурс используется полностью Третий ресурс используется полностью О Рис Общая часть всех трех построенных треугольников представляет собой заштрихованный пятиугольник: ОАВСD. Х2 Х А=(0;2) В=(5;9) С=(2;3) D=(3;0) О Х Рис Координаты точек А и D мы уже знаем из предыдущих построений. B = b,b 2. Если планом B = b,b 2, то в соответствии с рисунком 3.3 Найдем координаты точек В и С. Начнем с ( ) производства будет вектор ( )

13 первый ресурс будет недоиспользован, а второй и третий ресурсы будут использованы полностью. Следовательно, для координат точки B = ( b,b 2 ) будут выполнены равенства: 36b + 42b2 = 558 2b + 20b2 = 240 Решаем эту систему уравнений. Применяем метод алгебраического сложения. Для этого замечаем, что коэффициент при b у второго уравнения в три раза меньше, чем у первого. Поэтому второе уравнение умножаем на 3. Получаем систему: 36b + 42b2 = b + 60b2 = 720 Теперь из второго уравнения вычитаем первое. Получаем: ( 36b + 60b2 ) ( 36b + 42b2 ) = или после приведения подобных членов: 8b 2 = = 62 Следовательно, b 2 = 62 8 = 9. Подставляем найденное значение b 2 во второе уравнение и получаем: 2b = 240, или 2b = = = 60. Окончательно теперь получаем: b = 60 2 = 5. Система решена. Теперь проверяем, действительно ли первый ресурс в точке В недоиспользуется. Для этого вычисляем: 9b + 3b2 = = 72 < 7. Действительно, первый ресурс недоиспользуется. Аналогично находим координаты точки C = ( c,c 2 ). Если планом производства будет вектор C = ( c,c 2 ), то в соответствии с рисунком 3.3 третий ресурс будет недоиспользован, а второй и первый ресурсы будут использованы полностью. Следовательно, для координат точки C = ( c,c 2 ) будут выполнены равенства: 9c + 3c2 = 7 36c + 42c2 = 558 Решаем эту систему уравнений. Применяем снова метод алгебраического сложения. Для этого замечаем, что коэффициент при c у первого уравнения в четыре раза меньше, чем у второго. Поэтому первое уравнение умножаем на 4. Получаем систему:

14 36c + 2c2 = c + 42c2 = 558 Теперь из второго уравнения вычитаем первое и получаем 30c 2 = 90. Следовательно, c 2 = = 3. Подставляем найденное значение c 2 в первое уравнение и получаем: 9c = 7 9 = 08. Окончательно теперь получаем: c = 08 9 = 2. Система решена. Осталось проверить, действительно ли третий ресурс в точке С недоиспользуется. Для этого вычисляем: 2c + 20c2 = = 204 < 240. Действительно, третий ресурс недоиспользуется. Оптимальным решением задачи (3.) является одна из пяти вершин пятиугольника ОАВСD. Чтобы окончательно решить, какая из вершин является оптимальным решением, составим следующую таблицу значений целевой функции в каждой из вершин пятиугольника: f O = = 0 f f f f ( ) ( A) = = 744 ( B) = = 798 ( C ) = = 762 ( D) = = 624 Из этой таблицы выбираем ту вершину, в которой значение целевой функции наибольшее, и делаем вывод, что вершина В является оптимальным решением задачи (3.). Для нахождения оптимальных оценок ресурсов y = ( y, y2, y3 ) решаем задачу: y 0 y2 0 y3 0 9y + 36y2 + 2y3 48 ( 3.2) 3y + 42y2 + 20y3 62 g ( y ) = 7 y + 558y y3 mi двойственную в задаче (3.). Для решения задачи (3.2) используем условия дополняющей нежесткости (2.5). Мы уже знаем, что оптимальным решением задачи (3.) является вершина B = ( x, x2 ) = ( 5,9 ). Вспоминаем из предыдущего анализа, что если планом является вершина В, то первый ресурс недоиспользуется. Следовательно, в соответствии с условием дополняющей нежесткости

15 (2.5.4) оптимальная оценка первого ресурса y = 0. Далее, из условия: x = 5 > 0 согласно условию дополняющей нежесткости (2.5.) первая технология в оптимальных оценках является эффективной: 9y + 36y2 + 2y3 = 48. Из условия: x 2 = 9 > 0 согласно также условию дополняющей нежесткости (2.5.) вторая технология в оптимальных оценках является также эффективной: 3y + 42y2 + 20y3 = 62. Окончательно, для нахождения оптимального решения задачи (3.2) осталось решить систему уравнений: 9y + 36y2 + 2y3 = 48 3y + 42y2 + 20y3 = 62 y = 0 Решаем эту систему методом алгебраического сложения и получаем: y = 0, y 2 =, y 3 =. Это и есть оптимальные оценки ресурсов Решение задачи линейного программирования (2.2) графическим способом Решение задачи линейного программирования (2.2) графическим способом основано на возможности графически изобразить множество допустимых оценок ресурсов этой задачи. Очевидно, для этого должно быть выполнено ограничение на количество неизвестных в задаче (2.2), а именно: m 2, т.к. нарисовать множество K 2 в пространстве 3 R уже мало кому доступно. В пространствах размерности m > 3, в принципе, отсутствует наглядная интерпретация множества K 2. Поэтому принимаем точно так же, как и при графическом решении задачи (2.), что нарисовать множество K 2 можно только в двух случаях: m = (задача ЛП (2.2) с одним ресурсом), и m = 2 (задача ЛП (2.) с двумя ресурсами). Случай m = очень простой, и его предлагается рассмотреть студентам в качестве самостоятельного упражнения.

16 Случай m = 2: задача ЛП (2.) с двумя ресурсами. Методику решения задачи (2.2) с двумя ресурсами опишем на следующем примере. Рассмотрим пару взаимно двойственных задач ЛП (2.)- (2.2) когда = 3, m = 2, со следующей табличной моделью: Математическая запись задачи (2.2) для этой табличной модели имеет вид: ( 3.3) y 0 y2 0 2y + 54y y + 56y y y2 g( y) = 460y + 340y2 mi Графически рисуем множество K 2. ). Ограничения y 0 y2 0 задают первый квадрант координатной плоскости (точки плоскости, обе координаты которых неотрицательны). 2). Строим ограничение по запрету сверхэффективности первой технологии. Математическая запись ограничения по запрету сверхэффективности первой технологии имеет вид: 2y + 54y Оценки ресурсов, при которых первая технология эффективна, удовлетворяют равенству: 2y + 54y2 = 408. На координатной плоскости это равенство описывает прямую линию. Нас интересует отрезок, по которому эта прямая пересекает первый квадрант, т.к. по первому условию вне первого квадранта допустимых оценок нет. Определим точку A = ( a ;a 2 ), в которой эта прямая пересекает ось y. Так как точка A лежит на координатной оси y, то вторая координата этой точки должна быть равна нулю: a 2 = 0. С другой стороны, так

17 как точка A лежит на прямой: 2y + 54y2 = 408, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой: 2a + 54a2 = 2a = 408. Отсюда получаем: a = = 34. Следовательно, A = ( 34;0 ). Аналогично определим координаты точки B = ( b ;b 2 ), в которой эта прямая пересекает ось y 2. Так как точка B лежит на координатной оси y 2, то первая координата этой точки должна быть равна нулю: b = 0. Так как точка B лежит на прямой: 2y + 54y2 = 408, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой: 2b + 54b2 = b2 = 408. Отсюда получаем: b 2 = = Следовательно, B = ( 0;7.56). Рисуем теперь отрезок с концами в точках A и B. Y2 При этих оценках первая технология не эффективна При этих оценках первая технология эффективна В При этих оценках первая технология сверх- эффективна О А Рис Точки y = ( y ; y 2 ), лежащие на отрезке [ A; B], представляют собой оценки ресурсов, при которых первая технология эффективна. Если точка y = ( y ; y 2 ) лежит внутри треугольника ОАВ, то при таких оценках первая технология сверх- эффективна, т.е. выполнено неравенство 2 y + 54y2 < 408. Если точка y = ( y ; y 2 ) лежит вне треугольника ОАВ, то при таких оценках первая технология неэффективна, т.е. выполнено неравенство: 2 y + 54y2 > 408. Убедиться в этом самостоятельно. Следовательно, внутри треугольника ОАВ допустимых оценок нет. Все до- A; B. пустимые оценки лежат вне треугольника ОАВ и на отрезке [ ] Y

18 Рисуем аналогичные отрезки для второй и третьей технологий и накладываем их на треугольник ОАВ. В результате получаем следующую картинку. 22 Y2 Третья технология эффективна Все технологии не эффективны 3. Вторая технология эффективна 7.6 Первая технология эффективна О Рис Рассмотрим множество G, которое является объединением точек первого квадранта, лежащих слева и снизу от какого-либо из трех построенных отрезков. Если оценки ресурсов представляются точкой множества G, то хотя бы одна технология будет в этих оценках сверх- эффективной. Следовательно, эти оценки не допустимы в задаче (3.3). Допустимыми являются только те оценки ресурсов, которые изображаются точками первого квадранта, не принадлежащими множеству G (см. заштрихованную область на рис. 3.6). Y

19 Y2 7.6 О 34 Рис Заштрихованная область представляет собой пятиугольник, верши- A = 0;22, B = ( 2;2 ), C = ( 6;4), нами которого являются точки: ( ) = ( 34;0 ) D и пятая вершина бесконечно удаленная точка (см. рис. 3.7). Y2 Y А=(0;22) В=(2;2) С=(6;4) D=(34;0) О 34 Рис D были найдены при по- Координаты вершин A = ( 0;22) и = ( 34;0 ) строении рисунка 3.5. Координаты вершины = ( 2;2) B находятся из условия, что в этой точке эффективными являются вторая и третья технологии, т.е. из решения системы уравнений: Y

20 32b + 56b2 = b + 2b2 = 264 Координаты вершины C = ( 6;4) находятся из условия, что в этой точке эффективны первая и вторая технологии, т.е. из решения системы уравнений: 2b + 54b2 = b + 56b2 = 736 Оптимальным решением задачи (3.3) является одна из вершин: A = ( 0;22), B = ( 2;2), C = ( 6;4), D = ( 34;0 ). Чтобы определить, какая именно вершина является оптимальным решением, построим следующую таблицу значений целевой функции g ( y) = 460y + 340y2 : g A = = g g ( ) 7480 ( B) = = 5000 ( C ) = = 8720 ( D) = = 5640 g Выбираем ту точку, в которой значение целевой функции наименьшее. Это будет точка B = ( 2;2), которая и будет оптимальным решением задачи (3.3). Оптимальные оценки ресурсов равны: для первого ресурса - y = 2, для второго ресурса - y 2 = 2. Теперь для нахождения оптимального плана x = ( x, x2, x3 ) в задаче (2.) решаем задачу (3.4): x 0 x2 0 x3 0 2x + 32x2 + 60x3 460 ( 3.4) 54x + 56x2 + 2x3 340 f ( x) = 408x + 736x x3 max Для решения задачи (3.4) используем условия дополняющей нежесткости. ) Во-первых, замечаем, что в оптимальных оценках = y 2, y 2 = 2 первая технология оказывается неэффективной. Действительно, справедливо неравенство: 2y + 54y2 = = 672 > 408. Следовательно, по условию (2.5.2) имеем x = 0.

21 2) Так как y = 2 > 0, то, по условию (2.5.3), первый ресурс на оптимальном плане используется полностью: 2x + 32x2 + 60x3 = 460. Так как y 2 = 2 > 0, то, по тому же условию (2.5.3), второй ресурс на оптимальном плане используется полностью: 54x + 56x2 + 2x3 = 340. Таким образом, для нахождения оптимального плана x = ( x, x2, x3 ) надо решить систему уравнений: x = 0 2x + 32x2 + 60x3 = x = 340 x2 x3 Решаем эту систему и находим: x = 0, x 2 = 5, x 3 = 5. Контрольная работа. Выбор варианта. Каждый студент выбирает номер варианта, совпадающий с двумя последними цифрами номера зачетной книжки. Этот параметр будет первой процедурой проверки контрольной работы. Если студент выбрал вариант по другой методике, то контрольная работа проверяться не будет. В отчете по выполнению контрольной работы должны быть представлены и описаны все шаги по нахождению оптимального плана и оптимальных оценок. Вариант 6..Предприятие производит два продукта: Х и Х2. Для производства каждого продукта расходуются два ресурса: R и R2. Для производства единицы продукта Х требуется 4 единиц ресурса R и 9.3 единиц ресурса R2. Для производства единицы продукта Х2 требуется 9.8 единиц ресурса R и 3.3 единиц ресурса R2. На предприятии имеется единиц ресурса R и 57.2 единиц ресурса R2. С каждой единицы продукта Х предприятие получает 6.87 единиц экономического эффекта. С каждой единицы продукта Х2 предприятие получает 7.87 единиц экономического эффекта. Ответить на следующие вопросы:. Найти план, выполнение которого обеспечит наибольший экономический эффект предприятию. 2. Вычислить предельную полезность каждого ресурса.

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Федеральное Агентство по образованию Российской Федерации ГОУ ВПО ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) Филькин Г.В. ЛЕКЦИИ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ для студентов экономических

Подробнее

Часть I МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ. Постановка задачи математического программирования

Часть I МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ. Постановка задачи математического программирования Часть I МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ Постановка задачи математического программирования Постановка любой задачи оптимизации начинается с определения набора независимых переменных

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 9

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция 9 ЧАСТЬ 5 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 9 ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: ввести понятие системы случайных величин и закона распределения систем двух случайных величин;

Подробнее

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Глава 2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 2.1. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Для решения задач линейного программирования симплексметодом следует выполнить ряд

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Лекция 27 Глава 3. Системы линейных неравенств 3.1. Основные понятия

Лекция 27 Глава 3. Системы линейных неравенств 3.1. Основные понятия Лекция 7 Глава. Системы линейных неравенств.. Основные понятия Системы линейных неравенств применяются для решения различных математических задач. Системой линейных неравенств из с неизвестными система

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ижевский государственный технический университет кафедра САПР МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине "Системный анализ" на тему

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР.

Лекции КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Лекции 5-6 КЛАССИФИКАЦИЯ ИГР. Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Задача 1. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4x+3y при следующих ограничениях:

Задача 1. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4x+3y при следующих ограничениях: Задача. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4+y при следующих ограничениях: Решить задачу при дополнительном условии (ДУ): ДУ: Найти минимум целевой функции L=-y при

Подробнее

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x

, которые реализует по фиксированным ценам p. y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

x2 a 2) ( x + x 2 a 2) x 2 a 2 =

x2 a 2) ( x + x 2 a 2) x 2 a 2 = 44. Гипербола Определение. Гиперболой называется множество всех точек на плоскости, координаты которых в подходящей системе координат удовлетворяют уравнению 2 2 y2 = 1, (1) b2 где, b > 0. Это уравнение

Подробнее

Контрольная работа по ММУ. Вариант 1. Задание 1. Решить графическим методом задачу линейного программирования:

Контрольная работа по ММУ. Вариант 1. Задание 1. Решить графическим методом задачу линейного программирования: Контрольная работа по ММУ Вариант Задание Решить графическим методом задачу линейного программирования: а) найти область допустимых значений многоугольник решений); б) найти оптимумы целевой функции. Дано:

Подробнее

Глава 2. Линейное программирование

Глава 2. Линейное программирование Глава 2 Линейное программирование В линейном программировании изучаются задачи об экстремуме линейной функции нескольких переменных при ограничениях типа равенств и неравенств, задаваемых также линейными

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Кафедра «Прикладная математика» С.В. Петропавловский ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА СБОРНИК ДОМАШНИХ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Кафедра «Прикладная математика» С.В. Петропавловский ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА СБОРНИК ДОМАШНИХ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Прикладная математика» С.В.

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Графическое решение задачи линейного программирования

Графическое решение задачи линейного программирования Графическое решение задачи линейного программирования Решить графически данную задачу линейного программирования. F 4 x 3x max x x 8 x 3x 9 x x 0 x 0 x 0 Решение. Найдем вначале область допустимых решений

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность.

ЛЕКЦИЯ 11. Линии второго порядка. В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и. Окружность. ЛЕКЦИЯ Линии второго порядка гиперболу В качестве примера найдем уравнения задающие окружность, параболу, эллипс и Окружность Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от заданной

Подробнее

Линейная алгебра Вариант 4

Линейная алгебра Вариант 4 Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплекс-метод решения задач линейного программирования Симплекс-метод решения задач линейного программирования Основным численным методом решения задач линейного программирования является так называемый симплекс-метод. Термин «симплекс-метод» связан с тем

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисные допустимые решения. Симплекс-метод (С.-м.)

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисные допустимые решения. Симплекс-метод (С.-м.) ЛЕКЦИЯ 2 Линейное программирование 1. Базисные допустимые решения 2. Критерий разрешимости Симплекс-метод (С.-м.) 1. Идея метода -1- Линейное программирование (ЛП) Задача линейного программирования (ЛП)

Подробнее

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом

Задачи с параметром (графический прием решения) Введение. План решения задач с параметром графическим методом Задачи с параметром (графический прием решения) Введение Применение графиков при исследовании задач с параметрами необычайно эффективно. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода.

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Эквивалентные формулировки задачи линейного программирования. Формулировка задачи линейного программирования. Напомним, что математически задача

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

4 Методы нахождения первоначальной крайней точки

4 Методы нахождения первоначальной крайней точки 4 Методы нахождения первоначальной крайней точки 4. Переход к решению двойственной задачи Рассмотрим метод решения задач линейного программирования путем перехода к двойственной задаче и решения полученной

Подробнее

Математическое программирование это область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач на

Математическое программирование это область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач на 4 ПРОГРАММА Тема. Линейное программирование Задачи планирования и управления, их математические модели. Общая постановка задач оптимизации. Различные формы записи задач линейного программирования (ЛП)

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

площадке компоненты (σn и τn соответственно). Пусть S- площадь наклонной площадки, тогда равенство сил в направлении нормали запишется в виде:

площадке компоненты (σn и τn соответственно). Пусть S- площадь наклонной площадки, тогда равенство сил в направлении нормали запишется в виде: Круги Мора Рассмотрим некоторый элемент (см. рис. в системе координат главных осей. Так как оси (ось перпендикулярна плоскости рис.- главные, то касательные напряжения на площадках, перпендикулярных к

Подробнее

К теме «Транспортная задача»

К теме «Транспортная задача» К теме «Транспортная задача» Математическая формулировка транспортной задачи. Построение опорного плана перевозок методом «северо-западного угла». Построение опорного плана перевозок методом минимальных

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Теория систем линейных уравнений

Теория систем линейных уравнений Глава Теория систем линейных уравнений Ранг матрицы Пусть A F m n Рассмотрим столбцы a,,a n матрицы A = (a,,a n ) как векторы пространства F m, а строки ã,,ã m как векторы пространства F n Базу (соответственно

Подробнее

Этап 3 Методы решения задачи линейного программирования (1)

Этап 3 Методы решения задачи линейного программирования (1) стр. Этап 3 Методы решения задачи линейного программирования Дано: f (X) = x + 3x 2 extr + x x 2 () 2x + x 2 (2) x, x 2 0 (3) а) Решить задачу графически Алгоритм графического решения задачи. Построить

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7

Уравнения прямой в пространстве. Лекция 7 Уравнения прямой в пространстве Лекция 7 1 Параметрические уравнения прямой Перейдём в векторном уравнении прямой в пространстве к координатной форме r ( x; y; z), r ( x ; y ; z ), a ( m; n; p) r r t a

Подробнее

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение

и имеет минимум, если. Максимум и минимум называют экстремумами функции. Из данного определения следует, что в окрестности точки максимума приращение Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f ( x,, x ) определена в области D, и точка x ( x,, x ) = принадлежит данной области Функция u = f ( x,, x ) имеет

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Тема 1. Определители. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Тема 1. Определители. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера Тема. Определители. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера При умножении определителя на число на это число умножаются все элементы определителя первые две строки все элементы какой-нибудь

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра высшей математики П. И. Гниломедов И. Н. Пирогова П. П. Скачков ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

К теме «Линейное программирование. Симплексный метод решения задач ЛП.»

К теме «Линейное программирование. Симплексный метод решения задач ЛП.» К теме «Линейное программирование. Симплексный метод решения задач ЛП.» Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений

Подробнее

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения»

МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Государственное образовательное учреждение Среднего профессионального образования «Котовский индустриальный техникум» МАТЕМАТИКА Модуль по теме: «Прямая на плоскости и ее уравнения» Котовск, 4 г. Учебное

Подробнее

2. Эллипс и его свойства

2. Эллипс и его свойства . Эллипс и его свойства Определение.. Эллипсом называется кривая второго порядка, определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением b, b 0. (.) Равенство (.) называется каноническим

Подробнее

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Лекция 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Лекция ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН -МЕРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить числовые характеристики системы двух случайных величин: начальные и центральные моменты ковариацию

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи. Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок. Распространенность в

Подробнее

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных).

Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных). Лекция3. 3. Метод Ньютона (касательных. Зададим некоторое начальное приближение [,b] и линеаризуем функцию f( в окрестности с помощью отрезка ряда Тейлора f( = f( + f '( ( -. (5 Вместо уравнения ( решим

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A 6 ресурсов на производство единицы каждого вида продукции, вектор b 150

три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A 6 ресурсов на производство единицы каждого вида продукции, вектор b 150 Линейная производственная задача. Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя при этом три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A затрат 7 8 ресурсов на производство единицы

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства

Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства Тема 2-14: Евклидовы и унитарные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Введение. 1. Задача линейного программирования. Основные понятия

Введение. 1. Задача линейного программирования. Основные понятия Введение Данные методические указания адресованы студентам заочной формы обучения всех специальностей, которые будут выполнять контрольную работу т 4 по высшей математике, и охватывают раздел математического

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Линейные операторы. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Линейные операторы. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Линейные операторы (теория к задачам) 206 6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ МАТРИЦЫ В ДАННОМ БАЗИСЕ 6.. Произведением матрицы размера m на вектор-столбец x высоты называется вектор-столбец

Подробнее

Лекция 9: Подпространства

Лекция 9: Подпространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение подпространства. Примеры подпространств (1) Определение Непустое подмножество

Подробнее

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ

МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 7 РАНГ МАТРИЦЫ КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ МАТРИЦЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1 РАНГ МАТРИЦЫ В векторном пространстве R m столбцов высоты m рассмотрим n векторов A (j) = [a 1j, a 2j,..., a mj ], j = 1, 2,..., n, и

Подробнее

Линейная алгебра

Линейная алгебра Линейная алгебра 22.12.2012 Линейные модели в экономике Линейное программирование Теория двойственности Линейная алгебра (лекция 15) 22.12.2012 2 / 28 Линейное программирование Каждой задаче линейного

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА

Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА Конспект лекции 13 ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА И ПАРАБОЛА 0. План лекции Лекция Эллипс, Гипербола и Парабола. 1. Эллипс. 1.1. Определение эллипса; 1.2. Определение канонической системы координат; 1.3. Вывод уравнения

Подробнее

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n.

2 Два вектора x, y R n будем считать равными тогда и только тогда, когда x k = y k для всех k = 1,..., n. ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1 1. Пространства R n и C n. Пространство R n это множество всех упорядоченных наборов x = (x 1, x 2,..., x n ) вещественных чисел, n 1 фиксированное целое число. Элементы

Подробнее

Графическое решение задачи

Графическое решение задачи Решить задачу линейного программирования, где 3x12x2 8 x14x2 10 x1 0 x 2 0 LX3x14x2 max а) геометрическим способом, б) перебором базисных решений, в) симплекс-методом. Графическое решение задачи L X 3x14

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Г.М. БАРТЕНЕВ, А.Н. ДУК, Е.Г. ТКАЧЕНКО, В.В. ТОЛСТОЙ, Н.В. ЦЕЛУЙКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Раздел Математическое

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Автор теста: Мухаметжанова Ж.С. Название теста: Моделирование экономических процессов и систем Предназначено для студентов специальности: Учет и

Автор теста: Мухаметжанова Ж.С. Название теста: Моделирование экономических процессов и систем Предназначено для студентов специальности: Учет и Автор теста: Мухаметжанова Ж.С. Название теста: Моделирование экономических процессов и систем Предназначено для студентов специальности: Учет и аудит курс, 3 г.о., ДОТ Семестр: 2 Количество кредитов:

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 10. Прямая и плоскость в пространстве ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция Прямая и плоскость в пространстве Содержание: Уравнение плоскости Взаимное расположение плоскостей Векторно-параметрическое уравнение прямой Уравнения прямой по двум точкам Прямая

Подробнее

Тема 2-1: Линейные пространства

Тема 2-1: Линейные пространства Тема 2-1: Линейные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Лекции подготовила доц. Мусина М.В. Лекция 4. Задача о назначениях.

Лекции подготовила доц. Мусина М.В. Лекция 4. Задача о назначениях. Лекция. Задача о назначениях. Постановка задачи. Институт получил гранты на выполнение четырех исследовательских проектов. Выходные результаты для первого проекта являются входными данными ля второго проекта

Подробнее

Линейное программирование

Линейное программирование Линейное программирование Задача 1... 2 Задача 2... 3 Задача 3... 5 Задача 4... 7 Задача 5... 10 Задача 6... 12 Задача 7... 15 Задача 8... 19 Задача 9... 21 Задача 10... 24 Задача 11... 27 Задача 1. Составить

Подробнее

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14.

Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Лекция 14. Раздел 7. УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция 4. Тема: Уравнения прямой и плоскости в пространстве 7. Система координат в пространстве Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат

Подробнее

Экономико-математические методы и модели.

Экономико-математические методы и модели. ИНСТИТУТ МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Экономико-математические методы и модели. МОСКВА - 00 Практические задания

Подробнее

Тема 2-20: Аффинные пространства

Тема 2-20: Аффинные пространства Тема 2-20: Аффинные пространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2

Подробнее

Тема 1-12: Линейные операции над векторами

Тема 1-12: Линейные операции над векторами Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами

3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами 3 Конечномерные гладкие задачи с равенствами и неравенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.

Подробнее

3. Гипербола и её свойства

3. Гипербола и её свойства 3. Гипербола и её свойства Определение 3.. Гиперболой называется кривая определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением 0. (3.) а Равенство (3.) называется каноническим уравнением

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Пример решения варианта контрольной работы 1.

Пример решения варианта контрольной работы 1. Пример решения варианта контрольной работы Задание Вычислить определитель Решение: при решении подобных задач используются следующие свойства определителя: ) Если в определителе все элементы какой-либо

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

Лекция 4. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:

Лекция 4. МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. и называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: Лекция МНОЖЕСТВО КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 1 Понятие комплексного числа Алгебраическая форма комплексного числа Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа 1 Понятие комплексного числа Алгебраическая

Подробнее

6.4. Системы случайных величин

6.4. Системы случайных величин Лекция 4.9. Системы случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин (СДСВ). Свойства функции 6.4. Системы случайных величин В практике часто встречаются задачи которые описываются

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее