Метод сокращения отрицательных индексных элементов при поиске начального базисного псевдооптимального решения задачи линейного программирования

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Метод сокращения отрицательных индексных элементов при поиске начального базисного псевдооптимального решения задачи линейного программирования"

Транскрипт

1 Истомин Леонид Александрович Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического обеспечения и администрирования информационных систем Уральский государственный экономический университет 62144, РФ, г Екатеринбург, ул 8 Марта/Народной воли, 62/45 Контактный телефон: (343) e-mil: Метод сокращения отрицательных индексных элементов при поиске начального базисного псевдооптимального решения задачи линейного программирования Ключевые слова: линейное программирование; симплекс-метод; начальное базисное решение; начальное псевдооптимальное базисное решение Аннотация Опираясь на произвольное базисное решение системы уравнений задачи линейного программирования канонического вида, автор продолжает рассматривать (см: Известия УрГЭУ 29 2(24)) метод получения для задачи начального псевдооптимального базисного решения предыдущей работе [1] обсуждалась ситуация, когда первоначальное базисное решение задачи линейного программирования (ЛП) канонического вида не являет- В ся ни допустимым (т е не выполняется условие x ), ни псевдооптимальным (т е не выполняется условие ) В той же работе был рассмотрен метод сокращения отрицательных компонент, позволяющий найти начальное допустимое базисное решение задачи с дальнейшим доведением его до оптимального с помощью прямого симплекс-метода Однако иногда удобнее использовать двойственный симплекс-метод [2], работающий с псевдооптимальным базисным решением задачи ЛП Но для этого надо иметь некоторое начальное псевдооптимальное базисное решение Данная работа посвящена рассмотрению именно этого вопроса Пусть исходная задача линейного программирования L имеет канонический вид и ее система уравнений разрешена относительно первых базисных переменных, т е задача имеет вид: { c x + c x Ex + Ax = b x x } mx :,,, тогда двойственной ей задачей L * будет: { b v v c A v c} min :, Здесь x = (,,, x n ) вектор решений задачи L ; x = ( x1, x2,, x m ) совокупность базисных переменных; x = ( xm+ 1, xm+ 2,, xn) совокупность небазисных (свободных) переменных; Е единичная матрица порядка m; А матрица размерности (m (n m)); b = (b 1, b 2,, m) вектор правых частей уравнений задачи L (предполагаем b ); c Б = = (c 1, c 2,, c m ) и c = ( cm+ 1, cm+ 2,, cn) соответственно векторы коэффициентов линейной целевой функции задачи L, относящиеся к базисным и небазисным переменным; v = (v 1, v 2,, v m ) вектор решений двойственной задачи L * Задачу L решаем, используя симплекс-таблицу, которая в агрегированной блочной форме имеет следующий вид: Истомин Л А, 29 4 (26) 29 Известия УрГЭУ 41

2 Симплекс-таблица задачи L mx c c c1 c2 Б с Б x x1 x2 x Б с Б Е A 11 A 12 b 1 A 21 A 22 b 2 < = < z Введем обозначения: I = {i =1, 2,, m} совокупность индексов всех строк; I 1 = {i I : b i } индексы строк, для которых b i ; I 2 = {i I : b i < } индексы строк, для которых b i < ; J = { = 1, 2,, n} индексы всех столбцов переменных; J Б = { J : = 1, 2,, m} индексы столбцов базисных переменных; J = { J : J } индексы столбцов небазисных переменных; J1 = { J : J, } индексы столбцов небазисных переменных, для которых условие оптимальности выполняется, т е ; J2 = { J : J, z < } индексы столбцов небазисных переменных, для которых условие оптимальности не выполняется, т е < В основе предлагаемого метода сокращения отрицательных индексных элементов лежит следующее Утверждение: если для некоторого подмножества J J2 для всех i I выполняется условие J i то двойственная задача L * не имеет допустимых решений Действительно, множество допустимых решений v = (v 1, v 2,, v m ) задачи L * задается неравенствами v c Б, Av c Принимая во внимание симплекс-таблицу задачи L, возьмем v = c Пусть v приращение к решению v = c, такое, что v = v+ v = c + v будет допустимым решением задачи L *, т е для него выполняется, c Б + v c Б, A ( c + v) c ( J) Отсюда следует, что v должно удовлетворять неравенствам ( ) v, A v Ac c = ( J) Складывая левые и правые части неравенств, относящиеся к индексам J получим соотношение ( A v) = vi i J i I J J Учитывая v i (i I), i (i I) нетрудно видеть, что J v i i i I J J, 2 42 Известия УрГЭУ 4 (26) 29

3 Тогда как из < для J J следует 2 z > J ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СИНЕРГЕТИКА Таким образом, указанное соотношение не может выполняться ни для каких допустимых v; последнее означает, что задача L * не имеет допустимых решений, а исходная задача L не имеет оптимального решения или даже допустимого Схема метода Шаг 1 Возьмем J J2 и сложим по всем строкам элементы i, относящиеся к столбцам J 2 Если для всех строк будет J2 i то в силу Утверждения задача L * не имеет допустимых решений, а задача L является неразрешимой Если для некоторой строки i будет i J2 то переходим к шагу 2 Шаг 2 Выбор разрешающей строки В качестве разрешающей строки выбираем строку i, для которой i > и является наибольшей по абсолютной величине, т е J2, >, выбор строки осуществляется в соответствии с правилом = mx : i= 1, 2,, m i i J2 J2 Выбрав разрешающую строку i, переходим к шагу 3 Шаг 3 Выбор разрешающего столбца Этот выбор осуществляется в соответствии с правилом z = mx :, i < z<, i>, (1) i i отметим, что i Наличие такого столбца гарантируется выполнением условия i J2 из которого следует существование i > для некоторого < Для ускорения поиска псевдооптимального базисного решения можно рекомендовать более усложненное правило выбора разрешающего столбца Сначала определяем затем 1 i1 i >, = mx :, i <, z z z 2 1 = min : z<, i > i i i 2 i1 4 (26) 29 Известия УрГЭУ 43

4 Тогда разрешающий столбец определяется правилом z z 1 2 = mx ; i i 1 i2 (2) Выбрав разрешающий столбец и вместе с этим разрешающий элемент таблицы i, переходим к шагу 4 Шаг 4 Преобразование симплекс-таблицы по методу Жордана-Гаусса относительно разрешающего элемента i : 1) элементы любой строки (в том числе индексной), не являющейся разрешающей, в новой таблице получаются сложением элементов этой строки старой таблицы с элементами разрешающей строки i старой таблицы, предварительно умноженными на i число ; i 2) элементы разрешающей строки i новой таблицы получаются делением элементов строки i старой таблицы на i ; 3) старая базисная переменная x i и коэффициент c i, стоящие в столбцах Б и с Б, меняются на новые x и c Вышеописанную процедуру повторяем, пока не получим псевдооптимальное базисное решение и возможность продолжить решение задачи двойственным симплексметодом Покажем, что в результате такой процедуры с использованием правила (1) выбора разрешающего столбца неотрицательные индексные элементы таблицы остаются снова неотрицательными, а число отрицательных < возможно уменьшится, или, по крайней мере, увеличится величина δ=, J2 обеспечивая этим регулярность метода Действительно, для и i будет z = z+ i i Для и < из i следует i, i i i i i и z = i Таким образом, если было, то и новые i Покажем выполнение неравенства δ δ, где δ и δ соответственно сумма отрицательных индексных элементов для исходного и нового базисных решений Сначала убедимся, что если <, то для новых значений будет Если < и i, то z = i z < i Если < и i >, то из z следует i i, z = i i i i i i 44 Известия УрГЭУ 4 (26) 29

5 Таким образом, если было <, то для новых значений индексных элементов будет, и, следовательно, z = для J / J Принимая во внимание данное заме- чание и неравенства i J 2 i 2 2 >,, получаем δ = z= z = i = i z =δ, δ δ J J J i J i J2 J 2 Итак, если разрешающий столбец выбирается по правилу (1), то δ δ, а в предположении отсутствия зацикливания при < будет δ >δ i Аналогично предыдущему исследуется вариант выбора разрешающего столбца по правилу (2) В этом случае либо получим увеличение числа неотрицательных индексных элементов более чем на одно, либо получим δ δ Так как число базисных решений задачи L конечно, то через некоторое конечное число итераций либо придем к δ = и, следовательно, получим псевдооптимальное базисное решение задачи L, либо придем к ситуации, указывающей на отсутствие допустимых решений задачи L *, т е указывающей на неразрешимость задачи L В заключение рассмотрим пример из [1] Найти mx (3 ) при ограничениях: , 3 36, 2 1, 3 31, 55,, Вводя дополнительные переменные,,,,, приведем исходную задачу к каноническому виду: найти mx ( ) при ограничениях = 18, 3 = 36, 2 = 1, 3 + = 31, + = 55,,,,,,, Используем дополнительные переменные для формирования начального базисного решения системы уравнений задачи Для этого систему уравнений запишем в виде = 18, = 36, = 1, 3 + = 31, + = 55, для которой базисным решением будет =, =, = 18, = 36, = 1, = 31, = 55 Далее задаче линейного программирования и ее базисному решению поставим в соответствие начальную симплекс-таблицу 4 (26) 29 Известия УрГЭУ 45

6 mx с 3 1 Симплекс-таблица 1 баз с баз Как видим, исходное базисное решение не является ни допустимым (так как b ), ни псевдооптимальным (так как ) Займемся поиском псевдооптимального базисного решения Шаг 1 Рассмотрим столбцы таблицы, для которых < и сложим элементы этих столбцов по строкам, вычисляя суммы i Если все i ( i= 1, 2,, m), то задача решения не имеет Если имеется i J2 J2 J2 >, то переходим к следующему шагу В нашем случае только для одного столбца, относящегося к, 1 = 3 <, и для третьей и четвертой строк элементы 2 > и 3 > Переходим к следующему шагу Шаг 2 Выбираем разрешающую строку, отмечая ее справа от таблицы стрелкой Из третьей и четвертой строки выбираем четвертую, так как 3 > 2 Шаг 3 Выбор разрешающего столбца Под индексной строкой записываем элементы вспомогательной строки t, деля на отрицательные элементы четвертой строки, а < на положительные элементы этой строки В качестве разрешающего берем столбец, отвечающий наибольшему элементу строки t Если таких элементов несколько, то берем один (лучше тот, где < ) Выбор разрешающего столбца отмечаем снизу стрелкой Округлением отмечаем разрешающий элемент, стоящий на пересечении разрешающих строки и столбца Симплекс-таблица 1 получает следующий вид: mx с 3 1 Симплекс-таблица 2 баз с баз t 1 1 Шаг 4 Преобразуем симплекс-таблицу 2 по методу Жордана-Гаусса относительно разрешающего элемента 41 = 3 Получаем новое базисное решение и отвечающую ему новую симплекс-таблицу 3, из которой видим, что новое базисное решение является псевдооптимальным (все ), поэтому дальше действуем в соответствии с двойственным симплекс-методом 46 Известия УрГЭУ 4 (26) 29

7 Симплекс-таблица 3 mx с 3 1 баз с баз /3 1 2/3 65/ /3 1/3 31/3 14/3 1/ / t 2/3 Из второй и третьей строк, для которых b 2 = 5 < и b 3 = 65/3 <, выбираем третью (так как 65/3 < 5), т е i = 3 Рассчитываем элементы вспомогательной строки t, деля (все ) на i < В качестве разрешающего берем столбец, так как для него элемент t = наибольший Производим преобразование симплекс-таблицы 3 относительно элемента 32 = 13/3 Получаем симплекс-таблицу 4 mx с 3 1 Симплекс-таблица 4 баз с баз 1 9/13 19/ /13 25/ /13 2/ /13 5/ /13 5/ Так как в этой таблице все b, она представляет собой оптимальное базисное решение задачи, а именно: = 12; = 5; = 28; = 25; = ; = ; = 42 и ее значение равно z mx = 31 Представляет интерес для разрешимой задачи L существование такого разрешающего элемента i в симплекс-таблице, который устраивал бы оба метода, так как в этом случае при переходе к новому базисному решению осуществляется одновременное приближение к множествам допустимых и псевдооптимальных решений задачи Источники 1 Истомин Л А Метод сокращения отрицательных компонент при поиске допустимого базисного решения задачи линейного программирования // Известия Урал гос экон ун та 29 2 (24) 2 Акулич И Л Математическое программирование в примерах и задачах М : Высшая школа, (26) 29 Известия УрГЭУ 47

Метод сокращения отрицательных компонент при поиске допустимого базисного решения задачи линейного программирования

Метод сокращения отрицательных компонент при поиске допустимого базисного решения задачи линейного программирования Истомин Леонид Александрович Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Уральский государственный экономический университет 62144, РФ, г Екатеринбург, ул 8 Марта/Народной воли,

Подробнее

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Глава 2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 2.1. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Для решения задач линейного программирования симплексметодом следует выполнить ряд

Подробнее

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Эквивалентные формулировки задачи линейного программирования. Формулировка задачи линейного программирования. Напомним, что математически задача

Подробнее

Решение задачи целочисленного программирования методом Гомори. Решение двойственной задачи

Решение задачи целочисленного программирования методом Гомори. Решение двойственной задачи Решение задачи целочисленного программирования методом Гомори. Решение двойственной задачи ЗАДАНИЕ.. Найти целочисленное решение задачи линейного программирования..составить двойственную задачу и решить

Подробнее

Построение математической модели задачи. Симплекс-метод решения задачи, метод искусственного базиса.

Построение математической модели задачи. Симплекс-метод решения задачи, метод искусственного базиса. ) Задача о планировании производства. Производственному участку может быть запланировано к изготовлению на определённый плановый период времени два вида изделий: A и B. На производство единицы изделия

Подробнее

Нахождение решения задачи параметрического программирования.

Нахождение решения задачи параметрического программирования. Нахождение решения задачи параметрического программирования. ешение задачи, целевая функция которой содержит параметр. Продолжим рассмотрение задачи (1)-(3). Считая значение параметра t равным некоторому

Подробнее

Симплекс-метод решения задачи.

Симплекс-метод решения задачи. 1) Решить симплекс-методом задачу линейного программирования 10x1 7x2 5x3 min 6x1+ 15x2 + 6x3 9 14x1+ 42x2 + 16x3 21 2x1+ 8x2 + 2x3 4 x j 0 ( j = 1, 2, 3) Симплекс-метод решения задачи. Симплексный метод

Подробнее

Графическое решение задачи

Графическое решение задачи На приобретение машин для участка выделены 30 т.р. Производственная площадь участка - 70 м 2. Можно закупить машины двух видов: стоимостью 3 т.р. и 5 т.р. олее дорогая машина требует для установки 12 м

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисные допустимые решения. Симплекс-метод (С.-м.)

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисные допустимые решения. Симплекс-метод (С.-м.) ЛЕКЦИЯ 2 Линейное программирование 1. Базисные допустимые решения 2. Критерий разрешимости Симплекс-метод (С.-м.) 1. Идея метода -1- Линейное программирование (ЛП) Задача линейного программирования (ЛП)

Подробнее

Графическое решение задачи

Графическое решение задачи Решить задачу линейного программирования, где 3x12x2 8 x14x2 10 x1 0 x 2 0 LX3x14x2 max а) геометрическим способом, б) перебором базисных решений, в) симплекс-методом. Графическое решение задачи L X 3x14

Подробнее

Точка пересечения не принадлежит области. Построим область допустимых решений.

Точка пересечения не принадлежит области. Построим область допустимых решений. Задача. Решить графически ma F Находим точки пересечения прямых определяющих неравенства. Отсюда Точка пересечения не принадлежит области. Построим область допустимых решений. Построим вектор направления

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ 1. ЗАДАНИЕ ЭТАПЫ РАБОТЫ Формирование математической модели задачи Решение прямой задачи симплекс-методом...

СОДЕРЖАНИЕ 1. ЗАДАНИЕ ЭТАПЫ РАБОТЫ Формирование математической модели задачи Решение прямой задачи симплекс-методом... СОДЕРЖАНИЕ. ЗАДАНИЕ.... ЭТАПЫ РАБОТЫ..... Формирование математической модели задачи..... Решение прямой задачи симплекс-методом..... Построение двойственной задачи... 6.4. Решение прямой и двойственной

Подробнее

Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплекс-метод решения задач линейного программирования Симплекс-метод решения задач линейного программирования Основным численным методом решения задач линейного программирования является так называемый симплекс-метод. Термин «симплекс-метод» связан с тем

Подробнее

4 Методы нахождения первоначальной крайней точки

4 Методы нахождения первоначальной крайней точки 4 Методы нахождения первоначальной крайней точки 4. Переход к решению двойственной задачи Рассмотрим метод решения задач линейного программирования путем перехода к двойственной задаче и решения полученной

Подробнее

Линейное программирование

Линейное программирование Линейное программирование Задача 1... 2 Задача 2... 3 Задача 3... 5 Задача 4... 7 Задача 5... 10 Задача 6... 12 Задача 7... 15 Задача 8... 19 Задача 9... 21 Задача 10... 24 Задача 11... 27 Задача 1. Составить

Подробнее

Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Excel ЗАДАНИЕ. кг сырья первого типа, a

Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Excel ЗАДАНИЕ. кг сырья первого типа, a Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Ecel ЗАДАНИЕ. Предприятие выпускает два вида продукции: Изделие и Изделие. На изготовление единицы

Подробнее

ЗАЦИКЛИВАНИЕ В СИМПЛЕКС-МЕТОДЕ: МИНИМАЛЬНАЯ ДЛИНА ЦИКЛА РАВНА ШЕСТИ

ЗАЦИКЛИВАНИЕ В СИМПЛЕКС-МЕТОДЕ: МИНИМАЛЬНАЯ ДЛИНА ЦИКЛА РАВНА ШЕСТИ ЗАЦИКЛИВАНИЕ В СИМПЛЕКС-МЕТОДЕ: МИНИМАЛЬНАЯ ДЛИНА ЦИКЛА РАВНА ШЕСТИ И. В. Агафонова ivagafonovaspb@gmail.com 26 октября 2012 г. Рассматривается задача линейного программирования в канонической форме: f(x):=c[n]

Подробнее

3 Симплекс-метод. 3.1 Базисные решения ЗЛП

3 Симплекс-метод. 3.1 Базисные решения ЗЛП 3 Симплекс-метод Поиск оптимального решения ЗЛП путем простого перебора крайних точек допустимого множества возможен, но совершенно непрактичен с вычислительной точки зрения. Неэффективность такого подхода

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 4

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ Часть 4 Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Ростовский ордена Трудового Красного Знамени государственный университет Л.Н.Землянухина, А.Б.Зинченко, Л.И.Сантылова МЕТОДИЧЕСКИЕ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисно допустимые решения (продолжение)

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисно допустимые решения (продолжение) ЛЕКЦИЯ 2 Линейное программирование 1. Базисно допустимые решения (продолжение) 2. Критерий разрешимости 3. Идея симплекс-метода 4. Элементарное преобразование б.д.р. 5. Симплекс-таблицы -1- ЛП: понятие

Подробнее

определяется матрицей A.

определяется матрицей A. Задание.Мебельная фабрика планирует выпуск двух видов продукции А и Б. Спрос на продукцию не определен, однако можно предполагать, что он может принимать одно из трех состояний (I, II и III). В зависимости

Подробнее

Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.

Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Общая математическая формулировка основной задачи линейного программирования: дана система m линейных уравнений с n неизвестными a11x1 a12

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 7. Лектор: Плясунов Александр Владимирович Линейное программирование (ЛП)

ЛЕКЦИЯ 7. Лектор: Плясунов Александр Владимирович  Линейное программирование (ЛП) ЛЕКЦИЯ 7 Лектор: Плясунов Александр Владимирович http://www.math.nsc.ru/lbrt/k5/mo.html Линейное программирование (ЛП) 1. Базисные допустимые решения 2. Симплекс-таблица 3. Симплекс-метод -1- Линейное

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 8. Линейное программирование (ЛП)

ЛЕКЦИЯ 8. Линейное программирование (ЛП) ЛЕКЦИЯ 8 Линейное программирование (ЛП) 1. Симплекс-метод 2. Теория двойственности -1- Содержательное описание с.-м. x(t), t 0 : x σ(i) (t) = x σ(i) z is t, x s (t) = t, (4) x j (t) = 0, j S \s -2- Содержательное

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Симплекс-метод (С.-м.)

ЛЕКЦИЯ 4. Симплекс-метод (С.-м.) 1. Идея метода ЛЕКЦИЯ 4 Симплекс-метод (С.-м.) 2. Симплекс-таблица (с.-т.) 3. Элементарное преобразование б.д.р., базиса и с.-т. 4. Алгоритм симплекс-метода -1- Пусть S S = {1,..., n}, S S =. Множество

Подробнее

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 20 ноября 2010 г. Симплекс-метод решения задач линейного программирования является одним из выдающихся математических достижений 20-го

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ОПТИМИЗАЦИЯ РАСКРОЯ ЛИСТОВЫХ МАТЕРИАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИМПЛЕКС МЕТОДА

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ОПТИМИЗАЦИЯ РАСКРОЯ ЛИСТОВЫХ МАТЕРИАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИМПЛЕКС МЕТОДА Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Машиностроительный факультет Кафедра «Технология машиностроения» ОПТИМИЗАЦИЯ РАСКРОЯ ЛИСТОВЫХ МАТЕРИАЛОВ С

Подробнее

Контрольная работа по ММУ. Вариант 1. Задание 1. Решить графическим методом задачу линейного программирования:

Контрольная работа по ММУ. Вариант 1. Задание 1. Решить графическим методом задачу линейного программирования: Контрольная работа по ММУ Вариант Задание Решить графическим методом задачу линейного программирования: а) найти область допустимых значений многоугольник решений); б) найти оптимумы целевой функции. Дано:

Подробнее

Симплекс-метод для решения задач линейного программирования

Симплекс-метод для решения задач линейного программирования для решения задач линейного программирования Арсений Мамошкин СПбГУ ИТМО Кафедра КТ 2010 г. Мамошкин А. М. (СПбГУ ИТМО КТ) http://rain.ifmo.ru/cat 1 / 28 Содержание Формулировка задачи 1. Формулировка

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 12. Первый (или циклический) алгоритм Гомори

ЛЕКЦИЯ 12. Первый (или циклический) алгоритм Гомори ЛЕКЦИЯ 12 Первый (или циклический) алгоритм Гомори 2. Понятие отсечения 3. Описание алгоритма 4. Конечность метода 1. Лексикографический двойственный симплекс-метод -1- Лексикографический двойственный

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3. Линейное программирование. 3. Теория двойственности линейного программирования

ЛЕКЦИЯ 3. Линейное программирование. 3. Теория двойственности линейного программирования ЛЕКЦИЯ 3 Линейное программирование 1. Базисно допустимые решения 2. Критерий разрешимости 3. Теория двойственности линейного программирования -1- ЛП: понятие базисного допустимого решения (б.д.р.). Базис

Подробнее

АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА

АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА Прежде всего нужно знать, что симплекс-метод является универсальным методом решения задач линейного программирования (ЗЛП) в том смысле, что он позволяет решать ЗЛП с любым количеством

Подробнее

три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A 6 ресурсов на производство единицы каждого вида продукции, вектор b 150

три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A 6 ресурсов на производство единицы каждого вида продукции, вектор b 150 Линейная производственная задача. Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя при этом три вида ресурсов. Известны технологическая матрица A затрат 7 8 ресурсов на производство единицы

Подробнее

Глава 2. Линейное программирование

Глава 2. Линейное программирование Глава 2 Линейное программирование В линейном программировании изучаются задачи об экстремуме линейной функции нескольких переменных при ограничениях типа равенств и неравенств, задаваемых также линейными

Подробнее

ВЫРОЖДЕННОСТЬ В ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

ВЫРОЖДЕННОСТЬ В ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ВЫРОЖДЕННОСТЬ В ЗАДАЧАХ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И. В. Агафонова ivagafonova@home.eltel.net В А. Даугавет vadaug@yandex.ru 11 декабря 2010 г. Рассматривается задача линейного программирования в канонической

Подробнее

Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б.

Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б. Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б. Block linear programming problem. Decomposition method Dantsinga-Wolf Orlov

Подробнее

МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ И.Я. Заботин, Я.И. Заботин МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ КАЗАНЬ 4 УДК 59.85 ББК.8 З Печатается по решению Редакционно-издательского совета

Подробнее

Этап 3 Методы решения задачи линейного программирования (1)

Этап 3 Методы решения задачи линейного программирования (1) стр. Этап 3 Методы решения задачи линейного программирования Дано: f (X) = x + 3x 2 extr + x x 2 () 2x + x 2 (2) x, x 2 0 (3) а) Решить задачу графически Алгоритм графического решения задачи. Построить

Подробнее

Задача 1. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4x+3y при следующих ограничениях:

Задача 1. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4x+3y при следующих ограничениях: Задача. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4+y при следующих ограничениях: Решить задачу при дополнительном условии (ДУ): ДУ: Найти минимум целевой функции L=-y при

Подробнее

Линейное программирование. Славнейшев Ф.В.

Линейное программирование. Славнейшев Ф.В. Линейное программирование Славнейшев Ф.В. Пример задачи На заводе можно разместить 7 конвейеров. При этом есть два вида конвейеров обычные и роботизированные. У каждого свои плюсы и минусы. Нужно выбрать,

Подробнее

Высшая и прикладная математика в примерах и задачах. Раздел «Математическое программирование»

Высшая и прикладная математика в примерах и задачах. Раздел «Математическое программирование» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ СЕМЕНА КУЗНЕЦА Высшая и прикладная математика в примерах и задачах. Раздел «Математическое программирование»

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ижевский государственный технический университет кафедра САПР МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине "Системный анализ" на тему

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ: ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ: ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Министерство образования Республики еларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Т. П. ышик В. Л. Мережа МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ: ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Подробнее

Линейная алгебра

Линейная алгебра Линейная алгебра 08.12.2012 Линейные модели в экономике Линейное программирование Линейная алгебра (лекция 13) 08.12.2012 2 / 25 Задача линейного программирования: F (x 1, x 2,..., x n ) = n c j x j max(min),

Подробнее

Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

Методические рекомендации для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Математика и теоретическая механика» Методические рекомендации

Подробнее

4.4 Экономическая интерпретация двойственной задачи

4.4 Экономическая интерпретация двойственной задачи 4.4 Экономическая интерпретация двойственной задачи За двойственными переменными стоят не только числа, по которым, следуя теореме 4.2, можно найти решение прямой задачи, но и определенный содержательный

Подробнее

ВАРИАНТ 5. Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

ВАРИАНТ 5. Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей ВАРИАНТ 5 Для изготовления различных изделий А, В, С предприятие использует различных вида сырья. Используя данные таблицы: Вид сырья Нормы затрат сырья Кол-во сырья А В С I II III 18 6 5 15 4 12 8 540

Подробнее

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС. В. Н. Малозёмов. 28 февраля 2013 г. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ПОДПРОСТРАНСТВО И НА СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru 28 февраля 2013 г. В докладе на двух примерах показывается, чем различаются классические и неклассические

Подробнее

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины. Тема СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ Система m линейных уравнений с переменными в общем случае имеет вид: m m m m ) где числа ij i, m, j, ) называются коэффициентами при переменных, i - свободные члены, j -

Подробнее

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР, ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Ýêîíîìèêà УДК 5985 ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДОВ МАТРИЧНЫХ ИГР ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ К ПЛАНИРОВАНИЮ ВОЕННЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 00 АИ Чегодаев* Ключевые слова: чистые

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Лагранжева теория двойственности. 4. Теория двойственности линейного программирования

ЛЕКЦИЯ 2. Лагранжева теория двойственности. 4. Теория двойственности линейного программирования ЛЕКЦИЯ 2 Лагранжева теория двойственности 1. Определения 2. Теорема о седловой точке 3. Линейное программирование 4. Теория двойственности линейного программирования -1- Лагранжева теория двойственности

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

Математическое программирование это область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач на

Математическое программирование это область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач на 4 ПРОГРАММА Тема. Линейное программирование Задачи планирования и управления, их математические модели. Общая постановка задач оптимизации. Различные формы записи задач линейного программирования (ЛП)

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

К теме «Линейное программирование. Симплексный метод решения задач ЛП.»

К теме «Линейное программирование. Симплексный метод решения задач ЛП.» К теме «Линейное программирование. Симплексный метод решения задач ЛП.» Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра высшей математики П. И. Гниломедов И. Н. Пирогова П. П. Скачков ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Подробнее

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора.

Построение базисов в ядре и образе линейного оператора. Построение базисов в ядре и образе линейного оператора 1 Речь пойдёт о построении базисов в ядре и образе линейного оператора Будут рассмотрены два примера: первый пример с пояснениями; второй как образец

Подробнее

Ускоренное освоение методов линейного программирования в режиме диалога с программой, выполняющей арифметические операции

Ускоренное освоение методов линейного программирования в режиме диалога с программой, выполняющей арифметические операции Ускоренное освоение методов линейного программирования в режиме диалога с программой, выполняющей арифметические операции Богомазов Р. Ю., Беседин Н. Т. Юго-западный государственный университет 1. Цель

Подробнее

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Факультет прикладной математики процессов управления А. П. ИВАНОВ ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методические

Подробнее

Автор теста: Мухаметжанова Ж.С. Название теста: Моделирование экономических процессов и систем Предназначено для студентов специальности: Учет и

Автор теста: Мухаметжанова Ж.С. Название теста: Моделирование экономических процессов и систем Предназначено для студентов специальности: Учет и Автор теста: Мухаметжанова Ж.С. Название теста: Моделирование экономических процессов и систем Предназначено для студентов специальности: Учет и аудит курс, 3 г.о., ДОТ Семестр: 2 Количество кредитов:

Подробнее

Решение задач линейного программирования с использованием симплекс метода

Решение задач линейного программирования с использованием симплекс метода ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Решение задач линейного программирования с использованием симплекс метода Методические указания для выполнения практических

Подробнее

МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ МЕТОД СОПРЯЖЁННЫХ ГРАДИЕНТОВ В КВАДРАТИЧНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ В. Н. Малозёмов malv@math.spbu.ru Е. К. Чернэуцану katerinache@yandex.ru 26 мая 212 г. Памяти Б. Н. Пшеничного (1937 2) Данный доклад является

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ТЕСТИРОВАНИЮ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ЧАСТЬ I)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ТЕСТИРОВАНИЮ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ЧАСТЬ I) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

2. Симметричная каноническая форма

2. Симметричная каноническая форма 2. Симметричная каноническая форма... Свойство оптимальных решений задач линейного программирования (2.)-(2.2).... 3 Экономическая интерпретация задач линейного программирования (2.) и (2.2)... 3 Основное

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

ГУМРФ им. адмирала С.О. Макарова. х х

ГУМРФ им. адмирала С.О. Макарова. х х Постановка задачи Для перевозки изделий, состоящи из дву контейнеров А и В, у компании «Транзит» имеются три транспортны средства разны типов, возможности которы приведены в таблице. Перевозка дву различны

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические рекомендации к практическим занятиям

Подробнее

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j

Ax = b, (1) x 0. a s1 x s 1. 0 ) = b и A( x + x s j Симплекс метод Рассмотрим следующую задачу линейного программирования: Задача 1. max(c, x), Ax = b, (1) x Здесь линейный оператор A действует из R n в R m, c R n, b R m. Считаем что m < n, и ранг матрицы

Подробнее

5 Диапазоны устойчивости решения ЗЛП

5 Диапазоны устойчивости решения ЗЛП 5 Диапазоны устойчивости решения ЗЛП Постоптимальный анализ это очень важная и необходимая часть процесса принятия решения. Как правило, на практике значения входных параметров известны только приближенно,

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Федеральное Агентство по образованию Российской Федерации ГОУ ВПО ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) Филькин Г.В. ЛЕКЦИИ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ для студентов экономических

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ к практической подготовке по дисциплине «Высшая математика: Математическое программирование» для студентов заочного

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет. В. Ф. Ходыкин МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет. В. Ф. Ходыкин МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет В. Ф. Ходыкин МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (Тексты лекций для студентов экономических специальностей)

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ После изучения данной темы вы сможете: проводить численное решение задач линейной алгебры. К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные практические задачи, решение

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи. Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок. Распространенность в

Подробнее

Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Цель: познакомить читателя с симплекс-методом решения задачи линейного программирования и основными понятиями и теоремами теории двойственности

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ. 0. План лекции Лекция Теорема о базисном миноре. 1. Две вспомогательные теоремы из теории определителей.

Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ. 0. План лекции Лекция Теорема о базисном миноре. 1. Две вспомогательные теоремы из теории определителей. Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ План лекции Лекция Теорема о базисном миноре Две вспомогательные теоремы из теории определителей НИДУ равенства нулю определителя: det A = ; 2 Явное выражение

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ЦЕНТР ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ Учебно-методический комплекс Екатеринбург 0 Составители:

Подробнее

Л.И. Сантылова. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ Методические указания. РУКОВОДСТВО ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Часть 1

Л.И. Сантылова. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ Методические указания. РУКОВОДСТВО ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Часть 1 Федеральное агентство по образованию Российской Федерации ГОУВПО «Ростовский государственный университет» Л.И. Сантылова МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ Методические указания РУКОВОДСТВО ПО

Подробнее

МЕТОД ДИХОТОМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

МЕТОД ДИХОТОМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ МЕТОД ДИХОТОМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В.Н. Бурков, И.В. Буркова, М.В. Попок (Институт проблем управления РАН, Москва) f f f f f f f(x). Введение Многие задачи дискретной оптимизации сводятся к следующей

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Контрольные задания по курсу «Экономико-математические методы»

Контрольные задания по курсу «Экономико-математические методы» Контрольные задания по курсу «Экономико-математические методы» Задание. Найти экстремум функции z = x + x + x + x extr, при x + x + x + 5x = 0, x + x + 5x + 6x = 5 Решение. Используем метод множителей

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3. Симплекс-метод. 1. Алгоритм симплекс-метода. 2. Модифицированный симплекс-метод. 3. Лексикографический симплекс-метод

ЛЕКЦИЯ 3. Симплекс-метод. 1. Алгоритм симплекс-метода. 2. Модифицированный симплекс-метод. 3. Лексикографический симплекс-метод ЛЕКЦИЯ 3 Симплекс-метод 1. Алгоритм симплекс-метода 2. Модифицированный симплекс-метод 3. Лексикографический симплекс-метод 4. Метод искусственного базиса 5. Теория двойственности ЛП. Теоремы двойственности

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского С. И. Дудов, А. П. Хромов, И. Ю. Выгодчикова ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Учебное пособие для студентов экономико-математических

Подробнее

Тема 2-4: Подпространства

Тема 2-4: Подпространства Тема 2-4: Подпространства А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр)

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Курсовая работа. по дисциплине «Методы оптимальных решений» тема: «Модели организации и планирования производства»

Курсовая работа. по дисциплине «Методы оптимальных решений» тема: «Модели организации и планирования производства» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНО ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА

Подробнее

c m,1 c m,2 c m,n x m,1 x m,2 x m,n a m b 1 b 2 b n Рис. 1. Структура транспортной таблицы

c m,1 c m,2 c m,n x m,1 x m,2 x m,n a m b 1 b 2 b n Рис. 1. Структура транспортной таблицы Транспортная задача. 1. Транспортная задача в матричной постановке Транспортная задача формулируется следующим образом. Пусть m поставщиков располагают a i (i = 1, 2,..., m) единицами некоторой продукции,

Подробнее

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. В. П. Булатов, Т. И. Белых ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛИЗ И ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Январь июнь 2006. Серия 2. Том 13, 1. 3 9 УДК 519.853.4 ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ВСЕХ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В. П.

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет путей сообщения Императора

Подробнее

Ýêîíîìèêà О МОДЕЛИРОВАНИИ КОНФЛИКТА МАТРИЧНОЙ ИГРОЙ И ПРИМЕНЕНИИ СВОЙСТВ ЕЕ РЕШЕНИЙ К ПРИКЛАДНЫМ ЗАДАЧАМ ЭКОНОМИКИ И ВОЕННОГО ДЕЛА

Ýêîíîìèêà О МОДЕЛИРОВАНИИ КОНФЛИКТА МАТРИЧНОЙ ИГРОЙ И ПРИМЕНЕНИИ СВОЙСТВ ЕЕ РЕШЕНИЙ К ПРИКЛАДНЫМ ЗАДАЧАМ ЭКОНОМИКИ И ВОЕННОГО ДЕЛА Ýêîíîìèêà УДК 0 О МОДЕЛИРОВАНИИ КОНФЛИКТА МАТРИЧНОЙ ИГРОЙ И ПРИМЕНЕНИИ СВОЙСТВ ЕЕ РЕШЕНИЙ К ПРИКЛАДНЫМ ЗАДАЧАМ ЭКОНОМИКИ И ВОЕННОГО ДЕЛА 009 АИ Чегодаев Ключевые слова: антагонистическая игра множество

Подробнее

4. Решение и исследование квадратных уравнений

4. Решение и исследование квадратных уравнений КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Оглавление КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 4. и исследование квадратных уравнений... 4.. Квадратное уравнение с числовыми коэффициентами... 4.. Решить и исследовать квадратные уравнения относительно

Подробнее

Элементы линейного и выпуклого программирования

Элементы линейного и выпуклого программирования Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» В.М. Гончаренко Элементы

Подробнее

4 Оглавление. 4 Дискретное программирование Схема метода ветвей и границ... 95

4 Оглавление. 4 Дискретное программирование Схема метода ветвей и границ... 95 Оглавление Линейное программирование 5. Общая задача линейного программирования.................. 5.. Стандартная задача линейного программирования.......... 6.. Каноническая задача линейного программирования.........

Подробнее