ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Транскрипт

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ)» ЕАКоган ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ по дисциплине «Математика» для студентов всех специальностей и направлений подготовки дипломированных специалистов и бакалавров заочного отделения Одобрено методической комиссией по математическим и естественно научным дисциплинам Москва 0

2 Разработано в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами ВПО для всех специальностей и направлений подготовки специалистов и бакалавров заочного обучения на основе рабочих программ по дисциплине «Математика» Р е ц е н з е н т ы: Д-р физ- мат наук проф ЕБКузнецов Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет) д-р физ- мат наук проф ЕА Лопаницын - Университет машиностроения кафедра «Прикладная математика» Работа подготовлена на кафедре «Математический анализ» Коган ЕА Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по дисциплине «Математика» для студентов всех специальностей и направлений подготовки дипломированных специалистов и бакалавров заочного отделения М: Университет машиностроения 0 0 с Пособие предназначено для изучения раздела высшей математики посвященного обыкновенным дифференциальным уравнениям Оно содержит теоретические сведения в объëме лекционного курса подробно разобранные примеры решения типовых задач а также варианты расчетно графической работы и варианты тестовых заданий Пособие может быть использовано студентами в качестве руководства для самостоятельной работы и преподавателями для проведения практических занятий - Библ 8 Университет машиностроения 0

3 СОДЕРЖАНИЕ стр ВВЕДЕНИЕ 5 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 7 Основные понятия 7 Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка Поле направлений Изоклины Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка различного типа Дифференциальные уравнения с разделëнными и разделяющимися переменными Однородные дифференциальные уравнения 5 Линейные дифференциальные уравнения 9 Уравнения в полных дифференциалах ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВ- НЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 5 Интегрирование дифференциальных уравнений го порядка методом понижения порядка 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка Общие свойства решений Построение фундаментальной системы решений для линейных однородных дифференциальных уравнений -го порядка с постоянными коэффициентами 8 Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений - го порядка с постоянными коэффициентами Метод подбора частного решения Метод вариации произвольных постоянных 5 5 Задачи на собственные значения 57 6 Дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами 58 6 Решение задачи Коши методом степенных рядов 6

4 6 Построение общего решения линейного неоднородного уравнения методом степенных рядов 65 6 Разложение решения задачи Коши в ряд Тейлора 67 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 69 Метод исключения неизвестных 7 Метод Эйлера 7 Метод вариации произвольных постоянных 77 ПРИЛОЖЕНИЕ Варианты расчетно графической работы по обыкновенным дифференциальным уравнениям 80 ПРИЛОЖЕНИЕ Вопросы для самопроверки и дополнительные задачи 0 ПРИЛОЖЕНИЕ Варианты тестовых заданий 08 ПРИЛОЖЕНИЕ Справочная информация Рекомендуемая литература 8

5 ВВЕДЕНИЕ Настоящее пособие предназначено для студентов заочной формы обучения Студенты должны ясно осознавать что не существует какой либо специфической «заочной» математики Математика едина Различными могут быть только программы и технологии обучения Для студентов заочной формы обучения в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами количество часов отводимых на лекции и практические занятия в вузе очень невелико и основной должна быть самостоятельная работа Поэтому в пособии по возможности реализован принцип построения учебного комплекса по дисциплине а именно изложены в минимально необходимом объеме основные теоретические понятия и методы приведены многочисленные детально разобранные примеры решения всех типовых задач даны варианты расчетно - графической работы (РГР) Включены также вопросы для самопроверки и дополнительные задачи для самостоятельной работы а также варианты тестовых заданий с ответами безусловно полезные студентам заочной формы обучения для оценки степени усвоения материала и лучшей подготовки к экзаменам Изучение дифференциальных уравнений имеет важнейшее значение в математической инженерной подготовке Объясняется это тем что дифференциальные уравнения представляют собой математические модели самых разнообразных процессов и явлений так как их решения позволяют описать эволюцию изучаемого процесса характер происходящих с материальной системой изменений в зависимости от первоначального состояния системы Они синтезируют в себе знания полученные ранее при изучении предшествующих глав математики: линейной алгебры дифференциального и интегрального исчисления рядов Следует отметить что решение прикладных задач математическими методами включает обычно (в определенной мере конечно условно) три этапа На первом этапе необходимо построить математическую модель явления то есть получить систему уравнений описывающих явление (ими часто оказываются именно дифференциальные уравнения); на втором - выбрать и реализовать эффективный метод решения выведенных уравнений; на

6 третьем - провести численный и параметрический анализ и интерпретацию полученного решения и на основе такого анализа дать необходимые рекомендации инженерам - проектировщикам Первый этап связанный с построением математической модели то есть с выводом дифференциальных уравнений (или систем дифференциальных уравнений) описывающих то или иное явление представляет собой обычно весьма трудную самостоятельную задачу Сложность еë состоит в том что при выводе дифференциальных уравнений необходимо удовлетворить противоречивым требованиям С одной стороны построенная математическая модель должна быть адекватной рассматриваемому явлению С другой стороны получающиеся дифференциальные уравнения должны иметь по возможности простое решение Это требует введения различных допущений физического характера а следовательно глубокого понимания сути рассматриваемого явления Процесс построения адекватной математической модели рассматриваемой прикладной задачи обычно сводится к последовательному уточнению модели на основе накапливаемого опыта еë применения С выводом и применением дифференциальных уравнений к решению тех или иных прикладных задач студенты встречаются при изучении различных общеобразовательных и специальных курсов (физики теоретической механики сопротивления материалов электротехники и др) Огромный опыт накопленный при физическом и математическом моделировании процессов и явлений различной физической природы свидетельствует о том что задачи возникающие в различных областях науки и техники очень часто приводятся к одинаковым типам дифференциальных уравнений имеющим общие свойства решений Предметом настоящего пособия и является изучение аналитических методов решения наиболее распространенных типов обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем Для удобства пользования пособием при самостоятельном изучении курса приведена также некоторая справочная информация

7 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия При изучении различных физических процессов и явлений обычно не удаëтся найти непосредственную зависимость между искомой функцией описывающей тот или иной процесс и независимыми переменными Как правило удаëтся установить связь между неизвестной функцией и еë производными Дифференциальным уравнением и называется уравнение в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала Если производные от неизвестной функции входящие в уравнение берутся только по одной независимой переменной то дифференциальное уравнение называется обыкновенным Уравнения содержащие производные по нескольким независимым переменным называются дифференциальными уравнениями в частных производных Порядок наивысшей (старшей) производной входящей в дифференциальное уравнение определяет порядок дифференциального уравнения Обыкновенное дифференциальное уравнение -го порядка в самом общем виде записывается так: ( ) F( ) 0 () где () неизвестная функция независимая переменная ( ) ( ) ( ) ( ) - производные от неизвестной функции В частности обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( ) 0 () Обычно обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано или в форме разрешëнной относительно производной f ( ) () или в форме содержащей дифференциалы M ( ) d N( ) d 0 ()

8 Обе эти формы записи эквивалентны и от одной формы записи легко перейти к другой Пусть например уравнение задано в форме () Перенося первое слагаемое в правую часть после деления на N ( ) d 0 получим уравнение разрешëнное относительно производной: d M ( ) N( ) d M ( ) d f ( ) d N( ) Решением дифференциального уравнения называется функция которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой Характерное свойство дифференциальных уравнений состоит в том что при их интегрировании получается бесчисленное множество решений Для уравнения первого порядка это множество описывается одной произвольной постоянной Например уравнению f () как известно из интегрального исчисления удовлетворяет функция F( ) C где F () - первообразная для функции f () (то есть F ( ) f ( ) ) а C - постоянная интегрирования Следовательно искомая функция () определяется из дифференциального уравнения неоднозначно Чтобы выделить из бесконечного множества решений то которое описывает именно данный процесс необходимо задать дополнительную информацию например знать начальное состояние процесса Такое дополнительное условие называется начальным условием Оно ставится так: требуется чтобы при некотором начальном значении независимой переменной 0 искомая функция равнялась заданному числу 0 : ( ) или (5) 0 Задача интегрирования дифференциального уравнения первого порядка совместно с начальным условием называется начальной задачей или задачей Коши К о ш и Огюстен Луи ( ) французский математик и механик

9 Можно доказать что если в уравнении f ( ) разрешëнном относительно производной правая часть f ( ) непрерывна ограничена и имеет ограниченную частную производную f ( ) в некоторой области содержащей начальную точку ( 0 0) то существует решение уравнения и притом единственное удовлетворяющее заданному начальному условию ( 0 ) 0 Эта основная теорема теории дифференциальных уравнений первого порядка называется теоремой существования и единственности решения Для дифференциальных уравнений первого порядка различают общее частное и особое решения а также общий частный и особый интегралы Общим решением дифференциального уравнения первого порядка разрешëнного относительно производной называется такое семейство функций ϕ( C) зависящих от и произвольной постоянной C что ) при любом допустимом значении постоянной C функция ϕ( C) является решением уравнения; ) каково бы ни было начальное условие (5) можно подобрать такое значение постоянной C 0 что решение ϕ ( C0) будет довлетворять условию ϕ ( 0 C0) 0 Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется решение которое получается из общего при каком-либо конкретном значении произвольной постоянной C C 0 то есть функция вида ϕ ( C0) Поэтому общее решение дифференциального уравнения можно определить как множество всех частных решений уравнения Например дифференциальному уравнению cos очевидно удовлетворяет функция si C где C произвольная постоянная Решение si C является общим Если помимо уравнения задано начальное условие например ( 0) (то есть поставлена задача Коши) то подставляя общее решение в

10 начальное условие находим C В результате получим единственное (частное) решение si удовлетворяющее и уравнению и начальному условию Особым решением дифференциального уравнения называется решение которое не может быть получено из общего решения ни при одном частном значении произвольной постоянной Часто при интегрировании уравнения первого порядка не удается найти его общее решение в явном виде а получается конечное (не дифференциальное) соотношение вида Ф ( C) 0 (6) содержащее решение в неявной форме Такое соотношение называется общим интегралом дифференциального уравнения Частным интегралом называется соотношение которое получается из общего интеграла при конкретном значении произвольной постоянной Как известно уравнение произвольной кривой на плоскости записывается в виде f ( ) 0 Сравнивая это соотношение с выражением для общего интеграла (6) легко заключить что при различных конкретных значениях C будем получать различные интегральные кривые Поэтому геометрически общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка изображается семейством интегральных кривых на плоскости зависящих от одного параметра C Частному интегралу соответствует одна кривая этого семейства проходящая через заданную начальную точку ( 0 0) Например интегрирование уравнения / приводит к общему интегралу вида C где С произвольная постоянная Это конечное соотношение при разных С представляет собой очевидно семейство концентрических окружностей с центром в начале координат различного радиуса С (рис I) Частному интегралу будет соответствовать одна окружность проходящая через заданную начальную точку ) ( 0 0

11 Рис I Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка Поле направлений Изоклины Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка разрешëнное относительно производной f ( ) Задавая координаты ( ) произвольной точки на плоскости можно определить значение производной в этой точке то есть найти направление касательной к интегральной кривой проходящей через эту точку Поэтому говорят что дифференциальное уравнение первого порядка определяет поле направлений в той области D на плоскости в которой определена правая часть уравнения В каждой точке этой области известно направление касательной к интегральной кривой проходящей через данную точку Геометрически поле направлений изображается векторами (или штрихами) с угловым коэффициентом f ( ) tgα (см рис I) Рис I

12 Геометрическое место точек в которых касательные к интегральным кривым имеют одинаковый наклон то есть выполняется соотношение C cost называется изоклиной данного дифференциального уравнения Уравнение изоклины соответствующей значению C будет очевидно f ( ) C Построив семейство изоклин при разных значениях C можно приближëнно найти семейство интегральных кривых данного уравнения Знание изоклин позволяет во многих случаях даже для не интегрируемых явно дифференциальных уравнений получить графическое решение задачи Коши и выявить характер интегральных кривых Пример Построить методом изоклин интегральную кривую уравнения проходящую через заданную точку M ; Решение Уравнение изоклин получим полагая C Следовательно C или C Таким образом изоклинами данного уравнения являются концентрические окружности с центром в начале координат причëм угловые коэффициенты касательных к искомым интегральным кривым равны радиусам этих окружностей С Для построения поля направлений даем постоянной С различные определëнные значения: C 05 C C 5 Для изоклины соответствующей например C 05 tgα 05 следовательно окружность радиуса C 0 5 интегральные кривые пересекают под одним и тем же углом составляющим 7 с положительным направлением оси OX (см рис I) Изоклину соответствующую C то есть окружность радиуса C интегральные кривые пересекают под одним и тем же углом составляющим 5 с положительным направлением оси OX так как при этом tgα

13 Рис I Поле направлений на плоскости изображается штрихами После этого уже можно приближëнно провести искомые интегральные кривые в частности через заданную точку (смрис I) Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка различного типа Для многих важных и часто встречающихся на практике дифференциальных уравнений можно получить лишь приближëнное решение или решение выражающееся не через элементарные функции а через так называемые специальные функции Существует лишь достаточно ограниченный класс простейших дифференциальных уравнений для которых можно получить решение в квадратурах то есть в виде замкнутых формул содержащих элементарные функции и интегралы от них К ним относятся рассмотренные ниже типы дифференциальных уравнений Д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я с р а з д е л ë н н ы м и и р а з д е л я ю щ и м и с я п е р е м е н н ы м и Дифференциальное уравнение с разделëнными переменными имеет вид M ( ) d N( ) d 0 (7) В уравнении с разделëнными переменными перед дифференциалом d стоит функция только одной переменной а перед

14 дифференциалом d стоит функция переменной Такие уравнения можно почленно интегрировать В результате получим или где M ( ) d N( ) d C F ( ) Ф( ) C (8) F ( ) M ( ) d ) Ф ( N( ) d Конечное (не дифференциальное) соотношение (8) и является общим интегралом уравнения (7) Пример Решить уравнение d l d 0 Решение Очевидно это уравнение с разделëнными переменными Интегрируя его получим d l d C Следовательно общий интеграл уравнения будет (l ) C Дифференциальное уравнение вида M ) N ( ) d M ( ) N ( ) d 0 (9) ( в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на произведение сомножителей каждый из которых зависит только от одной переменной называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными Уравнение (9) делением обеих частей на произведение функций N ( ) M ( ) 0 приводится к уравнению с разделëнными переменными M ( ) N ( ) d d 0 M ( ) N( ) общий интеграл которого M ( ) N ( ) d d C M ( ) N( ) Пример Решить равнение ( ) d ( ) d 0 Решение Разделяем переменные делением на выражение ( )( ) 0:

15 d d 0 Интегрируем полученное уравнение с разделëнными переменными d d C Тогда l( ) l( ) C Так как C - произвольная постоянная принимая еë для упрощения полученного выражения в виде C 05l C представим общий интеграл уравнения в виде ( )( ) C О д н о р о д н ы е д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я Предварительно введем понятие однородной функции Функция двух переменных f ( ) называется однородной го измерения если при любом k > 0 справедливо равенство f ( k k) k f ( ) В частности если при изменении аргументов и в k раз вид функции не меняется то есть f ( k k) f ( ) то функция f ( ) называется однородной нулевого измерения Соответственно дифференциальное уравнение первого порядка разрешëнное относительно производной f ( ) называется однородным если правая часть f ( ) есть однородная функция нулевого измерения Если уравнение первого порядка записано в форме содержащей дифференциалы M ( ) d N( ) d 0 то оно будет однородным если M ( ) и N ( ) - однородные функции одного и того же измерения Однородное дифференциальное уравнение подстановкой t приводится к уравнению с разделëнными переменными

16 Действительно пусть уравнение f ( ) однородное Тогда f ( k k) f ( ) Полагая k / получим f ( k k) f ( ) f ( / ) Введем теперь новую функцию t / Тогда t t t и уравнение примет вид t t f ( t) ϕ( t) dt dt d или ϕ ( t) t - уравнение с разделëнными d ϕ( t) t переменными Пример Решить уравнение ( ) d ( ) d 0 Решение Преобразуем уравнение к виду k k Так как то исходное уравнение однородное k k Полагаем t / t и t t Тогда уравнение примет вид t t dt t t t t t или t dt d t t d t t t t Разделив обе части уравнения на 0 приходим к уравнению с разделëнными переменными t t d dt t Интегрируя его находим или arctg t l ( t ) l C arctg t l ( t ) C Возвращаясь к старой переменной получим общий интеграл исходного уравнения в виде C arctg l Замечание К однородным уравнениям приводятся дифференциальные уравнения вида

17 a b c a b c Некоторые из коэффициентов в правой части (но не одновременно c и c ) могут быть равны нулю Следует различать два случая: a b ) Если определитель δ 0 то приведение к однородному уравнению осуществляется заменой функции () функцией ν (u) по формулам u α v β где постоян- a b ные a и β определяются из системы уравнений: aα bβ c 0 aα bβ c 0 Заметим что эту систему уравнений можно записать непосредственно по виду правой части уравнения a b c a b c если заменить в ней на α на β и приравнять числитель и знаменатель дроби нулю d dv Учитывая что du d dv d следовательно d du получим однородное уравнение относительно функции v (u) : dv a( u α) b ( v β ) c au bv aα bβ c au bv du a( u α) b ( v β ) c au bv aα bβ c au bv Полагая далее v t u приводим последнее уравнение к уравнению с разделяющимися переменными a b ) Если определитель δ 0 то уравнение сразу a b приводится к уравнению с разделëнными переменными заменой u a b Пример Решить уравнение

18 В этом уравнении a b c a b 0 c Поэтому δ 0 Полагая u α v β находим 0 α и β из системы уравнений: α β 0 α 0 Следовательно α β и формулы перехода от старых переменных к новым и обратно примут вид: u v u v В результате уравнение приводится к однородному dv u v u v v du u u u Полагая далее t v / u v tu v t u t приходим к уравнению с разделяющимися переменными относительно функции t: dt du t u t t u d t t lu lc lcu du u Возвращаясь к старой переменной получим v lcu l C ( ) u ( )l C( ) Пример Решить уравнение Для данного уравнения δ 0 Поэтому полагаем u u тогда u Исходное уравнение u u du u 5 примет вид Разделяя переменные получим du d Интегрирование этого уравнения да- u d u u u 5

19 Возвращаясь к старой переменной находим общий интеграл исходного уравнения в 8 виде ет [ u 5 l( u 5) ] C ( 8 5) 8 l C Л и н е й н ы е д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида P( ) Q( ) (0) содержащее искомую функцию и еë производную в первой степени Функции P() и Q() предполагаются непрерывными Если правая часть уравнения Q ( ) 0 то уравнение (0) называется линейным однородным уравнением в противном случае - линейным неоднородным Рассмотрим интегрирование этого уравнения методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа ) В соответствии с этим методом сначала ищется решение соответствующего линейного однородного уравнения: P( ) 0 Разделяя в нëм переменные получим его общее решение в виде d d P( ) P( ) d l d P( ) d lc P( ) d C () Далее ищется общее решение исходного уравнения с ненулевой правой частью в той же форме по структуре что и получившееся общее решение однородного уравнения () но произвольная постоянная C в () заменяется неизвестной функцией C () или v (): P( ) d v( ) () ( ) ( ) Тогда v ( ) P d P d v( ) P( ) Подставляя и Л а г р а н ж Жозеф Луи ( ) французский математик и механик

20 в уравнение (0) получим ( ) ( ) ( ) v ( ) P d v( ) P d P d P( ) P( ) v( ) Q( ) из которого после упрощения следует дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно функции v(): P( ) d v ( ) Q( ) Интегрируя его находим неизвестную (варьируемую) функцию P( ) d v( ) Q( ) d C В результате после подстановки v () в () общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка (0) может быть представлено в виде P( ) d ( ) ( ) P d Q d C () Пример Решить задачу Коши для уравнения при начальном условии (0) Решение Находим сначала общее решение линейного однородного уравнения 0 Оно имеет вид P( ) d d C C C Заменяем произвольную постоянную C в этом решении неизвестной функцией v(): v( ) Вычисляем производную v( ) v( ) Подставляя и в исходное уравнение получим v ( ) v( ) v( ) v ( ) v ( ) v( ) d C C Общее решение уравнения примет вид / ν ( ) C C Находим произвольную постоянную C из начального условия:

21 7 при 0 C C 6 6 Следовательно решение задачи Коши будет [ 7 ( ) ] 6 Решение линейного дифференциального уравнения (0) может быть также получено если искомую функцию представить в виде произведения двух произвольных функций (метод Бернулли ): u ( ) v( ) () Тогда u v v u (5) Подставляя () и (5) в (0) получим [ u P( ) u] v v u Q( ) (6) Функцию u () подбираем так чтобы она была одним из решений уравнения u P( ) u 0 После разделения переменных получим Тогда уравнение (6) примет вид Следовательно v ( ) u P d (7) P( ) d Q( ) P ( ) d dv Q( ) d Интегрируя это уравнение с разделëнными переменными находим функцию v: v Q P( ) d ( ) d C (8) Подставляя (7) и (8) в () получим общее решение уравнения (0) в виде () Б е р н у л л и Якоб I ( ) швейцарский математик и механик

22 Замечание К линейным дифференциальным уравнениям d приводятся уравнения вида f ( ) P( ) f ( ) Q( ) заменой d z f ( ( )) В частности уравнение Бернулли P( ) Q( ) где 0; приводится к линейному подстановкой z Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим dz ( ) d dz следовательно d В результате уравнение становится линейным относительно функции z: z P( ) z Q( ) и может быть решено методом вариации произвольной постоянной или методом Бернулли l Пример Решить уравнение l Умножим обе части уравнения на : Положим z z и уравнение преобразуется в линейное: z l z Находим сначала решение соответствующего линейного однородного уравнения z z 0: dz z l z l l C z C d Решение неоднородного линейного уравнения относительно z отыскиваем в виде z v( ) тогда z v ( ) v( ) Это уравнение получено ЯБернулли в 695 г и решено Иоганнном Бернулли ( ) в 697 г

23 dv( ) v( ) l dv( ) l v( ) d d l dv ( ) d C После интегрирования получим l l v ( ) C z v( ) C поэтому общее решение исходного уравнения будет иметь вид l C У р а в н е н и я в п о л н ы х д и ф ф е р е н ц и а л а х Уравнение вида M ( ) d N( ) d 0 (9) называется уравнением в полных дифференциалах если коэффициенты M ( ) и N ( ) представляют собой непрерывные и дифференцируемые функции удовлетворяющие условию M N (0) Условие (0) есть необходимое и достаточное условие того что левая часть уравнения (9) представляет собой полный дифференциал некоторой функции двух независимых переменных du( ) Поэтому уравнение (9) может быть представлено в компактной форме du ( ) 0 Следовательно его общий интеграл а значит и общий интеграл уравнения (9) имеет вид u ( ) C Как известно полный дифференциал функции двух переменных равен u u du( ) d d () С учетом (0) и () уравнение (9) может быть представлено в виде

24 u u M ( ) d N( ) d du( ) d d 0 откуда следует что u u M ( ) N( ) () Интегрируя например первое из выражений () получим u M ( ) d ϕ( ) () где ϕ () - произвольная функция интегрирования (в частности она может быть константой) Заметим что при вычислении интеграла в () функция рассматривается как постоянная Функция ϕ () определяется из решения дифференциального уравнения получающегося из соотношения () и второго условия () Пример Решить уравнение ( 6 ) d (6 ) d 0 () Решение Здесь M ( ) 6 N ( ) 6 и M N Поэтому уравнение () является уравнением в полных дифференциалах Следовательно u u M ( ) 6 N( ) 6 u M ( ) d ϕ ( ) ( 6 ) d ϕ( ) ϕ( ) Дифференцируя последнее равенство по и приравнивая значению N получим 6 ϕ ( ) 6 ϕ ( ) Интегрируя полученное дифференциальное уравнение находим u ϕ ( ) C Таким образом u ϕ ( ) C C и при C C C общий интеграл исходного уравнения запишется в виде C

25 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Обыкновенное дифференциальное уравнение го порядка как уже отмечалось в общем случае записывается в виде ( ) F ( ) 0 В дальнейшем ограничимся рассмотрением наиболее распространëнных уравнений го порядка разрешëнных относительно старшей производной Обыкновенное дифференциальное уравнение -го порядка разрешëнное относительно старшей производной имеет вид ( ) ( ) f ( ) () Как известно для получения единственного решения дифференциального уравнения первого порядка f ( ) достаточно задать начальное значение функции ( 0 ) 0 Для уравнений -го порядка этого уже недостаточно Убедимся в этом на простейшем примере уравнения второго порядка 0 Его решение C C ( C и C - произвольные постоянные) представляет собой семейство прямых линий зависящее от двух параметров C и C Зафиксируем один из них например C и будем менять C () () ( ) : C C C Тогда получим семейство параллельных прямых наклонëнных к оси под углом характеризуемым угловым коэффициентом C (рис I) Рис I

26 Изменим теперь C и вновь будем менять C (рисi) Получим очевидно семейство параллельных прямых наклонëнных к оси под другим углом характеризуемым угловым коэффициентом C Продолжая эту процедуру убеждаемся в том что через одну и ту же начальную точку ( 0 0) будет проходить множество прямых (а в общем случае уравнения второго порядка f ( ) множество интегральных кривых) наклонëнных к оси под различными углами Поэтому для получения единственного решения уравнения второго порядка f ( ) необходимо задать не только начальное значение функции но и начальное значение еë первой производной характеризующей угол наклона касательной к интегральной кривой проходящей через начальную точку ( 0) 0 ( ) Введëм теперь понятие общего решения дифференциального уравнения -го порядка: общим решением уравнения -го порядка называется непрерывно дифференцируемая раз функция ( C C C ) удовлетворяющая уравнению и содержащая произвольных постоянных C C C подходящим выбором которых можно получить любое решение Решение получаемое из общего при конкретных значениях произвольных постоянных C C C называется частным решением Конкретные значения произвольных постоянных могут быть найдены из начальных или граничных условий задаваемых исходя из физических особенностей задачи Соответственно этому различают начальную задачу (задачу Коши) или краевую (граничную) задачу Задача интегрирования дифференциального уравнения -го порядка называется начальной задачей или задачей Коши если значения искомой функции и её производных до (-)-го порядка включительно задаются при одном и том же начальном значении независимой переменной (при 0): 0 0

27 ( 0 ) 0 ( 0 ) 0 ( 0 ) 0 ( ) ( ) ( ) Задача интегрирования дифференциального уравнения -го порядка называется краевой (или граничной) задачей если значения искомой функции (а возможно её производных) задаются не в одной а в двух точках а именно на концах фиксированного интервала изменения независимой переменной Например для уравнения второго порядка f ( ) при 0 l граничные условия могут иметь различный вид: (0) ( l) 0 или ( 0) 0 ( l) 0 и тп Для задачи Коши справедлива теорема существования и единственности решения: ( ) ( ) Если в уравнении f ( ) разрешенном относительно старшей производной правая часть f ( ( ) f f f f ) и еë частные производные непрерывны в некоторой области содержащей значения 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 то существует и притом единственное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям ( ) ( ) ( 0 ) 0 ( 0 ) 0 ( 0 ) 0 ( 0) 0 В отличие от задачи Коши решение которой существует и единственно краевая задача может не иметь решения или решение может быть не единственным Интегрирование дифференциальных уравнений го порядка методом понижения порядка Если правая часть уравнения () является известной непрерывной функцией f () только одной переменной или не содержит искомую функцию : f ( ) или не содержит ( ) ( ) явно независимую переменную : f ( ) то для ре- 0 0

28 шения уравнения () может быть применëн метод понижения порядка Ограничимся здесь первыми двумя случаями ( ) ( ) f ( ) () Это простейшее уравнение -го порядка общее решение которого получается в квадратурах последовательным интегрированием раз При каждом интегрировании порядок уравнения понижается на единицу и появляется произвольная постоянная: ( ) f ( ) d C ( ) d f ( ) d C C В результате общее решение уравнения будет иметь вид f d C C C C () ( ) где в правой части - -кратный интеграл от функции f () и многочлен (-)-ой степени от коэффициентами которого являются произвольных постоянных Если для уравнения () решается задача Коши с начальными условиями ( 0 ( ) ( ) ) 0 ( 0 ) 0 ( 0) 0 то частное решение уравнения может быть записано в виде 0 d 0 d 0 ( ) f ( ) d ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( )!! Пример Решить краевую задачу q0l q0 ( 0) ( l) 0 EI Заметим что к этой задаче сводится в сопротивлении материалов определение прогибов шарнирно опëртого стержня при действии на него равномерно распределëнной поперечной нагрузки интенсивности q ( ) q 0 cost Решение Уравнение относится к типу уравнений () Интегрируя его дважды получим общее решение в виде

29 q0 l C C EI 6 Произвольные постоянные находим из граничных условий: l C C 0 Подставляя их в общее решение получим q0l () EI l l l Максимальный прогиб стержня при действии равномерно распределëнной нагрузки при l / будет равен ma 5q0l 8EI ( ) ( ) f ( ) (5) Уравнение (5) не содержит искомой функции () Рассмотрим процедуру интегрирования уравнения данного типа на примере уравнения второго порядка f ( ) (6) Понижение порядка достигается подстановкой ( ) z( ) (7) Тогда ( ) z ( ) (8) и уравнение (6) приводится к уравнению первого порядка относительно функции z(): виде z ( ) f ( z) (9) Интегрируя уравнение (9) находим его общий интеграл в z ) ϕ ( C ) (0) ( где С - произвольная постоянная Далее в (0) заменяем левую часть согласно (7) и вновь получаем уравнение первого порядка относительно искомой функции :

30 ) ϕ ( C ) () ( Интегрируя уравнение () находим общее решение исходного уравнения (6) в виде ) ξ ( C C ) () ( Замечание Если уравнение (6) не содержит ни искомой функции ни её производных до ( k-) - го порядка включительно то есть имеет вид ( ) ( k ) ( k ) ( ) f ( ) то его порядок может быть понижен сразу на k единиц подстановкой ( ) k z( ) I V Пример Решить уравнение Решение Уравнение не содержит явно искомой функции () и её первых производных и относится ко второму из рассмотренных нами типов Применяя подстановку ( ) z( ) () получаем линейное неоднородное уравнение первого порядка z z или z z () Интегрируем его методом вариации произвольной постоянной Сначала решаем соответствующее однородное уравнение z z 0 (5) Разделяем в нëм переменные: dz z d После интегрирования получим C l z l lc l Следовательно общее решение уравнения (5) будет

31 C z (6) Далее ищем решение уравнения () в форме аналогичной по структуре выражению (6) но произвольную постоянную в (6) заменяем неизвестной функцией v () : v( ) z (7) Подставляя (7) в () получим v ( ) v( ) v( ) dv( ) откуда следует и после разделения переменных d d dv ( ) Интегрируя это уравнение находим v ( ) / C Поэтому согласно (7) имеем C z (8) Заменяя в выражении (8) z по формуле () приходим к уравнению третьего порядка относительно искомой функции (): C (9) Уравнение (9) содержит в правой части известную функцию от и относится к первому из рассмотренных нами типов (см ()) Интегрируя его последовательно три раза окончательно получим общее решение исходного уравнения содержащее произвольных постоянных: C l C l C(l ) C C (l ) C l C C C

32 Линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка Общие свойства решений Линейным дифференциальным уравнением - го порядка называется уравнение ( ) ( ) ( ) ( ) a( ) a ( ) a( ) f ( ) (0) a содержащее неизвестную функцию и все её производные до -го порядка включительно в первой степени Если все коэффициенты уравнения постоянны: a i cost ( i ) то оно называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами Если хотя бы один из коэффициентов a i является функцией от то уравнение () будет уравнением с переменными коэффициентами Если правая часть уравнения f ( ) 0 то уравнение (0) принимает вид ( ) ( ) ( ) a a a a 0 и называется линейным однородным дифференциальным уравнением в противном случае линейным неоднородным Левая часть уравнения (0) называется линейным дифференциальным оператором и обозначается через ( ) ( ) ( ) L ( ) a a a a () С учетом обозначения () линейное однородное дифференциальное уравнение - го порядка может быть записано в компактной форме: L ( ) 0 () Свойства оператора L () L ( C) CL ( ) где C некоторое число Это свойство называют свойством однородности оператора L ( ) L ( ) L ( ) - это свойство называют свойством аддитивности оператора L Ck k Ck L ( k ) то есть оператор взятый от линейной комбинации функций равен линейной комбинации k k опера-

33 L торов взятых от этих функций (напомним что линейной комбинацией функций называется сумма произведений функций на различные постоянные числа то есть выражение вида С C C ) Используя свойства оператора L () легко показать что справедливы следующие свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения: Если функция () является решением линейного однородного дифференциального уравнения L ( ) 0 то функция C () где C произвольная постоянная также является решением этого уравнения Если функции ( ) и ( ) являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения L ( ) 0 то сумма функций ( ) ( ) также является решением этого уравнения Если ( ) ( ) m( ) - какие либо частные решения уравнения ( ) 0 то любая их линейная комбинация с произвольными коэффициентами C i i m i также будет решением этого уравнения Действительно на основании свойств однородности и аддитивности линейного дифференциального оператора можно записать: m L Ci i L ( C ) L ( C ) L ( Cm m) CL ( ) i C L ( ) C m L ( Так как функции ( ) ( ) m( ) являются частными решениями уравнения ( ) 0 то все слагаемые в правой части L m последнего равенства равны нулю поэтому m L Ci i 0 Сле- i довательно C i i также является решением уравнения i m )

34 Последнее свойство называется принципом суперпозиции (наложения) решений линейных однородных дифференциальных уравнений - го порядка Заметим также что линейное однородное дифференциальное уравнение L ( ) 0 всегда имеет тривиальное решение 0 В теории линейных дифференциальных уравнений важную роль играют понятия линейной независимости и линейной зависимости функций Пусть имеется система функций ( ) ( ) ( ) определëнных на некотором интервале ( a b) и пусть C C C - различные действительные числа Система функций называется линейно независимой если линейная комбинация этих функций С C C 0 тогда и только тогда когда все коэффициенты линейной комбинации C C C 0 В противном случае система функций линейно зависима Если система функций линейно зависима то по крайней мере одна из них является линейной комбинацией других Если например C 0 то из условия С C C 0 следует C C C C C C В частности если система двух функций линейно зависима на ( a b) то они пропорциональны друг другу (то есть их отношение есть величина постоянная) Действительно из равенства C C 0 следует что C k где k cost - коэффициент пропорциональности C Критерием позволяющим судить о том будет ли система функций линейно зависимой или линейно независимой является величина определителя Вронского 5 Определителем Вронского или вронскианом называется функциональный определитель вида: 5 В р о н с к и й Ю Гене (776 85) польский математик

35 W () ( ) ( ) ( ) Cправедлива следующая теорема: Если функции ( ) ( ) () линейно зависимы на интервале ( a b) и имеют непрерывные производные до ( ) - го порядка то определитель Вронского W 0 на ( a b) Действительно по определению линейно зависимой системы функций C C C C 0 при том что не все i i i C i равны нулю Дифференцируя это тождество раз получим совместно с последним равенством систему соотношений i i C i i C C C 0 ( ) ( ) ( ) ( ) C C C C 0 i i которую можно рассматривать как систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно C C C имеющую ненулевое решение Но как известно определитель такой системы ( ) ( ) ( ) должен быть равен нулю то есть W 0 на ( a b) Следствие из этой теоремы: Если определитель Вронского W 0 хотя бы в одной точке ( a b) то система функций

36 ( ) () линейно независима на ( a b) В частности если - частные линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения L ( ) 0 то определитель Вронского для них W 0 Рассмотрим важные для дальнейшего примеры линейно независимых функций k k k Система экспоненциальных функций с различными показателями степени k i - различные числа) Для неë определитель Вронского W k k k k k k k k k k k k k k k k k k ( ) k k k ( k k k ) k k k k k k k k k () k k k Множитель 0 а числовой определитель в () является определителем Вандермонда 6 [5] Этот определитель равен произведению разностей: ( k i k j ) и при различных k i i< j ( i ) отличен от нуля Поэтому система экспонент с различными показателями степени линейно независима m Система степенных функций Для неë определитель Вронского () m W m m( m ) 0 m! m m! m! 0 Следовательно система степенных функций также линейно независима 6 В а н д е р м о н д АлександрТеофиль ( ) французский математик

37 k k k m k Система функций Составляя их линейную комбинацию получим k k k m k k m С С С Сm ( С С С Cm ) k Так как 0 а степенные функции линейно независимы то и данная система функций линейно независима на любом интервале ( a b) Рассмотренные свойства решений и теоремы позволяют сформулировать основную теорему о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка): Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения го порядка L ( ) 0 представляется в виде линейной комбинации линейно независимых частных решений этого уравнения: Ck k C C C (5) k Здесь C C C - произвольные постоянные - частные линейно независимые решения уравнения L ( ) 0 Действительно по свойству решений линейных однородных уравнений функция () определенная формулой (5) является решением дифференциального уравнения L ( ) 0 Это решение будет общим (то есть содержащим все решения уравнения) если всегда можно подобрать произвольные постоянные C C C так чтобы удовлетворялись произвольно заданные ( ) ( ) начальные условия ( 0 ) 0 ( 0 ) 0 ( 0) 0 Для этого система уравнений C ( 0) C ( 0) C ( 0) 0 C ( 0) C ( 0) C ( 0) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) C ( 0) C ( 0) C ( 0) 0 должна иметь решение C C C при произвольных правых

38 ( ) частях и при произвольном 0 ( a b) Но определитель этой системы линейных относительно C C C алгебраических уравнений ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) есть определитель Вронского линейно независимой системы решений однородного уравнения и следовательно отличен от нуля при любом 0 ( a b) и при любых правых частях Поэтому система однозначно разрешима относительно постоянных C C C при любом ( 0 a b) и при любых правых частях А это означает что решение (5) является общим Приведенная теорема указывает путь построения общего решения любого линейного однородного дифференциального уравнения - го порядка Для этого необходимо найти именно частных решений (соответственно порядку уравнения) убедиться в том что они линейно независимы и составить линейную комбинацию таких решений Совокупность линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка называется фундаментальной системой решений этого уравнения Поэтому теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка может быть переформулирована так: общее решение линейного однородного дифференциального уравнения го порядка L ( ) 0 представляется в виде линейной комбинации фундаментальной системы решений этого уравнения Построение фундаментальной системы решений для линейных однородных дифференциальных уравнений -го порядка с постоянными коэффициентами Для построения фундаментальной системы решений уравнения L ( ) 0 с постоянными коэффициентами его частные ре-

39 шения ищутся (следуя ЛЭйлеру) в виде показательных функций k (6) где k неизвестные постоянные числа Заметим что в предельном случае линейного однородного уравнения первого порядка a 0 его частное решение будет a выражаться именно экспонентой следовательно k a В общем случае уравнения го порядка подстановка (6) в дифференциальное уравнение () приводит к алгебраическому уравнению вида k a k a k a k a 0 (7) Алгебраическое уравнение (7) той же степени что и порядок дифференциального уравнения () с теми же коэффициентами на соответствующих местах называется характеристическим уравнением Заметим что характеристическое уравнение (7) получается из дифференциального уравнения () формальной заме- (i) числом i ной i ой производной k ( i ) а сама искомая функция при этом заменяется единицей В соответствии с основной теоремой алгебры характеристическое уравнение (7) имеет корней (с учетом их кратности) При этом могут встретиться различные случаи: ) корни характеристического уравнения k k k действительные и различные числа Тогда в соответствии с (6) частные решения уравнения будут экспоненциальными функциями k k k Как было показано они линейно независимы и следовательно образуют фундаментальную систему решений ) Среди корней характеристического уравнения могут быть комплексные корни k α iβ k α iβ (i - мнимая единица определяемая равенством i ) Так как коэффициенты дифференциального и соответственно характеристического уравнения предполагаются нами действительными числами комплексные корни должны быть попарно сопряженными При непосредственной подстановке корней в (6) соответствующие частные решения ( α iβ ) k k ( α iβ )

40 оказываются комплексными функциями действительного аргумента Чтобы получить решения в действительной форме рассматривают их линейные комбинации: Y и Y i В соответствии с принципом суперпозиции решений они также являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения Применяя известные формулы Эйлера связывающие показательные функции комплексного аргумента с тригонометрическими функциями: i β cos β i si β i β cos β i si β получим ( α iβ ) ( α iβ ) α iβ α iβ Y α ( cos β i si β cos β i si β) β cos β (8) Аналогично находим α Y si β (9) Решения (8) и (9) линейно независимы так как их отношение Y / Y tgβ cost и не содержат мнимых величин В частности если корни характеристического уравнения чисто мнимые: k iβ k iβ ( α 0) то частные линейно независимые решения уравнения как следует из (8) (9) будут выражаться через тригонометрические функции cos β si β ) Среди корней характеристического уравнения могут быть равные между собой (кратные) корни действительные или комплексные а) Пусть k k k m k -действительный корень кратности m Тогда частные линейно независимые решения дифференциального уравнения следует принимать в виде: k k k m k m Действительно пусть дано (для простоты) линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

41 a a 0 (0) коэффициенты которого a a - действительные числа и пусть корни характеристического уравнения k ak a 0 действительные и равные числа: k k k ( m - кратность корня) Первое частное решение соответствующее корню k будет k k иметь вид Второе частное решение линейно независимое с первым будем искать в виде ϕ( ) где ϕ () - k неизвестная функция Так как k k k k k k ϕ ( ) ϕ ( ) k ϕ ( ) k ϕ ( ) ϕ ( ) то уравнение (0) примет вид k k k k k k ϕ ( ) k ϕ ( ) k ϕ( ) a[ ϕ ( ) k ϕ( )] a ϕ( ) 0 или ( k a ) ϕ ( ) ( k a k a ) ϕ( )] 0 k [ ϕ ( ) Так как k - кратный корень характеристического уравнения то k ak a 0 и k a 0 (корни квадратного уравнения равны если дискриминант D 0 значит k a / ) Следовательно ϕ ( ) 0 а потому ϕ ( ) A B Принимая A B 0 получим ϕ ( ) Поэтому второе частное решение k следует принимать в виде Оно будет линейно независимым с первым так как ( ) cost ( ) б) Если характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни k α ± β i кратности m то комбинируя случаи ) и а) можно получить соответствующие им линейно независимые частные решения в виде α cos β α si β α cos β α si β α α 5 cos β 6 si β m m α m α cos β m si β

42 Таким образом построение общего решения линейных однородных дифференциальных уравнений -го порядка с постоянными коэффициентами сводится к чисто алгебраической проблеме решения соответствующих характеристических уравнений Вид частных решений однородного линейного дифференциального уравнения го порядка в зависимости от вида корней характеристического уравнения приведен в таблице Построение решения однородных линейных дифференциальных уравнений является обязательным первым этапом решения более общих линейных неоднородных уравнений (0) Поэтому примеры построения фундаментальной системы решений для однородных уравнений приведены ниже Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений -го порядка с постоянными коэффициентами Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение - го порядка с постоянными коэффициентами (0) ( ) f ( ( ) ( ) a a a a или в компактной форме L ( ) f ( ) Справедлива теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения -го порядка: общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения го порядка представляется в виде суммы 0 () где 0 - общее решение соответствующего линейного однородного уравнения L ( ) 0 -частное решение неоднородного уравнения L ( ) f ( ) Полезна также следующая теорема (принцип суперпозиции для линейных неоднородных уравнений): Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения L ( ) α f ( ) m k k k )

43 Таблица Вид частных решений линейного однородного уравнения L ()0 в зависимости от вида корней характеристического уравнения Вид корней Корни k i ( i ) действительны и различны a Комплексные корни k α β i k α β i Вид частных решений k k k α cos β si β α б а б Мнимые корни k β i k β i Кратные действительные корни k k k m k (m- кратность корня) Кратные комплексные корни: k α β i кратности m k α β i кратности m cos β si β k k k m k m α cos β α cos β α 5 cos β m α cos β m α si β α si β α 6 si β m α si β m

44 m 0 k может быть представлено в виде α k k где 0 - общее решение соответствующего однородного уравнения L ( ) 0 α cost k а k* - частные решения неоднородных уравнений вида L ( ) fk ( ) ( k m) Из принципа суперпозиции следует что решение исходного уравнения можно свести к решению нескольких более простых уравнений L ( ) fk ( ) С физической точки зрения это означает что результат сложного внешнего воздействия на некоторую систему (объект) характеризуемого функцией f ( ) α f ( ) можно представить как суперпозицию результатов отдельных элементарных воздействий Поэтому этот принцип является математической формулировкой принципа независимости действия сил в механике Частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения -го порядка (0) может быть получено или методом подбора (методом неопределëнных коэффициентов) или методом вариации произвольных постоянных М е т о д п о д б о р а ч а с т н о г о р е ш е н и я Этот метод называют ещё методом неопределëнных коэффициентов Он не является универсальным и применим если правая часть линейного неоднородного уравнения (0) с постоянными коэффициентами в общем случае имеет вид α α f ( ) P( ) cosβ Q( ) si β () где P() и Q() - одночлены или многочлены (в общем случае различных степеней от ) Пусть при этом - наивысшая степень одного из многочленов P() или Q() В частности если 0 то многочлены P() и Q() являются просто постоянными числами Алгоритм построения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (0) следующий: Находим корни характеристического уравнения (7) m k k k

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ЕАКОГАН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие по дисциплине математика для студентов обучающихся по специальности Автомобиле-и тракторостроение

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения.

Глава 1. Введение. 1. Понятие дифференциального уравнения. Основные определения. Глава Введение Лекция Понятие дифференциального уравнения Основные определения Определение Дифференциальным уравнением (ДУ) называют уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

Уравнения в частных производных

Уравнения в частных производных МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В.В.Поддубный ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Введение и основные определения Многие задачи естествознания и техники связаны с решением уравнений, содержащих неизвестные функции некоторых независимых

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Методическая разработка Составитель: проф АН Саламатин На основе: АФ Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск НИЦ "Регулярная

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Содержание Конев В.В. 1. Рабочая программа (выписка) 2 2. Введение 3 3. Основные понятия 3 3.1. Начальные условия 5 3.2. Составление дифференциальных

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

ТЕМА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ И ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ» ЧАСТЬ II ТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

Гл. I. Основные понятия. Простейшие типы ДУ.

Гл. I. Основные понятия. Простейшие типы ДУ. Лекция Гл I Основные понятия Простейшие типы ДУ Введение Термин aequatio differerialis или дифференциальные уравнения был введен Лейбницем (Leibiz) в 676 г для обозначения зависимости между дифференциалами

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11

2 модуль Тема 13 Функциональные последовательности и ряды. Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов. Степенные ряды Лекция 11 модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение `` МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ,

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

РЯДЫ. Методические указания

РЯДЫ. Методические указания Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Подробнее

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ 2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 8 Глава VI ЧАСТЬ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ГЛАВА VI Краевые задачи для обыкновенны дифференциальных уравнений 9. Постановка краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений В отличие

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

Введение. Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении

Введение. Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении ГЛАВА 9 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ СИСТЕМЫ Введение Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении 0 Постановка задачи Математическое описание процессов (физических

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 43 Аннотация Нормальные системы ДУ Задача и теорема Коши Частные и общее решения Системы линейных ДУ первого

Подробнее

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 5 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЁННЫХ КООРДИНАТАХ ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ПОЛНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ Лектор: Батяев Евгений Александрович

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее