2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения."

Транскрипт

1 Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( ) = где независимое переменное неизвестная функция F заданная функция трех переменных В нашем курсе мы будем рассматривать обычно такие дифференциальные уравнения первого порядка которые можно записать в виде = f ( () Уравнение () называется уравнением первого порядка разрешенным относительно производной Для уравнений вида () справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА Пусть в уравнении = f ( () функция f ( непрерывна в некоторой области D плоскости XOY а ее частная производная f ( в этой области ограничена Тогда для любой точки M ( ) D существует единственное решение = ϕ() уравнения () определенное в некотором интервале ( a b) содержащем точку и удовлетворяющее условию = ϕ ) ( Числа называются начальными значениями для решения = ϕ() а условие = ϕ( ) начальным условием решения Задача нахождения решения = ϕ() дифференциального уравнения () удовлетворяющего начальному условию = ϕ( ) называется задачей Коши Поэтому теорему называют теоремой существования и единственности решения задачи Коши Геометрически задание начального условия означает что на плоскости XOY задается точка ( ) через которую проходит интегральная кривая Согласно теореме через каждую точку области D проходит и притом единственная интегральная кривая уравнения () Закрепляя значение и изменяя в некоторых пределах значение (так чтобы точка ( ) принадлежала области D ) для каждого числа будем получать свое решение В результате вся область D будет покрыта интегральными кривыми которые нигде между собой не пересекаются Таким образом теорема подтверждает высказанное нами ранее предположение о том что дифференциальное уравнение имеет множество решений и говорит о том что эта совокупность решений зависит от произвольной постоянной

2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Общим решением дифференциального уравнения = f ( () в области D существования и единственности решения задачи Коши называется функция = ϕ( C) зависящая от и одной произвольной постоянной C которая удовлетворяет следующим двум условиям: ) при любом допустимом значении постоянной С она удовлетворяет уравнению (); ) каково бы ни было начальное условие = ( ) (где ( ) D ) можно найти единственное значение C = C такое что функция = ϕ C ) удовлетворяет данному начальному условию ( Уравнение Φ( C) = задающее общее решение в неявном виде называется общим интегралом уравнения Решение (интеграл) дифференциального уравнения получаемое из общего решения (общего интеграла) при конкретном значении постоянной C называется частным решением (частным интегралом) уравнения С геометрической точки зрения общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения представляет собой семейство интегральных кривых зависящих от одного параметра Решение уравнения удовлетворяющее условию = ( ) (где ( ) D ) будет изображаться определенной кривой этого семейства те будет являться частным решением (частным интегралом) Начального условия достаточно для того чтобы выделить это решение (интеграл) из общего решения (общего интеграла) Действительно подставив координаты точки ( ) в уравнение = ϕ( C) ( Φ( C) = ) мы найдем соответствующее решению значение постоянной C и следовательно сможем записать его уравнение Замечания ) Теорема дает достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши Поэтому возможно что в точке ( ) условия теоремы не выполняются а решение = () уравнения () удовлетворяющее условию = ( ) существует и единственно ) Строго говоря общее решение не всегда описывает все множество решений дифференциального уравнения Так если в каждой точке решения = ψ () нарушено условие единственности (те через каждую точку кривой = ψ () кроме этой кривой проходит еще хотя бы одна интегральная кривая) то оно не будет входить в общее Однако если уравнение имеет такие решения (их называют особыми) то их всегда можно обнаружить в процессе нахождения общего решения А именно особые решения следует искать среди тех решений которые теряются при преобразовании дифференциального уравнения Вопросы

3 связанные с существованием и нахождением особых решений в нашем курсе рассматриваться не будут Уравнения с разделенными переменными Прежде всего заметим что дифференциальное уравнение первого порядка разрешенное относительно производной всегда можно записать в виде P ( + Q( = () (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Действительно так как = то уравнение () можно переписать в виде = f ( Откуда находим f ( = f ( = Обратно всякое уравнение вида () если Q ( можно разрешить относительно производной: P( = Q( = f ( где P( f ( = Q( В дальнейшем мы будем использовать ту форму записи уравнения разрешенного относительно производной [форму () или ()] которая нам более удобна в конкретном случае При этом если уравнение записано в виде () то обычно предполагают что переменные и равноправны Дифференциальное уравнение вида f ( ) + ϕ ( = (3) где f () и ϕ ( непрерывные функции называется уравнением с разделенными переменными Из (3) следует что ϕ ( ) = f ( ) Интегрируя левую часть по а правую часть по х получаем ϕ ( ) = f ( ) + C (4) где C произвольная постоянная

4 Замечание В (4) как и всюду в дальнейшем в теории дифференциальных уравнений неопределенный интеграл f ( ) обозначает одну из первообразных функции (а не все множество первообразных как это было ранее) Итак мы получили соотношение связывающее решение независимую переменную и произвольную постоянную C те получили общий интеграл уравнения (3) НАПРИМЕР Найти общий интеграл уравнения + 3 = Это уравнение с разделенными переменными Интегрируя получаем: + 3 = C 3 + = C + 3 = C Обозначим C = C ~ и получим ~ + 3 = C общий интеграл данного уравнения 3 Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение вида M ( ) N( + M ( ) N ( = (5) те уравнение в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители зависящие только от х и только от называется уравнением с разделяющимися переменными (Функции M ( ) N ( M ( ) N ( предполагаются непрерывными) Уравнение (5) может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих его частей на выражение N( M ( ) Действительно в этом случае получим M ( ) N( M ( ) N ( + = N ( M ( ) N ( M ( ) M M ( ) N + ( ) N ( ( = уравнение с разделенными переменными Замечания ) Деление на N( M ( ) может привести к потере решений обращающих в нуль произведение N M ( ) Поэтому (

5 чтобы получить полное решение необходимо рассмотреть корни уравнений N ( = M ( ) = ) Уравнение с разделяющимися переменными может быть задано в виде разрешенном относительно Тогда оно имеет вид = f ( ) ϕ( Действительно разделив уравнение (5) на M ( ) N ( получим M ( ) N( + = M ( ) N ( или = f ( ) ϕ( где M( ) f ( ) = M ( ) N( ϕ ( ) = N ( НАПРИМЕР Найти все решение уравнения + ( ) = и указать частное решение удовлетворяющее начальному условию ( ) = Переменные х и не разделены так как коэффициент при представляет собой произведение двух функций из которых одна зависит только от х а другая только от Разделим обе части уравнения на ( ) и проинтегрируем: + = ( ) + = C + ln ( ) = C При делении на ( ) ln = C общий интеграл данного уравнения мы могли потерять решения Поэтому необходимо рассмотреть корни уравнений = Имеем: = ) = ± Подстановкой в дифференциальное уравнение убеждаемся что = ± являются решениями и в общий интеграл не входят ) = = удовлетворяет дифференциальному уравнению и в общий интеграл не входит Таким образом все решения дифференциального уравнения определяются равенствами: ln = C = ± = =

6 Найдем решение удовлетворяющее начальному условию ( ) = Подставим начальные значения = = в общий интеграл и найдем значение С: ln = C C = Таким образом при C = получаем частный интеграл ln = который удовлетворяет начальному условию ( ) = 4 Уравнения приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными Некоторые дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть приведены к уравнениям с разделяющимися переменными Укажем три вида таких уравнений ) К уравнению с разделяющимися переменными легко привести уравнение вида = f ( a + b + c) (6) где a b и c некоторые числа В этом случае достаточно сделать замену z = a + b + c Тогда получим = a + b = a b и уравнение (6) примет вид a = f ( z) b = bf ( z) + a Отсюда разделяя переменные и интегрируя получаем = = + C bf ( z) + a bf ( z) + a НАПРИМЕР Найти общее решение уравнения Положив z = получим = + = = = z z = + = z

7 e + = lnc ln z + = lnc z ( z ) = C z = + C e = + C e = C e общее решение ) К уравнению с разделяющимися переменными всегда можно привести уравнения которые получили название однородных Функция M ( называется однородной измерения m (или однородной степени m ) если при любом t справедливо равенство M ( t t = t m M ( НАПРИМЕР ) Функция f ( = + однородная измерения так как f ( t t = t + t = t + = t f ( ) Функция + f ( = однородная измерения t + t + так как f ( t t = = = t f ( t Уравнение первого порядка = f ( (7) называется однородным относительно и если функция f ( есть однородная функция нулевого измерения Покажем как уравнение однородное относительно и можно привести к уравнению с разделяющимися переменными По определению имеем f ( t t = f ( для любого t Положим в этом тождестве t = и получим f ( = f те однородная функция нулевого измерения зависит от отношения Следовательно уравнение (7) можно записать в виде = f Сделаем замену = z = z и = z + Подставим эти выражения в уравнение (7) и получим: z + = f ( z) = f ( z) z уравнение с

8 Разделяя переменные и интегрируя находим: = = ln f ( z) z f ( z) z разделяющимися переменными + C Подставив после интегрирования вместо z отношение общий интеграл уравнения (7) получим Дифференциальное уравнение M ( + N( = является однородным относительно и если функции M ( и N ( однородные функции одного и того же измерения так как в этом M ( случае = N( а отношение двух однородных функций одного и того же измерения очевидно является функцией нулевого измерения + НАПРИМЕР Найти общее решение уравнения + + = Запишем уравнение в виде + = + Функции M ( = + и N( = + однородные функции первого измерения тогда функция + f ( = однородная функция + нулевого измерения Действительно t + t + f ( t t = = = t f ( t + t + m = Следовательно имеем однородное уравнение Делаем замену = z = z и = z + Подставляя в уравнение получаем + z + z z + = z + = + z + z + z z + + = + z z + z + + = + z

9 Разделяя переменные и интегрируя будем иметь: (z + ) d(z + z + ) + = + z + z + z + z + Подставляя Обозначим = ln z + z + + ln = lnc ln z + z + + ln = lnc z + z + = C = z получаем + + = C + + = ± C ± C = C Тогда + + = C общий интеграл уравнения Замечание Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с помощью подстановки = z которая как легко убедиться также приводит однородное уравнение к уравнения с разделяющимися переменными 3) И наконец рассмотрим уравнения вида a + b + c = f (8) a + b + c Если c = c = то уравнение (8) будет однородным В противном случае заменой переменных оно может быть приведено либо к уравнению с разделяющимися переменными либо к однородному Это будет зависеть от коэффициентов при и Пусть хотя бы одно из чисел с или c отлично от нуля а коэффициенты при и удовлетворяют условию a b a b Тогда система уравнений aα + bβ + c = (9) aα + b β + c = будет иметь единственное решение Сделаем замену переменных: = u + α = v + β где α и β решения системы (9) Тогда du = dv

10 Подставим в уравнение (8) и получим dv a( u + α) + b( v + β ) + c = f du a ( u + α) + b ( v + β ) + c dv au + bv + ( aα + bβ + c) = f du au + bv + ( aα + b β + c ) Но α и β решения системы (9) Следовательно dv du au = f au + + bv bv однородное уравнение Теперь рассмотрим случай когда хотя бы одно из чисел с или отлично от нуля а коэффициенты при и удовлетворяют условию a b = a b Равенство нулю определителя второго порядка с ненулевыми элементами означает что его строки пропорциональны те a = λa b = λb Но тогда уравнение (8) можно записать в виде a + b + c = f λ( a + b + c = ϕ ( a + b Уравнение такого вида мы уже рассмотрели в ) Мы показали что оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены z = a + b НАПРИМЕР Решить уравнение ( 4 3 5) = Запишем это уравнение в виде = Это уравнение вида (8) и его можно привести к однородному заменой = u + α = v + β где α и β найдем из системы уравнений (9): 7α + 3β = α = β = = u + = v + 3α + 4β 5 = Подставив эти значения в уравнение получим однородное уравнение dv 7u + 3v = du 3u + 4v Сделаем еще одну замену переменных: c

11 dv v = uz = z + u du du Это приведет нас к уравнению 7 + 3z z + u = du 3 + 4z 4z + z 7 u = du z Получили уравнение с разделяющимися переменными которое запишем в du 4z 3 виде + = u 4z 6z + 7 du d(4z 6z + 7) + u 4z 6z + 7 Интегрируя обе части этого уравнения получаем ln u + ln 4z 6z + 7 = lnc = ( 4z 6z + 7) u = C 9 u Сделаем обратную замену переменных z = = 9 и получим: v 7 9 4v 6uv + 7u = C где C = C = C = C

12 5 Линейные уравнения первого порядка Уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка В общем случае линейное уравнение первого порядка может быть записано в виде + p( ) = f ( ) () где p ( ) f ( ) заданные непрерывные функции Если f ( ) = то линейное уравнение называется однородным В противном случае уравнение называется неоднородным Линейное однородное уравнение + p( ) = () является уравнением с разделяющимися переменными Разделяя переменные получаем + p( ) = откуда находим ln + p( ) = ln C (здесь для удобства постоянная С представлена в виде p e ( ) = C ln C ) p( ) = C e () Это и будет общее решение линейного однородного уравнения () Теперь рассмотрим линейное неоднородное уравнение () Для его интегрирования могут быть применены два метода ) Метод вариации постоянной (метод Лагранжа) Сначала решаем однородное уравнение которое имеет ту же левую часть что и уравнение () (его называют однородным уравнением соответствующим данному неоднородному уравнению) Его общее решение как показано выше имеет вид = p( ) C e Будем искать решение неоднородного уравнения в том же виде что и решение соответствующего однородного уравнения Тогда C придется считать не постоянной а неизвестной пока функцией от : = p( ) C( ) Функцию C () можно найти подставив и в исходное неоднородное уравнение () Действительно dc p( ) p( ) = e = C( ) e p( ) Подставляя выражения для и в () получим e

13 dc p( ) p( ) p( ) e C( ) e p( ) + p( ) C( ) e = Интегрируя находим dc p( ) dc = = p( e f ( ) f ( ) e ) dc = p f e ( ) ( ) p( ) C( ) = f ( ) e + C f ( ) И окончательно p( ) p( ) ( ) = + f ( ) e C e p( ) = + p( ) C f p( ) ( ) ( ) (3) e e Замечания ) Формула (3) трудна для запоминания Поэтому в конкретных примерах обычно повторяют приведенные выше рассуждения ) Заметим что первое слагаемое в (3) совпадает с общим решением однородного уравнения а второе функция ϕ ( ) = p( ) f ( ) p( ) e является частным решением линейного неоднородного уравнения В этом легко убедиться подставив функцию ϕ () в уравнение () НАПРИМЕР Решить уравнение + 4 = Найти частное решение удовлетворяющее начальному условию ( ) = Это линейное неоднородное уравнение Запишем его в виде 3 + = Интегрируем соответствующее однородное уравнение: + = + = = e ln = ln + ln C = Считаем С функцией от те C = C() Тогда C( ) C = и 3 e общее решение линейного однородного уравнения dc C =

14 Подставим и в исходное уравнение Получим: dc C C dc 3 = = C ( ) = + C 6 Подставим найденное C () в общее решение линейного однородного уравнения и получим общее решение линейного неоднородного уравнения: 6 4 C = + C = Теперь найдем частное решение удовлетворяющее условию ( ) = Подставляя в общее решение начальные значения = = находим C = Следовательно искомое частное решение имеет вид 6 4 = 4 = ) Метод Бернулли Решение уравнения () может быть сведено к последовательному интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными Будем искать решение уравнения () в виде произведения двух непрерывных и дифференцируемых функций от : = u( ) v( ) (4) du dv Тогда = = v + u Подставим и в линейное неоднородное уравнение () и получим: du dv v + u + puv = f () du dv или v + u pv + = f () (5) Имеем одно дифференциальное уравнение (5) содержащее две неизвестные функции u и v Так как число неизвестных больше числа уравнений то одно неизвестное можно выбрать произвольно Выберем v () так чтобы выражение в скобках в (5) обратилось в нуль Тогда 6 dc = 5

15 dv + pv = (6) du v = f ( ) (7) Уравнение (6) совпадает с () Его решением является функция (); причем учитывая свободу выбора v () можно в () принять C = те можем взять = p ( v ) ( ) Полученную функцию v () подставим в уравнение (7) и найдем u (): du p p e ( ) = f du = f e ( ) ( ) ( ) p u f e ( ) ( ) = ( ) + C e Подставив найденные таким образом u () и v () в (4) мы получим что общее решение линейного неоднородного уравнения () имеет вид: p( ) = p( ) e + f ( ) e C Замечание Дифференциальное уравнение может быть линейным относительно и как функций от те иметь вид: + P( = f ( Решая его методом Бернулли будем полагать: = v( u( НАПРИМЕР Найти общее решение уравнения cos + sin = cos Запишем уравнение в виде + tg = cos Полагаем = u( ) v( ) Подставляя = uv и = u v + uv в исходное уравнение будем иметь u v + uv + tg uv = cos u v + u( v + tg v) = cos Полагаем v + tg v = (8) Тогда u v = cos (9) ) Находим одно решение уравнения (8) Имеем: dv dv = v tg = tg v ln v = ln cos + ln C v = C cos

16 Так как нам требуется какое-нибудь одно решение то полагаем C = и получаем v( ) = cos ) Подставим найденную функцию v () в уравнение (9): Откуда находим u = u cos = cos du = u( ) = + C ln Так как по предположению = u( ) v( ) то окончательно получаем = u( ) v( ) = + C cos общее решение ln заданного линейного уравнения 6 Уравнения Бернулли Рассмотрим уравнение вида n + p( ) = f ( ) () где p ( ) f ( ) непрерывные функции n n (в противном случае это будет линейное уравнение) Уравнение () называется уравнением Бернулли Уравнение Бернулли можно проинтегрировать двумя способами Вопервых можно привести его к линейному уравнению Для этого надо обе n n части уравнения Бернулли разделить на а затем сделать замену z = Действительно разделив обе части уравнения на получим: p( ) n n + = f ( ) или + p( ) = f ( ) () n n n = Теперь полагаем z Тогда Подставим n = ( n) = = n n z = n и = n в уравнение () и получим: n + p( ) z = f ( ) n n + p( ) z = f ( ) n + ( n) p( ) z = ( n) f ( ) n n

17 Получили линейное неоднородное уравнение относительно z и z Найдя его общее решение и подставив вместо z выражение n получим общее решение (общий интеграл) уравнения Бернулли НАПРИМЕР Найти общее решение уравнения = ( ) Запишем уравнение в виде: + = = Это уравнение Бернулли в котором n = Разделим обе части уравнения на и получим = Теперь полагаем z = n = Тогда = или z = Подставим z = и z = в исходное уравнение и получим z z = или z z = Это линейное неоднородное уравнение относительно z и z Решим его методом вариации произвольной постоянной Интегрируем соответствующее однородное уравнение: z z = = z ln z = ln + ln C z = C общее решение линейного однородного уравнения dc Считаем C = C() Тогда = + C Подставляем z и z в линейное неоднородное уравнение и находим: dc dc + C C = = dc = C ( ) = + C Найденное C () подставим в общее решение однородного уравнения и получим общее решение линейного неоднородного уравнения: z = C = C Сделаем обратную замену Тогда = C Следовательно общее решение данного уравнения есть = ± C +

18 Другой способ найти общее решение уравнения Бернулли представить решение в виде произведения двух функций те в виде = u( ) v( ) Функции u () и v () в этом случае находятся из системы v + pv = u v = f ( ) u n v n (чтобы получить эту систему следует повторить для уравнения Бернулли все рассуждения приведенные для линейных уравнений при изложении метода Бернулли) НАПРИМЕР Найти общее решение уравнения = 3 Запишем уравнение в виде = Это уравнение Бернулли Полагаем = u( ) v( ) Тогда = u v + u v Подставив эти выражения в уравнение Бернулли получим u v + uv uv = u v или u v + u v v = u v Полагая выражение в скобках равным нулю получаем систему: v v = u v = u v ) Находим одно из решений первого уравнения: dv v dv = = ln v = ln + C v = v ) Из второго уравнения находим u (): du 3 du 3 u = u = u = u 4 4 C + C 4 = = u = 4 u 4 4 u 4 + C 4 В итоге получаем = u v = 4 общее решение + C данного уравнения 7 Уравнение в полных дифференциалах Интегрирующий множитель Уравнение M ( + N( = ()

19 называется уравнением в полных дифференциалах если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u ( те если M ( + N( = du( Очевидно что общий интеграл уравнения в полных дифференциалах будет иметь вид u ( = C Таким образом задача интегрирования дифференциального уравнения в полных дифференциалах фактически сводится к задаче нахождения функции двух переменных по ее полному дифференциалу Критерий когда выражение M ( + N( представляет собой дифференциал некоторой функции u ( и один из возможных способов ее нахождения дает следующая теорема ТЕОРЕМА Пусть функции M ( N ( определены и непрерывны в области D плоскости O и имеют в ней непрерывные частные производные и Для того чтобы выражение M ( + N( представляло собой полный дифференциал некоторой функции u ( необходимо и достаточно чтобы во всех точках области D выполнялось условие = При этом функция u ( может быть найдена по одной из следующих формул где u( = M ( + N ( (3) u( = M ( ) + N( (4) ) любая точка области D ( Замечание В формулах (3) и (4) интегрирование производится по одной из переменных в то время как вторая считается константой НАПРИМЕР Найти общий интеграл уравнения e ( + e ) = Имеем M ( = e N( = ( + e ) = e = e

20 Так как условие = выполнено то уравнение является уравнением в полных дифференциалах те левая часть этого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции u ( Найдем функцию u ( по формуле (4) Так как функции M ( и N ( определены и непрерывны в любой точке плоскости O то можно взять в качестве точки ) начало координат Тогда ( u ( = e ( + e ) = = ( e ) = ( + e + e Следовательно общий интеграл исходного уравнения имеет вид + e = C ) = Иногда функцию u ( можно найти сгруппировав члены выражения M ( + N( и приведя его таким образом к виду du ( НАПРИМЕР Найти общий интеграл уравнения + ( 3 ) = Имеем M ( = N( = 3 = = Так как условие = выполнено то уравнение является уравнением в полных дифференциалах те левая часть этого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции u ( Чтобы найти функцию u ( группируем члены уравнения следующим образом ( + d 3 = Имеем + = d( и 3 = d( ) Следовательно уравнение можно записать в виде 3 d( d( ) = и Таким образом 3 ( ) = d u ( = 3 = C 3 3 общий интеграл уравнения Если условие = не выполнено то уравнение M ( + N( = (5)

21 не является уравнением в полных дифференциалах Но в некоторых случаях удается подобрать функцию μ ( после умножения на которую левая часть уравнения становится полным дифференциалом Такая функция называется интегрирующим множителем уравнения Покажем как можно в некоторых случаях найти интегрирующий множитель Поскольку уравнение μ M ( + μn ( = является уравнением в полных дифференциалах то выполняется условие ( μm ) ( μn = ) те μ M μ + μ = N + μ μ μ или M N = μ Разделив обе части этого равенства на μ получим μ μ M N = μ μ ln μ ln μ M N = (6) Таким образом всякая функция μ удовлетворяющая уравнению (6) является интегрирующим множителем уравнения (5) Следовательно для нахождения μ ( нужно проинтегрировать дифференциальное уравнение в частных производных (6) В общем случае эта задача является сложной поэтому рассмотрим два частных случая или ) Пусть μ = μ() Тогда условие (6) принимает вид Откуда находим d N ln μ = d ln μ = N ln μ ( ) = + C N ( ) N и μ ( ) = e (7) (так как достаточно иметь какой-нибудь один интегрирующий множитель то можно взять C = )

22 Итак если зависит только от то интегрирующий N множитель μ = μ() существует и может быть найден по формуле (7); в противном случае интегрирующий множитель вида μ () не существует или и ) Пусть μ = μ( Тогда уравнение (6) принимает вид d ln μ M = d ln μ = M ( ) M μ ( = e (8) Таким образом если интегрирующий множитель формуле (8) зависит только от то M μ = μ( существует и может быть найден по НАПРИМЕР С помощью интегрирующего множителя найти общий интеграл уравнения ( + + ) + = Имеем M ( = + + N ( = = = = Это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах но отношение = = не зависит от Следовательно N существует интегрирующий множитель μ = μ() который может быть найден по формуле (7): N μ ( ) = e = e = e Умножим обе части исходного уравнения на и получим e ( + + ) + e = Тогда du = e ( + + ) + e Для нахождения функции u ( применим формулу (4) выбрав в качестве точки ) начало координат В этом случае будем иметь ( e u( = e ( + ) + e = e + e =

23 ( ) = e + e = e + Следовательно общее решение уравнения имеет вид e ( + ) = C e + = где C = C или ( ) C

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли

Тема: Однородные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Бернулли Математический анализ Раздел: Дифференциальные уравнения Тема: Однородные уравнения Линейные уравнения Уравнения Бернулли Лектор Рожкова СВ 07 год 8 Однородные уравнения Функция M, называется однородной

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

x - заданные непрерывные функции от х (или

x - заданные непрерывные функции от х (или ЛЕКЦИЯ 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Определение: Линейным уравнением -го порядка называет уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 15 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция 15 Решение

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В.В.Поддубный ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Введение и основные определения Многие задачи естествознания и техники связаны с решением уравнений, содержащих неизвестные функции некоторых независимых

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Конспект лекций по математике-3

Конспект лекций по математике-3 КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского А.С.Шкуро Конспект лекций по математике-3 для студентов Химического института Учебное пособие Казань

Подробнее

А.В. Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА

А.В. Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА МАТЭМАТЫКА 9 УДК 579 АВ Чичурин О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛОВ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ У УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА Рассматривается метод построения общего интеграла специальной формы для нелинейного дифференциального

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ) Основные понятия. Нормальные системы СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ Основные понятия Нормальные Системой называется совокупность в каждое из которых входят независимая переменная искомые функции и их производные Всегда предполагается

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши)

. Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Лекция 7 Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения -го порядка f (, ). Интегральные кривые. Теорема о существовании и единственности решения с данными начальными условиями (задача Коши) Дифференциальным

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия

8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Основные понятия 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 8 Основные понятия Линейным дифференциальным уравнением -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение)

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) Занятие 12 Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) 12.1 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких

Подробнее

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1).

a β, откуда следует α справедливость формулы (13.1). Лекция. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Теорема.. Если: функция непрерывна на отрезке [,],

Подробнее

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y)

Пример 2 Найти полную производную сложной функции z = x sin v cos w, где 2 2. Найдем теперь полный дифференциал сложной функции z f u( x y) v( x y) 44 Пример Найти полную производную сложной функции = sin v cos w где v = ln + 1 w= 1 По формуле (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Найдем теперь полный дифференциал сложной функции f

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

6. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 6 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами ) ) ) L [] f ) 9) где i постоянные Так

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3

Дифференциальные уравнения высших порядков. Лекции 2-3 Дифференциальные уравнения высших порядков Лекции 2-3 Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида F( x, y, y,..., y() n ) 0, () в котором обязательно наличие n-ой производной. Будем

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 22 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса -го семестра специальностей РЛ1,,3,6, БМТ1, Лекция Нормальные

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее