Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Решение типовых задач к разделу «Матрицы»"

Транскрипт

1 Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е Вычислить разность B B где B Р е ш е н и е B 9 B Тогда 8 9 B B Найти матрицу транспонированную по отношению к данной: Р е ш е н и е

2 T Вычислить T и T для заданной матрицы Р е ш е н и е Для заданной матрицы имеем: T Тогда T T Задачи для самостоятельного решения Вычислить линейную комбинацию матриц и B : B B Вычислить 9 Вычислить B B : B

3 Вычислить T и T для матрицы Решение типовых задач к разделу «Определители Свойства определителей» Вычислить определитель матрицы -го порядка Р е ш е н и е Вычислить определитель матрицы третьего порядка: Р е ш е н и е По правилу треугольника Пользуясь только определением вычислить определитель Р е ш е н и е В рассматриваемом определителе в первой строке лишь один элемент отличен от нуля; тогда во второй строке единственный отличный от нуля элемент не содержащийся в последнем столбце это в третьей и тд Итак S где S число инверсий в перестановке образованной вторыми индексами: Очевидно S Используя свойства определителей доказать тождество:

4 Р е ш е н и е Поскольку каждый элемент первого столбца представляет собой сумму двух слагаемых разобьем исходный определитель на сумму двух определителей: Вынося из первого столбца второго определителя общий множитель и разбивая каждый определитель на сумму двух определителей за счет второго столбца имеем: Первый определитель содержащий два одинаковых столбца и четвертый содержащий два пропорциональных столбца равны нулю Вынося за знак второго определителя общий множитель к элементам второго столбца и меняя местами первый и второй столбцы в третьем определителе изменяя при этом его знак на противоположный получим: Вычислить определитель используя его свойства Р е ш е н и е Вычитая первую строку из второй и третьей имеем: Вычислить определитель os os s os os s os os s используя его свойства Р е ш е н и е Вычитая первый столбец из третьего получим второй столбец: os os s os os s os os s так как определитель содержит два одинаковых столбца Проверить что определитель делится на и Р е ш е н и е Вычитая первый столбец из второго и третьего имеем

5 Вычитаем второй столбец из третьего: Задачи для самостоятельного решения Вычислить определитель второго порядка: os s os s Вычислить определители третьего порядка 8 8 os s s os s o Пользуясь только определением вычислить определитель: Используя свойства определителей доказать тождество: Вычислить определители используя их свойства os s os s os s 8 Проверить что определитель делится на и Решение типовых задач к разделу «Миноры и их алгебраические дополнения Вычисление определителей»

6 Пусть дана матрица 9 и пусть k 8 Выберем строки и столбцы с номерами j j Тогда M d минор исходной матрицы а M d дополнительный по 9 отношению к нему минор Алгебраическим дополнением для минора M является M 8 8 Пользуясь теоремой Лапласа вычислить определитель: Р е ш е н и е D 9 Разлагая его по первому и третьему столбцам содержащим удачно расположенные нули получим: D Вычислить определитель четвертого порядка D 8 Р е ш е н и е Разложим определитель по элементам первой строки: D Вычислить определитель D Р е ш е н и е

7 Произведем следующие действия: из элементов первой строки вычтем утроенные элементы второй строки; к элементам третьей строки прибавим удвоенные элементы второй строки; из элементов четвертой строки вычтем элементы второй строки Тогда исходный определитель преобразуется к виду D 9 Разложим этот определитель по элементам первого столбца: D 9 Прибавляя к элементам первой строки элементы третьей строки и вычитая из элементов второй строки элементы третьей строки получим D Разложим определитель по элементам первого столбца: D Найти обратную матрицу для Р е ш е н и е Определитель матрицы d поэтому для нее обратная матрица существует Вычислим алгебраические дополнения элементов исходной матрицы: Тогда Дана матрица = Найти ей обратную Р е ш е н и е Определитель = поэтому обратная матрица существует причем Итак

8 = Задачи для самостоятельного решения В задачах - вычислить определители 8 В задачах - вычислить обратную матрицу Решение типовых задач к разделу «Линейная зависимость векторов Ранг матрицы» Найти ранг матрицы Р е ш е н и е

9 Минор второго порядка стоящий в левом верхнем углу этой матрицы равен нулю Однако в матрице содержатся и отличные от нуля миноры второго порядка например d Минор третьего порядка d окаймляющий минор d отличен от нуля те d однако оба минора четвертого порядка окаймляющие минор d равны нулю: Таким образом ранг матрицы равен трем Найти ранг матрицы Р е ш е н и е Умножая вторую строку на - и прибавляя ее к третьей строке вычитая из второй строки первую умноженную на а затем вычитая из четвертой строки первую перейдем к матрице Вычитая из четвертой строки сначала вторую а затем третью строку получим матрицу Умножая первый столбец на а затем последовательно умножая его на и и вычитая соответственно из второго третьего и четвертого столбцов придем к матрице

10 Умножая наконец второй столбец последовательно на и и вычитая его из третьего и четвертого столбцов соответственно а затем вычитая третий столбец умноженный на из четвертого придем к искомой диагональной форме: Таким образом ранг матрицы равен трем Выяснить является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой Р е ш е н и е Найдем ранг матрицы столбцами которой являются векторы рассматриваемой системы Итак Так как речь о базисе не идет то удобнее применить метод элементарных преобразований Вычитая первую строку из всех остальных имеем или Вычитаем из третьей строки вторую а затем складывая полученную строку с четвертой получим ~ Тогда ранг этой матрицы а значит и ранг исходной матрицы равен четырем Таким образом все четыре столбца матрицы линейно независимы следовательно линейно независима система векторов Найти ранг и какой-нибудь базис заданной системы векторов: Р е ш е н и е Поскольку речь идет о базисе системы векторов применим метод окаймляющих миноров Найдем ранг матрицы составленной из столбцов системы:

11 Определитель второго порядка определитель третьего порядка его окаймляющий 8 а единственный определитель четвертого порядка Поэтому ранг матрицы равен и в качестве базиса можно взять систему из трех векторов элементы которых входят в отличный от нуля минор третьего порядка Задачи для самостоятельного решения В задачах - найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров 8 9 В задачах - вычислить ранг матрицы методом элементарных преобразований Выяснить является ли система векторов 9 линейно зависимой или линейно независимой Найти ранг и какой-нибудь базис заданной системы векторов: Решение типовых задач к разделу «Системы линейных уравнений» Решить систему линейных уравнений 8 9 Р е ш е н и е Определитель этой системы отличен от нуля:

12 d поэтому к системе применимо правило Крамера Значения неизвестных будут иметь числителями определители Таким образом d d 8 d d d 8 d 8 d d d d d d будет решением исходной системы притом единственным Решить систему уравнений 9 8 Р е ш е н и е Система совместна тк ранг расширенной матрицы как и ранг матрицы из коэффициентов равен двум Левые части первого и третьего уравнений линейно независимы тк коэффициенты при неизвестных и составляют отличный от нуля минор второго порядка Решаем систему из этих двух уравнений причем неизвестные считаем свободными переносим в правые части уравнений и предполагаем что им уже приданы некоторые числовые значения Применяя правило Крамера получим: Эти равенства определяют общее решение заданной системы: придавая в них свободным неизвестным произвольные числовые значения мы получим все решения системы Так решениями системы будут например векторы и тд Дана система линейных однородных уравнений 8 Р е ш е н и е

13 Ранг матрицы из коэффициентов равен двум число неизвестных равно пяти поэтому всякая фундаментальная система решений этой системы уравнений состоит из трех решений Решим систему ограничиваясь первыми двумя линейно независимыми уравнениями и считая свободными неизвестными Мы получим общее решение в виде Берем далее следующие три линейно независимых трехмерных вектора Подставляя компоненты каждого из них в общее решение в качестве значений для свободных неизвестных и вычисляя значения для и мы получим следующую фундаментальную систему решений заданной системы уравнений: Решить следующие системы уравнений методом Гаусса Р е ш е н и е Расширенная матрица этой системы имеет вид: Вычитая первую строку из второй и из третьей и утроенную первую из четвертой получим матрицу Далее прибавив утроенную третью строку ко второй и удвоенную третью к четвертой получим Вычитая вторую строку из четвертой и сокращая ее на - будем иметь Но это расширенная матрица системы

14 Решением этой системы будет 9 Р е ш е н и е Подвергнем преобразованиям расширенную матрицу этой системы: ~ ~ 8 8 В результате чего приходим к системе уравнений обладающей единственным решением: 8 8 Р е ш е н и е Подвергнем преобразованиям расширенную матрицу этой системы: ~ ~ Откуда и значит 8 Задачи для самостоятельного решения Решить систему уравнений: 8

15 8 Исследовать на совместность и найти общее решение следующих систем: 9 9 Найти фундаментальную систему решений и общее решение следующих систем: Найти общие решения неоднородных систем используя фундаментальную систему решений соответствующих однородных Методом Гаусса исследовать совместность и найти общее решение следующих систем:

16 Решение типовых задач к разделу «Линейное пространство» Геометрические векторы направленные отрезки можно складывать между собой и умножать на числа Сумма OC векторов O и OB определяется как диагональ параллелограмма OCB а произведение OD вектора O на число определяется из условий: OD O и векторы OD и O направлены в одну сторону если и в противоположные стороны если Таким образом и сумма геометрических векторов и их произведение на число тоже геометрические векторы поэтому множество геометрических векторов является линейным пространством Из теории систем линейных уравнений известно что если и есть два каких-либо решения некоторой системы линейных однородных уравнений то их сумма и произведение любого из них на любое число например тоже будут решениями той же системы Значит и множество всех решений данной системы линейных однородных уравнений образует линейное векторное пространство Аналогичная ситуация когда имеется множество каких-то элементов которые можно складывать между собой и умножать на числа получая в результате элементы того же самого множества встречается в математике часто: Складывать между собой и умножать на числа можно многочлены с вещественными или коэффициентами в результате получаются опять же многочлены Если складываются и умножаются на числа многочлены степени которых не превосходят данного числа то и полученные при этом многочлены будут иметь степень не выше Складывать между собой и умножать на числа можно и произвольные функции от некоторой переменной в результате снова получаются функции от той же переменной Если функции к которым применяются эти операции непрерывны на каком-то отрезке либо на всей числовой прямой то и полученные в результате функции обладают тем же свойством Наконец разумеется и просто числа можно складывать между собой и умножать на числа Более того вместо одного числа можно рассматривать пары тройки и вообще упорядоченные наборы строки состоящие из чисел: Строки можно складывать: и умножать на числа: получая всякий раз такую же строку

17 Пусть единичные векторы направленные по осям прямоугольной декартовой системы координат Повернем оси координат на угол против часовой стрелки и пусть новые базисные векторы Углы образуемые вектором с векторами и равны соответственно и Поэтому координаты этого вектора в базисе равны os и os s значит os s Аналогично углы вектора с векторами и равны соответственно и координаты его в базисе равны os s и os значит s os os s Таким образом матрицей перехода здесь будет а выражения старых s os координат через новые имеют вид os s s os В пространстве геометрических векторов заданы векторы j j j k Доказать что система - базис и написать матрицу перехода где j k Найти координаты вектора j k в новом базисе Р е ш е н и е Выпишем координаты векторов в исходном базисе j k : E E E Отсюда матрица перехода имеет вид Определитель этой матрицы d отличен от нуля поэтому система линейно независима и значит эти три вектора образуют базис в пространстве геометрических векторов Вектор j k в базисе j k имеет координаты X Чтобы найти координаты этого вектора в базисе воспользуемся матрицей перехода

18 Решая эту систему имеем X Те же координаты можно получить вычисляя обратную матрицу: X X Или 8 В пространстве R заданы векторы Доказать что система - базис в R и написать матрицу перехода где канонический базис в R Найти координаты вектора в базисе Р е ш е н и е Канонический базис в R : Выпишем координаты векторов в базисе : E E E E Отсюда матрица перехода имеет вид d Определитель матрицы перехода d поэтому система из четырех векторов базис в пространстве R Координаты вектора в новом базисе находятся из системы: Используя метод Гаусса имеем

19 Итак Окончательно то есть X или 9 Доказать что система многочленов образует базис в пространстве P Выписать в этом базисе столбец координат многочлена Р е ш е н и е Заданные многочлены в каноническом базисе пространства P имеют следующие координаты: Тогда матрица перехода от канонического базиса к системе имеет вид: определитель которой d Поэтому три рассматриваемых вектора пространства P образуют базис в этом пространстве Многочлен имеющий в каноническом базисе координаты X в новом базисе определяется координатами: откуда X То есть В произвольном пространстве векторы и заданы своими координатами в некотором базисе 9 X E E E Доказать что система базис в рассматриваемом пространстве и найти столбец X координат вектора в этом базисе Р е ш е н и е

20 При заданных условиях матрица перехода от первоначального базиса к системе имеет вид: Ее определитель d Поэтому базис рассматриваемого пространства Тогда координаты вектора в новом базисе легко находятся из системы 9 Применим например метод Гаусса 8 9 Тогда 8 Итак X или Задачи для самостоятельного решения В задачах - выяснить являются ли множества линейными пространствами Множество C всех функций f непрерывных на отрезке с естественным образом введенными операциями сложения функций и умножения их на числа Множество всех геометрических векторов коллинеарных фиксированной прямой Множество всех геометрических векторов удовлетворяющих условию где фиксированное число Пусть k j и k j прямоугольные базисы в пространстве геометрических векторов В задачах и найти матрицу перехода и выписать столбец координат вектора k j в базисе k j Базис k j получен изменением на противоположное направление всех трех базисных ортов k j Базис k j получен перестановкой k k j j Найти ранг и какой-нибудь базис системы геометрических векторов k j k j k j j Доказать что система многочленов линейно независима 8 Найти координаты многочлена в базисе

21 9 В произвольном пространстве векторы и заданы своими координатами в некотором базисе E E E X Доказать что система базис в рассматриваемом пространстве и найти столбец X координат вектора в этом базисе В произвольном пространстве векторы и заданы своими координатами в некотором базисе E E E E Доказать что система базис в рассматриваемом пространстве и найти столбец X координат вектора в этом базисе Решение типичных задач к разделу «Евклидово пространство» а Доказать что в пространстве R арифметических векторов формула где и задает скалярное произведение Д о к а з а т е л ь с т в о Проверим четыре условия скалярного произведения: для любого R причем тогда и только тогда когда нулевой вектор Все условия выполняются поэтому рассматриваемое соотношение задает скалярное произведение в пространстве R б Показать что в евклидовом пространстве R канонический базис является ортонормированным Р е ш е н и е единица стоит на -ом месте а в Так как в векторе k на k -ом то их скалярное произведение k k а скалярный квадрат в Написать неравенство Коши-Буняковского для евклидова пространства Р е ш е н и е г Написать неравенство треугольника в евклидовом пространстве R Р е ш е н и е R

22 а Доказать что в пространстве C соотношение: f g f gd скалярное произведение Д о к а з а т е л ь с т в о Проверим четыре условия скалярного произведения: g f g f d f g d f g f g d f g d f g f g h f g h d f h d g h d f h g h f f f d для любой функции причем f f лишь при f задает f Все условия выполняются поэтому рассматриваемое соотношение задает скалярное произведение в пространстве C б Написать неравенство Коши-Буняковского для этого пространства Р е ш е н и е f g d f d g d в Написать неравенство треугольника для этого пространства Р е ш е н и е f g d f d g Применить процесс ортогонализации к следующей системе векторов евклидова пространства R : g g g 8 со скалярным произведением Р е ш е н и е Возьмем в качестве первого вектора искомой системы первый вектор системы исходной: f g В качестве второго искомого вектора возьмем f g f причем коэффициент выберем таким что f f То есть g f f g f f f g f Тогда f f Итак d f В качестве третьего искомого вектора возьмем f g f f причем коэффициенты и выберем так чтобы f f и f f То есть g f f f g f f f f f f f f g f f f f f g

23 Так как векторы f и f ортогональны то их скалярное произведение g f f f и g f f f откуда нулю поэтому имеем g f 8 f f g f f f и f f равно Итак f 8 Таким образом в результате процесса ортогонализации получена система векторов f f f Пронормируем ее f f f f f f Полученная система векторов является ортонормированной Пусть и Задачи для самостоятельного решения R Показать что скалярное произведение в - произвольные векторы арифметического пространства R можно определить следующим способом: Вычислить скалярное произведение векторов и и указанным способом Пусть произвольные векторы арифметического пространства R Показать что скалярное произведение в R можно определить следующим способом: Вычислить скалярное произведение векторов и указанным способом Применить процесс ортогонализации к следующей системе векторов евклидова пространства R g g g со скалярным произведением Применить процесс ортогонализации к следующей системе векторов евклидова пространства R g 8 g g со скалярным произведением Решение типовых задач к разделу «Линейные операторы» Пусть поворот обычного трехмерного пространства на угол вокруг оси O Если - единичные векторы прямоугольной декартовой системы координат то

24 os s s os и значит матрица этого преобразования os s s os В обычном трехмерном пространстве пусть будет ортогональной проекцией вектора на плоскость O Линейность этого преобразования вытекает из того что проекция сумы векторов равна сумме проекций слагаемых и что проекция произведения вектора на число равна произведению проекции вектора на это число Если базис выбран так как указано выше то очевидно следовательно В обычном трехмерном пространстве пусть вектор симметричный вектору относительно плоскости O Линейность этого преобразования очевидна При этом и матрица преобразования имеет вид В пространстве P многочленов от степени не выше положим Линейность этого «оператора дифференцирования» вытекает из основных правил дифференциального исчисления Чтобы найти его матрицу выберем в качестве базиса например векторы!! Тогда и Обозначим через ε так называемый тождественный оператор определяемый равенством ε для любого R Тогда ε для всех и следовательно матрица оператора ε в любом базисе имеет вид Обозначим через O так называемый нулевой оператор определяемый равенством O для всех R Матрица этого оператора состоит из одних нулей Очевидно что операторы невырожденные а вырожденные

25 В задачах 8 установить какие из заданных отображений пространства геометрических векторов в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в прямоугольном базисе j k - фиксированное число Р е ш е н и е Поскольку при умножении вектора на число получается вектор то рассматриваемое преобразование является оператором Проверим его линейность: Матрица рассматриваемого оператора в прямоугольном базисе получается из соотношений: j j те k k 8 и фиксированы Р е ш е н и е То что в результате предлагаемой операции получается вектор очевидно Проверим линейность оператора: Итак уже первое условие линейности не выполняется поэтому проверять второе не имеет смысла Рассматриваемый оператор не является линейным 9 Установить что линейный оператор из задачи является невырожденным и найти для него явный вид обратного оператора Р е ш е н и е Очевидно что матрица оператора полученная при решении задачи имеет определитель d тогда и только тогда когда В этом случае оператор будет невырожденным и Окончательно В задачах установить какие из заданных отображений пространства арифметических векторов R в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в каноническом базисе Р е ш е н и е Очевидно что в результате предлагаемых преобразований будут получаться строки состоящие из трех чисел Докажем линейность оператора: а значит где где Канонический базис в пространстве арифметических векторов R имеет вид:

26 Поэтому матрица в этом базисе может быть получена из соотношений: те Р е ш е н и е Проверим линейность оператора Уже первое условие линейности не выполняется Оператор не является линейным Установить что линейный оператор из задачи является невырожденным и найти для него явный вид обратного оператора Р е ш е н и е Матрица оператора полученная при решении задачи имеет определитель d Поэтому рассматриваемый оператор невырожденный Чтобы получить неявный вид обратного оператора найдем обратную матрицу: Тогда Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора заданного своей матрицей Р е ш е н и е Собственные числа являются корнями характеристического уравнения d E ; Итак Тогда единственным корнем характеристического уравнения кратности три а значит и единственным собственным значением является число Найдем соответствующие собственные векторы

27 При система E принимает вид Фундаментальная система решений состоит из одного вектора E а общее решение те собственные векторы имеют вид X CE C C Задачи для самостоятельного решения Установить какие из заданных отображений пространства геометрических векторов в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в прямоугольном базисе j k где заданный единичный вектор фиксированный вектор фиксированный вектор Установить какие из заданных отображений пространства арифметических векторов R в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в каноническом базисе Установить какие из заданных линейных операторов в R являются невырожденными и найти явный вид обратных операторов 8 9 Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов заданными своими матрицами Решение типовых задач к разделу «Билинейные и квадратичные формы» Пусть в пространстве R задана билинейная форма Найти ее матрицу в базисе если

28 Р е ш е н и е Матрица билинейной формы имеет вид j где j j Учитывая ее симметричность достаточно найти: Тогда Итак матрица рассматриваемой билинейной формы в заданном базисе имеет вид: Квадратичную форму привести к сумме квадратов Р е ш е н и е где Найти нормальный вид квадратичной формы: Р е ш е н и е Выделим в квадратичной форме все слагаемые содержащие и дополним полученную сумму до полного квадрата: 8 Аналогично соберем все слагаемые содержащие и дополним вторую полученную сумму до полного квадрата: 9 8 где Найти нормальный вид квадратичной формы: Р е ш е н и е Поскольку в квадратичной форме отсутствуют все выполним преобразование базиса при котором координаты векторов в старом и новом базисах связаны формулами: Тогда исходная квадратичная форма в новом базисе имеет вид Группируем слагаемые содержащие и выделяем полный квадрат:

29 где Определить является ли квадратичная форма положительно либо отрицательно определенной Р е ш е н и е Составим матрицу квадратичной формы: Ее угловые миноры поэтому квадратичная форма является положительно определенной Определить является ли квадратичная форма положительно либо отрицательно определенной Р е ш е н и е Составим матрицу квадратичной формы: Ее угловые миноры 8 имеют чередующиеся знаки начиная со знака минус поэтому квадратичная форма отрицательно определенная Определить является ли квадратичная форма положительно либо отрицательно определенной Р е ш е н и е Матрица квадратичной формы: Ее угловые миноры 9 Знак не имеет смысла определять так как форма уже не может быть ни положительно ни отрицательно определенной Задачи для самостоятельного решения Пусть в пространстве R задана билинейная форма Найти ее матрицу в базисе если Найти нормальный вид квадратичных форм Определить какие квадратичные формы являются положительно либо отрицательно определенными а какие нет 9 Решение типовых задач к разделу «Комплексные числа»

30 Выполнить указанные операции представив результат в алгебраической форме Р е ш е н и е Задачу можно решить двумя способами: 9 = 9 ; = = = = 9 = 9 Р е ш е н и е = = = = ; = = = = Комплексное число представить в тригонометрической и показательной формах Р е ш е н и е Тригонометрическая форма: то есть os s k Главное значение аргумента Показательная форма: Следовательно k где rg и значит os s Комплексное число представить в тригонометрической и показательной формах Р е ш е н и е Тригонометрическая форма: Итак os s Следовательно имеем главное значение аргумента rg тогда os s Показательная форма: Вычислить Р е ш е н и е os k где k s Следовательно имеем

31 где Тогда k Главное значение rg поэтому os s Вычислить k k k k Р е ш е н и е os s Следовательно имеем k Тогда k k где k Главное значение rg поэтому os s os s Следовательно имеем k где k Тогда k k k k где k Главное значение rg поэтому os s Итак Найти все значения корня Р е ш е н и е os s Следовательно имеем k где k Тогда k k где k Искомые значения аргумента будут получены при k то есть k где k Итак k

32 Или k os k s k k os s os s 8 Найти все значения корня 9 9 Р е ш е н и е os s 9 9 Следовательно имеем k где k Тогда k 9 9 k где k Искомые значения аргумента будут получены при k 8 Итак k 9 9 os k s k k Задачи для самостоятельного решения Выполнить указанные операции представив результат в алгебраической форме: Представить комплексные числа в тригонометрической и показательной формах: s os Вычислить: Найти все значения корней:

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и

АЛГЕБРА (ЧАСТЬ 2) Материалы для практических занятий и самостоятельной работы для студентов направлений и МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Решения задач по алгебре за второй семестр

Решения задач по алгебре за второй семестр Решения задач по алгебре за второй семестр Д.В. Горковец, Ф.Г. Кораблев, В.В. Кораблева 1 Линейные векторные пространства Задача 1. Линейно зависимы ли векторы в R 4? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Высшая математика» Е Б Павельева В Я Томашпольский Линейная алгебра Методические указания

Подробнее

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Как изменится произведение B матриц и B если: а переставить -ю и j -ю строки матрицы? б переставить -й и j -й столбцы матрицы B? в к -й строке матрицы прибавить ее j -ю строку

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

14. Евклидовы пространства

14. Евклидовы пространства 9 4 Евклидовы пространства Большое многообразие фактов которыми так богата геометрия в значительной степени объясняется возможностью измерять длины отрезков и углы между прямыми В абстрактном линейном

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика I Практикум по линейной алгебре и аналитической

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Методические

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

1 Билинейная и квадратичная формы.

1 Билинейная и квадратичная формы. 1 Билинейная и квадратичная формы. Пусть ϕ(x, y) числовая функция, заданная на линейном пространстве, то есть ϕ : L L R. Если ϕ(x, y) линейна по каждому из своих аргументов, то её называют билинейной формой.

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности. Направление

Подробнее

10. Линейные операторы

10. Линейные операторы 35 0 Линейные операторы До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве L скалярные функции векторного аргумента - линейные комбинации векторов Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении векторных функций

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Симметричные и ортогональные матрицы и операторы 1.1 Определения. Основные свойства Действительная матрица A M n n называется симметричной (симметрической),

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Линейная алгебра с приложениями

Линейная алгебра с приложениями Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий РМ Минькова Линейная алгебра с приложениями Учебно-методическое

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейная алгебра. Лекция 13. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейная алгебра Лекция 3 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Линейное (векторное) пространство Определение Множество элементов произвольной природы X называется линейным (или векторным) пространством если для любых

Подробнее

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n:

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: Билет 1 Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица m x n чисел a ij, i=1,..., m, j=1,..., n: расположенных в m строках и n столбцах. Матрица называется квадратной, если m=n (n - порядок

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Дисциплина «Алгебра и геометрия» Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ КИ Лившиц ЛЮ Сухотина ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Учебно-методическое пособие Томск Издательский Дом Томского государственного университета 6 УДК 7 ББК Л Рецензенты: д-р физ-мат наук профессор

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра»

Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» Максимова И.С., Павлова Н.Г. Рабочая тетрадь по дисциплине «Линейная алгебра» 2 Содержание 1. Матрицы и определители 4 1.1. Матрицы и действия над ними 4 1.2. Определители 7 1.3. Обратная матрица 10 1.4.

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула

, i 2, 2 3i. многочлен f (x), где степень многочлена меньше степени многочлена g (x), если. Записать многочлены q (x) 1, 2, (формула Важные понятия утверждения формулы и некоторые примеры по высшей алгебре Тема «К о м п л е к с н ы е ч и с л а» Записать заданное комплексное число в алгебраической тригонометрической и показательной форме

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Глава ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса Система, состоящая из m линейных уравнений с n неизвестными или, как будем дальше говорить,

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Группа АМ-12-06 Вопросы к экзамену 1Векторная алгебра 1 Определение вектора Равенство векторов Свободные вектора Линейные операции над векторами и их свойства

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

R. Геометрический смысл

R. Геометрический смысл Рабочий учебно-тематический план изучения дисциплины «Линейная алгебра» для профиля «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», 1 триместр, лектор -- профессор, д.ф.м.н. Тищенко А.В. Наименовани е Содержание

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету

Линейная алгебра: учебно-методический материал для подготовки к зачету Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Финансовая академия при правительстве Российской Федерации (ФИНАКАДЕМИЯ) Кафедра «Математика» ОБСУЖДЕНО Протокол

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Москва 6 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (решебник) Ростов-на-Дону 008 Рецензенты: кандидат

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Собственные числа и собственные векторы

Собственные числа и собственные векторы Собственные числа и собственные векторы 1 Для понимания этой темы нужно знать тему «Ядро и образ линейного оператора» и уметь вычислять определители Значок будет указывать на утверждения, требующие доказательств

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Целями освоения дисциплины «Алгебра геометрия» являются:

Целями освоения дисциплины «Алгебра геометрия» являются: Аннотация рабочей программы дисциплины «Алгебра и геометрия» направления подготовки 01.03.02. «Прикладная математика и информатика» по профилю «Математическое и информационное обеспечение экономической

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Т В БОРОДИЧ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

«УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда

1 n α. сходимости обобщенного гармонического ряда СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ФТК, 2-ой семестр Матрицы и определители. 1. Понятие матрицы. Основные действия с матрицами и их свойства. 2. Пространство квадратных матриц. Обратная матрица и ее свойства.

Подробнее

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика.

АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления Прикладная математика и информатика. АННОТАЦИЯ программы дисциплины Алгебра и аналитическая геометрия направления 01.03.02 Прикладная математика и информатика. 1. Цели освоения дисциплины Целями освоения дисциплины Алгебра и аналитическая

Подробнее

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЕКЦИЯ 10 ОБЪЕМ n-мерного ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Объем параллелепипеда. Ничто не мешает сейчас ввести общее понятие определителя,

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее