Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева-КАИ» Зеленодольский институт машиностроения и информационных технологий филиал КНИТУ - КАИ Отделение среднего профессионального образования УТВЕРЖДАЮ: Директор Зеленодольского института машиностроения и информационных технологий филиала КНИТУ-КАИ Х.Р. Кадырова г. Методические рекомендации по проведению внеаудиторных самостоятельных работ дисциплины Элементы высшей математики индекс по учебному плану: ЕН. специальность: 9.. Программирование в компьютерных системах профиль подготовки: технический квалификация степень выпускника: техник программист разработчики: Сагдиева Э.Р. Зеленодольск 6 г.

2 Методические рекомендации учебной дисциплины ЕН. Элементы высшей математики разработаны на основе Федерального государственного образовательного стандарта по специальности среднего профессионального образования 9.. Программирование в компьютерных системах утвержденным Приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 8 июля 4 года 84 и в соответствии с учебным планом программы подготовки специалистов среднего звена утверждённым Ученым советом КНИТУ КАИ Протокол от..4 г. с изменениями одобренными 8..6 г. Протокол. Организация-разработчик: Зеленодольский институт машиностроения и информационных технологий филиал КНИТУ-КАИ Разработчики: преподаватель Сагдиева Э.Р. Методические рекомендации утверждены на заседании предметноцикловой комиссии «Информационных технологий» протокол от г. Председатель ПЦК А.А. Бутусов

3 Введение Основная цель методического пособия состоит в обеспечении обучающихся необходимыми сведениями методиками и алгоритмами для успешного выполнения аудиторной и внеаудиторной работы в формировании устойчивых навыков и умений позволяющих решать учебные задачи выполнять разнообразные задания. Используя данное методическое пособие студенты должны овладеть следующими навыками и умениями: знать: основы математического анализа линейной алгебры и аналитической геометрии основы дифференциального и интегрального исчисления основы теории комплексных чисел уметь: выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений решать задачи используя уравнения прямых и кривых второго порядка на плоскости применять методы дифференциального и интегрального исчисления решать дифференциальные уравнения пользоваться понятиями теории комплексных чисел

4 Обыкновенные дифференциальные уравнения. Решение различных геометрических физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту ил иную задачу с какой либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков. В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки. Известно что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле: S V В свою очередь ускорение является производной по времени от скорости V которая также является производной по времени от перемещения S. Т.е. ds dv d S V d d d Тогда получаем: S V - уравнение связывает функцию с независимой переменной и производной второго порядка функции. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимые переменные их функции и производные или дифференциалы этой функции. Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением если же независимых переменных две или более то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. Определение. Наивысший порядок производных входящих в уравнение называется порядком дифференциального уравнения. Пример. 8 - обыкновенное дифференциальное уравнение го порядка. В общем виде записывается F. d d - обыкновенное дифференциальное уравнение го порядка. В d d общем виде записывается F - дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка. Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция = которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество. 4

5 Свойства общего решения. Т.к. постоянная С произвольная величина то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. При каких- либо начальных условиях х = х ух = у существует такое значение С = С при котором решением дифференциального уравнения является функция у = х С. Определение. Решение вида у = х С называется частным решением дифференциального уравнения. Определение. Задачей Коши Огюстен Луи Коши французский математик называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = х С удовлетворяющего начальным условиям ух = у. Теорема Коши. теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения - го порядка Если функция непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную то какова бы не была точка х у в области D существует единственное решение уравнения определенное в некотором интервале содержащем точку х принимающее при х = х значение х = у т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения. Определение. Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение не содержащее производных для которого данное дифференциальное уравнение является следствием. Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения. Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения которое предварительно преобразовано следующим образом: d d d d d d d d Теперь интегрируем:

6 дифференциального уравнения. - это общее решение исходного Допустим заданы некоторые начальные условия: = = тогда имеем С При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях решение задачи Коши. Определение. Интегральной кривой называется график = решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY. Определение. Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение во всех точках которого условие единственности Коши см. Теорема Коши. не выполняется т.е. в окрестности некоторой точки х у существует не менее двух интегральных кривых. Особые решения не зависят от постоянной С. Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения то особое решение будет изображаться линией которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой. Отметим что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения. Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:. Найти особое решение если оно существует. d d d d d d Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у =. Это решение невозможно получить из общего однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество. Мнение что решение = можно получить из общего решения при С = ошибочно ведь =. Далее рассмотрим подробнее приемы и методы которые используются при решении дифференциальных уравнений различных типов. Дифференциальные уравнения первого порядка. 6

7 Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение связывающее функцию ее первую производную и независимую переменную т.е. соотношение вида: F Если такое соотношение преобразовать к виду то это дифференциальное уравнение первого порядка будет называться уравнением разрешенным относительно производной. Преобразуем такое выражение далее: d d d d d d P Функцию представим в виде: Q тогда при Q подстановке в полученное выше уравнение имеем: P d Q d - это так называемая дифференциальная форма уравнения первого порядка. Далее рассмотрим подробнее типы уравнений первого порядка и методы их решения. Уравнения вида =. Пусть функция определена и непрерывна на некотором интервале < < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как d. Если заданы начальные условия х и у то можно определить постоянную С. Уравнения с разделяющимися переменными Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными если его можно записать в виде. Такое уравнение можно представить также в виде: d d d d при Перейдем к новым обозначениям X Y Получаем: X d Y d 7

8 X d Y d После нахождения соответствующих интегралов получается общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Если заданы начальные условия то при их подстановке в общее решение находится постоянная величина С а соответственно и частное решение. Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: cos d cos d cos d d cos d d Интеграл стоящий в левой части берется по частям см. Интегрирование по частям.: dv cos d cos d d d v s s s d s cos s cos s cos - это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего частного интеграла от общего частного решения. Чтобы проверить правильность полученного ответа продифференцируем его по переменной х. s cos s - верно cos у =. Пример. Найти решение дифференциального уравнения d d d d d d d при условии 8

9 при у = получаем Итого: или 4 - частное решение Проверка: 4 4 итого верно. Пример. Решить уравнение. d d d d d d Пример. Решить уравнение. 7 - общий интеграл - общее решение 7 d d d d rcg g Пример. Решить уравнение при условии у =. d d d d d d d d Интеграл стоящий в левой части будем брать по частям см. Интегрирование по частям.. d dv d d d d v 9

10 Если у = то Итого частный интеграл:. Пример. Решить уравнение s s. s s s cos s cos s cos d d cos d cos d s s Для нахождения интеграла стоящего в левой части уравнения см. Таблица основных интегралов. п.6. Получаем общий интеграл: g s Пример. Решить уравнение Преобразуем заданное уравнение: d d d d d d Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у то получим общее решение. Пример. Решить уравнение. d d

11 d d d d rcg g Допустим заданы некоторые начальные условия х и у. Тогда: rcg rcg Получаем частное решение g rcg. Однородные уравнения. Определение. Функция называется однородной го измерения относительно своих аргументов х и у если для любого значения параметра кроме нуля выполняется тождество:. Пример. Является ли однородной функция? Таким образом функция является однородной - го порядка. Определение. Дифференциальное уравнение вида называется однородным если его правая часть есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов. Любое уравнение вида P d Q d является однородным если функции P и Q однородные функции одинакового измерения. Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными. Рассмотрим однородное уравнение. Т.к. функция однородная нулевого измерения то можно записать:. Т.к. параметр вообще говоря произвольный предположим что. Получаем:

12 Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента т.е. Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде: Далее заменяем =. таким образом получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции. d d d d Далее заменив вспомогательную функцию на ее выражение через х и у и найдя интегралы получим общее решение однородного дифференциального уравнения. Пример. Решить уравнение. Введем вспомогательную функцию.. Отметим что введенная нами функция всегда положительна т.к. в противном случае теряет смысл исходное дифференциальное уравнение содержащее. Подставляем в исходное уравнение: d d d d Разделяем переменные: Интегрируя получаем: Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у получаем общее решение:.

13 Уравнения приводящиеся к однородным. Кроме уравнений описанных выше существует класс уравнений которые с помощью определенных подстановок могут приведены к однородным. b c Это уравнения вида. b c b Если определитель то переменные могут быть разделены подстановкой b где и - решения системы уравнений v b c b c Пример. Решить уравнение d d. d d Получаем d d Находим значение определителя 4. / Решаем систему уравнений 4 7 / Применяем подстановку / v 7 / в исходное уравнение: / v 4/ dv / v 7 / d v dv v d dv v v / d v v / Заменяем переменную v v v при подстановке в выражение записанное выше имеем: d Разделяем переменные: d d d d d

14 Переходим теперь к первоначальной функции у и переменной х. v 7 / 7 / / Итого выражение является общим интегралом исходного дифференциального уравнения. b c В случае если в исходном уравнении вида определитель b c b то переменные могут быть разделены подстановкой b b. Пример. Решить уравнение d d. d d Получаем d d Находим значение определителя 6 6 Применяем подстановку. d d Подставляем это выражение в исходное уравнение: Разделяем переменные: d d d d 9 d d Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х. 4 9

15 таким образом мы получили общий интеграл исходного дифференциального уравнения. Линейные уравнения. Определение. Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной если оно может быть записано в виде: P Q при этом если правая часть Q равна нулю то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением если правая часть Q не равна нулю то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. P и Q- функции непрерывные на некотором промежутке < < b. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида P. Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей. Общее решение: d P d P d P d P d Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Для интегрирования линейных неоднородных уравнений Q применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.

16 Метод Бернулли. Якоб Бернулли 64-7 швейцарский математик. Суть метода заключается в том что искомая функция представляется в виде произведения двух функций v. dv d При этом очевидно что v - дифференцирование по частям. d d Подставляя в исходное уравнение получаем: dv d v P v Q d d dv d v P Q d d Далее следует важное замечание т.к. первоначальная функция была представлена нами в виде произведения то каждый из сомножителей входящих в это произведение может быть произвольным выбранным по нашему усмотрению. Например функция может быть представлена как и т.п. Таким образом можно одну из составляющих произведение функций выбрать d так что выражение P. d Таким образом возможно получить функцию проинтегрировав полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме: d d P d P d P d P d P d / Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное dv d выражение для функции в исходное уравнение v P Q с учетом d d того что выражение стоящее в скобках равно нулю. dv С P d Q d Интегрируя можем найти функцию v: 6 dv Q P d v Q P d P d d v Q d Т.е. была получена вторая составляющая произведения v которое и определяет искомую функцию. Подставляя полученные значения получаем: v P d Окончательно получаем формулу: Q P d d d

17 P d P d Q d С - произвольный коэффициент. Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли. Метод Лагранжа. Ларганж Жозеф Луи французский математик през. Берлинской АН поч. чл. Пет. АН 776. Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной. Вернемся к поставленной задаче: P Q Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем. P Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения: P d. Для того чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения будем считать постоянную С некоторой функцией от х. Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем: d d P d P d P d d Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение d P d P P d P P d d P d Q d d Q Из этого уравнения определим переменную функцию С х: P d d Q d Интегрируя получаем: P d Q d Подставляя это значение в исходное уравнение получаем: P d Q d. P d 7

18 Таким образом мы получили результат полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли. При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций входящих в исходный интеграл. Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений различными методами и сравним результаты. Пример. Решить уравнение. Сначала приведем данное уравнение к стандартному виду:. Применим полученную выше формулу: P Q d d d d. d Уравнение Бернулли. Определение. Уравнением Бернулли называется уравнение вида P Q где P и Q функции от х или постоянные числа а постоянное число не равное. Для решения уравнения Бернулли применяют подстановку с помощью которой уравнение Бернулли приводится к линейному. Для этого разделим исходное уравнение на. Применим подстановку учтя что P Q. P Q P Q Т.е. получилось линейное уравнение относительно неизвестной функции. Решение этого уравнения будем искать в виде: 8

19 Q Pd Q Q P P d d P Пример. Решить уравнение. Разделим уравнение на :. Полагаем.. Полагаем P Q. d d d d d d Произведя обратную подстановку получаем:.. Пример. Решить уравнение 4. Разделим обе части уравнения на. d 4 d Полагаем. 4 d d Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение: d d d d d d d d Полагаем = и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение с учетом того что: 9

20 d d d d d d d d Получаем: Применяя обратную подстановку получаем окончательный ответ: 4 Уравнения в полных дифференциалах тотальные. Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида: d N d M называется уравнением в полных дифференциалах если левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции. F Интегрирование такого уравнения сводится к нахождению функции после чего решение легко находится в виде:. d Таким образом для решения надо определить: в каком случае левая часть уравнения представляет собой полный дифференциал функции как найти эту функцию. Если дифференциальная форма d N d M является полным дифференциалом некоторой функции то можно записать:. d d d N d M d Т.е. N M. Найдем смешанные производные второго порядка продифференцировав первое уравнение по у а второе по х: N M Приравнивая левые части уравнений получаем необходимое и достаточное условие того что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности.

21 N M Теперь рассмотрим вопрос о нахождении собственно функции. Проинтегрируем равенство M :. d M Вследствие интегрирования получаем не постоянную величину С а некоторую функцию Су т.к. при интегрировании переменная у полагается постоянным параметром. Определим функцию Су. Продифференцируем полученное равенство по у.. d M N Откуда получаем:. d M N Для нахождения функции Су необходимо проинтегрировать приведенное выше равенство. Однако перед интегрированием надо доказать что функция Су не зависит от х. Это условие будет выполнено если производная этой функции по х равна нулю.. M N d M N d M N С Теперь определяем функцию Су: d d M N Подставляя этот результат в выражение для функции получаем:. d d M N d M Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения будет иметь вид:. d d M N d M Следует отметить что при решении уравнений в полных дифференциалах не обязательно использовать полученную формулу. Решение может получиться более компактным если просто следовать методу которым формула была получена. Пример. Решить уравнение d d Проверим условие тотальности: M. N Условие тотальности выполняется следовательно исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

22 Определим функцию. M d d N d Итого. Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения: С.. Уравнения вида = и =. Решение уравнений не содержащих в одном случае аргумента х а в другом функции у ищем в параметрической форме принимая за параметр производную неизвестной функции.. d Для уравнения первого типа получаем:. d d Делая замену получаем: d В результате этих преобразований имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. d d d. Общий интеграл в параметрической форме представляется системой уравнений: d Исключив из этой системы параметр р получим общий интеграл и не в параметрической форме. Для дифференциального уравнения вида = с помощью той же самой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат: d

23 Уравнения Лагранжа и Клеро. Алекси Клод Клеро 7 76 французский математик ин. поч. член Петерб. АН Определение. Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение линейное относительно х и у коэффициенты которого являются функциями от. P Q R Для нахождения общего решение применяется подстановка =. P R. Q Q Дифференцируя это уравнениеc учетом того что d d получаем: d d d d. Если решение этого линейного относительно х уравнения есть F то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде: F F Определение. Уравнением Клеро называется уравнение первой степени т.е. линейное относительно функции и аргумента вида:. Вообще говоря уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа. С учетом замены уравнение принимает вид:. d d d d d d d d d d Это уравнение имеет два возможных решения: d или. В первом случае: c c c Видно что общий интеграл уравнения Клеро представляет собой семейство прямых линий. Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой уравнений: Исключая параметр р получаем второе решение F =. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено из общего решения следовательно не является частным решением. Это решение будет являться особым интегралом. См. Особое решение.

24 Далее рассмотрим примеры решения различных типов дифференциальных уравнений первого порядка. Пример. Решить уравнение с заданными начальными условиями.. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим соответствующее ему однородное уравнение. d d d d d d Для неоднородного уравнения общее решение имеет вид: Дифференцируя получаем: Для нахождения функции Сх подставляем полученное значение в исходное дифференциальное уравнение: d Итого общее решение:. учетом начального условия определяем постоянный коэффициент.. Окончательно получаем:. Для проверки подставим полученный результат в исходное дифференциальное уравнение: верно Ниже показан график интегральной кривой уравнения

25 Пример. Найти общий интеграл уравнения d d. Это уравнение с разделяющимися переменными. d d d d Общий интеграл имеет вид:. Построим интегральные кривые дифференциального уравнения при различных значениях С. С = - С = - С = - С = С = С = С = С = Пример. Найти решение дифференциального уравнения удовлетворяющее заданным начальным условиям. cos s. Это уравнение с разделяющимися переменными. s d gd cos d gd cos cos cos

26 Общее решение имеет вид:. cos Найдем частное решение при заданном начальном условии у =. С. Окончательно получаем:. cos Пример. Решить предыдущий пример другим способом. Действительно уравнение cos s может быть рассмотрено как линейное неоднородное дифференциальное уравнение. cos s s. Решим соответствующее ему линейное однородное уравнение. cos s cos s d gd d gd cos cos. cos Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:. cos cos s Тогда. cos Подставляя в исходное уравнение получаем: cos s cos s s cos cos cos s s s d cos cos cos Итого cos cos С учетом начального условия у = получаем cos Как видно результаты полученные при решении данного дифференциального уравнения различными способами совпадают. При решении дифференциальных уравнений бывает возможно выбирать метод решения исходя из сложности преобразований. 6

27 Пример. Решить уравнение cos s с начальным условием у =. Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение. d cos cos d s s s Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид: s Для определения функции Сх найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение. s s cos s s s cos cos s cos s s s cos s cos С s s s s V s cos d dv s. du cos d cos d U s s s s s s Итого s s s s s cos d Проверим полученное общее решение подстановкой в исходное дифференциальное уравнение. s s cos cos s cos cos cos s cos верно Найдем частное решение при у =. s. s Окончательно s. Пример. Найти решение дифференциального уравнения d d d d с начальным условием у =. Это уравнение может быть преобразовано и представлено как уравнение с разделенными переменными. 4 d d 4 4 d 4 d 7

28 С учетом начального условия: С С. 4 Окончательно. 4 Пример. Решить дифференциальное уравнение с начальным условием у =. Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение. d d d d Решение неоднородного уравнения будет иметь вид: Подставим в исходное уравнение: Общее решение будет иметь вид: учетом начального условия у = : Частное решение:

29 Пример. Найти решение дифференциального уравнения начальным условием у = е. с Это уравнение может быть приведено к виду уравнения с разделяющимися переменными с помощью замены переменных. Обозначим: Уравнение принимает вид: Получили уравнение с разделяющимися переменными. d d d d d d Сделаем обратную замену: Общее решение: учетом начального условия у = е: Частное решение: Второй способ решения. Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Соответствующее однородное: d d d d Решение исходного уравнения ищем в виде: Тогда Подставим полученные результаты в исходное уравнение: 9

30 d dv d d d d v Получаем общее решение: Пример. Решить дифференциальное уравнение условием у=. с начальным В этом уравнении также удобно применить замену переменных. Уравнение принимает вид: d d d d Делаем обратную подстановку: Общее решение: учетом начального условия у = : Частное решение: Второй способ решения. Замена переменной: d d d d

31 Общее решение: d d Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений первого порядка. у b A S Как уже говорилось выше см. Интегральные кривые. линия S которая задается функцией являющейся каким- либо решением дифференциального уравнения называется интегральной кривой уравнения. Производная является угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой. В любой точке Ах у интегральной кривой этот угловой коэффициент касательной может быть найден еще до решения дифференциального уравнения. Т.к. касательная указывает направление интегральной кривой еще до ее непосредственного построения то при условии непрерывности функции и непрерывного перемещения точки А можно наглядно изобразить поле направлений кривых которые получаются в результате интегрирования дифференциального уравнения т.е. представляют собой его общее решение. Определение. Множество касательных в каждой точке рассматриваемой области называется полем направлений. С учетом сказанного выше можно привести следующее геометрическое истолкование дифференциального уравнения: Задать дифференциальное уравнение первого порядка это значит задать поле направлений. Решить или проинтегрировать дифференциальное уравнение это значит найти всевозможные кривые у которых направление касательных в каждой точке совпадает с полем направлений.

32 Определение. Линии равного наклона в поле направлений называются изоклинами. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют найти решение в виде аналитической функции однако эти методы применимы для очень ограниченного класса функций. Большинство уравнений встречающихся при решении практических задач нельзя проинтегрировать с помощью этих методов. В таких случаях используются численные методы решения которые представляют решение дифференциального уравнения не в виде аналитической функции а в виде таблиц значений искомой функции в зависимости от значения переменной. Существует несколько методов численного интегрирования дифференциальных уравнений которые отличаются друг от друга по сложности вычислений и точности результата. Рассмотрим некоторые из них. Метод Эйлера. Леонард Эйлер швейцарский математик Известно что уравнение задает в некоторой области поле направлений. Решение этого уравнения с некоторыми начальными условиями дает кривую которая касается поля направлений в любой точке. Если взять последовательность точек х х х. и заменить на получившихся отрезках интегральную кривую на отрезки касательных к ней то получим ломаную линию. M M M M M 4 4 При подстановке заданных начальных условий х у в дифференциальное уравнение получаем угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в начальной точке g. Заменив на отрезке [ ] интегральную кривую на касательную к ней получаем значение. Производя аналогичную операцию для отрезка [ ] получаем:. Продолжая подобные действия далее получаем ломаную кривую которая называется ломаной Эйлера. Можно записать общую формулу вычислений:

33 . Если последовательность точек х выбрать так чтобы они отстояли друг от друга на одинаковое расстояние h называемое шагом вычисления то получаем формулу: h Следует отметить что точность метода Эйлера относительно невысока. Увеличить точность можно конечно уменьшив шаг вычислений однако это приведет к усложнению расчетов. Поэтому на практике применяется так называемый уточненный метод Эйлера или формула пересчета. Суть метода состоит в том что в формуле h вместо значения берется среднее арифметическое значений и. Тогда уточненное значение: h Затем находится значение производной в точке. Заменяя средним арифметическим значений и находят второе уточненное значение у. h Затем третье: h и т.д. пока два последовательных уточненных значения не совпадут в пределах заданной степени точности. Тогда это значение принимается за ординату точки М ломаной Эйлера. Аналогичная операция производится для остальных значений у. Подобное уточнение позволяет существенно повысить точность результата. При использовании компьютерной версии Курса высшей математики возможно запустить программу которая решает любое дифференциальное уравнение первого порядка методом Эйлера и уточненным методом Эйлера. На каждом шаге вычислений подробно выводятся все указанные выше значения. Для запуска программы дважды щелкните на значке Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа M Wroo M Ic. любой версии начиная с MV Rs 4.

34 Метод Рунге Кутта. Метод Рунге Кутта является более точным по сравнению с методом Эйлера. Суть уточнения состоит в том что искомое решение представляется в виде разложения в ряд Тейлора. См. Формула Тейлора. 4 h h IV h h...!! 4! Если в этой формуле ограничиться двумя первыми слагаемыми то получим формулу метода Эйлера. Метод Рунге Кутта учитывает четыре первых члена разложения. h! h! h. В методе Рунге Кутта приращения предлагается вычислять по формуле: 4 6 где коэффициенты вычисляются по формулам: h h h h h h h 4 Пример. Решить методом Рунге Кутта дифференциальное уравнение при начальном условии у = на отрезке [ ] с шагом. Для = вычислим коэффициенты. h h h h h h h 4 4

35 6 h Последующие вычисления приводить не будем а результаты представим в виде таблицы Решим этот же пример методом Эйлера. Применяем формулу h. h h h h h h.. Производя аналогичные вычисления далее получаем таблицу значений:

36 Применим теперь уточненный метод Эйлера Для сравнения точности приведенных методов численного решение данного уравнения решим его аналитически и найдем точные значения функции у на заданном отрезке. Уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Решим соответствующее ему однородное уравнение. d d d d d d Решение неоднородного уравнения имеет вид. dv d С d d d d v Общее решение: учетом начального условия: Частное решение: Для сравнения полученных результатов составим таблицу. Метод Эйлера Уточненный метод Эйлера Метод Рунге - Кутта Точное значение Как видно из полученных результатов метод Рунге Кутта дает наиболее точный ответ. Точность достигает. Кроме того следует обратить внимание на то ошибка расхождение между точным и приближенным значениями увеличивается с 6

37 каждым шагом вычислений. Это обусловлено тем что во первых полученное приближенное значение округляется на каждом шаге а во вторых тем что в качестве основы вычисления принимается значение полученное на предыдущем шаге т.е. приближенное значение. Таким образом происходит накопление ошибки. Это хорошо видно из таблицы. С каждым новым шагом приближенное значение все более отличается от точного. При использовании кмпьютерной версии Курса высшей математики возможно запустить программу которая решает любое дифференциальное уравнение первого порядка рассмотренным выше методом Рунге- Кутта. Программа подробно выводит результаты вычислений на каждом шаге. Для запуска программы дважды щелкните на значке Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа M Wroo M Ic. любой версии начиная с MV Rs 4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Определение. Дифференциальным уравнением порядка называется уравнение вида: F... В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно :.... Так же как и уравнение первого порядка уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений. Определение. Решение удовлетворяет начальным условиям... если.... Определение. Нахождение решения уравнения F... удовлетворяющего начальным условиям задачи Коши.... называется решением Теорема Коши. Теорема о необходимых и достаточных условиях существования решения задачи Коши. Если функция - й переменных вида... в некоторой области D -- мерного пространства непрерывна и имеет непрерывные частные производные по... то какова бы не была точка... в этой области существует единственное решение уравнения... определенного в некотором интервале содержащем точку х удовлетворяющее начальным условиям.... 7

38 Дифференциальные уравнения высших порядков решение которых может быть найдено аналитически можно разделить на несколько основных типов. Рассмотрим подробнее методы нахождения решений этих уравнений. Уравнения допускающие понижение порядка. Понижение порядка дифференциального уравнения основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение однако он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи когда возможно понижение порядка. Уравнения вида =. Если функция непрерывная на некотором промежутке < < b то решение может быть найдено последовательным интегрированием. d d d d d. d d... d...!! Пример. Решить уравнение с начальными условиями = =. d d Подставим начальные условия: С Получаем частное решение решение задачи Коши: 8 4 Ниже показана интегральная кривая данного дифференциального уравнения

39 Уравнения не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка включительно. Это уравнения вида: F.... В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на единиц. Для этого производят замену переменной:.... Тогда получаем: F.... Теперь допустим что полученное дифференциальное уравнение проинтегрировано и совокупность его решений выражается соотношением:.... Делая обратную подстановку имеем:... Интегрируя полученное соотношение последовательно раз получаем окончательный ответ:.... Пример. Найти общее решение уравнения. Применяем подстановку d d d d d d Произведя обратную замену получаем: d d 6 Общее решение исходного дифференциального уравнения: 9

40 Отметим что это соотношение является решением для всех значений переменной х кроме значения х =. Уравнения не содержащие явно независимой переменной. Это уравнения вида F.... Порядок таких уравнений может быть понижен на единицу с помощью замены переменных. d d d d d d d d d d d d d d d d d и т.д. d d d d d d d Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение получаем: d d F... d d Если это уравнение проинтегрировать и Ф... - совокупность его решений то для решения данного дифференциального уравнения остается решить уравнение первого порядка: Ф.... Пример. Найти общее решение уравнения 4. d Замена переменной: d d d 4 d d 4 d d 4 4 d d Для решения полученного дифференциального уравнения произведем замену переменной:. d d 4 d 4 d d d

41 С учетом того что d получаем: d d 4 d d 4 Общий интеграл имеет вид: 4 d 4 4 Таким образом получили два общих решения. d Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Определение. Линейным дифференциальным уравнением го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных... вида:... где функции от х или постоянные величины причем. Левую часть этого уравнения обозначим L.... L Определение. Если = то уравнение L = называется линейным однородным уравнением если то уравнение L = называется линейным неоднородным уравнением если все коэффициенты постоянные числа то уравнение L = называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами. Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего а для линейных наоборот общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение то часто применяются приближенные методы позволяющие заменить такое уравнение близким к нему линейным. Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. 4

42 Рассмотрим уравнение вида... Определение. Выражение... L называется линейным дифференциальным оператором. Линейный дифференциальный оператор обладает следующими свойствами: L L L L L Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами: Если функция у является решением уравнения то функция Су где С постоянное число также является его решением. Если функции у и у являются решениями уравнения то у +у также является его решением. Структура общего решения. Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения го порядка на интервале b называется всякая система линейно независимых на этом интервале решений уравнения. Определение. Если из функций составить определитель го порядка W то этот определитель называется определителем Вронского. Юзеф Вроньский польский математик и философ - мистик Теорема. Если функции... линейно зависимы то составленный для них определитель Вронского равен нулю. Теорема. Если функции... линейно независимы то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала. Теорема. Для того чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения... была фундаментальной необходимо и достаточно чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю. Теорема. Если... - фундаментальная система решений на интервале b то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.... где постоянные коэффициенты.... 4

43 Применение приведенных выше свойств и теорем рассмотрим на примере линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка. Из вышеизложенного видно что отыскание общего решения линейного однородного дифференциального уравнения сводится к нахождению его фундаментальной системы решений. Однако даже для уравнения второго порядка если коэффициенты р зависят от х эта задача не может быть решена в общем виде. Тем не менее если известно одно ненулевое частное решение то задача может быть решена. Теорема. Если задано уравнение вида и известно одно ненулевое решение у = у то общее решение может быть найдено по формуле: d d. Таким образом для получения общего решения надо подобрать какое либо частное решение дифференциального уравнения хотя это бывает часто довольно сложно. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Решение дифференциального уравнения вида... короче L будем искать в виде где = cos. Т.к.... то L.... или При этом многочлен F... называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения. Для того чтобы функция являлась решением исходного дифференциального уравнения необходимо и достаточно чтобы L т.е. F. Т.к. то F - это уравнение называется характеристическим уравнением. Как и любое алгебраическое уравнение степени характеристическое уравнение... имеет корней. Каждому корню характеристического уравнения соответствует решение дифференциального уравнения. В зависимости от коэффициентов характеристическое уравнение может иметь либо различных действительных корней либо среди действительных корней могут 4

44 быть кратные корни могут быть комплексно сопряженные корни как различные так и кратные. Не будем подробно рассматривать каждый случай а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Составляем характеристическое уравнение и находим его корни. Находим частные решения дифференциального уравнения причем: каждому действительному корню соответствует решение б каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений: m.... в каждой паре комплексно сопряженных корней характеристического уравнение ставится в соответствие два решения: cos и s. г каждой паре m кратных комплексно сопряженных корней характеристического уравнения ставится в соответствие m решений: m cos cos... cos m s s... Составляем линейную комбинацию найденных решений. s. Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Пример. Решить уравнение. Составим характеристическое уравнение: D 4 Общее решение имеет вид: cos s. Пример. Решить уравнение. Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение. Таким частным решением будет являться функция. Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать: 44

45 d Общее решение имеет вид: d d d d Окончательно: 4. Пример. Решить уравнение IV. 4 Составим характеристическое уравнение:. 4. Общее решение: cos 4 s. Пример. Решить уравнение 4 4. Характеристическое уравнение: 4. Общее решение:. 4 Пример. Решить уравнение. Характеристическое уравнение: D 6. Общее решение: cos s. Пример. Решить уравнение 7 6. Характеристическое уравнение: Общее решение: 4

46 Пример. Решить уравнение. Характеристическое уравнение: Общее решение:. Пример. Решить уравнение V 9. Характеристическое уравнение: Общее решение: 4 Пример. Решить уравнение. Это уравнение не является линейным следовательно приведенный выше метод решения к нему не применим. Понизим порядок уравнения с помощью подстановки. d d Тогда. d d d d d d d d d d d d d d С С Окончательно получаем: Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение у = С получается из общего решения при С =. Пример. Решить уравнение. d d Производим замену переменной: d d d d d d d d d d 46

47 d d d d 4 4 Общее решение:. 4 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Рассмотрим уравнение вида.... С учетом обозначения... L можно записать:. L При этом будем полагать что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале конечном или бесконечном. Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения... в некоторой области есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения. Доказательство. Пусть Y некоторое решение неоднородного уравнения. Тогда при подстановке этого решения в исходное уравнение получаем тождество:. Y L Пусть... - фундаментальная система решений линейного однородного уравнения L. Тогда общее решение однородного уравнения можно записать в виде:.... cos Далее покажем что сумма Y... является общим решением неоднородного уравнения Y L L L L Y L Y L Вообще говоря решение Y может быть получено из общего решения т.к. является частным решением.

48 Таким образом в соответствии с доказанной теоремой для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором. На практике удобно применять метод вариации произвольных постоянных. Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде:... Затем полагая коэффициенты функциями от х ищется решение неоднородного уравнения: Можно доказать что для нахождения функций надо решить систему уравнений: Пример. Решить уравнение s. Решаем линейное однородное уравнение.. Acos Bs Acos Bs Решение неоднородного уравнения будет иметь вид: A cos B s Составляем систему уравнений: A cos B s A s B cos s Решим эту систему: cos B A A s s s cos A s A s B cos s s Из соотношения A s cos s найдем функцию Ах. A s cos s d s cos d s d s s d 48

49 dv s d s cos cos d d d v cos s cos s cos s cos s cos cos s. Теперь находим Вх. dv cos d B cos d cos s d s s d cos d d v s cos s cos. Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного уравнения: s cos cos s cos cos s cos s s cos s s. Окончательный ответ: s cos s Таким образом удалось избежать нахождения частного решения неоднородного уравнения методом подбора. Вообще говоря метод вариации произвольных постоянных пригоден для нахождения решений любого линейного неоднородного уравнения. Но т.к. нахождение фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения может быть достаточно сложной задачей этот метод в основном применяется для неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. Представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения. Различают следующие случаи: I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: где P P A Тогда частное решение ищется в виде: m m A... Am - многочлен степени m. r Q Здесь Q- многочлен той же степени что и P но с неопределенными коэффициентами а r число показывающее сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения. Пример. Решить уравнение 4. Решим соответствующее однородное уравнение: 4. 49

50 4 4 Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения. Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части рассмотренным выше. P. r Частное решение ищем в виде: Q где r Q A B. Т.е. A B. Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В. Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение. A B A 8A 4B 8A A B 8 Итого частное решение:. 8 Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:. 8 II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: P cos P s Здесь Р х и Р х многочлены степени m и m соответственно. Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид: r Q cos Q s где число r показывает сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения а Q и Q многочлены степени не выше m где m- большая из степеней m и m. Заметим что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений каждое из которых имеет правую часть соответствующую выражению входящему в комбинацию. Т.е. если уравнение имеет вид: L то частное решение этого уравнения будет где у и у частные решения вспомогательных уравнений L и L Для иллюстрации решим рассмотренный выше пример другим способом. Пример. Решить уравнение s.

51 Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций + = + -s. Составим и решим характеристическое уравнение: r. Для функции решение ищем в виде Q. Получаем: r Q A B Т.е. A B A A B A Итого: B r. Для функции решение ищем в виде: Q cos Q s. Анализируя функцию получаем: P P r Таким образом cos Ds s Dcos 4cos 4Ds 4 cos 4Ds cos Ds s cos Ds s A B Итого: s Т.е. искомое частное решение имеет вид: s Общее решение неоднородного дифференциального уравнения: s cos s Рассмотрим примеры применения описанных методов. Пример. Решить уравнение. Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения: Общее решение однородного уравнения:. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

52 r Q r Q. Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Подставляя в исходное уравнение получаем: 4 4. Частное решение имеет вид:. Общее решение линейного неоднородного уравнения:. Пример. Решить уравнение. Характеристическое уравнение:.. Общее решение однородного уравнения:. r Частное решение неоднородного уравнения: Q. r Q A B. A B Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение: A B 6A B 6A 6A A B A B 6A A B Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:. Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Определение. Совокупность соотношений вида: F F F где х- независимая переменная у у у искомые функции называется системой дифференциальных уравнений первого порядка. Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

53 Такая система имеет вид: d... d d... d d... d Для примера можно сказать что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве. Теорема. Теорема Коши. Если в некоторой области - мерного пространства функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные по то для любой... точки.... этой области существует единственное решение... системы дифференциальных уравнений вида определенное в некоторой окрестности точки х и удовлетворяющее начальным условиям..... Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида будет совокупность функций которые при подстановке в систему обращают ее в тождество. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений =. Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка. Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется линейной однородной если ее можно записать в виде: d d d d d d Решения системы обладают следующими свойствами:

54 4 Если решения системы то где = cos тоже являются решениями этой системы. Если и решения системы то тоже являются решениями системы. Решения системы ищутся в виде: cos Подставляя эти значения в систему и перенеся все члены в одну сторону и сократив на получаем: Для того чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно чтобы определитель системы был равен нулю т.е.: В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно. Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет три корня. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы :. Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы :. Пример. Найти общее решение системы уравнений: Составим характеристическое уравнение: Решим систему уравнений: Для : 4 Полагая принимается любое значение получаем:. Для : 4 6 6

55 Полагая принимается любое значение получаем:. 6 Общее решение системы: 6 Этот пример может быть решен другим способом: Продифференцируем первое уравнение: Подставим в это выражение производную у = + из второго уравнения. 4 4 Подставим сюда у выраженное из первого уравнения: A 6 B A 6B A 6B A B 6 A B 6 Обозначив A B получаем решение системы: 6 Пример. Найти решение системы уравнений Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу т.к. не является однородным в уравнение входит независимая переменная х. Для решения продифференцируем первое уравнение по х. Получаем:. Заменяя значение из второго уравнения получаем:. С учетом первого уравнения получаем:. Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка.. Общее решение однородного уравнения:. Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по r формуле Q r Q A B A B A B A A 4A B A B 4 4 Общее решение неоднородного уравнения:

56 6. 4 Подставив полученное значение в первое уравнение системы получаем:. 4 Пример. Найти решение системы уравнений: w w w Составим характеристическое уравнение: 6 7 = -. Если принять = то решения в этом случае получаем: w = -. Если принять = то получаем: w =. Если принять = то получаем: w Общее решение имеет вид:

57 w Элементы теории устойчивости. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений является одним из разделов качественной теории дифференциальных уравнений которая посвящена не нахождению какого либо решения уравнения а изучению характера поведения этого решения при изменении начальных условий или аргумента. Этот метод особенно важен т.к. позволяет делать вывод о характере решения без непосредственного нахождения этого решения. Т.е. даже в тех случаях когда решение дифференциального уравнения вообще не может быть найдено аналитически. Пусть имеется некоторое явление описанное системой дифференциальных уравнений: d d и начальные условия:. Для конкретного явления начальные условия определяются опытным путем и поэтому неточны. Теорема. о непрерывной зависимости решения от начальных условий d Если правая часть дифференциального уравнения непрерывна и по d переменной у имеет ограниченную частную производную N на области прямоугольника ограниченного D b b то решение удовлетворяющее начальным условиям непрерывно зависит от начальных данных т.е. для любого при котором если то при условии что T T где T b T m M m. N M D Эта теорема справедлива как для одного дифференциального уравнения так и для системы уравнений. - решение системы дифференциальных уравнений то это решение называется устойчивым по Ляпунову если для любого такое что для любого решения... той же системы начальные условия которого удовлетворяют неравенствам Определение. Если... 7

58 справедливы неравенства Ляпунов Александр Михайлович академик Петерб. АН Т.е. можно сказать что решение устойчиво по Ляпунову если близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и при. Если m то решение называется асимптотически устойчивым. Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решения d... системы... d... можно свести к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой системы которая получена из данной заменой неизвестных функций:.... Тогда: d d d d d d d d.... Система имеет тривиальное равное нулю решение. Теорема. Решение... системы устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда когда устойчиво по Ляпунову тривиальное решение системы. Это тривиальное решение называется положением равновесия или точкой покоя. Определение. Точка покоя системы устойчива по Ляпунову если для любого такое что из неравенства следует Теорема. Теорема Ляпунова. Пусть задана система d d имеющая тривиальное решение. Пусть существует дифференцируемая функция v... удовлетворяющая условиям: v... и v = только при у = у = = у = т.е. функция v имеет минимум в начале координат. Полная производная функции v вдоль фазовой траектории т.е. вдоль решения системы удовлетворяет условию: 8

59 dv d v v... при Тогда точка покоя... устойчива по Ляпунову. Если ввести дополнительное требование чтобы вне сколь угодно малой окрестности начала координат... выполнялось условие v где - постоянная величина то точка покоя... асимптотически устойчива. Функция v называется функцией Ляпунова. Классификация точек покоя. Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами d d d d Характеристическое уравнение этой системы имеет вид: Рассмотрим следующие возможные случаи: Корни характеристического уравнения действительные отрицательные и различные.. Точка покоя будет устойчива. Такая точка покоя называется устойчивым узлом. Корни характеристического уравнения действительны и или. В этом случае точка покоя также будет устойчива. Хотя бы один из корней положителен. В этом случае точка покоя неустойчива и такую точку называют неустойчивым седлом. 4 Оба корня характеристического уравнения положительны. В этом случае точка покоя неустойчива и такую точку называют неустойчивым узлом. Если полученного решения системы исключить параметр то полученная функция дает траекторию движения в системе координат XOY. Возможны следующие случаи: 9

60 Устойчивый узел. Неустойчивый узел. Седло. Корни характеристического уравнения комплексные q q. Если р = т.е. корни чисто мнимые то точка покоя устойчива по Ляпунову. Такая точка покоя называется центром. Если < то точка покоя устойчива и называется устойчивым фокусом. Если > то точка покоя неустойчива и называется неустойчивым фокусом. Уравнения математической физики. Уравнения в частных производных. Определение. Дифференциальным уравнением в частных производных называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных ее аргументов и ее частных производных различных порядков. F Порядком дифференциального уравнения в частных производных называется порядок старшей производной входящей в это уравнение. Решением уравнения будет некоторая функция... которая обращает уравнение в тождество. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. Дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка от функции... можно в общем виде записать как F Линейное уравнение в частных производных имеет вид: X... X X... где X некоторые заданные функции. Очевидно что одним из решений такого уравнения будет функция =. Рассмотрим систему уравнений: d X 6 d d... X X

61 6 или X X d d X X d d X X d d... - такая система называется нормальной. Общее решение этой системы имеет вид: Если разрешить эти уравнения относительно постоянных С получим: Каждая из функций является интегралом системы. Теорема. Если... - интеграл системы то функция... - решение уравнения. Классификация основных типов уравнений математической физики. Волновое уравнение. Уравнение колебаний струны электроколебания крутильные колебания вала и др. Это простейшее уравнение гиперболического типа. Уравнение теплопроводности. Уравнение Фурье Это простейшее уравнение параболического типа. Описывает процессы теплопроводности фильтрации жидкости и газа некоторые вопросы теории вероятностей. Уравнение Лапласа. Это простейшее уравнение эллиптического типа. Описывает магнитные и электрические поля гидродинамику диффузию и др. В этих уравнениях функция зависит от двух переменных однако задача может быть расширена для случая трех переменных: Волновое уравнение: Уравнение теплопроводности:

62 Уравнение Лапласа: Рассмотрим подробнее каждое из этих уравнений. Уравнение колебаний струны. Определение. В математической физике струной называется тонкая нить в которой возможно возникновение напряжений только в продольном но не в поперечном направлении. Пусть концы натянутой струны закреплены в точках х = а и = b возникающие в ней напряжения обозначим Т. Будем также считать что плотность струны постоянна на всем ее протяжении. Допустим что в момент = струна выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания. Отклонение струны в каждой точке с координатой х в момент времени обозначим как b D A B + b На произвольный элемент длины нити х х + х действуют две силы натяжения AD и B. При этом: AD B T Если считать колебания малыми то можно принять: g s g Тогда проекция силы B на ось : T s T Проекция силы AD на ось : T Находим сумму этих проекций: T T T. Выражение стоящее в правой части равенства получено в результате применения теоремы Лагранжа см. Теорема Лагранжа к выражению стоящему слева. Произведение массы на ускорение рассматриваемого элемента струны равно: 6

63 где - плотность струны. Приравнивая полученное выражение к значению проекции силы получим: T T Или Для полного определения движения струны полученного уравнения недостаточно. Функция должна еще удовлетворять граничным условиям описывающим состояние струны на концах в точках = и = b и начальным условиям описывающим состояние струны в момент времени =. Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями. Таким образом задача Коши состоит в нахождении решения линейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка при начальных условиях F и краевых условиях. Начальные условия показывают в каком положении находится струна в начальный момент времени и скорость каждой ее точки в начальный момент времени. Функции и F заданы. Краевые условия показывают что концы струны закреплены в точках = b = Решение задачи Коши методом разделения переменных. Метод Фурье. Решение уравнения будем искать в виде X T при граничных условиях: X T X T Тогда X = X =. Подставим решение в исходное уравнение: XT X T T X T X Можно показать что функции Х и Т имеют вид: 6

64 X s... T A cos B s... Все решения исходного дифференциального уравнения удовлетворяющие граничным условиям можно записать в виде: A cos B s s... Окончательно решение уравнения колебаний струны можно записать в виде: где A B s d F s d. A cos B s s Решение задачи Коши методом Даламбера. Жан Лерон Д Ламбер французский математик В случае если длина струны очень велика то на колебания возникающие в середине струны концы струны влияния практически не оказывают. Поэтому рассматривая колебания бесконечной струны уравнение решается только при начальных условиях: F Для нахождения решения введем новые переменные:. Тогда исходное уравнение принимает вид:. Решением этого уравнения будет функция где и - некоторые функции которые будем считать дважды дифференцируемыми. Получаем:. Если продифференцировать полученный ответ получим: Т.е.. 64

65 6 Далее с использованием начальных условий находим функции и. F Проинтегрировав последнее равенство на отрезке [ ] получаем:. cos d F Тогда:. d F d F Решение задачи Коши получаем в виде: d F d F d F. Эта формула называется формулой Даламбера. Уравнение теплопроводности. Температуру физического тела в произвольной точке с координатами в момент времени можно представить в виде функции: Составим дифференциальное уравнение: Выражение называется оператором Лапласа. Тогда составленное нами дифференциальное уравнение принимает вид: d и называется уравнением теплопроводности в пространстве. В качестве частных случаев рассматривают: - уравнение теплопроводности в стержне - уравнение теплопроводности на плоскости. В случае рассмотрения уравнения теплопроводности в стержне искомая функция должна удовлетворять записанному выше дифференциальному уравнению начальному условию и граничным условиям.

66 В результате решения дифференциального уравнения методом Фурье получим: b b s d. s Отметим что распространение тепла в теле называется стационарным если функция не зависит от времени. Уравнение Лапласа. Определение. Функция называется гармонической на области если она имеет непрерывные частные производные второго порядка на области и удовлетворяет условию где - оператор Лапласа. Уравнение называется уравнением Лапласа. Если на некоторой границе Г тела поддерживать постоянную температуру Г где заданная функция то внутри тела установится единственная постоянная температура. С физической точки зрения это утверждение очевидно однако данный факт может быть доказан математически. Математическое доказательство этого факта называется задачей Дирихле. Петер Густав Дирихле 8 89 немецкий математик Решение задачи Дирихле для круга. Пусть в плоскости XOY имеется круг радиуса R с центром в начале координат и на его окружности задана функция где - полярный угол. Требуется найти функцию r которая удовлетворяет уравнению Лапласа и при r R. Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах: r r r r r r r r Полагаем R r. Подставляя это соотношение в уравнение Лапласа получаем: r R r r R r R r 66

67 r R r rr r R r Таким образом имеем два уравнения: r R r rr r R r Общее решение первого уравнения имеет вид: Acos Bs Решение второго уравнения ищем в виде: R r m r m m r rmr m Общее решение второго уравнения имеет вид: R r Dr. m m. При подстановке получим: m r Подставляя полученные решения в уравнение R r получим: A cos B s r D Эта функция будет решением уравнения Лапласа при любом. Если = то r R R следовательно A B D r. Решение должно быть периодическим т.к. одно и то же значение будет повторяться через. Тогда рассматривается одна и та же точка круга. Поэтому В =. Решение должно быть конечным и непрерывным поэтому D =. r Окончательно получаем: r A A cos B s r При этом: A B R R cosd s d Если подставить эти коэффициенты в полученную выше формулу и произвести упрощение получаем окончательный результат решения задачи Дирихле который называется интегралом Пуассона. Симеон Дени Пуассон французский математик R r r R rr cos r d Ряды. Основные определения. 67

68 Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом При этом числа... будем называть членами ряда а общим членом ряда. Определение. Суммы S... = называются частными частичными суммами ряда. Таким образом возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S S S Определение. Ряд называется сходящимся если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда предел последовательности его частных сумм. m S S S Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится т.е. не имеет предела или имеет бесконечный предел то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы. Свойства рядов. Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить отбросить или добавить конечное число членов ряда. Рассмотрим два ряда и где С постоянное число. Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S то ряд тоже сходится и его сумма равна СS. Рассмотрим два ряда и v. Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд v где элементы получены в результате сложения вычитания исходных элементов с одинаковыми номерами. Теорема. Если ряды и v сходятся и их суммы равны соответственно S и то ряд v тоже сходится и его сумма равна S +. v v S Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом. Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом. О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя. При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.. Критерий Коши. необходимые и достаточные условия сходимости ряда 68

69 Для того чтобы последовательность была сходящейся необходимо и достаточно чтобы для любого существовал такой номер N что при > N и любом > где р целое число выполнялось бы неравенство:. Доказательство. необходимость Пусть тогда для любого числа найдется номер N такой что неравенство выполняется при >N. При >N и любом целом > выполняется также неравенство. Учитывая оба неравенства получаем: Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем. Сформулируем критерий Коши для ряда. Для того чтобы ряд был сходящимся необходимо и достаточно чтобы для любого существовал номер N такой что при >N и любом > выполнялось бы неравенство.... Однако на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости: Если ряд сходится то необходимо чтобы общий член стремился к нулю. Однако это условие не является достаточным. Можно говорить только о том что если общий член не стремится к нулю то ряд точно расходится. Например так называемый гармонический ряд является расходящимся хотя его общий член и стремится к нулю. Пример. Исследовать сходимость ряда Найдем m m - необходимый признак сходимости не выполняется значит ряд расходится. Если ряд сходится то последовательность его частных сумм ограничена. Однако этот признак также не является достаточным. Например ряд расходится т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того что при четных S при нечетных 69

70 Однако при этом последовательность частных сумм ограничена т.к. S при любом. Ряды с неотрицательными членами. При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами т.к. при простом умножении на из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами. Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно чтобы частные суммы ряда были ограничены. Признак сравнения рядов с неотрицательными членами. Пусть даны два ряда и v при v. Теорема. Если v при любом то из сходимости ряда v следует сходимость ряда а из расходимости ряда следует расходимость ряда v. Доказательство. Обозначим через S и частные суммы рядов и v. Т.к. по условию теоремы ряд v сходится то его частные суммы ограничены т.е. при всех M где М некоторое число. Но т.к. v то S то частные суммы ряда тоже ограничены а этого достаточно для сходимости. Т.к. Пример. Исследовать на сходимость ряд а гармонический ряд расходится то расходится и ряд. Пример. Исследовать на сходимость ряд. Т.к. а ряд сходится как убывающая геометрическая прогрессия то ряд тоже сходится. Также используется следующий признак сходимости: Теорема. Если v и существует предел m h где h число v отличное от нуля то ряды и v ведут одинаково в смысле сходимости. Признак Даламбера. Жан Лерон Даламбер французский математик 7

71 Если для ряда с положительными членами существует такое число q< что для всех достаточно больших выполняется неравенство q то ряд сходится если же для всех достаточно больших выполняется условие то ряд расходится. Предельный признак Даламбера. Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера. Если существует предел m то при < ряд сходится а при > расходится. Если = то на вопрос о сходимости ответить нельзя. Пример. Определить сходимость ряда. m m Вывод: ряд сходится. Пример. Определить сходимость ряда......!!!! m m m!!! Вывод: ряд сходится. Признак Коши. радикальный признак Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q< что для всех достаточно больших выполняется неравенство q то ряд сходится если же для всех достаточно больших выполняется неравенство то ряд расходится. 7

72 Следствие. Если существует предел > ряд расходится. m то при < ряд сходится а при Пример. Определить сходимость ряда. m m m Вывод: ряд сходится. Пример. Определить сходимость ряда. m m. Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше если ряд сходится то общий член ряда стремится к нулю. m m таким образом необходимое условие сходимости не выполняется значит ряд расходится. Интегральный признак Коши. Если х непрерывная положительная функция убывающая на промежутке [ то ряд = одинаковы в смысле сходимости. и несобственный интеграл d Пример. Ряд сходится при > и расходится т.к. d соответствующий несобственный интеграл сходится при > и расходится. Ряд называется общегармоническим рядом. m h сходимости. Следствие. Если и х непрерывные функции на интервале b] и h то интегралы b b d и d ведут себя одинаково в смысле 7

73 При использовании компьютерной версии Курса высшей математики возможно запустить программу исследующую на сходимость числовые ряды по всем рассмотренным выше признакам. Достаточно ввести общий член ряда и нажать Er. Все признаки будут проверяться по очереди. Для запуска программы дважды щелкните на значке: Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа M Wroo M Ic. любой версии начиная с M V Rs 4. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Знакочередующийся ряд можно записать в виде:... где... 4 Признак Лейбница. Если у знакочередующегося ряда абсолютные... 4 величины убывают... и общий член стремится к нулю то ряд сходится. Абсолютная и условная сходимость рядов. Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд с членами произвольных знаков и ряд составленный из абсолютных величин членов ряда : Теорема. Из сходимости ряда следует сходимость ряда. Доказательство. Ряд является рядом с неотрицательными членами. Если ряд сходится то по критерию Коши для любого > существует число N такое что при >N и любом целом > верно неравенство:... По свойству абсолютных величин: То есть по критерию Коши из сходимости ряда следует сходимость ряда. 7

74 Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся если сходится ряд. Очевидно что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают. Определение. Ряд называется условно сходящимся если он сходится а ряд расходится. Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. Пусть - знакопеременный ряд. Признак Даламбера. Если существует предел m то при < ряд будет абсолютно сходящимся а при > ряд будет расходящимся. При = признак не дает ответа о сходимости ряда. Признак Коши. Если существует предел m то при < ряд будет абсолютно сходящимся а при > ряд будет расходящимся. При = признак не дает ответа о сходимости ряда. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Теорема. Для абсолютной сходимости ряда необходимо и достаточно чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами. Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами. В сходящемся ряде любая группировка членов ряда не изменяющая их порядка сохраняет сходимость и величину ряда. Если ряд сходится абсолютно то ряд полученный из него любой перестановкой членов также абсолютно сходится и имеет ту же сумму. Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд имеющий любую наперед заданную сумму и даже расходящийся ряд. 4 Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда при этом число групп может быть как конечным так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным так и бесконечным получается сходящийся ряд сумма которого равна сумме исходного ряда. 74

75 Если ряды и v сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно S и то ряд составленный из всех произведений вида v... взятых в каком угодно порядке также сходится абсолютно и его сумма равна S - произведению сумм перемножаемых рядов. Если же производить перемножение условно сходящихся рядов то в результате можно получить расходящийся ряд. Функциональные последовательности. Определение. Если членами ряда будут не числа а функции от х то ряд называется функциональным. Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться а при других расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х при которых ряд сходится. Совокупность таких значений называется областью сходимости. Так как пределом каждой функции входящей в область сходимости ряда является некоторое число то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция: m Определение. Последовательность { } сходится к функции на отрезке [b] если для любого числа > и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N такой что неравенство выполняется при >N. При выбранном значении > каждой точке отрезка [b] соответствует свой номер и следовательно номеров соответствующих всем точкам отрезка [b] будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший то этот номер будет годиться для всех точек отрезка [b] т.е. будет общим для всех точек. Определение. Последовательность { } равномерно сходится к функции на отрезке [b] если для любого числа > существует номер N = N такой что неравенство выполняется при >N для всех точек отрезка [b]. s s s Пример. Рассмотрим последовательность Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции = т.к. s m Построим графики этой последовательности: 7

76 s s s оси х. - Как видно при увеличении числа график последовательности приближается к При использовании компьютерной версии Курса высшей математики возможно запустить программу которая исследует на сходимость знакочередующиеся ряды и определяет характер сходимости. Достаточно ввести общий член ряда и множитель определяющий знак и нажать Er. Все рассмотренные выше признаки будут проверены по очереди. Для запуска программы дважды щелкните на значке: Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа M Wroo M Ic. любой версии начиная с M V Rs 4. Функциональные ряды. Определение. Частными частичными суммами функционального ряда называются функции S... Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке х=х если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности { S } называется суммой ряда в точке х. 76

77 Определение. Совокупность всех значений х для которых сходится ряд называется областью сходимости ряда. Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [b] если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда. Теорема. Критерий Коши равномерной сходимости ряда Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно чтобы для любого числа > существовал такой номер N что при >N и любом целом > неравенство... выполнялось бы для всех х на отрезке [b]. Теорема. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс немецкий математик Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [b] если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами : M M... M... т.е. имеет место неравенство:. M Еще говорят что в этом случае функциональный ряд мажорируется числовым рядом. Пример. Исследовать на сходимость ряд cos. cos Так как cos всегда то очевидно что. При этом известно что общегармонический ряд при => сходится то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале. Пример. Исследовать на сходимость ряд. 77

78 На отрезке [-] выполняется неравенство т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится а на интервалах - - расходится. Свойства равномерно сходящихся рядов. Теорема о непрерывности суммы ряда. Если члены ряда - непрерывные на отрезке [b] функции и ряд сходится равномерно то и его сумма S есть непрерывная функция на отрезке [b]. Теорема о почленном интегрировании ряда. Равномерно сходящийся на отрезке [b] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке т.е. ряд составленный из интегралов от его членов по отрезку [b] сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку. d d Теорема о почленном дифференцировании ряда. [ b] Если члены ряда сходящегося на отрезке [b] представляют собой непрерывные функции имеющие непрерывные производные и ряд составленный из этих производных сходится на этом отрезке равномерно то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно. d d d d На основе того что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х можно производить операцию представления какой либо функции в виде ряда разложения функции в ряд что имеет широкое применение при интегрировании дифференцировании и других действиях с функциями. На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд. При использовании компьютерной версии Курса высшей математики возможно запустить программу которая определяет интервал сходимости для произвольного функционального ряда. Для запуска программы дважды щелкните на значке Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа M Wroo M Ic. любой версии начиная с MV Rs 4. 78

79 Степенные ряды. Определение. Степенным рядом называется ряд вида Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера. Пример. Исследовать на сходимость ряд Применяем признак Даламбера: m m m m. Получаем что этот ряд сходится при и расходится при. Теперь определим сходимость в граничных точках и. При х = :... ряд сходится по признаку Лейбница см. Признак 4 Лейбница.. При х = -: ряд расходится гармонический ряд. Теоремы Абеля. Нильс Хенрик Абель 8 89 норвежский математик Теорема. Если степенной ряд сходится при = то он сходится и притом абсолютно для всех. Доказательство. По условию теоремы так как члены ряда ограничены то где - некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство: Из этого неравенства видно что при < численные величины членов нашего ряда будут меньше во всяком случае не больше соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства которые образуют геометрическую прогрессию. Знаменатель этой прогрессии по условию теоремы меньше единицы следовательно эта прогрессия представляет собой сходящийся ряд. Поэтому на основании признака сравнения делаем вывод что ряд сходится а значит ряд сходится абсолютно. 79

80 Таким образом если степенной ряд сходится в точке х то он абсолютно сходится в любой точке интервала длины х с центром в точке х =. Следствие. Если при х = х ряд расходится то он расходится для всех. Таким образом для каждого степенного ряда существует такое положительное число R что при всех х таких что R ряд абсолютно сходится а при всех R ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал -R R называется интервалом сходимости. Отметим что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон так и не замкнутым. Радиус сходимости может быть найден по формуле: R m Пример. Найти область сходимости ряда......!!!!! Находим радиус сходимости R m m m m.!! Следовательно данный ряд сходится прилюбом значении х. Общий член этого ряда стремится к нулю. m.! Теорема. Если степенной ряд сходится для положительного значения х=х то он сходится равномерно в любом промежутке внутри. Действия со степенными рядами. Интегрирование степенных рядов. Если некоторая функция определяется степенным рядом: интеграл от этой функции можно записать в виде ряда: то d d d Дифференцирование степенных рядов. Производная функции которая определяется степенным рядом находится по формуле: d d 8 d d

81 8 Сложение вычитание умножение и деление степенных рядов. Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами: b b Произведение двух степенных рядов выражается формулой: с b Коэффициенты с находятся по формуле:... b b b b c Деление двух степенных рядов выражается формулой: q b Для определения коэффициентов q рассматриваем произведение b q полученное из записанного выше равенства и решаем систему уравнений: b q b q b q b q b q b q b q b q b q Разложение функций в степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд имеет большое значение для решения различных задач исследования функций дифференцирования интегрирования решения дифференциальных уравнений вычисления пределов вычисления приближенных значений функции. Возможны различные способы разложения функции в степенной ряд. Такие способы как разложение при помощи рядов Тейлора и Маклорена были рассмотрены ранее. См. Формула Тейлора. Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это самый простой способ разложения однако пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей. Пример. Разложить в ряд функцию. Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов:

82 Если применить к той же функции формулу Маклорена... R!!! то получаем: 4!.!! Итого получаем: Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования. С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной. Находим дифференциал функции d d и интегрируем его в пределах от до х. d d d d Пример. Разложить в ряд функцию. Разложение в ряд этой функции по формуле Маклорена было рассмотрено выше. См. Функция = +. Теперь решим эту задачу при помощи интегрирования. При получаем по приведенной выше формуле: d Разложение в ряд функции может быть легко найдено способом алгебраического деления аналогично рассмотренному выше примеру. 8

83 Тогда получаем: 4 d Окончательно получим: Пример. Разложить в степенной ряд функцию rcg. Применим разложение в ряд с помощью интегрирования. rcg rcg d Подинтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления: Тогда rcg d d d Окончательно получаем: rcg Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. С помощью степенных рядов возможно интегрировать дифференциальные уравнения. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида:... Если все коэффициенты и правая часть этого уравнения разлагаются в сходящиеся в некотором интервале степенные ряды то существует решение этого уравнения в некоторой малой окрестности нулевой точки удовлетворяющее начальным условиям. Это решение можно представить степенным рядом: 8

84 c c c c... Для нахождения решения остается определить неизвестные постоянные c. Эта задача решается методом сравнения неопределенных коэффициентов. Записанное выражение для искомой функции подставляем в исходное дифференциальное уравнение выполняя при этом все необходимые действия со степенными рядами дифференцирование сложение вычитание умножение и пр. Затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения. В результате с учетом начальных условий получим систему уравнений из которой последовательно определяем коэффициенты c. Отметим что этот метод применим и к нелинейным дифференциальным уравнениям. Пример. Найти решение уравнения c начальными условиями = =. Решение уравнения будем искать в виде c c c... c c c c 4c4... 6c c4 c Подставляем полученные выражения в исходное уравнение: 4 c 6c c4 c... c c c c... 4 c 6c c c c c c c c Отсюда получаем: c 6c c c 4 c c c c6 c Получаем подставив начальные условия в выражения для искомой функции и ее первой производной: c c Окончательно получим: c c c c c4 c c Итого: Существует и другой метод решения дифференциальных уравнений с помощью рядов. Он носит название метод последовательного дифференцирования. Рассмотрим тот же пример. Решение дифференциального уравнения будем искать в виде разложения неизвестной функции в ряд Маклорена....!!! 84

85 Если заданные начальные условия = = подставить в исходное дифференциальное уравнение получим что. Далее запишем дифференциальное уравнение в виде и будем последовательно дифференцировать его по х. IV V VI IV IV V После подстановки полученных значений получаем: VI Ряды Фурье. Жан Батист Жозеф Фурье французский математик Тригонометрический ряд. Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида: cos b s cos b s... cos b s... или короче cos b s. ряда. Действительные числа b называются коэффициентами тригонометрического Если ряд представленного выше типа сходится то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом т.к. функции s и cos также периодические функции с периодом. Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [- ] а следовательно и на любом отрезке в силу периодичности и его сумма равна. Определим коэффициенты этого ряда. Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами: m m.. cosm cosd m m... m s m s d m m... cosm s d m

86 Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул. Подробнее см. Интегрирование тригонометрических функций. Т.к. функция непрерывна на отрезке [- ] то существует интеграл d d cos b s d Такой результат получается в результате того что cos b s d Получаем: d. Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cos и интегрируем в пределах от - до. cosd cosd cos b coss d Отсюда получаем: cosd... Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на s и интегрируем в пределах от - до. Получаем: b s d... Выражение для коэффициента а является частным случаем для выражения коэффициентов. Таким образом если функция любая периодическая функция периода непрерывная на отрезке [- ] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода то коэффициенты b cosd s d существуют и называются коэффициентами Фурье для функции. Определение. Рядом Фурье для функции называется тригонометрический ряд коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции сходится к ней во всех ее точках непрерывности то говорят что функция разлагается в ряд Фурье. 86

87 Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье. Теорема. Теорема Дирихле Если функция имеет период и на отрезке [-] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода и отрезок [-] можно разбить на конечное число отрезков так что внутри каждого из них функция монотонна то ряд Фурье для функции сходится при всех значениях х причем в точках непрерывности функции его сумма равна а в точках разрыва его сумма равна т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функции сходится равномерно на любом отрезке который принадлежит интервалу непрерывности функции. Функция для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно монотонной на отрезке [-]. Теорема. Если функция имеет период кроме того и ее производная непрерывные функции на отрезке [-] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке то ряд Фурье функции сходится при всех значениях х причем в точках непрерывности его сумма равна а в точках разрыва она равна. При этом ряд Фурье функции сходится равномерно на любом отрезке который принадлежит интервалу непрерывности функции. Функция удовлетворяющая условиям этой теоремы называется кусочно гладкой на отрезке [-]. Разложение в ряд Фурье непериодической функции. Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции. Допустим функция задана на отрезке [ b] и является на этом отрезке кусочно монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно монотонную функцию c периодом Т b- совпадающую с функцией на отрезке [ b]. - T b +T + 4T 87

88 Таким образом функция была дополнена. Теперь функция разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [ b] совпадает с функцией т.е. можно считать что функция разложена в ряд Фурье на отрезке [ b]. Таким образом если функция задана на отрезке равном ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок на котором задана функция меньше чем то функция продолжается на интервал b + так что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись. Вообще говоря в этом случае продолжение заданной функции на отрезок интервал длиной может быть произведено бесконечным количеством способов поэтому суммы получившихся рядов будут различны но они будут совпадать с заданной функцией на отрезке [b]. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Отметим следующие свойства четных и нечетных функций: нечетная d d четная Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией. Произведение четной и нечетной функций нечетная функция. Справедливость этих свойств может быть легко доказана исходя из определения четности и нечетности функций. Если четная периодическая функция с периодом удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье то можно записать: cos cos... d d b s d... Таким образом для четной функции ряд Фурье записывается: cos cosd... Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции: b b s s d... 88

89 Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом T = на отрезке [-]. Заданная функция является нечетной следовательно коэффициенты Фурье ищем в виде: b s d... b s d d dv s d cos d v cos cosd dv cosd s d d v cos s s d cos 6 dv s d s d cos d d v cos 6 cos cos d cos 6cos 6 s cos cos Получаем: b s s. Построим графики заданной функции и ее разложения в ряд Фурье ограничившись первыми четырьмя членами ряда

90 9 Ряды Фурье для функций любого периода. Ряд Фурье для функции периода Т = непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [- ] имеет вид: s cos b... s... cos d b d d Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид: d d... cos cos Для нечетной функции:... s s d b b Ряд Фурье по ортогональной системе функций. Определение. Функции х и х определенные на отрезке [ b] называются ортогональными на этом отрезке если b d Определение. Последовательность функций непрерывных на отрезке [ b] называется ортогональной системой функций на этом отрезке если все функции попарно ортогональны. j d b j

91 Отметим что ортогональность функций не подразумевает перпендикулярности графиков этих функций. Определение. Система функций называется ортогональной и нормированной ортонормированной если b j j d j Определение. Рядом Фурье по ортогональной системе функций называется ряд вида: коэффициенты которого определяются по формуле: b b d где = - сумма равномерно сходящегося на отрезке [ b] ряда по ортогональной системе функций. любая функция непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [ b]. В случае ортонормированной системы функций коэффициенты определяются: b d d При использовании компьютерной версии Курса высшей математики возможно запустить программу которая разлагает в ряд Фурье произвольную функцию. Для запуска программы дважды щелкните на значке Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа M Wroo M Ic. любой версии начиная с MV Rs 4. 9

92 9 Интеграл Фурье. Пусть функция на каждом отрезке [-] где любое число кусочно гладкая или кусочно монотонная кроме того абсолютно интегрируемая функция т.е. сходится несобственный интеграл d Тогда функция разлагается в ряд Фурье: s cos b... s... cos d b d Если подставить коэффициенты в формулу для получим: s s cos cos d d d cos d d Переходя к пределу при можно доказать что m d и cos m d Обозначим При. cos m d Можно доказать что предел суммы стоящий в правой части равенства равен интегралу d d cos Тогда d d cos - двойной интеграл Фурье.

93 Окончательно получаем: b cos b s d cosd s d - представление функции интегралом Фурье. Двойной интеграл Фурье для функции можно представить в комплексной форме: d d Преобразование Фурье. Определение. Если любая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на каждом отрезке то функция F называется преобразованием Фурье функции. Функция F называется также спектральной характеристикой функции. Если функция представимая интегралом Фурье то можно записать: F d Это равенство называется обратным преобразованием Фурье Интегралы F cosd и F s d называются соответственно косинус - преобразование Фурье и синус преобразование Фурье. Косинус преобразование Фурье будет преобразованием Фурье для четных функций синус преобразование для нечетных. Преобразование Фурье применяется в функциональном анализе гармоническом анализе операционном исчислении теории линейных систем и др. d 9

94 Элементы теории функций комплексного переменного. Определение. Если каждому комплексному числу из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного отображающая множество D на множество G. w = Множество D называется областью определения множество G областью значений функции. Комплексную функцию можно записать в виде: w v R v Im v действительные функции от переменных х и у. Если каждому D соответствует несколько различных значений w то функция w= называется многозначной. Определение. Функция w v имеет предел в точке равный числу А = + b если m A m A. Свойства функций комплексного переменного. Для функций комплексного переменного и g справедливы следующие свойства: m g m m g m g m m g m m m g. g m g Определение. Функция w v называется непрерывной в точке если выполняется равенство m Основные трансцендентные функции. Определение. Трансцендентными называются аналитические функции которые не являются алгебраическими. Если аргументом показательной или тригонометрических функций является комплексное число то определение этих функций вводимое в элементарной алгебре теряет смысл. 94

95 Рассмотрим разложение в степенной ряд следующих функций:......!!! s......!!!! 4 cos......! 4!! См. Представление функций по формуле Тейлора. Функции cos s связаны между собой формулой Эйлера см. Уравнение Эйлера. Эта формула может быть очень легко получена сложением соотвествующих рядов. cos s Также справедливы равенства: cos s cos s m m g s cos cos cg s Для тригонометрических функций комплексного аргумента справедливы основные тригонометрические тождества синус и косинус суммы разности и т.д. которые справедливы для функций действительного аргумента. Определение. Гиперболическим синусом косинусом тангенсом и котангенсом называются соответственно функции: sh ch h sh ch ch ch sh Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические: sh s h g ch cos ch cg Гиперболические функции sh и ch имеют период а функции h и ch период. 9

96 Пример. Найти s+. s cos s cos s cos s s cos chs shcos. Определение. Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция обратная показательной. w w L. Если w = + v то w и Arg w = rg = v. Тогда =. Итого: w L rg... Для комплексного числа = + b b rg rcg логарифма. Определение. Выражение rg называется главным значением Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими свойствами: 4 вид: Обратные тригонометрические функции комплексного переменного имеют Arc cos Arcs Arcg Arsh Arch rg L rg L rg L rg L rg L Arch L 96

97 Производная функций комплексного переменного. Определение. Производной от однозначной функции w = в точке называется предел: w dw m m d Определение. Функция имеющая непрерывную производную в любой точке области D называется аналитической функцией на этой области. Правила дифференцирования функций комплексного аргумента не отличаются от правил дифференцирования функций действительной переменной. Аналогично определяются производные основных функций таких как синус косинус тангенс и котангенс степенная функция и т.д. Производные гиперболических функций определяются по формулам: sh ch ch sh h ch Вывод правил интегрирования значений производных основных функций ничем не отличается от аналогичных операций с функциями действительного аргумента поэтому подробно рассматривать их не будем. Условия Коши Римана. Бернхард Риман немецкий математик Рассмотрим функцию комплексной переменной w v определенную на некоторой области и имеющую в какой либо точке этой области производную w m Стремление к нулю может осуществляться в следующих случаях: В первом случае: w v v m m v v v m m. Во втором случае: 97

98 98 v v w m m. m m v v v Тогда должны выполняться равенства: v v Эти равенства называются условиями Коши Римана хотя еще раньше они были получены Эйлером и Даламбером. Теорема. Если функция v w имеет производную в точке = + то ее действительные компоненты и v имеют в точке х у частные производные первого порядка удовлетворяющие условию Коши Римана. Также справедлива и обратная теорема. На основании этих теорем можно сделать вывод что из существования производной следует непрерывность функции. Теорема. Для того чтобы функция v w была аналитической на некоторой области необходимо и достаточно чтобы частные производные первого прядка функций и v были непрерывны на этой области и выполнялись условия Коши Римана. Интегрирование функций комплексной переменной. Пусть v w - непрерывная функция комплексного переменного определенная в некоторой области и L кривая лежащая в этой области. у В L А х Кривая L задана уравнением Определение. Интеграл от функции вдоль кривой L определяется следующим образом: L L L L d vd vd d d d v d d v ] [ d v ] [

99 Если учесть что то L d [ ] d Теорема. Теорема Коши Если - аналитическая функция на некоторой области то интеграл от по любому кусочно гладкому контуру принадлежащему этой области равен нулю. d L Интегральная формула Коши. Если функция аналитическая в односвязной замкнутой области с кусочно гладкой границей L. D Тогда справедлива формула Коши: L d где любая точка внутри контура L интегрирование по контуру производится в положительном направлении против часовой стрелки. Эта формула также называется интегралом Коши. Ряды Тейлора и Лорана. Пьер Альфонс Лоран 8 84 французский математик Функция аналитическая в круге степенной ряд по степеням. R разлагается в сходящийся к ней Коэффициенты ряда вычисляются по формулам: c d...! L Степенной ряд с коэффициентами такого вида называется рядом Тейлора. 99

100 Рассмотрим теперь функцию аналитическую в кольце R r. Эта функция может быть представлена в виде сходящегося ряда: c c c... d c Ряд такого вида называется рядом Лорана. При этом функция может быть представлена в виде суммы: c c Ряд определяющий функцию называется правильной частью ряда Лорана а ряд определяющий функцию называется главной частью ряда Лорана. Если предположить что r = то можно считать что функция аналитична в открытом круге R за исключением центральной точки. Как правило в этой точке функция бывает не определена. Тогда точка называется изолированной особой точкой функции. Рассмотрим следующие частные случаи: Функция имеет вид: c. Т.к. степенной ряд сходится во всех точках внутри круга то его сумма определена и непрерывно дифференцируема во всех точках круга а следовательно и в центре круга. В этом случае говорят что особенность функции в точке устранима. Для устранения особой точки достаточно доопределить функцию в центре круга = c и функция будет аналитической не только в окрестности центра круга но и в самом центре. В этом случае L d для любого контура L содержащего точку и принадлежащего к кругу R. Функция имеет вид: m m c c. В этом случае точка называется полюсом функции порядка кратности m. При m = точку называют еще простым полюсом. Порядок полюса может быть определен по формуле: m c m полюс порядка т.

101 m c Функция имеет вид c где в ряду c не равно нулю бесконечное количество коэффициентов с -. В этом случае говорят что функция имеет в точке существенно особую точку. Определение. Пусть изолированная особая точка функция т.е. пусть функция аналитическая в некотором круге R из которого исключена точка. Тогда интеграл d Выч L называется вычетом функции в точке где L контур в круге ориентированный против часовой стрелки и содержащей в себе точку. Вычет также обозначают иногда R s. R Если c R точке то Выч c. есть ряд Лорана функции в Таким образом если известно разложение функции в ряд Лорана то вычет легко может быть найден в случае любой особой точки. В частных случаях вычет может быть найден и без разложения в ряд Лорана. Например если функция а имеет простой нуль при = то = является простым полюсом функции. Тогда можно показать что вычет находится по формуле Выч c Если = полюс порядка m то вычет может быть найден по формуле: Выч c d m m! m [ d m m ] Пример. Найти вычет функции относительно точки =. Эта точка является полюсом второго порядка. Получаем:

102 d d Выч m [ ] m m d d. Теорема о вычетах. Теорема. Пусть функция аналитическая на всей плоскости за исключением конечного числа точек N. Тогда верно равенство: N Выч Выч А интеграл от функции по контуру L содержащему внутри себя эти точки равен L d N j Выч j Эти свойства применяются для вычисления интегралов. Если функция аналитическая в верхней полуплоскости включая действительную ось за исключением N точек то справедлива формула d N j j Выч Пример. Вычислить определенный интеграл d 4. Подынтегральная функция является аналитической в верхней полуплоскости за исключением точки. Эта точка является полюсом второго порядка. d d Найдем вычет функции Выч m m 4 d 4 d m 4 Получаем d 4. 6 Пример. Вычислить определенный интеграл d. Подынтегральная функция является аналитической в верхней полуплоскости за исключением точки. Эта точка является полюсом второго порядка. Найдем вычет функции d d d Выч m m m m 4 d d d

103 Получаем d 6 8 При использовании компьютерной версии Курса высшей математики возможно запустить программу которая находит вычеты задаваемой функции. Для запуска программы дважды щелкните на значке Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа M Wroo M Ic. любой версии начиная с MV Rs 4. Операционное исчисление. Преобразование Лапласа. Пьер Симон Лаплас французский математик Рассмотрим функцию действительного переменного определенную при. Будем также считать что функция - кусочно - непрерывная т.е. в любом конечном интервале она имеет конечное число точек разрыва первого рода и определена на бесконечном интервале - но = при <. Будем считать что функция ограничена условием: s M Рассмотрим функцию F d где = + b комплексное число. Определение. Функция F называется изображением Лапласа функции. Также функцию F называют L изображением или преобразованием Лапласа. Обозначается F L{ } F F При этом функция называется начальной функцией или оригиналом а процесс нахождения оригинала по известному изображению называется операционным исчислением. Теорема. Теорема единственности Если две непрерывнные функции и g имеют одно и то же L изображение F то они тождественно равны.


Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с

Линейные однородные дифференциальные уравнения с. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Свойства общего решения. Теорема Коши. Интегральные кривые. Особое решение. Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения вида у fх.

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.»

Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.» Министерство образования Республики Беларусь Министерство образования Республики Беларусь Тема5. «Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.» Кафедра теоретичской и прикладной математики.

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный машиностроительный

Подробнее

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей.

Глава 4. Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей. Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию у f х и производные искомой функции n n :

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ (Методическая разработка) Составитель: проф. А.Н. Саламатин ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Методическая разработка Составитель: проф АН Саламатин На основе: АФ Филиппов Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск НИЦ "Регулярная

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ, ПРОГРАММА И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) Факультет дистанционных форм обучения Заочное отделение `` МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ,

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА ЕАКОГАН ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Учебное пособие по дисциплине математика для студентов обучающихся по специальности Автомобиле-и тракторостроение

Подробнее

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения . Метод Эйлера Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения ( ) f (6.) может быть приближенно решена численными методами. Для нахождения частного решения уравнения (6.) на отрезке [ a

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В.В.Поддубный ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Введение и основные определения Многие задачи естествознания и техники связаны с решением уравнений, содержащих неизвестные функции некоторых независимых

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Содержание Конев В.В. 1. Рабочая программа (выписка) 2 2. Введение 3 3. Основные понятия 3 3.1. Начальные условия 5 3.2. Составление дифференциальных

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2)

1. Краевая задача для линейного дифференциального уравнения второго порядка. (2) Глава 4 Краевые задачи Лекция 8 Краевыми задачами для ОДУ называются задачи в которых дополнительные условия ставятся в нескольких точках Далее мы рассмотрим двухточечные краевые задачи для линейных ОДУ

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 9.5.4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Вариант на отрезке [ ; ] с шагом методом Эйлера модифицированным методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Найти точное решение и

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка

22. Линейные уравнения с частными производными первого порядка Линейные уравнения с частными производными первого порядка Понятие уравнения с частными производными и его интегрирование Уравнением с частными производными называется соотношение связывающее неизвестную

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x;

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. 1 Функции двух переменных.. Соответствие f, которое каждой паре чисел ( x; ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

Первые интегралы систем ОДУ

Первые интегралы систем ОДУ Глава IV. Первые интегралы систем ОДУ 1. Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений В этом параграфе будем рассматривать автономные системы вида f x = f 1 x,, f n x C 1

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ

МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ Министерство строительства Республики Узбекистан Ташкентский архитектурно-строительный институт А.Я.Ишметов МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ Тескт лекций ТАШКЕНТ 8 Математика. Математический

Подробнее

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8

Оглавление. Введение. Основные понятия Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий... 8 Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г.

Дифференциальные уравнения. Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка. Лектор Янущик О.В г. Дифференциальные уравнения Тема: Уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка Лектор Янущик О.В. 2012 г. Глава II. Дифференциальные уравнения высших порядков 12. Основные понятия и определения

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более

Гл.1. Степенные ряды., постоянные, называемые коэффициентами ряда. Иногда рассматривают степенной ряд более Гл Степенные ряды a a a Ряд вида a a a a a () называется степенным, где,,,, a, постоянные, называемые коэффициентами ряда Иногда рассматривают степенной ряд более общего вида: a a( a) a( a) a( a) (), где

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

1. Метод итераций. ( x ) x = ϕ. (5.1) Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5.1) с помощью формулы xn

1. Метод итераций. ( x ) x = ϕ. (5.1) Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5.1) с помощью формулы xn Метод итераций Пусть дано уравнение с одной неизвестной ( (5 Метод отыскания приближенных значений корня уравнения (5 с помощью формулы ( называют просто методом итерации При решении таких уравнений возникает

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Конев В.В. Содержание Часть 1. Основные понятия. 1.1. Введение 2 1.2. Начальные условия 4 1.3. Составление дифференциальных уравнений 5 1.4.

Подробнее

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3

. Определение производной даѐт и способ еѐ вычисления. Пример 1. 3 Лекции 56 Глава 6 Производная функции 6 Понятие производной Пусть функция определена и непрерывна на некотором промежутке X Взяв значение X придадим аргументу приращение так что и новое значение не выходит

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее