Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона."

Транскрипт

1 Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция вектора на ось 8. Скалярное произведение векторов 9. Векторное произведение векторов 10. Смешанное произведение векторов Уии льям Рои уэн Гаи мильтон ирландский математик и физик XIX века. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона

2 Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая концом, называется направленным отрезком или вектором В 1. Определение вектора. Конец вектора Вектор АВ Длиной или модулем вектора называется длина отрезка АВ АВ = АВ А Начало вектора Вектор

3 Любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым M 1. Определение вектора. Вектор Вектор MM Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому нулевой вектор не имеет какого-либо определенного направления. Иначе говоря, любое направление можно считать направлением нулевого вектора. 0 Длина нулевого считается равной нулю MM = 0 3

4 1. Определение вектора. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные, сонаправленные векторы c c c Нулевой вектор считается коллинеарным, сонаправленным с любым вектором. o o c o 4

5 1. Определение вектора. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные, противоположно направленные векторы c c 5

6 1. Определение вектора. Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Другими словами, векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. c Любые два вектора компланарны. 6

7 1. Определение вектора. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. k c 7

8 1. Определение вектора. B 1 Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. D C В Е О А 8

9 В 1. Определение вектора. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. С А О D 1 = АВСD параллелограмм. ВA A = CD; AВ = DC; CВ = DA; AD = BC. 9

10 1. Определение вектора. Векторы называются противоположными, если они противонаправлены и их длины равны. В С А О 1 D = АВСD параллелограмм. DA = -BC; AВ = -CD; 10

11 1. Определение вектора. Если точка А начало вектора, то говорят, что вектор отложен от точки А От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору c, и притом только один. Вектор отложен от точки А А М = c c = c 11

12 1. Определение вектора. Угол между векторами Углом α между векторами называется наименьший угол, образуемый векторами при совмещении их начал. О = Угол между векторами равен и 1

13 1. Определение вектора. Для коллинеарных векторов или Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен c c 13

14 . Действия над векторами. Сложение векторов. Правило треугольника. С + c А c 14

15 . Действия над векторами. Сложение векторов. Правило многоугольника. m n c +c+m+n 15

16 . Действия над векторами. Сложение векторов. Правило параллелограмма. + В А + C D 16

17 . Действия над векторами. Сложим первые две силы F 1 и F (аксиома параллелограмма). Количество сил уменьшилось на единицу. R 1, F1 F Сложим полученную равнодействующую R 1 со следующей силой F 3. Количество сил вновь уменьшилось на единицу. R R 1,,3 1, F Повторим эту же операцию со следующей силой F 4. Осталась всего одна сила, эквивалентная исходной системе сил. F 1 R 1, F R 1,,3 R 1,,3,4 F 3 R 1,,3,4 R1,,3 F4 F 4 Сложение сил построением параллелограммов можно заменить построением силового треугольника выбирается одна из сил или изображается параллельно самой себе с началом в любой произвольной точке, все другие силы изображаются параллельными самим себе с началом, совпадающим с концом предыдущей силы. Результатом такого сложения является вектор, направленный из начала первой силы к концу последней из сил. R F F F F Fi 17

18 OD = D. Действия над векторами. Правило параллелепипеда. из OAE OE + ED = (OA + AE) + ED = OA + OB + OC = В 1 = + + c С c Е В A О 18

19 . Действия над векторами. Вычитание векторов ( ) 19

20 . Действия над векторами. Умножение вектора на число Произведением вектора 1), ). на число α называется вектор, такой что: 3 3 0

21 . Действия над векторами. Умножение вектора на число Произведением вектора 1), ). на число α называется вектор, такой что: 3 3 1

22 1. Действия над векторами. Умножение вектора на число 1 1 1

23 . Действия над векторами. А1 D1 С1 А В D C 3

24 . Действия над векторами. а А1 В1 D1 С1 а А В D C 4

25 . Действия над векторами. А1 В1 D1 С1 В C А 5

26 3. Линейная зависимость векторов Определение 1. Линейной комбинацией векторов называется вектор где λ i некоторые числа. Определение. Вектора n n 1,,..., n, 1,,..., n называются линейно зависимыми, если существуют действительные числа λ i, такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля, и при этом выполняется равенство: n 0. Определение. Вектора 1,,..., n называются линейно независимыми, если из условия nn 0 следует тривиальная комбинация при 1... n 0. n 6

27 3. Линейная зависимость векторов Необходимость. 1,,..., Теорема 1. Для линейной зависимости векторов необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных. Доказательство. Пусть вектора линейно зависимы. Тогда существуют числа λ i, не равные нулю одновременно, такие, что nn 0. Пусть λ 1 0, тогда Достаточность n n 1 1, что доказывает необходимость. Пусть для определенности 1... nn. Тогда 1)... 0, причем ( 1 n n Это и есть условие линейной зависимости. n n 7

28 3. Линейная зависимость векторов Для линейно зависимых векторов справедливы теоремы 6. Теорема. Один вектор линейно зависим тогда и только тогда, когда он нулевой. Теорема 3. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Теорема 4. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. Доказательство. Необходимость. Пусть три вектора 1,, 3 линейно зависимы. Тогда существуют не равные одновременно нулю три числа, такие, что 1,, Тогда по теореме 1 один из векторов есть линейная комбинация двух остальных, и, значит, данные три вектора компланарны

29 3. Линейная зависимость векторов Достаточность. Пусть 1,, 3 компланарны, и пусть вектора 1 и неколлинеарны из чего вытекает (вследствие теоремы 1) линейная зависимость векторов 9

30 3. Линейная зависимость векторов Теорема 5. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы. Действительно, можно подобрать, причем единственным образом, такие числа,, что будет d. 1, 3 с d 1 3c 3 c 1 Теорема 6. Если среди векторов нулевой вектор, то вектора 1,,..., 1,,..., n n имеется хотя бы один линейно зависимы. 30

31 3. Линейная зависимость векторов Свойства линейно независимых векторов: Один вектор линейно независим тогда и только тогда, когда он ненулевой. Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны. Три вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они некомпланарны. 31

32 4. Базис. Координаты вектора в базисе. Определение 1. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор, принадлежащий этой прямой. g g g 1 Определение. Базисом на плоскости называется любая пара линейно независимых векторов, лежащих на этой плоскости. Определение 3. Базисом в пространстве называется любая тройка линейно независимых векторов. g 3 g g 1 Будем обозначать базис в пространстве, составленный из линейно независимых векторов, как. 3 g 1, g, g3 3

33 4. Базис. Координаты вектора в базисе. Определение 4. Базис называется ортогональным, если образующие его вектора попарно перпендикулярны. g 3 e 3 g e 90 o g 1 90 o e 1 Определение 5. Ортогональный базис называется ортонормированным, если образующие его вектора имеют единичную длину. e 1 = 1 e = 1 e 3 = 1 33

34 4. Базис. Координаты вектора в базисе. Теорема 1. Любой вектор в пространстве с базисом может 3 быть представлен, и причем единственным способом, в виде g g где α, β, γ некоторые числа. 1 g3, Доказательство. Докажем вначале, что такие числа существуют. q g 1 r g 3 g g 1 g,, g, и в силу коллинеарности g 3. q r, и в силу коллинеарности q g 1, r g. Следовательно, g 1 g и g 1 g g3. Докажем единственность разложения по данному базису. Пусть g1 g g3; g 1 g g3. ) g ( ) g ( ) g 0, ( g Но это условие и означает, что вектора 3 зависимыми и не могут образовывать базис. Это, в свою очередь, доказывает единственность разложения. 1 g,, g являются линейно 34

35 4. Базис. Координаты вектора в базисе. Определение 6. Числа,, в разложении называются координатами вектора в базисе. Координаты величины скалярные. Для краткой записи вектора g g g 1 g,, g представлении будем использовать следующую форму: 1 g g3 3 в координатном т. е. каждому вектору в данном базисе можно поставить во взаимно однозначное соответствие матрицу-строку. 1 g g3 {,, }, 35

36 5. Действия с векторами в координатном представлении. В каждом конкретном базисе каждый вектор находится во взаимно-однозначном соответствии с упорядоченной тройкой чисел,, своими координатами. Возникает вопрос о том, как выполнять операции с векторами в координатном представлении. С другой стороны, ранее были изучены матрицы и операции над ними, и целесообразно было бы свести операции с векторами в координатном представлении к матричным операциям. g 1 g,, g 3 Теорема 1. Два вектора 1 g1 g 3 g3 и 1 g1 g 3 g3 равны тогда и только тогда, когда равны матрицы координат { 1,, 3},, }. {

37 5. Действия с векторами в координатном представлении. Теорема. Пусть в некотором базисе даны два вектора,, } и,, }. { 1 3 { 1 3 Тогда в этом базисе 1) { 1,, 3}, ),, Иными словами: при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число; при сложении векторов складываются их соответствующие координаты. 37

38 5. Действия с векторами в координатах Теорема 3. Два вектора и 1g1 g 3 g3 1 g1 g 3 g3 плоскости линейно зависимы тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты в некотором базисе пропорциональны, т. е. Доказательство Необходимость. Пусть вектора и линейно зависимы, тогда по теореме 3.1, или в координатной форме. Исключив λ из этих уравнений, получаем 1 1 0, что и означает равенство нулю определителя. Достаточность. Пусть Тогда 1 1 0, откуда 1. 1 Таким образом, вектора пропорциональны, а, значит, и линейно зависимы. 1 1 и на 38

39 5. Действия с векторами в координатнатах Теорема 4. Три вектора в пространстве 1 g1 g 3 g3, 1 g1 g 3 g3 и 1 g1 g 3 g 3 линейно зависимы тогда и только тогда, когда Следствие. Равенства и 0 соответственно являются необходимыми и достаточными условиями коллинеарности пары векторов на плоскости и компланарности тройки векторов в пространстве

40 5. Действия с векторами в координатах Пример 1. Показать, что вектора { 3; 1; }, {1; ; 0}, c{ 1; 7;1} образуют базис в трехмерном пространстве. Решение. Вычислим определитель, столбцы которого представляют координаты векторов: Так как определитель отличен от нуля, то столбцы линейно независимы, т. е. указанные вектора образуют базис. 40

41 5. Действия с векторами в координатах Пример. Разложить вектор с по базису ; q; r, Решение. p{ 3; ;1}, q{ 1;1; }, r{;1; 3}. Разложим вектор с по базису p q; r коэффициентами,, : p где c{ 11; 6; 5}, ; с неопределенными c p q r. В координатах это разложение представляет собой систему трех уравнений относительно,, : Имеем: ; 16; 4; 8; Ответ: c p 3q r. ; 3; 1. откуда по правилу Крамера 41

42 6. Декартова система координат. Определение 1. g Совокупность базиса 1, g, g и точки О, 3 в которую помещены начала всех базисных векторов, называется декартовой системой координат и обозначается О g, g,. Определение. Система координат О, i, j, k,, 1 g3 состоящая из ортонормированного ортогонального базиса и точки О, называется прямоугольной декартовой системой координат. i k O j Ох ось абсцисс Оу ось ординат О ось аппликат 4

43 6. Декартова система координат. Ренеи Декаи рт , французский математик,, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики, Родился в городе Лаэ (ныне г. Декарт). Декарт ввел математическую символику, близкую к современной. Коэффициенты он обозначал,, c, а неизвестные,,. Натуральный показатель степени принял современный вид. Появилась черта над подкоренным выражением. 43

44 6. Декартова система координат. i, j, Определение. Упорядоченная тройка ортов называется правой, если при совмещении начал векторов кратчайший поворот первого вектора ко второму с конца третьего вектора наблюдается против часовой стрелки. k Определение. Упорядоченная тройка ортов i, j, называется левой, если при совмещении начал векторов кратчайший поворот первого вектора ко второму с конца третьего вектора наблюдается по часовой стрелки. k 44

45 6. Декартова система координат. Если задана система координат О, i, j, k, то произвольной точке М в пространстве можно поставить во взаимно однозначное соответствие вектор r, начало которого находится в точке О, а конец в точке М. Определение 3. Вектор точки М в системе координат r OM называется радиус-вектором О, i, j, k. Определение 4. Координаты радиус-вектора точки М называются координатами точки М в системе координат О, i, j, k. 45

46 I I I I I С 6. Декартова система координат. В I I I k I I I I I A(-1; 3;-6) B(-;-3; 4) C( 3;-; 6) I I I I I I I I i O I I I I I I I I j I I I I I А OA{-1-1; 3;-6} OB{-;-3; 4} OC{ 3;-; 6} 46

47 6. Декартова система координат. О Из АОB, A( 1 ; 1 ; 1 ) B( ; ; ) AB = AО О + ОBО = ОA + ОBО + OA{ 1 ; 1 ; 1 } OB{ ; ; } OA{- 1 ; - 1 ; - 1 } OB{ ; ; } AB { - 1 ; - 1 ; - 1 } 47

48 6. Декартова система координат. откуда Задача (условие коллинеарности двух векторов в координатной форме). Пусть два вектора,, и,, коллинеарны., т. е. i j k i j k, Тогда по теореме 3.1 существует такое число λ, при котором или условие коллинеарности двух векторов. Если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны. 47

49 6. Декартова система координат. Пример 1. Коллинеарны ли вектора ={; = 6;-3}; ={6;18 18;-9} = = = = 3 или = 1 3 Векторы и коллинеарны. 49

50 6. Декартова система координат Пример. В декартовой системе координат A(1,3,0), B(,0,-1), C(3,-3,-). Доказать, что точки A, B, C лежат на одной прямой. Решение Очевидно, точки A, B, C лежат на одной прямой, если векторы AB{ 1, 1, 1} и AC,, } коллинеарны. { Для этого необходимо выполнение условия:. AB AC. Отсюда следует (теорема 5.), что координаты векторов AB и AC должны быть пропорциональны AB { 1, 3, 1}; AC {, 6, };. 6 Таким образом, точки A, B, C лежат на одной прямой. 50

51 6. Декартова система координат Задача 3. (деление отрезка в данном отношении). В декартовой системе координат заданы точки A,, ), B(,, ). ( Найти координаты точки M(,,), делящей отрезок AB в отношении λ: Решение Векторы AM MB λ. AM и MB коллинеарны, сонаправлены, отношение их длин равно λ. Тогда AM MB. Переходя к равенству соответствующих координат, получим: 1 ( ); 1 ( ); 1 ( ). Выражая отсюда,,, получим для координат точки M: ; 1 ;

52 6. Декартова система координат. В частности, координаты середины отрезка (λ=1) равны полусумме соответствующих координат его концов. О A( 1 ; 1 ; 1 ) C( 1 + ; 1 + ; 1 + ) B( ; ; ) { 1 + ; 1 + ; 1 + OC } 5

53 6. Декартова система координат. Пример. Разделить отрезок АВ ( А(3,5; 1), B(; )) на три равные части. Решение 1 1 ; 1 1 ; 1 1. с AC CB 1, 3,5 0,5 1 0,5 4 c 3, c. 1 0,5 1 0,5 3 AD DB, D D,5; 3,5 1 5 D

54 7. Проекция вектора на ось. AB Пусть вектор лежит на некоторой оси l. Направление орта соответствует направлению оси. 0 l 0 l l Определение 1. Проекцией вектора, лежащего на оси, на эту ось называется число, по абсолютной величине равное длине вектора и взятое со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком минус, если они противоположны. Пусть вектор не лежит на некоторой оси l. Из точек А и B опустим перпендикуляры на ось. Вектор называется компонентой вектора AB по оси l. AB AB Определение. Проекцией вектора, не лежащего на оси l, на эту ось называется проекция его компоненты по оси l на эту же ось. Проекция вектора на ось обычно обозначается так: прl AB. l 0 54

55 7. Проекция вектора на ось. Свойства проекций вектора на ось: 1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью: пр l AB AB cos, где θ угол между вектором и осью.. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций этих векторов на эту же ось, т. е. пр l ( ) пр пр. l l. 3. Проекция на ось вектора, умноженного на число, равна произведению проекции вектора на это число, т. е. прl ( ) пр. 4. Проекции на ось двух равных векторов равны между собой. l 55

56 A 3 7. Проекция вектора на ось. Рассмотрим теперь вопрос о разложении вектора по координатным осям. A {;;} k OA 1 = i i О j A OA = j OA 3 = k A 1 Такое представление вектора называется разложением его на компоненты (или составляющие) ) по координатным осям. 56

57 {;;} Вычисление длины вектора по его координатам По правилу параллелепипеда A 3 OA = OA 1 + OA + OA OA 3 i k О A j A OA 1 = i = OA = j = OA 3 = k = A 1 = + + =

58 Направляющие косинусы вектора. {а ;а ;а } Если A 3 а ;а ;а проекции вектора на координатные оси, то ясно, что имеют место формулы: A 1 а i а k О α γ A а j β A cos cos cos cos cos cos cos cos cos 1. 58

59 Найти: Найти: Найти: 7. Проекция вектора на ось. Пример 1. Даны точки A(1, 1, ) и B(3,, 3). Найти: Координаты вектора AB : AB {3 1, ( 1), 3 } AB{, 3,1}. Длину вектора AB : Так как, AB Найти: Разложение вектора Так как i j k, значит AB по базису; значит AB i 3 j k. AB : Направляющие косинусы вектора 3 1 cos, cos, cos Единичный вектор (орт), соответствующий вектору Так как 0 значит,,., AB : 59

60 7. Проекция вектора на ось. Пример. Дан вектор AB i j k Найти координаты вектора AС. и точки В(1,, -1) и С(,, 5). Решение А Найдем координаты вектора BC : BC{1, 0, 6}. AC i j k i 6k i j 8k. В 60

61 i j 3k 7. Проекция вектора на ось. Пример 3. Выяснить, при каких значениях параметров и коллинеарны. i j k и вектора Решение Два вектора коллинеарны, если существует некая константа c такая, что имеет место соотношение Отсюда следует, что откуда c. i j 3k с( i j k), ( с) i ( c) j (3 c) k 0. Так как орты линейно независимы, ибо они представляют собою базис, то должны обращаться в нуль коэффициенты этой линейной комбинации, т. е. с 0 с 0, 3 с 0 3 откуда,. 61

62 8. Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. = cos( ) Если хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение этих векторов равно нулю (по определению). Скалярное произведение векторов число (скаляр). Скаляр лат. scle лестница, шкала. Ввел в 1845г. У. Гамильтон, ирландский математик. 6

63 8. Скалярное произведение векторов. = 90 0 = cos 90 0 = 0 Если векторы и перпендикулярны, то скалярное произведение векторов равно нулю. = 0 Обратно: если, то векторы и перпендикулярны. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. = 0 63

64 8. Скалярное произведение векторов. < 90 0 = > 0 cos > 0 Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда, когда угол между векторами острый. > 0 <

65 8. Скалярное произведение векторов. > 90 0 = cos < 0 Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой. < 0 >

66 8. Скалярное произведение векторов. Если = 0 0 = cos 0 0 = Если = = cos180 0 = 66

67 8. Скалярное произведение векторов. = 0 0 = cos 0 0 = = Скалярное произведение скалярным квадратом вектора Таким образом, = называется и обозначается откуда. Длина вектора равен квадратному корню из его скалярного квадрата. 67

68 8. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения: 1) пр пр. Действительно, пр cos, тогда cos пр. Отсюда следует формула для нахождения проекции одного вектора на другой: пр.. ) Переместительное или коммутативное свойство: 3) Сочетательное (ассоциативное) свойство:. 4) Распределительное (дистрибутивное) свойство относительного сложения векторов: c c. 68

69 8. Скалярное произведение векторов. Выведем формулу скалярного произведения в координатной форме. {а ;а ;а } { ; ; } i j k т.к. i j k,. i j k 1, i j j i 0, i k k i 0, k j j k 0. В частности,. 69

70 M 8. Скалярное произведение векторов. F N точку N равна произведению силы F и перемещения MN на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов встречается в физике. Например, из курса механики известно, что работа A постоянной силы F при перемещении тела из точки M в A = F MN cos A = F MN 70

71 8. Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение двух векторов позволяет решить следующие задачи векторной алгебры: 1. Нахождение угла между двумя векторами.. rccos rccos Отсюда нетрудно получить условие ортогональности (перпендикулярности) двух векторов в координатной форме:

72 8. Скалярное произведение векторов. Пример 1. Даны вершины треугольника: A(; 1; 3), B(1; 1; 1), C(0; 0; 5). Найти ABC. Решение cosabc BABC BA BC. BA{ 1,, }, BA , BC{ 1, 1, 4}, BC , BABC 1 8 9, cosabc, ABC 45 о. 7

73 8. Скалярное произведение векторов.. Нахождение проекции одного вектора на направление другого Пример. Даны три точки A(; 3; 5), B(1; ; ), C(3; 5; 4). Найти пр AB. ВС Реше ние BC {, 3, }, BC , AB { 1, 1, 3}, AB , AВ BC , AB BC 11 пр ВС AB. BC 17 73

74 8. Скалярное произведение векторов. 3. Нахождение длины вектора. Пример 3. Дан вектор m n, Реше ние Найти длину вектора. m n, m n. 3. Найдем скалярный квадрат вектора. ( m n) ( m n) m m n n m m n cos m n n 1 4 cos

75 8. Скалярное произведение векторов. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах m n и m n, где m, n единичные векторы, угол между которыми равен 60. Решение d1 (3m n) (3 m n) 9m 6m n n 9 m 6 m n cos m n n cos d ( m 3n) ( m 3n) m 6 m n cos m n 9 n

76 8. Скалярное произведение векторов. 4) Доказательство ортогональности векторов Пример 5. При каком значении α ортогональны вектора i j k. i Решение Принимая во внимание условие ортогональности двух векторов 0, получим j k и 5) Задачи с механическим содержанием F F 3 {1; 7; 3}, Пример 6. Даны три постоянные силы F 1{5; 3; }, {; 4; 6}, приложенные в одной точке. Найти работу равнодействующей этих сил на прямолинейном перемещении из положения М 1 (4,4,6) в положение М (7,5,). Решение Равнодействующая сила F F F F 8i 6 j k 1M 4 Вектор перемещения S M {3,1, }. Искомая работа A F S ( 4). 76

77 9. Векторное произведение векторов. Введем еще одну операцию над векторами. Эта операция существует только в трехмерном векторном пространстве, на плоскости она не определена. Векторным произведением двух ненулевых векторов называется вектор, удовлетворяющий трем требованиям: 1) ) = sin( ) 3) Тройка векторов является правой. 77

78 9. Векторное произведение векторов. 78

79 9. Векторное произведение векторов. Геометрический смысл векторного произведения. sin( ) sin( ) Для неколлинеарных векторов модуль их векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. 79

80 9. Векторное произведение векторов. Свойства векторного произведения: 1 ). Свойство очевидно, так как синус функция нечетная. ) Свойство сочетательности относительно скалярного множителя:. 3) Распределительное свойство относительно сложения векторов: c c, c d c c d d. 80

81 8. Векторное произведение векторов. Если вектора коллинеарные, то = 0 0 sin 0 0 Признак коллинеарности векторов: Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю. В частности, имеем для ортов: 81

82 9. Векторное произведение векторов. Рассмотрим векторные произведения различных ортов. Очевидно, что векторное произведения двух различных ортов будет равно третьему орту, взятому: со знаком +, если тройка ортов правая; со знаком, если тройка ортов левая. Если векторы правой тройки изменять непрерывно, то в любой момент такой деформации эта тройка векторов будет оставаться правой тройкой. Тогда Если векторы левой тройки изменять непрерывно, то в любой момент такой деформации эта тройка векторов будет оставаться левой тройкой. Тогда 8

83 9. Векторное произведение векторов. Выразим теперь векторное произведение через координаты векторов, его составляющих. k j i k j i i j i i k i j i j j k j k i k j k k k k j i k j i k j i 83 83

84 9. Векторное произведение векторов. Векторное произведение имеет простую механическую интерпретацию. M l r F Если сила F l, поворачивает тело вокруг оси то момент M силы F относительно т. О, равен M r F. 84

85 9. Векторное произведение векторов. Векторное произведение двух векторов позволяет решить следующие задачи векторной алгебры. 1) Нахождение площади параллелограмма и треугольника 85

86 9. Векторное произведение векторов. Решение Пример 1. Найти площадь треугольника с вершинами в точках A( 0,1, ), B( 0, 4, 1), C(,1, 1). S AB 1 AB AC, 0, 3, 3 ; AC, 0, 3. i j k AB AC , 6, 6, 0 3 AB AC , S 1 AB AC 153 6,18 86

87 9. Векторное произведение векторов. Пример. Найти площадь треугольника, построенного на векторах Решение S 1,, 1 S 6 sin, sin 1. 87

88 9. Векторное произведение векторов. ) Нахождение векторов, перпендикулярных данной плоскости Пример 3. Найти единичный вектор, перпендикулярный к плоскости, в которой лежат точки A( 0,1, ), B( 0, 4, 1), C(,1, 1 ). Решение c AB AC В силу определения векторного произведения векторов AB c AB AC. 0, 3, 3, AC, 0, 3, c AB AC i j k , 6, 6, 0 3 Поставленной задаче удовлетворяют два единичных вектора 0 9i 6 j 6k c

89 9. Векторное произведение векторов. 3) Доказательство коллинеарности векторов Решение Условие коллинеарности: c1 c 0. i j k c1 c 0 6i 6 j 18k 0, c 1{,, 0}, c {4, 5, 3}. т. е. вектора неколлинеарны. 4) Задачи механического содержания Решение AB{ ; 3; }, M A i ( F) AB F 3 7i 6 j 16k. 4 j k 1 89

90 10. Смешанное произведение векторов. Определение 1. Смешанным произведением векторов называется скалярное произведение вектора и векторного c. произведения вектора на вектор, т. е. выражение c Свойства смешанного произведения: c c. c,, 1) Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке перемножаемых векторов. ) При перестановке двух соседних векторов модуль смешанного произведения не меняется, а знак меняется на противоположный, т. к. тройка меняет свою ориентацию. c c 3) c c c, т.е. порядок знаков умножения не важен. Поэтому принято смешанное произведение обозначать c. c 90

91 10. Смешанное произведение векторов. Выразим теперь смешанное произведение через координаты векторов, его составляющих., c c c k j i c. ; ; c c c c c c c или c c c c c c c. c c c c. c c c 90 90

92 10. Смешанное произведение векторов. Теорема 1. Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда вектора,, c Доказательство. Необходимость. c 0. Возможны два случая. 1) c 0, т.е. вектора коллинеарны, компланарны. а три вектора, два из которых коллинеарны, всегда компланарны. ) c 0, но c 0. Тогда c. Это значит, что три вектора лежат в одной плоскости. 9

93 10. Смешанное произведение векторов. Достаточность.,, c - компланарны. Тогда их можно поместить в одной плоскости. Вектор перпендикулярен плоскости, а, следовательно, и Тогда по правилам скалярного произведения c 0. 93

94 10. Смешанное произведение векторов. Геометрическмй смысл смешанного произведения векторов. c Теорема. Смешанное произведение некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, сторонами которого служат эти вектора, взятому со знаком +, если тройка векторов правая, и со знаком -, если тройка левая. Доказательство. c ( c) c cos(, c) Но cos (, c ) c. А В D cos(, c) h, c S, тогда c S h V. 94

95 10. Смешанное произведение векторов. Смешанное произведение трех векторов позволяет решить cледующие задачи векторной алгебры: 1) Доказательство компланарности (линейной зависимости) трех векторов Пример 1. Показать, что точки А(1,, 1), В(3, 3, 3), С(4, 1, ) и D(5, 4, 5) лежат в одной плоскости. Решение А B D C AB {;1; }, AС { 3; 1;1}, AD{4; ; 4}. Если точки А, В, С и D лежат в одной плоскости, то и вектора лежат в одной плоскости, а тогда смешанное произведение этих векторов равно нулю. 1 AB AC AD Следовательно, точки лежат в одной плоскости

96 10. Смешанное произведение векторов. Решение 1 1 c Следовательно, векторы компланарны, а значит, они линейно зависимы, 1 3 т. е. существуют константы λ, μ и ν такие, что c 0. i j k 3i 4 j k i j 3k 0, 3 i 4 j 3 k Данная система имеет бесчисленное множество решений. c c 0. откуда получим искомую линейную зависимость: c 0 96

97 10. Смешанное произведение векторов. ) Нахождение объема параллелепипеда и тетраэдра S С D В А 97

98 10. Смешанное произведение векторов. 1 S V Пример 3. В пирамиде АВСD найти высоту, опущенную из вершины A, если в прямоугольной декартовой системе координат A ), B( ), C( 0,1, 3), D( 1,1, 0). Решение DA (, 1, 0, 1, 3, 0, 0, DB3,, DC1, 0, 3, DB DC DB DC i j k 3 6, 7,, , B Знак показывает, что тройка векторов левая. 3V H S 33 1, / A E C D 98

99 Институт фундаментального образования Кафедра высшей математики В.П.Белкин Презентация для студентов механиков 99

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только

~ 1 ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Скалярные и векторные величины, виды векторов. Определение: Скалярной называется величина, которая характеризуется только ~ ~ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА калярные и векторные величины, виды векторов. Определение: калярной называется величина, которая характеризуется только o своим значением m, T C. Определение: Векторной называется

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1.

определения которых K Y отрицательное) называются скалярами. Два скаляра X X одинаковой размерности Рис. 1. Занятие 1. Векторный анализ. Краткое теоретическое введение. Физические величины, для Z Z ϕ (M) определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются скалярами.

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.5 Аннотация Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич.

Векторная алгебра 1.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. М.Л. Каган, Т.С. Кузина, Т.А. Мацеевич. МЛ Каган ТС Кузина ТА Мацеевич Векторная алгебра Предлагаемый электронный вариант учебного пособия подготовлен на основе книги МЛ Кагана и МВ Самохина «Математика в инженерном вузе Алгебра и геометрия»

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5

Аналитическая геометрия. Лекция 1.5 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами

4.1. Определение вектора и линейные операции над векторами 4 Векторная алгебра 73 41 Определение вектора и линейные операции над векторами Пару точек A и B будем называть упорядоченной если известно какая из них первая а какая - вторая Определение 41 Отрезок концы

Подробнее

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число

Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Рассмотрены Линейные операции над векторами: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число Далее - несколько нелинейных операций над векторами Для пары векторов, число вектор скалярное произведение

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Составитель: В.П.Белкин. Занятие 1. Действия над векторами. x 1 РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по теме "ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА" Составитель: ВПБелкин Пример Занятие Действия над векторами Построить векторы,,, где ( 4;) и ( ; ) Найти их проекции на координатные оси Решение Построим точки

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения

Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения Тема 1-14: Векторное и смешанное произведения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт естественных наук и математики Департамент математики, механики и компьютерных наук Алгебра и геометрия

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА

Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского. В.А. Иванов, Д.В. Иванов МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени НГ Чернышевского ВА Иванов, ДВ Иванов МАТЕМАТИКА Основы линейной алгебры и аналитической геометрии Учебное пособие для студентов биологического факультета

Подробнее

Лекция 2: Линейные операции над векторами

Лекция 2: Линейные операции над векторами Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению

Подробнее

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось

Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ. 1. Проекция вектора на ось Лекция 4 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В этой лекции мы введем понятие скалярного произведения векторов и рассмотрим его свойства. Для этого нам понадобятся некоторые геометрические

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Тема 1-12: Линейные операции над векторами

Тема 1-12: Линейные операции над векторами Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 6 СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1. Скалярное произведение Определение 1. Углом ϕ между векторами a и b называется тот из углов, образованный

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения.

Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

Подробнее

3.4 Векторы. Метод координат

3.4 Векторы. Метод координат 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 167 3.4 Векторы. Метод координат 3.4.1 Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства

Подробнее

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение

Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение Лекция 3. Алгебра векторов. Скалярное произведение ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЛЯРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ Определяются только числовым значением (площадь S, длина L, объем, работа, масса ) Модулем (длиной) вектора AB

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ

МЕТОД КООРДИНАТ. ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» МЕТОД КООРДИНАТ ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНУЮ АЛГЕБРУ НС Анофрикова ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических специальностей

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов

Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов Лекция 6 Тема: Векторное произведение векторов План лекции Ориентация векторного базиса в пространстве Определение векторного произведения двух векторов Свойства векторного произведения 4 Вычисление векторного

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:

Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: Семинар 5. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определение вектора. Коллинеарные и компланарные векторы.. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Лекция 4. Векторное и смешанное произведения векторов Упорядоченная тройка, некомпланарных векторов называется правой (левой), если, приведя их к общему началу, кратчайший поворот от первого вектора ко

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА Конспект лекции 11 ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 0. План лекции 1. Скалярное произведение. 1.1. Определение скалярного произведения. 1.2. Эквивалентная запись через проекции. 1.3. Доказательство линейности по

Подробнее

5. Система координат. Координаты точки

5. Система координат. Координаты точки 5. Система координат. Координаты точки 1. Понятие системы координат Определение. Системой координат в пространстве (на плоскости) называется совокупность базиса пространства (соответственно базиса плоскости)

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ» Г.П. Мартынов МАТЕМАТИКА Часть ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Методические указания для студентов -го

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань

ГУРЬЯНОВ Н.Г., ТЮЛЕНЕВА О.Н. АЛГЕБРА. Учебное пособие. Казань Казанский (Приволжский) федеральный университет Институт математики и механики им НИ Лобачевского ГУРЬЯНОВ НГ ТЮЛЕНЕВА ОН АЛГЕБРА Учебное пособие Казань УДК 7 Печатается по решению учебно-методической

Подробнее

Лекция 4: Векторное произведение векторов

Лекция 4: Векторное произведение векторов Лекция 4: Векторное произведение векторов Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой и следующей

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов Лекция 3 Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БАЗИСОВ И ОРИЕНТАЦИЯ Пусть на плоскости заданы два произвольных базиса (условно назовем их старым и новым) e 1, e, f 1,

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 2. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 2. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее