ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ"

Транскрипт

1 Исследование операций Определение Операция - мероприятие, направленное на достижение некоторой цели, допускающее несколько возможностей и их управление Определение Исследование операций совокупность математических методов, позволяющих принять обоснованное решение для получения оптимального результата Определение Решение выбор одной из нескольких возможностей Определение Оптимальное решение решение, предпочтительное по отношению к другим по некоторому принципу ИО включает в себя следующие разделы: ) программирование: - линейное, -нелинейное, -динамическое ) теория игр )сетевое планирование и графическая оптимизация ) теория массового обслуживания 5) системный анализ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Задачи, приводящие к понятию линейное программирование Задача Задача об оптимальном использовании ресурсов Предположим, что предприятие выпускает различных изделий Для их производства требуется различных видов ресурсов (разных видов сырья, вспомогательных материалов, запасов машинного времени, людских ресурсов и тд) Эти ресурсы ограничены и составляют в планируемый период соответственно условных единиц Известны также технологические коэффициенты,,,, которые показывают, сколько единиц ого ресурса требуется для производства единицы, ;, Пусть прибыль, получаемая предприятием при реализации единицы изделия ого вида, равна с,,,, В планируемый период все показатели, с и предполагаются постоянными Требуется составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от реализации была бы наибольшей Составим математическую модель задачи, те выразим экономические требования в виде соответствующих математических зависимостей уравнений, неравенств и тд,,, ого вида изделия Система линейных неравенств вместе с условием неотрицательности переменных составляют систему ограничений данной задачи по объёму соответствующего ресурса, поскольку в ходе выполнения плана можно использовать либо весь запас этого ресурса, либо часть его Требуется составить оптимальный план работы предприятия, те найти такие неотрицательные значения,,,, которые бы удовлетворяли системе ограничений, и при которых прибыль от реализации всей продукции была бы максимальной Функция в данном случае выражает суммарную прибыль, поэтому эту функцию называют целевой

2 Задача Задачи о смесях (о диете) К группе задач о смесях относят задачи по отысканию наиболее дешевой смеси, которая должна иметь в своём составе различных компонент в определённых количествах, а сами компоненты являются составными частями исходных материалов Обобщённая таблица задачи о смесях имеет следующий вид: Продукты хлеб молоко мясо Нормы Полезные вещества Белки Жиры Углеводы Коэффициенты показывают содержание полезного вещества в единице продукта - минимальная норма потребления полезного вещества - количество продукта вида, потребляемого за некоторое время с - стоимость единицы данного продукта Тогда математическая модель задачи имеет вид:,,, Задача Транспортная задача Простейшей транспортной задачей является задача о перевозках некоторого однородного груза от поставщиков к потребителям с целью обеспечении минимальных затрат на перевозки поставщиков, - мощность поставщика в планируемый период, потребителей, - спрос потребителя на этот же период - стоимость поставки единицы груза от поставщика к потребителю, - количество продукции, которое планируется перевезти от поставщика к потребителю, ;, Задачу можно формализовать в виде матрицы перевозок Математическая модель задачи:,,,,

3 Класс экономических задач, которые приводятся к такой форме, обычно называют оптимизационные задачи линейных моделей экономики Раздел высшей математики, рассматривающий решение задач подобного типа, называется линейное программирования ОБЩАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Определение Общей задачей ЛП называется задача вида:,, k, k, l, l, () () () (),, r (5), r, s (6), s, (7) где,, - заданные постоянные величины Определение Приведённая задача () - (7) называется общей задачей линейного программирования Определение Функция () называется целевой функцией С с,,, - коэффициенты целевой функции Элементы матрицы строки, Определение Система ()-(7) называется системой ограничений A матрица системы ограничений B - матрица-столбец свободных членов ограничений T T X - матрица-столбец неизвестных Определение Всякое решение, удовлетворяющее системе ограничений, называется планом ~ T задачи линейного программирования: X ~ ~ ~ T Определение План Х называется оптимальном планом, если при X ~ выполняется: ~ - для задачи на максимум Х Х, ~ - для задачи на минимум Х Х Определение Решить задачу линейного программирования, значит найти оптимальный план задачи или доказать, что он не существует

4 вида ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Определение Основной задачей линейного программирования называется задача следующего,,,, (),, () Эту задачу можно записать в матричной форме X CX AX B X B Теорема Всякая общая задача линейного программирования может быть сведена к основной Доказательство: Пусть общая задача линейного программирования сформулирована как задача поиска минимума функции () при ограничениях ()-(7) Тогда для перехода к основной задаче необходимо выполнить следующие операции: ) Перейти от задачи минимизации к эквивалентной задаче максимизации, те : неравенства ~ и ~ эквивалентны ) Перейти от неравенств типа () к уравнениям типа () Для этого введём дополнительные неотрицательные переменные:,, l,, l ) Перейти от неравенств типа () к уравнениям типа () Это достигается также путем введения дополнительных неотрицательных переменных:, l, k, l, k ) Заменить неположительные переменные (6) на неотрицательные типа (5) Это достигается заменой переменных: t, t, r, s 5) Перейти от произвольных переменных (7) к неотрицательным типа (5) Заменим переменные типа (7) разностью двух неотрицательных, переменных: t s, где t, s, s, 6) Перейти к положительным свободным членам в (9) Если существуют, то обе части соответствующего ограничения достаточно умножить на (-) Теорема доказана В некоторых частных случаях (например, когда в задаче только две переменные) может быть решена непосредственно общая задача линейного программирования Для этого можно использовать графический метод решения (8) (9)

5 Лекция ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Рассмотрим частный случай двух переменных:,, Перейдём от общей задачи ЛП к основной задаче ЛП, для этого введём дополнительные неотрицательные переменные:,,5 5 Необходимо ) найти множество планов; ) выбрать из них оптимальный план Для неоднородной системы линейных уравнений AX B согласно теореме Кронекера- Капелли возможны следующие варианты: ~ ) rga - система не имеет решений, а значит, задача ЛП не имеет плана ~ ) rga rga - система имеет единственное решение Этот случай вне задачи линейного программирования ~ ) rga rga - задача имеет бесконечное множество решений Из них выбирается оптимальное Замечание: Возможна ситуация, когда система имеет решение, но задача не имеет плана,, так как это решение не удовлетворяет условию По данным ограничениям строим многоугольник допустимых решений Очевидно, что область допустимых решений задачи образуется пересечением полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством Так как система с пятью неизвестными и тремя уравнениями, следовательно, существуют базисные и свободные переменные Базисным решением системы называется решение, при котором все свободные переменные равны нулю Таким образом, во всех вершинах многоугольника располагаются базисные решения системы, все остальные решения находятся либо внутри многоугольника, либо быть может на сторонах Нахождение оптимальных решений (планов) задачи можно выполнить, если изобразить на координатной плоскости линии уровня целевой функции ost (семейство параллельных прямых) Направление возрастания целевой функции определим с помощью градиента вектора, координатами которого являются частые производные и который указывает направление наибольшего возрастания функции grd N ; - вектор, перпендикулярный к линии уровня,направленный в сторону увеличения целевой функции grd ; до такого предельного положения пока, хотя бы одна точка из множества допустимых решений всё ещё будет принадлежать линии уровня (рис) Отсюда вывод: решения всегда находятся в вершинах многоугольника, те среди базисных решений Будем перемещать линию уровня в направлении вектора

6 Заметим, что множество точек, удовлетворяющих неравенствам, может быть ограниченным, неограниченным и пустым а) Если функция ограничена на множестве планов (рис ), тогда надо найти все базисные решения задачи, а их конечное количество и выбрать из них оптимальное Другими словами, необходимо разработать эффективный метод перебора этих вершин и выбора из них оптимального решения б) Задача имеет не единственное решение (рис ), когда одно из рёбер многоугольника параллельно линиям уровня целевой функции Тогда любое решение запишется:, Если, то, если, то в) Функция неограниченна на множестве планов (рис ) В таком случае максимальное или минимальное значение целевой функции не достигается Вывод: Необходимо разработать метод, который позволял бы исключить или определить отсутствие планов задачи, неограниченность целевой функции на множестве планов; получить оптимальный план; указать множество решений, если такой оптимальный план не единственный 5 СИМПЛЕКС-МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ КАНОНИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

7 Определение Основная задача называется канонической, если её ограничения имеют каноническую форму, те каждое уравнение содержит переменную с коэффициентом плюс единица, не входящую в остальные уравнения Пример Следующая задача является канонической z,,,, Расширенная матрица системы ограничений имеет вид: Особенностью канонической задачи является то, что она всегда имеет план Согласно теории решения систем линейных уравнений можно отметить следующее: ) ранг матрицы ограничений равен числу уравнений; ) переменные с коэффициентом плюс единица базисные переменные; ) остальные переменные свободные; ) базисные переменные линейно выражаются через свободные, множество значений базисных переменных (план задачи) может быть получено, если свободным переменным задать какие-либо произвольные значения Определение План задачи называется базисным (опорным), если он получен при нулевых значениях свободных переменных Для нашего примера баз - базисный план Замечание Если задача имеет оптимальный план, то она имеет и оптимальный базисный план Следовательно, оптимальный план следует искать среди базисных планов, которых имеется конечное число Чтобы составить алгоритм целенаправленного перебора базисных планов, удобно использовать симплекс-матрицу, которая получается добавлением к расширенной матрице системы ограничений строки целевой функции, которую в дальнейшем будем называть индексной строкой A B Симплекс-матрица имеет вид C Z В частности, для приведенного выше примера, симплекс-матрица запишется так: z Исключим базисные переменные из индексной строки, воспользовавшись для этого стандартной процедурой исключения Жордана Гаусса В приведённом примере, чтобы исключить из индексной строки переменные и, необходимо вычесть из нее первую строку, умноженную на и вторую, умноженную на : z стр с стр с

8 В итоге элементы индексной строки примут новые значения: с~ с, где ~ ~ ~ z z z z z Между симплекс-матрицей и канонической задачей существует взаимно-однозначное соответствие В частности, в приведенном примере последняя строка соответствует записи целевой функции в виде: z z с ~ ~ Так как в плане, соответствующему данному базису, то z z, те z z Отсюда видно, что в последней клетке симплекс-матрицы находится значение целевой функции при данном базисном плане ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ СИМПЛЕКС-МЕТОДА ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ Все доказательства проведем для приведённого примера Распространение доказательства на симплекс-матрицы произвольной размерности не представляет каких-либо сложностей Теорема Критерий оптимальности плана Если в индексной строке симплекс-матрицы нет положительных элементов, то базисный план, соответствующий данной таблице, оптимален Доказательство: Пусть с ~, ~ Покажем, что план - оптимален, те ~ ~ Возьмём любой другой план, например ~ не совпадающий с исходным Получим z z ~, тк, с ~, то z z, то есть ~ z Следовательно, ~ ~, а значит по определению оптимальное решение Теорема Неограниченность функции на множестве планов (об отсутствии оптимального плана) Если в индексной строке существует хотя бы один положительный элемент, а в столбце над ним нет положительных элементов, то целевая функция не ограничена на множестве планов, те задача не имеет решения Доказательство: Пусть, например с ~, и Рассмотрим, где Так как ;, тк, ; ;, тк,, следовательно - план задачи

9 Целевая функция получит значение z Lz ~ ~ L в силу того, что с ~ Таким образом, целевая функция не ограничена и, следовательно, задача оптимального плана не имеет Теорема Принцип улучшения плана Если в индексной строке есть хотя бы один положительный коэффициент и в столбце над ним хотя бы одно положительное число, то план может быть улучшен (те можно получить другой базисный план, на котором целевая функция увеличится) Доказательство: Пусть с ~, и Рассмотрим план, где Тогда, имеем: Решением этой системы является ;, целевая функция примет значение z ~, ~ ~ z z ; ; допустим ; вторая переменная вышла из базиса и стала свободной переменной Тогда - план ~, тк ~, то, те значение целевой функции увеличилось Докажем, что полученный план является базисным Ход доказательство одновременно служит иллюстрацией процедуры улучшения плана симплекс-метода Разделим первую строку (тепервое уравнение ограничений) на величину и занулим все элементы данного столбца (исключим эту переменную из остальных уравнений и целевой функции) Получим симплекс-матрицу

10 ~ ~ ~ ~ z z Полагая новые свободные переменные, получим базисный план, что и требовалась доказать Вывод Процедура улучшения плана является аналогом процедуры Жордана Гаусса по исключению неизвестных Замечание: Процедура выполняется до тех пор, пока не будут выполнены условия теоремы СЛУЧАЙ НЕЕДИНСТВЕННОСТИ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА Определение Базисный план называется вырожденным, если по крайне мере одна из базисных переменных равна нулю Теорема Случай неединственности оптимального плана Если в симплекс матрице оптимального решения в индексной строке элемент, соответствующий свободной переменной равен, а в столбце над ним есть хотя бы один положительный элемент, стоящий в строке, для которой свободный член не равен нулю, то задача имеет бесконечное множество решений Пусть ~ ~ z z Первый оптимальный план, полученный ранее Пусть, Возьмем за ключевой элемент, тогда имеем новый базисный план Отметим, что при этом пробразовании значение целевой функции z A B, A B Докажем, что всякая линейная комбинация полученных планов также является решением, осталось прежним Рассмотрим где Имеем A A A хотя и небазисный A B B B, следовательно, х - план,

11 получим: В силу линейности оптимальный план Убедимся, что х> z z z Рассмотрим = Неотрицательность х, х, х очевидна Покажем, что х, следовательно, х - АЛГОРИТМ СИМПЛЕКС-МЕТОДА Шаг Подготовительный По условиям канонической задачи составить симплекс-матрицу и занулить в индексной строке элементы, соответствующие базисным переменным, используя процедуру Жордана-Гаусса Шаг Анализ симплекс-матрицы Если в индексной строке нет положительных элементов, то получено оптимальное решение, перейти на шаг Если в индексной строке есть положительный элемент, а в столбце над ним нет ни одного положительного элемента, то целевая функция не ограничена на множестве планов Если в индексной строке есть положительный элемент и в столбце над ним есть хотя бы один положительный элемент, то план может быть улучшен, перейти на шаг Шаг Улучшение плана Выбрать столбец, соответствующий положительному элементу в индексной строке ( этот столбец называют - ключевой столбец) Если в индексной строке несколько положительных элементов, то выбираем максимальный элемент Для положительных элементов ключевого столбца составить отношения, свободных членов к этим элементам и выбрать из них минимальное Элемент столбца, обеспечивающий этот минимум ключевой элемент, а соответствующая строка ключевая строка На месте ключевого элемента получаем (разделив ключевую строку на элемент, соответствующий минимальному отношению) и зануляем все остальные элементы ключевого столбца, используя процедуру Жордана-Гаусса Перейти к шагу Шаг Оформление решения Полагая свободные переменные равными нулю, получить значения базисных переменных и записать оптимальный план Записать оптимальное значение целевой функции z z z z МЕТОД ИСКУССТВЕННОГО БАЗИСА ПОЛУЧЕНИЯ КАНОНИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ Пусть задана основная задача

12 Составим вспомогательную задачу y B X X B CX AX B X AX EY y B EY Поменяв знак целевой функции Fy y y EY, получим каноническую задачу, которая может быть решена симплекс-методом Переменные y составляют базис этой задачи Теорема 5 Для того чтобы исходная задача имела базисный план, необходимо и достаточно, чтобы вспомогательная задача имела оптимальный план, причем Y, FY Необходимость Пусть исходная задача имеет базисный план, те A B Тогда Y A EY B B EY B EY Но так как y, то y, и F - минимальное из всех возможных значений Достаточность Допустим Y - оптимальный план и y y, тогда A E B A B, а значит - план исходной задачи Замечание Тк y вспомогательной задачи составляют базис, а после получения оптимального решения они переходят в свободные переменные, следовательно, базис находится среди переменных, а в силу того, что число строк у исходной задачи и вспомогательной задачи одинаково, то полученные ограничения являются каноническими А значит из основной задачи мы получим каноническую задачу Замечание Если в исходной задаче одна из переменных уже базисная, то можно сократить число вспомогательных переменных y, не вводя в указанное уравнение вспомогательную переменную Теорема 6 О трёх альтернативах Всякая задача линейного программирования может иметь одну из трёх возможностей: Задача не имеет планов Целевая функция не ограничена на множестве планов Существует оптимальное решение, возможно не единственное Доказательство: Сведя общую задачу к основной задаче, применив метод искусственного базиса и применив симплекс-метод получим один из двух результатов: )Нет планов у вспомогательной задачи, следовательно, нет планов исходной задачи Анализ закончен, альтернатива ) Существует план, следовательно, задача приведена к каноническому виду Используем симплексметод Решая каноническую задачу возможно получить два результата - целевая функция не ограничена на множестве планов Анализ закончен, альтернатива - получаем оптимальное решение Анализ закончен, альтернатива АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ) Свести общую задачу к основной ) Свести основную задачу к канонической ) Применить алгоритм симплекс- метода


Двойственность в линейном программировании

Двойственность в линейном программировании Двойственность в линейном программировании Двойственными называются пары следующих задач: z b b, k k,, r r, w, k k, b, r r, Принципы составления двойственных задач: Если исходная задача на максимум, то

Подробнее

Задача 1. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4x+3y при следующих ограничениях:

Задача 1. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4x+3y при следующих ограничениях: Задача. (необходимо решить графическим методом) Найти максимум целевой функции L=4+y при следующих ограничениях: Решить задачу при дополнительном условии (ДУ): ДУ: Найти минимум целевой функции L=-y при

Подробнее

j уплачивается комиссионный сбор в размере cij

j уплачивается комиссионный сбор в размере cij Глава ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА.. Постановка задачи Финансово-экономическая мотивировка Начнем рассмотрение со следующей финансовой задачи. Задача об инвестициях. Две компании, реализующие некий инвестиционный

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи. Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок. Распространенность в

Подробнее

Графическое решение задачи

Графическое решение задачи Решить задачу линейного программирования, где 3x12x2 8 x14x2 10 x1 0 x 2 0 LX3x14x2 max а) геометрическим способом, б) перебором базисных решений, в) симплекс-методом. Графическое решение задачи L X 3x14

Подробнее

Контрольная работа по ММУ. Вариант 1. Задание 1. Решить графическим методом задачу линейного программирования:

Контрольная работа по ММУ. Вариант 1. Задание 1. Решить графическим методом задачу линейного программирования: Контрольная работа по ММУ Вариант Задание Решить графическим методом задачу линейного программирования: а) найти область допустимых значений многоугольник решений); б) найти оптимумы целевой функции. Дано:

Подробнее

Этап 3 Методы решения задачи линейного программирования (1)

Этап 3 Методы решения задачи линейного программирования (1) стр. Этап 3 Методы решения задачи линейного программирования Дано: f (X) = x + 3x 2 extr + x x 2 () 2x + x 2 (2) x, x 2 0 (3) а) Решить задачу графически Алгоритм графического решения задачи. Построить

Подробнее

5 Транспортная задача

5 Транспортная задача 1 5 Транспортная задача Важный частный случай задач линейного программирования транспортные задачи Это математические модели разнообразных прикладных задач по оптимизации перевозок Распространенность в

Подробнее

Линейная алгебра

Линейная алгебра Линейная алгебра 08.12.2012 Линейные модели в экономике Линейное программирование Линейная алгебра (лекция 13) 08.12.2012 2 / 25 Задача линейного программирования: F (x 1, x 2,..., x n ) = n c j x j max(min),

Подробнее

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Эквивалентные формулировки задачи линейного программирования. Формулировка задачи линейного программирования. Напомним, что математически задача

Подробнее

Построение математической модели задачи. Симплекс-метод решения задачи, метод искусственного базиса.

Построение математической модели задачи. Симплекс-метод решения задачи, метод искусственного базиса. ) Задача о планировании производства. Производственному участку может быть запланировано к изготовлению на определённый плановый период времени два вида изделий: A и B. На производство единицы изделия

Подробнее

Линейное программирование

Линейное программирование Линейное программирование Задача 1... 2 Задача 2... 3 Задача 3... 5 Задача 4... 7 Задача 5... 10 Задача 6... 12 Задача 7... 15 Задача 8... 19 Задача 9... 21 Задача 10... 24 Задача 11... 27 Задача 1. Составить

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Тема 1. Определители. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Тема 1. Определители. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера Тема. Определители. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера При умножении определителя на число на это число умножаются все элементы определителя первые две строки все элементы какой-нибудь

Подробнее

Экономико-математические методы и модели.

Экономико-математические методы и модели. ИНСТИТУТ МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Экономико-математические методы и модели. МОСКВА - 00 Практические задания

Подробнее

К теме «Линейное программирование. Симплексный метод решения задач ЛП.»

К теме «Линейное программирование. Симплексный метод решения задач ЛП.» К теме «Линейное программирование. Симплексный метод решения задач ЛП.» Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений

Подробнее

Лекции подготовила доц. Мусина М.В. Лекция 2. Основная задача линейного программирования. (в матричной форме A x b, где b 0 )

Лекции подготовила доц. Мусина М.В. Лекция 2. Основная задача линейного программирования. (в матричной форме A x b, где b 0 ) Лекция 2. Основная задача линейного программирования. Все задачи линейного программирования могут быть приведены к стандартной форме, в которой целевая функция должна быть максимизирована, а все ограничения

Подробнее

Введение. 1. Задача линейного программирования. Основные понятия

Введение. 1. Задача линейного программирования. Основные понятия Введение Данные методические указания адресованы студентам заочной формы обучения всех специальностей, которые будут выполнять контрольную работу т 4 по высшей математике, и охватывают раздел математического

Подробнее

c m,1 c m,2 c m,n x m,1 x m,2 x m,n a m b 1 b 2 b n Рис. 1. Структура транспортной таблицы

c m,1 c m,2 c m,n x m,1 x m,2 x m,n a m b 1 b 2 b n Рис. 1. Структура транспортной таблицы Транспортная задача. 1. Транспортная задача в матричной постановке Транспортная задача формулируется следующим образом. Пусть m поставщиков располагают a i (i = 1, 2,..., m) единицами некоторой продукции,

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ижевский государственный технический университет кафедра САПР МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по дисциплине "Системный анализ" на тему

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет. В. Ф. Ходыкин МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет. В. Ф. Ходыкин МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет В. Ф. Ходыкин МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (Тексты лекций для студентов экономических специальностей)

Подробнее

Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплекс-метод решения задач линейного программирования Симплекс-метод решения задач линейного программирования Основным численным методом решения задач линейного программирования является так называемый симплекс-метод. Термин «симплекс-метод» связан с тем

Подробнее

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Глава 2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 2.1. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Для решения задач линейного программирования симплексметодом следует выполнить ряд

Подробнее

4 Методы нахождения первоначальной крайней точки

4 Методы нахождения первоначальной крайней точки 4 Методы нахождения первоначальной крайней точки 4. Переход к решению двойственной задачи Рассмотрим метод решения задач линейного программирования путем перехода к двойственной задаче и решения полученной

Подробнее

Предназначено для студентов специальности: Учет и аудит (2 курс 4 г.о., 1 курс 3 г.о.), очное

Предназначено для студентов специальности: Учет и аудит (2 курс 4 г.о., 1 курс 3 г.о.), очное Автор теста: Мадиярова К.З. Название теста: Моделирование экономических процессов и систем Предназначено для студентов специальности: Учет и аудит (2 курс 4 г.о., 1 курс 3 г.о.), очное Количество кредитов:

Подробнее

Решение задач исследования операций

Решение задач исследования операций Федеральное агентство по образованию Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова Г. Л. Окунева, А. В. Борзенков, С. В. Рябцева Решение задач исследования операций Учебное

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисные допустимые решения. Симплекс-метод (С.-м.)

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисные допустимые решения. Симплекс-метод (С.-м.) ЛЕКЦИЯ 2 Линейное программирование 1. Базисные допустимые решения 2. Критерий разрешимости Симплекс-метод (С.-м.) 1. Идея метода -1- Линейное программирование (ЛП) Задача линейного программирования (ЛП)

Подробнее

ПолесГУ П.А. ПАВЛОВ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ПолесГУ П.А. ПАВЛОВ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Национальный банк Республики Беларусь УО «Полесский государственный университет» П.А. ПАВЛОВ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Учебно-методическое пособие для студентов нематематических

Подробнее

Контрольная работа. F=6*x 1 +3*х 2, (3)

Контрольная работа. F=6*x 1 +3*х 2, (3) Контрольная работа Задача 5 На предприятии имеется сырье видов 1, 2, 3 Из него можно изготавливать изделия типов А и В Пусть запасы видов сырья на предприятии составляют b 1, b 2, b 3 ед соответственно,

Подробнее

Симплекс-метод для решения задач линейного программирования

Симплекс-метод для решения задач линейного программирования для решения задач линейного программирования Арсений Мамошкин СПбГУ ИТМО Кафедра КТ 2010 г. Мамошкин А. М. (СПбГУ ИТМО КТ) http://rain.ifmo.ru/cat 1 / 28 Содержание Формулировка задачи 1. Формулировка

Подробнее

Метод сокращения отрицательных компонент при поиске допустимого базисного решения задачи линейного программирования

Метод сокращения отрицательных компонент при поиске допустимого базисного решения задачи линейного программирования Истомин Леонид Александрович Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Уральский государственный экономический университет 62144, РФ, г Екатеринбург, ул 8 Марта/Народной воли,

Подробнее

Методы оптимизации. Методические указания

Методы оптимизации. Методические указания Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Кафедра информационных и сетевых технологий Методы оптимизации

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Г.М. БАРТЕНЕВ, А.Н. ДУК, Е.Г. ТКАЧЕНКО, В.В. ТОЛСТОЙ, Н.В. ЦЕЛУЙКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Раздел Математическое

Подробнее

Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования.

Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Тема: Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Общая математическая формулировка основной задачи линейного программирования: дана система m линейных уравнений с n неизвестными a11x1 a12

Подробнее

ГУМРФ им. адмирала С.О. Макарова. х х

ГУМРФ им. адмирала С.О. Макарова. х х Постановка задачи Для перевозки изделий, состоящи из дву контейнеров А и В, у компании «Транзит» имеются три транспортны средства разны типов, возможности которы приведены в таблице. Перевозка дву различны

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Методы оптимальных решений

Методы оптимальных решений Министерство образования и науки Российской Федерации Рубцовский индустриальный институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова» Н.С. Зорина Методы оптимальных

Подробнее

Практическая работа. «Экономико-математические методы и модели» Вариант 2. Задание 1. Решить графически.

Практическая работа. «Экономико-математические методы и модели» Вариант 2. Задание 1. Решить графически. Практическая работа «Экономико-математические методы и модели» Вариант 2 Задание 1. Решить графически. 150x + 70x max, 30x1 + 75x2 900, 3x1 + 2x2 30, x, x 0. Решение. Построим область допустимых решений

Подробнее

Часть I МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ. Постановка задачи математического программирования

Часть I МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ. Постановка задачи математического программирования Часть I МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ Постановка задачи математического программирования Постановка любой задачи оптимизации начинается с определения набора независимых переменных

Подробнее

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ: ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ: ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Министерство образования Республики еларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» Т. П. ышик В. Л. Мережа МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ: ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ТЕСТИРОВАНИЮ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ЧАСТЬ I)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ТЕСТИРОВАНИЮ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ЧАСТЬ I) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

К теме «Транспортная задача»

К теме «Транспортная задача» К теме «Транспортная задача» Математическая формулировка транспортной задачи. Построение опорного плана перевозок методом «северо-западного угла». Построение опорного плана перевозок методом минимальных

Подробнее

Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования

Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Тема 3. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования Цель: познакомить читателя с симплекс-методом решения задачи линейного программирования и основными понятиями и теоремами теории двойственности

Подробнее

Теорема: для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие баланса:

Теорема: для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие баланса: Решить транспортную задачу методом потенциалов поставщик потребитель B B2 B B запасы груза A 8 A2 6 6 A 6 2 потребность 7 7 Сведём данные задачи в стандартную таблицу: A\B 7 7 8 6 6 6 2 Решение транспортной

Подробнее

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x

Лекция V. V.1. Системы линейных уравнений. x Лекция V V Системы линейных уравнений a x +a ++a n b a x +a ++a n b a m x +a m ++a mn b m () Запишем систему m линейных уравнений с n неизвестными в несколько необычном виде: a a a m x + a a a m ++ a n

Подробнее

Математическое программирование это область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач на

Математическое программирование это область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач на 4 ПРОГРАММА Тема. Линейное программирование Задачи планирования и управления, их математические модели. Общая постановка задач оптимизации. Различные формы записи задач линейного программирования (ЛП)

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра высшей математики П. И. Гниломедов И. Н. Пирогова П. П. Скачков ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ Учреждение образования «Полоцкий государственный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ к практической подготовке по дисциплине «Высшая математика: Математическое программирование» для студентов заочного

Подробнее

Элементы линейного и выпуклого программирования

Элементы линейного и выпуклого программирования Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Кафедра «Прикладная математика» В.М. Гончаренко Элементы

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра нелинейного анализа и аналитической экономики В. И. БАХТИН, И. А. ИВАНИШКО, А. В. ЛЕБЕДЕВ, О. И. ПИНДРИК ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Графическое решение задачи

Графическое решение задачи На приобретение машин для участка выделены 30 т.р. Производственная площадь участка - 70 м 2. Можно закупить машины двух видов: стоимостью 3 т.р. и 5 т.р. олее дорогая машина требует для установки 12 м

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» Кафедра Математика А. Е. Гарслян ИССЛЕДОВАНИЕ

Подробнее

Лекция 27 Глава 3. Системы линейных неравенств 3.1. Основные понятия

Лекция 27 Глава 3. Системы линейных неравенств 3.1. Основные понятия Лекция 7 Глава. Системы линейных неравенств.. Основные понятия Системы линейных неравенств применяются для решения различных математических задач. Системой линейных неравенств из с неизвестными система

Подробнее

Тема 4 ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ

Тема 4 ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ Тема 4 ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ Постановка транспортной задачи. Имеется сеть пунктов-поставщиков (m), каждый из которых может поставить S i единиц продукции. 2. Имеется сеть пунктов-потребителей

Подробнее

МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ И.Я. Заботин, Я.И. Заботин МЕТОДЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ КАЗАНЬ 4 УДК 59.85 ББК.8 З Печатается по решению Редакционно-издательского совета

Подробнее

Линейная алгебра_ уч.года_заочное ОТДЕЛЕНИЕ ТЕМА 1. Определители. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Линейная алгебра_ уч.года_заочное ОТДЕЛЕНИЕ ТЕМА 1. Определители. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера Линейная алгебра_- уч.года_заочное ОТДЕЛЕНИЕ ТЕМА. Определители. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера При умножении определителя на число на это число умножаются все элементы определителя

Подробнее

Нелинейная задача оптимизации.

Нелинейная задача оптимизации. Нелинейная задача оптимизации. Кольцов С.Н 2014 www.linis.ru Задача безусловной оптимизации Задача оптимизации формулируется следующим образом: заданы множество Х (допустимое множество задачи) и функция

Подробнее

Теория систем линейных уравнений

Теория систем линейных уравнений Глава Теория систем линейных уравнений Ранг матрицы Пусть A F m n Рассмотрим столбцы a,,a n матрицы A = (a,,a n ) как векторы пространства F m, а строки ã,,ã m как векторы пространства F n Базу (соответственно

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Решение транспортной задачи линейного программирования методом потенциалов., что подали заявки соответственно наb 1

Решение транспортной задачи линейного программирования методом потенциалов., что подали заявки соответственно наb 1 Решение транспортной задачи линейного программирования методом потенциалов.. Общая постановка задачи Транспортная задача линейного программирования формулируется таким способом. Имеем пунктов отправления,,,

Подробнее

Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б.

Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б. Блочная задача линейного программирования. Метод декомпозиции Данцинга-Вульфа Орлов Г.В. Научный руководитель: Турундаевский В.Б. Block linear programming problem. Decomposition method Dantsinga-Wolf Orlov

Подробнее

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации Дзержинский филиал Сергеева Юлия Владимировна Громницкий Владимир Семенович МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Подробнее

Ходыкин В.Ф. Практикум по решению задач курса «Оптимизационные методы и модели»

Ходыкин В.Ф. Практикум по решению задач курса «Оптимизационные методы и модели» Ходыкин В.Ф. Практикум по решению задач курса «Оптимизационные методы и модели» Донецк-202 2 Ходыкин В.Ф. УДК 57/(07) Ходыкин В.Ф. Практикум по решению задач курса «Оптимизационные методы и модели» - Донецк,

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет путей сообщения Императора

Подробнее

4 Оглавление. 4 Дискретное программирование Схема метода ветвей и границ... 95

4 Оглавление. 4 Дискретное программирование Схема метода ветвей и границ... 95 Оглавление Линейное программирование 5. Общая задача линейного программирования.................. 5.. Стандартная задача линейного программирования.......... 6.. Каноническая задача линейного программирования.........

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ. 0. План лекции Лекция Теорема о базисном миноре. 1. Две вспомогательные теоремы из теории определителей.

Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ. 0. План лекции Лекция Теорема о базисном миноре. 1. Две вспомогательные теоремы из теории определителей. Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ План лекции Лекция Теорема о базисном миноре Две вспомогательные теоремы из теории определителей НИДУ равенства нулю определителя: det A = ; 2 Явное выражение

Подробнее

ИНФОРМАТИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЕ «ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ» НА ОСНОВЕ ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ В. Г. Гетманов

ИНФОРМАТИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЕ «ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ» НА ОСНОВЕ ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ В. Г. Гетманов УДК 5: 378 ИНФОРМАТИЗАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЕ «ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ» НА ОСНОВЕ ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ В Г Гетманов докт техн наук, профессор профессор каф информатики и прикладной математики e-ml:

Подробнее

Глава 2. Линейное программирование

Глава 2. Линейное программирование Глава 2 Линейное программирование В линейном программировании изучаются задачи об экстремуме линейной функции нескольких переменных при ограничениях типа равенств и неравенств, задаваемых также линейными

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы.

ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. ЛЕКЦИЯ 4. Задание подпространств уравнениями, системы линейных уравнений, ранг матрицы. Основные результаты Лекции 4. 1) Любое подпространство V k F n 2 размерности k задается некоторой системой из n k

Подробнее

Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Excel ЗАДАНИЕ. кг сырья первого типа, a

Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Excel ЗАДАНИЕ. кг сырья первого типа, a Решение задачи линейного программирования графическим методом, симплекс-методом и через «Поиск решения» в Ecel ЗАДАНИЕ. Предприятие выпускает два вида продукции: Изделие и Изделие. На изготовление единицы

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ: СИМПЛЕКС-МЕТОД И ДВОЙСТВЕННОСТЬ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ: СИМПЛЕКС-МЕТОД И ДВОЙСТВЕННОСТЬ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ПГУ) О. В. Болотникова,

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ. Требования к знаниям, умениям, навыкам Знать общую постановку задачи линейного программирования [, с. 7 8]. Уметь составлять математические модели простейших экономических задач (задача о банке,

Подробнее

Задание1: Сделать математическую постановку задачи и графическим методом найти оптимальное решение.

Задание1: Сделать математическую постановку задачи и графическим методом найти оптимальное решение. Задание: Сделать математическую постановку задачи и графическим методом найти оптимальное решение. Вариант 2. Аудитории и лаборатории университета рассчитаны не более, чем на 5000 студентов. Университет

Подробнее

А.Д. Мижидон ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СИМПЛЕКС-МЕТОДА

А.Д. Мижидон ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СИМПЛЕКС-МЕТОДА Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВосточноСибирский государственный технологический университет» (ГОУ ВПО ВСГТУ) АД

Подробнее

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Федеральное Агентство по образованию Российской Федерации ГОУ ВПО ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА (ЮРГУЭС) Филькин Г.В. ЛЕКЦИИ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ для студентов экономических

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисно допустимые решения (продолжение)

ЛЕКЦИЯ 2. Линейное программирование. 1. Базисно допустимые решения (продолжение) ЛЕКЦИЯ 2 Линейное программирование 1. Базисно допустимые решения (продолжение) 2. Критерий разрешимости 3. Идея симплекс-метода 4. Элементарное преобразование б.д.р. 5. Симплекс-таблицы -1- ЛП: понятие

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3. Линейное программирование. 3. Теория двойственности линейного программирования

ЛЕКЦИЯ 3. Линейное программирование. 3. Теория двойственности линейного программирования ЛЕКЦИЯ 3 Линейное программирование 1. Базисно допустимые решения 2. Критерий разрешимости 3. Теория двойственности линейного программирования -1- ЛП: понятие базисного допустимого решения (б.д.р.). Базис

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Лекция 8: Базис векторного пространства

Лекция 8: Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В курсе аналитической геометрии важную роль играли понятия базиса

Подробнее

В третьем разделе содержатся задачи для самостоятельного решения.

В третьем разделе содержатся задачи для самостоятельного решения. Оглавление Введение... 4 Глава. Математические модели задач распределения ресурсов... 5.. Общая постановка задач распределения ресурсов... 5.. Математическая модель задачи распределения ресурсов... 6..

Подробнее

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ОПТИМИЗАЦИЯ РАСКРОЯ ЛИСТОВЫХ МАТЕРИАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИМПЛЕКС МЕТОДА

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ОПТИМИЗАЦИЯ РАСКРОЯ ЛИСТОВЫХ МАТЕРИАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИМПЛЕКС МЕТОДА Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Машиностроительный факультет Кафедра «Технология машиностроения» ОПТИМИЗАЦИЯ РАСКРОЯ ЛИСТОВЫХ МАТЕРИАЛОВ С

Подробнее

3 Симплекс-метод. 3.1 Базисные решения ЗЛП

3 Симплекс-метод. 3.1 Базисные решения ЗЛП 3 Симплекс-метод Поиск оптимального решения ЗЛП путем простого перебора крайних точек допустимого множества возможен, но совершенно непрактичен с вычислительной точки зрения. Неэффективность такого подхода

Подробнее

Численные Методы (Линейное программирование)

Численные Методы (Линейное программирование) Численные Методы (Линейное программирование) Alexander Lazarev Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences 2010-2012 Outline 1 Литература 2 Линейное программирование 3 Симплексный метод

Подробнее

Раздел 8. Математические методы исследования операций

Раздел 8. Математические методы исследования операций Раздел 8 Математические методы исследования операций 8Введение Сегодня теория исследования операций является важным инструментом при принятии решения в различных отраслях промышленности Одной из первых

Подробнее

Лекция 8 8. ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ

Лекция 8 8. ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ Лекция 8 8. ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ a,..., Предположим, что в пунктах A, A,..., A хранится однородный груз в количестве, a a единиц. Этот груз следует доставить в заданных пунктов назначения,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

ОПТИМИЗАЦИИ: ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ

ОПТИМИЗАЦИИ: ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ Г. И. Просветов МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ: ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ Учебно-практическое пособие Москва 009 УДК 59.8(075.8) ББК.8я7 П 8 Предисловие Никогда не ставьте задачу, решение которой вам неизвестно. Правило Берке

Подробнее

Метод сокращения отрицательных индексных элементов при поиске начального базисного псевдооптимального решения задачи линейного программирования

Метод сокращения отрицательных индексных элементов при поиске начального базисного псевдооптимального решения задачи линейного программирования Истомин Леонид Александрович Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического обеспечения и администрирования информационных систем Уральский государственный экономический университет

Подробнее

Двойственные задачи. Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов 2

Двойственные задачи. Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов 2 Двойственные задачи Содержание Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов 2 Взаимно двойственные задачи линейного программирования и их свойства 5 Теоремы двойственности

Подробнее

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств

Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Лекция 13. Методы решения равновесных задач и вариационных неравенств Вспомним основные определения равновесных задач и вариационных неравенств. Пусть D R n - непустое замкнутое выпуклое множество. Определение

Подробнее

Линейная алгебра

Линейная алгебра Линейная алгебра 22.12.2012 Линейные модели в экономике Линейное программирование Теория двойственности Линейная алгебра (лекция 15) 22.12.2012 2 / 28 Линейное программирование Каждой задаче линейного

Подробнее

А.В. Григорьев, Н.А. Покровская ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ

А.В. Григорьев, Н.А. Покровская ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Министерство образования Российской Федерации Томский государственный архитектурно-строительный университет А.В. Григорьев, Н.А. Покровская ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Учебное пособие Издательство Томского государственного

Подробнее

max f при условии, что g(x) = b i, (1)

max f при условии, что g(x) = b i, (1) Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что ) = ) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R : R R : R

Подробнее

Решение задач линейного программирования с использованием симплекс метода

Решение задач линейного программирования с использованием симплекс метода ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Решение задач линейного программирования с использованием симплекс метода Методические указания для выполнения практических

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее