ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ"

Транскрипт

1 Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

2 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАМИ) Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебное пособие Москва

3 УДК 5.9: 56 ББК. Б5 Рецензенты: кафедра математики Российского государственного геолого-разведочного университета им. Серго Орджоникидзе; д-р физ.- мат. наук Н.И. Ползикова, Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН Допущено учебно-методическим советом Университета машиностроения Бочков Б.Г. Типовые задания по высшей математике. Элементы линейной алгебры: Учебное пособие/ Б.Г. Бочков, Н.В. Воробьева, Е.Ф. Шестакова. М.: Университет машиностроения,. 96 с. Рассмотрены элементы теории линейной алгебры. Приведены алгоритмы и конкретные примеры решения основных типов задач. Даны аналогичные задачи для самостоятельного решения. Предназначено студентам, обучающимся по направлениям подготовки.6 и 87.6 для выполнения расчетно-графических работ по дисциплине «Высшая математика». ISBN УДК 5.9: 56 ББК. Б.Г. Бочков, Н.В. Воробьева, Е.Ф. Шестакова, Университет машиностроения,

4 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Числовой матрицей называется прямоугольная таблица из чисел элементов матрицы. Положение элементов в матрице задается номером строки и столбца, на пересечении которых находится элемент: aij элемент матрицы A aij, стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца. Число строк и столбцов матрицы называется ее размером: m n, где m число строк и n число столбцов матрицы. Если m n, матрица называется квадратной, а число n порядком матрицы. Операции над матрицами а) Произведением матрицы A aij на число λ называется матрица B b, элементы которой b λa. ij б) Суммой двух матриц одного размера A aij и B b ij называется матрица C cij cij aij bij. ij ij, элементы которой в) Если матрица A aij имеет размер m n имеет размер kl и при этом n k B b ij, матрица, то вводится понятие произведения матрицы A на матрицу B это матрица C A B, имеющая столько строк, сколько матрица A, и столько столбцов, сколько матрица B, элементы которой определяются по формуле cij ai b j ai b j ain bn j, где n число столбцов матрицы A и число строк матрицы B. г) Транспонированием матрицы A aij называется изменение матрицы, при котором i -я строка матрицы становится i -м столбцом. Это соответствует тому, что элементы транс-

5 понированной матрицы a T i j a. ji T T A a ij определяются по формуле. Для квадратных числовых матриц любого порядка вводится числовая характеристика, называемая определителем. Определитель матрицы второго порядка (или определитель a a второго порядка) это число aa aa. a a Определитель третьего порядка это число a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a. aaa Алгебраическим дополнением A ij элемента aij определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный вычеркиванием из исходного определителя i -й строки и j -го столбца, умноженный на число i j. Таким же образом вводится понятие алгебраического дополнения элемента определителя любого порядка. Для нахождения определителя любого порядка можно применить правило разложения определителя: определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) на их алгебраические дополнения. Например, разложение определителя третьего порядка по первой строке имеет вид a a a a a a a a a A a A a A a a a a a a

6 a a a a a a. a a a a Для упрощения подсчета определителя порядка больше трех целесообразно использовать следующее свойство: определитель не изменится, если ко всем элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Это свойство справедливо и для столбцов определителя.. Для квадратной матрицы A aij вводится понятие обратной матрицы это матрица A такая, что где E единичная матрица, т. е. матрица вида A A A A E,. Обрат- ная матрица существует только для матрицы, определитель которой A отличен от нуля. Элементы обратной матрицы A a ij определяются по формуле A ji a ij. A. Матрица B, полученная из матрицы A с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной матрице A. Обозначение: A B. Элементарными преобразованиями матрицы называются: λ а) Умножение элементов i -й строки ( j -го столбца) на число. Обозначение: i λi. б) Перестановка i-й строки ( j -го столбца) и k -й строки 5

7 ( p -го столбца). Обозначение: i k. в) Прибавление к элементам i-й строки ( j -го столбца) соответствующих элементов k -й строки ( p -го столбца), умноженных на число λ. Обозначение: i i λk. Посредством элементарных преобразований матрица может быть приведена к ступенчатому виду. Матрица называется ступенчатой, если крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки. Под крайним понимается отличный от нуля элемент строки, если все элементы этой строки, находящиеся левее него, равны нулю. Например, в матрице 5 7 элементы и крайние. Матрица A 5 не 8 7 ступенчатая, а матрица B 8 5 ступенчатая. 5. Минором k -го порядка матрицы называется определитель, составленный из ее элементов, стоящих на пересечении произвольно выбранных k строк и k столбцов с сохранением порядка этих строк и столбцов. Обозначение: j j j,,, k M i, i,, i,гдеi k i,,, k i номера выбранных строк; j, j,, jk номера выбранных столбцов. 6

8 5 7 Например, для матрицы A 8 5 минорами являются: M определитель -го порядка;, 7 M, определитель -го порядка. 9 6 Определитель,,,, M 8 5, полученный из элементов, и -й строк и, и -го столбцов, минором не является, поскольку нарушен порядок столбцов. Понятие минора используется в определении важной характеристики, называемой рангом матрицы. Рангом матрицы A называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю. Обозначения: RgA, r A, rang A. При нахождении ранга матрицы необходимо учитывать следующее: а) Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк. б) При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется. в) Если квадратная матрица невырождена A ранг равен ее порядку RgA n. 7, то ее

9 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример. Даны матрицы 5 B 6 5 A 5. Найти матрицу C 5A B. Решение. По правилу умножения матрицы на число найдем A 5 5 5, B Сложим полученные матри- 6 цы по правилу сложения матриц C 5A B Пример. Даны матрицы A 5 5 B. Найти произведение C A B. 8 и и

10 Решение. Размеры матрицы ( ) A и матрицы 5 9 B. Поскольку число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, произведение C A B существует и размер матрицы C 5. Чтобы найти элемент c надо взять элементы первой строки матрицы A, умножить их на элементы первого столбца матрицы B и полученные произведения сложить: c. Для нахождения элемента с надо взять элементы первой строки матрицы A, умножить их на элементы второго столбца матрицы B и полученные произведения сложить: c 5 6 и т.д. Общее правило: для нахождения элемента c надо взять элементы i й строки матрицы A, ij умножить их на cоответствующие элементы j го столбца матрицы B и полученные произведения сложить Применяя это правило, находим AB

11 Пример. Вычислить определитель четвертого порядка 5. 5 Решение. Для упрощения подсчета определителя методом разложения по строке добьемся того, чтобы в одной из строк все элементы, кроме одного, обратились в ноль (не изменяя при этом величины определителя). Для этого, например, умножим элементы первого столбца на и сложим с соответствующими элементами третьего столбца Затем элементы первого столбца сложим с соответствующими элементами четвертого столбца

12 Разложение этого определителя по второй строке имеет вид a A a A a A a A, но так как a a a 8 8 и A 5 5, получим 5 5. Ответ:. Пример. Найти матрицу, обратную матрице Решение. Найдем определитель матрицы A A 9 A.. Поскольку A, обратная мат- рица существует. Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы A A 5 ; A ; A 8 ; A A A 8 ; A ; A ; A ; ;. Составим матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем ее 8. 8

13 Тогда обратная матрица A Проверим, выполняется ли соотношение AA E AA 8 = = 8 8 = Ответ: A Пример 5. Найти ранг матрицы A 5. 8

14 Решение. Так как матрица A квадратная, то сначала найдем ее определитель A 8 5. Следовательно, для нахождения ранга матрицы необходимо привести матрицу к ступенчатому виду A 5. 8 Ответ: RgA. ЗАДАНИЕ. Найти α A+βB. A B α β

15

16

17

18 ЗАДАНИЕ. Найти произведение матриц AB. A B 7

19

20

21

22

23

24 ЗАДАНИЕ. Найти определитель разложением по строке или столбцу. Определитель Определитель Определитель по столбцу по строке по столбцу 5 по строке по столбцу 5 по строке

25 5 по столбцу по столбцу по столбцу по строке по строке по строке по столбцу По столбцу по столбцу по строке по строке по строке по столбцу по столбцу по столбцу

26 по строке по строке по строке по столбцу по столбцу по столбцу по строке по строк по строке ЗАДАНИЕ. Найти определитель. Определитель Определитель 6 5

27

28

29 ЗАДАНИЕ.5 Найти матрицу, обратную матрице C A B. A B A B 6 7

30

31

32 ЗАДАНИЕ.6 Найти, матрицу, обратную матрице A, и проверить равенство AA E. A A A

33 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ. Метод Гаусса. Для решения системы, состоящей из n линейных алгебраических

34 a x a x a nxn b ax ax a nxn b уравнений с n неизвестными (),.. anx anx annxn bn необходимо составить матрицу системы A из коэффициентов при неизвестных, затем расширенную матрицу системы из коэффициентов при неизвестных и свободных членов a a a n b a a an b Ab и привести ее к ступенчатому виду. an an ann b n Если RgA Rg A b n, то система имеет единственное решение. Если RgA Rg A b n, то система имеет бесконечно много решений. Если RgA Rg A b, то система несовместна. Для нахождения решения исходная система уравнений записывается в так называемом треугольном виде с коэффициентами при неизвестных, равными соответствующим элементам приведенной к ступенчатому виду расширенной матрицы, и находятся значения неизвестных. При этом для случая, когда RgA Rg A b n, вводятся понятия базисных и свободных переменных, сформированные на понятии базисного минора. Минор M матрицы A называется базисным, если: а) он не равен нулю; б) его порядок равен рангу матрицы A. Если в матрице A зафиксировать базисный минор, то неизвестные,

35 соответствующие его столбцам, называются базисными (зависимыми), а остальные неизвестные свободными (независимыми). Свободным переменным можно придавать произвольные числовые значения, а базисные переменные находятся в виде функций от свободных переменных в результате решения системы, записанной в треугольном виде.. Формулы Крамера для систем из двух уравнений с двумя неизвестными. ax a y b Решение системы в случае, если ax a y b a a, может быть записано в виде, a a x ; y x y где b a x b a и y a a b b При решение системы единственно. При и или система не имеет решений. x y При система имеет бесконечное множество решений. x y. Формулы Крамера для систем из трех уравнений с тремя неизвестными. a x a y a z b Решение системы ax a y az b в случае, если опреде- ax a y az b a a a литель системы a a a a a a., может быть записано в виде

36 x ; y z x y ; z, где b a a a b a x b a a ; b a a y a b a ; a b a 5 z a a b a a b. a a b При решение системы единственно. При и, или, или система не имеет x y решений. При x y z система либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений.. Метод обратной матрицы. Если система линейных алгебраических уравнений () относительно n неизвестных состоит из n уравнений и определитель матрицы системы не равен нулю, то решение системы может быть записано в виде X A B, где X столбец из неиз- x x xn вестных; A матрица, обратная матрице системы; b b B столбец из свободных членов. bn ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ x x x 5 Пример. Решить систему уравнений x x x x x 5x методом Гаусса. z

37 Решение. Составляем матрицу системы и расширенную матрицу 5 системы A, Ab. 5 5 Приводим расширенную матрицу к ступенчатому виду Ab Поскольку RgA Rg A b, то система имеет единственное решение. Записываем ее в треугольном виде и решаем x x x 5 x x x 5 x x x Ответ: x ; x ; x. x x x 5 Пример. Решить систему уравнений x x x 5 7x x x методом Гаусса. Решение. Составляем матрицу системы A. 7 Составляем расширенную матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду 6

38 Ab Так как RgA Rg A b, то система имеет бесконечное множество решений. Она принимает вид x x x 5. Количество базисных переменных равно 5x 5x 5 RgA, количество свободных переменных равно n RgA. Выберем какой-нибудь не равный нулю минор -го порядка матрицы A, например, минор. Его столбцы -й и -й столбцы матрицы A соответствуют переменным x и x это будут базисные переменные x и x, а x свободная переменная. Тогда решения системы имеют вид x 5x x x 5 x x x,, x x. x x x x Ответ: x ; x x ; x R. x x x Пример. Решить систему уравнений x x x x x x методом Гаусса. Решение. Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду 7

39 Ab Так как RgA Rg A b, то система не имеет решений. Ответ: Система несовместна. Пример. При каких значениях a и b система уравнений ax y 7 5x 6y b а) имеет единственное решение; б) не имеет решений ; в) имеет бесконечно много решений? Решение. Найдем определитель системы a 6a Система имеет единственное решение, если, т.е. 6a5 a,5. При a,5 найдем 7 x b и b 6,5 7 y,5b 5. 5 b Если x, т.е. b b, то система не имеет решений. При a,5 и b и, следовательно, система имеет бесконечно много решений. x y Ответ: При a,5 система имеет единственное решение. При a,5 и b система не имеет решений. При a,5 и b система имеет бесконечно много решений. 8

40 Пример 5. Решить систему уравнений используя формулы Крамера. Решение. 9 xy 9 x z y z 5. Поскольку, система имеет единственное решение. 9 x y 9 5 ; ; z 9 ; 5 x y z x ; y ; z Ответ: x ; y ; z. Пример 6. Решить систему уравнений обратной матрицы. Решение. Найдем определитель системы x y z x y z 7 методом x y z 6. Поскольку метод обратной матрицы применим. Матрица из алгебраических дополнений имеет вид 7 9. Транспо ,

41 7 5 нируем матрицу из алгебраических дополнений Следовательно, обратная матрица 7 5 A 5. По формуле решения системы методом 9 5 обратной матрицы X A B найдем x b 7 5 y A b 5 7 z b Ответ: x ; y ; z. ЗАДАНИЕ. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера. Система уравнений xy xy 5x y 6x y 9 Система уравнений xy x5y 6x y xy Система уравнений 5xy x y x y 5xy 7

42 x y xy xy 5xy 8 7x y x 5y x6y 5x y 6x 5y 7 xy 8 x 5y x 7y xy9 7xy 5 9x y7 5x6y x y 5 x5y xy 5xy 6 xy 9 5x y 5x y 7 xy x y x5y 9 x y 5x y 5x y 8 xy5 x y 6 5x y 5x y x y 8 x y 5x y x y 6xy 7x y 5xy 5xy 7 5x y 6x5y 7 9x y x5y8 x y 5xy 6 xy ЗАДАНИЕ. При каких значениях a и b система уравнений а) имеет единственное решение; б) не имеет решений; в) имеет бесконечно много решений?

43 Система уравнений x ay 6x y b Система уравнений 5x ay 5 x y b Система уравнений 8x ay x y b x ay 5 x 9y b 6x ay 5 x y b x ay 6 x 5y b x ay 6 5x y b 7x ay 6 x y b x ay x y b x ay 6 x y b x ay 8 x y b x ay 9 x 5y b 5 5x ay x y b 5 x ay 8 x 7y b 5 x ay x 5y b 6 6x ay xy 6 x ay 5x y b 6 5x ay 6 x 8y b 7 x ay 5x y b 7 x ay x y b 7 6x ay x 5y b

44 8 x ay 6 7x y b 8 5x ay x y b 8 7x ay x y b 9 x ay 8 x 6y b 9 6x ay 8 5x y b 9 8x ay x 7y b x ay 8 x y b 7x ay x y b 9x ay 8 x 5y b ЗАДАНИЕ. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера. Система уравнений Система уравнений 6 x y z 5 x y z x y z 8 x y z 9 x z 7 x y z 7 x y z 8 x y z x y z 7 x y z 8 x y z 5 x y z x y z x y z x y z 8 x y z x y z x y z 5

45 5x y z 6 x y z 6 x y z 8 9 5x y z 5 x y z x y z 5 x y z x y z x5y x y z x y z x z 6 x y z x y z x y z 7 x y z x y z x y z 7 x y z 5 x y z 7 x y z 8 x y z 9 x y z 8 x y z 5 8 x y z 5 x y z x y z x 5y z x y z 5 x y z 7 9 5x y z x y z 7 y5z 5x y z x y z yz 6

46 x y z 5 x y z x y z x y z x y z 5 x y z x y z x y z x y z x y z 9 x y z x y z x y z 8 x y z xy x y z 8 x y z x y z x y z 8 x y z x y z 5 x y z 8 x y z 5 x y z 5x y z x y z x y z 9 5x y z x y z 8 x y z 5 x y z x y z 6 x y z x y z x y z 5y z 9 5

47 ЗАДАНИЕ. Найти все решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Система уравнений Система уравнений 6 x y z x y z x y z x y z x y z x 5y z x y z 7 x y z 5 x 5y z 7 x y z 8 x y z 9 x y z x y z x y z 5 x y z 8 x y z 5 x 5y z x 6y z x y z 7 5x y z x y 5z 7 9 x y z 5x y z 6x 5y z 5 x y z x y z 5 6x 5z 8 x y z x y z x y z 6

48 6 x y z 5 x y z x y z 5 x y z x y z 9 x 5y z 9 7 x y z x y z 8 x y z 8 x yz x y z 6 x y z x yz x y z 8 x 5y z 5 x y z 5x y z x y z x y z x y z 8 x y z x y z 8 x y z 5 x 7y z x y z 6 x y z 7x y z 8 5 x y z 8 5x y z x y z x y z 9 x y z x y z 6 x y z x y z x5yz 7

49 x y z 8 x y z x 5y z 7 x y z 8 x y z 5 x y z x y z x y z x y z 8 x y z 8 x y z 7 x y z x y z 5x y z 5 8x y z 9 x y z x y z x y 5z 5 x y z x y z x 5y z x y z 6 x y z 8 x 5y z ЗАДАНИЕ.5 Решить систему линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы. Система уравнений 5x y xy Система уравнений 5xy9 7xy 5 Система уравнений x y x5y 9 8

50 xy 5xy 8 9x y7 5x6y x y 5x y 7x y x 5y x y 5 x5y 5x y 8 xy5 x6y 5x y xy 5xy 6 x y 6 5x y 5 6 6x 5y 7 xy 8 x 5y x 7y 5 6 xy 9 5x y 5x y 7 xy x y x y 8 x y 5x y x y 5xy 6x5y 7 x y 7 8 6xy 5xy 7 9x y 5xy x y 5x y x5y8 xy 9 xy x5y 9 5xy x y 9 xy xy 9

51 6x y xy x y 5xy 7 5x y 6x y 9 ЗАДАНИЕ.6 Решить систему линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы Система уравнений Система уравнений 6 x y z x y z x y z x y z x y z x y z 5 5x y z 6 x y z 6 x y z 8 7 5x y z 5 x y z x y z x y z x y z x5y 8 x y z x y z x z x y z x y z x y z 7 9 x y z x y z x y z 5

52 5 x y z 5 x y z 7 x y z 8 x y z 9 x y z 8 x y z x y z 5 x y z x y z 5x y z x y z 7 y5z x 5y z x y z 5 x y z 7 5x y z x y z yz 6 8 x y z 5 x y z x y z x y z x y z x y z 9 x y z x y z 5 x y z 6 x y z 9 x y z x y z x y z 8 x y z xy 5 x y z 8 x y z x y z 5 5

53 x y z 8 x y z x y z 5 6 x y z 8 x y z 5 x y z 5x y z x y z x y z 7 5x y z x y z 8 x y z x y z x y z 6 x y z 8 x y z x y z 5y z 9 x y z x y z 9 x y z 9 x y z 5 x y z 8 x z 7 5 x y z x y z 8 x y z x y z 8 x y z 7 x y z 5 5

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Математический анализ» А.П.

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

5.4. МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ( )

5.4. МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ( ) МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Пусть дана система () m линейных уравнений с неизвестными Для ее решения нужно выполнить следующие действия: Составить расширенную матрицу (7) системы: m

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

1. Линейная алгебра. a21x1 a12 x2 a13 x3 b2

1. Линейная алгебра. a21x1 a12 x2 a13 x3 b2 1. Линейная алгебра 1.1. В 1 представлены задачи на решение линейных алгебраических крамеровских систем с определителем, отличным от нуля, вычисление определителей и действий с матрицами. Линейные алгебраические

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» http://ebibliobruby/xmlui/ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие........................................................... 5 1. Элементы линейной алгебры............................................ 6 ИДЗ 1. Определители..............................................

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам)

С.Н. Зиненко. Линейная алгебра. Матрицы и определители. (теория к задачам) С.Н. Зиненко Линейная алгебра Матрицы и определители (теория к задачам) 215 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, ПОДПРОСТРАНСТВО. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 1º Линейным пространством называется множество элементов a, b,

Подробнее

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные

Подробнее

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований

Подробнее

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, ТС Соболева, НО Фастовец МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Управление дистанционного обучения и повышения квалификации. Линейная алгебра ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЕ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ Кафедра «Математика» Набор тестов для студентов очной формы обучения всех специальностей Автор

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Линейная алгебра. Матрицы

Линейная алгебра. Матрицы Линейная алгебра. Матрицы (вводные определения и примеры) Предуведомление: ниже лишь краткий конспект, не предназначенный для замены имеющихся учебных пособий. Под матрицей в математике понимается таблица,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст (самостоятельное изучение) Аннотация Понятие линейной зависимости строк или столбцов матрицы. Ранг матрицы, теорема о ранге

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Экономический факультет Л.С. Павлова МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ (отд. «Менеджмент») Москва 05 УДК 5.64 ББК.5.54я7 П Павлова Л.

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ свободные члены, - неизвестные величины. Тема СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ Система m линейных уравнений с переменными в общем случае имеет вид: m m m m ) где числа ij i, m, j, ) называются коэффициентами при переменных, i - свободные члены, j -

Подробнее

Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера

Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера Тема 1.4. Решение систем двух (трех) линейных уравнений формулы Крамера Габриель Крамер (1704 1752) швейцарский математик. Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Линейная алгебра Вариант 4

Линейная алгебра Вариант 4 Линейная алгебра Вариант Задание. Систему уравнений привести к равносильной разрешенной системе, включив в набор разрешенных неизвестных,,. Записать общее решение, найти соответствующее базисное решение:

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Лекции по Математике. Вып. ТММ-1 Ю. В. Чебраков ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Санкт-Петербург, 2010 УДК 511+512 ББК 22 Ч345 Р е ц е н з е н т ы: Доктор физико-математических наук, профессор С.-Петерб. техн.

Подробнее

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ матрица Для любой матрицы ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ a a an a a an am am amn a a am a a am, an an amn получающаяся из матрицы заменой строк соответствующими столбцами, а столбцов соответствующими строками,

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИП КАРАСЁВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рязань Министерство образования и науки Российской Федерации Рязанский

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

II. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ

II. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ II МАТРИЦЫ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СИСТЕМЫ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий II МАТРИЦЫ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Репозиторий БНТУ МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ. Учебно-методическое пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Репозиторий БНТУ МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ. Учебно-методическое пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика 2» МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Учебно-методическое пособие Часть 1 Минск БНТУ

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Введение. Основные определения Алгебра это часть математики, занимающаяся решением различных алгебраических уравнений, в которые неизвестные могут входить в любой степени.

Подробнее

Линейная алгебра. Матрицы

Линейная алгебра. Матрицы Линейная алгебра. Матрицы вводные определения и примеры) Предуведомление: ниже лишь краткий конспект, не предназначенный для замены имеющихся учебных пособий. Шаги решения задачи с использованием математики:.

Подробнее