Консультационный тренинговый центр «Резольвента»

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Консультационный тренинговый центр «Резольвента»"

Транскрипт

1 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) Консультационный тренинговый центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу Дифференциальные уравнения К Л Самаров, 009 ООО «Резольвента», 009 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

2 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) СОДЕРЖАНИЕ 1 Дифференциальные уравнения 11 Дифференциальные уравнения 1-го порядка 111 Понятие дифференциального уравнения Порядок уравнения 11 Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной Постановка задачи Коши 11 Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными Схема решения 114 Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка Схема решения Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1- го порядка Схема решения Уравнения Бернулли Схема решения 8 1 Дифференциальные уравнения -го порядка 9 11 Схема решения дифференциального уравнения вида f ( x, y, y ) = Схема решения дифференциального уравнения вида f ( y, y, y ) = Линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами Однородные линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами Характеристический многочлен, характеристические корни Схема решения 11 1 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения - го порядка с постоянными коэффициентами 14 ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 16 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 18 ЛИТЕРАТУРА 0 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

3 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 11 Дифференциальные уравнения 1-го порядка 111 Понятие дифференциального уравнения Порядок уравнения Пусть x независимая переменная, y = y( x) искомая неизвестная функция Дифференциальным уравнением называют уравнение, содержащие производную или производные неизвестной функции Порядком дифференциального уравнения называют порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в это уравнение 11 Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной Постановка задачи Коши Уравнения вида f ( x, y, y ') = 0 называют дифференциальными уравнениями 1-го порядка Уравнения вида y' = f ( x, y) называют дифференциальными уравнениями 1-го порядка, разрешенными относительно производной Задачей Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка, разрешенного относительно производной, называют задачу об отыскании решения уравнения, удовлетворяющего начальному условию: y' = f ( x, y), y( x = x0) = y0 11 Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными Схема решения Дифференциальные уравнения вида y = f ( x) g( y) называют уравнениями с разделяющимися переменными ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

4 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) Решение уравнений с разделяющимися переменными осуществляется по следующей схеме: dy f ( x) g( y) dx = dy f ( g y x ) ( ) dx = dy = f ( x) dx g( y) Пример 1 Предприятие инвестирует в новое производство денежные средства, причем инвестиции уменьшаются со скоростью, прямо пропорциональной инвестируемым в данный момент времени средствам с коэффициентом пропорциональности 0,08 Найти закон изменения инвестиций со временем и объем инвестиций за 4 года, если в начальный момент времени инвестиции составили 1000 денежных единиц Решение Пусть объем инвестируемых средств s = s(t), где t время По условию задачи объем инвестируемых средств является решением следующей задачи Коши: ds = 0,08 st, dt s( t = 0) = 1000 Решим сначала уравнение ds 0,08st dt =, которое является уравнением с разделяющимися переменными: ds s = 0,08 tdt ln s = 0,04 t + ln c 0,04 t ln c 0,04 t e + s = s = c e Итак, общее решение дифференциального уравнения ds 0,08st dt = имеет вид 0,04 s( t) c e t =, ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

5 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) где c произвольная постоянная Найдем значение произвольной постоянной c, воспользовавшись начальным условием: 0,04 0 s( t = 0) = 1000 = c e = c Таким образом, решение рассматриваемой задачи Коши имеет вид 0,04 s( t) 1000 e t = Следовательно, объем инвестиций за 4 года 0, ,64 s( t = 4) = 1000 e = 1000 e = 57,9 114 Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка Схема решения Дифференциальные уравнения вида y = f y x называют однородными Решение однородных уравнений осуществляется при помощи перехода от переменной y к новой переменной z по формулам: y = z x, y = z x + z В результате исходное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными: dz dz f ( z) z dz dx z x + z = f ( z) x = f ( z) z = = dx dx x f ( z) z x Пример Найти общее решение уравнения: (x + 5 y ) y = xy Решение Преобразуем это уравнение к более удобному виду: ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

6 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) y xy (x + 5 y ) y = xy y = y = x x + 5y y + 5 x Совершая теперь замену переменной получим y = zx, y = z x + z, dz z x + z =, dx + 5z dz z z z 5z 5z x = z = = dx + 5z + 5z + 5z + 5z dx dz =, 5z x + 5z dx dz dz dz ln x ln z ln x ln c = = = + + 5z x 5 z z 10z Следовательно, 10z 10z 10z 10z 1 1 ln czx = czx e czx e zx e zx c e 10z = = ± = ± c = Возвращаясь к переменой y, находим общее решение исходного уравнения в виде где c 1 произвольная постоянная y x 10 y = c1e,, ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

7 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 1-го порядка Схема решения Дифференциальные уравнения вида y + p y = q, где p = p( x), q = q( x), называют линейными неоднородными дифференциальными уравнениями 1-го порядка Решение таких уравнений осуществляется по следующей схеме: 1 Ищется решение дифференциального уравнения вида v + p v = 0, которое называют линейным однородным дифференциальным уравнением 1- го порядка В исходном уравнении совершается переход от переменной y к переменной u по формулам y = u v, y = u v + u v Полученное для переменной u уравнение решается так: u v + u v + p u v = q u v + u ( v + p v) = q q q u v = q u = u dx v = v Пример Найти общее решение линейного неоднородного уравнения xy + y = e x Решение Преобразуем сначала уравнение к виду x y + y = e x x и найдем, в соответствии с изложенным выше, какое-нибудь решение линейного однородного уравнения v v + = 0, x ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

8 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) где v = v( x) новая переменная Получаем: dv v dv dx 1 1 = = = = = dx x v x x x Совершая замену переменной преобразуем исходное уравнение ln v ln x ln v ln v y = u v, y = u v + uv, uv v y + y = e u v + uv + = e u v + u v + = e x x x x x x x x x Таким образом, переменная u удовлетворяет уравнению u 1 = e x, x x решение которого уже труда не представляет: x x x x u = x e u = x e dx = e dx = e + c Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид: x 1 y = u v = e + c x 116 Уравнения Бернулли Схема решения Дифференциальные уравнения вида y + p y + q y n = 0, где p = p( x), q = q( x), а n любое число, отличное от 1, называют уравнениями Бернулли Решение таких уравнений осуществляется по следующей схеме: 1 Сначала уравнение Бернулли делится на n y : ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

9 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) ( ) 1 1 y y n p y n q 0 y1 n + + = + p y1 n + q = 0 1 n 1 n 1 n ( ) ( ) ( ) y + 1 n p y + 1 n q = 0 В полученном уравнении производится замена переменного z y1 n Возникшее уравнение ( ) ( ) z + 1 n p z + 1 n q = 0 = является линейным неоднородным дифференциальным уравнением 1-го порядка, которое решается описанным выше способом 1 Дифференциальные уравнения -го порядка Дифференциальные уравнения вида f ( x, y, y, y ) = 0 называют дифференциальными уравнениями -го порядка 11 Схема решения дифференциального уравнения вида f ( x, y, y ) = 0 Дифференциальные уравнения вида f ( x, y, y ) = 0 можно решить при помощи перехода от переменной y к новой переменной z по формулам y = z( x), y = z ( x) 1 Схема решения дифференциального уравнения вида f ( y, y, y ) = 0 Дифференциальные уравнения вида f ( y, y, y ) = 0 можно решить при помощи перехода от переменной y к новой переменной z по формулам y = z( y), y = z z ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

10 получим ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) Пример 4 Решить задачу Коши ( ), (0) 1, (0) yy = y y = y = Решение Совершая в уравнении замену переменной y = z( y), dy dz dz dy dz dz ( ) y = = = = z y y = y z = y = z dx dx dy dx dy dy Итак, исходное уравнение в новых переменных имеет вид Решим это уравнение: dz y z = z dy dz dz dz dy y z = z y = z = ln z = ln y + ln c dy dy z y ln z = ln cy z = ± cy z = c y Возвращаясь к переменной y, получаем уравнение y = c y Воспользовавшись начальными условиями, находим значение постоянной c 1 : Далее получаем y(0) = 1, y (0) = c = dy dy y = c1 y = y dx ln y x ln c dx = = + y 1 1 x x y = ± c e y = c e Воспользовавшись начальными условиями, находим значение постоянной c : y(0) = 1= c 1 Таким образом, функция x y = e является решением исходной задачи Коши ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

11 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) Линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами 11 Однородные линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами Характеристический многочлен, характеристические корни Схема решения Дифференциальные уравнения вида ay + by + cy = 0, где a, b, c числа, называют линейными однородными дифференциальными уравнениями -го порядка с постоянными коэффициентами Решение таких уравнений осуществляется по следующей схеме: 1 Сначала решается квадратное уравнение aλ + bλ + c = 0, которое называют характеристическим уравнением для исходного дифференциального уравнения Если характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня λ 1 и λ, то общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид где c 1 и c произвольные числа λ x 1 y c e c e λ x = 1 +, Если характеристическое уравнение имеет два совпавших вещественных корня λ1 = λ = λ, то общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид где c 1 и c произвольные числа λ x y = e ( c + c x), 1 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

12 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) Если характеристическое уравнение имеет два комплексносопряженных корня λ1 = α + iβ и λ = α iβ, то общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид α x где c 1 и c произвольные числа y = e ( c sinβ x + c cosβ x), 1 Линейное однородное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами y + ω y = 0, где ω 0 вещественное число, называют уравнением гармонических колебаний Общее решение этого уравнения имеет вид y = c sin ω x + c cosω x, 1 где c 1 и c произвольные числа Число ω называют частотой гармонических колебаний Пример 5 Решить задачу Коши y 6y + 9y = 0, y(0) =, y (0) = 7 Решение Составим сначала характеристическое уравнение λ 6x + 9 = 0 Это уравнение имеет два совпавших корня λ = λ1 = λ = Следовательно, общим решением исходного дифференциального уравнения является функция x y = e ( c + c x) Вычислим производную этой функции: x 1 y = e (c + c + c x) 1 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

13 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) Подставляя в выражения для y и y начальные условия получим систему уравнений: y(0) =, y (0) = 7, c1 =, c1 =, c1 + c = 7, c = 1 x Таким образом, функция y = e ( + x) решение исходной задачи Коши Пример 6 Решить задачу Коши y 4y + 1y = 0, y(0) = 5, y (0) = 0 Решение Составим сначала характеристическое уравнение λ 4λ + 1 = 0 Это уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня λ1, = ± 9 = ± i Следовательно, общим решением исходного дифференциального уравнения является функция x ( 1 y = e c sin x + c cosx) Вычислим производную этой функции: x y = e ((c c )sin x + (c + c )cos x) 1 1 Воспользовавшись начальными условиями, получаем систему уравнений: Таким образом, c 5, c 5, = = 10 c1 + c = 0, c = y = e x искомое решение задачи Коши 10 ( sin x + 5cosx) ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

14 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами Дифференциальные уравнения вида ay + by + cy = f ( x), где a, b, c числа, называют линейными неоднородными дифференциальными уравнениями -го порядка с постоянными коэффициентами Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид y = y о + y ч, где y о общее решение однородного уравнения, а y ч какое-нибудь решение неоднородного уравнения (частное решение) Пример 7 Решить задачу Коши 5x y 5y + 4y = 8 e, y(0) = 7, y (0) = 6 Решение Найдем сначала общее решение однородного уравнения y 5y + 4y = 0 Для этого составим характеристическое уравнение λ 5λ + 4 = 0 Это уравнение имеет два различных вещественных корня: λ1 = 1, λ = 4 Следовательно, общим решением однородного уравнения является функция o x 1 4x y = c e + c e Найдем теперь какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения Будем искать его в виде x y y + y = e y = Ae 5x ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

15 Тогда ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) x 5x y = 5 Ae, y = 5Ae Подставив эти выражения в уравнение, получим: 5x 5x 5x 5x 5x 5Ae 5Ae + 4Ae = 8e 4A = 8, A = y = e Теперь можно выписать общее решение неоднородного уравнения: Вычислим производную: x 4x 5x y = c1e + ce + e x 4x 5x y = c e + c e + e Воспользовавшись начальными условиями, получим систему уравнений: y(0) = c1 + c + = 7, c1 = 8, y (0) = c1 + 4c + 10 = 6, c = Искомое решение задачи Коши имеет вид: x 4x 5x y = 8e e + e ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

16 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1 Что называется дифференциальным уравнением? Что такое порядок дифференциального уравнения? Как ставится задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка? 4 Что называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными? 5 В чем состоит схема решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными? 6 Что называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка? 7 В чем состоит схема решения однородного дифференциального уравнения первого порядка? 8 Что называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка? 9 В чем состоит схема решения линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка? 10 Что называется уравнением Бернулли? 11 В чем состоит схема решения уравнения Бернулли? 1 Какие дифференциальные уравнения второго порядка решаются при помощи понижения порядка? 1 В чем состоит схема решения дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка? 14 Как ставится задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка? 15 Что называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами? 16 Что называется характеристическим многочленом для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами? ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

17 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) В чем состоит схема решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами? 18 Что называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами? 19 В чем состоит схема решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами? ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

18 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) Решить задачи Коши: x 1 ( ) ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ x y y + e e = 0, y(0) = 1; xy = ( y + xy ), y(1) = 4; xy 1 ln x = y, y( e) = ; ( ) 4 5 y = y 4 cos x + y tg x, y(π) = 1; π π y = yy, y = 1, y = ; y y y y( ) y ( ) 8 = 0, 0 =, 0 = 5 ; = 0, 0 = 1, 0 = ; 7 y y y y ( ) y ( ) 8 y y y y ( ) y ( ) = 0, 0 =, 0 = 14; + 1 = sin, 0 = 10, 0 = y y x y ( ) y ( ) ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)

19 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495) Основная: ЛИТЕРАТУРА 1 Ахтямов АМ Математика для социологов и экономистов: Учебное пособие/под ред Беклемишева ДВ М: Физматлит, 005 Бугров ЯС, Никольский СМ Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие М: Физматлит, 001 Кремер НШ, Путко БА, Тришин ИМ, Фридман МН Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов М: ЮНИТИ, 00 4 Натансон ИП Краткий курс высшей математики СПб: Издательство «Лань», 005 Дополнительная: 5 Егоров АИ Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями М: Физматлит, Романко ВК Курс дифференциальных уравнеий и вариационного исчисления М: БИНОМ, Лаборатория знаний, Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред ВИЕрмакова М: ИНФРА-М, Щипачев ВС Задачник по высшей математике М: Высшая школа, Шипачев BC Высшая математика М: Высшая школа, 00 ООО «Резольвента», wwwresolventaru, (495)


МАТЕМАТИКА ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

МАТЕМАТИКА ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ООО «Резольвента», wwwresolvetaru, resolveta@listru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу ЧИСЛОВЫЕ

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ООО «Резольвента» www.resolventa.ru resolventa@list.ru (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2

y x dy dx dy dx arctg 2 arctg x = 2 C. 2 МГАПИ ТИПОВОЙ РАСЧЕТ Задание на домашнюю контрольную работу Раздел «Дифференциальные уравнения» Вариант 6 Задача Найти общий интеграл дифференциального уравнения ' = + 4 + Решение Разделяем переменные:

Подробнее

МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши

3. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Задача Коши Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение ( n ) ( n) F (, y,,, y, y ) = 0, () где

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Контрольная работа выполнена на сайте МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей

Контрольная работа выполнена на сайте  МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей Контрольная работа выполнена на сайте wwwmatburoru МатБюро Решение задач по математике статистике теории вероятностей МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РГР 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задание Найти общий интеграл

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы.

( ) ( ) 1 x (*) 2. Проинтегрировать обе части равенства, то есть: 3. Найти полученные интегралы. Памятка для практических занятий по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка. Содержание работы. Основные понятия.

Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка. Содержание работы. Основные понятия. Практическая работа 8 Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка. Содержание работы. Основные понятия. 1 Дифференциальные

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений С. Н. КУБЫШКИНА, Е. Ю. АРЛАНОВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ для технических направлений Практикум Самара 2017 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Занятие 13 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 13.1 Задача и теорема Коши Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка n, разрешённого относительно старшей

Подробнее

9 Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) 0, то уравнение неоднородное

9 Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) 0, то уравнение неоднородное Практическая работа 19 Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Цель работы: закрепить навыки решения дифференциальных уравнений первого порядка. Содержание работы. Основные понятия. 1 Дифференциальные

Подробнее

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции.

Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения». Найдём производную данной функции. Решение типового варианта ИДЗ «Дифференциальные уравнения» Задание Убедиться, что функция = (ln + C) удовлетворяет уравнению = Найдём производную данной функции = ln + C + = ln + C + Подставим данное выражение

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Учебное

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (9) 09-8-0 Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебно-методическое

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Дифференциальные уравнения Методические указания

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебно-методическое

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

4. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. 4.1 Основные понятия. называется переменная величина, зависящая от функции y ( x)

4. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. 4.1 Основные понятия. называется переменная величина, зависящая от функции y ( x) ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Основные понятия Пусть M - некоторое множество функций Функционалом J = J ( y называется переменная величина зависящая от функции y ( если каждой функции y( M по некоторому

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5 Решить уравнения: 0 Преобразуем уравнение: Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 0 Уравнение с разделяющимися переменными: ( ) d ( ) arcsin arcsin d Ответ: arcsin d d d Так как f, то заданное

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ

Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Направления подготовки бакалавров: 60600; 605050;60500; 60006 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Кафедра «Высшая математика 2» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика» ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания

Подробнее

Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра Прикладная математика Дифференциальные и разностные уравнения Методические указания к

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто

Кафедра высшей математики 3 А.В. Капусто Методические указания к самостоятельной подготовке за второй семестр по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 09 Содержание.

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

СПЕЦИФИКА ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ УНИВЕРСИТЕТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

СПЕЦИФИКА ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ УНИВЕРСИТЕТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. УДК 378 СПЕЦИФИКА ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ УНИВЕРСИТЕТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 6 ИВ Детушев, Л В Детушева, ВП Добрица 3 канд пед наук, преподаватель математики Центра довузовской

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Линейные уравнения 1-го порядка

Линейные уравнения 1-го порядка [Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsuaz/kitablar/846pdf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 6 часов. Во втором семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

p p dx dx dy dx dy + 2 y = = 0 смещение C 2 = 1. Таким образом, частное решение данного ДУ = x+ 1) Найти решение ДУ y ( y

p p dx dx dy dx dy + 2 y = = 0 смещение C 2 = 1. Таким образом, частное решение данного ДУ = x+ 1) Найти решение ДУ y ( y +, ) Найти решение ДУ ( ) удовлетворяющее начальным условиям,. Данное уравнение не содержит в явном виде независимой переменной x ; интегрируем его методом понижения порядка. Суть метода заключается в

Подробнее

Общее решение дифференциального уравнения y = 0 имеет вид

Общее решение дифференциального уравнения y = 0 имеет вид Задача 1.1. Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным краевым условиям (задача Штурма-Лиувилля) Решение: Рассмотрим

Подробнее

Учебный центр «Резольвента» К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике

Учебный центр «Резольвента» К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

z( 2; 1) = = 15

z( 2; 1) = = 15 9 Вариант Типовой расчет по математике Функции многих переменных. Дифференциальные уравнения. модуль Задание 1) В этом задании в каждом варианте даны функции u трёх переменных, y, z и уравнение в частных

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

МАТЕМАТИКА. «Уральский государственный экономический университет» Для студентов направления «Менеджмент» «Государственное муниципальное управление»

МАТЕМАТИКА. «Уральский государственный экономический университет» Для студентов направления «Менеджмент» «Государственное муниципальное управление» ФГБОУ ВО «Уральский государственный экономический университет» МАТЕМАТИКА Для студентов направления «Менеджмент» «Государственное муниципальное управление» заочной формы обучения семестр Екатеринбург,

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Учебно-методическое пособие

Подробнее

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид 4 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид y p y g y f () (5) где p, g R Дифференциальное уравнение всегда

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» К. Л. САМАРОВ, С.С. САМАРОВА ТРИГОНОМЕТРИЯ В ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Учебно-методическое пособие для подготовки

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Подробнее

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»

МАТЕМАТИКА ПОСОБИЕ. по изучению дисциплины и. выполнению контрольных работ по темам. «Дифференциальные уравнения» и «Ряды» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ------------------------------------------------------------------------------------------------- О.Г. Илларионова, В.А. Ухова МАТЕМАТИКА

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В Информатика Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И CВЯЗИ Кафедра высшей математики ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение)

Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) Занятие 12 Дифференциальные уравнения первого порядка (продолжение) 12.1 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

Логвенков С.А., Мышкис П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Логвенков С.А., Мышкис П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Логвенков С.А., Мышкис П.А. Самовол В.С. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Учебное пособие для факультетов менеджмента, политологии и социологии. Государственный университет

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента» www.resolventa.ru resolventa@list.ru (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебно-методическое

Подробнее

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y ) = 0, (1) где F заданная функция своих

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения»

Кафедра «Физика и математика» ВОПРОСЫ по дисциплине «Дифференцтальные уравнения» Министерство образования и науки Республики Казахстан Каспийский государственный университет технологий и инжиниринга имени ШЕсенова Кафедра «Физика и математика» Государственный экзамен по профилирующей

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Учебно-методическое пособие

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Авторский коллектив: В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко

Авторский коллектив: В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко 3-... 2012 УДК 517.9 ББК 22.161.1 C23 Авторский коллектив: В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко C23 Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению / В.

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей

Методические указания к решению контрольной работы 2 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Методические указания к решению контрольной работы по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики А.В. Капусто Минск 07 07 Кафедра «Высшая

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ II ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Б2.Б3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Бизнес-информатика

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Б2.Б3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Бизнес-информатика МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Мурманский государственный гуманитарный университет» (МГГУ) РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 2 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы для студентов

Подробнее

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или (

Уравнения в частных производных первого порядка. Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид = или ( Глава 8 Уравнения в частных производных первого порядка Лекция 3 Общее уравнение в частных производных первого порядка имеет вид,,,, F x 0,, x z = или ( F x, z,gradz = 0 Проблема существования и единственности

Подробнее

Контрольная работа 1. дифференциальному уравнению первого порядка. Р е ш е н и е. Найдем первую производную от заданной функции

Контрольная работа 1. дифференциальному уравнению первого порядка. Р е ш е н и е. Найдем первую производную от заданной функции Контрольная работа 1 Задание 1 Показать, что функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка Р е ш е н и е Найдем первую производную от заданной функции ( После подстановки

Подробнее

О. А. Кононова, Н. И. Ильинкова, Н. К. Филиппова. Метод Коши для линейного неоднородного уравнения. учебно-методическая разработка

О. А. Кононова, Н. И. Ильинкова, Н. К. Филиппова. Метод Коши для линейного неоднородного уравнения. учебно-методическая разработка Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Физический факультет Кафедра высшей математики и математической физики О. А. Кононова, Н. И. Ильинкова, Н. К. Филиппова

Подробнее