ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ"

Транскрипт

1 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Методические указания по выполнению самостоятельной работы для студентов I курса дневной формы обучения Хабаровск Издательство ТОГУ

2 УДК () Определители Матрицы Системы линейных уравнений : методические указания по выполнению самостоятельной работы для студентов I курса дневной формы обучения / сост И М Степанова Хабаровск : Изд-во Тихоокеан гос ун-та, с Методические указания составлены на кафедре прикладной математики и информатики Включают основные понятия и определения части раздела линейной алгебры, примеры решения задач и задания к самостоятельной работе Печатается в соответствии с решениями кафедры прикладной математики и информатики и методического совета факультета математического моделирования и процессов управления Тихоокеанский государственный университет,

3 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Методические указания по выполнению самостоятельной работы для студентов I курса дневной формы обучения Степанова Ирина Михайловна Главный редактор Л А Суевалова Редактор Н Г Петряева Подписано в печать Формат / Бумага писчая Гарнитура «Таймс» Печать цифровая Усл печ л, Тираж экз Заказ Издательство Тихоокеанского государственного университета, Хабаровск, ул Тихоокеанская, Отдел оперативной полиграфии издательства Тихоокеанского государственного университета, Хабаровск, ул Тихоокеанская,

4 Определители Матрицы Системы линейных уравнений Общие сведения Определители матриц второго и третьего порядка Определителем матрицы второго порядка называется число à à à à à à àà àà à Определителем матрицы третьего порядка называется число à à à à à à à à à à à à à à à à à à à à à à à à П р и м е р Вычислить определители матриц:, Р е ш е н и е Разложение определителя матрицы по элементам строки или столбца Минором М i j элемента a i j определителя n-го порядка называется определитель (n-)-го порядка, который получается в результате вычеркивания в определителе n -го порядка строки и столбца, содержащих элемент a i j Алгебраическим дополнением А i j элемент а i j называется его минор, умноженный на (-) i+j : А i j = (-) i+ j M i j Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т е

5 à ai a n a ai a n an ain a nn a i A i a i A i a где i,,, n; Это равенство называется разложением определителя матрицы по элементам i-й строки П р и м е р Вычислить определитель, разлагая его по элементам третьего столбца: Р е ш е н и е A a A a A a a A in A in, Свойства определителей n-го порядка При замене каждой строки определителя столбцом с тем же самым номером значение определителя не изменяется, т е a a an a a an a a an a a an a n a n a nn a n a n a nn Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя, т е

6 a ka i a n a ka i a n an ka a in nn a k ai a n a ai a n an ain Если каждый элемент k-го столбца определителя представлен в виде двух слагаемых a i k = b i k + c i k, то этот определитель равен сумме двух определителей, у которых все столбцы кроме k-го, те же самые, что и в исходном определителе, k-й столбец в первом слагаемом состоит из элементов b i k, i =,,, n, а во втором слагаемом из элементов c i k, i =,,, n Аналогичное утверждение справедливо и для строк a a a n b b b k k nk c c c k k nk a a a n n nn a a a n b k bk b nk a a nn n an a Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю Определитель не изменится, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число Определитель, у которого какая-либо строка (столбец) состоит из нулей, равен нулю Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю При перестановке двух строк (столбцов) определитель умножается на - Вычисление определителей Если в определителе порядка n имеется столбец (строка), все элементы которого равны нулю, кроме одного, то, разложив этот определитель по этому столбцу (строке), сведем вычисление определителя n-го порядка к вычислению единственного определителя порядка (n-) Если же в определителе n-го порядка нет столбца (строки), все элементы которого равны нулю, кроме одного, то, используя свойство определителей, можно, не изменяя величины определителя, преобразовать его так, чтобы в выбранном столбце (строке) все элементы, кроме одного, обратились в нуль a nn a a n c k ck c nk a n an a nn

7 П р и м е р Вычислить определитель: Р е ш е н и е ) к третьей строке прибавим первую; ) прибавляя к первой строке удвоенную третью, ко второй третью, умноженную на, а к четвертой строке третью, умноженную на, получим ) прибавляя к первой строке, умноженной на, вторую, а затем, прибавляя к первой строке, умноженной на, третью, получим Действия с матрицами Прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей размера m n : a a an a a an А am am amn Каждый элемент матрицы снабжается двумя индексами: первый указывает номер строки, а второй номер столбца, в которых расположен этот элемент Две матрицы называются равными, если числа их строк и столбцов равны и если равны элементы, расположенные на соответствующих местах этих матриц Если число столбцов матрицы n равно числу ее строк, то матрицу называют квадратной матрицей порядка n Элементы a, a,, a n n квадратной матрицы порядка n образуют ее главную диагональ Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю Диагональная матрица называ-

8 ется единичной, если все ее элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице Суммой матриц А и В одинаковых размерностей называется матрица, элементы которой равны суммам элементов матриц А и В, расположенных на соответствующих местах: à an b bn ab an bn am amn bm bmn am bm amn bmn Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число Матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В В результате умножения получится матрица С, у которой столько же строк, сколько их в матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В: a a an ñ c j ck b b j bk b b j b k, ai ai ain ci cij cik bn bnj bnk am am amn cm cmj cmk А элементы с i j матрицы С вычисляются по формуле cij aib j aib j ainbnj, т е для получения элемента c i j, расположенного в i-й строке и j-м столбце матрицы С, надо элементы i-й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и полученные результаты сложить П р и м е р Выполнить следующие действия: Р е ш е н и е П р и м е р Вычислить произведение матриц А ; В

9 Р е ш е н и е Так как сомножители имеют размерности и, то их произведение определено и имеет размерность Р е ш е н и е c c c c c c c c c  À П р и м е р Вычислить произведение матриц, В А Р е ш е н и е Так как сомножители имеют размерности и, то их произведение определено и имеет размерность Обратная матрица Матрица А - называется обратной для квадратной матрицы А, если АА - = А - А = Е Квадратная матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю Квадратная матрица А, определитель которой не равен нулю, имеет единственную обратную матрицу, A А А A А А A А А А nn n n n n где Δ определитель матрицы А; А i j алгебраическое дополнение элемента a i j матрицы А

10 Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы называют следующие преобразования: а) умножение i-й строки (столбца) матрицы на число k ; б) прибавление к i-й строке (столбцу) j-й строки (столбца), умноженной на число k; в) перестановка i-й и j-й строк (столбцов) матрицы Обратная матрица позволяет найти решения следующих матричных уравнений: AX = C, XB = C, AXB = C Решением этих уравнений являются соответственно матрицы X = A - C, X = CB -, X = A - CB -, если А и В имеют обратные матрицы П р и м е р Найти матрицу обратную к матрице Р е ш е н и е Определитель матрицы А: А Алгебраические дополнения ее элементов: A ; A ; A ; A Следовательно, A П р и м е р Найти матрицу обратную к матрице А Р е ш е н и е Определитель матрицы А: Δ = Алгебраические дополнения ее элементов: А = -; А = ; А = ; А = ; А = -; А = ; А = ; А = ; А = - Следовательно, А Ранг матрицы Выберем в матрице А размерности m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m,n) Элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка, определитель которой называется

11 минором k-го порядка матрицы А Элементы матрицы являются минорами первого порядка Если в матрице А имеется минор k-го порядка, не равный нулю, а все ее миноры (k+)-го порядка, окаймляющие этот минор (т е содержащие минор k-го порядка целиком внутри себя), равны нулю, то ранг матрицы равен k Вычисление ранга матрицы методом окаймления миноров Найти ненулевой элемент матрицы (если такого нет, то ранг матрицы равен нулю) Вычислить миноры второго порядка, которые окаймляют выбранный элемент Если среди вычисленных миноров второго порядка имеется отличный от нуля, рассмотреть все миноры третьего порядка, окаймляющие какойнибудь минор второго порядка, не равный нулю Продолжить так до тех пор, пока все миноры, окаймляющие ненулевой минор l-го порядка, не будут равны нулю В этом случае ранг матрицы равен l Матрица размерности m n называется трапецеидальной, если она имеет вид a a ar an a ar an arr arn, где а, а, а rr отличны от нуля Каждую матрицу с помощью элементарных преобразований строк и столбцов можно превратить в трапецеидальную Так как элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы и ранг трапецеидальной матрицы равен числу ненулевых строк, то для отыскания ранга матрицы надо: ) элементарными преобразованиями превратить матрицу в трапецеидальную; ) подсчитать число ненулевых строк в трапецеидальной матрице П р и м е р Вычислить методом окаймления миноров ранг матрицы

12 Р е ш е н и е Так как матрица содержит ненулевые элементы, то ее ранг не меньше Минор второго порядка отличен от нуля и, значит, ранг матрицы не меньше Вычислим окаймляющие миноры третьего порядка: Итак, все миноры, окаймляющие минор, равны нулю Следовательно, ранг данной матрицы равен П р и м е р Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы Р е ш е н и е Превратим данную матрицу в трапецеидальную с помощью элементарных преобразований: ) Умножим первую строку на - и прибавим к второй; ) Умножим первую стоку на - и прибавим к третьей; ) Умножим первую строку на - и прибавим к четвертой, получим ) Умножим вторую строку на - и прибавим к третьей; ) Умножим вторую строку на - и прибавим к четвертой, получим Таким образом, ранг матрицы равен Решение систем линейных уравнений Система линейных уравнений имеет вид

13 a a an n b, a a an n b, am am amnn bm где a i j коэффициенты при неизвестных;b i j свободные члены (i =,,, m; j =,,, n) Прямоугольная таблица чисел a a an a a an, am am amn составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы a a an b a a an b, Расширенной называется матрица am am amn bm которая получается приписыванием к матрице системы столбца свободных членов Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен рангу ее расширенной матрицы (теорема Кронекера-Капелли) Совместная система уравнений имеет либо одно, либо бесконечно много решений В первом случае она называется определенной, а во втором неопределенной Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной Если система уравнений содержит уравнение, b, n b называемое противоречивым, то она несовместна Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же решения Если в системе вычеркнуть одно или несколько уравнений, n называемых тривиальными, то получим систему уравнений, равносильную исходной Следующие преобразования системы линейных уравнений, называемые элементарными, не изменяют множества решений системы: ) умножение какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число;

14 ) прибавление к обеим частям i-го уравнения соответствующих частей j-го уравнения, умноженных на число k Формулы Крамера Система линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера:,,,, n n где определитель матрицы системы; k определитель, получаемый из определителя заменой k-го столбца столбцом свободных членов П р и м е р Решить систему уравнений Р е ш е н и е Вычислим определитель матрицы системы уравнений: Следовательно, система имеет единственное решение, которое можно найти с помощью формул Крамера Вычислим определители: По формулам Крамера находим: ; ;

15 Общее решение системы линейных уравнений Неизвестное k называется разрешенным, если какое нибудь уравнение системы содержит k c коэффициентом единица, а во всех остальных уравнениях системы неизвестное k не содержится, т е содержится с коэффициентом нуль Система уравнений называется разрешенной, если каждое ее уравнение содержит разрешенное неизвестное Например, система уравнений, является разрешенной, так как неизвестные, и разрешенные Если из каждого уравнения разрешенной системы уравнений выбрать по одному разрешенному неизвестному, то получим набор разрешенных неизвестных Все неизвестные, не входящие в набор разрешенных неизвестных, называются свободными В приведенной выше разрешенной системе и свободные неизвестные Общим решением совместной системы уравнений называется равносильная ей разрешенная система, в которой разрешенные неизвестные выражены через свободные Если в общем решении свободным неизвестным придать какиенибудь числовые значения, то получим решение данной системы, называемое частным Придавая свободным неизвестным всевозможные числовые значения, можно получить все решения данной системы линейных уравнений Общее решение системы уравнений можно получить с помощью формул Крамера и методом Гаусса Построение общего решения с помощью формул Крамера Выяснить совместность данной системы уравнений, т е выяснить, совпадают ли ранги матрицы и расширенной матрицы системы уравнений Найти один из миноров матрицы А системы уравнений, порядок которого равен рангу А Выписать все уравнения данной системы, которые содержат строки минора М В этих уравнениях оставить в левых частях только те неизвестные, коэффициенты при которых являются столбцами минора М, а остальные неизвестные перенести в правую часть Решить систему уравнений, полученную в пункте, по формулам Крамера Метод Гаусса состоит из ряда шагов При выполнении очередного шага используют следующий алгоритм

16 Построение общего решения методом Гаусса Проверить, имеется ли в системе противоречивое уравнение Если такое уравнение в системе есть, то она несовместна и не имеет общего решения Вычеркнуть все тривиальные уравнения в системе, если они есть Выяснить, является ли система уравнений разрешенной Если она разрешенная, то построить общее решение, выражая разрешенные неизвестные через свободные Найти уравнение в системе, не содержащее разрешенного неизвестного С помощью элементарных преобразований получить в этом уравнении неизвестное с коэффициентом единица, а затем исключить это неизвестное из остальных уравнений системы Выполнить следующий шаг, т е перейти к выполнению пункта Через конечное число шагов процесс остановится и будет установлена несовместность системы или получено общее решение системы линейных уравнений П р и м е р Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное решение системы уравнений Р е ш е н и е Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы системы и равен, то система совместна Выберем минор, составленный из коэффициентов при неизвестных и первого и третьего уравнений Этот минор отличен от нуля и его порядок равен рангу матрицы системы Выпишем первое, третье уравнения данной системы, которые содержат строки минора М: В этих уравнениях оставим в левой части неизвестные и, коэффициенты при которых являются столбцами минора М, а остальные неизвестные перенесем в правую часть:

17 Решим полученную систему по формулам Крамера: Теперь имеем общее решение данной системы Неизвестные и свободные неизвестные Если положить,, то из общего решения находим, Следовательно,,,, частное решение исходной системы уравнений Задания для выполнения расчетно-графической работы Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если A, B Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X

18 Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - = Е, если A Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где A, B Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

19 Вариант Вычислить определитель матрицы A, а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если A, B Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если A Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где A, B

20 Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если

21 В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если A Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса

22 Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если A Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где A, B

23 Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если

24 В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если A Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности

25 а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если A

26 Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

27 Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений:

28 Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В

29 Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса

30 Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если A Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В

31 Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце

32 Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности

33 Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X

34 Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса

35 Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В

36 Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В

37 Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

38 Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б А В; в) А-Е; г) А т и В т если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности

39 Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А

40 Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы

41 а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности

42 Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А Найти общее решение системы уравнений:

43 Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце

44 Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, есл В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности

45 а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А Найти общее решение системы уравнений:

46 Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить еѐ: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце

47 Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где À, В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности

48 а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А Найти общее решение системы уравнений:

49 Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце

50 Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности

51 а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А

52 Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить еѐ: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы

53 а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности

54 Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А

55 Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы

56 а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности

57 а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А

58 Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы

59 а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений:

60 Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса: Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если А, В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X

61 Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где, В Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

62 Вариант Вычислить определитель матрицы а) разложив по элементам первой строки; б) разложив по элементам первого столбца; в) получив предварительно нули в какой-нибудь строке или столбце Найти: а) А В; б) А В; в) А-Е; г) А т и В т, если В Найти неизвестную матрицу X из уравнения: X Дана матрица А Найти А - и установить, что А А - =Е, если А Найти общее решение системы уравнений: Найти общее решение неоднородной системы А X=В, где В

63 Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений: Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности а) по формулам Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса:

64 Библиографический список Ермаков В И Сборник задач по высшей математике для экономистов : учеб пособие / В И Ермаков М : ИНФРА-М, с Данко П Е Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб пособие В ч / П Е Данко, А Г Попов, Т Я Кожевникова М : Высш шк, Ч с Матюхина Л Я Определители Матрицы Системы линейных уравнений : методические указания и задания к типовому расчету для студентов I курса факультета автоматики, вычислительной техники и информатики / сост Л Я Матюхина, Л Ф Федосеева, Хан Сун Э Хабаровск : Изд-во Хабар гос техн ун-та, с Линейные преобразования : методические указания к практическим занятиям по алгебре и задания к самостоятельной работе для студентов специальности «Прикладная математика» / сост Н А Ерзакова Хабаровск : Изд-во Хабар гос техн ун-та, с Рябушко А П Сборник индивидуальных заданий по высшей математике : учеб пособие В ч / А П Рябушко Минск : Выш шк, Ч с Оглавление Определители Матрицы Системы линейных уравнений Общие сведения Определители матриц второго и третьего порядка Разложение определителя матрицы по элементам строки или столбца Свойства определителей n-го порядка Вычисление определителей Действия с матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Решение систем линейных уравнений Формулы Крамера Общее решение системы линейных уравнений Задания для выполнения расчетно-графической работы Библиографический список

65 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Хабаровск


Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИП КАРАСЁВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рязань Министерство образования и науки Российской Федерации Рязанский

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Центр Дистанционного

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Б.Г. Бочков Н.В. Воробьева Е.Ф. Шестакова ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ

ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Лекции по Математике. Вып. ТММ-1 Ю. В. Чебраков ТЕОРИЯ МАГИЧЕСКИХ МАТРИЦ Санкт-Петербург, 2010 УДК 511+512 ББК 22 Ч45 Р е ц е н з е н т ы: Доктор физико-математических наук, профессор С.-Петерб. техн.

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5

СОДЕРЖАНИЕ. Предисловие... 5 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие........................................................... 5 1. Элементы линейной алгебры............................................ 6 ИДЗ 1. Определители..............................................

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц.

Заметим, что квадратные скобки удобны для записи больших матриц. Введение Определители являются базовым инструментарием, который применяется в различных приложениях математики. Предмет изучения данной темы изучение понятия определителя, его свойств и способов вычисления,

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Математический анализ» А.П.

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Семинар 7. Линейная алгебра

Семинар 7. Линейная алгебра 1 Семинар 7. Линейная алгебра Теоретические вопросы для самостоятельного изучения: 1. Определители и их свойства. 2. Матрица. Виды матриц. 3. Действия над матрицами 4. Обратная матрица. Решение матричных

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ» Кафедра высшей математики. Линейная алгебрa. Методические указания. для студентов-заочников. экономических специальностей

РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ» Кафедра высшей математики. Линейная алгебрa. Методические указания. для студентов-заочников. экономических специальностей МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

Расчетная работа 2. Краткие теоретические сведения

Расчетная работа 2. Краткие теоретические сведения Расчетная работа Тема: «Нахождение обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы» Цель работы: научиться определять ранг матрицы; отработать навыки вычисления обратной матрицы и решения матричных уравнений.

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» http://ebibliobruby/xmlui/ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И.

Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И. Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов Москва

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие

ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ. В.Л. Клюшин. Учебное пособие РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ В.Л. Клюшин Высшая МАтемаТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ Учебное пособие Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители Е.В. Черникова, Н.Н. Белов

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители Е.В. Черникова, Н.Н. Белов Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский государственный архитектурно-строительный

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Глава 2. Системы линейных равнений

Глава 2. Системы линейных равнений Глава истемы линейных равнений Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений истема m линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) с неизвестными имеет вид a a a b a a a b () am am am bm Здесь

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А, называется число:

Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А, называется число: 1. Определители второго и третьего порядка. Квадратная таблица, составленная из четырех действительных чисел (или комплексных), называется квадратной матрицей второго порядка. A = ( a 11a 12 a 21 a ) 22

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Решение типового варианта: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. Найдите произведение матриц ABC: Решение типового варианта: Так как произведение матриц не перестановочно, то найти данное произведение можно двумя способами: Для определенности воспользуемся вторым

Подробнее

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы.

Ранг также не меняется при вычеркивании из матрицы нулевой строки и при транспонировании матрицы. .4. Ранг матрицы. В матрице А выделим k строк и столбцов из элементов, стоящих на их пересечении составим определитель. Будем называть его минором k-того порядка. Если минор k-того порядка отличен от нуля,

Подробнее

Линейная алгебра. Матрицы

Линейная алгебра. Матрицы Линейная алгебра. Матрицы (вводные определения и примеры) Предуведомление: ниже лишь краткий конспект, не предназначенный для замены имеющихся учебных пособий. Под матрицей в математике понимается таблица,

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

ОБУЧАЮЩИЙ ТЕСТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

ОБУЧАЮЩИЙ ТЕСТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» Т.А. Капитонова ОБУЧАЮЩИЙ ТЕСТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА» для студентов, обучающихся по специальности 64 Таможенное дело очной формы обучения Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное

Подробнее

1. Линейная алгебра. a21x1 a12 x2 a13 x3 b2

1. Линейная алгебра. a21x1 a12 x2 a13 x3 b2 1. Линейная алгебра 1.1. В 1 представлены задачи на решение линейных алгебраических крамеровских систем с определителем, отличным от нуля, вычисление определителей и действий с матрицами. Линейные алгебраические

Подробнее

Репозиторий БНТУ МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ. Учебно-методическое пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Репозиторий БНТУ МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ. Учебно-методическое пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика 2» МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Учебно-методическое пособие Часть 1 Минск БНТУ

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, ТС Соболева, НО Фастовец МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ

Подробнее

II. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ

II. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ II МАТРИЦЫ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СИСТЕМЫ Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» Институт образовательных информационных технологий II МАТРИЦЫ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Подробнее

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Министерство общего и профессионального образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический университет ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Методические указания и контрольные задания по высшей математике для

Подробнее

«Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

«Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» ТЕКСТИЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ Текстильный институт

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Как изменится произведение B матриц и B если: а переставить -ю и j -ю строки матрицы? б переставить -й и j -й столбцы матрицы B? в к -й строке матрицы прибавить ее j -ю строку

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее