a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn"

Транскрипт

1 Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация элементов матрицы: () верхний индекс номер строки, нижний индекс номер столбца: n A = n ; m m m n () первый индекс номер строки, а второй номер столбца: n A = n m m mn Сокращенные обозначения: n n = (i j) m n, m m m n n n = ( ij) mn m m mn Множество всех матриц размера m n, элементы которых принадлежат множеству X, обозначается X m n Для нас наиболее интересен случай, когда X некоторое числовое поле K (K = Q, R или C) Специальные виды матриц Нулевая матрица: все элементы равны нулю; обозначение O Квадратная матрица: количество строк равно количеству столбцов); порядок квадратной матрицы это количество ее строк (столбцов) Следом квадратной матрицы называется сумма ее диагональных элементов: tr A = n n

2 Диагональная матрица: квадратная матрица, у которой i j = для всех i j, 3 3 = dig(,, n n) n n n n Верхнетреугольная (правая треугольная) матрица: квадратная матрица, у которой i j = для всех i > j, Нижнетреугольная (левая треугольная) матрица: квадратная матрица, у которой i j = для всех i < j, Матрицы A и B называются равными, A = B, если () их размеры равны: A = ( i j) m n, B = (b i j) m n ; () элементы, стоящие на соответственных местах, равны между собой: i j = b i j i =,, m, j =,, n Линейные операции и их свойства Сумма матриц A = ( i j) m n и B = (b i j) m n одинакового размера m n: C = A + B c i j = i j + b i j i =,, m, j =,, n Произведение матрицы A = ( i j) m n на число α: D = αa d i j = α i j i =,, m, j =,, n Теорема Операции над матрицами обладают следующими свойствами () коммутативность сложения: A, B K m n A + B = B + A; () ассоциативность сложения: A, B, C K m n (A + B) + C = A + (B + C);

3 3 (3) свойство нулевой матрицы: A K m n A + O = A, где O K m n ; (4) существование противоположной матрицы: A K m n A K m n : A + A = O; (5) свойство единицы: A K m n A = A; (6) ассоциативность умножения на число: α, β K, A K m n : α(βa) = (αβ)a; (7) дистрибутивность-: α K, A, B K m n α(a + B) = αa + αb; (8) дистрибутивность-: α, β K, A K m n (α + β)a = αa + βa 3 Умножение матриц Произведение матриц A K m s и B K s n матрица C = AB K m n, элементы которой вычисляются по формуле s c i j = i kb k j k= Перемножить матрицы можно лишь в том случае, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй Пример ( ) ( ) ( ) ( ) = = ; ( ) ( ) 5 не существует; ( ) ( = ) ( ) 8 = ; ( ) = = ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =, = ;

4 4 здесь ( ) ( ) ( ) 3 7 = ; AB BA ( ) ( ) ( ) 3 7 = Здесь AB = BA Единичная матрица диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны Элементы единичной матрицы обозначаются δj i, если i = j, =, если i j; δ i j называется символом Кронекера Обозначения: I, E; если нужно указать размер I n, E n Теорема Операция умножения матриц обладает следующими свойствами: () ассоциативность умножения: A K m s, B K s p, C K p n A(BC) = (AB)C; () дистрибутивность-: A K m s, B, C K s n A(B + C) = AB + AC; (3) дистрибутивность-: A, B K m s, C K s n (A + B)C = AC + BC; (4) свойство единичной матрицы: A K m n I m A = AI n = A Докажем соотношение Пусть Рассмотрим произведение Далее, x i l = s j= D {}}{{}}{ A( B C ) = ( A B )C }{{}}{{} X Y A = ( i j) m s, B = (b j k )s p, C = (c k l ) p n D = BC = (d j l )s n, d j l = i j d j l = s j= Произведения в правой части равенства: F X = AD = (x i l) m n, i j ( p k= b j k ck l F = AB = (f i k) m p, f i k = ) p k= = b j k ck l s j= p k= s i j b j k, j= i j b j k ck l

5 5 Y = F C = (y i l) m n, y i l = p k= f i k c k l = ( p s k= j= i j b j k ) c k l = p k= s j= i j b j k ck l Ясно, что x i l = yi l, так как выражения этих величин отличаются лишь порядком суммирования 4 Структура произведения матриц Рассмотрим матрицы A = ( j l )m p K m p, B = (b l k) p n K p n, Наша задача описать структуру столбцов матрицы C = AB Представим матрицу A в виде совокупности столбцов A = [A A A p ], где p p A =, A =,, A p = m m m p Произведением матриц A K m p и B K p n является матрица C K m n, элементы которой вычисляются по формуле c j k = p l= j l b l k, j =,, m, k =,, n Представим матрицу C в виде совокупности столбцов: C = [C C C n ] Обсудим строение k-го столбца: C k = p l= = p c ḳ c m k l= l m l b l k b l k = p l b l k = l= m l p A l b l k = A B k l= Таким образом, доказаны следующие утверждения () k-й столбец матрицы AB равен линейной комбинации столбцов матрицы A с коэффициентами, равными элементам k-го столбца матрицы B () k-й столбец матрицы AB равен произведению матрицы A на k-й столбец матрицы B

6 6 5 Транспонирование Дана матрица A = ( i j) m n K m n Матрица B = (b j i ) n m K n m, b j i = i j, называется транспонированной для A Обозначения: B = A T = A tr = tr A Пример ( ) T 4 3 = Теорема Операция транспонирования обладает следующими свойствами: (A + B) T = A T + B T ; (αa) T = α A T ; 3 (A T ) T = A; 4 (AB) T = B T A T Докажите самостоятельно Матрица A называется симметричной, если A = A T Матрица A называется кососимметричной, если A = A T Пример , 3 3 Множества всех симметричных и кососимметричных матриц порядка n обозначаются SK n n, AK n n Теорема Любую квадратную матрицу A можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц: A = (A + AT ) + }{{} (A AT ) }{{} симм кососимм Отметим, что такое представление единственно 6 Определитель произведения матриц В этом разделе матрицы A, B имеют следующую структуру: ( ) 3 A = или Теорема Если A, B матрицы второго или третьего порядка, то Доказательство для det- det(a B) = det A det B det(ab) = det[ab, AB ] = det [ A ( b I + b I ), A ( b I + b I )] =

7 7 = b det [ AI, A ( b I + b I )] + b det [ AI, A ( b I + b I )] = = b b det [AI, AI ] }{{} = + b b det [AI, AI ] }{{} =det A + b b det [AI, AI ] }{{} = det A = det A ( b b b b ) = det A det B + b b det [AI, AI ] = }{{} = Доказательство для det-3 Прежде всего запишем формулу полного разложения det-3: b b b 3 b b b 3 = b b b b b 3 b 3 + b 3 b b 3 b b 3 b 3 b b b 3 3 b 3 b b 3 b 3 b 3 b 3 3 Структура этой формулы такова: в каждом слагаемом нижние индексы следуют в естественном порядке,, 3, а верхние образуют некоторую перестановку чисел,, 3; всего слагаемых 6, по числу возможных перестановок из 3 элементов, 3! = 6 Слагаемое входит в формулу со знаком «+», если последовательность верхних индексов в нем получена из последовательности,, 3 четным числом перестановок соседних элементов, и со знаком в противном случае: Для определителя произведения матриц имеем: ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) det(ab) = det [AB, AB, AB 3 ] = det A b i I i, A b j I j, A b k 3I k i= j= k= = }{{}}{{}}{{} B B B 3 [ ( 3 3 ) ( 3 )] = b i det AI i, A b j I j, A b k 3I k = = = 3 i= 3 3 j= k= i= j= b i b j b k 3 det [AI i, AI j, AI k ] = 3 i= 3 k= 3 j= k= b i b j b k 3 det [A i, A j, A k ] В этой сумме 3 3 = 7 слагаемых, но большинство из них равно нулю, так как содержат в качестве множителя det-3 вида det[a i, A j, A k ] с одинаковыми столбцами Далее, если все столбцы A i, A j, A k различны, то det[a i, A j, A k ] = ± det A, где знак «+» или зависит от того, четным или нечетным числом перестановок столбцов получен det[a i, A j, A k ] из det[a, A, A 3 ] = det A

8 8 Поэтому, продолжая выкладку, получаем ( ) det(ab) = det A b b b b b 3 b 3 + b 3 b b 3 b b 3 b 3 b b b 3 3 b 3 b b 3 = det A det B 7 Обратная матрица Понятие обратной матрицы определено только для квадратных матриц Дана матрица A K n n Матрица A K n n называется обратной к матрице A, если A A = AA = I Матрица A в этом случае называется обратимой Уже на примере матрицы ясно, что обратная матрица существует не для любой матрицы: матрица () необратима Теорема Если для матрицы A существует обратная A, то она единственна Предположим, что матрица A имеет две различные обратные матрицы B и C, те Имеем: AB = BA = I, AC = CA = I B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C, те B = C Теорема Матрица A обратима тогда и только тогда, когда det A, что эквивалентно условию линейной независимости столбцов (строк) матрицы A Замечание Сейчас нас интересует вопрос о существовании обратных матриц для матриц порядка и 3 Всюду далее в доказательстве считаем, что n = 3 На самом деле теорема вместе с доказательством справедлива для матрицы A любого порядка Предположим, что существует A Имеем A A = I = det(a A) = det I = = det A det A = = det A Пусть det A Рассмотрим матрицу, составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы A: A A A n A B = A A n = (Ak j ) n n; A n A n A n n она называется присоединенной к матрице A Вычислим произведение C = A B T : c i j = n k= i ka j k = det A, i = j,, i j Таким образом, матрица det A BT является обратной для A Эта формула позволяет вычислить обратную матрицу A

9 9 Пример Пусть ( A = c b d ) Алгебраические дополнения элементов присоединенная матрица так что обратная матрица равна АД() = d, АД(b) = c, АД(c) = b, АД(d) =, B = ( A = det A BT = d b ) c, ( d bc d c ) b СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: x + x + + nx n = b, x + x + + nx n = b, m x + m x + + m n x n = b m Сокращенно СЛУ Введем основную и расширенную матрицы системы: n A = n = [A, A,, A n ], m m m n n b à = n b = [A, B], X = m m m n b m Систему можно записать в матричном виде а также в виде AX = B, A x + A x + + A n x n = B Набор чисел x, x,, x n (столбец X = (x, x,, x n ) T ) называется решением СЛУ, если при подстановке этих чисел в каждое из уравнений системы получаем верное числовое равенство (при подстановке столбца в матричное уравнение получаем верное матричное равенство) СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений x x x n

10 Две совместные СЛУ называются эквивалентными, если множества их решений совпадают Ясно, что эквивалентные СЛУ содержат одинаковое число неизвестных; число же уравнений в них может быть различным Следующие преобразования СЛУ переводят ее в эквивалентную СЛУ: () перестановка двух уравнений местами; () умножение любого уравнения СЛУ на число α ; (3) прибавление к любому уравнению СЛУ другого уравнения, умноженного на произвольное число Эти преобразования СЛУ называются элементарными (ЭП) Иногда к элементарным преобразованиям причисляют (4) удаление из СЛУ уравнения вида x + x + + x n = Однородные системы СЛУ называется однородной (ОСЛУ), если столбец правых частей нулевой: x + x + + nx n =, x + x + + nx n =, m x + m x + + m n x n = ОСЛУ всегда совместна: числа x = x = = x n = образуют ее решение, называемое тривиальным Может ли ОСЛУ иметь нетривиальное решение? Теорема ОСЛУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда столбцы ее основной матрицы ЛЗ Пусть ОСЛУ имеет нетривиальное решение x,, x n ; это означает, что A x + A x + + A n x n = O, где хотя бы один коэффициент x k ; это и означает ЛЗ столбцов A, A,, A n Пусть столбцы основной матрицы ОСЛУ ЛЗ, те A x + A x + + A n x n = O, где хотя бы один из коэффициентов x k Этот набор коэффициентов и образует нетривиальное решение ОСЛУ Теорема Если X, X два решения ОСЛУ AX =, то любая их ЛК также является решением этой ОСЛУ Пусть c, c произвольные числа Имеем: AX = O, AX = O = c AX + c AX = A(c X + c X ) =, те ЛК c X + c X является решением ОСЛУ Фундаментальная совокупность решений (ФСР) ОСЛУ это такой упорядоченный набор линейно независимых решений X, X,, X s, что любое решение ОСЛУ можно представить в виде их линейной комбинации: где c, c,, c s произвольные числа X = c X + c X + + c s X s,

11 Матрица Φ, столбцами которой являются столбцы ФСР, называется фундаментальной матрицей (ФМ) ОСЛУ: Φ = [X, X,, X s ] Общее решение ОСЛУ выражается через ФМ по формуле c c X = Φ Неоднородные системы Система AX = B называется неоднородной (НСЛУ), если B O Часто НСЛУ AX = B рассматривают вместе с ОСЛУ AX = O Теорема Если X, X решения НСЛУ AX = B, то X X решение ОСЛУ AX = O Пусть AX = B, AX = B Тогда c s A(X X ) = AX AX = B B = O Таким образом, любое решение НСЛУ можно представить в виде суммы некоторого частного решения НСЛУ и какого-либо решения ОСЛУ: ОРНС = ЧРНС + ОРОС 3 Системы упрощенного вида Неизвестная x k называется базисной, если она входит только в одно уравнение системы Система называется системой упрощенного вида, если в каждом уравнении имеется базисная неизвестная В этом случае в каждом уравнении имеется неизвестная, входящая только в это уравнение, а число базисных неизвестных равно числу уравнений в системе Пример Рассмотрим ОСЛУ упрощенного вида: x + 3x 3 + x 5 =, x + 4x 3 + x 5 =, x 4 + x 5 = Базисные неизвестные выделены Запишем эту систему в виде x = 3x 3 x 5, x = 4x 3 x 5, x 4 = x 5 Если вместо x 3 и x 5 подставлять произвольные числа и вычислять x, x, x 4 по указанным формулам, то полученный набор чисел x, x, x 3, x 4, x 5 будет представлять собой некоторое решение ОСЛУ Таким образом, полученные формулы доставляют нам описание всех решений исходной ОСЛУ Неизвестные, не являющиеся базисными, называются свободными; в общем решении системы они могут принимать произвольные значения

12 Положив x 3 = c, x 5 = c, решение можно записать в виде x x x 3 x 4 x 5 = 3c c 4c c c c c = c X {}} { 3 4 X { }} { +c } {{ } ОРОС Каждый из столбцов X, X, образующих ФСР ОСЛУ, можно получить, придавая одной из свободных неизвестных значение, а остальным значение ФСР, полученная таким образом, называется нормальной ФСР (НФСР) Фундаментальная матрица, составленная из столбцов НФСР, называется нормальной фундаментальной матрицей (НФМ) Пример Рассмотрим НСЛУ упрощенного вида: Базисные неизвестные выделены Запишем эту систему в виде x + 3x 3 + x 5 =, x + 4x 3 + x 5 =, x 4 + x 5 = 3 x = 3x 3 x 5, x = 4x 3 x 5, x 4 = 3 x 5 Если вместо x 3 и x 5 подставлять произвольные числа и вычислять x, x, x 4 по указанным формулам, то полученный набор чисел x, x, x 3, x 4, x 5 будет представлять собой некоторое решение системы Таким образом, полученные формулы доставляют нам описание всех решений исходной системы Положив x 3 = c, x 5 = c, решение можно записать в виде x x x 3 x 4 x 5 = 3c c 4c c c 3 c c = 3 }{{} ЧРНС + c X {}} { 3 4 X { }} { +c } {{ } ОРОС Здесь ЧРНС отвечает нулевым значениям свободных переменных (такое ЧРНС называется базисным), а столбцы X, X представляют собой НФСР ОСЛУ Итак, если СЛУ имеет упрощенный вид, то ее общее решение немедленно выписывается Чтобы решить СЛУ произвольного вида, нужно с помощью элементарных преобразований привести ее к упрощенному виду Теорема Если в ОСЛУ число неизвестных больше числа уравнений, то она имеет нетривиальное решение Если число неизвестных больше числа уравнений, то найдется свободная неизвестная, которая может принимать любые значения

13 4 Алгоритм Гаусса Вместо преобразований СЛУ удобно выполнять преобразования расширенной матрицы этой СЛУ; при этом ЭП СЛУ соответствуют ЭП строк расширенной матрицы: () перестановка двух строк местами; () умножение любой строки на число α ; (3) прибавление к любой строке другой строки, умноженной на произвольное число; (4) [удаление из матрицы нулевых строк] Говорят, что матрица имеет упрощенный вид, если она является расширенной матрицей СЛУ упрощенного вида Матрица упрощенного вида имеет следующую структуру: () некоторые ее столбцы являются последовательными столбцами единичной матрицы; эти столбцы отвечают базисным неизвестным СЛУ и также называются базисными; () каждый из остальных столбцов является ЛК предыдущих базисных столбцов 3 Опишем один шаг алгоритма Гаусса, который позволяет произвольную матрицу A K m n привести к упрощенному виду ШАГ k () Среди строк с номерами k,, m выбираем одну из строк с наименьшим количеством нулей, считая от начала строки; эту строку назовем разрешающей строкой (РС), а ее первый ненулевой элемент разрешающим элементом (РЭ) () Переставляем РС на k-е место (3) Разделим РС на РЭ; в полученной строке на месте РЭ будет стоять (4) Вычитаем из каждой строки матрицы РС, умноженную на элемент обрабатываемой строки, который стоит в одном столбце с РЭ После этого столбец, содержащий РЭ, будет представлять собой k-й столбец единичной матрицы Процесс завершается, когда каждая строка матрицы уже побывала в роли РС или когда РС выбрать не удается Пример Привести к упрощенному виду матрицу

14 4 Шаг В качестве РС можно взять или 4 строку; возьмем РЭ =, делим РС на и переставляем на первое место: = Уничтожению подлежат все элементы первого столбца, кроме РЭ; такой элемент один это 3 Выполняем ЭП: к 4-й строке добавляем -ю, умноженную на ( 3): = Шаг В качестве РС можно взять -ю, 3-ю или 4-ю Возьмем 3-ю, переставим ее на второе место и разделим на ( ): = Теперь нужно уничтожить все элементы -го столбца, кроме РЭ Выполняем ЭП: = 3 4 Шаг 3 В качестве РС можно взять только 4-ю строку Умножаем ее на ( ) и переставляем на 3-е место: 3 4 = 3 4 Уничтожаем все элементы 4-го столбца, кроме РЭ: 3 4 = 3 3 Еще один шаг выполнить невозможно, так как четвертую строку нельзя выбрать в качестве РС: в ней нет ненулевых элементов Процедура закончена Можно избежать появления дробей при выполнении ЭП, если сделать дополнительные ЭП

15 Шаг Вычтем из 4-й строки -ю (цель получить в одной из строк и выбрать эту строку в качестве РС): = Первый элемент 4-й строки равен ; эту строку берем в качестве РС, тогда РЭ = Поменяем местами -ю и 4-ю строки: Уничтожаем все элементы -го столбца, кроме РЭ; такой элемент один, это во второй строке 3 4 = Шаг В качестве РС берем -ю строку; РЭ = Уничтожаем все элементы -го столбца, кроме РЭ; это и = Шаг 3 В качестве РС берем 3-ю строку, РЭ =, который стоит в 4-м столбце Уничтожаем все элементы 4-го столбца, кромее РЭ: 3 3 = Пример Решить ОСЛУ x + 6x 3 + x 4 + 8x 5 x 6 = x + x + x 3 + x 6 = x + 3x 3 + x 4 + 4x 5 x 6 = 3x + x + 3x 3 + x 5 = Основная матрица этой ОСЛУ

16 6 Эта матрица была приведена к упрощенному виду в предыдущем примере: 3 3 Базисные переменные этой ОСЛУ x, x, x 4, свободные переменные x 3, x 5, x 6 Получим НФСР ОСЛУ Взяв x 3 =, x 5 = x 6 =, находим: x =, Взяв x 3 = x 6 =, x 5 =, находим: Взяв x 3 = x 5 =, x 6 =, находим: Итак, НФСР ОСЛУ имеет вид 3 X =, X = Общее решение системы имеет вид где c, c, c 3 произвольные числа x = 3, = x 3 =, x 4 =, x 5 =, x 6 = x =, x =, = x 3 =, x 4 =, x 5 =, x 6 = x =, x = 3, = x 3 =, x 4 =, x 5 =, x 6 =, X 3 = X = c X + c X + c 3 X 3, 3

17 7 НФМ ОСЛУ имеет вид Φ = 3 3 Общее решение ОСЛУ можно записать в виде X = Φ c c c 3 5 Восстановление ОСЛУ по известной ФСР Даны ЛН столбцы x x x x r x r X =, X x =,, X r =, x n x n x n r количество r которых меньше их размерности n (r < n) Составить ОСЛУ, состоящую из наименьшего числа уравнений, для которой данные столбцы образуют ФСР Поскольку размерность пространства столбцов равна n, а размерность пространства решений искомой системы равна r, минимальное количество уравнений в системе равно n r Рассмотрим матрицу x x x r x x x x r x X = [X, X,, X r, X] =, x n x n x n r x n последний столбец которой X = (x, x,, x n ) T состоит из неизвестных будущей ОСЛУ Если этот столбец удовлетворяет искомой ОСЛУ, то он является ЛК столбцов X,, X r Приведем матрицу X к упрощенному виду с помощью ЭП строк: r столбцов {}}{ r строк

18 8 Первые r столбцов ЛН, последний является их ЛК; это возможно лишь в случае, когда элементы, стоящие в последнем столбце и последних n r строках, равны нулю Приравнивая их к нулю, получаем искомую ОСЛУ Пример Найти однородную систему уравнений, имеющую ФСР X = 3, X = Произвольное решение X искомой системы является линейной комбинацией двух данных решений, поэтому столбцы матрицы x 3 x x 3 x 4 x 5 должны быть ЛЗ Приведем эту матрицу к упрощенному виду: x 3 x x 3 x 4 x 5, x 3 x 5 x + x 3 x 4 x + 3x 3 x + x 3 x + 3x 3 x 3 x 4 x 5,, x 3 x + 3x 3 x + x 3 x 4 x 5 x 3 x 5 x + x 3 + x 5 x 4 + x 5 x + 3x 3 Чтобы эта матрица имела два ЛН столбца, необходимо и достаточно, чтобы последние три ее строки были нулевыми Отсюда получаем систему x + x 3 + x 5 =, x + x 3 + x 5 =, x 4 + x 5 =, x + 3x 3 =, x + 3x 3 = x 4 + x 5 = Матрица последней системы имеет вид 3,

19 6 Элементарные преобразования и умножение матриц ЭП строк матрицы тесно связаны с операцией умножения матриц Теорема Пусть R ЭП типа (), () или (3) строк матрицы A Тогда R(A) = R(I) A Здесь R(A) матрица, полученная из A с помощью ЭП R, I единичная матрица Проверим утверждение для простейших ЭПС Пусть R перестановка первой и второй строк, те m m A = m, R (A) = m n n n m n n n m 9 Далее, I =, R (I) = Получаем: m m R (I) A = m = m = R (A) n n n m n n n m Пусть R умножение первой строки на α Имеем: m α α α m A = m, R (A) = m n n n m n n n m Далее, α I =, R (I) = Получаем: α m α α α m R (I) A = m = m = R (A) n n n m n n n m

20 Пусть R 3 прибавление к первой строке матрицы A ее второй строки: m + + m + m A = m, R 3(A) = m n n n m n n n m Далее, I =, R 3(I) = Получаем: m R 3 (I) A = + + m + m m = m = R 3(A) n n n m n n n m Пусть в матрице A выполнена серия ЭПС Для простоты рассмотрим серию из двух ЭПС R и R Имеем: R (R (A)) = R (I) R (A) = R (I) [R (I) A] = [R (I) R (I)] A = R (R (I)) A Теорема доказана Элементарные преобразования типов () (3) обратимы, те если матрица C может быть получена из матрицы B каким-либо ЭП, то и матрица B может быть получена из матрицы C некоторым ЭП преобразованием 7 Вычисление обратной матрицы Превратим матрицу B с помощью последовательности ЭП строк в единичную матрицу Поскольку выполнение каждого ЭП эквивалентно умножению B слева на некоторую матрицу, видим, что Но это означает, что A s A s A A B = I A s A s A A = B Если те же самые ЭП провести над единичной матрицей, то результатом окажется матрица B На практике это выполняется следующим образом: (B I) ЭП строк (I B ) Если вместо единичной матрицы взять некоторую матрицу D (причем не обязательно квадратную), то результатом будет (B D) ЭП строк (I B D) Можно сформулировать аналогичную процедуру для ЭП столбцов: ( ) ( ) B ЭП столбцов I I B

21 Если вместо I взять матрицу D (не обязательно квадратную), то ( ) ( ) B ЭП столбцов I D DB На практике выполнять ЭП столбцов неудобно, поэтому для вычисления матрицы DB предпочтительнее пользоваться следующим алгоритмом: ( ) B транспонирование D (B T D T ) Здесь мы воспользовались тем, что Докажите это соотношение самостоятельно Пример Вычислить обратную матрицу для ЭП строк (I (B T ) D T ) = (I (B ) T D T ) A = (B T ) = (B ) T 3 транспонирование Построим блочную матрицу [A I] и проведем цепочку ЭП строк: 3 4,, Обратная матрица равна, A = ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ( I DB Задача Доказать, что k-я строка матрицы AB равна линейной комбинации строк матрицы B с коэффициентами, равными элементам k-й строки матрицы A [Указание: ср п 4] Задача Доказать, что k-я строка матрицы AB равна произведению k-й строки матрицы A на матрицу B [Указание: ср п 4], )

22 Задача 3 Доказать соотношение (AB) T = B T A T Задача 4 Матрица A такова, что A + A + E = Доказать, что матрица A обратима и выразить A через A Задача 5 Пусть A m = Доказать, что (E A) = E + A + + A m Задача 6 Пусть f(t) многочлен Доказать, что f(s AS) = S f(a)s Задача 7 Доказать, что если A обратимая симметрическая матрица, то A также симметрическая матрица Задача 8 Доказать, что если A обратимая кососимметрическая матрица, то A также кососимметрическая матрица Задача 9 Пусть A, B симметрические матрицы Доказать, что AB является симметрической матрицей тогда и только тогда, когда AB = BA Задача Пусть A, B кососимметрические матрицы Доказать, что AB является симметрической матрицей тогда и только тогда, когда AB = BA Задача Пусть A, B кососимметрические матрицы Доказать, что AB является кососимметрической матрицей тогда и только тогда, когда AB = BA Задача Известно, что столбец свободных членов линейной системы уравнений равен сумме столбцов ее основной матрицы Указать какое-либо частное решение системы Задача 3 Известно, что столбец свободных членов линейной системы уравнений совпадает с последним столбцом ее основной матрицы Указать какое-либо частное решение системы Задача 4 Пусть X, Y столбцы решений систем уравнений AX = P, AY = Q соответственно, α, β некоторые числа Какой системе уравнений удовлетворяет столбец Z = αx + βy? Задача 5 Пусть матрица получена из матрицы B элементарными преобразованиями строк Доказать, что если столбцы матрицы B линейно независимы, то столбцы матрицы C также линейно независимы Задача 6 Пусть матрица получена из матрицы B элементарными преобразованиями строк Доказать, что если между какими-либо столбцами матрицы B имеется линейная зависимость α B + α B + + α k B k =, то соответствующие столбцы матрицы C связаны такой же линейной зависимостью: α C + α C + + α k C k =


a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a

a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a Лекция 5 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B,

Лекция 7. . = [A 1,A 2,...,A n ], AX = B, Лекция 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n

Лекция 4. a 1 1 a 1 2 a 1 n. a 2 1 a 2 2 a 2 n. a m 1 a m 2 a m n. (2) первый индекс номер строки, а второй номер столбца: a 11 a 12 a 1n Лекция 4 1. МАТРИЦЫ 1.1. Основные определения. Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел элементов матрицы, состоящая из m строк и n столбцов. Нумерация элементов матрицы: 1 верхний индекс номер

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Конспект лекции 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ План лекции Лекция Системы линейных уравнений Матричная запись Основная и расширенная матрицы системы; 2 Совместные и не совместные системы 2 Однородные системы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray Лекция 4 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определители порядка > Пусть A K a a a a 2 a 2 2 a 2 A = a a2 a a a a 2 A =, A a 2 2 2 = a a2 = A,A 2,,A,,, A = a a 2 ṇ a Определение Определителем, или детерминантом

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ матрица Для любой матрицы ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ a a an a a an am am amn a a am a a am, an an amn получающаяся из матрицы заменой строк соответствующими столбцами, а столбцов соответствующими строками,

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I

Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I Конспект лекции 7 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ I План лекции Лекция Определители Определители второго порядка Система линейных уравнений; 2 Определение определителя второго порядка; 3 Запись через определители; 4 Свойства

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 05 setgray0 05 setgray Лекция МАТРИЦЫ Определение матрицы Дадим определение матрицы размера m n Определение Матрицей размера m n над множеством X называется упорядоченный набор из m n элементов этого множества,

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований

Подробнее

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II

Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II Конспект лекции 8 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ II 0 План лекции Лекция Определители II 4 Существование и единственность определителя Продолжение 44 Теорема о равенстве deta = deta T Определители специального вида 5 Лемма

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

Лекция 1 МАТРИЦЫ. 1. Матрицы

Лекция 1 МАТРИЦЫ. 1. Матрицы Лекция 1 МАТРИЦЫ 1 Матрицы На этой лекции мы введём основное для всего курса аналитической геометрии понятие матрицы Необходимость введения понятия матрицы обусловлена, например, компактностью записи линейных

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца.

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца. ) Матрицы, основные определения ) Элементарная алгебра матриц ) Определители и их свойства 4) Обратные матрицы ) Матрицы, основные определения I Определения Совокупность элементов, расположенных в виде

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B:

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B: Лекция 3. Обратная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий обратимости матрицы. Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратных

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40

Матрицы и определители. Ранг матрицы. Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Линейная алгебра Матрицы и определители Ранг матрицы Линейная алгебра (лекция 4) 2 / 40 Выберем в матрице A размера m n произвольные k строк и k столбцов, k min(m, n). Линейная алгебра (лекция 4) 3 / 40

Подробнее

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Метод Гаусса Основные понятия Равносильные системы Определение Система линейных алгебраических уравнений (или система линейных уравнений) имеет

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Конспект лекции 3 МАТРИЦЫ

Конспект лекции 3 МАТРИЦЫ Конспект лекции 3 МАТРИЦЫ 0 План лекции ЛЕКЦИЯ МАТРИЦЫ Матрицы и способы их задания Определение матрицы; 2 Запись через столбцы A k и строки A j ; 3 Специальные матрицы 3 Нулевая; 32 Квадратная; 33 Диагональная

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Семинар 1. Однородные СЛАУ (ОСЛАУ)

Семинар 1. Однородные СЛАУ (ОСЛАУ) Семинар Однородные СЛАУ ОСЛАУ) Рассмотрим систему, состоящую из m однородных линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a n x n =, a { x + a x + + a n x n =, a m x + a m x + + a mn x n =. Введём

Подробнее

Лекция 2. Операции над матрицами, обратная матрица. Определители.

Лекция 2. Операции над матрицами, обратная матрица. Определители. Лекция 2. Операции над матрицами, обратная матрица. Определители. Литература: 1. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г., Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. Издание 2-е дополненное. М.: Изд-во

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgry 5 setgry Лекция 2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА План лекции Свойство определителей Определение транспонированной матрицы 2 Свойство : A t = A 3 Свойство 2: A, B, C = A, C, B 4 Свойство 3: тоже для перестановки

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы ЕЛ Первова Оглавление Глава 1 Перестановки и матрицы 5 1 Перестановки и их свойства 5 2 Матрицы и операции над ними 7 3 Определители

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

МАТРИЦЫ. Определение

МАТРИЦЫ. Определение Определение Матрицей размером m n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Числа из которых состоит матрица, называются элементами матрицы.

Подробнее

Параллельные вычисления в. Библиотеки решения систем линейных уравнений. Параллельная реализация CPU / GPU

Параллельные вычисления в. Библиотеки решения систем линейных уравнений. Параллельная реализация CPU / GPU Параллельные вычисления в томографии Библиотеки решения систем линейных уравнений Параллельная реализация CPU / GPU Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса Дана система из s линейных

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ»

Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» Тема «МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ» Общие сведения Действия над матрицами Определитель квадратной матрицы 4 Основные свойства определителей 5 Обратная матрица 6 Виды матриц 9 Ранг матрицы Метод окаймляющего

Подробнее

Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ. 0. План лекции Лекция Теорема о базисном миноре. 1. Две вспомогательные теоремы из теории определителей.

Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ. 0. План лекции Лекция Теорема о базисном миноре. 1. Две вспомогательные теоремы из теории определителей. Конспект лекции 9 ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ План лекции Лекция Теорема о базисном миноре Две вспомогательные теоремы из теории определителей НИДУ равенства нулю определителя: det A = ; 2 Явное выражение

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Министерство образования и науки Российской Федерации РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА имени ИМ ГУБКИНА ИН Мельникова, ТС Соболева, НО Фастовец МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1 Аннотация Матрицы. Виды матриц. Элементарные преобразования матриц. Линейные операции над матрицами (сравнение, сложение,

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

Лекция 10: Умножение матриц

Лекция 10: Умножение матриц Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции вводится операция умножения матриц, изучаются

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений Системы линейных алгебраических уравнений Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с неизвестными b b () m m m bm Система () называется однородной если все её свободные члены b b b m равны

Подробнее

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ, АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ МОЛДОВА И В БЕЛОУСОВ МАТРИЦЫ и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ учебное пособие по линейной алгебре Издание второе, исправленное и дополненное Кишинев: 2006 УДК 519612

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 11 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ Определение 1. Определитель матрицы,

Подробнее

Глава 2. Системы линейных равнений

Глава 2. Системы линейных равнений Глава истемы линейных равнений Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений истема m линейных алгебраических уравнений (ЛАУ) с неизвестными имеет вид a a a b a a a b () am am am bm Здесь

Подробнее

Лекция 1. Работа с матрицами. ( ) Количество строк и столбцов матрицы называется размерностью. ( )

Лекция 1. Работа с матрицами. ( ) Количество строк и столбцов матрицы называется размерностью. ( ) Лекция 1 Работа с матрицами. 1. Основные понятия. Определение. Матрицей размерности чисел, содержащая строк и столбцов. называется таблица пронумерованных Исходя из такого определения матрицы, можно сделать

Подробнее

Лекция 1. Алгебра матриц.

Лекция 1. Алгебра матриц. Лекция 1. Алгебра матриц. Прямоугольные и квадратные матрицы. Треугольные и диагональные матрицы. Транспонирование матриц. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Основные свойства

Подробнее

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц Глава I. Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах.

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Экономический факультет Л.С. Павлова МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ (отд. «Менеджмент») Москва 05 УДК 5.64 ББК.5.54я7 П Павлова Л.

Подробнее