ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»"

Транскрипт

1 Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая геометрия» и «Кривые второго порядка» Составитель: Степанова С.Б. Улан-Удэ, 00г.

2 . Линейные операции над векторами УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ! Данное пособие поможет Вам на практических занятиях по высшей математике научиться решать задачи по темам "Векторная алгебра и аналитическая геометрия" и "Кривые второго порядка". К практическим занятиям Вы должны подготовиться, т.е. прочитать соответствующий теоретический материал. Каждой теме соответствует подробное решение типовой задачи, затем нужно решить задачи (для самостоятельного решения) согласно номеру варианта и ответить на вопросы, расположенные в конце темы. Каждую тему Вы должны защитить, т.е. дать подробное объяснение - решение каждой задачи и ответы на вопросы. Задача. В треугольнике АВС заданы векторы АВ с и ВС а, точка М- середина ВС, точка О- точка пересечения медиан. Найти векторы СА, МО. Решение: A O CA AC ( AB + BC ) ( c + a) MO MA, MA AM ( AB + BM ) AB + BC c + a MO MA c + a c a 6 НУЖНО ЗНАТЬ: B M C. Определение вектора. Определение коллинеарных векторов в геометрической и координатной формах.

3 . Правило нахождения координат вектора, если известны координаты начала и конца вектора. 4. Длина и направляющие косинусы вектора. 5. Связь между направляющими косинусами вектора. 6. Правило сложения векторов в геометрической и координатной формах. 7. Правило умножения вектора на число в геометрической и координатной формах. 8. Как определить направление вектора в пространстве? Задача. Отрезок АВ, где А(7,,), В(-5,0,4) разделен точкой AB С в отношении k. Найти координаты точки С. BC 4 Решение: Пусть точка С(х, у). 7 AB (,, 7), AC,,. С другой сторо ны, AC ( x 7, y, z + ), значит x 7, x 7, y, y, z +, z Ответ :,, Задача. Лежат ли точки А(,4,), В(,7,5), С(4,0,9) на одной прямой? Решение: Если точки А,В,С лежат на одной прямой, то векторы AB, AC, BC коллинеарны, т.е. их координаты пропорциональны. Найдем координаты векторов : AB (,,4), AС (,6,8), BC (,,4). Сравнивая координаты векторов, видим, что точки А,В,С лежат на одной прямой. Задача 4. Найти координаты вектора, если он составляет с осями ОХ и OZ соответственно углы 0 α 60 и γ 0 0 и a. Решение: Пусть a ( x, y, z), тогда x a cos α, z a cos γ, z a cosβ Так как по условию a,α , γ 0, a x 4 () + y + z ( ), a x, y ± Ответ: a (, ±, ) то x z, + y + z, y a x z Задача 5. Даны точки А(,-,), В(,0,), С(,-4,0), Д(0,,). Найти длину и координаты вектора, соединяющего середины векторов AB и СД.

4 Решение: Пусть т.м- середина АВ, т.о - середина СД, следовательно, нужно найти координаты вектора МО. МО МВ + ВС + СО; МВ 0,, МВ ВС (0, 4, ), СО СД, 5 СО,, МО МВ + ВС + СО 0 + 0,0, МО A M ( ) АВ. АВ (0,, ), СД (,5, ),, Ответ : МО,0,, МО B 5 4 +, C O D Задачи для самостоятельного решения Вариант. В треугольнике АВС заданы векторы AB c, AC b. Точка О- точка пересечения медиан АМ, ВЕ, СК. Найти векторы OE и OK.. Отрезок АВ, где А(,-,-5), В(6,4,), разделен точкой С так, что длина AC составляет одну третью часть длины AB. Найти координаты точки С.. При каких значениях α и β векторы a i + j+ β k и b i 6j+ k коллинеарны? 4. Вектор b составляет с осями ОХ и ОУ углы соответственно α0 0 иβ5 0. Какой угол составляет вектор с осью ОZ? 5. Дан треугольник АВС: А(,,-), В(-5,,-), С(7,9,0). Найти длину и координаты вектора, соединяющего вершину А с серединой противоположной стороны. Вариант. В треугольнике АВС заданы векторы AB m, BC n. Точка О- точка пересечения медиан АМ, ВД, СК. Найти координаты векторов OД и OK.

5 . Отрезок АВ, где А(,-,5), В(7,6,), разделен точкой С так, что длина AC составляет одну третью часть длины СB. Найти координаты точки С.. При каких значениях α и β векторы a i + j+ β k и b i 6j+ k коллинеарны? 4. Вектор составляет с осями ОХ и ОУ углы соответственно α0 0 иβ45 0. Какой угол составляет вектор с осью ОZ? 5. Дан треугольник АВС: А(,,), В(-5,,-), С(7,9,0). Найти длину и координаты вектора, соединяющего вершину В с серединой противоположной стороны. Вариант. В треугольнике АВС заданы векторы AB m, АC p. Точка О- точка пересечения медиан АА, ВВ, СС. Найти координаты векторов OА и OС.. Отрезок ВС, где В(,-,-5), С(-,,5), разделен точкой Д так, что длина ВД составляет одну пятую часть длины ВC. Найти координаты точки Д.. При каких значениях α и β векторы a i + j+ β k и b αi 9j+ k коллинеарны? 4. Может ли вектор a составлять с координатными осями углы α90 0,β60 0, γ0 0? 5. Даны векторы a (,-,), b (0,-4,-), c (,,0). Найти b и координаты вектора m a 05, b + c. Вариант 4. В треугольнике АВС,где AB a, AC d. Точка О- точка пересечения медиан АМ, ВК, СД. Найти координаты векторов OК и OМ.. Даны точки А(,-,), В(-,5,). Найти координаты точки AB С, если AC. Определить при каких значениях m и n векторы a и b коллинеарны, если a i + mj+ k, b 4i + j kn. 4. Найти углы, образуемые вектором a (-,6,) с осями координат. 5. Даны векторы a (-,,), a (0,-4,-), a (,,0). Найти a и координаты вектора b a + 05, a a. Вариант 5. В треугольнике АВС сторону АВ точками M и N разделили на три равные части : AMMNNB. Найти вектор CM,если CA a, CB b.

6 . А(,-,), В(-,5,). Найти координаты точки С, если AС CВ.. Является ли четырехугольник АВСД, где А(,,), В(,-4,), С(,0,), Д(-,-7,) трапецией? 4. Вектор r составляет с осью ОУ угол β60 0, а с осью ОZ угол γ5 0 длина его равна 8. Найти координаты вектора r, если его абсцисса отрицательна. 5. Даны векторы a (4,0,-), a (0,,-), a (,,0). Найти координаты вектора b 05, a a + a. Вариант 6. В треугольнике АВС сторону ВС точками M и N разделили на три равные части : ВMMNNC. Найти вектор АM, если AB p, AC q.. М(,0,-), В(7,5,-6). Найти координаты точки С, если МС МВ.. Является ли четырехугольник АВСД, где А(,,), В(,-,), С(,0,), Д(,,-) параллелограммом? 4. Дан вектор a i j- k. Найти его единичный вектор и направляющие косинусы. 5. Даны векторы b (-4,,), b (0,,), b (,-,0). Найти координаты вектора a b + b 05, b. Вариант 7. В треугольнике АВС сторону АС точками D,E,F разделили на 4 равные части : ADDEEFFC. Найти вектор BD если BC a, AF b.. А(,-,), В(-,4,-). Найти координаты точки С, если АВ СВ 5.. Даны векторы a (,-,), b (,-,), с (α,0,-).при каком значении α вектор ( a -b ) будет коллинеарен вектору с? 4. Вектор a образует с осями координат равные углы. Найти его координаты, если a 5. Даны векторы a (5,, ), b ( 64,, 4), c ( 0,, ). Найти длину и координаты вектора c 05, b a + c. ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ. Какие операции над векторами называются линейными?. Как найти геометрическую сумму более двух векторов?. Когда векторы считаются равными?

7 4. Как определяются проекции вектора на координатные оси? 5. Какой вектор называется нулевым? 6. Дайте определение линейной комбинации системы векторов. 7. Какая система векторов называется линейно зависимой? 8. Какая система векторов называется базисной? 9. Какие векторы образуют декартов базис? 0. Могут ли вектора, лежащие на одной плоскости, образовывать базис?. Скалярное произведение двух векторов Задача. Векторы a и b образуют угол π ϕ и a, b. Найти ( a,b ), ( a, a ), ( a -b, a +b ). π Решение: ( a, b) a b cosϕ cos. ( a, a ) a 4. ( a b, a + b) a a + 4( a, b) 4 b + 6( a, b) ( b, a) 4 b ( ) Задача. Даны векторы a (,-,), b (,,). Вычислить: ) ( a,b ), )скалярное произведение векторов ( a - b ) и ( a +b ), ) проекцию вектора ( a -b ) на вектор a, 4) угол между векторами a и b. Решение:. ( a b) x x + y y + z z + 4 4,. a b ( 6, 4,4 6) ( 4, 7, ) a + b ( + 4, +, + 4) (5,0,6) (a b, a + b) ( b,a b). пр (a b), b b b , ( 4) + ( 7) + ( ) 9 пр (a b) b 4. ( a, b) 4 cos a, b a b 4 9 НУЖНО ЗНАТЬ:. Определение скалярного произведения двух векторов.. Свойства скалярного произведения.

8 . Выражение скалярного произведения в координатном виде. 4. Признак перпендикулярности двух векторов. 5. Физический смысл скалярного произведения. 6. Почему скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю? Задача. Найти длину вектора a m n, если m n m n π,,, Решение: a 4 m ( a, a) ( m n,m n) ( m n) ( m, n) + 9 n Задачи для самостоятельного решения. Найти длину вектора Вариант a b + c b c b c π, если,,,.. Будут ли перпендикулярны векторы a (,7,) и BC, если В(,5,6) и С(8,5,)? 6. Найти угол между векторами ( a -b ) и ( a +b ), если a (-,,), b (,,6). Вариант. Найти длину вектора π a m + n, если m, n, m, n.. При каком значении m векторы mi + j + 4k a и b 4i + m j 7k перпендикулярны?. Дан треугольник АВС, где А(,-,), В(,,), С(,0,). Найти косинус угла А. Вариант. Найти длину вектора a m n m n m n π, если,,. Даны вершины четырехугольника А(,-,), В(,4,0), С(-4,,), Д(-5,,). Докажите, что его диагонали перпендикулярны.. Найти проекцию вектора с a+ b на вектор b, если a i j+ k, b i+ k Вариант 4

9 . Найти длину вектора a b + c b c b c π, если,,,. Вычислить работу равнодействующих трех сил F(, 4,), F(,, 5), F(, 4,), приложенных к одной точке, при перемещении из точки М (5,,7) в точку М (4,-,-4). Примечание: Работа силы F при перемещении S вычисляется по формуле: А( F, S ).. Найти угол между векторами a и с a+ b, если a (,,-), b (,,) 0 Вариант 5. Найти длину вектора π a p q, если p, q, p, q. Определить косинус угла А в треугольнике АВС, если А(,,-), В(5,,-), С(,-,).. Найти проекцию вектора с a b на вектор b, если a (,0,), b (,, ) Вариант 6. Найти длину вектора c b + a a b a b π, если,,,. Даны векторы a (,,), a (,, ), a (,, ). Определите, какие из них перпендикулярны.. В треугольнике АВС даны вершины А(,-,), В(,,), С(,0,). Найти косинус угла между векторами BA и BC.. Найти длину вектора a c + d, если c, d Вариант 7 π, c, d. Даны векторы a mi j+ k и b i j+ mk. Определите при каком значении m эти векторы перпендикулярны.. Найти угол С в треугольнике АВС, если известны его вершины А(,-,), В(,,), С(,9,). Найти длину вектора Вариант 8 m b a a, если b, a, b π

10 . Дан четырехугольник АВСД, где А(,,), В(,,0), С(-,,), Д(,,4). Будут ли перпендикулярны его диагонали?. Найти угол между векторами a (-,,) и b (,,-6). ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:. Что называется скалярным произведением двух векторов?. Скалярное произведение равно 0. Что это значит?. Как определяется проекция вектора на вектор? 4. Почему скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю? 5. Почему (, i j ) 0? 6. Что такое скалярный квадрат?. Векторное произведение двух векторов Задача. Найти модуль векторного произведения векторов a и b, если a 0, b и скалярное произведение этих векторов равно. Решение: По формуле: [ ] ab, a b sin ab, Угол между векторами определим из условия: ( a, b), но ( a, b) a b cos a, b, ( a, b). откуда cos a, b a b sin( ab, ) ± cos ( ab, ) ± ± 5 5 Знак возьмем только "+", т.к. находим модуль векторного произведения. [ ab, ] Ответ: 6 [ ab, ] Задача. Даны векторы a (,,), b (,, 0 ) Найти [ a, b] Решение: i j k, i j + k i+ j k [ ab] [ ] ab, i+ j k ( ) + + ( ) Ответ: НУЖНО ЗНАТЬ:. Скалярное произведение двух векторов.. Определение векторного произведения двух векторов.. Свойства векторного произведения. 4. Выражение векторного произведения двух векторов в координатном виде.

11 5. Длина вектора. Задачи для самостоятельного решения Вариант. Даны векторы a (,, ), b (,, ). Найти модуль векторного произведения векторов( a b) и ( a+ b) a+ b, a b, если a, b, a, b π. Найти [ ]. Найти [ ] Вариант b + a a a b a b π,, если,,, 6. Найти площадь параллелограмма АВСД, если А(,-,), В(,-,), Д(0,,).. Найти [ ] Вариант a, a+ b, a, b, a, b π если. Найти координаты вектора с, который имеет длину, равную и перпендикулярен векторам a i+ j+ k и b i j k. Найти [ ] Вариант 4 a + b a b a b,, если,, a, b π 6. Найти площадь треугольника АВС с вершинами А(,-,), В(,,-), С(,,).. Найти [ ] Вариант 5 a b a + b a b a b π,, если,,. Найти площадь треугольника АВС с вершинами А(,,), В(,,), С(,0,-).. Найти [ ] Вариант 6 a+ b a b a b a b π,, если,,, 6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a (,,), 0 b ( 0,,). Найти [ ] Вариант 7 a, a b, a, b, если a, b 5π 6

12 . Найти площадь треугольника АВС с вершинами А(,,0), В(,,), С(,,-). Вариант 8. Найти [ ] a b b a b a b π,, если,,,. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a (,, 4), b (,,) Вариант 9 a+ b a b a b a b π,, если,,,. Найти [ ]. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a (,,), b (,,) 0 Вариант 0 a b a+ b a b a b π,, если,,,. Найти [ ]. Найти площадь треугольника АВС с вершинами А(0,-,), В(,-,), С(,0,).. Почему векторное произведение не подчиняется переместительному свойству?. Докажите, что [ i j], k 4. Как определяется направление векторного произведения? 5. Каков геометрический смысл модуля векторного произведения? 6. Каков физический смысл векторного произведения? 4. Смешанное произведение трех векторов Задача. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А (,-,), А (5,5,4), А (,,-), А 4 (4,,). Решение: Найдем векторы AB, AC,AD совпадающие с ребрами пирамиды, сходящиеся к вершине А: AB (,6,), AC (,,-),AD (,,) Находим смешанное произведение векторов AB, AC,AD: 6 AB AC AD ( 4) ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:. Что называется векторным произведением?

13 Так как объем пирамиды равен /6 части объема параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC,AD, т.е. V ± AB AC AD 6 Ответ : (куб. ед.) НУЖНО ЗНАТЬ:. Определение векторного произведения трех векторов.. Свойства смешанного произведения.. Определение компланарных векторов. 4. Признак компланарности векторов. 5. Выражение смешанного произведения в координатном виде. 6. Геометрический смысл смешанного произведения. 7. Что означает знак смешанного произведения? 8. Правило разложения определителя по элементам какойлибо строки или столбца. Задачи для самостоятельного решения Вариант Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А (0,0,), В(,,5), С(6,,), Д(,7,). Вариант Показать, что точки А (5,7,-), А (,,-), А (9,4,-4), А 4 (,5,0) лежат в одной плоскости. Вариант Лежат ли точки А(,,-), В(0,,5), С(-,,), Д(,,) в одной плоскости? Вариант 4 Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах a i j + k, b i + j + k, c i + j + 4k. Вариант 5 Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами А(,-,), В(5,5,4), С(,,-), Д(4,,). Вариант 6 Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(,,), В(4,,-), С(6,,7), Д(-5,-4,8). Вариант 7 Объем пирамиды равен 5, три его вершины находятся в точках А(,,-), В(,,0), С(,-,). Найти координаты его четвертой вершины Д, если известно, что она лежит на оси ОУ. Вариант 8 Даны точки А(,,-), В(,0,), С(,,), Д(Х,0,0). Найти Х, если AB AC AD 8 Вариант 9

14 Точки А(,,-), В(0,,5), С(,,), Д(0,У,0) лежат в одной плоскости. Найти У. Вариант 0 Объем треугольной пирамиды с вершинами А(,-,), В(,,), С(,,), Д(0,0,z)равен 4 Найти z. ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:. Что называется смешанным произведением трех векторов?. Смешанное произведение имеет знак "-", что это значит?. Почему a b a 0? 4. Почему смешанное произведение компланарных векторов равно 0? 5. Подчиняется ли смешанное произведение переместительному закону? 6. Какую геометрическую величину можно найти с помощью смешанного произведения? 5. Аналитическая геометрия Задача. В треугольнике АВС даны вершины А(,), В(5,-), С(,0). Найти: а) уравнение стороны АВ и ее угловой коэффициент, б) уравнение стороны, проходящей через точку С параллельно прямой АВ, с) уравнение высоты, опущенной из точки С на основание АВ, г) длину высоты. Решение: а) составляя уравнение стороны АВ, используем уравнение прямой, проходящей через две данные точки: x xa y ya x y xb xa yb y, A 5, откуда y + x 8 0 или y x+ 8, следовательно, k AB -, б) запишем уравнение прямой, проходящей через данную точку C(x c,y c): y-y c k(x-x c ). Так как искомая прямая параллельна прямой АВ, то их угловые коэффициенты равны, поэтому kk AB -. Итак, у-0-(х-) или у-х+, в) воспользуемся тем же уравнением, но, так как высота, опущенная из точки С, перпендикулярна АВ, то k k AB, поэтому y 0 x ( )или y x, г) длину высоты, опущенной из точки С, можно определить как расстояние от прямой АВ до точки С, для чего общее

15 уравнение прямой АВ у+х-80 приведем к нормальному виду, определив нормирующий множитель μ: μ ± A + B +. 5 Нормальное уравнение прямой АВ будет иметь вид: y+ x Следовательно, h c yc + xc Задача. Даны точки А(,0,), В(-,,), С(0,-,-). Найти: а) уравнение плоскости, проходящей через точки А,В,С; б) уравнение плоскости, проходящей через точку Д(-,0,-) параллельно плоскости АВС; в) расстояние от точки Д до плоскости АВС; г) уравнение прямой АД; д) угол между прямой АД и плоскостью АВС. Решение: а) Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, имеет вид: x x y y z z x x y y z z x x y y z z или 0, x y 0 z ( x ) 0 y 0 ( z ) + 0 ( x )( 4) y4+ ( z ) 4 0, ( x )( ) y + ( z ) 0, x + y z 0 - уравнение плоскости АВС, где N (А,В,С) (,,-). б) используем уравнение плоскости, проходящей через данную точку Д: А(х-х Д )+В(у-у Д )+С(z-z Д )0. Так как искомая плоскость параллельна плоскости АВС, то нормальные векторы плоскостей должны быть коллинеарны, следовательно, A B C, поэтому ( x + ) + ( y 0) ( z + ) 0 или x + y z 0 в) приведем общее уравнение плоскости АВС к нормальному виду: μ тогда x+ y z 0 ± A + B + C -нормальное уравнение плоскости АВС. Расстояние от точки Д до плоскости АВС будет равно xd + yd zd d.

16 г) за направляющий вектор прямой АД возьмем вектор AD (,0, ), поэтому прямая АВ имеет уравнение: x+ y z x y z , ( ) д) sinϕ cos N ABC, S AD НУЖНО ЗНАТЬ:. Виды уравнений прямой на плоскости.. Условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости.. Расстояние от точки до прямой. 4. Виды уравнений плоскости. 5. Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении плоскости. 6. Расстояние от точки до плоскости. 7. Канонические уравнения прямой в пространстве. 8. Угол между прямой и плоскостью. 9. Условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости. Задачи для самостоятельного решения Задача. Дан треугольник АВС с вершинами А,В,С. Найти : ) уравнение стороны АВ, ) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ, ) уравнение высоты, опущенной на основание АВ и ее длину, Задача. Даны точки А, А, А, А 4. Найти: ) уравнение плоскости А А А, ) уравнение плоскости, проходящей через точку А 4 параллельно плоскости А А А, ) расстояние от точки А 4 до плоскости А А А, 4) уравнение прямой, проходящей через точку А 4 и А, 5) угол между прямой А А 4 и плоскостью А А А. Вариант. А(,-), В(,), С(,).. А (,0,), А (-,,), А (0,,-), А 4 (,,) Вариант. А(,), В(,), С(,).. А (,,-), А (,-,), А (,-,), А 4 (,,) Вариант

17 . А(-,-), В(,), С(,).. А (,0,), А (-,,), А (0,,-), А 4 (,,) Вариант 4. А(,-), В(,), С(-,).. А (,-,), А (-,,-), А (-,-,), А 4 (-,0,-4) Вариант 5. А(0,5), В(,0), С(8,8).. А (,,), А (,4,0), А (-,5,6), А 4 (4,0,5) Вариант 6. А(8,0), В(-4,), С(-8,).. А (0,0,0), А (5,,0), А (,5,0), А 4 (,,4) Вариант 7. А(,5), В(,0), С(9,8).. А (4,-,-), А (,,), А (,-,-), А 4 (-,-,) Вариант 8. А(,6), В(-6,-4), С(-0,-).. А (7,,), А (-5,,-), А (,,5), А 4 (4,5,-) Вариант 9. А(-,5), В(,0), С(7,8).. А (-,,-), А (,-,), А (,,0), А 4 (,5,5) Вариант 0. А(6,5), В(-6,0), С(-0,).. А (,,), А (,4,), А (,,7), А 4 (,4,-) ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:. Запишите виду уравнений прямой на плоскости.. Каков геометрический смысл углового коэффициента прямой?. Как связаны угловые коэффициенты параллельных и перпендикулярных прямых? 4. Как записать уравнение плоскости, проходящей через данные точки? 5. Как записывается уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору? 6. Чем определяется положение прямой в пространстве? 7. Как определить угол между двумя плоскостями? 8. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости. 9. Сформулируйте признак параллельности двух плоскостей. 0. Как найти линию пересечения двух плоскостей?. Как найти точку пересечения прямой и плоскости?. Как найти точку пересечения трех плоскостей? 6. Кривые второго порядка Окружность

18 Задача. Составить уравнение окружности, если она проходит через точку А(,6), а ее центр совпадает с точкой С(6,-8). Решение: Уравнение окружности с центром в точке (а,в) и радиусом R имеет вид: (x-a) +(y-b) R Решение: Приведем данное уравнение эллипса к каноническому виду x a y +, для этого почленно разделим на b По условию а, в6, поэтому радиус R определим из того, что данная окружность проходит через точку (6,-8): (-6) +(6+8) R, R. Итак, уравнение окружности имеет вид: (х-6) +(у+8) Эллипс Задача. Дано уравнение эллипса: 9х +5у 44.. Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса. Сделать чертеж. -6 y /5 F 0 F 6 x 44: 9 x 5y x y +, +, откуда a 6, b, F (-C,0), F (C,0) - фокусы эллипса, где c a b ; 5 F, 0, F, 0. Эксцентриситет 5 5 c e a F F - x 4 4-4

19 Гипербола Задача. Дано уравнение гиперболы 6х -9у 44. Найти ее полуоси, фокусы и эксцентриситет. Решение: Приведем данное уравнение к каноническому виду x y, разделив почленно на 44: x y a b 9 6 а, в4. у, откуда Фокусы: F (-C,0), F (C,0), где c a + b 5 т.е. F (-5,0), c F (5,0). Эксцентриситет : e 5 a, уравнения х - асимптот: y ± b a x, y ±4 x. Парабола В Задача. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена симметрично относительно оси ОХ и проходит через точку В(-,). Решение: Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ, с вершиной в начале координат имеет вид: у рх, поэтому нужно найти р - параметр параболы. Так как парабола проходит через точку В(-,), то подставляя ее координаты в уравнение, получим 9р(-), откуда р-9. Окончательно уравнение параболы имеет вид: у - 9х. НУЖНО ЗНАТЬ:.Определение окружности.. Каноническое уравнение окружности.. Определение эллипса. 4. Каноническое уравнение эллипса, его характеристики. 5. Определение гиперболы. 6. Каноническое уравнение гиперболы, ее характеристики. 7. Уравнения асимптот гиперболы. 8. Определение параболы, ее уравнение.

20 Задачи для самостоятельного решения Вариант. Составить уравнение окружности, если она проходит через точку А(,6), а ее центр совпадает с точкой С(-4,).. Построить окружность по ее уравнению y ± 5 x. Составить уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет равен /5. 4. Дан эллипс 9х +5у. Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах, а две другие совпадают с концами его малой оси. Сделать чертеж. 5. Найти полуоси и фокусы гиперболы 5х -9у Составить уравнение гиперболы, если уравнения ее асимптот y ± 4 x и расстояние между фокусами равно Составить уравнение параболы, если известен ее фокус F (4,) и уравнение директрисы у+0. Вариант. Составить уравнение окружности, если ее центр совпадает с началом координат, а прямая х-4у+00 является ее касательной.. Построить окружность по ее уравнению y ± 4 x. Написать уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точки которой до точек (-,0) и (,0) равна Найти площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса х +5у 0, а две другие совпадают с концами его малой оси. 5. Составить уравнение гиперболы с центром в т. (0,0), проходящей через точку М(,), если ее эксцентриситет равен. 6. Определить полуоси и уравнения асимптот гиперболы 9х -5у 9. Сделать чертеж. 7. Составить уравнение параболы, если ее фокус F(7,) и уравнение директрисы у-50. Вариант. Составить уравнение окружности, если ее центр находится в точке С(,-), а прямая 5х-у+90 является ее касательной.. Построить окружность по ее уравнению x ± 9 y.. Составить уравнение эллипса, если его большая ось равна 0, а эксцентриситет равен /5. 4. Дано уравнение эллипса 4х +9у 6. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и верхнюю вершину малой оси. Сделать чертеж.

21 y 5. Дано уравнение гиперболы 9у -4 х 6. Найти уравнение асимптот и сделать чертеж. 6. Определить площадь четырехугольника, две вершины которого находятся в фокусах гиперболы x, а две 6 9 другие - в вершинах малой оси. 7. Составить уравнение параболы, если известны ее фокус F(-,) и уравнение директрисы х-0. Вариант 4. Составить уравнение окружности с центром в точке (,)и проходящей через точку М(,0). Построить окружность по ее уравнению x ± y.. Составить уравнение эллипса, если его малая ось равна 6, а эксцентриситет равен /5. 4. Найти площадь четырехугольника, вершины которого находятся в вершинах полуосей эллипса 4 х +у Составить уравнение гиперболы, разность расстояний от каждой точки которой до точек (-6,0) и (6,0) равна 0. Сделать чертеж. 6. Составить уравнения асимптот и найти эксцентриситет гиперболы 4 х -у. 7. Составить уравнение параболы ветвями вниз и с вершиной в т.0(0,0), если ее фокус совпадает с точкой (0,-) и симметричной относительно оси ОУ. Вариант 5. Дано уравнение окружности (х-) +у 9. Лежат ли точки А (0,-), А (-,0), А (,0), А 4 (0,0) на этой окружности?. Построить окружность по ее уравнению x ± y.. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осями, проходит через точки А(,) и В(0,4). Написать его уравнение. 4. Дано уравнение эллипса 4 х +у. Найти его полуоси и эксцентриситет. Сделать чертеж. 5. Составить уравнение гиперболы, асимптоты которой имеют уравнения y ± x, а мнимая ось равна Найти площадь четырехугольника, две вершины которого находятся в фокусах гиперболы 9 х -6у 44, а две другие в вершинах мнимой оси. 7. Составить уравнение параболы, проходящей через точки А(-,4) и В(,4) и имеющей вершину в начале координат. Вариант 6

22 . Составить уравнение окружности, если ее центр совпадает с точкой А(,0), а прямая х+4у- является ее касательной.. Построить окружность по ее уравнению: y ± x 8. Составить уравнение эллипса, если сумма расстояний от каждой точки которого до точек (-4,0) и (4,0) равна Найти площадь четырехугольника, вершины которого находятся в вершинах эллипса х +9у. 5. Эксцентриситет гиперболы равен 5/4, а его действительная ось равна 8. Составить уравнение гиперболы. 6. Дано уравнение гиперболы х -9у -9.Составить уравнения его асимптот и сделать чертеж. 7. Дано уравнение параболы х -8у. Найти ее фокус и уравнение директрисы. Вариант 7. Составить уравнение окружности, если она проходит через точки О(0,0) и В(0,6) и имеет радиус R.. Построить окружность по ее уравнению: x ± y. Составить уравнение эллипса, если ее эксцентриситет равен /4, а малая ось равна 4,5. 4. Дано уравнение эллипса 9 х +4у. Найти его полуоси и сделать чертеж. 5. Составить уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса x + y. Сделать чертеж Найти уравнения асимптот и эксцентриситет гиперболы 9 х -6у 7. Дано уравнение параболы 4х -у. Найти ее фокус и уравнение директрисы. ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:. Дайте определение окружности.. Дайте определение малой и большой полуосей эллипса и его эксцентриситета.. Почему эксцентриситет эллипса меньше и как он характеризует форму эллипса? 4. Можно ли окружность считать эллипсом? Если да, то почему? 5. Почему оси гиперболы называются действительной и мнимой? Как по данному уравнению гиперболы определить, какая из осей будет мнимой? 6. Почему эксцентриситет гиперболы больше?

23 7. Что называется асимптотой гиперболы? 8. Почему окружность, эллипс, гипербола и парабола являются кривыми второго порядка? 9. Как определяется ось симметрии и направление ветвей параболы? 0. Запишите общее уравнение линии второго порядка.. Как алгебраическое действие нужно произвести, чтобы привести общее уравнение линии второго порядка к каноническому виду?

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12

Контрольная работа 1. c 13 C = c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33. c 11 c 12 Контрольная работа. Даны матрицы A, B и D. Найти AB 9D, если: 4 7 ( ) 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Перемножим матрицы A 3 и B 3. Результирующая будет C размера 3 3, состоящая из элементов

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ»

МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» МОДУЛЬ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ» ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ «ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ» «КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ» Составитель кпн Пекельник НМ НМ Пекельник - 1 - Указания по выполнению

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант B Задание КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «Линейная и векторная алгебра Аналитическая геометрия Дифференциальное исчисление функции одной переменной» Вариант Доказать, что матрицы B и B взаимно обратные Даны точки А(;

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет им АД Сахарова» Факультет экологического мониторинга Кафедра физики и высшей

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах

И. Н. Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» И Н Пирогова Аналитическая геометрия в примерах и задачах Екатеринбург

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 2 Векторная алгебра 1. Даны три вектора a = {0; 1; 3}, b = {3; 2; 1}, c = {4; 0; 4}. Требуется найти: a) вектор d = 2 a b

Подробнее

Практические задания к теме «Аналитическая геометрия»

Практические задания к теме «Аналитическая геометрия» Практические задания к теме «Аналитическая геометрия» Вариант 0 Задача Привести к каноническому виду уравнение кривой порядка, найти все ее параметры, построить кривую 4x +y -6x-6y+=0 Решение Приведем

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. к выполнению заданий модуля «Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия» по курсу «Высшая математика» Министерство образования и науки Украины ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ Специальности: ; ; ; МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению заданий модуля «Линейная

Подробнее

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка

Практическая работа 4 Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Практическая работа Составление уравнений прямых и кривых второго порядка Цель работы: закрепить умения составлять уравнения прямых и кривых второго порядка Содержание работы. Основные понятия. B C 0 вектор

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ООО «Резольвента», wwwesolventau, esolventa@listu, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МИИГАиК) ОВИсакова ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РАСЧЁТНЫЕ ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

РАЗДЕЛ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РАЗДЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Часть I Аналитическая геометрия на плоскости Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Л.А. Золкина В.М. Мухина. Методические указания для студентов заочного отделения. Часть I ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Л.А. Золкина В.М. Мухина. Методические указания для студентов заочного отделения. Часть I ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ЛА Золкина ВМ Мухина ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания для студентов заочного

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО «УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Т.Е. Воронцова И.Н. Демидова Н.К. Пешкова АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости

Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского Шаталина А.В., Кучер Н.А., Борисова Л.В. Элементы векторной алгебры и аналитическая геометрия на плоскости Учебное пособие для студентов механико-математического,

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Приложение 5 Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный аграрный университет

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Составители: Рыгзынова М.В. Елтошкина Е.В. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ГОУ ВПО «ВСГТУ»)

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости.

Основные задачи аналитической геометрии. 1. Способы задания линии на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии Аналитическая геометрия раздел математики, в котором изучаются геометрические объекты с помощью алгебраических методов. Основным методом аналитической геометрии

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций)

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНБАССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (конспект лекций) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Министерство образования республики Беларусь Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания к решению задач по теме «Аналитическая

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Учебный план дисциплины.

Учебный план дисциплины. 3 Учебный план дисциплины. Студенты дневного отделения изучают математику на I и II курсах. Общий объем учебных часов на дисциплину 600 часов. В первом семестре изучаются следующие разделы: линейная алгебра,

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 )

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Векторная алгебра и аналитическая геометрия Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ)

Практические указания по векторной алгебре (варианты курсовых работ) Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Подробнее

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства»

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления ( ) «Технология и дизайн упаковочного производства» Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие

Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Учебно-методическое пособие ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие МОСКВА Кафедра математики ЕЛ Плужникова БГ Разумейко АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ Л.П. КАГАДИЙ, И.Л. ШИНКОВСКАЯ, И.П. ЗАЕЦ, Л.Ф. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ ЛП КАГАДИЙ ИЛ ШИНКОВСКАЯ ИП ЗАЕЦ ЛФ СУШКО ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Часть I Утверждено на заседании Ученого совета академии

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

Экономический факультет. Кафедра естественнонаучных и гуманитарных дисциплин. Ю.И.Швецова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Экономический факультет. Кафедра естественнонаучных и гуманитарных дисциплин. Ю.И.Швецова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЗАБАЙКАЛЬСКИЙ АГРАРНЫЙ ИНСТИТУТ - филиал ФГБОУ ВО «Иркутский государственный аграрный университет имени ААЕжевского» Экономический факультет Кафедра

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее