ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ"

Транскрипт

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва, ОВ Янущик, ЕГ Пахомова, ОН Имас ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ Рекомендовано в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Издательство Томского политехнического университета

2 УДК 55(758) ББК 44я73 Л436 Л436 Шерстнева АИ Лекции по высшей алгебре: учебное пособие/ АИ Шерстнёва, ОВ Янущик, ЕГ Пахомова, ОН Имас; Национальный исследовательский Томский политехнический университет Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 88 с Учебное пособие предназначено для студентов первого курса высших учебных заведений, изучающих в том или ином объёме высшую математику В пособии изложен материал по разделам «Линейная алгебра» (матрицы, определители, системы линейных уравнений, вещественные линейные пространства, линейные операторы) и «Векторная алгебра» Изложение теоретического материала сопровождается подробным рассмотрением примеров и типовых задач УДК 55(758) ББК 44я73 Рецензенты Кандидат технических наук, доцент кафедры общей математики ТГУ ИГ Устинова Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики СТИ НИЯУ МИФИ ИЛ Фаустова ГОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский политехнический университет», Шерстнёва АИ, Янущик ОВ, Пахомова ЕГ, Имас ОН, Оформление Издательство Томского политехнического университета,

3 Оглавление Глава Матрицы Определители 5 Понятие матрицы 5 Некоторые виды матриц 5 3 Линейные операции над матрицами 7 4 Умножение матриц 8 5 Транспонирование матриц 6 Понятие определителя 7 Свойства определителей 8 Миноры, дополнительные миноры, алгебраические дополнения 4 9 Теорема Лапласа и ее следствие 5 Понятие обратной матрицы 6 Нахождение обратной матрицы 7 Понятие ранга матрицы 3 Метод элементарных преобразований 4 Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы 5 Теорема о базисном миноре 3 Глава Системы линейных уравнений 6 Основные понятия 6 Решение систем линейных уравнений матричным методом 8 3 Решение систем линейных уравнений методом Крамера 9 4 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса 3 5 Системы линейных однородных уравнений 33 6 Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений 34 7 Связь между решениями неоднородной системы уравнений и соответствующей ей однородной 36 Глава 3 Векторная алгебра 38 3 Основные понятия векторной алгебры 38 3 Линейные операции над векторами Линейная зависимость и независимость векторов 4 34 Базис системы векторов 4 35 Декартова прямоугольная система координат Проекция вектора на ось 46 3

4 37 Нахождение длины вектора Направляющие косинусы вектора Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме Задача о делении отрезка в заданном отношении 5 3 Скалярное произведение векторов 5 3 Векторное произведение векторов 53 3 Cмешанное произведение векторов 56 Глава 4 Линейные пространства 59 4 Понятие линейного пространства 59 4 Линейная зависимость и независимость векторов 6 43 Базис линейного пространства Связь между координатами вектора в различных базисах Подпространства линейного пространства 7 Глава 5 Линейные операторы 7 5 Понятие линейного оператора 7 5 Матрица линейного оператора Связь между координатами вектора и координатами его образа Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису Собственные векторы и собственные значения линейного оператора Характеристический многочлен линейного оператора 8 57 Диагонализируемость линейного оператора 84 Рекомендуемая литература 87 4

5 ГЛАВА МАТРИЦЫ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Понятие матрицы Определение Матрицей размера m называется таблица, образованная из элементов некоторого множества и имеющая m строк и столбцов Если m, то матрицу называют прямоугольной, а если m, то квадратной порядка Элементы, из которых составлена матрица, называют элементами матрицы Их обычно обозначают маленькой латинской буквой с нижним индексом из двух цифр Он указывает положение элемента в матрице: первая цифра индекса номер строки, в которой стоит элемент, а вторая номер столбца Пример 4 элемент второй строки и четвертого столбца, элемент первой строки и третьего столбца 3 Матрицы обычно обозначают большими латинскими буквами и при записи заключают в круглые скобки: m m m Используется также сокращенная запись: ) Две матрицы ( ij ) и B ) считаются равными, если они ( ij ( ij одинакового размера, и элементы, стоящие в и B на одинаковых местах, равны между собой, то есть ij ij Наиболее часто рассматриваются матрицы, элементами которых являются числа Такие матрицы называются числовыми Некоторые виды матриц Матрицу размера m называют столбцом длины m m 5

6 Матрицу размера называют строкой длины 3 Нулевой матрицей называют матрицу, все элементы которой равны нулю Будем обозначать её буквой O O 4 Условную линию в квадратной матрице порядка, на которой расположены элементы,,, называют главной диагональю этой матрицы Условную линию в квадратной матрице порядка, на которой расположены элементы,,,, называют побочной диагональю этой матрицы, Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны, называется единичной Единичную матрицу принято обозначать буквой E (или E, если требуется указать порядок матрицы) 5) Квадратные матрицы, у которых все элементы выше или ниже главной диагонали равны нулю, называются треугольными , B При этом матрица называется верхней треугольной, а B нижней треугольной 6

7 6) Прямоугольную матрицу называют трапециевидной, если она имеет вид: 3 m 3 m 33 3 m 3 mm m 7) Прямоугольная матрица называется ступенчатой, если первый ненулевой элемент каждой строки находится правее первого ненулевого элемента предыдущей строки Пример ступенчатая матрица, 3 не является ступенчатой 3 Линейные операции над матрицами К линейным операциям над матрицами относятся умножение матрицы на число и сложение матриц Определение Произведением матрицы ) на число называется такая матрица B ), элементы которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы Произведение матрицы ( ij ( ij ij ij на число, то есть на число обозначают Пример Если 3, то, ( 3) Частным случаем произведения матрицы на число является произведение () Такую матрицу называют противоположной матрице и обозначают 7

8 Определение Суммой двух матриц ) и B ) одинакового размера, называется такая матрица ( ij ( ij C c ), элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц и B, то есть c Сумму матриц и B обозначают Пример Если 3, 4 ij ij ij B ( ij B 3, то B Частным случаем суммы двух матриц является сумма ( B) Такую матрицу называют разностью матриц и B, и обозначают B Введенные таким образом линейные операции над матрицами обладают следующими свойствами: B B ; ( B) C ( B C) ; 3 O ; 4 ( ) O ; 5 ( ) ( ) ; 6 ( ) ; 7 ( B) B ; 8 4 Умножение матриц Определение Пусть ( i ) строка и B ( i ) столбец одинаковой длины Произведением строки на столбец B называется число c (те матрица размера ), равное сумме произведений их соответствующих элементов, то есть c 3 3 Пример Если 3, B 3 5, то произведением 4 на B будет число c ( 5) 3 ( 3) 4 8

9 Определение Пусть ) матрица размера m, B ) ( ij матрица размера k (то есть количество столбцов в матрице совпадает с количеством строк матрицы B ) Произведением матрицы на матрицу B называется матрица C размера m k такая, что каждый ее элемент c является произведением строки матрицы с номером i на ij столбец матрицы B с номером j, то есть c i ij i j j i3 Произведение матрицы на B обозначают B или B Примеры Пусть и B 3 Тогда можно умножить на B В результате получим матрицу 4 B 3 4 ( ) 3 ( 4) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( 4) ( ) ( ) 4 Пусть и B Тогда можно умножить 3 5 на B и B можно умножить на В результате получим матрицы B B Последний пример показывает, что если произведения B и B существуют, то в общем случае B B Но для некоторых матриц равенство B B возможно Если B B, то матрицы и B называют перестановочными или коммутативными Операция умножения матриц обладает следующими свойствами (при условии, что все записанные произведения имеют смысл): E E, O O O ; 3 ( B) C ( BC) ; 4 ( B) C C BC ; 5 C( B) C CB 9 3 j i j ( ij

10 5 Транспонирование матриц Определение Пусть матрица размера m Матрица размера m, полученная из заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к и обозначается Операция нахождения матрицы называется транспонированием матрицы Пример Пусть 3 Тогда Операция транспонирования матриц обладает следующими свойствами: ( ) ; 3 4 ( B) ( ) ; B ( B) B ; 6 Понятие определителя Приведём некоторые определения, которые необходимы для того, чтобы ввести понятие определителя Пусть натуральное число Факториалом числа (обозначают:! ) называют произведение натуральных чисел от до включительно, то есть! 3 Факториал числа полагают равным Расположение чисел,,3,, в любом порядке называется перестановкой этих чисел Пусть дана некоторая перестановка чисел,,3,, :,,,,,,, i k Говорят, что два числа i и k образуют инверсию в перестановке, если большее число стоит левее меньшего, то есть если i k Количество пар, образующих инверсию в перестановке, называется числом инверсий в перестановке

11 Пример В перестановке, 4, 5, 3, инверсию образуют следующие пары чисел: 4 и 3, 4 и, 5 и 3, 5 и, 3 и Число инверсий 5 Пусть ) квадратная матрица порядка ( ij Определение Определителем матрицы (определителем порядка ) называется сумма! членов, составленных следующим образом Членами определителя служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы При этом произведение берется со знаком «плюс», если число инверсий в перестановке первых индексов сомножителей и число инверсий в перестановке вторых индексов сомножителей в сумме дают четное число, а со знаком «минус» в противном случае Определитель матрицы обозначают:, det, Элементы, строки, столбцы матрицы называют соответственно элементами, строками, столбцами определителя матрицы Согласно определению получаем, что ; По определению можно получить и формулу для нахождения определителя третьего порядка: 3 ) Для запоминания этой формулы пользуются так называемым правилом треугольников Определитель третьего порядка равен алгебраической сумме шести произведений Со знаком «плюс» берутся произведение элементов главной диагонали и произведения элементов, стоящих в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали Со знаком «минус» берутся произведение элементов побочной диагонали и произведения элементов, стоящих в вершинах двух

12 равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали Пример = ( ) ( ) ( 3) ( ) 4 ( ) 3 3 ( 3) ( ) ( 6) ( 9) 7 Определители более высоких порядков вычислять по определению довольно затруднительно, так как они являются суммами достаточно большого числа слагаемых (4! 4, 5! и тд) Способы вычисления таких определителей будет рассмотрены далее 7 Свойства определителей При транспонировании матрицы ее определитель не меняется Из этого свойства следует, что строки и столбцы в определителе равноправны, то есть любое утверждение, верное для строк определителя, будет верно и для его столбцов При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет знак Пример Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя Пример

13 4 Определитель, у которого каждый элемент некоторой строки (столбца) является суммой двух слагаемых, равен сумме двух определителей, у первого из которых в указанной строке (столбце) стоят первые слагаемые, а у второго вторые слагаемые; остальные строки (столбцы) у всех определителей одинаковые Пример Определение Если в матрице некоторая строка (столбец) может быть представлена в виде суммы других k строк, умноженных соответственно на числа,,, k, то говорят, что данная строка (столбец) является линейной комбинацией указанных строк (столбцов) 5 Определитель равен нулю если: а) он имеет строку (столбец), состоящую из нулей; б) он имеет хотя бы две одинаковые строки (два одинаковых столбца); в) он имеет хотя бы две пропорциональные (то есть отличающиеся множителем) строки (столбца); г) хотя бы одна строка (столбец) является линейной комбинацией нескольких других строк (столбцов) Пример , так как третий столбец определителя является линейной комбинацией второго и первого с коэффициентами и : Определитель не изменится, если к каждому элементу одной строки (столбца) прибавить соответствующий элемент другой строки (столбца), умноженный на некоторое число Пример ( )

14 7 Если и B квадратные матрицы порядка, то Пусть B B B 8 Миноры, дополнительные миноры, алгебраические дополнения ) ( ij матрица размера число, такое, что k, k m, k m и пусть k некоторое Определение Выберем в матрице произвольно k строк и k столбцов Из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, составим определитель M k Этот определитель называют минором k -го порядка матрицы (её определителя) Пример Выбирая первую строку и четвертый столбец, получаем минор первого порядка матрицы M 7 Выбирая вторую, третью строки и первый, второй столбцы, получаем минор второго порядка матрицы M 4 3 Выбирая первую, вторую, третью строки и первый, третий, четвертый столбцы, получаем минор третьего порядка матрицы 3 7 M Кроме полученных миноров, у матрицы есть и другие миноры первого, второго и третьего порядка Их можно найти, если выбирать строки и столбцы с новыми номерами Для квадратной матрицы, кроме понятия минора, вводится понятие дополнительного минора и алгебраического дополнения Определение Пусть ) квадратная матрица порядка Выберем в минору M k ( ij M k минор k -го порядка Дополнительным минором к называется определитель матрицы, оставшейся после вы- 4

15 k чёркивания тех строк и столбцов матрицы, которые входят в минор M Алгебраическим дополнением минора M называется дополнительный к нему минор, умноженный на ( ), где S сумма номеров строк и столбцов данной матрицы, которые входят в минор Пример Выберем минор второго порядка M Тогда алгебраическим дополнением к нему будет 4 ( ) Замечание Дополнительный минор элемента k S k M k (будем обозначать его M ) это определитель порядка, полученный из опреде- ij лителя вычеркиванием строки с номером i и столбца с номером j А алгебраическое дополнение элемента (будем обозначать его ) это произведение i j M ij ( ) 9 Теорема Лапласа и ее следствие Теорема (Лапласа) Пусть в определителе порядка выбрано k строк (столбцов), где k Тогда определитель равен сумме произведений всех миноров k -го порядка, содержащихся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения Следствие (теоремы Лапласа) Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:, i i i i i i j j j j j j ij ij Полученные выражения называют разложением определителя по строке или столбцу соответственно Они позволяют свести вычисление определителя порядка к вычислению определителей порядка 5 ij

16 Пример Вычислим Разложив по первому столбцу, получаем ( ) ( ) 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) 4 ( ) ( ) ( ) ( 57) ( ) ( ) ( 4) Замечание Используя свойства определителей, можно преобразовать определитель порядка так, чтобы все элементы некоторой строки или столбца, кроме одного, равнялись нулю Тогда раскладывая определитель по этой строке или столбцу, получаем всего лишь один определитель порядка, то есть значительно уменьшаем количество вычислений Понятие обратной матрицы Определение Обратной матрице называется матрица, обозначаемая, такая, что E Используя определение обратной матрицы, можно показать, что справедливы следующие утверждения Лемма 3 Если матрица имеет обратную матрицу, то и квадратные матрицы одинакового порядка Доказательство Чтобы существовали произведения и необходимо, чтобы матрицы и имели соответственно размеры m и m Тогда матрица будет иметь размер, а матрица размер m m Но для равенства необходимо, чтобы размеры матриц и совпадали, то есть m Лемма доказана 6

17 Лемма 4 Если обратная матрица существует, то она единственная Доказательство Пусть существует две матрицы B и C, такие, что B B E и C C E Тогда существует и произведение B C, причем согласно свойствам операции умножения матриц, B C ( B ) C E C C, B C B ( C) B E B Получаем, что B C Лемма доказана Лемма 5 Если матрица имеет обратную матрицу, то её определитель отличен от нуля Доказательство В лемме 3 утверждается, что и квадратные матрицы одинакового порядка Тогда согласно свойству 7 определителей Но E, откуда получаем, что и Лемма доказана, а E, следовательно, Нахождение обратной матрицы Оказывается, что утверждение леммы 5 верно и в обратную сторону Справедлива следующая теорема Теорема 6 (об обратной матрице) Пусть квадратная матрица порядка Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля Причем S, где S матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы : S 7

18 Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной Матрицу S называют союзной к матрице Доказательство ) Пусть матрица имеет обратную матрицу Тогда согласно лемме 5, А ) Пусть А Надо доказать, что матрица имеет обратную матрицу Для этого покажем, что матрица то есть что ( S ) ( S ) E S является обратной, ) Докажем равенство ( S ) E, то есть S E Обозначим через D S, D S Найдем элементы матрицы D, стоящие на главной диагонали: d, d, d Но согласно следствию теоремы Лапласа, полученные выражения являются разложениями по строкам, то есть откуда d,,, d d Найдем остальные элементы матрицы D Пусть i d ij i j i j i j j, тогда 8

19 Заменим в матрице элементы строки с номером А j на соответствующие элементы строки с номером i Построенную таким образом новую матрицу обозначим А j j j i i i i i i i i i Так как в матрице две одинаковые строки, А А Запишем теперь разложение А по строке с номером j (согласно следствию теоремы Лапласа): А j i j i j i Но в матрицах и все строки, кроме строк с номером А А j, одинаковые, следовательно, j j, j j,, j j, то есть А j i j i j i Получаем, что при j i j i j i j i ij d А Таким образом, E S D S E E S ) ( б) Аналогичным образом доказывается, что E S ) ( Итак, согласно доказанным пунктам а) и б), матрица S является обратной Теорема доказана 9

20 Понятие ранга матрицы Пусть ) матрица размера ( ij m Определение Рангом матрицы называют максимальный порядок ее миноров, отличных от нуля Базисным минором матрицы называют её отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы Строки и столбцы, на пересечении которых стоят элементы базисного минора, называются базисными Ранг матрицы обычно обозначают r () Ранг матрицы легко найти, если она треугольная, трапециевидная или ступенчатая Рассмотрим следующие примеры Примеры Треугольные матрицы , ранг 3, Трапециевидные матрицы 3 3, ранг,,, Ступенчатые матрицы , ранг 3, 5 7 базисный минор 4 6, базисные миноры базисные миноры Итак, ранг треугольных, трапециевидных и ступенчатых матриц равен количеству ненулевых строк в них Нахождение ранга матрицы произвольного вида по определению обычно бывает весьма затруднительно, так как требует вычисления большого количества определителей различного порядка Существенно облегчает решение этой задачи метод элементарных преобразований 3 Метод элементарных преобразований Определение Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующего вида: ) умножение некоторой строки (столбца) на число, отличное от нуля;

21 ) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число; 3) перестановка двух строк (столбцов) Определение Две матрица и B называются эквивалентными, если одна из них может быть получена из другой с помощью элементарных преобразований Если матрицы и B эквивалентны, то пишут: Справедлива следующая теорема ~ B Теорема 7 (об инвариантности ранга матрицы относительно элементарных преобразований) Ранг матрицы инвариантен относительно элементарных преобразований (эквивалентные матрицы имеют равные ранги) Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что элементарные преобразования матрицы сохраняют ее ненулевые миноры (они могут лишь изменить их знаки) Учитывая теорему 7 и то, что ранг матрицы ступенчатого вида легко найти, ранг произвольной матрицы можно найти следующим образом: ) с помощью элементарных преобразований строк получить для матрицы эквивалентную матрицу B, имеющую ступенчатый вид; ) определить ранг матрицы B и, следовательно, матрицы Такой способ нахождения ранга матрицы называется методом элементарных преобразований Замечание При нахождении ранга матриц элементарные преобразования мы будем производить только над строками матрицы Это условие будет необходимо в дальнейшем при решении систем линейных уравнений Пример Методом элементарных преобразований найдем ранг матрицы Умножим первую строку матрицы на 3 и прибавим ко второй; затем умножим первую строку на и прибавим к третьей После этого прибавим к третьей строке вторую Получаем

22 ~ ~ B 4 4 Матрица B имеет ступенчатый вид, r ( B) (базисным минором является, например, равен двум, M ) Следовательно, ранг матрицы также r ( ) 4 Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы В пункте 7 было введено понятие линейной комбинации строк (столбцов) матрицы Пусть S, S,, S k строки (столбцы) матрицы А,,,, k некоторые числа Тогда S S k S k называется линейной комбинацией строк S, S,, Будем обозначать нулевую строку (столбец) o Определение Строки (столбцы) S, S,, S k называют линейно зависимыми, если существуют числа,,, k, не все равные нулю одновременно, такие, что S S k S k o, то есть нулевой строке (столбцу) Если же равенство S S k Sk o возможно только при условии k, то строки (столбцы) называют линейно независимыми Пример 3 строка S строка S А 5 5 строка S3 4 8 строка S4 S S S4 (,,, ) o Следовательно, строки S, S, S4 линейно зависимые Лемма 8 (о линейной зависимости) Строки (столбцы) S, S,, S k линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией остальных S k

23 Доказательство ) Пусть S, S,, S k линейно зависимы Тогда по определению существуют числа,,, k, не все равные нулю одновременно и такие, что S S k S k o Пусть, например, Тогда S S k Sk S S k S k, то есть S является линейной комбинацией S,, S ) Пусть, например, S является линейной комбинацией S,, S k Тогда S S k S k или S S k Sk o Коэффициент при S равен, то есть отличен от нуля Следовательно, S, S,, S k линейно зависимы Лемма доказана 5 Теорема о базисном миноре Теорема 9 (о базисном миноре) ) Базисные строки (столбцы) матрицы линейно независимы ) Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов) Доказательство Докажем утверждения теоремы для столбцов матрицы Для строк доказательство проводится аналогично ) Допустим, базисные столбцы матрицы линейно зависимы Тогда согласно лемме 8 о линейной зависимости, некоторый базисный столбец матрицы является линейной комбинацией остальных её базисных столбцов Следовательно, и соответствующий столбец базисного минора является линейной комбинацией остальных его столбцов Получаем, что согласно свойствам определителя, базисный минор равен нулю, а это противоречит определению базисного минора Таким образом, базисные столбцы линейно независимы ) Пусть r ранг матрицы А, M её базисный минор Для простоты обозначений будем считать, что r M r rr k 3

24 Обозначим через C, C,, C столбцы матрицы А Покажем, что любой столбец Ck, где k, является линейной комбинацией базисных столбцов C,C,,C r столбец C C, а) Пусть k r, C k,c r Так как C C C C r, C C C C r,, Cr C C C r, является линейной комбинацией базисных столбцов б) Пусть k r, рассмотрим определители r k r k i, где i r rr rk i ir ik Если i r, то в определителе i две одинаковые строки, поэтому согласно свойствам определителя, i Если i r, то i является минором матрицы А, порядок которого больше r ранга матрицы А Следовательно, i Таким образом, для всех i, где i i i Определители имеют одинаковые строки, кроме последней строки Следовательно, алгебраические дополнения к соответствующим элементам их последних строк также одинаковые Тогда разложив определители i по последней строке, получаем M i i ir r ik, где,,, r алгебраические дополнения элементов i, i,, ir соответственно Итак, для всех i, где i, выполняется r ik i i ir М М М r Сk С Сr М М М то есть столбец C k является линейной комбинацией базисных столбцов C, C,, C r Теорема доказана 4

25 Теорема (критерий равенства нулю определителя) Определитель матрицы А равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы Доказательство ) Пусть А Покажем, что его строки (столбцы) линейно зависимы Обозначим через r ранг матрицы А Так как А, r Пусть S, S,, S строки (столбцы) матрицы А Будем считать, что базисными строками (столбцами) являются S, S,, Sr Тогда согласно теореме 9 о базисном миноре, Sr S S rsr S S rsr Sr Sr S o Коэффициент при Sr равен, то есть отличен от нуля Следовательно, строки (столбцы) S S,, линейно зависимы, S ) Пусть строки (столбцы) матрицы А линейно зависимы Тогда согласно лемме 8 о линейной зависимости, некоторая строка (столбец) является линейной комбинацией остальных строк (столбцов), следовательно, А Теорема доказана 5

26 ГЛАВА СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные понятия Линейным уравнением с неизвестными,,, называется уравнение, которое имеет следующий вид, где,,, некоторые числа, называемые коэффициентами этого уравнения, а число, называемое свободным членом Если, то уравнение называется однородным Если, то уравнение называется неоднородным Рассмотрим систему m линейных уравнений с неизвестными:,, () m m m m Обозначим через и * следующие матрицы:, * m m m m m m m Матрицу называют матрицей или основной матрицей системы (), а матрицу * расширенной матрицей этой системы Пусть X матрица-столбец неизвестных, B матрица-столбец свободных членов: X, B m Тогда систему () можно записать в виде матричного уравнения X B () Такую запись называют матричной формой записи системы () Упорядоченный набор чисел c, c,, c называется решением системы (), если каждое уравнение системы обращается в верное равенство после подстановки вместо,,, чисел c, c,, c соответственно 6

27 Решение c, c,, c системы () также можно записать в виде матрицы-столбца c c C c Эта матрица удовлетворяет уравнению () Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то ее называют совместной Система линейных уравнений, не имеющая решений, называется несовместной Решить систему это значит выяснить, совместна она или несовместна, и если совместна, то найти все её решения Исчерпывающий ответ на вопрос о существовании решений системы () даёт теорема Кронекера Капелли Теорема (Кронекера Капелли) Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, то есть r( ) r( * ) Оказывается, что случай, когда число решений системы линейных уравнений () конечно и больше единицы, невозможен Теорема Если система линейных уравнений совместна, то она имеет единственное решение или бесконечное множество решений Система, имеющая единственное решение, называется определенной Система, имеющая бесконечное множество решений, называется неопределенной В последнем случае каждое её решение называют частным решением системы, а совокупность всех частных решений общим решением системы С помощью следующей теоремы выясняется, имеет ли система линейных уравнений () единственное решение Теорема 3 (критерий единственности решения) Система линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы и равен числу переменных, то есть r( ) r( * ) 7

28 Решение систем линейных уравнений матричным методом Рассмотрим систему линейных уравнений, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных, то есть m Тогда основная матрица системы квадратная Если, то системы такого вида называют невырожденными Заметим, что если, то ранг матрицы равен её порядку, то есть r( ) Но тогда и r(* ), следовательно, r( ) r( * ), откуда согласно теореме 3, решение системы единственно Итак, невырожденная система линейных уравнений имеет единственное решение Покажем, как можно найти решение невырожденной системы линейных уравнений Так как, то согласно теореме 6 об обратной матрице, матрица имеет обратную матрицу Запишем систему в матричной форме: X B Умножим обе части этого равенства на матрицу слева Согласно свойствам операции умножения матриц и определению обратной матрицы, получаем: ( X) B ( ) X B E X B X B (3) Нахождение решения по формуле (3) называют матричным методом решения системы Пример Решим систему Так как, можно применить матричный метод: X B 3 3 Итак, решением является, 8 3

29 3 Решение систем линейных уравнений методом Крамера Также как и матричный метод, этот метод применятся для решения невырожденных систем линейных уравнений, то есть таких систем, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных ( m ) и определитель матрицы системы отличен от нуля ( ) Теорема 4 (Крамера) Решение невырожденной системы линейных уравнений может быть найдено по формулам i i ( i,,, ), (4) где, а i определитель, получаемый из определителя заменой столбца с номером i на столбец свободных членов Формулы (4) называют формулами Крамера Доказательство Решая систему матричным методом, согласно формуле (3), имеем X B, а согласно теореме 6 об обратной матрице, S, где S матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы Тогда X B S B S B i i то есть i i i i i i ( i i i ), где i i Рассмотрим теперь определитель i, получаемый из определителя матрицы А заменой столбца с номером i на столбец свободных членов: 9,

30 i i i i У определителей и i все столбцы, кроме столбцов с номером i, одинаковые, следовательно, алгебраические дополнения к соответствующим элементам этих столбцов также одинаковые Тогда раскладывая определитель i по столбцу с номером i (согласно следствию теоремы Лапласа), получаем i i i i i ( i i i ) i Теорема доказана Пример Решим систему Так как, можно применить метод Крамера: ,, Следовательно,, 4 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса В отличие от двух предыдущих методов, метод Гаусса является универсальным Он позволяет для произвольной системы линейных уравнений выяснить, совместна ли она, и если да, то найти все её решения Введём сначала следующие понятия Определение Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются преобразования следующего вида: ) умножение обеих частей уравнения на число, отличное от нуля; ) прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число; 3) перестановка двух уравнений 3

31 Определение Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают Очевидно, что элементарные преобразования системы приводят к эквивалентной системе Процесс решения методом Гаусса состоит из двух этапов, называемых прямой ход и обратный ход Прямой ход Элементарными преобразованиями приводим систему к эквивалентной системе, имеющей расширенную матрицу ступенчатого вида Выясняем, будет ли система совместна, сравнивая ранги основной и расширенной матриц полученной системы 3 Если система совместна, выбираем в основной матрице полученной системы базисный минор треугольного вида 4 Переносим в правую часть системы слагаемые с неизвестными, коэффициенты которых не вошли в базисный минор Эти неизвестные будем называть независимыми (свободными), а остальные зависимыми Обратный ход 5 Начиная с последнего уравнения (в обратном порядке) выражаем все зависимые переменные через свободные переменные Система, в которой зависимые переменные выражены через свободные, является общим решением системы 6 Придавая свободным переменным некоторые числовые значения, получаем бесконечно много частных решений исходной системы Замечание Элементарные преобразования системы линейных уравнений в точности соответствуют элементарным преобразованиям над строками расширенной матрицы этой системы Поэтому при решении системы методом Гаусса удобнее вместо преобразований системы производить преобразования над строками расширенной матрицы Пример Решить систему методом Гаусса: Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк: , 4,

32 ( ) ( 3) ~ ~ ~ 5 ~ 5 5 r ( ) r( *) Следовательно, согласно теоремам и 3, система совместна и имеет бесконечное множество решений Найдем общее решение системы Элементарными преобразованиями мы привели систему к виду 3 4, 53 4 Выберем в матрице этой системы базисный минор Пусть, например, это будет минор Следовательно, переменные и 4 будут зависимыми, а и 3 свободными Выразим зависимые переменные через свободные переменные Имеем: 4 3, 4 53 Из последнего уравнения имеем 4 53 Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем, что Таким образом, общим решением является , 4 53 Общее решение можно также записывать в виде матрицы столбца: Придавая переменным и произвольные числовые значения, 4 получаем частные решения этой системы Например,, 3 8, 4 ;, ,

33 5 Системы линейных однородных уравнений Рассмотрим систему m линейных однородных уравнений с неизвестными, то есть систему вида,, (5) m m m Системы такого вида называют однородными Если же хотя бы одно из уравнений системы является неоднородным, то такая система линейных уравнений называется неоднородной Система линейных однородных уравнений является частным случаем системы () Она всегда совместна, так как является её решением Заметим также, что ранг расширенной матрицы системы (5) равен рангу её основной матрицы, то есть r( ) r( *) Решение называется нулевым или тривиальным Но кроме нулевого решения, система (5) может иметь и другие решения, называемые нетривиальными Теорема 5 (критерий существования нетривиальных решений) Система линейных однородных уравнений обладает нетривиальными решениями тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы меньше числа неизвестных, то есть r( ) Доказательство ) Пусть существуют нетривиальные решения Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то r( ) Допустим, что r( ), следовательно, r( ) r( * ) Тогда согласно теореме 3, система (5) имеет единственное решение А это противоречит тому, что существуют нетривиальные решения Таким образом, r( ) ) Пусть r( ), то есть r( ) Тогда согласно теореме 3, система (5) имеет более одного решения, то есть существуют нетривиальные решения Теорема доказана Матричной формой записи системы (5) является X O (6) 33

34 В главе (пункт 7) было введено понятие линейной комбинации строк (столбцов) матрицы Пусть C, C,, Ck решения уравнения (5),,,, k некоторые числа Тогда С С kс k называется линейной комбинацией решений C, C,, Теорема 6 (свойство решений системы линейных однородных уравнений) Любая линейная комбинация конечного числа решений системы линейных однородных уравнений является решением этой системы Доказательство Пусть C, C,, C k решения системы (5) Рассмотрим линейную комбинацию этих решений С С С kс k Тогда С ( С С kсk ) С С k С k Но С С Сk O, так как C, C,, Ck решения системы (5), то есть удовлетворяют уравнению (6) Следовательно, С O O ko O Таким образом, C является решением системы (5) Теорема доказана 6 Фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений Теорема 7 (существования фундаментальной системы решений) Пусть r ранг матрицы системы линейных однородных уравнений, количество уравнений этой системы Если система имеет нетривиальные решения, то существует r линейно независимых решений данной системы, таких, что любое другое её решение будет их линейной комбинацией Эти решения называют фундаментальной системой решений системы линейных однородных уравнений В ходе доказательства теоремы 7 показывается, что фундаментальную систему решений можно найти следующим образом: ) Находим общее решение системы ) Записываем любой отличный от нуля определитель порядка r 34 C k

35 3) Находим r частных решений системы, беря в качестве значений для свободных неизвестных элементы каждой из строк данного определителя поочерёдно Пример Найти фундаментальную систему решений системы,, 4 5 3, Найдем общее решение системы методом Гаусса: ) ( ) ( ~ 3 3 ~ ~ Следовательно, ) ( r, и система приводится к виду, Выберем базисный минор Пусть, например, это будет минор Следовательно, переменные и будут зависимыми, а переменные,, свободными Выразим зависимые переменные через свободные переменные: 3 4 5, , Таким образом, общим решением является,

36 Для нахождения фундаментальной системы решений возьмем любой отличный от нуля определитель порядка r 5 3 Пусть, например, Запишем частные решения системы, беря в качестве значений для свободных неизвестных элементы каждой из строк определителя поочерёдно: ) 3, 4, 5, ; ) 3, 4, 5, ; 3) 3, 4, 5, ; Таким образом, фундаментальной системой решений являются три решения,, 7 Связь между решениями неоднородной системы уравнений и соответствующей ей однородной совместна и r( ) Установим связь ме- АX B и соответствующей ей системы Пусть система АX B жду решениями системы X O Теорема 8 Сумма любого решения линейной неоднородной системы и любого решения соответствующей ей однородной системы является решением неоднородной системы Доказательство Пусть CН решение неоднородной системы, а CО решение соответствующей ей однородной Тогда АСН B и СО O, откуда А( СН СО ) АСН СО B O B, то есть СН С О является решением неоднородной системы Теорема доказана 36

37 Теорема 9 Разность двух произвольных решений линейной неоднородной системы является решением соответствующей однородной системы откуда Доказательство Пусть и решения неоднородной системы Тогда C Н C Н CН B и CН B, Н Н ) Н А( С С АС С B B O, то есть СН СН является решением соответствующей однородной системы Теорема доказана Следующее утверждение является следствием теорем 8 и 9 Терема Общее решение линейной неоднородной системы равно сумме любого частного решения этой системы и общего решения соответствующей однородной системы Н 37

38 ГЛАВА 3 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 3 Основные понятия векторной алгебры Определение Вектором или свободным вектором называется направленный отрезок прямой, то есть отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая за конец Если начало вектора, а B его конец, то вектор обозначается B Также векторы обозначают малыми латинскими буквами с чертой, например,, Изображают вектор отрезком со стрелкой на конце: Расстояние от начала вектора до его конца называется длиной или модулем вектора и обозначается B или Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю Рассмотрим векторы и Совместим параллельным переносом их начала Под углом между векторами и будем понимать угол, величина которого не превышает 8º B Два вектора и называются ортогональными, если угол между ними равен 9 Записывают: Два вектора и называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых Записывают: Угол между коллинеарными векторами может быть равен º или 8º Если угол равен º, то векторы имеют одинаковое направление и называются сонаправленными Если же угол равен 8º, то векторы имеют противоположное направление и называются противоположно направленными 38

39 Три вектора, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными Два вектора и называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину Записывают: Все нулевые векторы считаются равными Замечание Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, перемещая его начало в любую точку пространства 3 Линейные операции над векторами Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения вектора на число Определение Произведением вектора на число называется вектор, длина которого равна, а направление совпадает с направлением вектора при и противоположно ему при Если или, то их произведение полагают равным Произведение вектора на число обозначают Пример Частным случаем произведения вектора на число является произведение ( ) Так как этот вектор имеет ту же длину, что и вектор, а его направление противоположно направлению вектора, то вектор ( ) называют противоположным вектору и обозначают Легко заметить, что справедливо следующее утверждение Лемма 3 (критерий коллинеарности векторов) Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда, для некоторого числа Определение Суммой векторов и называется вектор, соединяющий начало вектора с концом вектора, отложенного от конца вектора Сумма векторов и обозначается 39

40 Для геометрического представления суммы векторов используют два правила: правило треугольника и правило параллелограмма ) ) Преимущество правила треугольника в том, что оно легко обобщается на сумму любого конечного числа векторов Например, чтобы найти сумму четырех векторов надо построить эти векторы последовательно (беря в качестве начала следующего вектора конец предыдущего) Тогда их сумма это вектор, соединяющий начало первого вектора и конец четвертого: Частным случаем суммы двух векторов является сумма ( ) Ее называют разностью векторов и, и обозначают Геометрическим представлением разности векторов будет: В главе (пункт 7) было введено понятие линейной комбинации строк и столбцов матрицы, а главе (пункт 5) понятие линейной комбинации решений системы линейных уравнений Аналогично вводится и понятие линейной комбинации векторов Определение Пусть,,, k векторы,,,, k некоторые числа Тогда вектор = k k называют линейной комбинацией векторов,,, k При этом говорят, что вектор линейно выражается через векторы,,, k или разложен по векторам,,, k Легко заметить, что справедливо следующее утверждение Лемма 3 (критерий компланарности векторов) Три ненулевых вектора, и c компланарны тогда и только тогда, когда один из них линейно выражается через другие (например, ) 4 c

41 Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами: ; ( ) c ( c) ; 3 ; 4 ( ) ; 5 ( ) ( ) ; 6 ( ) ; 7 ( ) ; 8 Замечание Свойства линейных операций над векторами с точностью до обозначений совпадают со свойствами линейных операций над матрицами (глава, пункт 3) 33 Линейная зависимость и независимость векторов В главе (пункт 4) рассматривались понятия линейной зависимости и независимости строк и столбцов матрицы Введём аналогичные понятия для векторов Определение Векторы,,, k называют линейно зависимыми, если существуют числа,,, k, не все равные нулю одновременно, такие, что k k Если же равенство k k возможно только при условии k, то векторы называют линейно независимыми Следующая лемма аналогична лемме 8 (глава, пункт 7) Лемма 33 (о линейной зависимости) Векторы,,, k линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через остальные Доказательство ) Пусть векторы,,, k линейно зависимы Тогда по определению существуют числа,,, k, не все равные нулю одновременно и такие, что k k Пусть, например, Тогда 4 k k

42 k k, то есть вектор линейно выражается через векторы,, k ) Пусть один из векторов,,, k линейно выражается через остальные Например, 33 k k 33 k k Коэффициент при равен, то есть отличен от нуля Следовательно, векторы,,, k линейно зависимы Лемма доказана Лемма 34 (критерий линейной зависимости двух векторов) Два ненулевых вектора и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны Доказательство Два ненулевых вектора и линейно зависимы (согласно лемме 33) линейно выражается через (согласно определению) для некоторого числа (согласно лемме 3) векторы и коллинеарны Лемма доказана Лемма 35 (критерий линейной зависимости трёх векторов) Три ненулевых вектора, и c линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны Доказательство Три ненулевых вектора, и c линейно зависимы (согласно лемме 33) один из них линейно выражается через остальные (согласно лемме 3) векторы, и c компланарны Лемма доказана 34 Базис системы векторов Определение Базисом некоторой системы векторов называется любая максимальная линейно независимая подсистема этой системы Иначе говоря, векторы e, e,, e некоторой системы векторов образуют её базис, если выполняются следующие два условия: ) e, e,, e линейно независимы; ) e, e,, e, линейно зависимы для любого вектора данной системы векторов 4

43 Базис данной системы векторов можно выбрать не единственным образом Однако справедлива следующая теорема Теорема 36 Любые два базиса данной системы векторов состоят из одного и того же числа векторов Легко увидеть, что является базисом векторов плоскости и базисом векторов пространства Теорема 37 ) Базисом векторов плоскости являются любые два неколлинеарных вектора этой плоскости ) Базисом векторов пространства являются любые три некомпланарных вектора Роль базиса характеризует следующая теорема Теорема 38 (о базисе) Каждый вектор данной системы векторов линейно выражается через любой базис этой системы, причем единственным образом Доказательство Пусть e, e,, e базис, произвольный вектор Тогда согласно определению, e, e,, e линейно независимы, а e, e,, e, линейно зависимы Следовательно, существуют числа,,,,, не все равные нулю одновременно и такие, что линейная комбинация e e e Покажем, что Если, то e e e, где коэффициенты,,, не все равны нулю одновременно А это означает, что векторы e, e,, e линейно зависимые Но по условию они образуют базис и, следовательно, линейно независимы Получили противоречие Таким образом, Тогда e e e, e e e, то есть линейно выражается через векторы e, e,, e Докажем, что вектор линейно выражается через базис единственным образом Пусть e e e, e e e Тогда 43

44 ( e e e ) ( e e e ), ( ) e ( ) e ( ) e Так как векторы e, e,, e линейно независимы, то,,, Откуда получаем, что,,, Теорема доказана Пусть e, e,, e базис, произвольный вектор Тогда согласно теореме 38 о базисе вектор можно единственным образом представить в виде линейной комбинации базисных векторов: e e e, при этом коэффициенты,,, называются координатами вектора в базисе e, e,, e 35 Декартова прямоугольная система координат Зафиксируем произвольную точку O и выберем некоторый базис векторов пространства (плоскости) Совокупность этой точки и этого базиса называется декартовой системой координат в пространстве (на плоскости) При этом точку О называют началом координат, прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, осями координат, а плоскости, проходящие через две оси координат, координатными плоскостями Пример Рассмотрим декартову систему координат на плоскости, то есть выберем некоторую точку O и некоторый базис (согласно теореме 37 это будут любые два неколлинеарных вектора) e e М O e e Тогда вектор =OM = e e, и координаты вектора в этом базисе Также говорят, что и координаты точки M 44

45 Координатами точки в декартовой системе координат называют координаты вектора, имеющего конец в этой точке, а начало в начале координат Хотя декартову систему координат можно выбрать произвольным образом, на практике предпочитают работать с декартовой прямоугольной системой координат Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют декартову систему координат, базисом в которой являются единичные, попарно ортогональные векторы Говорят, что три некомпланарных вектора, и c образуют правую тройку, если с конца третьего вектора c кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую тройку, если по часовой Чаще всего рассматривают правую декартову прямоугольную систему координат, то есть такую, в которой векторы базиса образуют правую тройку, их обозначают i, j, k Оси координат в этой системе координат называют соответственно осью O (абсцисс), осью O (ординат) и осью O (аппликат) O i k j Если,, координаты вектора в базисе i, j, k, то есть = i + j+ k, то используется также запись ={,, } Иногда в качестве базиса берут левую тройку векторов i, j, k Тогда такую декартову прямоугольную систему координат называют левой Декартова прямоугольная система координат на плоскости вводится аналогично 45

46 36 Проекция вектора на ось Проекцией точки M на прямую (плоскость) называется основание M пер пендикуляра, опущенного из точки M на эту прямую (плоскость) Пусть в пространстве задана ось l, то есть направленная прямая, B произвольный вектор Обозначим через и B проекции на ось l точек и B соответственно Проекцией вектора B на ось l называется положительное число B, если вектор B и ось l B одина- ково направлены, и отрицательное число B, если вектор B и ось l противоположно направлены Если точки и B совпадают, то проекция вектора B равна нулю Обозначают пр l B Верны следующие свойства проекций Проекция вектора на ось l равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью: пр l = cos ) Если 9, то проекция вектора на ось l положительна Тогда B l Доказательство Рассмотрим отдельно три случая ) ) 3) l l пр l пр l o пр cos l пр l = cos o ) Если 9, то проекция вектора на ось l отрицательна Тогда o пр l пр cos(8 ) cos l пр l = cos 46 l

47 o 3) Если 9, то cos, пр l, откуда пр l = cos Утверждение доказано Проекция суммы нескольких векторов на ось l равна сумме их проекций на эту ось Пусть, например, B Тогда прl 4 прl ( 3) CD B BD C прl прl 3 ( прl ) прl прl прl 3 C 3 При умножении вектора на число его проекция на ось l также умножается на это число: пр l ( )= пр l Доказательство Рассмотрим отдельно три случая ) Если, то векторы и одинаково направлены Тогда согласно свойству, пр ( ) cos cos пр l ) Если, то векторы и противоположно направлены Тогда согласно свойству, o пр ( ) cos(8 ) ( cos) пр l cos пр 3) Если, то пр l и прl ( ) ( пр l Утверждение доказано l ) вектора l D l Получаем, что Замечание Если ={,, }, то координата это проекция координата на ось O, координата проекция вектора на ось O проекция вектора на ось O и 47

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва ОВ

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Математика. Лектор: Зюбин С.А.

Математика. Лектор: Зюбин С.А. Математика Лектор: Зюбин С.А. Математика. семестр Линейная алгебра Аналитическая геометрия Математика Основная литература )Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры )Л.А. Беклемишева

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

4. Координаты вектора

4. Координаты вектора 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называют

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

7. Понятие линейного пространства

7. Понятие линейного пространства 7 Понятие линейного пространства 1 Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера,

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Векторное и смешанное произведение векторов

Векторное и смешанное произведение векторов Векторное и смешанное произведение векторов 1. Правые и левые тройки векторов и систем координат Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее