ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ"

Транскрипт

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ Пахомова, ОВ Рожкова ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Рекомендовано в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Издательство Томского политехнического университета

2 УДК 56454(758) ББК 455я7 Б69 Б69 Барышева ВК Лекции по линейной алгебре и аналитической геометрии: учебное пособие / ВК Барышева, ЕГ Пахомова, ОВ Рожкова; Национальный исследовательский Томский политехнический университет Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 5 с Учебное пособие представляет собой конспект лекций по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», читаемых авторами для студентов АВТФ и ЭТО ТПУ Оно содержит необходимый теоретический материал по данному курсу и упражнения, которые позволяют закрепить полученные теоретические знания Пособие предназначено для студентов технических вузов УДК 56454(758) ББК 455я7 Рецензенты Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики СГТУ ИЛ Фаустова Кандидат технических наук, доцент кафедры общей математики ТГУ ИГ Устинова ГОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский политехнический университет», ВК Барышева, ЕГ Пахомова, ОВ Рожкова, Оформление Издательство Томского политехнического университета,

3 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава Элементы линейной алгебры Матрицы и действия над ними4 Определители Ранг матрицы7 4 Системы линейных уравнений 5 Системы линейных однородных уравнений Упражнения4 Глава Векторная алгебра Элементы теории линейных пространств и линейных операторов 6 Векторы Линейные операции на множестве векторов4 7 Понятие линейного пространства45 8 Простейшие задачи векторной алгебры59 9 Нелинейные операции на множестве векторов6 Линейные операторы7 Упражнения8 Глава Аналитическая геометрия Прямая на плоскости84 Плоскость 94 Прямая в пространстве 4 Кривые второго порядка 5 Поверхности второго порядка Упражнения46 Список литературы 5

4 Глава I Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Но исторически первым разделом линейной алгебры была теория линейных уравнений Именно с этим разделом линейной алгебры мы и познакомимся в этой главе Построение общей теории систем линейных уравнений потребовало введения новых понятий понятий матрицы и определителя Матрицы и действия над ними Определение и некоторые виды матриц ОПРЕДЕЛЕНИЕ Матрицей размера m ) называется таблица, образованная из элементов некоторого множества (например, чисел или функций) и имеющая m строк и столбцов Если m, то матрицу называют прямоугольной, а если m квадратной, порядка Элементы, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы Их обычно обозначают маленькой латинской буквой с нижним индексом из двух цифр Он указывает положение элемента в матрице: первая цифра индекса номер строки, в которой стоит элемент, а вторая номер столбца Например, 4 элемент второй строки и четвертого столбца, элемент первой строки и третьего столбца Матрицы обозначают обычно большими латинскими буквами и при записи заключают в круглые или квадратные скобки:, m m m m m m Используются также следующие сокращенные записи: ), ( i, m, j, ) для прямоугольной матрицы размера m ( ij и ), ( i, j, ) для квадратной матрицы порядка ( ij ) Читают: «размера эм на эн» 4

5 Две матрицы и B считаются равными, если они одинакового размера, и элементы, стоящие в и B на одинаковых местах, равны между собой, те ij ij В этой главе будем рассматривать матрицы, элементами которых являются числа (их называют числовыми матрицами) В дальнейшем нам встретятся матрицы, элементами которых являются функции (функциональные матрицы) Укажем некоторые частные случаи матриц, которые в дальнейшем будут часто встречаться ) Матрицу ( i ), размера m, называют матрицейстолбцом длины m m ( i ), размера, называют матрицей-строкой длины ) Нулевой матрицей называют матрицу, все элементы которой равны нулю Ее обозначают обычно буквой O, те ) Матрицу ( ) O 4) Пусть ( ij ), ( i, m, j, ) Элементы,,, kk (где k mi{ m, } ) ) будем называть элементами главной диагонали матрицы Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны, называется единич- ) mi{, } m обозначает меньшее из двух чисел m и 5

6 6 ной Единичную матрицу принято обозначать буквой E (или E, если требуется указать порядок матрицы) 5) Пусть ) ( ij квадратная матрица порядка Элементы,,,,,, будем называть элементами побочной диагонали матрицы Квадратные матрицы,,,,,, B, c c c c c c c c c c C, d d d d d d d d d d,,,,, D у которых все элементы выше (ниже) главной или побочной диагонали равны нулю, называются треугольными ( и B называются верхними треугольными, а C и D нижними треугольными) 6) Прямоугольную матрицу размера m будем называть трапециевидной, если все ее элементы ниже главной диагонали равны нулю, те если она имеет вид m mm m m m Линейные операции над матрицами Линейными операциями над матрицами называются умножение матрицы на число и сложение матриц ОПРЕДЕЛЕНИЕ Произведением матрицы ) ( ij на число α называется такая матрица B ) ( ij, элементы которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы на число α, те ij ij α

7 Произведение матрицы на число α обозначают α Например, если, то 4 4 6, ( ) Частным случаем произведения матрицы на число является произведение ( ) Так как все элементы этой матрицы противоположны соответствующим элементам матрицы, то матрицу ( ) называют противоположной матрице и обозначают Например, если, то 4 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Суммой двух матриц ) и B ) одинакового размера, называется такая матрица C c ), элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц и B, те c ij ij ij Сумму матриц и B обозначают Например, если B ( ij ( ij и B 4, то 4 B 5 5 Частным случаем суммы двух матриц является сумма ( B) Так как все элементы этой матрицы равны разностям соответствующих элементов матрицы и матрицы B, то матрицу ( B) называют разностью матриц и B и обозначают B Например, если и B 4, то 4 B 7 Легко проверить, что введенные таким образом линейные операции над матрицами обладают следующими свойствами: ) B B (коммутативность сложения матриц); ) ( B) C ( B C) (ассоциативность сложения матриц); ) O ; 4) ( ) O ; 5) α ( β ) ( αβ ) (ассоциативность относительно умножения чисел); ( ij 7

8 6) ( α β ) α β (дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел); 7) α ( B) α α B (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц); 8) Заканчивая этот пункт, введем еще одно понятие, которое будет часто встречаться во многих разделах математики понятие линейной комбинации Пусть M некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на числа (например, множество матриц одинакового размера, множество векторов, множество функций с одинаковой областью определения и тд) Пусть m, m,, m k элементы множества M, α, α,, α k числа Элемент ) α m α m α k m k называют линейной комбинацией элементов m, m,, m k с коэффициентами α, α,, α k Например, если, B 4, C 4, то их линейная комбинация с коэффициентами,, есть матрица D B C Нелинейные операции над матрицами Нелинейными операциями над матрицами называются умножение матриц и транспонирование матриц ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть ( i ) и B ( i ) матрица-строка и матрица-столбец одинаковой длины Произведением матрицыстроки на матрицу-столбец B называется число c (его можно рассматривать как матрицу размера ), равное сумме произведений их соответствующих элементов, те c α α α ) Выражение m m k mk кратко обозначают α i m i 8 i k

9 5 Например, если ( ), B, то произведением на 4 B будет число c ( 5) ( ) 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть ) матрица размера m, ( ij B ) матрица размера k (те количество столбцов в матрице ( ij совпадает с количеством строк матрицы B ) Произведением матрицы на матрицу B называется матрица C c ) размера m k такая, что каждый ее элемент c ij является произведением i-й строки матрицы на j -й столбец матрицы B, те c ij ( ij i j i j i j i j Произведение матрицы на матрицу B обозначают B или B ПРИМЕРЫ ) Пусть и B Так как число столбцов 4 матрицы равно числу строк матрицы B, то можно умножить на B В результате получим матрицу B 4 ( ) ( 4) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( 4) ( ) ( ) 4 ) Пусть 7 и B 5 4 Тогда можно умножить на B и B можно умножить на В результате получим матрицы B B Последний пример показывает, что если произведения B и B существуют, то в общем случае B B (умножение матриц некоммутативно) Но для некоторых матриц равенство B B возможно Например, если и B, то B B Матрицы и B, для которых B B, называют перестановочными 9

10 Операция умножения матриц обладает следующими свойствами (при условии, что все записанные произведения имеют смысл): ) E E, O O O ; ) ( B ) C ( BC) (ассоциативность умножения матриц); ) ( B) C C BC (дистрибутивность умножения матриц справа относительно сложения матриц); 4) C ( B) C CB (дистрибутивность умножения матриц слева относительно сложения матриц) ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть матрица размера m Матрица размера m, полученная из заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к и обозначается T T Операция нахождения матрицы называется транспонированием матрицы Например, если 4 T, то Операция транспонирования матриц обладает следующими свойствами: ) ( T ) T ; ) ) 4) T ( B) B ; T T T ( α ) α ; T ( B) B T T T Определители Вспомогательные определения Дадим два определения, без которых мы не сможем ввести понятие определителя ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть натуральное число Факториалом числа (обозначают:! ) ) называют произведение натуральных чисел от до включительно, те! Факториал числа полагают равным ) Читают: «эн факториал»

11 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Расположение чисел,,,, в любом порядке называется перестановкой этих чисел Пусть дана некоторая перестановка чисел,,,, : α, α,, α,, α,, α i k Говорят, что два числа α i и α k образуют инверсию в перестановке, если большее число стоит левее меньшего, те если α i > α k Количество пар, образующих инверсию в перестановке, называется числом инверсий в перестановке Например, в перестановке, 4, 5,, инверсию образуют следующие пары чисел: 4 и, 4 и, 5 и, 5 и, и Следовательно, в этой перестановке 5 инверсий Замечание Легко заметить, что число инверсий в перестановке чисел равно k k k, где k i количество чисел меньших i и расположенных в перестановке правее i Определение определителя Пусть ) квадратная матрица порядка ( ij ОПРЕДЕЛЕНИЕ Определителем матрицы (определителем порядка ) называется число, равное алгебраической сумме! слагаемых, удовлетворяющих следующим условиям: ) каждое слагаемое есть произведение элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца; ) слагаемое берется со знаком «плюс», если число инверсий в перестановке первых индексов сомножителей и число инверсий в перестановке вторых индексов сомножителей в сумме дают четное число В противном случае слагаемое берется со знаком «минус» Определитель матрицы обозначают:, det, Элементы, строки, столбцы матрицы называются соответственно элементами, строками, столбцами определителя матрицы Итак, согласно определению получаем, например, что ) определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали:

12 ; () ) определитель третьего порядка () Для запоминания формулы () можно использовать следующее правило, которое называют правило треугольников Определитель третьего порядка равен алгебраической сумме шести произведений Со знаком «плюс» берутся произведение элементов главной диагонали и произведения элементов, стоящих в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали Со знаком «минус» берутся произведение элементов побочной диагонали и произведения элементов, стоящих в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали Те ПРИМЕРЫ: ) 4 4 ( ) ; 5 ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( 6) ( 9) 7 Определители порядка 4, 5, записать по определению затруднительно, так как они будут являться суммами достаточно большого числа слагаемых ( 4! 4, 5! и тд) Такие определители находят, выражая их через определители более низких порядков (см далее теорему Лапласа и ее следствие)

13 Свойства определителей Определитель матрицы обладает следующими свойствами При транспонировании матрицы ее определитель не меняется Это означает, что строки и столбцы в определителе равноправны Следовательно, любое утверждение, верное для строк определителя, будет верно и для его столбцов При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет знак 4 Например, Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя Например, Если все элементы k -й строки определителя являются суммами двух элементов, то определитель равен сумме двух определителей и, у которых все строки кроме k -й совпадают со строками определителя, а k -я строка в определителе состоит из первых слагаемых, а в определителе из вторых слагаемых Например, Определитель не изменится, если к каждому элементу i-й строки (столбца) прибавить соответствующий элемент k -й строки (столбца), умноженный на число α Например, ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) Определитель равен нулю если: а) он имеет строку (столбец), состоящую из нулей; б) он имеет хотя бы две одинаковые строки (столбца);

14 в) он имеет хотя бы две пропорциональные (те отличающиеся множителем) строки (столбца); г) хотя бы одна строка (столбец) является линейной комбинацией нескольких других строк (столбцов) Например, 4 5 6, так как третий столбец определителя является линейной комбинацией второго и первого с коэффициентами и Действительно, Если и B квадратные матрицы порядка, то существуют B и B, причем B B B 4 Теорема Лапласа и ее следствие ( ij Пусть ) матрица размера m Выберем в ней произвольно k строк и k столбцов (где k mi{ m, } ) Пусть, например, это будут строки с номерами i, i,, ik и столбцы с номерами j, j,, j k Из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, составим определитель M : M k i j k k i j i j i jk i j i j i k j i j Этот определитель называют минором k -го порядка матрицы В частности, любой элемент матрицы минор первого порядка, определитель квадратной матрицы порядка ее минор порядка Замечание Миноры квадратной матрицы называются также минорами ее определителя ( ij Для квадратной матрицы, кроме понятия минора, вводится понятие дополнительного минора и алгебраического дополнения Пусть ) квадратная матрица порядка Выберем в минор k -го порядка k M k (выберем строки с номерами i k j k i, i,, i и столбцы k 4

15 ij с номерами j, j,, jk ) Вычеркнем из матрицы строки и столбцы, из * элементов которых состоит минор M k Определитель M k, составленный из оставшихся элементов, называется дополнительным минором к i * минору M k Число ( ) i ik j j jk k M k называется алгебраическим дополнением минора M k В частности, дополнительный минор элемента ij (будем в дальнейшем обозначать его M ) это определитель порядка, полученный из определителя вычеркиванием i -й строки и j -го столбца Алгебраическое дополнение элемента ij (будем в дальнейшем обозначать его ij ) это произведение ( ) M ij Для определителей справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА (Лапласа) Пусть в определителе порядка выбрано k строк (столбцов) (где k ) Тогда определитель равен сумме произведений всех миноров k -го порядка, содержащихся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения ПРИМЕР Вычислить с помощью теоремы Лапласа определитель Выберем, например, первую и вторую строки В них располагается шесть миноров второго порядка: () M 5 6, M ) ( 5 7, M ) ( 5 4, 8 (4) M 6 7, M 5) ( 6 4 8, M 6) ( Их алгебраическими дополнениями будут соответственно () ( ) 5 6 5, 6 ) ( ( ) 4 6 4, 6 () 4 ( ) , 4) ( ( ) 9 6 9, 6 (5) 4 ( ) , 6) ( 4 ( ) Следовательно, i j 5

16 СЛЕДСТВИЕ (теоремы Лапласа) Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, те i i i i i i, () j j j j j j (4) Выражения () и (4) называются разложением определителя по i-й строке и j -му столбцу соответственно Они позволяют свести вычисление определителя порядка к вычислению определителей порядка ПРИМЕР Разложив по первому столбцу, вычислить определитель 4 4 По формуле (4) получаем: ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 7 ( ) ( ) ( 57) ( ) ( ) ( 4) Замечание На практике, прежде чем разлагать определитель по строке (столбцу), его преобразуют так, чтобы появилась строка (столбец), содержащая ноль Разложив определитель по этой строке (столбцу), мы значительно уменьшим количество вычислений СЛЕДСТВИЕ (теоремы Лапласа) Сумма произведений элементов i-й строки (столбца) определителя на алгебраический дополнения соответствующих элементов k -й строки (столбца) этого определителя равна нулю, те i k i k i k, i k i k i k ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 6

17 Рассмотрим выражение i k i k i k Это можно рассматривать как разложение определителя по элементам k -й строки, состоящей из элементов i, i,, i Но так как те же элементы стоят и в i -й строке определителя, то он равен нулю Следовательно, i k i k i k Аналогично доказывается второе равенство следствия Ранг матрицы Пусть ( ij ) матрица размера m Выпишем все миноры этой матрицы порядка,,,, t (где t mi{ m, } ): () () () M, M, M, () () () M, M, M, () () () M t, M t, M t, (i ) ( i ) Среди этих миноров всегда найдется такой минор M k, что M k, а все миноры порядка k, k,, t равны нулю (i ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка равны нулю Замечание Очевидно, что матрица может иметь несколько базисных миноров, но все они имеют один порядок ОПРЕДЕЛЕНИЕ Рангом матрицы называется порядок ее базисного минора Иначе говоря, ранг матрицы это максимальный порядок ее миноров, отличных от нуля; базисный минор это минор, отличный от нуля максимального порядка Ранг матрицы обозначают обычно r () или rg () Приведем два метода нахождения ранга матрицы Метод окаймляющих миноров Если M s минор порядка s, то его окаймляющим минором называется любой минор порядка s, содержащий минор M s 7

18 окаймляющими для ми- 4 5 Например, в матрице нора M 4 будут миноры () () M 6 7 9, M 7 8 9, (4) А миноры третьего порядка M 7 8, 5 минора M окаймляющими не будут Справедлива следующая теорема 4 5 () M (5) M 6 8 для 5 ТЕОРЕМА Если в матрице есть минор k -го порядка отличный от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то ранг матрицы равен k Эта теорема является основанием для применения при нахождении ранга матрицы следующей схемы Находим в матрице минор M k порядка k, отличный от нуля (где k ) Если все его окаймляющие миноры равны нулю, то ранг матрицы равен k Если найдется окаймляющий минор M k, то рассматриваем окаймляющие миноры для M k Если среди них нет ненулевых, то ранг матрицы равен k Если найдется окаймляющий минор M k, то рассматриваем окаймляющие миноры для M k и тд Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не будет найден ранг матрицы, или не дойдем до окаймляющего минора M t, где t максимальный порядок миноров в матрице Последнее будет означать, что ранг матрицы равен t Такая схема нахождения ранга матрицы получила название метода окаймляющих миноров ПРИМЕР Методом окаймляющих миноров найдем ранги матриц и B 8 6 ) Заметим, что матрица имеет миноры не выше третьего порядка Следовательно, ее ранг r() Среди миноров второго порядка легко находим отличный от нуля Например, M 5 Вычислим его окаймляющие миноры: 8

19 4 () () () M 4 5, M 5, M Так как все окаймляющие миноры для M равны нулю, то r(), а M базисный минор матрицы ) Заметим, что матрица B имеет миноры не выше третьего порядка Следовательно, ее ранг r(b) Среди миноров второго порядка имеется отличный от нуля Например, M Вычислим его окаймляющие миноры: 6 () () () M, M, M 6 Так как среди окаймляющих миноров нашелся минор отличный от нуля, () и это минор максимально возможного порядка, то r(b) и M базисный минор Метод элементарных преобразований Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующего вида: ) умножение строки (столбца) на число α ; ) прибавление к i -й строке (столбцу) j -й строки (столбца), умноженной на число α ; ) перестановка i -й и j -й строки (столбца); 4) вычеркивание одной из двух пропорциональных или равных строк (столбцов); 5) вычеркивание нулевых строк (столбцов) Матрица B называется эквивалентной матрице, если она может быть получена из элементарными преобразованиями Если матрицы B и эквивалентны, то пишут: ~ B Справедливы следующие две теоремы ТЕОРЕМА Эквивалентные матрицы имеют равные ранги Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что элементарные преобразования матрицы сохраняют ее ненулевые миноры (они могут лишь изменить их знаки) ТЕОРЕМА Любая матрица эквивалентна некоторой треугольной или трапециевидной матрице, которая может быть получена из элементарными преобразованиями только строк 9

20 Так как ранг треугольной и трапециевидной матрицы легко найти (в них легко находятся базисные миноры), то приходим к следующей схеме нахождения ранга матрицы: ) с помощью элементарных преобразований строк получаем для матрицы эквивалентную треугольную или трапециевидную матрицу B; ) находим в матрице B базисный минор и определяем ранг матрицы B и матрицы Такая схема нахождения ранга матрицы получила название метода элементарных преобразований ПРИМЕР Методом элементарных преобразований найдем ранг матрицы Умножим первую строку матрицы на α и прибавим ко второй; затем умножим первую строку на β и прибавим к третьей Получим: ~ ~ B 4 4 Матрица B трапециевидная, r ( B) (базисный минор M ) Следовательно, ранг матрицы тоже равен двум 4 Системы линейных уравнений Основные понятия Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных, те если оно имеет вид, где i ( i,, ), числа Числа i называются коэффициентами уравнения, называется свободным членом Если, то уравнение называется однородным В противном случае уравнение называется неоднородным В этом параграфе мы будем рассматривать систему m линейных уравнений с неизвестными, те систему вида

21 ,, (5) L L L L L L L L L m m m m Обозначим через и * следующие матрицы: и * m m m m m m m Матрицу называют основной матрицей системы (5), а матрицу * расширенной матрицей системы (5) Пусть X матрица-столбец неизвестных, B матрица-столбец свободных членов, те X и B m Тогда систему (5) можно записать в виде матричного уравнения X B Его называют матричной формой системы (5) Упорядоченный набор чисел c, c,, c называется решением системы (5), если он обращает в верное равенство каждое уравнение системы Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то ее называют совместной Система линейных уравнений, не имеющая решений, называется несовместной Если система совместна, то она имеет либо одно решение, либо множество решений Система, имеющая единственное решение, называется определенной Система, имеющая множество решений, называется неопределенной Критерии совместности и определенности системы дают следующие две теоремы ТЕОРЕМА 4 (Кронекера Капелли) Система линейных уравнений (5) совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, те r ( ) r( * ) ТЕОРЕМА 4 (критерий единственности решения) Система линейных уравнений (5) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы и равен числу переменных, те r ( ) r( * )

22 Методы решения систем линейных уравнений Матричный метод ОПРЕДЕЛЕНИЕ Обратной к матрице называется матрица, обозначаемая, такая, что E Из определения получаем, что если матрица имеет обратную, то справедливы следующие утверждения квадратная Действительно, чтобы существовали произведения и необходимо, чтобы матрицы и имели соответственно размеры m и m Тогда матрица будет иметь размер, а матрица размер m m Но для равенства необходимо, чтобы размеры матриц и совпадали, те m Если обратная матрица существует, то она единственная Действительно, если предположить, что существует две матрицы B и C обладающие свойством B B E и C C E, то будет существовать и произведение B C, причем B C ( B ) C E C C и Следовательно, B C B ( C) B E B B C Определитель матрицы должен быть отличен от нуля и B Действительно, так как E и для любых квадратных матриц B B, то и, следовательно, и Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной Условие невырожденности матрицы оказалось не только необходимым для существования ее обратной матрицы, но и достаточным Те справедлива следующая теорема

23 ТЕОРЕМА 4 Пусть квадратная матрица порядка Матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля Причем обратная матрица может быть найдена по формуле: T S, где S матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы, те S Матрица T S называется союзной для матрицы ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Необходимость утверждения доказана ранее (см свойство матриц, имеющих обратную) Требуется доказать только достаточность Пусть матрица невырожденная Тогда существует матрица T S Докажем, что она является обратной к Имеем: ( ) T T S S j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j E

24 Здесь использовали, что j kj kj (следствие теоремы Лапласа), (следствие теоремы Лапласа) j kj mj Аналогично доказывается, что S T T Следовательно, S T ( S ) E ПРИМЕР Найти матрицу, обратную к матрице Так как определитель матрицы, то матрица имеет обратную Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы Получим: ( ) 5, 7 ( ) 6 5, 4 ( ) 5, ( ) 7, 4 ( ) 5, ( ) , 7 4 ( ) 5 5 4, ( ) 8, 6 ( ) 5 4 Следовательно, S и 5 5 5,5,,4 9,5,, ,5,9,4 Рассмотрим теперь систему линейных уравнений, в которой число уравнений m и число неизвестных совпадает и Тогда: T 4

25 ) r ( ) r( * ) и, следовательно, такая система имеет единственное решение; ) матрица имеет обратную матрицу Покажем, как можно найти решение этой системы с помощью обратной матрицы Запишем систему в матричной форме: X B (6) Умножим обе части равенства (6) на слева Получим: ( X) B, ( ) X B, E X B, X B (7) Таким образом, если в системе линейных уравнений m и, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формуле (7) Нахождение решения по формуле (7) называют матричным методом решения системы ПРИМЕР Решить матричным методом систему 5,, Основная матрица системы имеет вид Эта матрица невырожденная ( ), и, следовательно, решение может быть найдено матричным методом Имеем: T 5 5 5,5,,4 9,5,, ,5,9,4 (см предыдущий пример) и,5,,4 X B,5,,8 4,5,9,4 5 7 Таким образом, получили, 4, 7 5

26 Метод Крамера Также как и матричный метод, этот метод применятся для решения систем линейных уравнений, в которых число уравнений m и число неизвестных совпадают и матрица системы невырожденная Справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА 44 (Крамера) Если в системе линейных уравнений число уравнений m и число неизвестных совпадает и, то система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Di i ( i,, ), (8) D где D, а D i определитель, получаемый из определителя D заменой его i-го столбца на столбец свободных членов Формулы (8) называются формулами Крамера ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Так как, то матрица имеет обратную и систему можно решить матричным методом, те X B, i ( i i i ) Но выражение i i i представляет собой разложение по i -му столбцу определителя D i Следовательно, Di i Di D ПРИМЕР Решить методом Крамера систему:, 4 Так как число уравнений и число неизвестных в системе совпадают, и определитель основной матрицы системы D 8 9 4, 6

27 то решение может быть найдено по формулам Крамера Имеем: D 4, D D D Следовательно,, D D Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) В отличие от двух предыдущих методов, метод Гаусса является универсальным, те он позволяет найти решение любой совместной системы Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются преобразования следующего вида: ) умножение обеих частей уравнения на число α ; ) прибавление к одному уравнению другого, умноженного на число α ; ) перестановка двух уравнений; 4) вычеркивание одного из двух пропорциональных или одинаковых уравнений Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают Очевидно, что элементарные преобразования системы приводят к эквивалентной системе Метод Гаусса метод решения системы с помощью элементарных преобразований, которые осуществляются по следующей схеме: из всех уравнений системы кроме первого исключается неизвестное ; из всех уравнений системы кроме первого и второго исключается неизвестное ; из всех уравнений системы кроме первого, второго и третьего исключается неизвестное и тд В результате система будет приведена к одному из следующих двух видов: α α α, α β, α α, α β, (9) α, α, β, α β, или α α αr r α β, α αr r α β, () αrr r αr βr 7

28 В первом случае имеем: ~ r ( ) r( ~ * ), где ~ ~ и * основная и расширенная матрицы системы (9) Следовательно, система (9) (а значит и исходная система) совместна и имеет единственное решение Причем, это решение теперь легко найти Действительно, из последнего уравнения системы (9) находим: β α Подставляем найденное значение в предпоследнее уравнение системы (9) и получаем: β ( β α, ) β α, α, α, α Продолжим этот процесс и получим последовательно,,, Во втором случае имеем: ~ r ( ) r( ~ * ) r < где ~ ~ и * основная и расширенная матрицы системы () Следовательно, система () (а значит и исходная система) совместна и имеет множество решений Чтобы найти их, поступим следующим образом Выберем в матрице ~ базисный минор Переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, назовем зависимыми Остальные переменные назовем независимыми (или свободными) Пусть, например,,,, r зависимые, r,, свободные Перепишем систему () в следующем виде: α α αr r β α, r r α, α αr r β α, r r α, () αrr r βr αr, r r αr Если придать свободным переменным конкретные значения, то система () будет иметь единственное решение Следовательно, зависимые переменные единственным образом выражаются через свободные: f( r, r,, ), () r fr ( r, r,, ) Система (), в которой зависимые переменные выражены через свободные, называется общим решением системы () (а значит и исходной системы) Записав общее решение системы, мы можем найти 8

29 бесконечно много ее решений Для этого нужно будет только придавать свободным переменным конкретные значения Замечание Элементарные преобразования системы линейных уравнений в точности соответствуют элементарным преобразованиям строк матрицы А получающаяся в результате преобразований система имеет треугольную или трапециевидную матрицу, те такую, которую требуется получить при нахождении ранга матрицы с помощью элементарных преобразований Поэтому, при решении системы методом Гаусса имеет смысл вместо преобразований системы производить соответствующие преобразования над строками расширенной матрицы системы Так мы будем одновременно исследовать совместность системы и преобразовывать систему в соответствии с методом Гаусса ПРИМЕР Доказать, что система совместна и найти ее общее решение: 7 4 6, 5 4 4, Найдем ранг основной и расширенной матрицы с помощью элементарных преобразований строк ( ) ( ) ~ 5 4 ~ ~ 5 ~ 5 5 r ( ) r( *) Следовательно, система совместна и имеет множество решений Теперь найдем общее решение системы Элементарными преобразованиями мы привели систему к виду 4, 5 4 Выберем в матрице этой системы базисный минор Пусть, например, это будет минор Следовательно, переменные и 4 будут зависимыми, а и свободными Выразим зависимые переменные через свободные Имеем: 4, 4 5 9

30 4 5 и , общее решение 5, 5 Системы линейных однородных уравнений Рассмотрим систему m линейных однородных уравнений с неизвестными, те систему вида,, () L L L L L L L L L m m m Заметим, что эта система всегда совместна, так как всегда является ее решением Это решение называют нулевым или тривиальным Но при некоторых условиях система () может иметь и другие решения (нетривиальные) Так будет, например, если m и или если m < (в обоих случаях r () < и, следовательно, система имеет множество решений) Отметим важное свойство, которым обладают нетривиальные решения системы линейных однородных уравнения Пусть c, c,, c и d, d,, d два решения системы линейных уравнений, α, β числа Линейной комбинацией этих решений с коэффициентами α и β будем называть упорядоченную последовательность чисел вида α c β d, α c β d,, α c β d Справедливы следующие теоремы ТЕОРЕМА 5 Линейная комбинация конечного числа решений системы линейных однородных уравнений тоже является решением этой системы ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Запишем систему () в матричной форме: X O По условию c, c,, c и d, d,, d решения системы Следовательно, матрицы-столбцы

31 c d c C и D d c d являются решениями матричного уравнения X O, те C O и D O Рассмотрим линейную комбинацию матриц C и D с коэффициентами α и β Так как ( α C β D) α C β D α O β O O, то матрица α C β D тоже является решением матричного уравнения X O Значит, элементы матрицы α C β D будут решением системы уравнений () Но эти элементы и есть линейная комбинация решений c, c,, c и d, d,, d Итак, мы показали, что линейная комбинация двух решений системы линейных однородных уравнений снова является ее решением Очевидно, что приведенные рассуждения останутся верными и для линейной комбинации любого конечного числа решений такой системы ТЕОРЕМА 5 Пусть r ранг матрицы системы () Если система имеет нетривиальные решения, то найдутся r решений таких, что любое другое ее решение будет их линейной комбинацией Решения, о которых идет речь в теореме 5, называются фундаментальной системой решений Ее можно найти с помощью следующего алгоритма: ) находим общее решение системы; ) записываем любой отличный от нуля определитель Δ, порядка r ; ) записываем r решений системы, беря в качестве значений для свободных неизвестных элементы строк определителя Δ (те записывая первое решение используем первую строку определителя, записывая второе решение используем вторую строку определителя и тд) Полученные таким образом r решений будут являться фундаментальной системой решений системы ПРИМЕР Найти фундаментальную систему решений системы 4 5, ,, 5 4 5

32 Найдем общее решение системы методом Гаусса: ( ) ( ) 5 4 ~ ~ ~ Следовательно, r ( ) и система приводится к виду 4 5, 4 Выберем базисный минор Пусть, например, это будет минор В силу такого выбора базисного минора, переменные и будут зависимыми, а, 4, 5 свободными Выразим зависимые переменные через свободные Имеем: 4 5, 4, , 4 общее решение Теперь возьмем любой отличный от нуля определитель Δ порядка r 5 Пусть, например, Δ Записываем решения системы, для которых в качестве значений свободных переменных выступают элементы строк определителя Δ : ), 4, 5, ; ), 4, 5, ; ),,, ; 4 5 Полученные таким образом три решения (,,,, ), (,,,, ), (,,,,) и будут являться фундаментальной системой решений В заключение этого параграфа сформулируем еще одну теорему, которая связывает решения неоднородной и однородной систем линейных уравнений

33 Пусть дана некоторая система линейных неоднородных уравнений, имеющая множество решений:,, (4) L L L L L L L L L m m m m Систему линейных однородных уравнений вида,, (5) L L L L L L L L L m m m называют соответствующей системе (4) Справедлива следующая теорема ТЕОРЕМА 5 Пусть c, c,, c какое-нибудь решение системы (4) Любое другое решение системы (4) может быть записано как сумма решения c, c,, c и некоторого решения системы (5) Иначе говоря, справедливо равенство: X α C αc α r Cr C, (6) где X матрица-столбец неизвестных, C, C,, C r матрицыстолбцы, элементами которых служат решения из фундаментальной системы, C матрица-столбец, элементами которой является решение c, c,, c ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Запишем системы (4) и (5) в матричном виде: X B и X O Так как ( αc αc α rcr C) α C α C α r Cr C O O O B B, то любая последовательность чисел, полученная по формуле (6) будет являться решением системы (4) Теперь покажем, что любое решение d, d,, d системы (4) можно получить по формуле (6) Пусть D матрица столбец, элементами которой является решение d, d,, d Рассмотрим матрицустолбец D C Имеем ( D C) D C B B O

34 Получили, что разность двух решений системы (4) будет являться решением системы (5) Следовательно, существуют такие числа ~ α ~ α,, ~, α r, что D C ~ α C ~ α C ~ α rcr, D ~ α C ~ α C ~ α r C C r УПРАЖНЕНИЯ Как изменится произведение B матриц и B, если: а) переставить i -ю и j -ю строки матрицы ; б) переставить i -й и j -й столбцы матрицы B ; в) к i -й строке матрицы прибавить ее j -ю строку, умноженную на число c ; г) к i -му столбцу матрицы B прибавить ее j -й столбец, умноженный на число c? Доказать, что если матрица B перестановочна с матрицей, то она перестановочна и с матрицей λe (где λ любое отличное от нуля число) Найти все матрицы второго порядка, квадрат которых равен нулевой матрице 4 Найти все матрицы второго порядка, квадрат которых равен единиччной матрице 5 Следом квадратной матрицы (обозначают tr ) называют сумму ее элементов, стоящих на главной диагонали, те tr Доказать, что trb trb 6 Определить число инверсий в перестановках: а), 4, 7,,,, 5, 8,,,, 6, 9,, ; б), 6, 9,,,, 5, 8,,,, 4, 7,, ; в), 5, 8,,,, 6, 9,,,, 4, 7,, ; г),5,, 4,, 6,, 4,, 7,, 4, 4, 8,, 4 7 Сколько инверсий образует число, стоящее на k -м месте перестановки? 8 В какой перестановке чисел,,, число инверсий наибольшее и чему оно равно? 9 Выбрать значения i и k так, чтобы произведение 6i 5k 446 входило в определитель 6-го порядка со знаком минус 4

35 Найти члены определителя 4-го порядка, содержащие элемент и входящие в определитель со знаком плюс С каким знаком входит в определитель порядка произведение элементов главной диагонали? Пользуясь только определением, вычислить определитель С каким знаком входит в определитель порядка произведение элементов побочной диагонали? 4 Пользуясь только определением, вычислить определитель,,,,, 5 Доказать, что для равенства нулю определителя второго порядка необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были пропорциональны (если некоторые элементы определителя равны нулю, то пропорциональность можно понимать в том смысле, что элементы одной строки получаются из соответствующих элементов другой строки умножением на одно и то же число, быть может, равное нулю) 6 При каком условии справедливо равенство: cosα cos β cosα cos β cosα cosγ cosα cosγ cos β cosγ cos β cosγ 7 Элементы матрицы равны ± Доказать, что ее определитель число четное 8 Элементы матрицы третьего порядка равны ± Может ли ее определитель быть равен 6? 9 Элементы матрицы третьего порядка равны,, и Может ли ее определитель быть равен 5? Элементы матрицы 4-го порядка равны,, и Может ли ее определитель быть равен 4? Элементы матрицы третьего порядка равны ± Найти наибольшее значение, которое может принимать ее определитель 5

36 Элементы матрицы третьего порядка равны или Найти наибольшее значение, которое может принимать ее определитель Как изменится определитель третьего порядка, если у всех его элементов изменить знак? Как изменится определитель порядка, если у всех его элементов изменить знак? 4 Как изменится определитель порядка, если каждый его элемент умножить на число α? 5 Как изменится определитель, если каждый его элемент ij умножить i j на λ, где λ 6 Как изменится определитель четвертого порядка, если у элементов -го и -го столбца изменить знак на противоположный, а элементы -й и 4-й строки умножить на 7 Числа 587, 57, 79, 97 делятся на 7 Не вычисляя определитель доказать, что он тоже делится на 7 8 Квадратная матрица ) называется кососимметрической, если ( ij ее элементы удовлетворяют условию ij Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю 9 Определитель равен D Чему равен опреде-,,, литель? Как изменится определитель порядка если его строки переписать в обратном порядке? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Вычислить определитель c ( c ) ( c ) ( c ) d ( d ) ( d ) ( d ) ji 6

37 7 Как изменятся дополнительные миноры элементов матрицы третьего порядка, если у всех элементов матрицы изменить знак Как изменятся дополнительные миноры элементов матрицы четвертого порядка, если у всех элементов матрицы изменить знак 4 Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определители, предварительно преобразовав их: а) ; б) Известно, что, B Найти 6 Найти связь между определителем матрицы порядка и определителем матрицы порядка, составленной следующим образом: а) ; б) ; в) ; г) 5 7 Вычислить определители: а) ; б) ; в) ; г) ;

38 8 д) ; е) 8 Доказать, что если в определителе порядка все миноры порядка k ( ) k < равны нулю, то равны нулю и все миноры порядка выше k 9 Найти определитель порядка, элементы которого заданы условиями: а) ), mi( j i ij ; б) ), m( j i ij ; в) j i ij 4 Решить уравнения: а) ; б) 4 Найти значения λ, при которых матрица λ имеет наименьший ранг Чему равен ранг при этих значениях λ и чему он равен при других значениях λ? 4 Чему равен ранг матрицы 6 5 λ λ при различных значениях λ? 4 Что можно сказать о матрице размера m ( m < ) и ранга m, если в ней имеется лишь один базисный минор? 44 Доказать, что приписывание к матрице одной строки (или одного столбца) либо не изменяет ее ранга, либо увеличивает его на единицу 45 Как может изменится ранг матрицы, если изменить значение одного ее элемента? 46 Указать возможные значения ранга матрицы вида m m m m m,, 47 Как изменится обратная матрица, если в матрице переставить i -ю и j -ю строки?

39 9 48 Как изменится обратная матрица, если в матрице i -ю строку умножить на число λ? 49 Выразите через определитель матрицы определитель ее союзной матрицы 5 Найти обратные матрицы для следующих матриц: а) ; б) ; в) ; г) 5 Пусть дана система линейных уравнений m m m m,, и два решения этой системы α, α,, α и β, β,, β Найти систему линейных уравнений с теми же коэффициентами при неизвестных, как в данной системе и имеющую решением а) сумму решений: β α, β α,, β α ; б) произведение первого из данных решений на число λ : λα, λα,, λα 5 При каком условии линейная комбинация решений системы линейных неоднородных уравнений снова будет решением этой системы? 5 Исследовать систему и найти решение в зависимости от значения параметра λ : а) ; , 5 6 8, 7 4, λ б) ; 4 4, 9 6 5, 8 6, λ

40 5 4, 4 в) , , 4 λ Что можно сказать о системе m линейных неоднородных уравнений с неизвестными, если все столбцы ее расширенной матрицы кроме первого пропорциональны? (Совместна или нет? Если совместна, то определена или неопределенна? Можно ли указать значение какихлибо неизвестных?) 55 Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы либо сумма двух решений, либо произведение одного решения на число λ было снова решением той же системы линейных уравнений 56 Доказать, что если ранг системы линейных однородных уравнений на единицу меньше числа неизвестных, то любые два решения этой системы пропорциональны, те отличаются лишь числовым множителем 57 Исследовать уравнение X O, где данная, X искомая матрицы второго порядка 58 Составить однородное уравнение с тремя неизвестными, решениями которого являются линейные комбинации решений ( ;; ) и ( ; ; ) 59 Найти систему линейных однородных уравнений, состоящую из а) двух уравнений, б) из трех уравнений, для которой решения ( ; 4; ; ; ), ( ;; ; ;), ( ; 7; 8; 4; 5) являются фундаментальной системой решений 6 Указать все значения параметра λ, при которых система уравнений не определена: (8 λ) λ4, (9 λ) 4 λ4, а) ( ), λ λ4 λ4 ; ( λ) λ λ λ4, ( λ) ( λ) λ λ4, б) ( λ) ( ) ( ), λ λ λ 4 ( λ) λ λ ( λ) 4 4

41 Глава II Векторная алгебра Элементы теории линейных пространств и линейных операторов Один из разделов математики, имеющий большое применение в физике и механике векторное исчисление Это раздел, в котором изучаются свойства операций над векторами Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ В векторной алгебре изучаются линейные операции над свободными векторами (сложение векторов и умножение вектора на число) и различные произведения векторов (скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное и двойное векторное) В векторном анализе изучают векторы, являющиеся функциями одного или нескольких скалярных аргументов В этой главе мы будем изучать векторную алгебру При этом нам понадобится познакомиться с основными понятиями теории линейных пространств (так как множество свободных векторов является линейным пространством) И в заключение главы мы познакомимся с очень важным понятием математики понятием линейного оператора 6 Векторы Линейные операции на множестве векторов Определение вектора Основные отношения на множестве векторов ОПРЕДЕЛЕНИЕ Вектором называется направленный отрезок (те отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая за конец) Если начало вектора, а B его конец, то вектор обозначается B Кроме того, векторы обознача- B ют малыми латинскими буквами с чертой:, и т д Изображают вектор отрезком со стрелкой на конце Расстояние от начала вектора до его конца называется длиной (или модулем) вектора и обозначается B или Вектор, длина которого равна единице, называется единичным Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю 4

42 Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными (параллельными) Записывают: если векторы и коллинеарные, и если и неколлинеарные Если векторы B и CD коллинеарные и их концы лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала (для векторов лежащих на параллельных прямых) или один из лучей [B) или [CD) целиком содержит в себе другой (для векторов, лежащих на одной прямой), то векторы называются сонаправленными В противном случае коллинеарные векторы называются противоположно направленными Записывают: если векторы и сонаправленные, и если и противоположно направленные d D B M C N c P B CD c d MN P Два вектора и называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину Записывают: Все нулевые векторы считаются равными Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, перемещая его начало в любую точку пространства Такие векторы принято называть свободными (в физике рассматривают еще скользящие векторы векторы, начало которых можно произвольно выбрать на фиксированной прямой, и связанные векторы векторы, начала которых строго фиксированы) Векторы и, лежащие на перпендикулярных прямых, называются перпендикулярными (ортогональными) Записывают: Три вектора, лежащие в одной или в параллельных плоскостях, называются компланарными 4

43 Линейные операции на множестве векторов Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения вектора на число ОПРЕДЕЛЕНИЕ Произведением вектора на число α называется вектор, длина которого равна α, а направление совпадает с направлением вектора при α > и противоположно ему при α < Если или α, то их произведение полагают равным Произведение вектора на число α обозначают α ПРИМЕР Данное в определении правило нахождения суммы векторов называется правилом треугольника Имеется и другое правило для нахождения суммы векторов правило параллелограмма ОПРЕДЕЛЕНИЕ (правило параллелограмма) Пусть даны два вектора и Возьмем произвольную точку C и построим векторы C и CD Суммой векторов и будет вектор CB, имею Очевидно, что справедлива следующая лемма ЛЕММА 6 (критерий коллинеарности векторов) Два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда α, для некоторого числа α Частным случаем произведения вектора на число является произведение ( ) Так как этот вектор имеет ту же длину что и вектор, а его направление противоположно направлению вектора, то вектор ( ) называют противоположным вектору и обозначают ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть даны два вектора и Возьмем произвольную точку C и построим последовательно векторы C и B Вектор CB, соединяющий начало первого и конец второго построенных векторов, называется суммой векторов и и обозначается C B 4

44 щий начало в точке C и совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на векторах C и CD C Преимущество правила треугольника в том, что оно легко обобщается на сумму любого конечного числа векторов Например, чтобы найти сумму четырех векторов надо построить эти векторы последовательно (беря в качестве начала следующего вектора конец предыдущего) Тогда их сумма это вектор, соединяющий начало первого вектора и конец четвертого Частным случаем суммы двух векторов является сумма ( ) Ее называют разностью векторов и и обозначают Если на векторах и построить параллелограмм, то разность это вектор, с началом в конце вектора, совпадающий с диагональю параллелограмма D 4 B 4 Легко проверить, что введенные таким образом линейные операции над векторами обладают следующими свойствами: ) (коммутативность сложения векторов); ) ( ) c ( c) (ассоциативность сложения векторов); ) ; 4) ( ) ; 5) α ( β ) ( αβ ) (ассоциативность относительно умножения чисел); 6) ( α β ) α β (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения чисел); 7) α ( ) α α (дистрибутивность умножения на число относительно сложения векторов); 8) 44

45 7 Понятие линейного пространства Определение и примеры Пусть L некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительные числа (например, множество матриц одинакового размера, множество векторов, множество функций с одинаковой областью определения и тд) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7 Множество L называется линейным пространством над R если для любых элементов,, c L и для любых чисел α, β R выполняются условия: ) (коммутативность сложения элементов из L ); ) ( ) c ( c) (ассоциативность сложения элементов из L ); ) Во множестве L существует такой элемент o, что o Этот элемент o называют нулевым элементом множества L ; 4) Для любого элемента L существует элемент L такой, что ( ) o Элемент называют противоположным к ; 5) α ( β ) ( αβ ) (ассоциативность относительно умножения чисел); 6) ( α β ) α β (дистрибутивность умножения на элемент из L относительно сложения чисел); 7) α ( ) α α (дистрибутивность умножения на число относительно сложения элементов из L ); 8) ПРИМЕРЫ линейных пространств ) Пусть M ( m, R) множество матриц размера m с элементами из R Для этого множества все условия определения 7 выполняются (см свойства линейных операций над матрицами в ) Следовательно, множество M ( m, R) является линейным пространством над R () () ) Пусть V ( V ) множество свободных векторов пространства (плоскости) Для этого множества тоже выполняются все условия определения 7 (см свойства линейных операций над векторами в 6) Следовательно, множество V ( V ) является линейным () () пространством над R ) Пусть R множество последовательностей действительных чисел Введем операцию сложения элементов из R и умножения эле- 45

Элементы линейной алгебры

Элементы линейной алгебры Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах Литература

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц

Глава I. Элементы линейной алгебры. 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 1. Определение и некоторые виды матриц Глава I. Элементы линейной алгебры Линейная алгебра часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах.

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Как изменится произведение B матриц и B если: а переставить -ю и j -ю строки матрицы? б переставить -й и j -й столбцы матрицы B? в к -й строке матрицы прибавить ее j -ю строку

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

на множестве векторов Понятие линейного пространства

на множестве векторов Понятие линейного пространства Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Векторы. Линейные операции на множестве векторов Понятие линейного пространства Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Глава II. Векторная алгебра. Элементы теории

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

Математика. Лектор: Зюбин С.А.

Математика. Лектор: Зюбин С.А. Математика Лектор: Зюбин С.А. Математика. семестр Линейная алгебра Аналитическая геометрия Математика Основная литература )Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры )Л.А. Беклемишева

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных)

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов специальностей Математика и Механика, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Основные определения и формулировки основных теорем Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр

Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр Ликбез по курсу Алгебра для студентов 1 курса, 1-ый семестр лектор Панов АН 1 Наиболее часто задаваемые вопросы Вопрос 11 Что такое перестановка и что такое знак перестановки? Ответ Перестановка это множество

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

Алгебра и теория чисел

Алгебра и теория чисел Московский международный институт эконометрики информатики финансов и права Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел Москва УДК ББК А Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел // Московский

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct ББК я К Печатается

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Кафедра «Математический анализ»

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование),

Подробнее

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры

МОДУЛЬ 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры МОДУЛЬ Векторная алгебра и аналитическая геометрия Элементы линейной алгебры Леция Понятие матрицы и определителя Свойства определителей Аннотация: В лекции указывается на применение определителей для

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца.

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца. ) Матрицы, основные определения ) Элементарная алгебра матриц ) Определители и их свойства 4) Обратные матрицы ) Матрицы, основные определения I Определения Совокупность элементов, расположенных в виде

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =...

Лекция 1. Определение матрицы. Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел... a1 A =... =... Лекция Определение матрицы Определители второго и третьего порядков, их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке (столбцу) Методы вычисления определителей

Подробнее

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений

ЗАНЯТИЕ 3 Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений ЗАНЯТИЕ Метод Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений Сведения из теории Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва ОВ

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее