ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ"

Транскрипт

1 ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МАТРИЦЫ: а) Определение, виды матриц, операции над матрицами (сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, транспонирование), свойства операций б) Ранг матрицы и способы его нахождения в) Обратная матрица (определение, свойства, необходимое и достаточное условие существования, нахождение) ОПРЕДЕЛИТЕЛИ: определение, свойства, вычисление Доказать, что ) определитель не меняется при транспонировании матрицы ) общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя ) определитель можно записать в виде суммы определителей, если его столбец (строка) состоит из сумм элементов СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ: а) Определение линейного уравнения, определение решения системы линейных уравнений, количество решений системы линейных уравнений, критерии совместности и определенности б) Способы решений (матричный метод, метод Крамера и Гаусса) в) Системы линейных однородных уравнений (условие существование нетривиальных решений, свойства нетривиальных решений, фундаментальная система решений) 4 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА: а) Определение вектора, его длины, нулевой вектор Равные, коллинеарные, сонаправленные, противоположно направленные, компланарные, ортогональные векторы б) Линейные операции на множестве векторов и их свойства () () в) Базис пространства V и V Координаты вектора (определение и геометрический смысл координат вектора из V и V ) () () г) Простейшие задачи векторной алгебры д) Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов (определения, свойства) 5 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА: а) Определение, примеры Подпространство линейного пространства и его критерий б) Понятие линейной зависимости и независимости, базис, размерность в) Координаты вектора, связь координат вектора в разных базисах

2 6 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ: а) Определение, примеры б) Линейные операторы конечномерных пространств (матрица линейного оператора, связь координат вектора и его образа, изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису) в) Собственные векторы и собственные значения (определение собственного вектора, свойства, связь с решениями СЛОУ Характеристическая матрица и характеристический многочлен, связь собственных значений с действительными характеристическими корнями) Критерий диагонализируемости линейного оператора 7 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ: а) Общее определение линии на плоскости Общее уравнение прямой и его исследование б) Другие виды уравнений прямой на плоскости (в отрезках, с угловым коэффициентом, каноническое, параметрическое) в) Взаимное расположение прямых на плоскости (критерий параллельности и ортогональности, нахождение угла между пересекающимися прямыми) Расстояние от точки до прямой 8 ПЛОСКОСТЬ: а) Общее определение поверхности Общее уравнение плоскости и его исследование б) Другие виды уравнений плоскости (в отрезках, через точку параллельно двум векторам, через три точки) в) Взаимное расположение плоскостей (критерий параллельности и ортогональности, угол между плоскостями) Расстояние от точки до плоскости 9 ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ: а) Общее определение линии в пространстве Общие уравнения прямой, канонические уравнения, параметрические уравнения б) Взаимное расположение прямых в пространстве (критерий параллельности, пересечения, скрещивания Угол между прямыми Расстояние от точки до прямой Расстояние между параллельными прямыми, расстояние между скрещивающимися прямыми) в) плоскость и прямая в пространстве (условие параллельности прямой и плоскости, условие принадлежности прямой плоскости, условие перпендикулярности прямой и плоскости, угол между прямой и плоскостью) 0 НЕВЫРОЖДЕННЫЕ КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (ЭЛЛИПС, ГИ- ПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА, ОКРУЖНОСТЬ): определение, каноническое уравнение и его исследование, построение Полярные уравнения Опти-

3 ческое свойство эллипса, гиперболы и параболы Общее определение кривых второго порядка НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА: канонические уравнения, исследование поверхности с помощью сечений, построение

4 УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 9 Следом квадратной матрицы A (обозначают tra ) называют сумму ее элементов, стоящих на главной диагонали, те tra = a + a K + a nn Доказать, что tr ( A) = tr( A) 0 Как изменится определитель порядка n, если каждый его элемент умножить на числ о α? Как изменится определитель, если каждый его элемент умножить i j на λ, где λ 0 4 Как изменится определитель порядка n если его строки переписать в обратном порядке? 5 Элементы матрицы равны ± Доказать, что ее определитель число четное 6 Элементы матрицы третьего порядка равны ± Может ли ее определитель быть равен 6? 7 Квадратная матрица A = a ) называется кососимметрической, если ( ij ее элементы удовлетворяют условию a ij a ji a ij = Доказать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю 8 Найти определитель порядка n, элементы которого заданы условиями: а) a ij = min( i, j) б) a ij = max( i, j) в) = i j 9 Решить уравнения: K x x K x n x K a a K a а) x K б) n a 0 a K a = K K K K K K K K K K K n x n a a K a 0 Найти значения λ, при которых матрица 4 λ имеет наименьший ранг Чему равен ранг при этих значениях λ и чему он равен при других значениях λ? Чему равен ранг матрицы λ λ при различных значениях λ? Как изменится обратная матрица A, если в матрице A переставить i -ю и j -ю строки? 4 n a ij n n n

5 Как изменится обратная матрица A, если в матрице A i -ю строку умножить на число λ 0? 4 Выразите через определитель матрицы A определитель ее союзной матрицы 5 Найти обратные матрицы для следующих матриц: a 0 0 K K 0 a 0 a 0 K K a 0 а) 0 0 a K 0 б) K K K K K K K K K K K 0 an K 0 0 a n an 0 K Пусть дана система линейных уравнений ax + ax + K + a nx n = b, ax + ax + K + a nx n = b, K K K K K K K K K amx + amx + K + amnx n = bm и два решения этой системы α, α, K, α n и β, β, K, β n Найти систему линейных уравнений с теми же коэффициентами при неизвестных, как в данной системе и имеющую решением а) сумму решений: α + β, α + β, K, α n + βn б) произведение первого решения на число λ : λα, λα, K, λα n 7 При каком условии линейная комбинация решений системы линейных неоднородных уравнений снова будет решением этой системы? 8 Что можно сказать о системе m линейных неоднородных уравнений с n неизвестными, если все столбцы ее расширенной матрицы кроме первого пропорциональны? (совместна или нет? Если совместна, то определена или неопределена можно ли указать значение каких-либо неизвестных?) 9 Составить однородное уравнение с тремя неизвестными, решениями которого являются линейные комбинации решений ( ) и ( ) 0 Найти систему линейных однородных уравнений, состоящую из а) двух уравнений для которой решения ( 4 ), ( ), ( ) являются фундаментальной системой решений Доказать, что a a a b b b ( a + a + a ) ( b + b + b ) ( c + c + c ) c c c Даны ненулевой вектор a и скаляр p Найти любое решение уравнения ( x, a) = p (Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной так как требуется найти любое решение, то одну из этих характеристик можно выбрать произвольно) Ответ: x = pa / a 5

6 Даны два вектора a и b Представить вектор b в виде суммы двух векторов x и y, так, чтобы вектор x был коллинеарен вектору a, а вектор y был ортогонален вектору a 4 Даны два неколлинеарных вектора a и b Найти вектор x, компла- нарный векторам a и b и удовлетворяющий условиям ( a, x ) =, ( b, x ) 5 Даны неколлинеарные векторы a и b и скаляр p Найти любое решение уравнения ( x, a, b) = p (Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной так как требуется найти любое решение, то одну из этих характеристик можно выбрать произвольно) Ответ: x = p[ a, b]/ [ a, b] 6 Векторы a, b и c удовлетворяют условию a + b + c Доказать, что [ a, b] = [b, c] = [c,a] 7 Доказать, что если три вектора a, b и c попарно неколлинеарные и [ a, b] = [b, c] = [c,a], то они удовлетворяют соотношению a + b + c (Подсказка: покажите сначала, что векторы a, b и c компланарны) 8 Доказать, что если векторы [ a, b], [ b, c], [ c, a] компланарны, то они коллинеарны 9 Могут ли отличные от нуля числа x, x, x, y, y, y, z, z z удовлетворять системе уравнений xx + yy + zz xx + yy + zz x x + yy + zz x y z x y z x y z 0 Решить уравнение [ b, c] x + [ c, a] y + [ a, b] z + d Ответ: x = ( d, a)/( a, b, c), y = ( d, b)/( a, b, c), z = ( d, c)/( a, b, c) Какие из следующих множеств образуют подпространства линейного n пространства R : а) M = {( α, α, ) α + α + K+ αn } б) M = {( α, α, ) α + α + K+ αn = } в) M = {( α, α, ) αn } г) M 4 = {( α, α, ) α = } д) M 5 = {( α, α, ) α = αn} е) M 6 = {( α, α, ) α = αn } ж) M ( α, α, K, α ) α α 0} 7 = { n n = 6

7 з) M 8 = {( α, α, ) α α K αn } и) M 9 = {( α, α, K, αn ) α = α4 = α6 = K } к) M0 = {( α, α, ) α = α = K = αn} л) M = ( α, α, K, α ) α = α = α = } { n 4 6 K = {( α, α, K, αn ) αi Z, i} м) M Какие из следующих множеств образуют подпространство линейного () пространства V : а) множество свободных векторов пространства, координаты которых в декартовом базисе целые числа б) множество свободных векторов пространства, параллельных Ox в) множество радиус-векторов, концы которых лежат на фиксированной прямой г) множество радиус-векторов, концы которых лежат в первой и третьей четверти д) множество векторов, образующих с данным ненулевым вектором угол α В линейном пространстве R n [x ] рассматриваются множества многочленов, удовлетворяющих условиям: а) f ( 0) б) f ( ) в) f ( 0) = f () Докажите, что каждое из этих подмножеств является подпространством линейного пространства R n [x ] и найдите его размерность 4 Докажите, что пересечение двух подпространств линейного пространства снова является подпространством этого пространства 5 Пусть L и L подпространства линейного пространства L Суммой подпространств L и L (обозначают L + L ) называется подмножеств о L, элементы которого могут быть записаны в виде x + x, где x L, x L Доказа ть, что L + L тоже является подпространством линейного пространства L 6 Доказать, что если а) некоторая подсистема данной системы векторов линейно зависима, то и сама система линейно зависима б) если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима 7 Пусть x, y, z линейно независимая система векторов Будет ли линейно независимой система векторов x y, y z, z x? 8 Пусть x, y, z линейно независимая система векторов Доказать, что векторы x, x + y, x + y + z также линейно независимы 9 Доказать, что если векторы x, y и z линейного пространства над R линейно независимы, то векторы x + y, x + z, y + z тоже линейно независимы 7

8 40 Какому условию должно удовлетворять число α, чтобы векторы a = (α,,0), a = (, α, ), a = ( 0,, α ) пространства R были линейно зависимыми? Ответ: α α 4 Какому условию должны удовлетворять числа α, β, γ, чтобы векто- ры a = (, α, α ), a = (, β, β ), a = (, γ, γ ) пространства R были линейно зависимыми? Ответ: хотя бы два из трех чисел α, β, γ должны быть равны 4 Векторы a, a, a линейно зависимы и вектор a не является линейной комбинацией векторов a, a Доказать, что векторы a и a различаются лишь числовым множителем 4 Доказать, что линейный оператор пространства L всегда переводит линейно зависимую систему векторов в линейно зависимую 44 Докажите, что если x и y собственные векторы линейного оператора ϕ, относящиеся к разным собственным значениям, то вектор α x + β y ( α 0, β 0 ) не является собственным вектором оператора ϕ 45 Пусть ϕ оператор, действующий из L в V Ядром оператора ϕ называется множество Ker ϕ = { x L ϕ x = o} Доказать, что ядро оператора является подпространством линейного пространства L Найти ядро оператора дифференцирования в пространстве многочленов 46 Доказать, что если ϕ линейный оператор, то ϕ o = o 47 Даны две прямые A x + y +, A x + y + С помощью A A рангов r и R матриц и выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы прямые: ) пересека- A A лись ) были параллельны ) совпадали 48 Даны две плоскости A x + y + z + D, A x + y + z + D С помощью рангов r и R матриц A A D и A A D выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы плоскости: ) пересекались ) были параллельны ) совпадали Ax + y + z + D 49 Дана прямая и плоскость A x + y + z + D A x + y + z + D 0 С помощью рангов r и R матриц = A A A и 8 A A A D D D

9 выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы прямая: ) пересекалась с плоскостью ) была параллельна плоскости ) лежала в плоскости 50 Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы три прямые A x + y +, A x + y +, A x + y + а) имели единственную общую точку б) образовывали треугольник 5 Даны три плоскости A x + y + z + D, A x + y + z + D, A x + y + z + D 0 С помощью рангов r и R матриц = A A D A и A D A A D выразить условия, необходимые и достаточные для того, чтобы ) три плоскости имели одну общую точку ) три плоскости были различны и пересекались по одной прямой ) плоскости попарно пересекались и линия пересечения любых двух плоскостей была параллельна третьей стороне (те плоскости образовывают «призму») 4) две плоскости параллельны, а третья их пересекает 5) три плоскости параллельны 6) две плоскости совпадают, а третья их пересекает 7) две плоскости совпадают, а третья им параллельна 8) три плоскости совпадали 5 Найдите условия, необходимые и достаточные для того, чтобы точка M 0( x 0, y0 ) лежала между двумя параллельными прямыми Ax + y + и Ax + y + 5 Найдите условия, необходимые и достаточные для того, чтобы точка M 0( x 0, y0, z0 ) лежала между двумя параллельными плоскостями Ax + y + z + D и Ax + y + z + D 54 Даны три параллельные прямые: Ax + y +, Ax + y +, Ax + y + Найдите условия, необходимые и достаточные для того, чтобы вторая прямая лежала в полосе, образованной первой и третьей прямыми 55 Даны три параллельные плоскости: Ax + y + z + D, Ax + y + z + D, Ax + y + z + D Найдите условия, необходимые и достаточные для того, чтобы вторая плоскость лежала в полосе, образованной первой и третьей плоскостями 56 Найти расстояние d между двумя параллельными прямыми Ax + y + и Ax + y + 57 Найти расстояние d между двумя параллельными плоскостями Ax + y + z + D и Ax + y + z + D 9

10 M Записать уравнения прямых, параллельных прямой Ax + y + и отстоящих от нее на расстоянии d 59 Записать уравнения плоскостей, параллельных плоскости Ax + y + z + D и отстоящих от нее на расстоянии d 60 Прямая задана общим уравнением Ax + y + Найти ее нормальное уравнение 6 Плоскость задана общим уравнением Ax + y + z + D Найти ее нормальное уравнение 6 Доказать, что если cos α x + cos β y p нормальное уравнение прямой, то d = cosα x0 + cos β y0 p расстояние от точки M 0( x 0, y0 ) до этой прямой 6 Доказать, что если cos α x + cos β y + cosγ z p нормальное уравнение плоскости, то d = cosα x0 + cos β y0 + cosγ z0 p расстояние от точки M 0( x0, y0, z0 ) до этой плоскости 64 Запишите векторное уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 с радиус-вектором r 0 параллельно неколлинеарным векторам l и l (не используя смешанное произведение векторов) 65 Запишите векторное уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку с радиус-вектором r перпендикулярно двум неколлинеарным векторам a и b 66 Доказать, что произведение расстояний от любой дочки гиперболы до ее асимптот есть величина постоянная 67 Доказать, что если две гиперболы имеют общие асимптоты и лежат в одной и той же паре вертикальных углов, образованных их асимптотами, то их эксцентриситеты равны между собой 68 Доказать, что сумма обратных величин отрезков, на которые фокус эллипса (гиперболы, параболы) делит проходящую через него хорду, есть величина постоянная (Указание: использовать полярное уравнение кривой) x y 69 Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы = до ее b асимптоты равно b 70 Доказать, что произведение расстояний от фокусов эллипса до касательной, проведенной к эллипсу в любой точке M 0, равно квадрату малой полуоси 7 Записать уравнение сферы с центром в точке M 0( x0, y0, z0 ) и радиуса R в векторной форме 7 Если M отличная от начала координат точка на конусе x y z +, то все точки прямой OM также лежат на конусе b c a 0 a

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Доказать тождество: а y y y y б Доказать что Даны ненулевой вектор и скаляр Найти любое решение уравнения Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной так

Подробнее

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной?

Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений. 1. Чем отличается однородная система от неоднородной? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

Образцы базовых задач по ЛА

Образцы базовых задач по ЛА Образцы базовых задач по ЛА Метод Гаусса Определенные системы линейных уравнений Решите систему линейных уравнений методом Гаусса x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решите систему линейных уравнений методом Гаусса 6

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Дисциплина «Алгебра и геометрия»

Дисциплина «Алгебра и геометрия» Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ)

8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) 8. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ) Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

Уравнения прямой и плоскости

Уравнения прямой и плоскости Уравнения прямой и плоскости Уравнение прямой на плоскости.. Общее уравнение прямой. Признак параллельности и перпендикулярности прямых. В декартовых координатах каждая прямая на плоскости Oxy определяется

Подробнее

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7.

Если в качестве базисных переменных выбрать x, x, то общее решение: x R, x = x, x = x ; базисное решение: x = 0, x = 8 7, x = 58 7. 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. Ответ: Если в качестве базисных переменных выбрать

Подробнее

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица.

4) Какая матрица является обратной по отношению к данной матрице? Условия существования обратной матрицы. Как вычисляется обратная матрица. ВОПРОСЫ ТЕОРИИ I. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1) Дать определение матрицы. Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными? Как выполняется операция транспонирования? Когда

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Критерии и показатели оценивания компетенций

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Критерии и показатели оценивания компетенций ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ Общие сведения 1. Кафедра Общих дисциплин 2. Направление подготовки 38.03.01 «Экономика» 3. Дисциплина (модуль) Б1.Б.8 Линейная алгебра Перечень компетенций - способностью осуществлять

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников)

Экзамен по аналитической геометрии 2009/2010 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Экзамен по аналитической геометрии 2009/200 учебный год I поток (лектор А. В. Овчинников) Список вопросов к первой части экзамена Цель первой части экзамена проверка знания основных определений и формулировок

Подробнее

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ Вопросы к экзамену. 1.Векторная алгебра. Матрицы. Обратная матрица. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Группа АМ-14-06. Вопросы к экзамену. 1. Определение вектора. Равенство векторов. Свободные вектора. Линейные

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. Компетенция ОК-10: способностью и готовностью к письменной и устной коммуникации на родном языке Знать: Уровень 1 Основные понятия

Подробнее

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ УПРАЖНЕНИЯ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Как изменится произведение B матриц и B если: а переставить -ю и j -ю строки матрицы? б переставить -й и j -й столбцы матрицы B? в к -й строке матрицы прибавить ее j -ю строку

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса

А. В. Овчинников. Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов 1 курса Московский государственный университет им М В Ломоносова Физический факультет Кафедра математики А В Овчинников Контрольные задания по аналитической геометрии для студентов курса Москва Содержание Правила

Подробнее

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования.

1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. 1. Перечень компетенций с указанием этапов (уровней) их формирования. ОК-7: способность к самоорганизации и самообразованию. Знать: Уровень 1 Основные определения курса аналитической геометрии и линейной

Подробнее

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ"

ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОДРОБНЫЙ ПЛАН ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" ЛЕКЦИЯ 1. Множество. Операции над множествами. Диаграммы Венна. Теоретикомножественные тождества. Декартово произведение множеств.

Подробнее

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к зачету по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы к зачету по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр. направление

Подробнее

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf

ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления определителя третьего порядка следующие произведения: 1) aek 2) cdk 3) bfd 4) adf ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Б1.ДВ.2.1 Аналитическая геометрия Примерные тестовые задания Тест 1 ЗАДАНИЕ N 1 Формула вычисления

Подробнее

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01

Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в уч. году, ДЕМОвариант 01 Ne Экзамен по ЛА для бакалавров экономики в 04-0 уч году, Найдите вектор Ne (6 4 ; 6 8 ) и Ne ДЕМОвариант 0 (x ; y )(у которого Ne и x < 0) такой, чтобы система векторов (x ; y ) образовывала бы ортогональный

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x.

Демонстрационный вариант Найдите общее и базисное решения системы уравнений: выбрав в качестве базисных переменных x и x. Демонстрационный вариант 01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, выбрав в качестве базисных переменных x и x. 2. Найдите базис системы

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством

1. Определители. 2. Действия над матрицами. Обратная матрица Определитель второго порядка задается равенством Определители Определитель второго порядка задается равенством Определитель третьего порядка задается равенством Свойства определителей Определитель равен нулю если он содержит две одинаковые или пропорциональные

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная

Свойства определителя квадратной матрицы. Обратная СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ЛЕКЦИЙ 1 Семестра Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. 10 часов. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. Определение матрицы. Обозначения матрицы. Элементы, строки, столбцы.

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Экзамен по аналитической геометрии 2010/2011 учебный год

Экзамен по аналитической геометрии 2010/2011 учебный год Экзамен по аналитической геометрии 2010/2011 учебный год Лекторы: А. В. Овчинников (1 поток), А. В. Бадьин (2 поток) Экзамен состоит из двух частей. Студент допускается ко второй части экзамена лишь в

Подробнее

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Линейная алгебра»

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Линейная алгебра» Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Линейная алгебра» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов бакалавров

Подробнее

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8.

Лекция 5. Лекция 6. Лекция 7. Лекция 8. Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, I семестр. Направление 220700- «Автоматизация технологических процессов и производств» Дисциплина - «Математика». Лекции Лекция 1. Векторные и скалярные величины.

Подробнее

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему

Подробнее

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре

С.В. Пчелинцев. Вопросы и задачи по линейной алгебре ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Кафедра «Математика и финансовые приложения» СВ Пчелинцев Вопросы и задачи по линейной алгебре для студентов всех специальностей Москва 6 ФИНАНСОВАЯ АКАДЕМИЯ ПРИ

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства.

2. Перечислить все линейные подпространства трехмерного векторного пространства. Тема Комплексные числа и многочлены cosϕ + i siϕ Упростить cosψ i siψ ( i 3 ( cosϕ + Вычислить i siϕ ( i( cosϕ i siϕ 3 3 Найти z, если z = ( i 4 Найти комплексные числа, сопряженные своим квадратам 5 Найти

Подробнее

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат.

Билет 1 1. Матрицы, действия над ними. 2. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Матрицы, действия над ними.. Уравнение параболы в канонической системе координат. Билет. Свойства матричных операций.. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между ними, условия параллельности

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики. Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия. Министерство образования и науки Российской Федерации Казанский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра высшей математики Элементы векторной и линейной алгебры. Аналитическая геометрия.

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы

Линейная алгебра Лекция 7. Векторы Линейная алгебра Лекция 7 Векторы Введение В математике есть два рода величин скаляры и векторы Скаляр это число, а вектор интуитивно понимается как объект, имеющий величину и направление Векторное исчисление

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ 1-ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ВЫПОЛНЕНИЮ -ой КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Теоретические положения -ой части контрольной работы (тема: Элементы линейной алгебры) Определителем называется число, задаваемое таблицей

Подробнее

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом

называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Пусть дана матрица Число называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символом = = - Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца,

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» (приложение к рабочей программе)

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» (приложение к рабочей программе) Министерство сельского хозяйства РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшегообразования «Санкт-Петербургский государственный аграрный университет» ФГБОУ ВО СПбГАУ Кафедра

Подробнее

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n.

F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) многочлен степени n. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

2. Решить систему линейных уравнений. Найти фундаментальную систему решений для соответствующей однородной системы 1,

2. Решить систему линейных уравнений. Найти фундаментальную систему решений для соответствующей однородной системы 1, Вариант 0 0 0 0 Решить систему линейных уравнений Найти фундаментальную систему решений для xx x xx x x x x x x xx e e e образует базис в пространстве составить матрицу перехода от канонического базиса

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского

Т.А. Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского ТА Капитонова МАТЕМАТИКА Саратовский государственный университет имени Н Г Чернышевского Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Линейная алгебра» Направление Экономика

МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ. «Линейная алгебра» Направление Экономика Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова МОСКОВСКАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Линейная алгебра» Направление 080100 Экономика для подготовки студентов-бакалавров очного

Подробнее

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка

Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1. Кривые второго порядка Семинар 1 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» 1 Кривые второго порядка Задача 1 Докажите, что произведение расстояний от фокусов эллипса до любой касательной к нему есть величина

Подробнее

Сборник тестовых заданий

Сборник тестовых заданий федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» М. В. ИШХАНЯН, А.И.

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости

Подробнее

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами

ВТОРОЙ СЕМЕСТР. Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами ВТОРОЙ СЕМЕСТР Занятие 1. Кольцо многочленов. Операции над многочленами 1.1. a Известно, что многочлен f(x дает остаток x + 1 при делении на x 2 + 1 и остаток 3 при делении на x + 2. Найдите остаток при

Подробнее

Сборник контрольных заданий для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Линейная алгебра» Составитель: Ванин Ю. П.

Сборник контрольных заданий для студентов заочной формы обучения по дисциплине «Линейная алгебра» Составитель: Ванин Ю. П. Автономная некоммерческая организация высшего профессионального образования МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Новороссийский филиал (МГЭИ АНО ВПО НФ) Сборник контрольных заданий для студентов

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Алгебра и геометрия. 1 семестр

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ. Алгебра и геометрия. 1 семестр МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Алгебра и геометрия семестр Учебно-методическое пособие Для студентов очно-заочной и заочной форм обучения институтов

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии 2007/2008 учебный год

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии 2007/2008 учебный год Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии 2007/2008 учебный год 1 ВВОДНЫЕ ПОНЯТИЯ 1 (a) Системы координат на плоскости и в пространстве: декартова прямоугольная, декартова косоугольная, полярная,

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2

Итоговый тест. Время выполнения 100 минут. Расстояние между точками A ( 1; равно. 1)5, 2)3, 3)41, 4)7 Ответ:1) 2 Итоговый тест. Время выполнения минут. Расстояние между точками A ( ; ) и B( ;) ), ), ), )7 Ответ:) равно Координаты середины отрезка, соединяющего точки A ( ; ) и B ( ;) ) (;); ) (;), ) (;), ) (;) Ответ:)

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Аналитическая геометрия Модуль 2. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Аналитическая геометрия Модуль 2 Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Текст 6 (самостоятельное изучение) Аннотация Уравнения прямой в пространстве: как линии пересечения двух плоскостей,

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , )

Контрольная работа по математике 1 и программа экзамена для студентов I курса ФАО (направления , ) Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ивановский государственный политехнический университет» Университетский центр социально-гуманитарных

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

1 раздел. Матрицы и определители.

1 раздел. Матрицы и определители. Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике ( часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

Подробнее

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L.

Пусть на плоскости задана декартова система координат и некоторая линия L. Лекция 7. Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Пусть на плоскости задана декартова система

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр

Вопросы и задачи к экзамену 1 семестр Направление: «Строительство» Вопросы и задачи к экзамену семестр. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. 2. Элементарные преобразования

Подробнее

Математико - механический факультет. Кафедра алгебры и дискретной математики. Алгебра и геометрия. Программа дисциплины (Стандарт ЕН.Ф.01.

Математико - механический факультет. Кафедра алгебры и дискретной математики. Алгебра и геометрия. Программа дисциплины (Стандарт ЕН.Ф.01. ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» Математико - механический

Подробнее

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА» Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА» Кафедра Высшей математики (название кафедры) УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

Приамурский институт агроэкономики и бизнеса ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Приамурский институт агроэкономики и бизнеса ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Частное образовательное учреждение высшего образования Приамурский институт агроэкономики и бизнеса Кафедра информационных технологий и математики ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Методические материалы для подготовки к зачету: дополнительные образцы задач к зачетным билетам

Методические материалы для подготовки к зачету: дополнительные образцы задач к зачетным билетам Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации» (Финансовый университет) КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА»

Подробнее

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2.

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Введение в линейную алгебру и аналитическую геометрию Определители Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных

Подробнее

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2

. Найдите произведение. ; B) 2. Найти матрицы n - ой степени : B n ; B) 3.Решите уравнение: 0. x C) x D) x ; B) A) 5 B)9 C)4 D)2 и Найдите произведение A) 8 8 ; B) 8 C) 8 8 D) 8 8 Найти матрицы n - ой степени : α α α α B cos sin sin cos ; A) n n n n B n cos sin sin cos ; B) n n n n B n cos sin sin cos C) n n n n B n cos sin sin

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Сборник тестов по высшей математике МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ И ИНФОРМАТИЗАЦИИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования «БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ» Кафедра математики и физики ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Подробнее

Учебно-методическое пособие

Учебно-методическое пособие САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ "ОБРАЗОВАНИЕ" Проект «Инновационная образовательная среда в классическом университете» Пилотный проект «Разработка и внедрение

Подробнее

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» (приложение к рабочей программе)

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА» (приложение к рабочей программе) МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский государственный аграрный университет» Кафедра

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

12. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ Аксиомы линейного пространства Линейным векторным пространством называется множество V произвольных элементов, называемых векторами, в котором

Подробнее

Вопросы к зачету по дисциплине «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» для студентов 1 курса направления «Бизнес-информатика»

Вопросы к зачету по дисциплине «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» для студентов 1 курса направления «Бизнес-информатика» Утверждены на заседании кафедры «Математика и информатика» Протокол 2(25) «8» сентября 2015г. зав. кафедрой к.э.н. Тимшина Д.В. Вопросы к зачету по дисциплине «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Подробнее

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач

Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Практическое пособие и комплект задач Федеральное агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Кафедра высшей математики (ВМ) Приходовский М.А. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Практическое

Подробнее

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей Контрольные вопросы Пример

Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей Контрольные вопросы Пример Математика [Электронный ресурс] : электронный учебно-методический комплекс. Ч. 1 / Е.А. Левина, В.И. Зимин, И.В. Касымова [и др.] ; Сиб. гос. индустр. ун-т. - Новокузнецк : СибГИУ, 2010. - 1 электрон.опт.диск

Подробнее

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости.

Курс лекций подготовлен доц. Мусиной М.В. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия решение геометрических задач с помощью алгебры, для чего используется метод координат. Под системой координат на плоскости понимают способ,

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

{ прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение

{ прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение { прямая как пересечение двух плоскостей векторно-параметрическое уравнение прямой уравнение прямой, проходящей через две заданные точки уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно

Подробнее