Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:"

Транскрипт

1 Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если это необходимо можно указать так: элементы Элементы i i i образуют строку под номером i а j j j образуют столбец под номером j Элемент ij лежит на пересечении i -й строки и j -го столбца матрицы и мы будем всегда иметь в виду что первый индекс обозначает номер строки а второй - номер столбца В некоторых случаях матрицу () бывает удобнее записать в виде () В данном случае индекс стоящий вверху обозначает номер строки а внизу - номер столбца Две матрицы будем считать равными если они имеют одинаковые размеры а элементы стоящие на одинаковых местах равны

2 8 друг другу Матрицы ij ij и B равны если i ; j Если число строк матрицы равно числу столбцов те то такая матрица называется квадратной матрицей порядка В частности при мы имеем квадратную матрицу состоящую из одной строки и одного столбца - просто число и мы можем рассматривать вещественные числа как квадратные матрицы порядка Элементы i j ij ) или ( ) ( ) у которых номер строки равен номеру столбца ( составляют главную диагональ квадратной матрицы Матрицу размеров состоящую из одной строки и столбцов назовём строкой длины или просто строкой Пример строки длиной : ( ) Матрицу размеров состоящую из строк и одного столбца назовём столбцом высоты или просто столбцом Пример столбца высоты : B Часто бывает удобно записать матрицу вида () в виде строки или столбца Так полагая в () мы можем записать матрицу () в виде строки или полагая ( ) ()

3 ( ) ( ) ( ) мы можем записать матрицу () в виде 9 (4) Отметим несколько специальных матриц: Матрица у которой отличны от нуля лишь элементы главной диагонали: если i j и если i j ij ij называется диагональной матрицей порядка Матрица у которой равны нулю элементы лежащие ниже (выше) главной диагонали называется соответственно верхней (нижней) треугольной матрицей

4 Транспонированная матрица Рассмотрим матрицу размером Этой матрице мы можем сопоставить матрицу B состоящую из строк и столбцов по следующему правилу Элементы каждой строки матрицы запишем в столбец в том же порядке: B Таким образом мы матрице сопоставили матрицу B которую назовём транспонированной к матрице и введём обозначение: T B Пример Переход T назовём операцией транспонирования T T ( ) T На приведённом примере мы видим что повторная операция транспонирования приводит нас к исходной матрице те T ( ) T

5 Сложение матриц Умножение матрицы на число Пусть матрицы и B принадлежат множеству матриц M размера Мы можем сопоставить им третью матрицу C M элементы которой связаны соотношениями: c i j (4) ij ij ij Определение Матрицу C определяемую по матрицам и B в соответствии с формулой (4) будем называть их суммой те C B Как мы видим операция сложения матриц даёт в результате матрицу из того же множества M те размеры матриц при сложении не меняются Пример B 8 C Определение Матрица C элементы которой c ij равны произведениям соответствующих элементов ij матрицы на число λ (вещественное или комплексное) называется произведением матрицы на число λ и обозначается как c ij ij C λ : λ i j () Как мы видим операция умножения матрицы на число даёт в результате матрицу из того же множества M те размеры матриц при умножении их на число не меняются

6 Пример λ λ C Из свойств сложения и умножения следует: для любых матриц B и C одинаковых размеров и любых чисел λ из некоторого поля K выполнены равенства: B B ; ( ) ( ) C B C B ; ( ) B B λ λ λ ; 4 ( ) γ λ γ λ ; ( ) ( ) γ λ λγ Матрица все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей: O ( ) O O Если O - нулевая матрица размеров то O O Матрицу ( ) будем называть противоположной матрице и обозначим как Очевидно что ( ) O Сумму матриц ( ) B назовём разностью и запишем как B C Пример 8 B 8 B C

7 4 Линейная зависимость матриц Рассмотрим множество M прямоугольных матриц Сумма двух произвольных матриц из M есть снова матрица из M Произведение произвольной матрицы из M на произвольное число из поля K есть снова матрица из M Определение 4 Операции сложения элементов множества M не выводящие нас из данного множества (внутренняя операция) M M M и умножения элемента множества M на число из поля K дающие снова элемент из M (внешняя операция) K M M называют линейными операциями Используя линейные операции мы можем составлять из элементов множества M матриц фиксированного размера и чисел из поля K выражения вида α α α α α M (6) которые в дальнейшем мы будем называть линейными комбинациями матриц Если какая-то матрица представлена как линейная комбинация (6) других матриц мы будем говорить что данная матрица по ним разложена Пример Пусть p p p столбцы высоты 4 Тогда столбец q высоты 4 по ним разложен если при некоторых коэффициентах α α α или подробно q α α p αp αp

8 4 q q q q 4 p p α p 4 p α p p p p 4 p α α p p p αpαp α p αpαp 4 4 p αpαp 4 α α α α p p p 4 p Это матричное равенство можно записать используя понятие равенства матриц в виде системы из четырёх числовых уравнений: q α p α p α p q q α p α p α p α p α p α p q αp α p α p Предложение Какова бы ни была система матриц фиксированного размера нулевая матрица O раскладывается по этим матрицам в линейную комбинацию с нулевыми коэффициентами Такую линейную комбинацию будем называть тривиальной α α α O () при α α α Очевидно что такая комбинация существует всегда Вопрос состоит в том что является ли она единственно возможной? Ответ на этот вопрос даёт Систему матриц будем называть линейно независимой если нулевая матрица раскладывается по ней однозначно те из α α α O следует α α α В противном случае те если () выполняется и при этом будем называть ли- не все α i систему матриц нейно зависимой

9 Пример Рассмотрим столбцы e e e (8) Эти столбцы являются линейно независимыми так как равенство O γ β α e e e возможно лишь при β γ α γ β α γ β α γ β α откуда сразу следует что β γ α По столбцам типа e e e раскладываются все столбцы высоты три Пример Разложить по столбцам e e e столбец ( ) T 9 Здесь мы используем знак транспонирования матрицы для экономии места на листе Мы будем использовать этот приём постоянно γ β α γ β α 9 e e e α 9 β γ или Определение 6 Квадратная матрица порядка состоящая из столбцов типа (8)

10 6 E называется единичной матрицей порядка Предложение Столбцы (строки) единичной матрицы линейно независимы и обладают тем свойством что каждый столбец (строка) с тем же числом элементов раскладываются по ним Предложение Система из > матриц порядка линейно зависима тогда и только тогда когда хотя бы одна из матриц этой системы есть линейная комбинация других Допустим что система α α α O () линейно зависима Тогда хотя бы один из коэффициентов α i отличен от нуля Пусть для определённости α Тогда из (8) следует: α α α α α α Предложение 4 Если некоторые из матриц составляют сами по себе линейно зависимую систему матриц то и вся данная система матриц линейно зависима Допустим что существует нетривиальная нулевая комбинация из первых s матриц те α α αs s O при α α α s Мы можем к этой комбинации добавить тривиальную нулевую комбинацию из остальных s матриц α s s αs s α O при α αs α В результате мы получили линейную нулевую комбинацию матриц s

11 α α αssαs s αs s α α с отличными от нуля коэффициентами O α α s что и доказывает наше предложение о линейной зависимости данной системы Из предложения 4 следует что если в систему () входит нулевая матрица система будет линейно зависимой Из предложения следует Предложение Любые матрицы входящие в линейно независимую систему матриц сами по себе линейно независимы Обратное предположение противоречило бы предложению 4 Предложение 6 Если матрица B раскладывается в линейно независимую комбинацию матриц то коэффициенты разложения α α α определены однозначно Предположим что существует два различных разложения матрицы B: B α Составим разность из этих разложений: α α и B β β β ( αβ) ( α β) ( α β) O B B По предположению нам остаётся положить ( αβ) ( α β) ( α β) O линейно независимы и откуда немедленно следует α i βi i что доказывает единственность разложения Символ Σ Правило суммирования Эйнштейна В математике часто рассматриваются суммы большого числа слагаемых имеющих сходный вид и отличающихся только индексами АА Кирсанов

12 8 Например (9) Для таких сумм мы будем использовать символ i Σ после которого стоит некоторое выражение содержащее индекс i Выражение (9) в таком случае запишется следующим образом: i i Индекс i называется индексом суммирования Очевидно что в качестве индекса суммирования может быть взята любая буква например p p важен лишь диапазон изменения индекса суммирования В качестве примера приведём ещё одно выражение y y y y Заметим что нас ничто не обязывает ставить индекс суммирования внизу Только что приведённое выражение мы можем записать и так: y y y y или y y y y Суммирование обладает следующими свойствами: ( ) α α

13 ( l yl ) l l l l y l 9 Если имеется выражение зависящее от двух индексов принимающих значения и мы можем просуммировать выражение сначала по одному индексу а затем по другому: i j ij j i ij i j ij () Если под ij понимать например элементы матрицы () то выражение () есть сумма элементов данной матрицы полученная сложением элементов по строкам а затем по столбцам или наоборот Результат сложения в обоих случаях будет одинаков На практике мы можем встретиться с выражениями зависящими от трёх ij четырёх jl w и вообще от любого числа индек- i сов принимающих самые разнообразные значения и расположенных в самых различных комбинациях В таких случаях как показывает () нам придётся писать соответствующее количество знаков суммирования Σ Для упрощения записи выражений содержащих суммы Эйнштейном было введено правило сокращённой записи таких выражений Если индекс суммирования в формуле повторяется дважды причём один раз внизу и один раз вверху - знак Σ не пишется Пример y y y y i y i i i y y *

14 6 Умножение матриц Для некоторых матриц и B может быть определено их произведение B Это можно сделать если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы B те если нам заданы матрицы и B r При этом мы получим матрицу C r B r () Пусть - строка длиной а B - столбец высотой тогда в соответствии с () C B есть матрица размера те просто число: B Пример i ( ) i () C B ( ) B ( 4 ) T 4 ( ) Рассмотрим теперь две произвольные матрицы и B Представим матрицу виде строк ( ) а матрицу B в виде r столбцов i i i i r r r

15 j j j r j Составим произведение i -й строки на j -й столбец в соответствии с () в результате чего получим число c ij : c ij i j i j ij ij () Полученное число c ij запишем на пересечении i -й строки и j -го столбца в матрице от до а j от до r мы получим составят матрицу C B Так как i пробегает значения r таких чисел которые и c c C B c c c c c r cr c r Таким образом при перемножении матриц B каждая строка матрицы умножается последовательно на каждый столбец матрицы B и получающиеся числа c ij в соответствии с индексами заполняют матрицу C и r r Следствие Из () следует что j -й столбец матрицы B есть линейная комбинация столбцов матрицы с коэффициентами равными элементам j -го столбца матрицы B а i -я строка матрицы B есть линейная комбинация строк матрицы B с коэффициентами равными элементам i -й матрицы

16 Пример 6 4 B Так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы B мы можем составить их произведение: B C Заметим что произведение B составить нельзя Приведённый пример показывает что для матриц не выполняется коммутативный закон умножения те в общем случае B B Если имеет место равенство B B мы будем говорить что матрицы и B коммутируют или перестановочны Необходимым условием перестановочности матриц является их принадлежность к множеству квадратных матриц однако это условие не является достаточным Пример 4 8 B 9 B B Из формулы (9) с очевидностью следуют следующие свойства произведения матриц: Сочетательное ( ) ( ) BC C B ; Распределительное свойство умножения матриц относительно сложения ( ) BC C C B

17 ( B C) B C ; Если - квадратная матрица порядка а E и O соответственно единичная и нулевая матрицы порядка то E E O O O; 4 Если B имеет смысл то ( B) ( αb ) ( αb) α ; и справед- Если определено B то определено и T T B ливо равенство T T T ( ) B B Элементарные преобразования Элементарные матрицы Определение К элементарным преобразованиям строк (столбцов) матрицы относятся: Умножение строки (столбца) на число λ ; Прибавление одной строки (столбца) к другой строке (столбцу) Фактически элементарные преобразования строк можно рассматривать как линейные операции над матрицами (строками) Более сложные преобразования (состоят из наборов элементарных преобразований): Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца) умноженной на число λ ; 4 Вычитание одной строки (столбца) из другой строки (столбца); Перестановка двух строк (столбцов) местами Пример Показать с помощью элементарных преобразований операцию перестановки двух строк

18 4 Возможность вычитать одну строку из другой и отличие от нуля числового множителя имеют принципиальное значение: элементарные преобразования обратимы Это значит что перейдя от матрицы к матрице B последовательностью элементарных преобразований с помощью другой последовательности элементарных преобразований мы сможем вернуться от B к Предложение Каждое элементарное преобразование строк матрицы размеров равносильно умножению матрицы слева на некоторую квадратную матрицу S порядка При этом S не зависит от а полностью определяется тем преобразованием которое она осуществляет Пример Рассмотрим задачу умножения третьей строки матрицы d e c f l на число λ Возьмём единичную матрицу третьего порядка и умножим её третью строку на λ и полученную матрицу примем в качестве элементарной матрицы S Умножим теперь исходную матрицу слева на S S d λ e c f d l λ e λ c f λl Рассмотрим теперь задачу прибавления первой строки исходной матрицы к её второй строке Возьмём снова единичную матрицу третьего порядка сложим у неё вторую строку с первой обозначим её через S и умножим исходную матрицу слева на S

19 S l f c c d c l f e d c S Теперь посмотрим какое действие на исходную матрицу оказывает последовательное умножение слева на S S λ l f e d c S S λ λ λ λ λ λ l f c e d c l f e d c Определение 8 Матрицы умножение на которые осуществляет элементарные операции будем называть элементарными матрицами Из приведённого выше примера мы видим что элементарные матрицы можно получать из единичной матрицы необходимого порядка если осуществить над ней требуемую элементарную операцию Это очевидно из равенства S SE Приведённый выше пример показывает также что последовательное выполнение элементарных преобразований строк осуществляется умножением исходной матрицы слева на произведение соответствующих элементарных матриц причём множитель соответствующий преобразованию сделанному позже стоит левее: S S S

20 6 Элементарные преобразования столбцов получаются умножением исходной матрицы порядка Пример S d e справа на элементарную матрицу c f l d λ e λc λf λl 8 Вырожденные и невырожденные матрицы Определение 9 Квадратная матрица называется вырожденной если её строки линейно зависимы Вырожденной будет квадратная матрица у которой есть нулевая строка или матрица имеющая две одинаковые строки Примером невырожденной матрицы может служить единичная матрица Предложение 8 Элементарные преобразования строк переводят невырожденную матрицу в невырожденную а вырожденную в вырожденную Пусть строки матрицы линейно независимы те их тривиальная линейная комбинация α α α O при α α α Если мы допустим прибавили ко второй строке матрицы её первую строку тогда ( ) α ( α α ) α α O α α Так как исходная система строк линейно незави- α Мы видим что новая сис- сима мы должны положить α α α α откуда сразу следует что α α или тема строк тоже является линейно независимой

21 Если мы например умножим на λ третью строку тогда α α αλ α O а так как α равно нулю и α λ и новая система строк линейно независима Вторую часть предложения можно доказать используя обратимость элементарных преобразований Пусть вырожденная матрица Если допустить что элементарные преобразования переводят её в невырожденную матрицу то обратные элементарные преобразования переведут невырожденную матрицу в невырожденную что противоречит исходному предположению Следствие Все элементарные матрицы невырождены Предложение 9 Каждая невырожденная матрица с помощью элементарных преобразований строк может быть превращена в единичную матрицу Пусть нам дана невырожденная квадратная матрица порядка и пусть её строки Наша первая задача заключается в получении единицы на месте Если в первом столбце такая единица уже содержится например в i строке мы эту строку можем поменять местами с первой строкой единица окажется на месте Если единицы в первом столбце нет мы можем взять любой элемент первого столбца отличный от нуля (а он обязательно найдётся в силу невырожденности матрицы) и поделив его на самого себя эту единицу получить Теперь для всех строк с i будем вычитать из i -й строки первую строку умноженную на i В результате этой операции мы получим первый столбец единичной матрицы Теперь во втором столбце мы можем элемент если он не равен нулю поделить на самого себя и получить единицу на месте Теперь для всех строк с i будем вычитать из i -й строки вторую строку умноженную на i В результате мы получим нули во втором столбце ниже главной диагонали Поступая так и дальше мы получим единицы на

22 8 главной диагонали и нули ниже главной диагонали Когда будет получена единица на месте нетрудно будет поступая уже известным способом получить нули выше главной диагонали Такой метод преобразования матрицы называется методом Гаусса-Жордана с выбором ведущего элемента по строке Продемонстрируем метод Гаусса-Жордана на следующем примере Пример Привести с помощью элементарных преобразований данную матрицу к единичной ~ 8 ~ 8 ~ 4 ~ 4 E ~ ~ ~ ~ Здесь мы поменяли вторую строку с первой а далее все вычисления достаточно прозрачны Предложение Каждую вырожденную матрицу с помощью элементарных преобразований строк можно превратить в матрицу у которой последняя строка нулевая Если в вырожденной матрице более двух строк то одна из её строк является линейной комбинацией остальных Переставим эту строку на последнее место и вычтем из неё линейную комбинацию остальных строк которой она равна Предложение Каждую невырожденную матрицу можно разложить в произведение элементарных матриц В силу предложения 8 найдутся такие элементарные матрицы T T T что E T T T (4)

23 9 Так как последовательности элементарных преобразований обратимы то существуют такие элементарные матрицы для которых S S S E или S S S () Предложение Каждую вырожденную матрицу можно разложить в произведение S S SV где S S S - элементарные матрицы а V - матрица последняя строка которой состоит из нулей Данное предложение является следствием предложения 9 9 Обратная матрица Лекция 4 Определение Матрица X называется обратной для матрицы если X X E () Ранее мы установили что две матрицы могут быть перестановочными если они обе квадратные и одного порядка Таким образом обратную матрицу может иметь только квадратная матрица хотя этого и недостаточно Предложение Произведение невырожденных матриц - невырожденная матрица Рассмотрим произведение невырожденных матриц и B - B На основе предложения разложим матрицу в произведение элементарных матриц: SS S Тогда B SS SB мы можем рассматривать как результат действия на матрицу B элементарных преобразований соответствующих матрицам S S S В соответствии с предложением этот результат есть невырожденная матрица

24 Следствие Произведение элементарных матриц невырождено Предложение 4 Если хотя бы одна из матриц или B вырождена то и B - вырожденная матрица Действительно если невырожденная матрица то B - вырожденная Полагая SS S запишем B S S SB В соответствии со второй частью предложения мы вынуждены положить B вырожденной матрицей иначе B было бы невырожденной матрицей Если - вырожденная матрица то в соответствии с предложением B S S SVB где последняя строка матрицы V нулевая нулевой будет и последняя строка матрицы VB Таким образом матрица B получается элементарным преобразованием вырожденной матрицы VB и поэтому сама вырождена Следствие 4 Вырожденная матрица не имеет обратной Предложение Для любой невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица Рассмотрим формулу (4) T TT E (4) предложения и обозначим произведение элементарных преобразований через X : T TT X Теперь мы можем сказать что для любой невырожденной квадратной матрицы существует такая матрица X что X E Докажем справедливость записи X E Так как матрица X есть произведение невырожденных матриц T TT она и сама невырожденная матрица а значит имеет обратную матрицу Y те

25 YX E Рассмотрим произведение С другой стороны Тогда Y ( X) Y ( YX ) ( X) ( YX ) Y Y Обратная к матрица X является единственной так как если положить что тогда или X E и X E ( X ) O X X X Обратную к матрицу принято обозначать как Символ - мы можем рассматривать как показатель степени Тогда для квадратной матрицы показатель степени Z мы можем понимать как те матрица умножена сама на себя раз Очевидно что так как ( ) E ( ) ( ) B B ( B ) ( B ) ( BB ) E T T T ( ) ( ) Eили T T ( ) ( ) Приведём способ вычисления обратной матрицы Если элементарные преобразования переводят матрицу в E то они же переводят матрицу E в матрицу так как

26 T T T E T Продемонстрируем способ получения обратной матрицы на следующем примере Пример Найти матрицу обратную данной Припишем к данной матрице справа единичную матрицу такого же порядка Элементарными преобразованиями строк переведём данную матрицу в единичную тогда единичная матрица справа этими же преобразованиями перейдёт в обратную к Итак: ~ ~ ~ Ранг матрицы Определение Пусть в матрице существует линейно независимая система из r строк и нет линейно независимой системы из большего числа строк Тогда мы будем говорить что строчный ранг матрицы равен r

27 Нулевая матрица не содержит линейно независимых строк и её строчный ранг по определению равен нулю Строчный ранг единичной матрицы E равен очевидно так как все строки единичной матрицы (предложение ) линейно независимы Аналогично определяется и столбцовый ранг матрицы Он равен r если есть линейно независимая система состоящая из r столбцов и нет линейно независимой системы из большего числа столбцов Заметим сразу что столбцовый ранг единичной матрицы E в соответствии с предложением так же равен и мы видим что у единичной матрицы строчный и столбцовый ранги совпадают и равны порядку единичной матрицы Покажем что если в матрице имеется r линейно независимых строк и любая система из r строки линейно зависима мы можем отыскать в данной матрице невырожденную подматрицу порядка r Пусть для определённости число строк меньше числа столбцов те < и r < Пусть также r линейно независимых строк расположены в матрице в произвольном порядке Используя преобразование из определения 4 передвинем (с одновременным изменением номеров строк) эти строки вверх так чтобы они расположились в первых r строках нашей матрицы Исходная матрица примет вид: r r r ( r ) ( r ) ( r ) АА Кирсанов

28 4 Так как линейно независимыми являются только первые r строк а строки с номерами r r есть их линейные комбинации мы можем эти строки сделать нулевыми и матрица примет вид: r r r или r r r Рассмотрим теперь матрицу r r с точки зрения предложения 9 Если бы число строк r было бы равно числу столбцов мы имели бы невырожденную матрицу порядка которую методом Гаусса-Жордана можно было бы привести к единичной матрице Так как в нашей ситуации число строк меньше числа столбцов те r < то применяя метод Гаусса-Жордана к нашей матрице мы очевидно приведём её к виду: r ( r ) ( r ) r ( r ) r () r Таким образом мы получили матрицу в которой содержится невырожденная (единичная) подматрица порядка r столбцы которой в силу предложения линейно независимы и все остальные r столбцов матрицы с номерами r r есть их линейные комбинации

29 Определение Линейно независимые строки и столбцы матрицы будем называть базисными строками и базисными столбцами невырожденную подматрицу стоящую на пересечении базисных строк и столбцов назовём базисной подматрицей или базисным минором Определение Рангом матрицы (минорным рангом) называется порядок базисной подматрицы (базисного минора) Ранг нулевой матрицы по определению будем считать равным нулю Очевидно что при транспонировании матрицы её ранг не меняется так как при транспонировании матрицы () её базисная подматрица переходит сама в себя Очевидно так же что ранг любой подматрицы матрицы не превосходит ранга матрицы Это связано с тем что базисная подматрица матрицы содержится и в матрице Определение 4 Матрицу будем называть упрощённой если некоторые r её столбцов являются первыми r столбцами единичной матрицы порядка и если r < её последние r строк нулевые Если мы отбросим нулевые строки то мы и получим матрицу () в качестве упрощённой матрицы полученной из исходной матрицы методом Гаусса-Жордана Основные теоремы о ранге матрицы ТЕОРЕМА У любой матрицы строчный ранг равен минорному рангу и равен столбцовому рангу Доказательство этой теоремы содержится в пункте и заключается в получении матрицы () Из теоремы следует что все три определения ранга матрицы определяют на самом деле одно и тоже число которое мы будем назвать просто рангом матрицы и обозначим как Rg r *

30 6 ТЕОРЕМА Каждый столбец (строка) матрицы раскладывается в линейную комбинацию её базисных столбцов (строк) Каждый из базисных столбцов раскладывается по базисным столбцам если взять сам этот столбец с коэффициентом единица а остальные столбцы с нулевыми коэффициентами Например Пусть базисные столбцы обозначены как e r r тогда для базисного столбца e e e e e4 e r e er а остальные как e можем записать: Для небазисного столбца например r по теореме найдутся такие коэффициенты α α αr λ что α r r r e α e α e λ O Здесь λ так как в противном случае мы получили бы линейную зависимость базисных столбцов и мы можем записать: α α αr r e e er λ λ λ Подобное равенство но с другими коэффициентами мы можем записать и для любого небазисного столбца что и завершает доказательство нашей теоремы Очевидно что всё сказанное справедливо и для строк матрицы ТЕОРЕМА Приписывание к матрице столбца высоты не меняет её ранга тогда и только тогда когда этот столбец - линейная комбинация столбцов матрицы Пусть у нас имеется матрица ней столбец получим матрицу ранга r Приписывая к

31 Если Rg Rg r тогда базисные миноры числа базисных столбцов и базисных строк у обеих матриц одинаковые и столбец раскладывается по базисным столбцам матрицы Он очевидно будет и линейной комбинацией всех столбцов матрицы где по прежнему так как мы это можем представить в виде: β e βe βrer r e остальные столбцы матрицы e er - базисные столбцы а r r - Обратно если раскладывается по столбцам матрицы то вычитая из столбца его линейную комбинацию мы получим вместо столбца нулевой столбец который не может изменить размера базисной подматрицы матрицы требовалось доказать что и ТЕОРЕМА 4 Если в матрице есть r столбцов по которым раскладываются все её столбцы её ранг не превышает r ( Rg r ) Если эти r столбцов линейно независимы - её ранг равен r ТЕОРЕМА Если матрица r состоит из r линейно независимых столбцов высоты то её можно дополнить r линейно независимыми столбцами высоты до невырожденной матрицы порядка Доказательство данной теоремы сразу следует из предложения и предложения 9 ТЕОРЕМА 6 Ранг произведения двух матриц не превосходит рангов сомножителей Пусть определено произведение B Составим расширенную матрицу ( B ) C Так как B - подматрица матрицы С её ранг не превосходит ранга матрицы C :

32 8 RgB RgC В силу следствия столбцы матрицы B есть линейные комбинации столбцов матрицы и в силу теоремы мы можем записать: RgC Rg или RgB Rg Составим теперь матрицу C из строк матриц B и B : B C B Здесь так же матрица B является подматрицей матрицы C и её ранг не превосходит ранга матрицыc : RgB RgC В силу следствия строки матрицы B есть линейные комбинации строк матрицы B и в силу теоремы мы снова можем записать: Rg C RgB или RgB RgB ТЕОРЕМА Если - невырожденная матрица и определены произведения матриц B и C то RgB RgB и RgC RgC Так как - невырожденная матрица её можно с помощью элементарных преобразований свести к единичной матрице того же порядка и ранга что и матрица Тогда: а RgB RgE B RgB RgC RgCE RgC E

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ PDF создан незарегистрированной версией pdffctory Pro wwwpdffct ББК я К Печатается

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ матрица Для любой матрицы ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ a a an a a an am am amn a a am a a am, an an amn получающаяся из матрицы заменой строк соответствующими столбцами, а столбцов соответствующими строками,

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

Тема 2: Матрицы и действия над ними

Тема 2: Матрицы и действия над ними Тема 2: Матрицы и действия над ними А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПРЕЗЕНТАЦИИ Лекций ч. Практических занятий ч. Всего ч. Итоговый контроль экзамен. Проф., д.ф.-.м.н. Пантелеев Андрей Владимирович ЛИТЕРАТУРА. Беклемишев Д.В.

Подробнее

Лекция 12: Ранг матрицы

Лекция 12: Ранг матрицы Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В данной лекции изучается важная числовая характеристика матрицы

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ. R n. i 1,...,i m=1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ А.В.СТЕПАНОВ Содержание. Полилинейные отображения 2. Перестановки 3. Определение и формула для вычисления определителя 2 4. Свойства определителя 2 5. Формула для элементов обратной

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Метод Гаусса Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Метод Гаусса Основные понятия Равносильные системы Определение Система линейных алгебраических уравнений (или система линейных уравнений) имеет

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 1. Понятие о матрице и ее свойства. Действия над матрицами.

ЛЕКЦИЯ 1. Понятие о матрице и ее свойства. Действия над матрицами. ЛЕКЦИЯ Понятие о матрице и ее свойства Действия над матрицами Понятие матрицы Матрицей порядка (размерности ) называют прямоугольную таблицу чисел или буквенных выражений, содержащую столбцов: ( ) i строк

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ

КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ ЛЕКЦИЯ 9 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ МАТ- РИЦ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИ- ЦЫ ПРОСТРАНСТВО РЕШЕНИЙ 1 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ Для данной матрицы A M n (R) можно попробовать найти такую матрицу A M n

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

13. Билинейные и квадратичные функции

13. Билинейные и квадратичные функции 95 Билинейные и квадратичные функции Билинейная функция Определение Билинейной функцией (билинейной формой) на линейном пространстве L называется функция от двух векторов из L линейная по каждому из своих

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет

4. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц., определитель которой отличен от нуля, имеет ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ОПРЕДЕЛЕНИЕ, СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц Пусть квадратная матрица порядка n Матрица, удовлетворяющая

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a

a 2 1x 1 + a 2 2x a 2 nx n = b 2, a m 1 x 1 + a m 2 x a m n x n = b m. a m 1 a m 2... a m n b m AX = B, a 1 1 a Лекция 5 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Рассмотрим систему, состоящую из m линейных уравнений с n неизвестными: a x + a x + + a nx n = b, a x + a x + + a nx n = b, a m x + a m x + + a m n x n = b m Сокращенно

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Рис Ввод матриц на рабочий лист

Рис Ввод матриц на рабочий лист МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 11 Умножение матриц 12 Транспонирование матриц 13 Обратная матрица 14 Сложение матриц 15 Вычисление определителей Обратите внимание на особенность

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1

Аналитическая геометрия. Лекция 1.1 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23

Матрицы и определители. Обратная матрица. Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Линейная алгебра Матрицы и определители Обратная матрица Линейная алгебра (лекция 3) 2 / 23 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Тема 3: Определители

Тема 3: Определители Тема 3: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров Начало

Подробнее

Линейная алгебра. Матрицы

Линейная алгебра. Матрицы Линейная алгебра. Матрицы (вводные определения и примеры) Предуведомление: ниже лишь краткий конспект, не предназначенный для замены имеющихся учебных пособий. Под матрицей в математике понимается таблица,

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам:

Лекция 5. Det-3 должен обладать свойствами, аналогичными свойствам det-2: (1) линейность по столбцам: Лекция 5 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1.1. Определение. Определитель третьего порядка (сокращенно det-3) должен состоять из трех строк и трех столбцов чисел; будем считать его функцией его столбцов:

Подробнее

МАТРИЦЫ. Определение

МАТРИЦЫ. Определение Определение Матрицей размером m n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Числа из которых состоит матрица, называются элементами матрицы.

Подробнее

Линейная алгебра. Матрицы

Линейная алгебра. Матрицы Линейная алгебра. Матрицы вводные определения и примеры) Предуведомление: ниже лишь краткий конспект, не предназначенный для замены имеющихся учебных пособий. Шаги решения задачи с использованием математики:.

Подробнее

размером m x n, то обычно используется следующее обозначение : c порядка m является произведением двух b соответственно размеров m x n и m m

размером m x n, то обычно используется следующее обозначение : c порядка m является произведением двух b соответственно размеров m x n и m m Ф О Р М У Л А Б И Н Е К О Ш И Напомним, что если имеется произвольная матрица А = размером x, то обычно используется следующее обозначение : А = () то есть А это минор порядка р данной матрицы, в который

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.1 Аннотация Матрицы. Виды матриц. Элементарные преобразования матриц. Линейные операции над матрицами (сравнение, сложение,

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст 1.1 Аннотация Определитель матрицы произвольного порядка. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Миноры и алгебраические

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B:

A A. Убедимся в том, что матрица B является обратной к A. В самом деле, рассмотрим произведение матриц A и B: Лекция 3. Обратная матрица. Определитель произведения квадратных матриц. Обратная матрица, определение, основные свойства. Критерий обратимости матрицы. Элементарные преобразования матриц. Нахождение обратных

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова

Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы. Е.Л. Первова Лекции по линейной алгебре для экономистов: перестановки и матрицы ЕЛ Первова Оглавление Глава 1 Перестановки и матрицы 5 1 Перестановки и их свойства 5 2 Матрицы и операции над ними 7 3 Определители

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2)

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть ) Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÀÍ Êàíàòíèêîâ, ÀÏ Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ

Подробнее

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn

a 1 1 a 1 2 a 1 n a 2 1 a 2 2 a 2 n a m 1 a m 2 a m n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Лекция 8 Матрицы Системы линейных уравнений Алгоритм Гаусса МАТРИЦЫ Основные определения Матрица размера m n прямоугольная таблица из чисел (элементов матрицы), состоящая из m строк и n столбцов Нумерация

Подробнее

Матрицы. Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Матрицы. Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет: Матрицы Матрица это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими

Подробнее

сайты:

сайты: Федеральное агентство по образованию Уральский государственный экономический университет Ю. Б. Мельников Ранг матрицы Раздел электронного учебника для сопровождения лекции Изд. 3-е, испр. и доп. e-mail:

Подробнее

Алгебра и теория чисел

Алгебра и теория чисел Московский международный институт эконометрики информатики финансов и права Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел Москва УДК ББК А Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел // Московский

Подробнее

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера:

Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: Рассмотрим первый способ решения СЛУ по правилу Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Ответ рассчитывается по формулам Крамера: D, D1, D2, D3 это определители Определителем третьего

Подробнее

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца.

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца. ) Матрицы, основные определения ) Элементарная алгебра матриц ) Определители и их свойства 4) Обратные матрицы ) Матрицы, основные определения I Определения Совокупность элементов, расположенных в виде

Подробнее

Тема 1: Системы линейных уравнений

Тема 1: Системы линейных уравнений Тема 1: Системы линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для физиков-инженеров

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Матрицы и системы линейных уравнений

Матрицы и системы линейных уравнений Глава 7 Матрицы и системы линейных уравнений 7 Матричные операции Пусть K произвольное кольцо Таблица a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n, a m a m2 a mn в которой a ij K i =,2,,m; j =,2,,n, называется матрицей

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление.

ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители. 1.Определители, свойства, вычисление. ЛЕКЦИЯ N6. Линейная алгебра. Определители..Определители, свойства, вычисление. 2.Определители высших порядков... 4 Рассмотрим таблицу вида:.определители, свойства, вычисление. A = Эта таблица, состоящая

Подробнее

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2)

ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть 2) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ (часть ) Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Подробнее

Тема 2-5: Ранг матрицы

Тема 2-5: Ранг матрицы Тема 2-5: Ранг матрицы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (2 семестр) В

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее