Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И.

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Министерство образования и науки РФ. Российский государственный университет нефти и газа имени И. М. Губкина. Кафедра высшей математики С.И."

Транскрипт

1 Министерство образования и науки РФ Российский государственный университет нефти и газа имени И М Губкина Кафедра высшей математики СИ ВАСИН ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое пособие для студентов Москва

2 В пособии изложены вводные разделы из курса линейной алгебры Определены операции над матрицами и рассмотрены основные методы решений систем линейных уравнений: метод Крамера, матричный и Гаусса Представлены четкие алгоритмы решений задач Теоретическое изложение материала сопровождается множеством примеров В пособие включены разделы, предназначенные для самостоятельного изучения, что позволит сделать внеаудиторную работу студента более эффективной Отзывы и замечания просьба отправлять автору по адресу Рецензенты: Ролдугин В И, зав лабораторией института физической химии и электрохимии им АН Фрумкина РАН, доктор ф-м наук, профессор; Скугорев В П, доцент кафедры ВиПМ МГУПП, канд техн наук, доцент СОДЕРЖАНИЕ Матрицы, действия над ними Определитель матрицы Миноры и алгебраические дополнения Обратная матрица Понятие линейной зависимости Базисный минор Ранг матрицы Система линейных алгебраических уравнений Метод Крамера Матричный метод Метод Гаусса 8 Однородная система линейных уравнений Собственные значения и собственные векторы матрицы 8 Упражнения Список литературы

3 МАТРИЦЫ, ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ МАТРИЦЫ, ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Определение Таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размерности m n Обозначения матрицы: m n ( ij ) n n m n m m mn Числа ij называются элементами матрицы Первый индекс i указывает номер строки, в которой стоит элемент, а второй индекс j номер столбца Определение Матрицы А и В равны, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы равны Определение Матрица m, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом Определение Матрица n, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой Определение Матрица n n у которой число строк равняется числу столбцов называется квадратной размерности n матрицы Определение Диагональ,, называется главной диагональю Определение Квадратная матрица, у которой ниже (выше) главной диагонали расположены только нулевые элементы, называется верхней (нижней) треугольной матрицей и обозначается T( T ), те n n T T nn n n nn Определение Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной матрицей и обозначается D

4 МАТРИЦЫ, ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Определение Диагональная матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны, называется единичной матрицей и обозначается Е Определение Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается О Операции над матрицами ) Сложение и вычитание Матрицы одинаковой размерности складывают и вычитают по правилу: ( ij ) ( bij ) ( ij bij ) ± ±, m n m n m n те при сложении матриц соответствующие элементы складываются Роль нулевой матрицы: АО А ) Умножение матрицы на скаляр (число) Матрицу умножают на скаляр по правилу: λ( ij ) ( λij ), m n m n те при умножении матрицы на скаляр каждый элемент умножается на скаляр 9 Пример Дано, B Вычислить А-В 9 9 Решение B Свойства линейных операций: B B переместительный закон ( B ) C ( B C ) сочетательный закон λ( B ) λ λb распределительный закон относительно матриц (λβ) λβ распределительный закон относительно чисел Доказательство свойств следует из определений линейных операций ) Умножение матриц Произведением матрицы m n ( ij ) матрица C m p ( c ij ), где cij n ik k на матрицу B n p ( b ij ) b kj называется, те элемент с ij матрицы САВ равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В

5 МАТРИЦЫ, ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Из определения произведения матриц следует, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В: необходимо, чтобы количество столбцов в матрице А было равно количеству строк в матрице В В результате получится матрица С, количество строк которой равно количеству строк в матрице А, а количество столбцов количеству столбцов в матрице В Пример Дано:, B Вычислить произведения АВ, ВА Решение Матрицу А умножить на матрицу B нельзя, тк количество столбцов матрицы А неравно количеству строк матрицы В 8 А В Свойства произведений: B B некоммутативность (B)C (BC) сочетательный закон С( B) С СB распределительный закон (λа)вλ(ав) Доказательство свойств следует из определения произведения матриц Роль единичной и нулевой матриц: АЕЕАА, АООАО Пример Дано:, E Вычислить АЕ, ЕА Решение ; E E ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ Для квадратных матриц определена числовая характеристика, которая называется определителем матрицы Обозначения определителя матрицы А: det А, А, Определение Определителем матрицы размерности х называется число её составляющее

6 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ Определение Определителем матрицы второго порядка называется выра- жение Схема для вычисления определителя -го порядка Определение Определителем матрицы третьего порядка называется выражение Схема для вычисления определителя -го порядка (правило треугольников) Три слагаемых со знаком плюс и три со знаком минус представляют собой произведения элементов матрицы, взятых по три, как указано различными линиями на нижеприводимых схемах Свойства определителей Определение Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования Транспонированная матрица А обозначается А Т Свойство (о равноправности строк и столбцов) При транспонировании величина определителя сохраняется, те Т Пример 8 det 9, T det 8 9 det Свойство Если в определителе поменять местами две строки или два столбца, то определитель изменит знак

7 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ 8 Пример det 8 Поменяем местами и строки и вычислим определитель получившейся матрицы: det 8 8 det Свойство Если в определителе две одинаковых строки или два одинаковых столбца, то он равен нулю 9 Пример Свойство Если в определителе есть нулевая строка (столбец) то он равен нулю Пример 9 ; Свойство Если строку (столбец) в определителе умножить на число λ, то определитель тоже умножится на число λ, те общий множитель всех элементов некоторой строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя Пример 8 det ( ) 9 Множитель из третьей строки перед вычислением был вынесен за знак определителя Свойство Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю

8 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ Пример 9 8 9, столбцыи пропорциональны Свойство При сложении двух определителей, различающихся только одной строкой (столбцом), соответствующие элементы этой строки (столбца) складываются Пример Проиллюстрируем свойство на примере ; (-8--)(--) --; 8-; ; верно Свойство 8 Если к какой-нибудь строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на число λ, то определитель не изменится Свойство 9 Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали Используя свойства 8 и 9 определители можно вычислять следующим образом: с помощью свойства 8 привести определитель к треугольному виду и вычислить его, как произведение элементов главной диагонали (свойство 9) Пример Вычислить det Приведем матрицу к треугольному виду, используя свойство 8 Обнулим элементы а и а, для этого вычтем из второй строки первые строки, а из третьей строки первые: det 8 8

9 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ Обнулим элемент а, для этого вычтем из третьей строки вторую, умноженную на (-8/): det / Мы привели матрицу к треугольному виду, определитель которой равен произ- det / det ведению элементов главной диагонали: ( ) ( ) Свойство Определитель произведения квадратных матриц одинаковой размерности равен произведению определителей этих матриц, те det ( B ) det det B n n n n Пример, B B det det B 8 det ( B) det det B Определение Минором к-го порядка матрицы А называется определитель к-го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых к строк и к столбцов матрицы А Обозначения минора а j j j столбцы k Пример Минор го порядка Минор го порядка M j j j i i i ; 9 M M 9 k k, где i i ik выбранные строки, 8 8; ; Замечание Минор (n-)-го порядка квадратной матрицы n n n-го порядка будем обозначать не входящих в минор M ij, где i номер строки, а j номер столбца матрицы 9

10 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ Пример А Миноры первого порядка M, M, M -, M Пример Миноры -го порядка: M M M ; M ; M 8 ; ; M ; M ; ; M ; M 8 Определение Алгебраическим дополнением элемента ij квадратной матрицы ( ij ) n n называется выражение ij ( ) i j M ij, где M ij минор Пример Найдем алгебраические дополнения матрицы А из примера ( ) *, ( ) *, ( ) * ( ), ( ) * Пример Найдем алгебраические дополнения матрицы А из примера ( ) ( ) ( ) * ( ) ; ( ) * ( ) * ; * ; ( ) ( ) * ; * ; ; ( ) ( ) ( ) * ; * * ; ( ) Свойство (разложение определителя по строке или столбцу) Определитель можно разложить по любой строке или столбцу по формулам: ij n n n ik k ik разложение по i-ой строке; n ij n n kj k kj разложение по j-ому столбцу, те сумма произведений всех элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения равна значению определителя Пример 8 Разложим определитель матрицы А -го порядка по первой строке:

11 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ 8 9 *( ) * 8 *( ) * 8 9 *( ) * *( ) * 8 (8 9 9 ) *( ) *( 9 ) *( 9 ) Разложим определитель матрицы А -го порядка по первому столбцу *( ) * 8 *( ) * *( ) * 9*( ) * (8 8 ) *( ) 9*( 8 ) 8 8 Определитель порядка n Свойство является индуктивным определением определителя порядка n, те зная определение определителя порядка (n-), определитель порядка n вычисляется по одной из формул свойства (см пример 8) ОБРАТНАЯ МАТРИЦА Определение Квадратные матрицы А и А - называются взаимно обратными, если А А - А - А Е Теорема Обратная матрица к матрице ( ij ) n n существует и находится по формуле T n n n n n n n n n n n n

12 ОБРАТНАЯ МАТРИЦА (А ij алгебраические дополнения элементов матрицы А) тогда и только тогда, когда матрица А невырожденная, те А Пример 9 Дано: А Найти А - Решение det А Следовательно, обратная матрица существует Алгебраические дополнения матрицы А вычислены в примере / / / / det Проверка: Пример Дано: Найти А - Решение ; 8 Следовательно, обратная матрица существует Алгебраические дополнения матрицы А вычислены в примере : * * E Проверка ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ БАЗИСНЫЙ МИНОР РАНГ МАТРИЦЫ Определение Объекты, B,,C для которых определены операции сложения и умножения на скаляр, называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа α, β,,γ не все равные нулю, при которых справедливо равенство α β B γ C

13 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ, РАНГ МАТРИЦЫ Объекты, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми Определение Объект А является линейной комбинацией объектов В,,С, если найдутся числа λ,,µ такие, что АλВ µс В дальнейшем будем говорить о линейной зависимости строк, столбцов матрицы, а также уравнений в системе Теорема Для того чтобы объекты были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них являлся линейной комбинацией остальных Доказательство этого простого, но важного утверждения предоставляем читателю Теорема (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя) Для того чтобы определитель был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы Определение Рангом матрицы называется максимальный порядок минора отличного от нуля Обозначение ранга матрицы А: rg Ранг матрицы не превосходит минимума из числа строк и столбцов, те ( ) ( m n) rg min m n, Определение Минор максимального порядка неравный нулю называется базисным минором Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными Замечание Базисный минор определен неоднозначно, их может быть несколько Теорема Базисные строки (столбцы) матрицы линейно независимы Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов)

14 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ, РАНГ МАТРИЦЫ Метод окаймляющих миноров для вычисления ранга Находим минор первого порядка неравный нулю Находим минор второго порядка, содержащий найденный минор первого порядка, отличный от нуля И т д Порядок последнего ненулевого минора и будет рангом матрицы Пример Найти ранг, базисные минор, строки и столбцы матрицы Решение Ранг данной матрицы меньше или равен трем, меньшей размерности матрицы (количеству строк) Найдем минор первого порядка неравный нулю Таким минором является любой ненулевой элемент Возьмем например минор M Будем искать минор второго порядка неравный нулю, содержа- щий найденный Минор M не подходит M 8 8 ненулевой минор второго порядка Вычисляем миноры третьего порядка, окаймляющие найденный минор второго порядка M ; M 8 Все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю Следовательно, ранг матрицы А равен двум Минор M, строки,, столбцы, базисные Выразим оставшиеся строки и столбцы через базисные Строка разность между второй и первой строкой Второй столбец получается из первого умножением на два Четвертый столбец равен сумме первого столбца, умноженного на /, и третьего, умноженного на /8

15 СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ n n b,, Определение Система уравнений n n b m m mnn bm, называется алгебраической линейной системой m уравнений с n неизвестными, где, n неизвестные, а ij коэффициенты системы, b i свободные члены Матрица-столбец X называется столбцом неизвестных n Матрица А(а ij ) mn, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы b Матрица-столбец b B называется столбцом свободных членов b n В матричном виде система уравнений записывается в виде АXB Решением системы называется совокупность чисел (, n ), которая при подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных обращает все уравнения системы в тождества Система может иметь либо одно решение, либо много решений, либо не иметь решений Система называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если решений не имеет Система, имеющая одно решение, называется определенной, а имеющая много решений неопределенной Система называется квадратной, если число уравнений m равняется числу неизвестных n

16 СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Квадратная система, у которой определитель основной матрицы неравен нулю, называется невырожденной Система называется однородной, если все свободные члены равны нулю Существует три основных способа решения линейных систем: метод Крамера, матричный метод, метод Гаусса Метод Крамера b, Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными b Решим её методом подстановки: b b,, b, b b b b b b b b,, b, b b b, b b b где,, b b Полученные формулы называются формулами Крамера для системы двух уравнений с двумя неизвестными Данными формулами можно пользоваться, если главный определитель системы неравен нулю Для квадратной системы любой размерности имеются аналогичные формулы Формулы Крамера Если определитель матрицы А квадратной системы XB неравен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам i ;( i, n), где определитель матрицы А, а i i определитель, получающийся из заменой i-го столбца на столбец свободных членов

17 СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Пример Решить методом Крамера систему y, y Решение ; y ; y Проверка Ответ: -/; y/ ;, Пример Решить методом Крамера систему y ;, y z 8, y z, y z Верно Решение ; ; y ; ; z y 8 z ; y ; z Ответ: ; y; z Матричный метод Рассмотрим невырожденную квадратную систему XB Умножим левую и правую часть системы слева на обратную матрицу А - : X B EX B X B Последняя формула представляет собой решение системы

18 СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 8 Пример Решить матричным способом систему, y y Решение ; ; B X y Обратная матрица А - найдена в примере 9: B X y Ответ:, y Пример Решить матричным способом систему z y y z y ; ; B X z y Обратная матрица А - найдена в примере : * B X z y Ответ:, y, z Метод Гаусса Элементарные преобразования над уравнениями системы, строками и столбцами матрицы Первое преобразование Перестановка двух уравнений (строк, столбцов) Второе преобразование Умножение уравнения (строки, столбца) на число отличное от нуля Третье преобразование Прибавление к одному уравнению (строке, столбцу) другого уравнения (строки, столбца) умноженного на константу Теорема Элементарные преобразования над строками и столбцами не меняют ранга матрицы Теорема Ранг треугольной матрицы равен количеству ненулевых строк

19 СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Матрицу (А B) называют расширенной матрицей системы XB Теорема В результате элементарных преобразований над строками и первого преобразования над столбцами расширенной матрицы получается матрица, которой соответствует система, имеющая такие же решения, что и исходная система Теорема С помощью элементарных преобразований над строками и первого преобразования над столбцами расширенной матрицы ее можно привести к одному из трех видов ) (E C), где Е единичная матрица В этом случае система имеет единственное решение ) T C, где Т верхняя треугольная матрица, O нулевая матрица, S O S столбец из ненулевых элементов В этом случае система решений не имеет (несовместна) ) ( E F C) В этом случае система имеет бесконечно много решений (неопределена) Переменные, соответствующие столбцам матрицы, стоящим слева от пунктирной линии, называются зависимыми, а стоящие справа независимыми Цель выразить зависимые переменные через независимые Теорема Кронекера-Капелли Система АХВ совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы (А B) равен рангу А, те rg( B) rg Доказательство Из предыдущей теоремы следует, что в случаях и, когда система имеет единственное решение или бесконечно много, ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы Действительно, rg(e C)rg(E) и ( E F C) rg( E F) rg В случае, когда система решений не имеет, ранг расширенной матрицы больше ранга основной матрицы, T C T rg > rg O S O 9

20 СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Отметим, что в случае, когда система имеет единственное решение, её ранг равен количеству неизвестных, а в случае бесконечного числа решений ранг системы меньше числа неизвестных и равен количеству зависимых переменных y z, Пример Решить методом Гаусса систему y z, y z Решение Выпишем расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований над строками приведем ее к треугольному виду При обнулении следует придерживаться следующих правил Если возможно, сделать элемент а равным единице с помощью перестановки строк Затем обнуляем элементы ниже диагонали в первом столбце, путем вычитания из строк первой строки, умноженной на константу После этого обнуляем элементы ниже диагонали во втором столбце, путем вычитания второй строки, умноженной на константу Итд пока не приведем матрицу к треугольному виду Преобразования, совершаемые над матрицей, будем писать над и под знаком эквивалентности Например, ()-*() обозначает: из второй строки вычесть первую строку, умноженную на ; [] [] обозначает: поменять местами первый и второй столбец Руководствуясь выше сказанным, приведем нашу матрицу к треугольному виду: ( B) () () () () Далее обнулим элементы выше главной диагонали Сначала обнулим элементы выше диагонали последнего столбца с помощью прибавления последней строки, умноженной на константу, к другим строкам Затем обнуляются элементы предпоследнего столбца с помощью предпоследней строки Итд пока не приведем матрицу к диагональному виду с приписанным столбцом Далее, () *() () ()

21 СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ деля строки на соответствующие диагональные элементы, получим единичную матрицу с приписанным столбцом свободных членов, что соответствует случаю единственного решения Согласно теореме Кронекера-Капелли ранг расширенной матрицы и ранг главной матрицы системы равны трем (количеству неизвестных),, ) ( () () () () () () () z y Ответ:, y, z Пример Решить методом Гаусса систему,, z y z y z y Решение () () *() () () () () () Третьей строке последней матрице соответствует уравнение, которое решений не имеет Следовательно, и система решений не имеет Отметим, что несовместность системы следует и из теоремы Кронекера- Капелли Действительно, ранг главной матрицы системы два не равен трем, рангу расширенной матрицы Ответ: решений нет Пример 8 Решить методом Гаусса систему 9,, Решение () () () () 9

22 СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Диагональный элемент а в процессе преобразований оказался равным нулю, чего быть не должно Чтобы сделать его ненулевым возникает необходимость поменять местами столбцы Мы поменяем местами столбцы и, что соответствует перемене местами неизвестных и в системе уравнений ) ( () [] [] В результате преобразований получилась нулевая строка, которой соответствует тождественное равенство, и поэтому она вычеркивается и в дальнейшем не рассматривается В получившейся трапециевидной матрице пунктирной линией отделяем слева квадратную матрицу и приводим её к единичной () () Система привелась к случаю бесконечного множества решений Переменные и, стоящие слева от пунктирной линии, являются зависимыми, а и независимыми Выразим зависимые переменные через независимые Для этого выпишем систему, соответствующую последней матрице:,,,, любые Итак, система имеет бесконечно много решений, которые задаются последними формулами Полученное решение называется общим решением системы Укажем одно из частных решений системы, для этого положим и равными чему-нибудь произвольным образом, а и вычислим по формулам:,, -, частное решение системы Поиск обратной матрицы с помощью метода Гаусса Укажем отличный от ранее предложенного способ поиска обратной матрицы К исходной матрице справа припишем единичную матрицу Матрицу (А E) с помощью элементарных преобразований над строками приведем к виду (E B) Получившаяся матрица В и будет обратной к матрице А

23 СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Пример 9 Найти матрицу обратную к матрице 8 Решение ( ) 8,() () () (),() () () () () () () () () () E,,,, Проверка:,,,, * 8 E Верно ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Определение Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю Система уравнений называется однородной, если она состоит только из однородных уравнений, те имеет вид,, n mn m m n n n n Матричный вид:, где, n mn m m n n X X Однородная система всегда имеет решение: n, которое называется нулевым Кроме того, существуют условия, при которых однородные системы имеют множество ненулевых решений Из теоремы Кронекера-Капелли вытекают следствия

24 ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Следствие Для того чтобы система линейных однородных уравнений имела множество ненулевых решений, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был меньше числа неизвестных (rg < n) Следствие Любая система линейных однородных уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных (m < n), имеет множество ненулевых решений Следствие Для того чтобы квадратная система однородных уравнений (m n), имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю Следствие Система линейных однородных уравнений имеет kn-rg линейно независимых частных решений: X, X, X k, которые называются фундаментальной системой решений (ФСР) Любое решение однородной системы является линейной комбинацией ФСР Определение Общим решением системы линейных однородных уравнений называется линейная комбинация ФСР, т е Xc X c X c k X k, где c, c,, c k произвольные постоянные Пример Имеют ли данные системы множество ненулевых решений? 8y z, ) y z, y z b y z, ) y z, y z Решение Вычисляем определители систем: ) ) 8 b Ответ: ), система имеет множество ненулевых решений; b), система имеет только нулевое решение Пример Найти значение параметра при котором система имеет множество решений

25 ) ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ y z, y z, b) y z y z, y z, c) y z y z, y z, sin y z Решение: ) - ) b ± 9 ) c sin sin kπ, k, ±, ±, ± 9 Ответ: ) ; b) ; c) kπ, k, ±, ±, Правило нахождения фундаментальной системы решений Решаем однородную систему методом Гаусса Количество зависимых переменных равно рангу системы rg, а количество независимых kn-rg Находим ФСР, содержащую kn-rg решений X, X, X k Для этого последовательно полагаем одну из независимых переменных равной единице, а остальные независимые переменные равными нулю Общее решение системы X является линейной комбинацией ФСР: Xc X c X c X k, 9, Пример : Решить однородную систему, Решение: ) Решим систему методом Гаусса, столбец свободных членов не пишем, тк он равен нулю

26 ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 9 9 ()/ ()/ () *() *() () () () () () () () *() () () () () () Решение системы имеет вид,, Переменные,, зависимые (их количество равно рангу системы, те трем), а, независимые ) Найдем фундаментальную систему решений Для этого полагаем одну свободную переменную равной, а другую Пусть,, тогда из формул следует,, - X первое частное решение Пусть,, тогда из формул следует -,, X второе частное решение Решения X и X образуют ФСР ) Общее решение системы выражается через ФСР:

27 ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ X cx cx c c, где c и c произвольные постоянные СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ Определение Число λ называется собственным значением квадратной матрицы, если существует ненулевой вектор-столбец X такой, что АXλX При этом вектор X называется собственным вектором матрицы Уравнение АXλX эквивалентно уравнению (А λe)x Это однородная система линейных уравнений, нетривиальные решения которой являются искомыми собственными векторами Как было отмечено ранее, однородная система имеет нетривиальные решения только тогда, когда ее определитель det(а λe) Определение Уравнение det(а λe) называется характеристическим, его решения являются собственными значениями матрицы Свойства собственных значений и собственных векторов ) Определитель матрицы равен произведению собственных значений с учетом кратных и комплексных значений ) Собственные векторы соответствующие различным собственным значениям линейно независимы Пример Найти собственные значения и собственные векторы матрицы Решение Собственные значения матрицы найдем из характеристического уравнения det( λe) λ, λ λ λ ( λ)( λ) 8 λ λ

28 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ 8 Найдем собственный вектор, соответствующий λ : λ, ) ( X E Второе уравнение системы получается из первого умножением на, поэтому его отбрасываем (так должно получаться всегда), в первом уравнении полагаем равным с и выражаем, окончательно получаем с, с Собственный вектор c X Аналогично находим второй собственный вектор c X Как видим, собственные векторы определены неоднозначно, с точностью до умножения на константу Найденные собственные векторы линейно независимы, тк их координаты не пропорциональны, что соответствует второму свойству ) ( 8 λ λ, что соответствует первому свойству Пример Найти собственные значения и собственные векторы матрицы Решение Собственные значения матрицы найдем из характеристического уравнения ( )( ), ) det( i i λ λ λ λ λ λ λ λ λ E Собственные значения комплексные, следовательно, собственные векторы также комплексные Найдем собственный вектор, соответствующий λ i: λ ) (, ) ( ) ( i i i i X E

29 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ Второе уравнение системы получается из первого умножением на ( i ), поэтому его отбрасываем, в первом уравнении полагаем равным с и выражаем, окончательно получаем с, (i )с Собственный вектор X c i Аналогично находим второй собственный вектор X c i Пример Найти собственные значения и собственные векторы матрицы Решение Собственные значения матрицы найдем из характеристического уравнения λ det( λe) λ λ, λ Найдем собственный вектор, соответствующий λ, -: ( λ, ( )( λ) λ, λ, E) X, Второе уравнение системы получается из третьего умножением на, поэтому его отбрасываем, полагаем равным с, из первого уравнения выражаем, а из третьего, окончательно получаем с /, с, с / / Собственный вектор X c / Аналогично находим второй собственный вектор, соответствующий λ, X c 9

30 УПРАЖНЕНИЯ 8 УПРАЖНЕНИЯ Даны матрицы: ( ) ; ; 8 ; ; ; E F C B ( ) ; 9 ; 8 ; ; 9 M L K H G Вычислить: ) CF; ) LM; ) B-; ) LM; ) АB; B; ) C; C; ) BC; CB; 8) CF; FC; 9) ВF; FB; ) E; EC; ) FG; GF; ) BG; GB; ) G; GB; ) GK; KG; ) HK; KL; ) HL; LH; ) KM; MK; 8) LM; ML; 9) (C- F)B; ) BC; ) (M- L)KH; ) (CF)B Вычислить определители второго порядка: ) ; ) ; ) ; cos sin sin cos α α α α Вычислить определители третьего порядка, используя правило треугольников: ) ; ) 9 8 ; 8) ; 9) Вычислите определитель из примера, раскладывая его по первой строке ) Вычислите определитель из примера, раскладывая его по третьей строке ) Вычислите определитель из примера 8, раскладывая его по второму столбцу Используя свойства определителей вычислите ) ; ) 8 Вычислите определитель, раскладывая его по строке или столбцу ) ; ) ) С помощью свойств определителя приведите определители из примеров и к треугольному виду и вычислите их ) Вычислите все миноры,, -го порядка матрицы 8) Вычислите ранг матрицы А из примера

31 Методом окаймляющих миноров вычислите ранг матрицы: 9) B ; ) G ; 8 Вычислите обратные матрицы к матрицам: а) с помощью алгебраических дополнений; б) с помощью метода Гаусса ) ; ) H ; ) S ; ) P ; Решить системы: а) методом Крамера; б) матричным методом; в) методом Гаусса ) y, ) y y, ) y y, 8) y y, y y z, y z, y z, y z, 9) y z, ) y z 8, ) y z, ) y, z y z z y y z Проверить совместность и решить системы методом Гаусса y z, y z, y z w, ) y z, ) y z, ) y w, y z y z y z w y z w, y z, y z w, y z, ) ) y z w, 8) y z,, y w y z Найти значение параметра а, при котором система имеет ненулевое решение y z, y z, y z, y z, 9) y z, ) y z, ) y z, ) y z, y z y z y z y z Найти фундаментальную систему решений и общее решение систем уравнений y z, ) y z, ) y z, y z, ) y z, y z, y z, y 8z ) y 8z y z, y z y z

32 УПРАЖНЕНИЯ Найти собственные значения и векторы матриц ) ; 8) ; 9) ; ) ; ) S ; ) S ; ) S ; ) S СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Ильин ВА, Позняк ЭГ Линейная алгебра М: Наука, 9 Фадеев ВС Сборник задач по линейной алгебре М: Высшая школа, 98

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

Практикум по линейной алгебре

Практикум по линейной алгебре Министерство образования и науки РФ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского В.К. Вильданов Практикум по линейной алгебре Учебно-методическое пособие Нижний Новгород Издательство

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица.

ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений. 1.Системы линейных уравнений. - A / - расширенная матрица. ЛЕКЦИЯ N9. Общая теория систем линейных уравнений..системы линейных уравнений....правило Крамера.... 3.Ранг матрицы. Базисный минор.... 3 4.Однородные системы.... 4 5.Матричное решение систем линейных

Подробнее

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу:

Основные формулы. n2, где. порядка по строке или столбцу: . Линейная алгебра. Основные формулы. Определитель -го порядка: det A a a a a a a a a. a a a Определитель -го порядка (правило Саррюса): det A a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. Алгебраическое

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник

Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Матрицы. Определители Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский, А. В. Стадник Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Методическое пособие по проведению практических

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3

Пространство арифметических векторов. Лекции 2-3 Пространство арифметических векторов Лекции 2-3 1 Пространство Rn арифметических векторов Рассмотрим множество упорядоченных наборов из n чисел x ( x 1, x 2, x ). Каждый такой набор x n будем называть

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Электронные методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы

Лекция 1.5. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы Лекция 5 Действия над матрицами Обратная матрица Ранг матрицы Аннотация: Вводятся операции алгебры матриц Доказывается что всякая невырожденная матрица имеет обратную Выводится формула решения СЛАУ с помощью

Подробнее

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров.

M 23 = 1 0 = 1 ( 3) 0 ( 5) = 3 Очевидно, что для квадратной матрицы порядка n=3 вычисляется девять миноров. Лекция 2. Определители Миноры и алгебраические дополнения. Рекуррентное определение определителя n-го порядка. Соответствие между общим определением и правилом Саррюса при n=3. Основные свойства определителей.

Подробнее

Матрицы и определители. Линейная алгебра

Матрицы и определители. Линейная алгебра Матрицы и определители Линейная алгебра Определение матрицы Числовой матрицей размера mxn называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов 11 21... m1 12......

Подробнее

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

УДК ББК МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Составитель: Н.А. Пинкина КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК ББК Составитель: Н.А. Пинкина КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная алгебра. Решение типовых примеров. Варианты контрольных

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. I часть Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Институт экономики и финансов Кафедра «Математика»

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений

Системы линейных алгебраических уравнений ) Понятие СЛАУ ) Правило Крамера решения СЛАУ ) Метод Гаусса 4) Ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли 5) Решение СЛАУ обращением матриц, понятие обусловленности матриц ) Понятие СЛАУ О. СЛАУ система

Подробнее

1. Линейные системы и матрицы

1. Линейные системы и матрицы 1. Линейные системы и матрицы 1. Дать определение умножения матриц. Коммутативна ли эта операция? Ответ пояснить. Произведение C матриц A и B определяется как m p m p A B ij = A ik B kj. Операция не коммутативна.

Подробнее

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется

A ij (или Ad ij) элемента a ij матрицы A называется 1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

Подробнее

Математика (БкПл-100)

Математика (БкПл-100) Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 3. Элементы линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и формулы Крамера) 1 Тема 1: Матрицы 1.1. Понятие

Подробнее

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки

Математики и математических методов в экономике 2. Направление подготовки 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра Математики и математических методов в экономике 2 Направление подготовки 380301

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Текст (самостоятельное изучение) Аннотация Понятие линейной зависимости строк или столбцов матрицы. Ранг матрицы, теорема о ранге

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера Занятие Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.. Определители. Пусть дана квадратная таблица чисел А, т.е. матрица из двух строк и двух столбцов. Заметим сразу,

Подробнее

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD

А.П. Иванова РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В MATHCAD Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Математический анализ» А.П.

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Тема: Системы линейных уравнений

Тема: Системы линейных уравнений Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Системы линейных уравнений (Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений) Лектор Рожкова С.В. 0 г. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИП КАРАСЁВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Рязань Министерство образования и науки Российской Федерации Рязанский

Подробнее

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С.Ж. КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АЛМАТИНСКИЙ ФИЛИАЛ НЕГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОФСОЮЗОВ» СЖ КАРАТАБАНОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА задания

Подробнее

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ

3. РАНГ МАТРИЦЫ 3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ . РАНГ МАТРИЦЫ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) МАТРИЦЫ Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соответственно строками) и обозначать в этой

Подробнее

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЛЕКЦИЯ 11 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ С УГ- ЛОМ НУЛЕЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1 РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО СТРОКЕ ИЛИ СТОЛБЦУ Определение 1. Определитель матрицы,

Подробнее

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений

2.1.3 Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Методы решений системы линейных алгебраических уравнений Метод обратной матрицы Рассмотрим частный случай системы ) когда число уравнений равно числу неизвестных те m Система уравнений имеет вид: ì ) î

Подробнее

Примеры решений контрольных работ

Примеры решений контрольных работ Примеры решений контрольных работ Л.И. Терехина, И.И. Фикс 1 Контрольная работа 1 Линейная алгебра Решить матричное уравнение ( ( 3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 ( 1 0 = 3 2 3 Выполним вначале умножение матриц на

Подробнее

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной.

образуют главную диагональ матрицы. Вторую диагональ матрицы называют побочной. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ Матрицы При решении ряда прикладных задач используются специальные математические выражения, называемые матрицами О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Глава 3. Определители

Глава 3. Определители Глава Определители Перестановки Q Рассмотрим множество первых натуральных чисел которое обозначим как Определение Перестановкой P множества элементов из Q назовем любое расположение этих элементов в некотором

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине

ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ по учебной дисциплине ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра высшей математики Допущены к проведению занятий в - учгоду Заведующий кафедрой профессор АП Господариков

Подробнее

3. Определители высших порядков

3. Определители высших порядков Определители высших порядков Понятие определителя п-го порядка и его основные свойства Понятие определителя п-го порядка вводится на основе изучения структуры определителей -го и -го порядков Так например

Подробнее

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тихоокеанский государственный университет» ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Подробнее

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. АЛГЕБРА МАТРИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подробнее

Алгебра и аналитическая геометрия

Алгебра и аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия»

Подробнее

Алгебра и теория чисел

Алгебра и теория чисел Московский международный институт эконометрики информатики финансов и права Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел Москва УДК ББК А Балюкевич ЭЛ Романников АН Алгебра и теория чисел // Московский

Подробнее

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: Трубопроводный факультет.

ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница:  Трубопроводный факультет. ЛЕКТОР Доцент Скориков Александр Васильевич Кафедра высшей математики Веб- страница: http://kvm.gubkin.ru Трубопроводный факультет. 1 Литература по линейной и векторной алгебре и аналитической геометрии

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51

Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений. Линейная алгебра (лекция 5) / 51 Системы линейных уравнений Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений Линейная алгебра (лекция 5) 06.10.2012 2 / 51 Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид: Линейная

Подробнее

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам

1. Требования к знаниям, умениям, навыкам ПРИЛОЖЕНИЯ Требования к знаниям умениям навыкам Страницы даны по учебнику «Математика в экономике» [] Дополнительные задачи по данному курсу можно найти в учебных пособиях [ 6] Векторы Владеть понятиями:

Подробнее

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений

2. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений Выше рассматривались в основном квадратные системы линейных уравнений число неизвестных в которых совпадает с числом уравнений В настоящем

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А =

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ. 1. Матрицы и операции над ними. 2. Определители и их свойства. Вычисление определителей. А = ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ ЛГЕБРЫ. Матрицы и операции над ними.. Определители и их свойства. Вычисление определителей. Матрицы и операции над ними Определение. Матрицей размера m n, где m- число строк, n- число

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера.

Лекция 2. Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Лекция 2 Решение систем линейных уравнений. 1. Решение систем 3-х линейных уравнений методом Крамера. Определение. Системой 3-х линейных уравнений называется система вида В этой системе искомые величины,

Подробнее

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ А А КИРСАНОВ ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МАТРИЦЫ ДЕТЕРМИНАНТЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ m m n n m n ПСКОВ ББК я К Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии, и редакционно-издательского

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин

Е.М. Богатов, Р.Р. Мухин Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования Национальный исследовательский технологический

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ Введение Представляю Вашему вниманию лекционный курс основ линейной алгебры, который впервые был прочитан в 2004 году на бизнес факультете НГТУ для специальности

Подробнее

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81

Содержание. Задания по вариантам.46 Заключение..79 Литература...81 Содержание Введение Матрицы Основные понятия Действия над матрицами 8 Определители Вычисление определителей квадратных матриц второго и третьего порядков Определители более высоких порядков 9 Невырожденные

Подробнее

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En

4. Обратная матрица. , где Е п единичная матрица порядка п. Матрица С называется левой обратной для матрицы А, если CA En 4 Обратная матрица Понятие обратной матрицы Существование и единственность обратной матрицы Присоединенная матрица Определение 4 Пусть А квадратная матрица порядка п Матрица B называется правой обратной

Подробнее

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( )

ЗАДАЧИ. для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса. 1. Найдите функцию ( ) ЗАДАЧИ для самостоятельного решения Системы линейных уравнений и их решение методом Гаусса x bx + c f x = +, если известны ее значения в трех указанных x точках: Найдите функцию ( ) а) f ( ) f ( ) f (

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций):

Лекция 1. Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): Лекция 1 Сайт лектора Колыбасовой Валентины Викторовны (конспекты лекций): http://sites.google.com/site/vkolybasova Группы ВКонтакте, посвящённые обсуждению учебных вопросов: http://vk.com/vvkolybasova

Подробнее