УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»"

Транскрипт

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» РАЗДЕЛ 9 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» Теоретические основы Методические указания для студентов Материалы для самостоятельной работы студентов Уфа 7

2 Ответственный редактор д ф-м наук, проф РН Бахтизин Редколлегия: АкмадиеваТР, Аносова ЕП, Байрамгулова РС, Галиуллин ММ, Галиева ЛМ, Галиакбарова ЭВ, Гимаев РГ, Гудкова ЕВ, Егорова РА, Жданова ТГ, Зарипов ЭМ, Зарипов РМ, Исламгулова ГФ, Ковалева ЭА, Майский РА, Мухаметзянов ИЗ, Нагаева ЗМ, Савлучинская НМ, Сахарова ЛА, Степанова МФ, Сокова ИА, Сулейманов ИН, Умергалина ТВ, Фаткуллин НЮ, Хайбуллин РЯ, Хакимов ДК, Хакимова ЗР, Чернятьева МР, Юлдыбаев ЛХ, Шамшович ВФ, Якубова ДФ, Якупов ВМ, Янчушка АП, Яфаров ША Рецензенты: Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государственного педагогического университета Заведующий кафедрой д ф-м наук, профессор РМ Асадуллин Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета Заведующий кафедрой д ф-м наук, профессор НД Морозкин Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика» Раздел 9 «Дифференциальные уравнения» Теоретические основы Методические указания для студентов Материалы для самостоятельной работы студентов Уфа: Издательство УГНТУ, 7 8 с Содержит теоретические материалы, способы и методы решения практических задач, задания для самостоятельной работы студентов, контрольные вопросы для самопроверки, список рекомендуемой литературы Разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в УГНТУ Уфимский государственный нефтяной технический университет, 7

3 УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС РАЗДЕЛ: «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

4 ВВЕДЕНИЕ УМК по разделу «Дифференциальные уравнения» дисциплины «Математика» подготовлен в полном соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта профессионального высшего образования РФ и предназначен для студентов всех специальностей очной, вечерней и заочной форм обучения в УГНТУ При его написании и разработке использован многолетний опыт коллектива кафедры математики по преподаванию базовой дисциплины В УМК содержатся, необходимые для изучения данного раздела, теоретические материалы, рассмотрены основные подходы к решению практических задач, кроме того, предложены многочисленные задания для самостоятельной работы студентов, контрольные вопросы, литература В УМК структурно можно выделить следующие элементы: ) теоретические основы; ) методические основы; ) материалы для самостоятельной работы Разработан банк заданий в тестовой форме различной сложности по всем темам раздела и рекомендован для оценки знаний студентов преподавателем Контрольно измерительные материалы по данному разделу собраны в отдельной брошюре

5 СОДЕРЖАНИЕ Предварительные сведения 6 Основные понятия 6 Дифференциальные уравнения с разделяющимися 9 переменными 4 Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним 5 Линейные уравнения 5 6 Уравнения Бернулли 8 7 Уравнения в полных дифференциалах Интегрирующий множитель 8 Дифференциальные уравнения высших порядков Основные понятия 9 Уравнения, допускающие понижение порядка Линейные дифференциальные уравнения высших 6 порядков Определения и общие свойства Линейные однородные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения - 4 го порядка с постоянными коэффициентами Метод вариации произвольных постоянных 5 4 Метод неопределенных коэффициентов 7 5 Системы дифференциальных уравнений 4 6 Задачи, приводящие к дифференциальному уравнению 5 7 Введение в теорию уравнений математической физики 5 8 Дифференциальные уравнения в частных производных 5 Основные определения и понятия 9 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка 5 и свойства их решений Классификация линейных уравнений и приведение их к 55 каноническому виду Основные уравнения математической физики 6 О постановке задачи математической физики и ее 64 корректности Уравнения гиперболического типа Вывод уравнения 65 колебания струны 4 Формулировка краевых задач Граничные и начальные 69 условия 5 Колебания однородной бесконечной струны Формула 7 Даламбера 6 Физическая интерпретация формулы Даламбера 7 7 Задача Коши для полубесконечной струны 76 8 Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струны 77

6 9 Решение смешанной краевой задачи для неоднородного 8 гиперболического уравнения при нулевых граничных условиях Решение неоднородного гиперболического уравнения при 85 неоднородных граничных условиях (Общая первая краевая задача) Уравнения параболического типа Вывод уравнения 86 теплопроводности (одномерный случай) Начальное и граничные условия, их физическое 9 толкование Постановка задач Распространение тепла в стержне конечной длины 94 Решение некоторых краевых задач линейной теплопроводности методом Фурье 4 Распространение тепла в бесконечном стержне Решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности методом интеграла Фурье 5 Пространственная задача теплопроводности 8 Распространение тепла в шаре 6 Уравнения эллиптического Задачи, приводящие к 9 уравнениям Пуассона и Лапласа 7 Постановка основных краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона 8 Решение краевых (граничных) задач для простейших областей методом разделения переменных 9 Заключение

7 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Дифференциальные уравнения занимают особое место в математике и имеют многочисленные приложения во многих науках Исследования природных процессов и изучение закономерностей общественных процессов приводят к построению математических моделей, основой которых являются дифференциальные уравнения (ДУ) Теория обыкновенных ДУ исследует случай, когда неизвестная функция и её производные, входящие в ДУ, зависят от одной переменной Пусть тело, имеющее температуру θ в момент времени t, помещено в среду температуры α ( θ > α) Если температура тела θ (t), то требуется найти закон изменения температуры этого тела в зависимости от времени Из физики известно, что скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды Учитывая, что функция θ (t) убывающая, в силу механического смысла производной получаем d θ(t) d t k [ θ(t) α], () где k - коэффициент пропорциональности Соотношение () является математической моделью данного физического процесса Оно называется дифференциальным уравнением, тк в него входит неизвестная функция θ (t) и её производная Решением ДУ () является функция kt θ( t) Ce α, где С - произвольная постоянная Её значение можно найти из условия θ ( ) θ, из которого следует, что θ C α Таким образом, искомое решение имеет вид kt θ( t) ( θ α) e α В разделе «Обыкновенные дифференциальные уравнения» слово «обыкновенные» будем опускать ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнение связывающее независимую переменную, () функцию () и её производные,,,, называется обыкновенным дифференциальным уравнением ОПРЕДЕЛЕНИЕ Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком дифференциального уравнения 6

8 ПРИМЕР si - обыкновенное ДУ -го порядка; - обыкновенное ДУ -го порядка e ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнение вида F(,, ) или f(, ) называется ДУ первого порядка ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 Решение ДУ -го порядка F(,, ) называется определенная и дифференцируемая на некотором интервале (a,b) функция ϕ(), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество ПРИМЕР Функция, представляет собой решение ДУ -, тк при подстановке и её производной в уравнение получается тождество Процесс отыскания решения ДУ называется интегрированием ДУ График решения ДУ называется интегральной кривой ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5 Условие, что при функция () должна быть равна заданному числу, называется начальным условием Начальное условие записывается ( ) или ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6 Общим решением ДУ -го порядка f(, ) в области Д называется функция ϕ(, c), удовлетворяющая условиям: Функция ϕ(, с) является решением ДУ при любом значении С из некоторого множества Каково бы ни было начальное условие ( ), такое, что (, ) Д, существует единственное значение СС, что решение ϕ(,c ) удовлетворяет данному начальному условию Геометрически общее решение ϕ(, c) представляет на плоскости XOY семейство интегральных кривых ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7 Всякое решение ϕ(,c ), полученное из общего решения ϕ(,c) при конкретном значении СС, называется частным решением Геометрически частному решению ϕ(,c ) на плоскости XOY соответствует одна кривая из семейства интегральных кривых, проходящая через точку (, ) Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, те в виде уравнения Φ (,,c,), то такое решение называется общим интегралом ДУ Уравнение Φ (,,c,) в этом случае называется частным интегралом ДУ Задача отыскания частного решения ДУ f(, ), удовлетворяющего начальному условию ( ), называется задачей Коши 7

9 Теорема (существования и единственности решения задачи Коши) Если в уравнении f(, ) и функция f(,) её частная производная f (, ) непрерывны в некоторой области Д, содержащей точку (, ), то существует единственное решение ϕ() этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию ( ) (без доказательства) Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении её условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку (, ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8 Особым решением ДУ f(, ) называется такое решение, что в окрестности каждой его точки (,) существуют более чем одна интегральная кривая, проходящая через эту точку Геометрически особое решение есть огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), те линия, которая в каждой своей точке касается не менее одной интегральной кривой ДУ -го порядка f(, ) устанавливают связь между координатами точки (,) и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку Таким образом, f(, ) дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости XOY В этом состоит геометрическая интерпретация ДУ -го порядка ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9 Изоклиной называется кривая Y f(,,)c, во всех точках которой направление поля одинаково ПРИМЕР С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых уравнения Уравнение изоклин данного ДУ имеет вид c, те изоклинами будут прямые, c параллельные оси OY Рис 8 X В точках прямых проведем отрезки, образующие с осью OX один и тот же угол α, тангенс которого равен c Так, при с имеем, tg α, поэтому α ; при с уравнение

10 изоклины, поэтому tg α и α 45 ; при c уравнение изоклины o, поэтому tgα и α 45 и тд o Построив четыре изоклины (,,, ) и отметив на каждой из них ряд стрелок, наклоненных к оси OX под определенным углом (рис ), по их направлениям строим линии Они представляют семейство парабол c Рассмотрим теперь методы интегрирования ДУ первого порядка ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть предоставлено в виде или в виде d d f () g() () M ()N ()d M ()N ()d, () где f(), g(), M (), N (), M (), N () - непрерывные функции, отличные от нуля Для нахождения решений уравнения () надо разделить обе его части на произведение N( ) M ( ) M () N( ) d d, M( ) N( ) и полученное уравнение с разделенными переменными проинтегрировать ( ) ( ) M () N d d c M () N (4) Полученное соотношение (4) является общим интегралом для уравнения () 9

11 ПРИМЕР 4 Найти частное решение уравнения si cos, π удовлетворяющее начальным условиям e 6 Разделяя переменные в данном уравнении, получим d si cos, d d cos d, si d cos d, si ( ) d( si ) d si, si c, c si общий интеграл уравнения π π c Подставим в него начальное условие e : e csi,, откуда с, 6 6 подставим его в общий интеграл si или e si Это и есть частное решение ДУ с разделяющимися переменными с заданным начальным условием 4 ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРИВОДЯЩИЕСЯ К НИМ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция f(,) называется однородной функцией -го порядка (измерения) относительно и, если для любого значения t выполняется равенство f ( λ, λ) λ f (, ) ПРИМЕР 5 Функция f (, ) 5 является однородной второго порядка, тк f ( λ, λ) ( λ) 5 λ λ λ ( 5) λ f (, ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция f(,) называется однородной нулевого порядка (измерения) относительно и, если для любого значения t выполняется равенство f ( λ, λ) λ f (, ) f (, )

12 ПРИМЕР 6 Функция f (, ) tg является однородной нулевого λ ( λ) прядка, тк f ( λ, λ) tg tg f (, ) λ ( λ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ Дифференциальное уравнение вида f (, ) называется однородным относительно и, если f(,) является однородной функцией нулевого порядка ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 ДУ P (, )d Q(, )d называется однородным, если функции P(,), Q(,)- однородные одного порядка ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5 ДУ f (, ) называется однородным, если f(,)можно представить как функцию только одного отношения переменных, те ϕ Однородное уравнение может быть приведено к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки t ( t t), где ()- новая неизвестная функция ПРИМЕР 7 Решить дифференциальное уравнение ( ) d d Разрешая данное уравнение относительно производной d d ϕ, устанавливаем, что она является функцией только отношения переменных, те устанавливаем, что данное уравнение является однородным d dt Далее вводим новую функцию и, полагая t, при этом t и d d после подстановки данное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными dt t t t или dt d d t t t dt d Разделим переменные: t и, интегрируя, найдем

13 t C или ( t ) ± C C Исключая вспомогательную функцию t t, окончательно получим c a b c ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6 Уравнение вида называется a b c приводящимся к однородному с помощью подстановки α, β ( α, β числа), если a b a b При a b a b с помощью подстановки z a b уравнение приводится к ДУ с разделяющимися переменными a b c Пусть в уравнении a b a b, положим a b c α d d, где,v- новые переменные, α, β- числа Тогда, подставим β d d,,d,d в исходное уравнение и получим: d d a( α) b( β) c, d d a α b β c ( ) ( ) ( aα bβ c ) ( a α b β c ) d a b d a b Подберем α и β так, чтобы aα bβ c a α bβ c Из решения этой системы находим α,β Заданное уравнение примет вид d a b d a b и будет являться однородным Как было показано выше, при помощи подстановки t ( t t) оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными Решив его, следует заменить и соответственно на α, β ПРИМЕР 8 Найти общий интеграл уравнения d d ( ) ( ),

14 те Положив α, β, получаем: d d,d d ; d d α β d d α β Подберем α и βтак, чтобы α β α β ( α β ) ( α β ) Находим, что α, β Заданное уравнение примет вид d d Оно является однородным Сделав подстановку t ( t t), приведем его к уравнению с разделяющимися переменными и решим: aα bβ c a α bβ c Из решения этой системы находим α,β Заданное уравнение примет вид d a b d a b и будет являться однородным Как было показано выше, при помощи подстановки t ( t t) оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными Решив его, следует заменить и v соответственно на α, β ПРИМЕР 8 Найти общий интеграл уравнения ( ) d ( ) d Запишем данное уравнение в виде Положив α, β, получаем:

15 d d,d d ; ( α β ) ( α β ) d d α β d d α β Подберем α и βтак, чтобы α β α β Находим α, β Заданное уравнение примет вид d d Оно является однородным Сделав подстановку t ( t t), приведем его к уравнению с разделяющимися переменными и решим: dt t t d t dt d t t t d dt t t t t t t c, t ( t) t t dt d t t t, c, заменив t на, получим c, 4

16 ( ) c, ( ) c( ), c ( ) ( ), c ( ) c c; α, Пусть β, тогда ( ) c - общий интеграл данного уравнения 5 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7 Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно (т е первой степени) относительно искомой d функции у и ее производной Общий вид линейного уравнения d ( ) Q( ) P (4) Если Q( ), уравнение называется линейным неоднородным, если Q() линейное однородное Рассмотрим два метода решения линейного неоднородного уравнения I метод Метод подстановки Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными, если искомую функцию у заменить произведением двух вспомогательных функций и v те положить v Тогда d d dv v, d d d и данное уравнение (4) примет вид d dv v P( ) v Q( ) d d (5) Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций, например v, можно выбрать произвольно, подберем её так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль, те в качестве v возьмем одно из частных решений vv() уравнения с разделяющимися переменными dv P( ) v d 5

17 Подставляя выражение v( ) относительно функции : v в уравнение (5), получаем уравнение d v Q( ), (6) d которое также является уравнением с разделяющимся переменными Найдя общее решение уравнения (6) в виде (,C) получим общее решение линейного уравнения (4): (,C) v( ) ПРИМЕР 9 Найти общее решение уравнения ctg si Решение Полагаем v; тогда v v и данное уравнение примет вид v v v ctg, si или v (v v ctg ) (7) si Решая уравнение v - v ctg, найдем его простейшее частное решение: dv dv vctg ; ctg d; v si, d v откуда vsi Подставляя v в уравнение (7), получим уравнение si, si из которого находим : d d si ; d, d si si откуда ctg C Итак, искомое общее решение v ( ctg C) si cos Csi II метод Метод вариации произвольной постоянной 6

18 Общее решение линейного однородного уравнения P() находится разделением переменных: d d P( ), P( ) d, откуда P( ) d c e d Согласно метода вариации произвольных постоянных решение неоднородного линейного дифференциального уравнения P( ) Q( ) находят в следующем порядке: Решают соответствующее линейное однородное уравнение ( ) P( ) и находят его общее решение P d c e ( ) Полагают CC() такая функция, что при подстановке P d c e P( ) d и (c( ) e ) в неоднородное уравнение оно обращается в тождество Рассмотрим процесс решения Находим производную: P( ) d p( ) d c ( ) e c( ) e ( p( ) ) Подставим и в неоднородное уравнение: p( ) d p( ) d p( ) d c ( ) e c( ) p( ) e c( ) p( ) e Q( ), p( ) d c ( ) e Q( ) dc( ) ( ) Следовательно, ( ) p d Q e d Разделяя переменные и интегрируя, получаем ( ) ( ) ( ) p d dc Q e, p( ) d c( ) Q( ) e c ( ) Подставляя выражение c() в равенство ( ) P d c e, получаем общее решение линейного неоднородного уравнения ( ) ( ) ( ) P d p d ( Q e d c) e ПРИМЕР Решить уравнение Решаем соответствующее линейное однородное уравнение Это уравнение с разделяющимися переменными, тогда d d d, d, d, c, e, d C окончательно C e - общее решение однородного линейного уравнения 7

19 Полагаем сс() и ищем решение неоднородного уравнения в виде C( ) e Имеем C ( ) e C( ) e ( ) Подставим, в неоднородное уравнение: C ( ) e C( ) e C( ) e, c C ( ) e, C ( ) e, ( ) e d e d( ) e c Запишем общее решение линейного неоднородного уравнения ( e c) e c e Замечание P( ) Q( ) линейное относительно, Замена v v v, где ( ), ( ) 6 УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8 Уравнение вида P ( ) Q( ), α R ( α, α ) α (8) называется уравнением Бернулли При α уравнение является линейным, при α - с разделяющимися переменными Рассмотрим способа решения: α I Разделив обе части уравнения на, получаем: α ( ) Q( ) α P Обозначим α α z Тогда z ( α), откуда находим α z, тогда уравнение (8) примет вид α z P( ) z Q( ) α Оно является линейным и решается одним из приведенных в параграфе 5 способов 8

20 ПРИМЕР Решить уравнение Это уравнение Бернулли ( ) ( ) P, Q, α Разделим обе части на - :, сделаем замену z, z и подставим в уравнение: z z - получили линейное уравнение Сделаем замену z v, z v v и подставим в последнее уравнение: v v v, v v v, откуда v v Из первого уравнения системы найдем частное решение v: v dv d, v, v Из второго уравнения системы найдем общее решение v d :, d d, c Тогда z c, но z, тогда d ± z Окончательно ± c - общее решение уравнения Бернулли IIУравнение Бернулли можно решать как линейное, посредством подстановки v оно сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными ПРИМЕР Решить уравнение Разделив обе части уравнения на :, убеждаемся, что это уравнение Бернулли, где P -, Q -, α Заменяя функцию по формуле v, имеем v v, v v v v или v v v v Получаем два уравнения с разделяющимися переменными: 9

21 v ) v и ) v v Решая первое уравнение, находим v частный интеграл этого уравнения: dv d ; v ; v ; v v Подставляя v во второе уравнение и решая его, находим как общий интеграл этого уравнения: C ; d d; ; C Так как v, тогда искомое общее решение заданного уравнения Бернулли C 7 УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9 Если левая часть уравнения P(,)dQ(,)d (9) представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(,), то уравнение (9) называется уравнением в полных дифференциалах В этом случае его можно переписать в виде du(,), так что общий интеграл U(,)C () Для того, чтобы уравнение (9) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D, в которой функции P (, ) и Q (, ) определены, непрерывны и имеют P(, ) Q(, ) непрерывные частные производные и, было выполнено условие P Q ()

22 В том случае, когда условие () выполнено, общий интеграл уравнения (9) можно записать в виде или (, ) d Q(, ) P d C () (, ) d Q(, ) d C, P () где ( ; ) - фиксированная точка области D, в которой функции P (, ), Q (, ) непрерывны Если же условие () не выполнено, то уравнение (9) не является уравнением в полных дифференциалах Однако в некоторых случаях его можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением на функцию (, ) μ, которая называется интегрирующим множителем Интегрирующий множитель легко находится в следующих двух случаях: ) когда он зависит только от, те μ μ( ) ; ) когда он зависит только от, те μ μ( ) Первый из этих случаев имеет место, если отношение P Q ϕ( ) Q является функцией только от ; тогда интегрирующий множитель находится по формуле ( ) d μ e ϕ (4) ( ) Второй случай имеет место, если отношение P Q Ψ( ) P является функцией только от ; тогда интегрирующий множитель определяется по формуле

23 μ ( ) Ψ( ) d e (5) ПРИМЕР Найти общий интеграл уравнения cos d 8 si d ( ) Решение Здесь P(, ) cos, Q(, ) 8 si ; находим P(, ) Q ( ) (, ) si cos si, si Следовательно, это уравнение является уравнением в полных дифференциалах Его общий интеграл находим по формуле (), взяв в качестве точки ( ; ) начало координат: cos d 8 d C, или cos 6 C ПРИМЕР 4 Найти общий интеграл уравнения d d ( ) Решение Здесь P(,), Q(, ) ( ), так что P Q,, те условие полного дифференциала не выполняется Проверим, не допускает ли это уравнение интегрирующего множителя Поскольку P Q ϕ( ), Q ( ) приходим к выводу, что данное уравнение имеет интегрирующий множитель, зависящий только от Найдем его: ( ) d μ( ) e ϕ e e Умножая обе части исходного уравнения на найденный интегрирующий множитель μ /, получаем уравнение d ( ) d, d которое, как нетрудно проверить, уже будет уравнением в полных дифференциалах Решим это уравнение По формуле () ( ) d C d

24 Взяв в качестве точки ( ; ) точку (;), имеем d ( ) d C, тк, следовательно, 4 C, или 4 Это и есть общий интеграл данного уравнения 4 4 [ ] C 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДУ вида F(,, ( ) (6),,, ) называется дифференциальным уравнением -го порядка Уравнение, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид (,,,,, ) ( ) ( ) (7) f Все ДУ порядка выше первого называется ДУ высших порядков ОПРЕДЕЛЕНИЕ Решением ДУ (6) называется любая - раз дифференцируемая функция ϕ( ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ Общим решением ДУ (6) называется функция ϕ(,c,c,, C ), где C, C,,C - произвольные, не зависящие от постоянные, удовлетворяющая условиям: ϕ (,C,C,, C ) является решением ДУ для каждого фиксированного значения C, C,,C Каковы бы ни были начальные условия ( ) ( ),,, (8) существуют единственные значения постоянных C C,C C,, C такие, что функция ϕ(,c,c,, ) C C является решением уравнения (6) и удовлетворяет начальным условиям (8)

25 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Всякое решение ϕ(,c,c,, ) уравнения при конкретных C ϕ,c,c,, C C,C C,,C C (6), получающееся из общего решения ( ) значениях постоянных C, называется частным решением Задача нахождения частного решения ДУ (6), удовлетворяющего начальным условиям (8), называется задачей Коши Теорема (существования и единственности задачи Коши) ( ) ( ) Если в уравнении (7) функция f,,,,, и её частные производные f,f,f,, f ( ) непрерывны в некоторой области D изменения ( ) ( ) D переменных,,,, ( ), то для всякой точки,,,,, существует единственное решение ϕ( ) уравнения (7), удовлетворяющее начальным условиям (8) Без доказательства Проинтегрировать (решить) ДУ -го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того, заданы начальные условия или нет Рассмотрим геометрическую интерпретацию решения ДУ на примере ДУ - го порядка F (,,, ) График всякого решения такого ДУ называется интегральной кривой Общее решение есть множество интегральных кривых; частное решение - одна интегральная кривая этого множества, проходящая через точку (, ) и имеющая в ней касательную с заданным угловым коэффициентом ( ) Решение ДУ -го порядка сложнее, чем первого Рассмотрим некоторые типы уравнений -го порядка 9 УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Рассмотрим решение таких уравнений на примере ДУ - го порядка F (,,, ) Суть метода решения состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого на единицу меньше Рассмотри три типа уравнений, допускающих понижение порядка Уравнение вида ( ) f ( ) решается последовательным - кратным интегрированием При каждом интегрировании получается одна произвольная постоянная, а в окончательном результате - произвольных постоянных 4

26 Уравнение второго порядка f ( ) решим подобным образом f ( ), f ( ) d c F ( ) ( F ( ) c) d c, F ( ) d c c c ПРИМЕР 5 Решить уравнение Последовательно интегрируя данное уравнение, имеем d C, C d C C, C C C d C C C где C ДУ вида ( k) ( k ) ( ) (,,, ), F,, C C C (9), не содержащее явно искомой функции и ее младших производных до порядка (k- ) включительно, допускает понижение порядка на k единиц с помощью подстановки k z, тогда ( ) ( ) ( k ) ( k ) ( k ( ) ( ) ) ( ), z,, z ( ) z и уравнение (9) приводится к ( k) ( z, z, z,, z ) Например, ДУ второго порядка F (,, ), не содержащее искомой F, функции, при помощи подстановки p( ) (откуда dp уравнение первого порядка F, p, d ПРИМЕР 6 Решить уравнение dp ) преобразуется в d 5

27 Данное уравнение не содержит искомой функции Положим p(), тогда dp и уравнение примет вид d dp p dp p p p, или d d Таким образом, мы получили однородное уравнение первого порядка Для его dp d решения воспользуемся подстановкой p, откуда и, d d следовательно, приходим к уравнению d d d, или d ( ) Интегрируя, получаем C, откуда C -, те C e Возвращаясь к переменной, имеем p C C e, или e Проинтегрировав полученное уравнение первого порядка, получаем общее решение C e C C d e e C C C ДУ вида F ( ) (,,,, ), () не содержащее независимой переменной Здесь порядок уравнения понижается на единицу путем замены двух переменных: в качестве новой искомой функции мы выбираем P(), а за dp новую независимую переменную - Тогда p d Если ДУ не содержит явно независимой переменной, искомой функции и ( k ) ( k ) ( ) её первых (k-) производных, то есть, если ДУ имеет вид F(,,, ), то порядок уравнения можно понизить на (k) единицу, применяя сначала ( ) подстановку k z( ), а затем z P() 6

28 Например, ДУ второго порядка, не содержащее независимой переменной, dp F,,, при помощи подстановки P( ), p сводится к d те ( ) dp уравнению первого порядка F, p, p d ПРИМЕР 7 Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям ( ), ( ) dp Полагая p( ),откуда p, преобразуем данное уравнение к виду d dp dp p p, или d d p Интегрируя, имеем d C; p ; p C d C Используя начальные условия ( ), получим / C, те C / Следовательно, d, или ( / ) d d, d / откуда интегрированием находим ( ) / C Используя теперь начальные условия (), получим C Таким образом, искомое частное решение имеет вид - ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 ДУ -го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно совокупности искомой функции и ее производных,,, ( ), те имеет вид a ( ) ( ) a a f ( ), () 7

29 где a,a,,a,f() заданные функции от или постоянные, причем a для всех значений из области, в которой рассматривается уравнение () Функция f(), стоящая в правой части уравнения, называется правой частью уравнения ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5 Если f(), уравнение () называется неоднородным линейным уравнением или уравнением с правой частью ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6 Если f(), уравнение называется однородным линейным или без первой части и имеет вид ( ) ( ) a a a () Установим некоторые основные свойства линейных однородных уравнений, ограничиваясь в доказательствах уравнениями второго порядка a a () ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7 Два решения уравнения () () и () называются линейно независимым на отрезке [ a ;b], если их отношение не является постоянным на этом отрезке, те cost В противном случае решения называются линейно зависимыми ПРИМЕР 8 Рассмотрим линейное однородное уравнение -го порядка - - Функции e,e,e являются решениями данного уравнения, это легко проверяется подстановкой их в уравнение При этом функции - e e и e линейно независимы, тк отношение e e e cost при e изменении Функции же e и e e линейно зависимы, тк cost e ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8 Если,,, -функции от, то определитель (,,, ) W 7 ( ) ( ) ( ) называется определителем Вронского или вронскианом Для функций и вронскиан имеет вид W (, )

30 Теорема Если функции и линейно зависимы на отрезки [ a ; b] определитель Вронского на этом отрезке равен нулю Доказательство Тк и - линейно зависимы на [ ; b] λ cost, и λ, тогда λ (, ) λ W λ, то a, то λ, где Теорема 4 Если решения и уравнения () линейно независимы на отрезке [ a ; b], то определить Вронского W(, ), составлений для этих решений, не обращается в ноль ни в одной точке указанного отрезка Доказательство Предварительно заметим следующее Функция есть решение (его называют нулевым или тривиальным) уравнения () на отрезке [ a ; b], удовлетворяющее начальным условиям,, где - любая точка отрезка [ a ; b] Из теоремы существования и единственности (), которая применима к уравнению (), следует, что не существует другого решения уравнения (), удовлетворяющего начальным условиям, Из этой теоремы также следует, что если решение уравнения () α, β, a ;b, то это решение тождественно равно нулю на всем a ; b Действительно, в точке β (и в точке α ) решение тождественно равно нулю на некотором отрезке или интервале ( ) принадлежащем отрезку [ ] отрезке [ ] удовлетворяет начальным условиям, β β Следовательно, по теореме единственности оно равно нулю в некотором интервале β d < < β d, где d определяется величиной коэффициентов уравнения () Таким образом, расширяя интервал каждый раз на величину d, где, мы докажем, что на всем отрезке [ a ; b] Теперь приступим к доказательству самой теоремы (4) Допустим, что W(, ) в некоторой точке отрезка [ a ; b] Тогда по теореме () W(, ) будет равен нулю во всех точках отрезка [ a ; b] : W или Допустим, что на отрезке [ a ;b] Тогда на основании последнего равенства можно написать или, откуда следует α cost; те решения и линейно зависимы, что противоречит предположению о их линейной независимости 8

31 a Рассмотрим интервал (а, ) На этом интервале Следовательно, на основании только что доказанного следует, что на интервале (а, ) λ cost, или λ Рассмотрим функцию λ Так как и есть решения уравнения (), то λ- решение уравнения () и на интервале (a; ) Следовательно, на основании замечания в начале доказательства следует, что λ на отрезке [ a ;b], или λ на [ a ; b], те и - линейно зависимы Но это противоречит предположению о линейной независимости решений и Мы доказали, что определитель Вронского не обращается в ноль ни в одной Допустим далее, что в точках,,, k, принадлежащих отрезку [ ; b] a Теорема 5 (о структуре общего решения линейного однородного уравнения) Если,, - линейно независимые частные решения однородного линейного из точек отрезка [ ; b] ( ) ( ) уравнения a a a, то C C C - общее решение этого уравнения (С,C,,C - произвольные постоянные) Доказательство Докажем теорему на примере линейного однородного уравнения -го порядка () Сначала покажем, что C C - решение уравнения (), те a a Подставим функцию C C и её производные C C, C C в уравнение (): ( C c ) a( C c ) a ( C c ), C C ac ac a C a C, C ( a a ) C ( a a ) Тк, - частные решения (), тогда a a и a a Имеем C C, таким образом C C - решение уравнения () для любых С и С Теперь докажем, что каковы бы ни были начальные условия,, можно так подобрать значение произвольных постоянных C и C, чтобы соответствующее частное решение C C удовлетворяло заданным начальным условиям Подставляя начальные условия в равенство C C, имеем 9

32 C C ( ) c ( ) ( ) c ( ), (4) где обозначено ( ), ( ), ( ), ( ) Из системы (4) можно определить c и c, тк определитель этой системы ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) есть определитель Вронского при и, следовательно, не равен нулю (в силу линейной независимости решений и ) Частное решение, которое получится из семейства C C при найденных значениях C и C, удовлетворяет начальным условиям Теорема доказана Теорема 6 Если известно одно частное решение линейного однородного уравнения (), то второе его решение, линейно независимое с первым, можно найти интегрированием первого по формуле a e d (5) (без доказательства) Формула (5) дает возможность интегрировать линейные однородные уравнения -го порядка сразу, не прибегая к понижению порядка ПРИМЕР 9 Записать общее решение уравнения, если si известно его частное решение Найдем второе частное решение, линейно независимое с первым d si e si e si e d d d si si si d

33 si si d si d ( ctg) si si Запишем общее решение: si Y C C C C cos cos ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ -ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9 Линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ) -го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида ( ) ( ) ( ) a a a a, (6) где a,a,,a - постоянные Общее решение уравнения (6) имеет структуру Y C, (7) C C где,,, - частные решения уравнения (6), вронскиан которых не равен нулю ОПРЕДЕЛЕНИЕ Совокупность решений ЛОДУ - го порядка, определенных и линейно независимых на промежутке (a,b) называется фундаментальной системой решений этого уравнения ПРИМЕР Дано уравнение - Составляют ли функцииe, e -, ch фундаментальную систему решений? Для проверки линейной независимости этих решений вычислим вронскиан: e e ch W(,, ) e e sh e e ch Определитель равен нулю, так как соответствующие элементы первой и третьей строк равны Так как W, то данные функции e, e -,ch - линейно зависимы и не составляют фундаментальную систему решений данного ДУ

34 Решим задачу о нахождении общего решения ЛОДУ (6) Будем искать частные решения в виде функции e k, где kcost, (8) k k ( ) k тогда k e, k e,, k e Подставляя полученные выражения в уравнение (6), получаем k e ( k a k a k a k a ) Так как e k, то k a k a k a k a (9) ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнение вида (9) называется характеристическим Если k будет удовлетворять уравнению (9), то e k будет решением уравнения (6) Возможны три случая для корней k характеристического уравнения: Уравнение (9) имеет простых (кратности ) действительных корней k i Каждому корню k i ( i, ) в соответствие ставится функция i e Общее решение ЛОДУ (6) имеет вид k k Y C e C e C e () Уравнение (9) имеет действительных кратных корней k Каждому корню k кратности соответствует линейно независимых функций k k k k e, e, e,, e Общее решение ЛОДУ (6) имеет вид k k Y Ce C e C e C k или Y e ( C C C C ) k k e k () Уравнение (9) имеет комплексно сопряженные корни Каждой паре комплексно - сопряженных корней α βi и α βi соответствуют α α k функции e cos и e si β 4 Уравнение (9) имеет комплексно - сопряженные кратные корни α βi и k α i кратности m Каждой такой паре соответствует m k β α функций вида e cos, e α k si β и общее решение (6) имеет вид

35 α D e или Y e Y C e α siβ D α siβ cosβ C e α e α cos C m m e α cosβ m α m ( C C C ) e cosβ( D D D ) siβ D m m m α e siβ m () Рассмотрим частный случай () решения -го порядка a a () Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид k a k a k (4) Возможны случаи: D >, действительные различные корни k k Общее решение уравнения () имеет вид k k Y C e C e (5) D, действительные кратные корни, кратность Общее решения уравнения () имеет вид k k Y C e C e (6) D<, пара комплексно - сопряженных корней k α βi, k α βi Общее решение уравнения () имеет вид α α Y Ce cosβ Ce si β (7) ПРИМЕР Найти общее решение уравнения 4 4 Решение Запишем характеристическое уравнение; для этого заменим функцию и ее производные, и соответствующими степенями k : k, k, k и k Тогда получим k k 4k 4, откуда, раскладывая левую часть уравнения на множители, имеем

36 ( k ) 4( k ), или ( k )( k )( k ) k Следовательно, k, k, k Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид Y Ce Ce Ce ПРИМЕР Найти общее решение уравнения 5 9 Решение Составим характеристическое уравнение k 5k k 9, те k k 6k 6k 9k 9 ; ( k )( k 6k 9), ( k )( k ), откуда находим k -, k, Таким образом, характеристическое уравнение имеет один простой и один двукратный корень Следовательно, общее решение дифференциального уравнения запишется так: Y C e ( C C) e ПРИМЕР Найти общее решение уравнения IV 4 4 Решение Этому уравнению соответствует характеристическое уравнение 4 k k 4k 4k, или k ( k 4) k( k 4), те k( k )( k 4) Отсюда k, k -, k,4 ± i Характеристическое уравнение имеет два действительных и два комплексных корня (все они являются простыми) Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения запишется в виде Y C Ce C cos C4 si ПРИМЕР 4 Найти общее решение уравнения IV 8 8 Решение Данному уравнению соответствует характеристическое уравнение 4 ( k 9), k 8k 8,или имеющее двукратные комплексные корни k,,,4 ± i Следовательно, общее решение дифференциального уравнения записывается таким образом: C C cos C C si ( ) ( ) Y 4 4

37 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ - ГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) -го порядка ( ) ( ) ( ) a a a a f ( ) (8) Теорема 7 (о структуре общего решения ЛНДУ) Общее решение Y ЛНДУ * (8) представляет собой сумму какого - нибудь частного решения Y этого уравнения и общего решения Y соответствующего однородного уравнения ( ) ( ) ( ) a a a a, (9) те * Y Y Y (4) Доказательство теоремы проведем для ЛНДУ - го порядка a a f() (4) Докажем сначала, что функция (4) есть решение уравнения (4) * Подставляя сумму Y Y в уравнение (4) вместо, имеем * * * Y Y a Y Y a Y Y f, или ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * Y a Y a Y Y ay a Y f ( ) (4) Так как Y есть решение однородного уравнения a a, (4) то выражение, стоящее в первых скобках, тождественно равно нулю Так как Y * есть решение уравнения (4), то выражение, стоящее во вторых скобках, равно 5

38 * f() Следовательно, равенство (4) является тождеством, функция Y Y является решением уравнения (4) Первая часть теоремы доказана Докажем теперь, что (4) есть общее решение уравнения (4), те * * докажем, что входящие в решение Y Y Y C C Y произвольные постоянные можно подобрать так, чтобы удовлетворялись начальные условия ( ) ( ) (44) Продифференцировав функцию * C Y Y C (45) и подставив начальные условия (44) в функцию (45) и её производную, получаем систему уравнений C C где ( ), ( ) ( ) C ( ) Y( ) ( ) C ( ) ( Y( )) 6, (46), с неизвестными С и С Определителем этой системы является определитель Вронского W( ) для функций () и () в точке Так как эти функции по условию линейно независимы (образуют фундаментальную систему решений), то W( ) Следовательно система (46) имеет единственное решение: * Решение Y C ( ) C ( ) C и C C C Y является частным решением уравнения (4) Теорема доказана МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ Рассмотрим универсальный метод нахождения частного решения Y * неоднородного уравнения (8) на примере уравнения -го порядка (4) Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) состоит в следующем: пусть Y C ( ) C( ) - общее решение однородного уравнения (4) Будем искать частное решение Y * неоднородного уравнения (4) в виде * ( ) ( ) C ( ) ( ) Y C (47)

39 7 Найдем производную ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C C C Y Подберем функции C () и C () так, чтобы выполнялось равенство ( ) ( ) ( ) ( ) C C (48) Тогда ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C Y *, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C C C Y * Подставляя выражения для ( ) ( ) * * * Y, Y, Y в уравнение (4), получаем: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c C C C ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) f C C a C C a или ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] a a C a a C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f C C

40 Так как () и () - решения уравнения (4), то выражения в квадратных скобках равны нулю, а потому ( ) ( ) C ( ) ( ) f ( ) C (49) Таким образом, функция (47) будет частным решением Y * уравнения (4), если функции C () и C () удовлетворяют системе уравнений, составленной из уравнений (48) и (49): C C ( ) ( ) C ( ) ( ) ( ) ( ) C ( ) ( ) f ( ) (5) ( ) ( ) ( ) ( ) Определитель системы, так как это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений () и () уравнения (4) Поэтому система (5) имеет единственное решение: C ( ) α( ) и C ( ) α( ) Проинтегрировав функции α ( ) и α( ), находим С () и С (), и по формуле (47) записываем частное решение неоднородного уравнения (4) ПРИМЕР 5 Найти общее решение уравнения 4 tg Решение Для нахождения общего решения уравнения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных Соответствующее однородное уравнение 4 ; характеристическое уравнение k 4 имеет корни i Следовательно, cos и si - k, ± два линейно независимых частных решения однородного уравнения, общее решение ЛОДУ есть Y C cos C si и частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде * ( ) cos C ( ) si, Y C (5) где функции С () и С () определяются из системы уравнений вида C ( ) cos C ( ) si, C ( ) si C ( ) cos tg Решая эту систему, находим si C ( ), C ( ) si cos 6

41 Интегрируя полученные равенства, имеем si C ( ) d C cos d C cos cos π si tg C; C ( ) si d C cos C 4 Подставляя С () и С () в соотношение (5), находим общее решение данного уравнения: π Y si tg C cos cos C si π C cos C si cos tg 4 4 Замечание Метод вариации произвольных постоянных имеет место и для линейных неоднородных уравнений с переменными коэффициентами, те для уравнений вида ( ) ( ) ( ) ( ) ( a a ) a ( ) a ( ) f ( ) 4 МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ Для ЛНДУ (8) с постоянными коэффициентами существует более простой способ нахождения частного решения Y *, не требующий интегрирования, если правая часть f() уравнения (8) имеет так называемый специальный вид (иногда в таком случае f() называют специальной правой частью ): f α [ si β], (5) ( ) e P ( ) cosβ Q ( ) где α и β - действительные числа, а P () и Q m () - многочлены соответственно - ой и m-й степени с действительными коэффициентами, то частное решение Y * уравнения (8) ищется в виде m Y * r e α [ M ( ) cosβ N ( ) si β] s s, (5) где M s () и N s () - многочлены s-й степени (s -наибольшая из степеней и m) с неопределенными буквенными коэффициентами, а r - кратность, с которой комплексное число α βi входит в число корней характеристического 7

42 уравнения, соответствующего однородному дифференциальному уравнению (9) ПРИМЕР 6 Найти общее решение уравнения e ( 9) (54) Решение Найдем общее решение Y соответствующего однородного уравнения Решая отвечающее ему характеристическое уравнение k k, получаем корни k, k - Следовательно, Y C Ce Перейдем к отысканию частного решения Y * данного уравнения Здесь правая часть f ( ) e ( 9) имеет вид (5):, P () 9, α, β Так как α βi не является корнем характеристического уравнения, то r Следовательно, частное решение Y нужно искать в виде * Y ( A B C) e, где A, В и С -некоторые коэффициенты, подлежащие определению Для их отыскания воспользуемся тем, что Y * должно быть решением данного уравнения * * Найдем Y и Y : * Y A B C e A B e A A B B C e ( ) ( ) ( ) ; * Y ( A A B B C) e ( A A B) e ( A 4A B A B C) e Теперь подставим выражения для Y * и Y * в данное уравнение (54): A 4A B A B C e A A B B C e ( ) ( ) e ( 9) Сокращая обе части полученного равенства на e и группируя члены при одинаковых степенях, в результате получим A ( 8A B) A 4B C 9 Это равенство выполняется тождественно только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях в обеих его частях равны между собой Итак, для отыскания коэффициентов А, В и С имеем следующую систему уравнений: A, 8A B, A 4B C 9 8

43 Решая эту систему, найдем A, B-, C5 Таким образом, получаем искомое частное решение * Y ( 5) e Теперь можно записать общее решение данного уравнения: * Y Y C C e 5 e ( ) 4 ПРИМЕР 7 Найти общее решение уравнения 8 6 e Решение Находим Y Характеристическое уравнение k 8k6 имеет корни k k 4 Следовательно, 4 ( C C ) e Y (5) Найдем теперь Y * Здесь правая часть имеет вид (5):, P, α 4, β Так как α βi 4служит двукратным корнем характеристического уравнения, то r и частное решение Y * надо искать в виде * 4 Y A e, где A - коэффициент, подлежащий определению Вычислим производные Y * и Y * : * 4 Y ( 4A A) e, * 4 Y ( 6A 6A A) e * Подставляя выражения для Y, Y * и Y * в данное уравнение, сокращая обе -4 его части на e и приводя подобные члены, в итоге получим A, откуда A 5 Следовательно, искомое частное решение имеет вид * 4 Y 5 e, a общее решение данного уравнения Y Y * 4 4 ( C C) e 5 e ПРИМЕР 8 Найти общее решение уравнения 4 cos Решение Находим Y Характеристическое уравнение k 4 имеет Корни k, ±i Следовательно, Y C cos C si (5) Переходим к отысканию Y * Здесь правая часть имеет вид: α, β, P,Q Число α βi i не является корнем ( ) ( ) 9

44 характеристического уравнения; поэтому r и частное решение Y * следует искать в виде Y * ( A B) cos ( C D) si, где A, В, С и D - неопределенные коэффициенты Дифференцируя, находим * Y ( C D A) cos ( A C B) si, * Y ( A C B) cos ( C A D) si * * Подставим теперь выражения для Y и Y в данное уравнение и сгруппируем члены при cos и si ; тогда получим ( A B C) cos ( C D A) si cos Сравнивая коэффициенты при cos, cos, si и si, имеем A, B C, C, D A, откуда A, B, C, D/ Таким образом, Y * cos si Итак, общее решение данного уравнения имеет вид * Y Y C cos C si cos si ПРИМЕР 9 Найти общее решение уравнения 9 9cos 6si Решение Сначала находим Y Характеристическое уравнение k 9 имеет корни k, ±i Следовательно, Y C cos C si (5) Найдем теперь Y * В данном случае правая часть имеет вид: α, β, P ( ) 9,Q ( ) 6 Так как число α βi i служит однократным корнем характеристического уравнения, то k и частное решение надо искать и виде Y * ( A cos Bsi ), где А и В-неопределенные коэффициенты Находим 4

45 Y Y * * ( B A) cos ( A B) si, ( 9A 6B) cos ( 9B 6A) si * * Подставляя Y и Y в данное уравнение и приводя подобные члены, получим 6 Bcos 6A si 9cos 6si, откуда 6B9, 6A6, те B/, A 8/ Следовательно, 8 Y * cos si Итак, общее решение данного уравнения имеет вид * 8 Y Y C cos C si cos si Замечание Если правая часть уравнения (8) есть сумма функций вида (5), те f ( ) f ( ) f ( ) f ( ), (55) нужно предварительно найти частные решения Y, Y,, Ym, соответствующие функциям f (), f (),, f m () Тогда частное решение запишется в виде m * * * Y * * * * m Y Y Y, (56) а общее решение уравнения (8) примет вид * * * m Y Y Y Y Y (57) ПРИМЕР Найти общее решение уравнения e cos Решение Находим сначала Y Характеристическое уравнение k 4k имеет корни k и k 4 Следовательно Y 4 C Ce Переходим к нахождению Y * Здесь правая часть f() данного уравнения представляет собой сумму функции f ()4-5 и f ()e cos Будем искать * * частные решения Y и Y для каждой из этих функций в отдельности Функция f ()4-5 имеет вид (5):, P ()4-5, α, β, причем α βi является однократным корнем характеристического уравнения (те r ) Следовательно, 4

46 * ( A B) A B Y Дифференцируя, находим * * Y A B, Y A, * откуда, подставляя Y * и Y в левую часть данного уравнения и приравнивая полученное выражение f ()4-5, имеем A 4( A B) 4 5, те 8 A 4, A 4B 5, или A /, B Таким образом, * Y Функция f ()e cos также имеет вид (5): α, β, P,Q Так как число α βi i не является корнем ( ) ( ) * характеристического уравнения, то r и частное решение Y ищем в форме * Y e ( Ccos Dsi ) Дифференцируя, находим * Y e [( C D) cos ( D C) si ], * Y e ( D cos Csi ) * Подставляя Y * и Y в левую часть данного уравнения и приравнивая полученное выражение f ()e, имеем e [( 4C D) cos ( C 4D) si ] e cos, откуда 4C D, C 4D, т е С, D Следовательно, * Y e cos e si Итак, общее решение данного уравнения запишется следующим образом: * * 4 Y Y Y C Ce e cos e si 5 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 4

47 Для решения многих технических и экономических задач требуется несколько функций Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, образующим систему ОПРЕДЕЛЕНИЕ Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции,,, и их производные Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей искомых функций,,, F (,,,,,,,, ) F (,,,,,,,, ),, F (,,,,,,,, ) ОПРЕДЕЛЕНИЕ Нормальной системой ДУ называется система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной d f(,,,, ), d d f(,,,, ), d d f (,,,, ) d (58) Число уравнений системы равно числу искомых функций Системы ДУ и ДУ высших порядков во многих случаях можно привести к нормальной системе ДУ (58) Например, система трех ДУ второго порядка 4

48 d F (,, z, t,,, z ), dt d F (,, z, t,,, z ), dt d z F (,, z, t,,, z ) dt d d dz путем введения новых переменных, v, w, приводится к dt dt dt нормальной системе ДУ: d d dz, v, w, dt dt dt d F (,, z, t,, v, w ), dt dv F (,, z, t,, v, w ), dt dw F (,, z, t,, v, w ) dt ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4 Решением системы (58) называется совокупность из функций ( ), ( ), ( ),, ( ), которые после подстановки в систему обращают каждое её уравнение в верное равенство ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5 Начальными условиями для системы (58) называется условия вида ( ), ( ),, ( ) (59) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6 Решением задачи Коши для системы (58) называется такое решение, которое удовлетворяет начальным условиям (59) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7 Общим решением системы (58) в области D называется набор функций (,C,C,,C ), (,C,C,,C ),, (,C,C,, C ), которые для любых C,C,,C D R являются решением (58) и для любых начальных условий (59) из области определения * * * системы существует набор C,C,,C, при котором функции * * * * * * * * * (,C,C,,C ), (,C,C,,C ),, (,C,C,, C ) удовлетворяют начальным условиям (59) 44


УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения. Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ( )

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия

1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА 1.1. Основные понятия . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0

Если мы разделим его относительно производной, то получим уравнение: (1) , что это условие 2 будет удовлетворяться (т.е. ( x0, C0 . Дифференциальные уравнения первого порядка. Опр. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В самом

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

Подробнее

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия и определения Дифференциальным уравнением называется уравнение связывающее независимую переменную х искомую функцию ( у f (х и производные искомой функции

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение содержащее независимую

Подробнее

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений»

Решение типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» типового варианта «Дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений» Задание Выясните, являются ли функции ( ) e и e решениями дифференциального уравнения d ( ) d 0 на промежутке ( ; )..

Подробнее

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2

Так как y, то уравнение примет вид x и найдем его решение. x 2 Отсюда. x dy C1 2 и получим общее решение уравнения 2 Лекции -6 Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Глава ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Введем основные понятия теории дифференциальных уравнений первого порядка Если искомая функция зависит от одной переменной то

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение.

Лекция 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка и их решение. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

Подробнее

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, Н.Н. Короткова, Д.А. Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ИВ Ребро, СЮ Кузьмин, НН Короткова, ДА Мустафина ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными.

ЛЕКЦИЯ N29. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. ЛЕКЦИЯ N9. Дифференциальные уравнения. Общие понятия. Дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными..дифференциальные уравнения. Общие понятия.....дифференциальные уравнения

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ Кафедра

Подробнее

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. ЛЕКЦИЯ Вводные замечания Дифференциальные уравнения занимают в математике особое место. Математическое исследование разнообразных природных явлений

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ Учебное пособие Краснодар

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. В. М. Сафро, А. В. Скачко, Е. С. Чумерина МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ МИИТ Кафедра «Прикладная математика-1» В. М. Сафро,

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Образцы решения уравнений из «Сборника типовых заданий по курсу высшей математики» Кузнецова Л.А. Авторы: Смирнов А.Н., Беловодский В.Н., кафедра компьютерных систем мониторинга,

Подробнее

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ

( n) const) P однородная функция любого ненулевого порядка 5). Q. P однородная функция 1 порядка. = - общее решение ЛОДУ. y = y + y подставить в ЛОДУ Уфимский государственный нефтяной технический университет. Вариант 500. Дифференциальное уравнение P (, ) d Q(, ) d 0 порядка, если: будет однородным уравнением первого Ответы: ). P и Q однородные функции

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Учебное

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

УЧЕБНО МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ) Кафедра математики

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики

Министерство образования и науки Российской Федерации. Кафедра высшей математики Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы

V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ТРЕТИЙ СЕМЕСТР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Кафедра математического

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения ~ ~ Дифференциальные уравнения Общие сведения о дифференциальных уравнений Задача на составление дифференциальных уравнений Определение: дифференциальным уравнением называется такое уравнение, которое

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 17 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 17 Дифференциальные

Подробнее

Дифференциальные уравнения и ряды

Дифференциальные уравнения и ряды Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» НМ Кравченко Дифференциальные уравнения и ряды Учебно-методическое пособие Научный редактор доц, канд

Подробнее

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения

1. Метод Эйлера. Задача нахождения частного решения y = y( x) дифференциального уравнения . Метод Эйлера Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения ( ) f (6.) может быть приближенно решена численными методами. Для нахождения частного решения уравнения (6.) на отрезке [ a

Подробнее

Теоретические вопросы

Теоретические вопросы V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Теоретические вопросы 1 Основные понятия теории дифференциальных уравнений Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка Формулировка теоремы существования и

Подробнее

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения.

4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понижение порядка уравнения Основные понятия и определения. 4 Дифференциальные уравнения высших порядков Понижение порядка уравнения 4 Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого В общем случае

Подробнее

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 14. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 4 Дифференциальные уравнения первого порядка Общие понятия Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в уравнения

Подробнее

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные

(иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные можно рассматривать как равноправные Основные типы ДУ 1. Уравнения с разделенными переменными ДУ (3) всегда можно записать в виде M (, d N(, d 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения) Удобна тем, что переменные

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x)

Решением дифференциального уравнения называется функция y y(x) Глава Обыкновенные дифференциальные уравнения Основные понятия Различные задачи техники естествознания экономики приводят к решению уравнений в которых неизвестной является функция одной или нескольких

Подробнее

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция2. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными... Однородные уравнения... 3 Линейные уравнения первого порядка.... 7 Линейные однородные дифференциальные уравнения....

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения Решение различных геометрических физических инженерных и финансовых задач часто приводят к уравнениям которые связывают независимые переменные характеризующие ту

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тамбовский государственный технический университет»

Подробнее

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка

Уравнения с частными производными первого порядка и классификация линейных уравнений второго порядка Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика В В Горбацевич К Ю Осипенко Уравнения с частными

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах

Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли. Уравнение в полных дифференциалах ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1 Линейные уравнения первого порядка, уравнение Бернулли Уравнение в полных дифференциалах Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение + p( = q( Если

Подробнее

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА. Бабичева Т.А. Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ГАОУ ВПО ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА Бабичева ТА Кафедра высшей математики УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Махачкала УДК 5(75) ББК я 7 Учебное пособие

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова,

А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Министерство образования и науки Российской Федерации РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина Кафедра «Высшая математика» А. Н. Филиппов, Т. С. Филиппова, Методические указания к выполнению типового расчета

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Лекция 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Лекция 1 Дифференциальные уравнения первого порядка 1 Понятие дифференциального уравнения и его решения Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется выражение вида F( x, y, y ) 0, где

Подробнее

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Основные понятия теории дифференциальных уравнений n Опр Дифференциальным уравнением F,,,, называется уравненние, содержащее независимую переменную х, функцию ух

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ДУ) ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ДУ допускающие понижение ДУ линейные однородные (ДУЛО) ДУ линейные неоднородные (ДУЛН) ДУ линейные однородные

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Московский государственный технический университет им Н Э Баумана Соболев СК Дифференциальные уравнения Методические указания к решению задач Москва МГТУ им Баумана 008 СК Соболев Дифференциальные уравнения

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски.

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Лекционные наброски. Содержание Конев В.В. 1. Рабочая программа (выписка) 2 2. Введение 3 3. Основные понятия 3 3.1. Начальные условия 5 3.2. Составление дифференциальных

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Глава 2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Глава Дифференциальные уравнения -го порядка Основные понятия Определение Дифференциальное уравнение вида ( n) F, ( ),,, 0 () называют обыкновенным дифференциальным уравнением Оно содержит известную функцию

Подробнее

Конспект лекций по математике-3

Конспект лекций по математике-3 КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики и механики им. Н.И. Лобачевского А.С.Шкуро Конспект лекций по математике-3 для студентов Химического института Учебное пособие Казань

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 16 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 16 Геометрическая

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Л. Н. Феофанова ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: СТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ОСНОВНЫМИ ПОЛОЖЕНИЯМИ ТЕОРИИ Учебное пособие

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» В Ы С Ш А Я М А Т Е М А Т И К А Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика»

1 Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями. кафедры «Высшая математика» Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» разработан преподавателями кафедры «Высшая математика» Руководство к решению типового расчета выполнила преподаватель Тимофеева ЕГ Определение: Уравнение

Подробнее

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

I. Дифференциальные уравнения 1-го порядка Пособие предназначено для студентов - курсов МАТИ-РГТУ, изучающих в рамках курса высшей математики тему «Дифференциальные уравнения». В нем рассматриваются основные приемы решения обыкновенных дифференциальных

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики (МИРЭА) кафедра высшей

Подробнее

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения

ГЛАВА 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Основные определения ГЛАВА 4 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Основные определения Для описания некоторых процессов и явлений нередко требуется несколько функций Отыскание этих функций

Подробнее

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1

Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант 19 Часть 1 Дифференциальные уравнения Решение контрольных на wwwmatburoru Дифференциальные уравнения Контрольная работа Вариант Часть Задание Построить интегральные кривые при помощи изоклин ( d ( d 0 Решение d d

Подробнее

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный

5. Степенные ряды Степенные ряды: определение, область сходимости. Функциональный 5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида ( a + a ) + a ( ) + K + a ( ) + K a ) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» П А Вельмисов

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли. Методические указания для практических занятий Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им.

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЕСТЕСТВЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математики ЛГЛелевкина ТАШемякина Обыкновенные дифференциальные уравнения Учебное пособие по математическому анализу

Подробнее

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 41 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ

Подробнее

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения Глава 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких

Подробнее