Системы однородных линейных уравнений

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Системы однородных линейных уравнений"

Транскрипт

1 Системы однородных линейных уравнений А И Буфетов, Н Б Гончарук, Ю С Ильяшенко 10 февраля 2015 г В этом параграфе мы займёмся самым простым типом многомерных дифференциальных уравнений линейными уравнениями Пусть A: R Mat(n n, R) непрерывное отображение Другими словами, для любого значения t определена матрица A(t) = (a ij (t)) 0 i,j n размера n n с вещественными коэффициентами, и все её коэффициенты непрерывные функции времени Определение 1 Уравнение вида x = A(t) x (1) где x(t) R n (другими словами, система n уравнений ẋ i = a ij (t)x j ) с начальными условиями называется системой n линейных однородных уравнений x(t 0 ) = x 0 (2) Ниже (см 2) мы докажем теорему о существовании и единственности решения такого уравнения: Теорема 2 Если матрица A(t) непрерывно зависит от t, то уравнение (1) с начальным условием (2) имеет единственное решение, и это решение определено при всех значениях t R В этом параграфе мы будем пользоваться ей без доказательства Мы научимся решать линейные уравнения, которые получаются из линейных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами Напомним (см раздел 162), что уравнение порядка n вида x (n) + a n 1 x (n 1) + + a 0 x = 0, (3) x(0) = x 0, x (1) (0) = x 1,, x (n 1) (0) = x n 1, (4) можно свести к системе n обыкновенных дифференциальных уравнений, введя переменные x i (t) = x (i) (t) Эта система будет иметь вид ẋ = Ax, где матрица A постоянна: A = (5) a 0 a 1 a 2 a n 1 В общем случае для решений уравнения (1) невозможно выписать формулу, даже содержащую интегралы Для постоянных матриц A такие формулы существуют В этом параграфе мы решим линейное уравнение с матрицей (5), то есть научимся решать уравнения (3) 1 Понятие фундаментальной системы решений Заметим, что сумма решений уравнения (1) тоже является его решением Поэтому решения этого уравнения образуют векторное пространство В разделе 191 мы показали, что решения линейного одномерного уравнения образуют одномерное векторное пространство Оказывается, решения n-мерного линейного уравнения образуют n-мерное векторное протранство Базис этого пространства линейно независимая система решений Дадим определение линейно независимой системы функций: 1

2 Определение 3 Функции ϕ 1 (t), ϕ 2 (t),, ϕ n (t) линейно независимы (над R), если никакая их нетривиальная линейная комбинация не равна нулю Более формально, если α 1 ϕ 1 (t) + + α n ϕ n (t) 0 для вещественных чисел α 1,, α n, то α 1 = = α n = 0 n Следующее предложение обобщает результаты раздела 191 на случай уравнений размерности Предложение 4 Если ϕ 1 (t), ϕ 2 (t),, ϕ n (t) линейно независимые (над R) решения уравнения (1), то произвольное решение уравнения (1) имеет вид β 1 ϕ 1 (t) + + β n ϕ n (t), β 1,, β n R; другими словами, функции ϕ 1 (t), ϕ 2 (t),, ϕ n (t) образуют базис в пространстве решений уравнения (1) Доказательство Докажем следующую лемму: Лемма 5 Пусть ψ 1,, ψ l решения уравнения (1) с начальными условиями v i = ψ i (0) Тогда равенства α 1 ψ α l ψ l = 0 и выполнены или не выполнены одновременно α 1 v α l v l = 0 Доказательство леммы Из первого равенства очевидным образом следует второе Наоборот, пусть выполнено второе равенство Тогда функция α 1 ψ α l ψ l является решением уравнения (1) (так как уравнение линейно), и у неё нулевые начальные условия Значит, в силу теоремы 2 она совпадает с нулевым решением уравнения (1) Тем самым, α 1 ψ α l ψ l = 0 Пусть w i = ϕ i (0) векторы начальных условий для решений ϕ i Так как функции ϕ i линейно независимы, то по лемме 5 векторы w i тоже линейно независимы Значит, они образуют базис в R n Пусть теперь ϕ решение уравнения (1), v его начальное условие Разложим вектор v по базису ( w i ): v = α 1 w α n w n Из этого равенства, по лемме 5, сразу следует, что ϕ = α 1 ϕ α n ϕ n Определение 6 Система из n независимых решений уравнения (1) называется фундаментальной системой решений (ФСР) Упражнение 1 Проверьте, что функции e t, e t образуют ФСР уравнения ẍ = x Из предложения 4 видно, что для того, чтобы решить линейное уравнение, достаточно найти его ФСР Оставшаяся часть этого параграфа посвящена поиску ФСР уравнения (3) 2 ФСР для линейных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами Мы будем искать фундаментальные решения уравнения (3) в виде x(t) = e λt Прежде всего, мы выясним, при каком условии функция e λt удовлетворяет уравнению (3) Пусть p := d dt отображение пространства функций в себя, которое каждой функции ставит в соответствие её производную: pf = f = f Пусть p n это отображение p, применённое n раз: p n f = f (n) Для любого многочлена M(z) = m n z n +m n 1 z n 1 + +m 0 с вещественными коэффициентами положим M(p) := m n p n + m n 1 p n m 0, тогда M(p) тоже отображение в пространстве функций Заметим, что уравнение (3) можно записать в виде L(p)x(t) = 0, где L(x) = z n +a n 1 z n 1 + +a 0 2

3 Определение 7 Многочлен L(z) = z n + a n 1 z n a 0 называется характеристическим многочленом уравнения (3) Выясним, как оператор M(p) действует на экспоненту e λt Лемма 8 Для любого многочлена M выполнено M(p)e λt = M(λ)e λt Доказательство Пусть M(x) = m n x n + + m 0 Тогда M(p)e λt = n m k p k e λt = k=0 n m k (e λt ) (k) = k=0 n m k λ k e λt = M(λ)e λt k=0 В частности, если λ корень характеристического многочлена L(x), то L(p)e λt = 0 Но условие L(p)x(t) = 0 это и есть уравнение (3)! Значит, функция x(t) = e λt является решением уравнения (3) Это соображение позволяет найти ФСР в случае, когда характеристический многочлен L(z) имеет n различных вещественных корней λ 1, λ 2,, λ n Предложение 9 Пусть характеристический многочлен L(z) имеет n различных вещественных корней λ 1, λ 2,, λ n Тогда система решений e λ1t, e λ2t,, e λnt будет ФСР для уравнения (3) Доказательство Из предыдущей леммы следует, что функции e λit будут решениями уравнения (3) Осталось проверить, что они линейно независимы Лемма 10 Если числа λ 1,, λ n R различны, то функции e λ1t,, e λnt линейно независимы над R Доказательство леммы Утверждение докажем индукцией по n База n = 1 очевидна Пусть утверждение верно для любого набора из n 1 различных чисел λ 1 λ n 1 Пусть Продифференцируем это равенство: α 1 e λ1t + + α n e λnt 0 (6) α 1 λ 1 e λ1t + + α n λ n e λnt 0 Домножим первое тождество на λ 1 и вычтем его из второго: n α k (λ k λ 1 )e λkt 0 k=2 В силу предположения индукции, α 2 = α 3 = = α n = 0 Тогда из равенства (6) следует, что α 1 = 0 Итак, из равенства (6) следует, что все числа α i нулевые Значит, функции e λ1t,, e λnt линейно независимы над R Тем самым, доказано и предложение 9 На самом деле, функции e λ1t,, e λnt линейно независимы над R и в том случае, когда какието из чисел λ i комплексные Чтобы работать с комплексно-значными функциями, нам понадобится следующее определение Определение 11 Пусть f : R C комплексно-значная функция Производной функции f называется функция f f(t + h) f(h) (t) = lim h 0 h (если такой предел существует) 3

4 Упражнение 2 Докажите, что f (t) = d dt Re f + i d dt Im f Упражнение 3 Докажите, что d dt eλt = λe λt, λ C Это определение позволяет разобраться со случаем, когда характеристический многочлен L(z) имеет n различных комплексных корней Доказательство предложения 9 повторяется дословно: функции e λt удовлетворяют дифференциальному уравнению (3), если производные считать в смысле определения 11, и оказываются линейно независимыми над C (определение линейной независимости функций над C полностью аналогично определению 3) Но нас интересуют вещественные ФСР, поэтому система решений e λt нам не подходит Заметим, что многочлен L(z) имеет вещественные коэффициенты Значит, если L(λ) = 0, то L( λ) = L(λ) = 0 Поэтому все невещественные корни многочлена L разбиваются на пары сопряжённых То есть его корни имеют следующий вид: λ 1, λ 1, λ 2, λ 2, λ r, λ r, λ 2r+1, λ 2r+2, λ 2r+3,, λ n, где λ k R для k 2r + 1 Мы уже знаем, что функции e λ1t, e λ1t,, e λrt, e λrt, e λ2r+1t,, e λnt являются линейно независимыми (над C) решениями уравнения (3) Предложение 12 Пусть характеристический многочлен уравнения (3) имеет корни λ 1, λ 1, λ 2, λ 2, λ r, λ r, λ 2r+1, λ 2r+2, λ 2r+3,, λ n Положим λ k =: µ k + iν k, k = 1,, r Тогда функции e µ1t cos ν 1 t, e µ1t sin ν 1 t,, e µrt cos ν 1 t, e µrt sin ν 1 t, e λ2r+1t,, e λnt (7) образуют ФСР уравнения (3) над R Доказательство Действительно, e µ lt cos ν l t = 1 2 (eλ lt + e λ l t ), e µ lt sin ν l t = 1 2i (eλ lt e λ l t ); поэтому система из n функций (7) отличается от системы функций e λit переходом к невырожденной линейной комбинации Значит, система (7) линейно независима С другой стороны, уравнение (3) линейно и однородно, то есть линейная комбинация решений этого уравнения тоже является решением Значит, система (7) это система линейно независимых решений уравнения (3), то есть его ФСР Мы полностью рассмотрели случай, когда характеристический многочлен не имеет кратных корней Но если у него есть кратные корни, система e λit уже не является ФСР, так как в наборе e λit нет n различных функций Наводящее соображение Грубо говоря, корень кратности 2 это два совпавших корня кратности 1 Когда эти корни еще не совпали, но очень близки, им соответствуют решения e λ1t и e λ2t Разность этих решений тоже является решением уравнения (3) Правда, эта разность стремится к нулю Поделим её на λ 1 λ 2 У выражения eλ 2 t e λ 1 t λ 2 λ 1 уже есть ненулевой предел: он равен e λ2t e λ1t lim = te λ1t λ 2 λ 1 λ 2 λ 1 Поэтому естественно ожидать, что для кратного корня λ решением уравнения будет функция te λt Пример 13 Возьмём уравнение ẍ = 0 У его характеристического многочлена z 2 есть кратный корень 0 Решением уравнения является, кроме функции φ 1 (t) = e 0 t 1, функция φ 2 (t) = te 0 t = t В общем случае этот факт можно проверить с помощью формулы смещения, который позволяет легко вычислять производные от выражений вида t k e λt Лемма 14 (Формула смещения) Для любого многочлена M выполнено равенство M(p) ( f(t)e λt) = e λt M(p + λ)f(t) 4

5 Доказательство Утверждение мы докажем индукцией по степени многочлена Проверим базу deg M = 1: если M(x) = ax + b, то M(p) ( f(t)e λt) = bf(t)e λt + aλf(t)e λt + af (t)e λt = e λt (bf(t) + a(p + λ)f(t)), что и требовалось Пусть для многочленов степени не выше n 1 утверждение верно, и deg M = n Разделим многочлен M(x) на x с остатком: M(x) = xm 1 (x) + c Тогда M(p) ( f(t)e λt) = cf(t)e λt + pm 1 (p) ( f(t)e λt) В силу предположения индукции, M 1 (p) ( f(t)e λt) = e λt M 1 (p + λ)f(t), поэтому M(p) ( f(t)e λt) = cf(t)e λt + p ( e λt M 1 (p + λ)f(t) ) = cf(t)e λt + Мы воспользовались утверждением базы индукции для M(x) = x + e λt (p + λ) (M 1 (p + λ)f(t)) = e λt M(p + λ)f(t) Следующее предложение позволяет найти k решений уравнения (3), соответствующих корню характеристического многочлена кратности k Предложение 15 Пусть λ корень характеристического многочлена, имеющий кратность k Тогда функции e λt, te λt,, t k 1 e λt являются решениями уравнения (3) Доказательство Так как λ корень кратности k, то L(z) = (z λ) k M(z) для некоторого многочлена M Применим формулу смещения Для r k 1 L(p)(t r e λt ) = e λt M(p + λ)p k (t r ) = 0, так как p k (t r ) = (t r ) (k) = 0 Это и значит, что функция t r e λt удовлетворяет дифференциальному уравнению (3) Следующее предложение позволяет находить фундаментальную систему решений для любого уравнения (3) Предложение 16 Пусть характеристический многочлен уравнения (3) имеет корни λ 1, λ 1 кратности k 1, корни λ 2, λ 2 кратности k 2,, вещественные корни λ r, λ r+1, λ s кратностей k r,, k s Тогда функции образуют ФСР для уравнения (3) t k cos(im λ m )e (Re λm)t, k < k m, m < r, (8) t k sin(im λ m )e (Re λm)t, k < k m, m < r, (9) t k e λmt, k < k m, m r (10) Доказательство Заметим, что суммарное количество этих функций равно 2k 1 + 2k k r 1 + k r + + k s = n, так как характеристический многочлен имеет n корней с учётом кратности Все эти функции являются решениями уравнения в силу предыдущего предложения Осталось доказать, что они линейно независимы Это делается так же, как и для случая различных корней Достаточно доказать линейную независимость системы функций t k e λmt, k < k m, так как функции (8) и (9) получаются из функций t k e λmt и t k e λ mt с помощью невырожденной линейной комбинации 5

6 Лемма 17 Для любых попарно различных комплексных чисел λ i система функций e λ1t, te λ1t,, t k1 e λ1t ; e λ2t, te λ2t,, t k2 e λ2t ; e λnt, te λnt,, t kn e λnt (11) линейно независима над C Доказательство леммы Утверждение докажем индукцией по сумме k 1 + k k n Если эта сумма равна нулю, k i = 0, утверждение сводится к утверждению леммы 10 База проверена Осуществим переход индукции Пусть α m,kt 1 m n, 0 k k m k e λmt 0 Продифференцируем это выражение: αm,k kt k 1 e λmt + α m,k λ m t k e λmt 0, и вычтем первое равенство, домноженное на λ s При этом слагаемые, содержащие t k e λst, сократятся Значит, выражение t ks e λst больше не будет встречаться в линейной комбинации, и мы сможем применить предположение индукции Тем самым, доказано и предложение 16 Линейные неоднородные уравнения Линейным неоднородным уравнением называется уравнение вида y (n) + a 1 y (n 1) + + a n y = f(x), (12) где a 1,, a n вещественны; другими словами, это уравнение L(p)y = f(x) для вещественного многочлена L(z) = z n + a 1 z n a n Как и для одномерных линейных уравнений, чтобы найти все решения уравнения (12), нужно найти одно частное решение этого уравнения и прибавить к нему всевозможные решения соответствующего однородного уравнения Поэтому нам достаточно научиться находить одно решение неоднородного уравнения (12) 3 Решение линейных уравнений в пространстве квазиполиномов В этом разделе мы научимся находить частное решение уравнения (12) в случае, когда функция f(x) линейная комбинация экспонент, умноженных на многочлены Оказывается, в этом случае решение тоже можно подбирать в виде линейной комбинации такого же вида Дадим более формальное определение Определение 18 Квазиполиномом степени m с показателем µ C над R называется выражение вида g = (p 0 + p 1 x + + p m x m )e Re µx cos(im µx) + (q 0 + q 1 x + + q m x m )e Re µx sin(im µx) Квазиполиномом степени m с показателем µ C над C называется выражение вида g = (r 0 + r 1 x + + r m x m )e µx Сначала мы научимся находить квазиполином y над C, удовлетворяющий уравнению L(p)y = f, где f(x) квазиполином над C Потом мы научимся переходить к квазиполиномам над R 6

7 Определение 19 Пространство квазиполиномов степени не выше m с показателем µ над C это пространство, порождённое функциями xm m! e µx : K µ m(c) = e µx ; x 1! e µx ; x 2 2! e µx ; ; x m m! e µx Этот базис мы и будем считать стандартным базисом пространства квазиполиномов Выясним, каким образом в пространстве K µ m(c) действует оператор p = d dx : d ( r 0 + r 1 x + + r m dx m! xm) e µx x = (r m 1 ) 1 + r 2 x + + r m (m 1)! e µx + Итак, в стандартном базисе пространства квазиполиномов оператор p имеет вид µ µ 1 0 p = µ + µ ( r 0 + r 1 x + + r m m! xm) e µx (13) То есть p = (σ + µe), где σ := Лемма 20 (о нерезонансном случае) Пусть характеристический многочлен имеет корни λ i кратностей k i, то есть L(p) = (p λ 1 ) k1 (p λ s ) ks Пусть квазиполином f(x) K µ m(c) имеет степень ровно m, причем µ не является корнем характеристического многочлена L(x): для j = 1,, s выполнено µ λ j Тогда существует единственный квазиполином y K µ m(c), удовлетворяющий уравнению (12), причем он имеет степень ровно m Доказательство Так как p = (σ + µe), то L(p)y = (σ + (µ λ 1 )E) k1 (σ + (µ λ s )E) ks y, поэтому в стандартном базисе пространства K µ m(c) матрица отображения L(p) имеет вид µ λ µ λ µ λ 1 k 1 µ λ s µ λ s µ λ s Эта матрица невырожденна (здесь мы используем условие µ λ j ), поэтому уравнение L(p)y = f имеет единственное решение Если f = (f 1,, f m ) t, а решение системы имеет вид r = (r 1,, r m ) t, то по последнему уравнению этой системы r m = поэтому квазиполином y имеет степень ровно m f m 0, (µ λ 1 ) k1 ks (µ λ s ) k s 7

8 Случай, когда µ является корнем характеристического многочлена, называется резонансным (поэтому предыдущую лемму мы назвали леммой о нерезонансном случае) Чтобы пояснить это название, рассмотрим такой пример Пример 21 Рассмотрим уравнение ẍ + x = sin ωt = 1 2i (eiωt e iωt ) Это уравнение описывает физический маятник, к которому прикладывают периодически изменяющуюся внешнюю силу F = sin ωt Характеристический многочлен уравнения имеет вид L(z) = z 2 + 1, его корни равны ±i Поэтому нерезонансный случай это случай ω 1 Найдем решение такого уравнения, применяя предыдущую лемму: x(t) = sin ωt 1 ω 2 1 Значит, маятник колеблется с постоянной амплитудой 1 ω, а период колебаний такой же, как 2 и у внешней силы При подходе к резонансу ω = ±1 амплитуда растет Если же ω = ±1 (резонансный случай), то легко проверить, что решением будет функция x(t) = t 2 cos t При t амплитуда таких колебаний стремится к бесконечности Итак, при подходе к резонансу амплитуда колебаний возрастает Это соответствует понятию резонанса, принятому в физике В механике говорят, что механическая система вошла в резонанс, если в ответ на периодическое внешнее воздействие с правильно подобранной частотой (такой, которая близка к собственной частоте системы) система начинает колебаться с большой амплитудой Как же решать уравнение в резонансном случае, когда µ является одним из корней характеристического многочлена? Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема Теорема 22 (о резонансном случае) Пусть f K µ m(c), k кратность числа µ как корня характеристического многочлена уравнения (12) (если µ не корень, то мы считаем k = 0) Тогда существует единственный квазиполином g K µ m(c), для которого функция y ч = x k g(x) является решением уравнения (12) Доказательство В случае k = 0 утверждение теоремы следует из леммы 20 Пусть k > 0 Без ограничения общности можно считать, что µ = λ s, тогда k = k s В пространстве K µ m+k s (C) имеем: L(p) = (σ + (µ λ 1 )E) k1 (σ + (µ λ s 1 )E) ks 1 σ ks =: L 1 (p) σ ks В пространстве K µ m(c), в силу предыдущей леммы, существует единственная функция g, для которой L 1 (p)g = f и deg g = m Таким образом, осталось решить уравнение σ ks y ч = g, где y ч K µ m+k s (C), g K m(c) µ Общим решением такого уравнения является вектор y = (c 1,, c ks, g 0,, g m ) t для любых c 1,, c ks, то есть квазиполином x y = (c ks 1 ) 1 + c 2 x + + c ks (k s 1)! + g x ks 0 k s! + + g x m+ks m e µx (m + k s )! Чтобы этот квазиполином удовлетворял условию теоремы (то есть имел вид x ks g, g K µ m(c)), достаточно взять c 1 = c 2 = = c ks = 0 Итак, мы научились находить комплексный квазиполином, удовлетворяющий уравнению (12) А если нам нужно найти вещественное решение уравнения L(p)y = f, где f квазиполином над R? Для этого возьмём квазиполином F над C, для которого Re F = f С помощью предыдущей теоремы найдем квазиполином Y над C, для которого L(p)Y = F Тогда y = Re Y это квазиполином над R, и для него выполнено равенство L(p)y = L(p)(Re Y ) = Re F = f, что и требовалось Нам осталось доказать следующее предложение: 8

9 Предложение 23 Пусть g квазиполином степени m с показателем µ над R Тогда существует квазиполином G степени m с показателем µ над C, для которого g = Re G Доказательство Напомним, что sin α = 1 2i (eiα e iα ), cos α = 1 2 (eiα + e iα ) Подставив эти выражения в формулу для g, получим (( p0 g = 2 + q ) ( 0 pm + + 2i 2 + q ) m x m) (( e µx p0 + 2i 2 q ) ( 0 pm + + 2i 2 q ) m x m) e µx 2i Положим r 0 = p 0 + q 0 i,, r m = p m + q m i ; тогда для квазиполинома G с коэффициентами r 0,, r m будет выполнено равенство g = 1 2 G + 1 2Ḡ = Re G 4 Метод вариации постоянных В общем случае, когда f(x) не является квазиполиномом, частное решение можно искать с помощью метода вариации постоянных (в разделе 193 мы обсуждали его одномерный вариант) Это означает, что решение мы ищем в виде линейной комбинации фундаментальной системы решений уравнения L(p)y = 0 с непостоянными коэффициентами: y ч = c 1 (x)y 1 (x) + + c n (x)y n (x) Теорема 24 Рассмотрим уравнение y (n) + a 1 (x)y (n 1) + + a n (x)y = f(x), (14) где a i, f C(I) Пусть y 1,, y n ФСР для соответствующего однородного уравнения Пусть функции c 1,, c n удовлетворяют системе уравнений y 1 y dc 1 n 0 y 1 y n dx y (n 1) 1 y n (n 1) dc n dx = Тогда y ч = c 1 (x)y 1 (x) + + c n (x)y n (x) решение уравнения (14) 0 f(x) Доказательство Пусть y i это векторы (y i, y (1) i,, y (n 1) i ), и y ч = (y ч, y ч (1),, y ч (n 1) ) Тогда уравнение (14) можно записать в виде d dx y ч = A(x) y ч + F (x), где A(x) = a n (x) a 1 (x) и F (x) = (0, 0,, f(x)) t Заметим, что d y ч dx = c d y 1 1 dx + + c d y n n dx + dc 1 dx y dc n dx y n; так как функции y i удовлетворяют уравнению d dx y = A(x) y, а функции c i системе (15), получаем (15) что и требовалось d y ч dx = A(x)(c 1 y c n y n ) + F (x), 9

10 Докажем, что система (15) всегда имеет решение Достаточно доказать, что столбцы матрицы этой системы линейно независимы при каждом значении t Для t = 0 это следует из леммы 5 и того факта, что функции y i линейно независимы Для других значений t это утверждение доказывается аналогичным образом Определение 25 Определитель матрицы y 1 y n y 1 y n y (n 1) 1 y n (n 1) называется определителем Вронского для системы функций y i 10


Линейные системы со специальной правой частью

Линейные системы со специальной правой частью Линейные системы со специальной правой частью А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В этой лекции мы рассмотрим неоднородные линейные уравнения, однородная часть которых автономна.

Подробнее

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. 1. Приведение к одному уравнению n -го порядка СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Подробнее

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка Глава 3 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Лекция 6 В этой главе рассматриваются дифференциальные уравнения вида ( ) Ly y a y a y f + + + = () при условии что все функции a = а также f ( )

Подробнее

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

21. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами По условию теоремы L [ ] B ( m Тогда в силу линейности оператора L имеем: m m m L L ] B [ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Собственные значения и собственные векторы

Подробнее

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных

1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Подробнее

Линейные неавтономные системы

Линейные неавтономные системы Линейные неавтономные системы А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В предыдущих лекциях исследовались линейные автономные системы. Они допускают точные решения, которые выражаются

Подробнее

Глава 4. Системы линейных уравнений

Глава 4. Системы линейных уравнений Глава 4 Системы линейных уравнений Лекция 7 Общие свойства Определение Нормальной системой (НС) линейных дифференциальных уравнений называется система вида x A () x + F () () где A( ) квадратная матрица

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

Подробнее

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия.

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. 1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Подробнее

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E)

X = O. В этом случае любое решение системы ( A λ E) В заключение этого пункта заметим что говорят также о собственных векторах матрицы порядка имея при этом ввиду собственные векторы оператора -мерного пространства имеющего своей матрицей в некотором базисе

Подробнее

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

5. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 5 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Рассмотрим линейное уравнение ( ) ( ) ( ) L[ ] p p p p f () () коэффициенты которого p p p постоянные вещественные числа а правая часть f ()

Подробнее

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности.

удовлетворяются условия теоремы суще6ствования и единственности. Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Дифференциальные уравнения (лекция 10)

Дифференциальные уравнения (лекция 10) Дифференциальные уравнения лекция 0 Линейные неоднородные уравнения высших порядков Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 6. Линейные неоднородные уравнения -го порядка. Метод вариации произвольных постоянных

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 23 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы

Подробнее

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4

Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы в линейном пространстве Лекция 1.4 Аннотация Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства.

Подробнее

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ГЛАВА III. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГЛАВА III СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 7 Задачи приводящие к понятию систем дифференциальных уравнений Рассмотрим систему уравнений m m m F m m m F 7 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L m m m F где независимая

Подробнее

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия.

1.Дифференциальные уравнения высших порядков, общие понятия. ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

Подробнее

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений

Лекция 18. Системы дифференциальных уравнений Лекция 8 Системы дифференциальных уравнений Общие понятия Системой обыкновенных дифференциальных уравнений -порядка называется совокупность уравнений F y y y y ( F y y y y ( F y y y y ( Частным случаем

Подробнее

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая.

sin 2x. систему решений и, следовательно, общее решение системы имеет вид + 1. Возможны два случая. sin cos R Z cos ImZ cos sin sin Найденные таким образом решения образуют фундаментальную систему решений и следовательно общее решение системы имеет вид или подробнее sin cos cos sin cos cos cos sin sin

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 18-19 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 18-19 Линейные

Подробнее

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется:

Лекция 2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка (ДУ-2). Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка (ДУ-) Общий вид дифференциального уравнения порядка n запишется: ( n) F,,,,, = 0 ( ) Уравнение -го порядка ( n = ) примет вид F(,,, ) = 0 Подобные уравнения

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 43 Аннотация Нормальные системы ДУ Задача и теорема Коши Частные и общее решения Системы линейных ДУ первого

Подробнее

3 Линейные уравнения в C n

3 Линейные уравнения в C n 145 3 Линейные уравнения в C n Определение экспоненты и результаты, полученные в разделах 1 «Экспонента линейного оператора» и 2 «Экспонента и фазовый поток», можно перенести на случай уравнений в C n.

Подробнее

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется

2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Основные определения. Нормальная система (2) дифференциальных уравнений называется СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной если функции f f K f линейны относительно неизвестных функций Из этого

Подробнее

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

Подробнее

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1)

x 1 = a 11 (t)x 1 + a 12 (t)x a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21 (t)x 1 + a 22 (t)x a 2n (t)x n + b 2 (t) (1) ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ «Линейная алгебра, системы ДУ с устойчивостью» 2 курс, 2 семестр Лекторы: Мельников Ю.Б., Мельникова Н.В. Оглавление 1. Системы линейных дифференциальных уравнений 4 1.1. Определения................................

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекции 20-21 кафедра «Математическое моделирование» проф. П. Л. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекции 20-21 Линейные

Подробнее

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: НЕМНОГО ТЕОРИИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. Балакина Е.Ю. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Подробнее

1 Экспонента линейного оператора.

1 Экспонента линейного оператора. 134 1. ЭКСПОНЕНТА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. 1 Экспонента линейного оператора. 1.1 Напоминание: геометрическая формулировка основной задачи ОДУ. Напомним, что векторное поле это отображение, которое каждой точке

Подробнее

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.

Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора. Материалы к установочной лекции Вопрос 9. Матричное представление линейных операторов. Диагонализуемость матрицы линейного оператора.. Матричное представление линейных операторов Будем обозначатьчерез

Подробнее

2 Экспонента и фазовый поток

2 Экспонента и фазовый поток 140 2. ЭКСПОНЕНТА И ФАЗОВЫЙ ПОТОК 2 Экспонента и фазовый поток 2.1 Абстрактный фазовый поток. В разделе 8 главы 1, «Фазовые потоки», мы определили фазовый поток векторного поля. Здесь мы дадим определение

Подробнее

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Лекция 7 В. Н. Задорожный, В. Ф. Зальмеж, А. Ю. Трифонов, А. В. Шаповалов Курс: Дифференциальные уравнения Семестр 3, 2009 год portal.tpu.ru Линейным дифференциальным

Подробнее

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно функции y и её производных y..., y (n) т. е. имеет вид a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a ny = f (x), где

Подробнее

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами.

12. Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Лекция 7 2 Уравнения Фредгольма 2го рода с вырожденными ядрами Этот случай отличается тем, что решение интегрального уравнения сводится к решению линейной алгебраической системы и может быть легко получено

Подробнее

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Цель: Изучение линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 1. Рассмотреть линейные дифференциальные уравнения высших порядков. ЛЕКЦИЯ 3 Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные неоднородные и однородные дифференциальные уравнения второго порядка Интегрирование ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Подробнее

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МИРЭА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЛАВА 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Работа посвящена моделированию динамических систем с использованием элементов

Подробнее

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения

Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения Тема 2-11: Собственные векторы и собственные значения А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия

Подробнее

Линейная алгебра. Лекция 1.4

Линейная алгебра. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Линейная алгебра Модуль 1. Линейные и евклидовы пространства. Линейные операторы

Подробнее

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка

1 Дифференциальные уравнения 1 порядка 1 Дифференциальные уравнения 1 порядка Дифференциальным уравнением (ДУ) 1 порядка, разрешённым относительно производной, называется уравнение d dx = F (x, ), где = (x) искомая функция; функция F задана

Подробнее

Предварительные сведения теории разностных схем

Предварительные сведения теории разностных схем Предварительные сведения теории разностных схем 1 Формулы суммирования по частям и разностные формулы Грина для сеточных функций Получим ряд соотношений, которые в дальнейшем будем использовать при исследовании

Подробнее

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24

Интегралы и дифференциальные уравнения. Лекция 24 кафедра «Математическое моделирование» проф П Л Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов -го курса -го семестра специальностей РЛ,,3,6, БМТ, Лекция 4 Однородные системы

Подробнее

Умножим (2.1) на λ k и вычтем из (2.2):

Умножим (2.1) на λ k и вычтем из (2.2): Билет 1.1. Инвариантные подпространства. Индуцированный оператор Определение 1.1 Линейное подпространство L V линейного пространства называется инвариантным относительно оператора A, если x L Ax L. Теорема

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

Тема : Общая теория систем линейных уравнений

Тема : Общая теория систем линейных уравнений Тема : Общая теория систем линейных уравнений А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для

Подробнее

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНО- ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Гл. 11. Дифференциальные уравнения.

Гл. 11. Дифференциальные уравнения. Гл.. Дифференциальные уравнения.. Дифференциальные уравнения. Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков

Подробнее

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Интегралы и дифференциальные уравнения Раздел "Дифференциальные уравнения".

Подробнее

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР)

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ. КОНСПЕКТ ЧАСТИ КУРСА АЛГЕБРЫ (ФКТИ, 3-Й СЕМЕСТР) А.В.СТЕПАНОВ Введение Эти заметки не заменяют курс лекций, но для сильных студентов могут

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. 1. Основные понятия ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Основные понятия Дифференциальным уравнением относительно некоторой функции называется уравнение, связывающее эту функцию с её независимыми перемпнными и с её производными.

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78. Часть I. Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 1 / 78 Часть I Конечные поля или поля Галуа. II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. II 2 / 78 Поля вычетов по модулю

Подробнее

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского -

{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - { общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан однородного линейного дифференциального уравнения

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ А. И. МАДУНЦ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛИНЕЙНЫЕ И ЭВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Подробнее

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II

ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78. Часть I. Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 1 / 78 Часть I Конечные поля (поля Галуа). II ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа). II 2 / 78 Поля вычетов по модулю простого

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы.

Раздел 2. Дифференциальные уравнения Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 4 Аннотация Однородные ЛДУ (ОЛДУ) с постоянными коэффициентами Характеристическое уравнение ОЛДУ Построение

Подробнее

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами

Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Математический анализ Раздел: дифференциальные уравнения Тема: Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами Лектор Пахомова ЕГ 0 г 4 Системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Подробнее

Лекция 2.3 Устойчивость равновесия и движения системы. При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде ( )

Лекция 2.3 Устойчивость равновесия и движения системы. При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде ( ) Лекция 3 Устойчивость равновесия и движения системы При рассмотрении установившихся движений уравнения возмущенного движения запишем в виде d dt A Y где вектор-столбец квадратная матрица постоянных коэффициентов

Подробнее

Свойства собственных векторов линейного оператора.

Свойства собственных векторов линейного оператора. Свойства собственных векторов линейного оператора. 1. Если λ 1,..., λ k (k n) различные собственные числа оператора ϕ, тогда соответствующие собственные векторы x 1,..., x k линейно независимы. Доказательство:

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений Введение Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности В

Подробнее

x k 1 Пример 18.4 (элементарные симметрические многочлены). e 1 = x x n, e 2 =

x k 1 Пример 18.4 (элементарные симметрические многочлены). e 1 = x x n, e 2 = Алгебра, первый курс, третий модуль 31 18. Восемнадцатая лекция, 9 апреля 2019 г. 18.1. Симметрические многочлены. Рассмотрим кольцо многочленов от n переменных K[x 1,...,x n ],гдеk поле нулевой характеристики.

Подробнее

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения А. И. Буфетов, Н. Б. Гончарук, Ю. С. Ильяшенко 10 февраля 2015 г. В этом параграфе мы докажем теорему, которой пользовались в

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛЕКЦИЯ 17 КРИТЕРИЙ РАУСА-ГУРВИЦА. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1. Устойчивость линейной системы Рассмотрим систему двух уравнений. Уравнения возмущенного движения имеют вид: dx 1 dt = x + ax 3 1, dx dt = x 1 + ax 3,

Подробнее

Теория полугрупп. Полугруппы линейных операторов

Теория полугрупп. Полугруппы линейных операторов Теория полугрупп Полугруппы линейных операторов Пример Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами dx ax x x Как решить эту начальную задачу или, другими словами, задачу

Подробнее

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы

Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы Тема 2-19: Билинейные и квадратичные формы А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

Алгебра в Независимом, третий семестр

Алгебра в Независимом, третий семестр Алгебра в Независимом, третий семестр Е. Ю. Смирнов 1. Первая лекция, 11 сентября 2017 г. Пусть F поле, то есть коммутативное кольцо с единицей, в котором у каждого ненулевого элемента есть обратный по

Подробнее

30. Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости. Смирнов Н.В.

30. Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости. Смирнов Н.В. 3. Задачи управления и наблюдения в линейных системах. Критерии полной управляемости и наблюдаемости Смирнов Н.В. 1. Постановка задачи. [1] Рассмотрим линейную нестационарную систему ẋ = P(t)x + Q(t)u

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ

ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ ЛЕКЦИЯ 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАЛЫХ ПОРЯД- КОВ 1 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Пусть нам дана еще одна линейная система того же размера a 11x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1, a 21x 1

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные ураннения

Обыкновенные дифференциальные ураннения Обыкновенные дифференциальные ураннения Преподаватель: Колотий Александр Дмитриевич Литература: 1 Понтрягин Лев Семенович Обыкновенные дифференциальные уравнения Петровский И Г Лекции по теории обыкновенных

Подробнее

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно.

Доказательство. Свойствo 1) вернo, т.к. сложение векторов коммутативно. ЛЕКЦИЯ 5 МЕТОД ГАУССА Мы разобрали выше два различных способа задания линейных подпространств F n 2 при помощи образующих и как множество решений системы линейных уравнений Для различных приложений нам

Подробнее

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Подробнее

23. Базис векторного пространства

23. Базис векторного пространства Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется упорядоченная

Подробнее

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. 9. Векторное пространство над полем Г л а в а 2 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 9 Векторное пространство над полем 91 Аксиоматика Пусть задано поле P, элементы которого будем называть скалярами и некоторое множество V, элементы которого будем называть

Подробнее

Системы дифференциальных уравнений. Кольцов С.Н.

Системы дифференциальных уравнений. Кольцов С.Н. Системы дифференциальных уравнений. Кольцов С.Н. www.linis.ru Основные понятия и определения. Нормальные системы Определение. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий

Подробнее

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения Обыкновенные дифференциальные уравнения Лекторы: В. А. Кондратьев, Ю. С. Ильяшенко III IV семестры, программа экзамена 2003 2004 г, варианты 2001 2009 г. 1. Программа экзамена 1.1. Первый семестр Введение.

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 5 setgray 5 setgray Лекция 3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Основные определения Рассмотрим следующую систему m уравнений относительно n неизвестных в поле K: a x + a 2 + + a nx n b, a 2 x + a 2 2 + + a2 nx

Подробнее

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство.

( x) Заметим, что мы можем отождествить линейную функцию с линейным отображением L в одномерное арифметическое пространство. 79 Линейные функции Определение и примеры линейных функций Определение Будем говорить, что на линейном пространстве L задана функция от одного вектора, если каждому вектору x L сопоставлено число ( x)

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка

Линейные дифференциальные уравнения произвольного порядка Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» А.В. Абрамян,

Подробнее

Функции Бесселя второго рода. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя

Функции Бесселя второго рода. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя Линейные и нелинейные уравнения физики Функции Бесселя второго рода. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич 4. Функции Бесселя второго

Подробнее

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация

Модуль 4. Линейные дифференциальные уравнения и системы. Лекция 4.1. Аннотация Раздел Дифференциальные уравнения Модуль 4 Линейные дифференциальные уравнения и системы Лекция 41 Аннотация Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) -го порядка, однородные и неоднородные Теорема о существовании

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

Линейные и нелинейные уравнения физики. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя первого рода

Линейные и нелинейные уравнения физики. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя первого рода Линейные и нелинейные уравнения физики Уравнение Бесселя. Функции Бесселя первого рода Старший преподаватель кафедры ВММФ Левченко Евгений Анатольевич ГЛАВА Цилиндрические функции 3. Функции Бесселя первого

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное агентство по образованию Московский государственный институт электроники и математики (технический университет) Кафедра алгебры и математической

Подробнее

11. Задача о собственных векторах

11. Задача о собственных векторах Задача о собственных векторах 59 Линейные преобразования Вновь вернёмся к линейным преобразованиям A : L L как частному случаю линейных отображений В этом случае пространства совпадают и мы в обеих пространствах

Подробнее

Тема: Линейные операторы

Тема: Линейные операторы Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Линейные операторы Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. 11. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1. Определение линейного оператора Пусть L и V линейные пространства над F (где F

Подробнее

Вариант 1. Математический факультет ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН уч.г., Вариант 2.

Вариант 1. Математический факультет ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН уч.г., Вариант 2. Вариант 1. 1. Поле комплексных чисел. Его конструкция. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Формула Муавра и формула извлечения корней n ой степени из комплексного числа.

Подробнее

В курсе линейной алгебры мы уже сталкивались с многочленами от матриц. В различных областях математики встречаются и другие, более сложные функции.

В курсе линейной алгебры мы уже сталкивались с многочленами от матриц. В различных областях математики встречаются и другие, более сложные функции. Функции от матриц Совместный бакалавриат ВШЭ-РЭШ. 2011-2012 учебный год. Общее замечание. В этом листочке мы рассматриваем матицы над полем комплексных чисел, хотя условие задач везде вещественно. Следите

Подробнее

О краевых задачах для обыкновенного дифференциального оператора с матричными коэффициентами

О краевых задачах для обыкновенного дифференциального оператора с матричными коэффициентами Український математичний вiсник Том 5 (28), 3, 293 34 О краевых задачах для обыкновенного дифференциального оператора с матричными коэффициентами Анна В Агибалова (Представлена М М Маламудом) Аннотация

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ (

Краевые задачи. ни разу, все функции комплекснозначные. , такое, что (2) верно. (0,0,0) задача имеет хоть одно решение, а именно ) ~ ( Краевые задачи L ни разу все функции комплекснозначные Определение: - задачей называют задачу найти такое что верно задача имеет хоть одно решение а именно Предложение : - линейный оператор L и - линейные

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов ВВ 1 Геометрическое строение линейных операторов 11 Введение Мы знаем, что линейное преобразование ϕ : R n R n (линейный оператор) в каноническом базисе E пространства

Подробнее

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» (СПбГМТУ) Кафедра

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЕКЦИЯ 21 СКОБКИ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ЯКОБИ-ПУАССОНА. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1. Скобки Пуассона На прошлой лекции вводилось понятие скобки Лагранжа. Это выражение было составлено из частных производных

Подробнее

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение.

B ; б) указать какой-либо ее базисный минор и соответствующие ему в) базисные строки и г) базисные столбцы. Решение. Т е м а : «Л и н е й н а я з а в и с и м о с т ь с и с т е м ы в е к т о р о в» ( т и п о в ы е п р и м е р ы с р е ш е н и я м и ) Пример. Путем приведения элементарными преобразованиями исходной матрицы

Подробнее

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 66 ГЛАВА 6 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Определение линейного пространства В гл 5 n-мерное векторное пространство было определено как упорядоченная система n чисел Для n-мерных векторов были введены операции

Подробнее

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Национальный исследовательский Нижегородский государственный

Подробнее

4 Вычисление экспоненты

4 Вычисление экспоненты 15 4 ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭКСПОНЕНТЫ 4 Вычисление экспоненты В этом параграфе мы обсудим, каким образом можно вычислять экспоненту оператора Начнем с простейшего случая 41 Случай вещественного собственного базиса

Подробнее