Практикум по геометрии

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Практикум по геометрии"

Транскрипт

1 Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная зависимость векторов Координаты векторов и их свойства См конспект лекции Краткие теоретические материалы Практические задачи, задания, упражнения Пусть ABCD параллелограмм, а O точка пересечения его диагоналей Полагая AO a и BO b, выразить через a и b векторы AB, BC, CO и BA В тетраэдре ABCD точка E лежит на ребре AB и делит отрезок AB в AE отношении Полагая a AE, b AC, c AD, выразить через a, b и EB c векторы BD, BC, CD, EDи EC Пусть ABC произвольный треугольник, а E и F середины сторон AB и BC Выразить векторы AB, BC и AC через a = AE и b = AF 4 В треугольнике ABC проведены медиана BK и средняя линия MN, параллельная АС Прямые BK и MN пересекаются в точке O Найти: а) координаты векторов CM, OB, KM, CB, NC и AN, принимая векторы OC и OM за координатные векторы e и e б) координаты тех же векторов CM, OB, KM, CB, NC и AN, принимая векторы KC и KN за координатные векторы e и e 5 Даны векторы a (, ), b,, c, 0 Определить координаты a b a 5b векторов c,, c b 4 Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы В равнобочной трапеции ABCD угол A равен Полагая AB e, AD e разложить по e и e векторы BC, BD и AC

2 Дан параллелограмм ABCD Точка M принадлежит стороне CD, причем CM : MD : точка K принадлежит отрезку AM, при этом AK : KM 5: Найти отношение BK : KD В трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC Точка M принадлежит диагонали BDBD, при этом BM : MD :, точка K принадлежит стороне AD, при этом AK : KD 5: 6 Доказать, что точки C, K и M лежат на одной прямой 4 Даны векторы a (,, ), b 0,, 4, c, 0, Определить координаты следующих векторов: ) p = a b c, ) p = a b c, ) p = a b c, 4) p a b a b c = a b c 5) p, p Тема: ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Скалярное произведение Векторное произведение Смешанное произведение См конспект лекции Краткие теоретические материалы Практические задачи, задания, упражнения В пространстве даны векторы a (, 5, ), b (, 5, ), c,,, d (0, 0, ) Вычислить их попарные скалярные произведения и по этим произведениям узнать, образуют ли они острый, прямой или тупой угол В пространстве дан четырехугольник ABCD и известны координаты векторов AB(, 6, ), BC (5,, ) и CD (, 7, ) Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны Дан треугольник ABC и известны координаты векторов AB (,, ) и BC (,, 6 ) Найти углы треугольника Таким образом, A=60, B =90, C =0 4 Найти координаты вектора c, если известно, что он образует с вектором b (0 ) угол, косинус которого равен, и его длина равна 5 5

3 5 Основание прямой призмы PQRP Q R треугольник PQR, в котором QPR =60, сторона PQ= 4, сторона PR Боковое ребро призмы равно,4 Найти косинус угла между прямыми R Q и AB, если точка A принадлежит ребру PQ, причем PA : AQ :, и точка B середина ребра PP 6 Объем параллелепипеда, построенного на векторах AB (,,), AD (0,,), AA' ( x,,) равен 0 Найти x и высоту параллелепипеда 7 Доказать, что четыре точки A,,, B 0,,, C 4,0,, D 7,,0 являются вершинами плоского четырехугольника с непараллельными сторонами Ответ: a b (, 8,7), a b 09 9 Найти смешанное произведение a b c векторов ( 0,, ) c (,5,) Ответ: -7 0 При каком значении векторы a b c, a c компланарные? Ответ: a b a b, если ( 5,,) Найти Ответ: Найти a b c, если a b, 4 Ответ: a, b (, 4,),, b c a, b (,0, ) a, b 60, c a, c b c 4 Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы В пространстве дан четырехугольник ABCD и известны координаты векторов AB(,, ), BC (,, ) и CD (,, )Доказать, что данный четырехугольник является квадратом Даны векторы a (5 ), b ( 4) Найти координаты вектора m, коллинеарного с вектором a, и такого, что скалярное произведение m b =6 В прямом параллелепипеде ABCDA B C D основанием является ромб ABCD со стороной, равной 5, и острым углом ABC, равным 60 Боковое ребро AA равно стороне основания Найти косинус угла BAE, где E точка пересечения DC и CD 4 Вычислить площадь треугольника ABC, если A,,0, B,, и C 0,,0 5 Найти объем тетраэдра ABCD, если A,5,, B 0,,0, C,,4, D,5, 6 Доказать, что четыре точки A,,, B,,5, C 0,,, D,,0 лежат в одной плоскости

4 7 Найти a b и a b, если a (4,0, ), b (,,) a, b (,,), c (,,0 ) Найти c ab a b a b 8 Даны векторы (,, ) 9 Найти длину векторного произведения a (,, ), b ( 5, 4, ) 0 Найти смешанное произведение OAOBOC AOB 45, OAB Тема: OC пл Продолжительность часа, если ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ, если Основные задачи метода координат Вопросы, выносимые на обсуждение OA, OB 5, OC, Аффинная и прямоугольная декартова системы координат Деление отрезка в данном отношении Расстояние между точками Вычисление объема тетраэдра и площади треугольника См конспект лекции Краткие теоретические материалы Практические задачи, задания, упражнения Построить точки M (, 4, ), A (,, ) B( 4) C( ) D( 0 4), если заданы их координаты в аффинной системе координат Oee e : На оси Oy найти точку, равноудаленную от точек A (, 0, ) и B(, 4, ) Доказать, что треугольник с вершинами A( 6), B( 7, ) и C( ) прямоугольный 4 На оси Ox найти точку, отстоящую от точки A( 4 8) на расстоянии, равном 5 Даны две вершины A( 9), B( ) параллелограмма ABCD и точка пересечения его диагоналей E(4 7) Найти две другие вершины и длины сторон этого параллелограмма 6 Даны две вершины треугольника A( 4 ), B( 5 6) Найти третью вершину C, зная, что середина стороны AC лежит на оси Oy, а середина стороны BC в плоскости Oxz 7Дан треугольник ABC : A(4 4), B(0 7 4), C( ) Найти длину медианы CD 8 Даны вершины треугольника A (, 0, ) B (,,) C (4,, 5) Вычислить длину биссектрисы BE 9 Отрезок прямой, ограниченный точками A( 8 ) и B(97 ), разделен

5 точками C, D, E, F на пять равных частей Найти координаты этих точек 0 Прямая проходит через точки K( 6 6) и M(6 ) Найти точки пересечения ее с координатными плоскостями Найти отношение, в котором каждая из плоскостей координат делит отрезок AB : A( 7), B(45 ) Найти длину высоты BD треугольника ABC, если известны координаты его вершин A( 5 6 ), B( ), C( ) Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках A( ), B(55 4), C( ), D(4 ) 4 Найти объем и высоту призмы ABCA BC, зная координаты вершин A( 5 ), B( 4 ), C( 0 ), A( ) Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы Доказать, что треугольник с вершинами A( ), B(04 ) и C( ) равнобедренный На оси Oy найти точку, равноудаленную от точек A( 7) и B(5 7 5) Даны три вершины A( 4 7), B( 5 ), C( ) параллелограмма ABCD Найти длины сторон параллелограмма и четвертую вершину D 4 Даны вершины A( 4), B( 6), C( 5 0 ) треугольника Вычислить длину его медианы, проведенной из вершины A 5 Проверить, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках A(5 6), B(64 4), C(4 ), D( 4) есть квадрат 6 Даны вершины A( 0 ), B(0 ), C(44 ) треугольника ABC Вычислить длину биссектрисы BK 7 Прямая AB пересекает координатные плоскости Oxy и Oyz в точках K и M Найти длину отрезка KM, если A( ), ( 0 ) 8 Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках ( 4 ) B(0 ), C( 5 4) B A, 9 Объем тетраэдра V 5, три его вершины находятся в точках A( ), C Найти координаты четвертой вершины D, если известно, B(0 ), ( ) что она лежит на оси Oy 0 Вычислить объем параллелепипеда, зная, что одна из его вершин находится в начале координат, а концы ребер, выходящие из этой вершины, в точках ( 6), (84 ), ( ) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 4 Тема: Различные уравнения прямой на плоскости Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение

6 Различные способы задания прямой на плоскости Общее уравнение прямой См конспект лекции 5 Краткие теоретические материалы Практические задачи, задания, упражнения Написать уравнение прямой: а) проходящей через точки A (, ) и B (, 5) б) проходящей через начало координат и точку A (, 5) в) проходящей через точку A (, 6) и параллельной вектору p (, ) г) отсекающей на осях координат отрезки a, b, д) проходящей через точку A (, 5) и параллельной оси Ox е) проходящей через точку B (, ) и параллельной оси Oy ж) проходящей через точку A (, 5) и параллельной прямой x y 0 з) проходящей через точку A (, ) и параллельной прямой x y 0 Найти координаты направляющих векторов следующих прямых: а) x 7y 8 0 б) x 5 0 в) x y 0 Даны прямые: а) x y 5 0 б) x y 0 в) x 5 0 Написать уравнение каждой из них в параметрическом виде 4 Прямая задана параметрическими уравнениями x 4t, y t а) Найти направляющий вектор данной прямой б) Определить координаты точек, имеющих параметры t, t 0, t, t 4 в) определить параметры точек пересечения данной прямой с осями координат г) среди точек M (, ), (, ) 7 M, M (5, ), M 0, 4, M 5 (, ) 4 найти точки, принадлежащие данной прямой 5 Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма x y 0, x y 0 и точка пересечения его диагоналей F (, ) Написать уравнения двух других сторон параллелограмма

7 6 Написать уравнение прямой: а) проходящей через точку A (, 5) и имеющей угловой коэффициент k в) проходящей через начало координат и образующей с осью Ox угол +0 е) отсекающей от оси Oy отрезок b и имеющей угловой коэффициент k 7 Найти угловые коэффициенты и отрезки, отсекаемые от оси Oy каждой из следующих прямых: а) x y 5 0 б) x y Найти угол наклона к оси Ox прямой: x y Написать уравнение прямой: а) проходящей через точку A (, ) и перпендикулярной к вектору n (, ) б) проходящей через точку B (5, 0) и перпендикулярной к прямой x y 0 0 Даны две вершины треугольника A (, 5), B (, ) и точка H ( 5, ) пересечения его высот Составить уравнения его сторон 4 Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы Написать уравнения сторон треугольника, вершины которого находятся в точках (, ), (, ) и ( 0, ) Написать параметрические уравнения прямой: а) проходящей через точку P (, ) параллельно вектору p ( 5, ) б) проходящей через две точки M (0, ) и M (, 4) в) проходящей через начало координат и параллельной вектору p (, ) г) проходящей через точку M 0 (, ) и параллельной оси Ox д) проходящей через две точки M (, ) и M (, 5) 4 Даны прямые: г) 4x 5y 6 0 д) x y 0 Написать уравнение каждой из них в параметрическом виде 5 Даны смежные вершины A (, ) и B (, ) параллелограмма ABCD и точка P (, ) пересечения его диагоналей Составить уравнения сторон параллелограмма 6 Написать уравнение прямой: б) проходящей через точку ( 0, 0) и имеющей угловой коэффициент k

8 г) проходящей через начало координат и образующей с осью Ox угол +0 е) отсекающей от оси Oy отрезок b и имеющей угловой коэффициент k 7 Найти угловые коэффициенты и отрезки, отсекаемые от оси Oy каждой из следующих прямых: а) x y 0 б) y Найти углы наклона к оси Ox прямых: б) x y 0 в) x y Написать уравнение прямой, проходящей через точку начало координат и перпендикулярной к прямой x y 0 0 Даны вершины треугольника A (, 5), B (, ), C (, ) Составить уравнения: а) высот треугольника б) прямых, проходящих через вершины треугольника параллельно противоположным сторонам Определить координаты точки, симметричной точке M (, 5) относительно прямой x 8y 5 0 Тема: ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 5 Метрические задачи по теме «Прямая на плоскости» Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Взаимное расположение двух прямых Угол между двумя прямыми на ориентированной плоскости Расстояние от точки до прямой Расстояние между параллельными прямыми См конспект лекции 6 Краткие теоретические материалы Практические задачи, задания, упражнения Привести к нормальному виду уравнения следующих прямых: а) 4x y 6 0 б) x y 0 Найти расстояния от точек A (, ), B (, ) и C (, 6) до прямой x 4y 0 Найти длины высот треугольника, стороны которого заданы уравнениями y 0, x y 0, 4x y 0 0

9 4 Найти расстояние между параллельными прямыми в каждом из следующих случаев: а) x 0, б) x y 6 0, x 5 0 6x y 0 5 Составить уравнения прямых, отстоящих от прямой 4x y 7 0 на расстоянии, равном 6 Составить уравнение множества точек, равноудаленных от двух параллельных прямых x 5y 6 0 и x 5y Найти уравнения биссектрис углов, образованных прямыми x y 0 и x y 0 8 Найти угол, образованный прямыми x y 6 0 и x y Через точку (, 5) провести прямые, наклоненные к прямой x y 0 под углом, тангенс которого равен 5 0 Даны точка A (, 5) и прямая x y 8 0 Составить уравнение прямой, проходящей через данную точку: а) параллельно данной прямой б) перпендикулярно данной прямой 4 Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы Привести к нормальному виду уравнения следующих прямых: 4 в) x 0 г) y 0 д) x y Найти расстояние от точки до прямой в каждом из следующих случаев: а) M (, 5), 4x y 5 0 б) M,, 5x y Найти расстояние между параллельными прямыми в каждом из следующих случаев: а) x 4y 0, б) x y 5 0, x 4y 7 0 x y Через точку P (, ) провести касательные к окружности, имеющей центр в точке C (, ) и радиус, равный 5 Составить уравнение множества точек, равноудаленных от двух параллельных прямых x 5y 8 0 и x 55y 0 6 Найти уравнения биссектрис углов, образованных прямыми x y 5 0 и 4x y 0

10 7 Найти угол, образованный прямыми x y 0 и 6x y 0 8 Через точку (, 5) провести прямые, наклоненные к прямой x y 0 под углом, тангенс которого равен 5 9 Даны точка A (, ) и прямая x 5y 7 0 Составить уравнение прямой, проходящей через данную точку: Тема: а) параллельно данной прямой б) перпендикулярно данной прямой Продолжительность часа Тема: ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6 Контрольная работа ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 7 Различные уравнения плоскости в пространстве Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Различные уравнения плоскости в пространстве Общее уравнение плоскости Геометрический смысл знака четырехчлена Ax+By+Cz+D Расстояние от точки до плоскости Угол между двумя плоскостями См конспект лекции 7 Краткие теоретические материалы Практические задачи, задания, упражнения Найти уравнение плоскости: а) проходящей через точку A (,, ) и параллельной векторам a (, 0, ) и b ( 5,, ) б) проходящей через точки M (,, ), M (,, ) и параллельной вектору a (,, ) в) проходящей через ось Ox и точку A (,, ) г) проходящей через точки M (,, ), M (,, ) и M (0,, )

11 Проверить, можно ли провести плоскость через точки (,, 0), ( 0,, ), (, 0, 5), ( 4,, 5) Даны вершины тетраэдра A (4, 0, ), B (0, 5, ), C ( 4,, ) и D (,, 5) Написать: а) уравнение плоскости, проходящей через ребро AB и параллельной ребру CD б) уравнение плоскости, проходящей через вершину A и параллельной грани BCD б) Составляем уравнение плоскости по точке и двум направляющим векторам За начальную точку плоскости примем точку A (4, 0, ), а за направляющие векторы возьмем векторы BC ( 4, 6, ) и BD (, 6, 4) x 4 y z Имеем: Вычислим определитель 6 4 ( x 4) 0y 6( z ) 0 или x 0y 6z 60 0 Окончательно получим уравнение плоскости BCD 6x 5y z Написать «в отрезках» уравнения следующих плоскостей: а) x y z 0 б) x y z 0 5 Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (,, ) и перпендикулярной вектору n (,, 4) 6 Найти координаты нормальных векторов плоскостей: а) x y z 0 б) x z Написать уравнение плоскости: а) проходящей через точки A (,, ), B (,, 4) и перпендикулярной плоскости x y z 0 в) проходящей через точку (,, ) и перпендикулярной плоскостям x z 0 и x y z 0 8 Даны две пересекающиеся плоскости x y z 0 и x y z 0 Определить: а) координаты некоторой точки, лежащей на линии пересечения данных плоскостей б) координаты вектора a, параллельного этим плоскостям

12 9 Найти расстояние от точки M (,, ) до плоскости x y z Вычислить расстояние между следующими параллельными плоскостями x y z 0 и x 6y 4z 0 На оси Oz найти точку, равноудаленную от точки A (, 4, ) и от плоскости x y z 7 0 Составить уравнение множества точек, отстоящих от плоскости x y z 4 0 на расстоянии, равном 6 Написать уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы между плоскостями x y 7z 4 0 и 5x y 5z 0 4 Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы Найти уравнение плоскости: а) проходящей через точку A (0, 0, ) и параллельной векторам a (,, 5) и b (, 0, ) б) проходящей через точки M (, 0, 0), M (0, 0, ) и параллельной вектору a (,, ) в) проходящей через ось Oy и точку A (,, 5) г) проходящей через точки M (0, 0, 0), M (,, ) и M (0,, 6) Проверить, можно ли провести плоскость через точки (,, ), (,, ), ( 0, 4, ), (,, ) Написать «в отрезках» уравнения плоскости, проходящей через точки M (,, ), M (,, 5) и M (,, ) 4 В аффинной системе координат дана плоскость x y z 5 0 Определить: а) координаты нескольких векторов, параллельных данной плоскости б) координаты нескольких векторов, параллельных одновременно данной плоскости и одной из координатных плоскостей 5 Найти координаты нормальных векторов плоскостей: в) y 0 г) x y z Составит уравнение касательной плоскости к сфере ( x ) ( y ) ( z ) 4 в точке M (0,, ) 0 7 Найти расстояние от точки M (, 0, 4) до плоскости x y 8 0

13 8 Составить уравнение множества точек, равноудаленных от двух параллельных плоскостей x y z 5 0 и x y z 5 0 Тема: ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 8 Различные уравнения прямой в пространстве Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Различные способы задания прямой в пространстве Угол между прямыми Расстояние от точки до прямой, между скрещивающимися прямыми См конспект лекции 8 Краткие теоретические материалы Практические задачи, задания, упражнения Определить координаты нескольких точек, лежащих на прямых: а) x y z б) x t, y t, z 5 в) x 0 x y z 5 Составить уравнения прямой: а) проходящей через две точки M,,, M, 5, б) проходящей через точку,, p (,, ) M и параллельной вектору 0 в) образованной пересечением плоскости x y z 0 с плоскостью,, 0,,, C, 4, проходящей через точки A, B, г) Написать уравнение прямой, проходящей через точку,, перпендикулярной к плоскости x y 4z 0 0 M и Написать параметрические уравнения прямой x y z 0, x y 0 4 Через точку,, 4 M провести прямую, параллельную прямой x y z 0, x y z 0 5 Доказать, что прямые

14 x y z 0, x y 9z 0 и x y z 0, x y z 0 пересекаются Написать уравнение плоскости, проходящей через эти прямые 6 Составить уравнение прямой, проходящей через точку ( 0, 0, ) и пересекающей каждую из прямых x y z 0, x y z x y z 0 7 Найти расстояние от точки P(7, 9, 7) до прямой Ответ: d 8 Найти расстояние между скрещивающимися прямыми x y z x 4 y z и 4 Ответ: d 6 8 Найти угол между следующими прямыми: x y z 4 y 0, x 0, x z 0, z 4 Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы Составить уравнения прямой: а) проходящей через две точки M,,,, 4, б) проходящей через точку 0, p (,, 4) в) проходящей через точку 5,, x 4 y z M M, и параллельной вектору 0 M и параллельной прямой 0 г) Написать уравнение прямой, проходящей через точку 0,, 4 перпендикулярной к плоскости 4x y 4z 5 0 Написать параметрические уравнения прямой Установить взаимное расположение двух прямых x 9t, y 5t, z t и x y z 9 0, x y z 0 M и x y z 5 0, x y z 0

15 4 Доказать, что прямая x y z 0, x y z 0 5 Даны две прямые x y z и пересекает ось Oy x y z 0 а) Доказать, что они скрещиваются б) написать уравнения плоскостей, проходящих через каждую из них параллельно второй прямой в) найти расстояние между скрещивающимися прямыми и между плоскостями убедится, что эти расстояния равны Тема: ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9 Взаимное расположение прямых и плоскостей Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Взаимное расположение двух, трех плоскостей Взаимное расположение двух прямых в пространстве Взаимное расположение прямой и плоскости Угол между прямой и плоскостью См конспект лекции 8 Краткие теоретические материалы Практические задачи, задания, упражнения x 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую y z и параллельной прямой x y z 0, 4 x y z 5 0 Доказать, что прямая x t, y t, z t пересекает плоскость x y z 0 Найти координаты точки пересечения Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (,, 4) и x y z перпендикулярной к прямой 5 4 Через точку M (, 5, ) провести прямую, перпендикулярную к x t, x y z прямым и y t, z t

16 5 Найти точку, симметричную точке M (, 5, ) относительно плоскости x y z 0 6 Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, x y z параллельной прямой и перпендикулярной плоскости x y z 0 4 Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (,, 7) и x y z 5 прямую 5 x y z Показать, что прямая параллельна плоскости x y z x y 5z 6 0, а прямая лежит в этой плоскости Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M (,, 4) и перпендикулярной к прямой x y z 0, x y z Через точку M (, 5, ) провести прямую, перпендикулярную к прямым x y z 4 0, и x y z 0, x y z 0 x y 4z 0 5 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (,, ), параллельной прямой x y z и перпендикулярной к плоскости x y 0 ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 0 Тема: Контрольная работа Продолжительность часа ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Тема: Эллипс Гипербола Парабола Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение

17 Эллипс: определение, каноническое уравнение, свойства Гипербола: определение, каноническое уравнение, свойства Асимптоты гиперболы Парабола: определение, каноническое уравнение, свойства Фокусы и директрисы линий второго порядка Касательная к эллипсу, гиперболе параболе См конспект лекции 9 Краткие теоретические материалы Практические задачи, задания, упражнения Составить каноническое уравнение эллипса, если а) вершины эллипса имеют координаты A (6, 0), A ( 6, 0), B (0, ), B (0, ) б) фокальное расстояние c 0, а малая ось b 5 в) эсцентриситет, большая полуось a г) расстояние между фокусами равно 8, а эсцентриситет д) расстояние между директрисами равно, а большая полуось равна Эксцентриситет эллипса равен, а расстояние от точки M до директрисы равно Вычислить расстояние от точки M до соответствующего фокуса Составить уравнение прямой, проходящей через точку C ( 0, 8) и касающейся эллипса x y Составить каноническое уравнение гиперболы, если а) гипербола проходит через точки ( 4, 0) и ( 4 7, 4) б) расстояние между вершинами равно 8, а расстояние между фокусами равно 0 в) гипербола имеет асимптоты 4y x 0 и директрисы 5x 6 0 г) угол между асимптотами равен 60 и гипербола проходит через точку M (4, ) 8 д) расстояние между директрисами равно и эсцентриситет

18 x 5 Написать уравнения касательных к гиперболе y, составляющих с осью Ox углы, равные 0 Для каждой из касательных найти точку касания 6 Составить каноническое уравнение параболы, если: а) фокус имеет координаты (, 0) б) парабола симметрична относительно оси абсцисс и проходит через точку (, ) в) директриса имеет уравнение y 0 7 Составить уравнение касательной к параболе y 8x в точке (, 4 ) 4 Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы Составить каноническое уравнение эллипса, если а) эсцентриситет, малая полуось b 5 7 б) эллипс проходит через точку M (, ) и расстояние между фокусами 4 c 6 в) прямые x 8 служат директрисами эллипса, а малая полуось равна г) расстояние между директрисами равно 4 5, а эсцентриситет Найти уравнения тех касательных к эллипсу x y, которые 0 5 параллельны прямой x y 4 0 Составить каноническое уравнение гиперболы, если а) вещественная полуось равна и гипербола проходит через точку ( 6, ) б) угол между асимптотами равен 60 и гипербола проходит через точку M (6, ) 4 По данному эсцентриситету найти угол между асимптотами гиперболы 5 Составить каноническое уравнение параболы, если: а) парабола симметрична относительно оси ординат и проходит через точку ( 5, ) б) директриса имеет уравнение x 5 0

19 Тема: Продолжительность часа ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Классификация линий второго порядка Вопросы, выносимые на обсуждение Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду Классификация линий второго порядка См конспект лекции 0 Краткие теоретические материалы Практические задачи, задания, упражнения С помощью преобразования поворота прямоугольной декартовой системы координат привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка 5x 8xy 5y 9 0 Написать формулы преобразования и изобразить данную кривую на чертеже С помощью переноса начала прямоугольной декартовой системы координат привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка x y x 6y 9 0 Написать формулы преобразования координат и изобразить данную кривую на чертеже С помощью преобразования поворота прямоугольной декартовой системы координат и переноса начала привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка 9x 4xy 6y 0x 40y 5 0 и написать формулы преобразования координат 4 Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы С помощью преобразования поворота прямоугольной декартовой системы координат привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка 9x 4xy 6y 40x 0y 0 Написать формулы преобразования и изобразить данную кривую на чертеже С помощью переноса начала прямоугольной декартовой системы координат привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка 9x 4y 4x 8y 4 0 Написать формулы преобразования и изобразить данную кривую на чертеже С помощью преобразования поворота прямоугольной декартовой системы координат и переноса начала привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка 5x 6xy 40y 4x 6y 89 0 и написать формулы преобразования координат

20 Тема: Продолжительность часа ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Цилиндрический и конические поверхности Вопросы, выносимые на обсуждение Цилиндрические и конические поверхности второго порядка Поверхности вращения Конические сечения См конспект лекции Краткие теоретические материалы Практические задачи, задания, упражнения Составить уравнение круговой цилиндрической поверхности, если известны уравнения ее оси x 7 t, y 4t,, z t и координаты одной из ее точек M (,, 0) Решение Пусть M ( x, y, z) произвольная точка цилиндрической поверхности Так как цилиндрическая поверхность является круговой, то расстояния d и d от точек M и M соответственно до оси цилиндрической поверхности равны Найдем эти расстояния по известной формуле: d y z x 7 z x 7 y 4 4 d 9 Приравнивая и возводя в квадрат, получим уравнение y 4 z x 7 z x 7 9 4, y 9 После элементарных преобразований это уравнение примет вид 0x y 5z 4xy xz 6yz 0x 90y 50z 64 0 Составить уравнение цилиндрической поверхности, если направляющая лежит в плоскости Oxy и имеет уравнение x xy y x 0, а образующие параллельны вектору (, 0, )

21 Составить уравнение конической поверхности, если направляющая в плоскости Oxy задана уравнением x y y 0, а вершина имеет координаты (, 0, ) 4 Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы Составить уравнение круговой цилиндрической поверхности, если известны уравнения ее оси x t, y t,, z t и координаты одной из ее точек M (,, ) 0 Составить уравнение цилиндрической поверхности, если направляющая лежит в плоскости Oyz и имеет уравнение y yz 5 0, а образующие параллельны оси Ox Составить уравнение конической поверхности, если направляющая в плоскости Oxy задана уравнением x y 6, а вершина имеет координаты ( 0, 0, ) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 4 Тема: Эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка Классификация поверхностей второго порядка См конспект лекции Краткие теоретические материалы Практические задачи, задания, упражнения Написать уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат и который: а) проходит через точку M (, 0, ) и пересекает плоскость Oxy по эллипсу x y 8

22 б) пересекает плоскость Oyz по эллипсу z, а плоскость Oxy по 5 окружности x y 5 Написать каноническое уравнение однополостного гиперболоида, если поверхность пересекает плоскость Oxy по окружности x y 9, а плоскость Oxz по гиперболе z 9 0 Найти уравнение параболоида с вершиной в начале координат, ось которого совпадает с осью Oy и который проходит через точки (,, ) и (,, ) x y 4 На гиперболическом параболоиде z найти прямолинейные 8 образующие, параллельные плоскости 6x 4y 8z 0 5 Определить вид поверхности x 6y z x y 4z 9 0 и построить ее изображение 4 Вопросы и задания студентам для самостоятельной работы Написать уравнение эллипсоида, оси которого совпадают с осями координат и который проходит через точку N (,, ) и пересекает плоскость Oyz по эллипсу z 5 0 Осями симметрии однополостного гиперболоида являются оси x y координат Гиперболоид проходит через эллипс, 4 6 и гиперболу z 0 y z, 6 5 x 0 Составить уравнение гиперболоида Найти прямолинейные образующие поверхности x y ( z ), проходящие через точку (,, 0) 4 Найти прямолинейные образующие однополостного гиперболоида x y z, перпендикулярные оси Oy x y 5 Найти касательные плоскости параболоида z, которые были 4 бы параллельны плоскости x y z 0

23

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии I. Векторная алгебра Задачи по аналитической геометрии I.1. Скалярное, векторное и смешанное произведение 1. Длины векторов ā и b равны 1, скалярное произведение (ā + b, 2ā + 3 b) = 3 2. Найти скалярное

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии

Задачи по аналитической геометрии МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Кафедра алгебры и геометрии

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые

ВАРИАНТ 16 M Доказать, что прямые ВАРИАНТ 16 1 Через точки M 1 (3 4) и M (6 ) проведена прямая Найти точки пересечения этой прямой с осями координат Составить уравнения сторон треугольника для которого точки A ( 1 ) B ( 3 1) C (0 4) являются

Подробнее

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1

Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 Зачетное задание по аналитической геометрии. Семестр 2. Вариант 1 1. Найдите уравнения касательных к окружности (x + 3) 2 + (y + 1) 2 = 4, параллельных прямой 5x 12y + 1 = 0. 2. Напишите уравнение касательной

Подробнее

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0.

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ. 4. В прямоугольной системе координат точка А лежит на прямой 2x 3y+ 4= 0. ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ 1. Прямая на плоскости. 1. Две прямые заданы векторными уравнениями (, rn ) = D и r= r + a, причем ( an, ) 0. Найти радиус-вектор точки пересечения прямых. 0 t. Даны точка М 0 с радиус-вектором

Подробнее

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна. Напрям підготовки 0702 Прикладна фізика. Навчальна дисципліна: Аналітична геометрія

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна. Напрям підготовки 0702 Прикладна фізика. Навчальна дисципліна: Аналітична геометрія ЕКЗАМЕНАЦІЙНИЙ БІЛЕТ 1 1. Направленные отрезки и их равенство. 2. Линии и поверхности. Параметрическое задание линий и поверхностей. Алгебраические линии и поверхности. 3. К вершине куба приложены три

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Экзаменационный билет 1.

Экзаменационный билет 1. Экзаменационный билет 1. 1. Векторы в пространстве. Основные определения и операции над векторами: сумма векторов, произведение вектора на число. Свойства. Теорема о коллинеарных векторах. 2. Расстояние

Подробнее

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой.

ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически. ; найти угловой коэффициент этой прямой. ВАРИАНТ Записать общее уравнение прямой, заданной параметрически x = + t ; найти угловой коэффициент этой прямой y = 4 t Даны две вершины A (, ) и B (5, 7) треугольника ABC и точка пересечения его высот

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ

2. Даны векторы a, b, 6. Найти фундаментальную систему решений однородной СЛАУ Экзаменационный билет 1 по курсу: 1. Дать определение скалярного произведения векторов. Доказать свойства скалярного произведения. Вывести формулу скалярного произведения в ортонормированном базисе. Приложения

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НОВОТРОИЦКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ» Кафедра

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "САМАРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТОВ Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

Подробнее

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЧАСТЬ I ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПОКУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА. ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек

, и в этом случае линия является графиком функции f( x ). Пример 5.1. На оси Ox найти точку, одинаково удаленную от двух точек ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5.. Уравнение линии на плоскости Уравнение вида F( x, y) 0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на данной плоской

Подробнее

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену

Фонд оценочных средств по аналитической геометрии и линейной алгебре Вопросы к экзамену Вопросы к экзамену Вопросы для проверки уровня обучаемости «ЗНАТЬ» Раздел 1 Элементы линейной алгебры 1 Операции над матрицами и их свойства Определители -го и 3-го порядков 3 Определение минора и алгебраического

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ 1. Определители 2-го и 3-го порядков. 1. Вычислить определитель второго порядка: а) 1 1 1 1 ; б) 1 + 2 2 5 13547 13647 ; в) 2+ 5 1 2 28423 28523. 2. Вычислить определитель третьего порядка:

Подробнее

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8.

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8. 0 класс (технологический профиль) 208 209 уч год Геометрия УМК Атанасян ЛС Модуль 8 Тема модуля: «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» В процессе изучения данного модуля ученик научится/получит

Подробнее

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЗАНЯТИЕ ПЛОСКОСТЬ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Написать векторное уравнение плоскости и объяснить смысл величин, входящих в это уравнение Написать общее уравнение плоскости

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи

Глава 8. Прямые и плоскости. 8.1 Прямая на плоскости Аффинные задачи Глава 8 Прямые и плоскости 8.1 Прямая на плоскости 8.1.1 Аффинные задачи В этом разделе система координат аффинная. 1. Указать хотя бы один направляющий вектор прямой, заданной уравнением: 1) y = kx+b;

Подробнее

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ

Задачи по аналитической геометрии 2012, мех-мат. МГУ Задачи по аналитической геометрии мех-мат МГУ Задача Дан тетраэдр O Выразить через векторы O O O вектор EF с началом в середине E ребра O и концом в точке F пересечения медиан треугольника Решение Пусть

Подробнее

8. Кривые второго порядка Окружность

8. Кривые второго порядка Окружность 8 Кривые второго порядка 81 Окружность Множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром, на расстояние, называемое радиусом, называется окружностью Пусть центр окружности находится

Подробнее

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.)

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Базовые задачи (на 3) 1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D разбивают сторону BC на три равных отрезка. Найдите

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики

Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия. Кафедра высшей математики Министерство образования Российской Федерации Казанская Государственная Архитектурно-строительная Академия Кафедра высшей математики ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Линейная

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

ГЕОМЕТРИЯ 7КЛАСС КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

ГЕОМЕТРИЯ 7КЛАСС КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЯ 7КЛАСС КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ 1 вариант 1. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости α. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие

Подробнее

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии

Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратовский государственный университет им.н.г.чернышевского Галаев С.В., Шевцова Ю.В. Контрольные работы по аналитической геометрии Саратов 2001 Контрольная работа 1 по теме Основные формулы аналитической

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Задачи для отработки пропущенных занятий

Задачи для отработки пропущенных занятий Задачи для отработки пропущенных занятий Оглавление Тема: Матрицы, действия над ними. Вычисление определителей.... 2 Тема: Обратная матрица. Решение систем уравнений с помощью обратной матрицы. Формулы

Подробнее

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии

Ирина Алексеевна Чернявская Практикум по аналитической геометрии Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ирина Алексеевна Чернявская Для

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК. Лектор П. В. Голубцов АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 3 ПОТОК Лектор П. В. Голубцов 1.1. Векторы. Список вопросов к первой части экзамена 1. Сформулируйте определение линейных операций над векторами. Перечислите свойства линейных операций

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия 5.. Прямая на плоскости Различные способы задания прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Геометрический смысл

Подробнее

Глава I. Векторная алгебра.

Глава I. Векторная алгебра. Глава I Векторная алгебра Линейные операции над векторами Основные обозначения: - вектор; АВ - вектор с началом в точке и концом в точке B ; B -длина вектора АВ, те расстояние между точками и B ; b - коллинеарные

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРО- СТРАНСТВЕ Балаковский инженерно-технологический институт - филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Подробнее

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы.

Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима. I. Теоретические вопросы. Вопросы и задачи к экзамену по аналитической геометрии, зима 1 I. Теоретические вопросы. Условные бозначения. (*) в конце фразы означает, что студенты будущей группы 2362 ее положения доказывать не должны,

Подробнее

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.1. Координатные системы и векторная алгебра.1.1. Теоретические сведения Понятия координаты точки являются базовыми понятиями аналитической геометрии. Наиболее употребительными

Подробнее

Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики. Геометрия

Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики. Геометрия МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Курганский государственный университет» Кафедра

Подробнее

Т е м а 1. Практика 1. В классе (5 номеров)

Т е м а 1. Практика 1. В классе (5 номеров) Т е м а 1 ПОВТОРЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИИ Практика 1 В классе (5 номеров) 1. Основания трапеции равны a и b (a > b). Найдите длину отрезка MN, концы которого делят боковые стороны AB и CD в отношении AM : MB =

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр

План практических занятий по линейной алгебре1 семестр План практических занятий по линейной алгебре1 семестр Занятие 1 Алгебра матриц 1 (±) 276 = 2 1 1 0 1 4, = 2 1 0 3 2 2 2 = 3 4, = 2 4 5 6 Найти A+B+AT +B T Найти 3A+2B 0 0 3 (±) =, = + 0 Доказать, что

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1 МОДУЛЬ МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Практическое занятие 6-7 Тема: Преобразование координат Полярные координаты Расстояние между точками Деление отрезка в данном отношении Метод координат План Преобразование

Подробнее

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0.

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0. Вариант. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин ( 4; 5) и уравнения двух биссектрис х = и х+ у =.. Из точки ( ) 8; 6 к прямой х+ у+ 4= направлен луч света под углом, тангенс которого

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3).

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). 1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). -1-2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (2;1) и уравнение

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее

5. M и N - вся плоскость и точке с координатами (x, y ) соответствует точка с

5. M и N - вся плоскость и точке с координатами (x, y ) соответствует точка с Тест 299. Преобразование плоской фигуры. Соответствие является преобразованием фигуры M в фигуру N, если: 1. каждая точка фигуры N является образом хотя бы одной точки фигуры M. 2. каждой точке фигуры

Подробнее

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное.

Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 1. Пересечение фигур. Пересечением двух квадратов может быть: 1. точка; 2. отрезок; 3. квадрат; 4. треугольник; 5. что-либо иное. Тест 2. Объединение фигур Объединением двух треугольников может быть:

Подробнее

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ

10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.. ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ... ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор n перпендикулярный заданной прямой называется нормальным

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия

Часть 1. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия Часть Линейная алгебра Аналитическая геометрия Задача Вычислить определитель 6 5 5 6 79 4 8 6 0 0 6 7 6 8 0 5 9 4 0 4 0 5 6 0 6 9 7 9 7 9 8 8 5 8 6 8 6 4 8 5 9 5 9 7 9 7 7 7 4 8 6 8 6 6 8 9 5 4 6 6 9 7

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» И.А. ЧЕРНЯВСКАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (решебник) Ростов-на-Дону

Подробнее

Лекция 11 M L G K M C

Лекция 11 M L G K M C Лекция 11 1. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 1.1. Определение. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей этого конуса. При различных значениях угла α при вершине в осевом

Подробнее

ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Псковский государственный университет И.Н. Медведева ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Учебное пособие Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии ПсковГУ и редакционно-издательского

Подробнее

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки:

Вопросы к коллоквиуму по математике 1 семестр для студентов 1 курса ИСиА, 1-6 гр. направление подготовки: Министерство образования и науки РФ Северный (Арктический) федеральный университет им МВЛомоносова Кафедра математики Вопросы к коллоквиуму по математике семестр для студентов курса ИСиА, -6 гр направление

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

ЧАСТЬ I. Координаты и векторы

ЧАСТЬ I. Координаты и векторы ЭКЗАМЕН ПО ГЕОМЕТРИИ КЛАСС ЧАСТЬ I Координаты и векторы Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M (;3;5 ) параллельно векторам a = ( ; ;5) и b = ( 4;3;0 ) Составьте уравнение плоскости, проходящей

Подробнее

В.А. Смирнов ГЕОМЕТРИЯ КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ

В.А. Смирнов ГЕОМЕТРИЯ КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ В.А. Смирнов ГЕОМЕТРИЯ КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ 2011 ВВЕДЕНИЕ Выработка умений решать задачи на нахождение координат точек и векторов, расстояний между точками и углов между векторами относится к основным

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ.

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки A(1; 2; 3) до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки B( 1; 1; 1) до начала

Подробнее

ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ

ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ Инструкция. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Апофема правильной треугольной пирамиды 4 см, а сторона основания 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Подробнее

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники» Факультет компьютерных систем и сетей Кафедра высшей математики

Подробнее

Методические указания к контрольным работам

Методические указания к контрольным работам Методические указания к контрольным работам Контрольная работа «Переаттестация» Тема. Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямая на плоскости Расстояние между двумя точками M ( ) и ( ) плоскости

Подробнее

Все прототипы задания года 1. Прототип задания 4 ( 27238)

Все прототипы задания года 1. Прототип задания 4 ( 27238) Все прототипы задания 4 2015 года 1. Прототип задания 4 ( 27238) В треугольнике ABC угол C равен 90, АС 4, 8 7 sin A. Найдите AB. 25 2. Прототип задания 4 ( 27240) В треугольнике ABC угол C равен 90, АС

Подробнее

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b,

1. Векторы Даны координаты векторов a, b, c, x в правом ортонормированном k. Показать, что векторы a, b, Векторы Даны координаты векторов a b c в правом ортонормированном базисе i j k Показать что векторы a b c тоже образуют базис и найти координаты вектора в базисе a b c ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) ) ( ) a (

Подробнее

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра

Вопросы и задачи для контрольной работы. 1. Линейная алгебра Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C : A, B Найти произведение матриц

Подробнее

Задание 3. Планиметрия: длин и площадей Треугольник

Задание 3. Планиметрия: длин и площадей Треугольник Задание 3 Планиметрия: длин и площадей Треугольник 1. Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет. 2. В треугольнике ABC AC = BC, угол C

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

ГЕОМЕТРИЯ. Методические рекомендации для студентов I курса математического факультета. часть 1

ГЕОМЕТРИЯ. Методические рекомендации для студентов I курса математического факультета. часть 1 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра

Подробнее

Все прототипы заданий В года

Все прототипы заданий В года 1. Прототип задания B5 ( 27450) Найдите тангенс угла AOB. Все прототипы заданий В5 2014 года 2. Прототип задания B5 ( 27456) Найдите тангенс угла AOB. 7. Прототип задания B5 ( 27547) Найдите площадь треугольника,

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ На http://technofile.ru чертежи, 3d модели, учебники, методички, лекции. Материалы студентам технических вузов! 1. Векторы. Линейные, операции над векторами. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 9.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Д.Ю. ВОЛКОВ, К. В. ГАЛУНОВА, В. В. КРАСНОЩЕКОВ МАТЕМАТИКА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ СБОРНИК

Подробнее

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ . Дифференциалы высоких порядков. Экзаменационный билет. Матрицы, основные понятия и определения.. Написать уравнение окружности, если точки А(;) и В(-;6) являются концами одного из диаметров.. Даны вершины

Подробнее

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники»

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37

Прямая линия и плоскость в пространстве. Линейная алгебра (лекция 11) / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Линейная алгебра (лекция 11) 24.11.2012 2 / 37 Прямая линия и плоскость в пространстве Расстояние между двумя точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 )

Подробнее

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика»

ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Министерство общего и профессионального образования РФ ВСГТУ Кафедра «Прикладная математика» Дидактические материалы к практическим занятиям По высшей математике по темам «Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

BAРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ С РЕШЕНИЕМ

BAРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ С РЕШЕНИЕМ Настоящее пособие по выполнению контрольной работы по геометрии (аналитическая геометрия на плоскости) для студентов заочного отделения написано в соответствии с действующей программой и предназначено

Подробнее

Министерство образования и науки РФ. Алтайский государственный педагогический университет. Т.П. Махаева АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ЗАДАЧАХ

Министерство образования и науки РФ. Алтайский государственный педагогический университет. Т.П. Махаева АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ЗАДАЧАХ Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Алтайский государственный педагогический университет Т.П. Махаева АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (планиметрия) уч. год ТЕОРЕМЫ, СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ 1. Теорема о вертикальных углах. 2.

В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (планиметрия) уч. год ТЕОРЕМЫ, СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ 1. Теорема о вертикальных углах. 2. В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (планиметрия) 2018-2019 уч. год ТЕОРЕМЫ, СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ 1. Теорема о вертикальных углах. 2. Первый признак равенства треугольников. 3. Второй признак

Подробнее

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии Министерство образования Российской Федерации Ростовский Государственный Университет Механико-маттематический факультет Кафедра геометрии Казак В.В. Практикум по аналитической геометрии для студентов первого

Подробнее