ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ. Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ"

Транскрипт

1 ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕСИТЕТ Кафедра: «Высшая и прикладная математика» МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ на проведение практических занятий по теме «Интегральное исчисление» Кривулин Н.П., Мойко Н.В. г. Пенза 00

2 Занятии. Непосредственное интегрирование. Подведение под знак дифференциала. Непосредственное интегрирование заключается в прямом использовании таблицы интегралов. Метод разложения заключается в разложении подынтегральной функции в линейную комбинацию более простых функций, применяя свойство линейности интеграла. Пример. Пример. d sin cos d d d tg ctg sin cos sin cos cos sin C cosd) sin coscos7d cosd cosd sin C cosd) Здесь использована формула: cosα cos β cos α β ) cos α β )). Задачи для самостоятельного решения.

3 d d sin d sin d 7 d 9 cos d cos sin sin ϕ cosϕ) dϕ sin d co d cos 7d d tg d d ctg d cos d d d 8 d d ) d 0 d e e d ) d d d d d d d d

4 Подведение под знак дифференциала. Данный метод основан на определении дифференциала функции который определяется формулой df ) f ) d '. Исходя из определения дифференциала функции, можно отметить два очевидных, но важных свойства дифференциала функции:. df ) d f ) ± a).. df ) d Сf )), С С 0 Пример. d, замечаем, что производная знаменателя ' ) отличается от числителя на постоянный множитель. Тогда представив числитель в виде, вносим под знак дифференциала. В результате получаем d d ). ) И далее d d ). Последний интеграл является табличным. Действительно, введя замену ), получим C d ln или, возвращаясь к старой переменной, окончательно получим d ln ) C ln ) C Пример. d d arctg) arctgd ) arctg d arctg arctg { arctg} d C C Пример. cos ) d cos ) d ) { }..

5 cosd sin C sin ) C. Пользуясь определением дифференциала функции можно дополнить таблицу основных интегралов: n ' f ). f ) f ) d C n n ' f ). d ln f ) C f ) n. tg d. sin ) d. d 9 arccos. d 7. e d d 8. e 9. cos 7 sin 7d 0. d ) Задачи для самостоятельного решения Интегрирование подведением под знак дифференциала. sin. cosd cos sin d d tg.. d ) ln ) cos cos d sin. e cos d. sin ) ar cos. d ln ). d d e 8 d d 9. d 0. 8 tg. d cos

6 . e d sin. d cos d. ) ln ). d sin. d cos d 7. ) arctg d d d

7 Занятие. Замена переменной в неопределенном интеграле. Замена в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:. ϕt), где ϕt) - монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t, тогда ' ' d t dt ϕ t) dt и формула замены переменной в этом случае примет вид: f ) d f ϕ t)) ϕ t) dt. φ), где - новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке: [ φ t) ] Рассмотрим примеры. ' f φ t) dt f ) d Пример. d, обозначим t, тогда t и d d t ) tdt, получим 0 d dt t t C, возвращаясь к переменной, окончательно получим: t ) t tdt t t ) 0 d ) ) C Пример. d t ; t t dt. Выделим правильную d d t ) t dt t дробь, поделив числитель на знаменатель, получим: t t dt t ln t ) C ln ) C. t Тригонометрические подстановки применяются при интегрировании выражений, представленных в таблице: Интеграл Подстановка '

8 R, a ) d a t a t d a d a sin cos ), cos, sin ) tdt tdt R, a ) d R, a ) d adt adt atgt actgt), d, d cos t sin t a a a cos t a sin t, d dt, d dt sin t cos t sin t cos t a sin t t arcsin a Пример. a d d a costdt a a sin t a costdt a a a a cos tdt cost) dt t sin t C Вернемся к старой переменной: sin t sint cost sint sin t a a a a Подставив, окончательно получим: a a d arcsin a C. a. d. d ) Задачи для самостоятельного решения Интегрирование подстановкой. d ) d. ) d.

9 d d 8. d d d d. d. ). d d. 0 d. 7 d. ) 7. d ) d 8. ) 9. d 0. d ) d. d.. d d. 9 d. ) d. ) 7. d ) d 8. d 9. d 0.

10 где Занятие. Интегрирование по частям. Этот метод основан на применении формулы: dv v vd,, v - непрерывно-дифференцируемые функции.. ln ) d. ln d lnsin ) d. cos. ln ) d. ln d. arccos d arccos 7. d arctg 8. d 9. arcsin d 0. arctgd sin ) d. cosd. ) e d Задачи для самостоятельного решения. Интегрирование по частям 7. )sin d 8. 7)cosd 9. ) e d 0. sin ) d. ln ) d. arcsin d 7. arctg d. ) ln d cos d. cos d. sin 7. ) sin d. ) e d 8. ln ) d. ) e d. arctg d d. sin

11 Интегрирование квадратного трехчлена Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен: A B d a b c A B ), a b d c ). Рассмотрим интеграл ). Если A 0 выделить слагаемое, то из числителя можно b, равное производной трехчлена, стоящего в знаменателе. Тогда в результате преобразований получим: b b) b A B A A A b d d d b c a b c b c d A Ab d ln b c B b Ab B a b c c Для вычисления последнего интеграла выделим полный квадрат, т.е. представим трехчлен в виде: b b b c c и в зависимости от знака выражения c b получим один из табличных интегралов вида: d ± a. Пример. d ) 8 d ) d 8 d ) d ln 8 ) 9 8 ln arctg C

12 Замечание. Если в интеграле ) квадратный трехчлен имеет вид a b c a 0), то для отыскания этого интеграла коэффициент a выносят за скобки. Методы нахождения интеграла вида ) аналогичны рассмотренным выше, однако в результате получаются другие табличные интегралы. Пример. Найти d 8 ) ) d d d d d ) 8 8 ln ) C ) Задачи для самостоятельного решения. Интегрирование квадратного трехчлена

13 d d d d 8 d d d d d d 7 d 7 d 9 d d 8 d d d 8 d d 0 d d 8 d 8 d 7 d d d d d 0 7 d

14 Занятие. Интегрирование рациональных функций. Рациональной функцией R ) называется функция, равная отношению двух многочленов: где R ) m m Qm ) b0 b m m Pn ) a0 a L b L a m, n - целые положительные числа; b, a R. Если m < n, то R ) i j m m называется правильной дробью, если m n, то R ) называется неправильной дробью. Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правиль- ной дроби. Например, - неправильная дробь. Разделив ее числитель на знаменатель по правилу деления многочлена), получим: 0 Рассмотрим примеры разложения правильной дроби на простейшие.. Корни многочлена P n ) - вещественные и различные. Пусть требуется разложить правильную дробь ) ) на простейшие. Имеем: ) ) A B C. Если привести дроби из данного разложения к общему знаменателю, то он совпадает со знаменателем исходной дроби, а числители в левой и правой частях будут тождественны равными, т.е. A ) ) B ) C ). *) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях тождества, получаем систему линейных уравнений:

15 0 0 A B C A B A C, отсюда A B C Коэффициенты можно найти и по- другому в данном случае это оказывается наиболее простым): методом частных значений. Подставив в*) 0- значение первого корня знаменателя, получим аналогично при, B,, ) ) C. Таким образом: A,. Корни многочлена вещественные и некоторые корни являются кратными. Например: ) ) здесь - есть корень знаменателя кратность которого равна. В этом случае такая дробь разлагается на простейшие в виде: ) ) A B ) предыдущем случае приводя к общему знаменателю, получим: A ) ) B ) C ) C, тогда как и в При, B, при, C. Для вычисления значения A приравняем коэффициенты при исходная дробь запишется в виде:. Получим A C 0, т.е. A. Тогда ) ) ). Некоторые корни являются комплексными.

16 Пример. d. Выделим целую часть: ) D C B A ) ) ) ) ) ) ) B A D B C A B A 0,, 0, D C B A B A D B C A получим ) ), то исходный интеграл примет вид: d d d ) arctg d ) Задачи для самостоятельного решения. Интегрирование рациональных выражений.. d. d 8 8. d. d 8. d. ) 0 ) d 7. ) ) d 8. ) d 9. d 0. d

17 d.. ) ) d 8. d. d ) 0) d. d. ) ). d. d 9. d. d 8 d 7 7) d.. ) ) d d ) ) d 8. 7d 8. ) ) t t 9. dt d t d d Занятие. Интегрирование некоторых иррациональностей. Интеграл вида r r a b s a b s R ν ν,..., d c d c d, где R-рациональная функция, a, b, c, d постоянные, r i, s j целые положительные числа, i,... ν, приводится к интегралу от рациональной функции новой переменной и с помощью подстановки кратное знаменателей дробей r r,..., s s ν a b c d m ν, т. е. mнокs,,s ν ). Пример. d d d d m наименьшее общее

18 d d ln c ln С. Функция нечетная относительно cos R -cos,sin) Rcos,sin) Вычисление интегралов от тригонометрических функций. Рассмотрим общую схему вычисления указанный интегралов. Функция нечетная относительно sin Rcos,sin) Rcos,sin) Функция четная относительно sin, cos R -cos,-sin) Rcos,sin) sin cos tg arcsin d d cos cos Пример. sin d arccos d d sin arctg sin cos d d R cos,sin) общего вида универсальная подстановка) tg arctg cos sin d d R -cos,sin ) R cos,sin ). Так как. функция нечетная относительно cos, применяем подстановку sin,, cos, d d, получим ) d d d d C sin sin C. tg tg tg dtg ln tg C. tg tg

19 Задачи для самостоятельного решения. Интегрирование иррациональных выражений

20 . d d. 0. d ) d. d.. d d d ) d 9. d 0.. d d.. d. d d. d d d d 0. d ) d. 7 d. d.. d. d d. ) 7. d 8. d ) d 9. d 0. )

21 Интегрирование тригонометрических выражений. d sin cos. sin cos d cos. d sin 8sin cos. cos sin d. d cos. sin d sin cos 7. tg d sin cos 8. d cos sin 9. d sin cos 0. d 7 cos sin. sin cos d. sin cos d. d cos sin. tg d sin cos. d sin cos 8. cos sin d 7. sin cos d 8. sin cos d 9. cos sin d d 0. 7 cos sin d. cos. cos cos 7d cos. d sin. sin cos d. ctg d sin cos. sin d cos 7. sin d cos tg 8. d ctg 9. d sin sin cos 0. cos cos cos d


Неопределенный интеграл. Вводная часть.

Неопределенный интеграл. Вводная часть. Неопределенный интеграл Вводная часть Определение Функция F( ) называется первообразной для данной функции f( ), если F( ) f( ), или, что то же самое, df f d Данная функция f( ) может иметь различные первообразные,

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра прикладной механики и математики НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Подробнее

. 4 Основные методы интегрирования

. 4 Основные методы интегрирования 5. 4 Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведение подынтегрального выражения к табличной форме и использование свойств неопределенного

Подробнее

Простейшие неопределенные интегралы

Простейшие неопределенные интегралы Простейшие неопределенные интегралы Примеры решения задач Следующие интегралы сводятся к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина В.И. Иванов Методические указания к изучению темы «Неопределенный интеграл» (для студентов

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Лемма Функция F( называется первообразной для функции f( на промежутке X, если F ( = f( X Функция,

Подробнее

"В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие"

В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие "В математике как и в жизни каждому действию есть противодействие" -площади плоских фигур и поверхности; -объема и массы тела; -статистическиих моментов и моментов инерции плоской фигуры, материальной

Подробнее

Автор - проф. Филиппов А.Н.

Автор - проф. Филиппов А.Н. Пять лекций по неопределенному интегралу Лекция Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и ее свойства Действие, обратное дифференцированию, называется интегрированием f д и ф ф е р и н т

Подробнее

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие

Д.Г. Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Учебно-справочное пособие 57(07) Д ДГ Демьянов НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Учебно-справочное пособие Челябинск 00 УДК 57 (0765) Демьянов ДГ Неопределенный интеграл: Учебно-справочное пособие / Под ред СА Уфимцева Челябинск: Изд-во

Подробнее

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

( ) n ( ) ( ) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) Лекция 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Функция F() называется первообразной для функции f() на промежутке X, если F / () = f() X.

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ИМЭИ ИГУ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Гражданцева ЕЮ, Дамешек ЛЮ В пособии излагается основной теоретический материал по теме: Неопределенный интеграл Приводятся

Подробнее

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x)

Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P ( x) ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

Подробнее

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt =

Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа. M x p + + = + N. dt = 57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа ( M N ) d ( ) p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M ( p q) p

Подробнее

«Неопределенный интеграл»

«Неопределенный интеграл» ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МАХАЧКАЛИНСКИЙ ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧЕРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕСИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОГО АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО

Подробнее

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл

6. Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл Занимаясь дифференцированием функций, мы по данной функции находили ее производную Сейчас перейдем к обратной задаче: найти функцию, зная

Подробнее

Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный и определенный интегралы ~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Подробнее

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x)

Глава II. Интегралы. , тогда ( F( x) c) F ( x) c. . Свойство 2. Если F( x ) и ( x) Глава II Интегралы Первообразная функция и ее свойства Функция F( ) называется первообразной непрерывной функции f( ) на интервале a b, если F( ) f( ), a; b ( ; ) Например, для функции f( ) первообразными

Подробнее

Методы интегрирования

Методы интегрирования Методы интегрирования Методы интегрирования. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе. Понятия о рациональных функциях и их свойствах. Интегрирование простейших рациональных дробей. Теорема

Подробнее

Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Подробнее

Глава 6. Неопределенный интеграл

Глава 6. Неопределенный интеграл Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F'() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

Подробнее

Тема: Интегрирование рациональных дробей

Тема: Интегрирование рациональных дробей Математический анализ Раздел: Неопределенный интеграл Тема: Интегрирование рациональных дробей Лектор Пахомова Е.Г. 0 г. 5. Интегрирование рациональных дробей ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рациональной дробью называется

Подробнее

Глава 1. Неопределенный интеграл.

Глава 1. Неопределенный интеграл. Глава Неопределенный интеграл Первообразная и неопределенный интеграл Изучая дифференциальное исчисление, мы, в частности, рассматривали следующую задачу: на интервале числовой оси задана функция, надо

Подробнее

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин

Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: В.П.Белкин Лекции «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Составитель: ВПБелкин Лекция Неопределенный интеграл Основные понятия Свойства неопределенного интеграла 3 Основная таблица первообразных 3 4 Типовые примеры 3 5 Простейшие

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» УТВЕРЖДАЮ Декан ЕНМФ Ю.И. Тюрин 006г. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ

Подробнее

9. Первообразная и неопределенный интеграл

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл:

. (177) Возьмем от обеих частей равенства (177) неопределенный интеграл: Тема Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования Интегрирование по частям Пусть u и v две дифференцируемые функции одного и того же аргумента Известно, что d( u v) udv vdu (77) Возьмем от обеих

Подробнее

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» А А АТВИНОВСКИЙ И В ПАРУКЕВИЧ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ О.И. Судавная, С.В.

Подробнее

Тема 1 Неопределенный интеграл. 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл

Тема 1 Неопределенный интеграл. 1.2 Неопределенный интеграл и его геометрический смысл Тема Неопределенный интеграл Практическое занятие Первообразная и неопределенный интеграл Определение первообразной функции Неопределенный интеграл и его геометрический смысл Основные свойства неопределенного

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Методические

Подробнее

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 1

Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ. Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА 1 Некоммерческое акционерное общество АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ Кафедра высшей математики МАТЕМАТИКА Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов

Подробнее

4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ) МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ -------------------------------------------------------------------------------------------------

Подробнее

ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ

ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическая физика и вычислительная математика» ИВ Дубограй, ЕВ Коломейкина, СИ Шишкина

Подробнее

на промежутке X, если для всех x из промежутка X имеет место равенство . Отметим, что функции 2 ; 3 ; 7 и т.д. также являются

на промежутке X, если для всех x из промежутка X имеет место равенство . Отметим, что функции 2 ; 3 ; 7 и т.д. также являются ГЛАВА НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Понятия первообразной и неопределённого интеграла П Понятие первообразной Основной задачей дифференциального исчисления является задача нахождения производной данной функции

Подробнее

Разложение рациональных дробей на простейшие. Лекция 2

Разложение рациональных дробей на простейшие. Лекция 2 Разложение рациональных дробей на простейшие Лекция 1 n n1 Пусть Pn ( z) anz an 1z a0, an 0 многочлен степени n с комплексными в общем случае коэффициентами. Теорема 1. Всякий многочлен степени n можно

Подробнее

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА Неопределённый интеграл Учебное пособие Санкт-Петербург 007 УДК

Подробнее

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Методические

Подробнее

называется первообразной для функции f (x) X, если для всех x из промежутка X имеет место равенство является функция f (x), так как x ;

называется первообразной для функции f (x) X, если для всех x из промежутка X имеет место равенство является функция f (x), так как x ; ГЛАВА 5 НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Понятия первообразной и неопределённого интеграла П Понятие первообразной Основной задачей дифференциального исчисления является задача нахождения производной данной функции

Подробнее

9. Неопределенный интеграл.

9. Неопределенный интеграл. 9. Неопределенный интеграл. Функция F() называется первообразной для функции f() на промежутке (b), если для всех (b) выполняется равенство F() = f(). Например, для функции первообразной будет функция

Подробнее

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ(

. Имеем. . Запишем теорему Ланграджа для функции ϕ ( x ) ϕ( Лекция.. Интегральное исчисление Неопределенный интеграл Определение Функция F) называется первообразной для функции f) на отрезке [;], если для всех [;] выполнено равенство F)f) Примеры f ) F ) Замечание

Подробнее

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Неопределенный интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл. Как по данной функции fх найти такую функцию Fх, производная которой равна данной функции. Опр. Функция Fх называется первообразной от

Подробнее

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания

Решение типовых вариантов. контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной. Методические указания Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы

Подробнее

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет В Б СМИРНОВА, Л Е МОРОЗОВА Неопределённый интеграл Учебное пособие Санкт-Петербург

Подробнее

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c)

, обращающая уравнение в тождество. Определение. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y ( x, c) II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

Подробнее

Интегрирование простейших рациональных дробей. q R, называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов.

Интегрирование простейших рациональных дробей. q R, называются простейшими рациональными дробями I, II, III и IV типов. Правильные рациональные дроби вида где Интегрирование простейших рациональных дробей. A a I A, k a kn, k II M N, p q0 pq III M N, p q0, k pq kn, k IV A, M, N, a, p, q R, называются простейшими рациональными

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ III ТЕМА ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГЛАВЛЕНИЕ

Подробнее

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f ( x ) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f ( x ) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление . НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.. Понятие неопределенного интеграла В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f ( ) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает

Подробнее

8. Первообразная и неопределенный интеграл

8. Первообразная и неопределенный интеграл ТЕОРИЯ 8. Первообразная и неопределенный интеграл Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F() называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ Кафедра высшей математики Телкова СА ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЫ ВОРОНЕЖ - 9 УДК 7 Т 8 Рецензенты: Профессор кафедры алгебры и топологических

Подробнее

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература...

ОГЛАВЛЕНИЕ. Приложение 1. Некоторые «неберущиеся» интегралы... 331 Приложение 2. Примеры некоторых кривых... 332. Литература... ОГЛАВЛЕНИЕ Введение................................................ 3 Глава. Неопределенный интеграл.......................... 6.. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла........................

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Л.А.

Федеральное агентство по образованию. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Л.А. Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О.В.Исакова Л.А.Сайкова НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Министерство образования Российской Федерации «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского Кафедра «Высшая математика» НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Варианты

Подробнее

ИНТЕГРИРОВАНИЯ И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х И Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й

ИНТЕГРИРОВАНИЯ И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Х И Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ» Кафедра математики и информатики

Подробнее

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

САМОУЧИТЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Т.В. Тарбокова Высшая математика IV САМОУЧИТЕЛЬ

Подробнее

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Методические указания для самостоятельной работы студентов Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Методические

Подробнее

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ ВЫСШАЯ

Подробнее

Математический анализ

Математический анализ Математический анализ Краткий конспект лекций Составитель В.А.Чуриков Кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры Высшей математики Томского политехнического университета. http://www.tpu.ru/ Национальный исследовательский

Подробнее

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ Р Е

Подробнее

Лекция 22 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (5)

Лекция 22 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (5) Лекция ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (5) Интегрирование некоторых иррациональных функций Квадратичные иррациональности Интеграл вида Выделение полного квадрата

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования.

ЛЕКЦИЯ N11. Методы интегрирования. ЛЕКЦИЯ. Методы интегрирования..интегрирование по частям..рациональные дроби. Разложение правильной дроби на простейшие...интегрирование рациональных дробей..интегрирование по частям. Пусть u и v две непрерывные

Подробнее

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет им НГ Чернышевского» РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОВ Сорокина Учебное пособие для студентов нематематических направлений подготовки

Подробнее

В.Д. Кулиев, Е.В. Макаров, В.М. Сафрай ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ,

В.Д. Кулиев, Е.В. Макаров, В.М. Сафрай ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, ВД Кулиев ЕВ Макаров ВМ Сафрай ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Методические указания и контрольные задания для студентов курса технических специальностей Предисловие Настоящее пособие предназначено

Подробнее

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые

(или df(x)=f (x) dx).. Очевидно, что первообразными будут также любые Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

Подробнее

Непосредственное интегрирование.

Непосредственное интегрирование. Непосредственное интегрирование. Метод интегрирования, при котором интеграл путём тождественных преобразований подинтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределённого интеграла приводится

Подробнее

О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского»

О.В. Сорокина. ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского» ФГБОУ ВО «Саратовский национальный исследовательский государственный университет им НГ Чернышевского» УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ: «ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Подробнее

PDF created with FinePrint pdffactory trial version

PDF created with FinePrint pdffactory trial version Лекция 7 Комплексные числа их изображение на плоскости Алгебраические операции над комплексными числами Комплексное сопряжение Модуль и аргумент комплексного числа Алгебраическая и тригонометрическая формы

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N Интегрирование тригонометрических выражений. cos. 2cos 2x. sin 2x

ЛЕКЦИЯ N Интегрирование тригонометрических выражений. cos. 2cos 2x. sin 2x ЛЕКЦИЯ N. Интегрирование тригонометрических функций и иррациональных выражений.. Интегрирование тригонометрических выражений.....интегрирование иррациональностей..... Интегрирование тригонометрических

Подробнее

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания

Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц. Методические указания МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая, А. Н. Карапетянц Методические указания для самостоятельной работы студентов 1 курса

Подробнее

13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. 1. Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов

13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. 1. Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Интегрирование произведения синусов и косинусов различных аргументов Тригонометрические формулы k m [ ( m k ( m k ], ( k m [ ( m k ( m k ], ( k m [ ( m k ( m k

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

t + x x dx = + C = = ax bx c I Ax + B dx

t + x x dx = + C = = ax bx c I Ax + B dx 67 Тогда ( ( ( d C C d ( Интегралы вида I b c I A B,, I b c b c Для вычисления интеграла I выделяется полный квадрат под знаком радикала b c b b b c ± и применяется подстановка b u, du du В результате

Подробнее

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Подробнее

Интегрирование рациональных функций (продолжение)

Интегрирование рациональных функций (продолжение) Занятие 4 Интегрирование рациональных функций (продолжение) Рациональной функцией (или, по-просту, дробью) называется отношение двух многочленов, то есть функция вида R() = f() g() = a 0 m + a m +...+

Подробнее

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x

I. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. есть первообразная для f x или или I ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение Функция F называется первообразной для f F f если () df f d () 5 f 5 так как 5 5 Пример F есть первообразная для 5 d Пример F si есть первообразная

Подробнее

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1)

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. F (x, y, y ) = 0, (1.1) 1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Подробнее

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ

2. Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Расчетно-графическая работа «Неопределенный и определенный интегралы ВВЕДЕНИЕ Основной целью данных методических указаний является оказание помощи студентам всех специальностей дневного обучения при изучении

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Московский государственный университет приборостроения и информатики кафедра высшей

Подробнее

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» КАФЕДРА «МАТЕМАТИКА» ЛГ ХАЛИЛОВА

Подробнее

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина

В.И. Иванов. Министерство образования Российской Федерации. Российский государственный университет нефти и газа имени И.М. Губкина Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ УКРАИНЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по дисциплине Высшая математика и варианты контрольных заданий Разделы Интегральное

Подробнее

Пример выполнения задач, аналогичных задачам 1-10 (КР-3). Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием. 1) ; 2) ; 3).

Пример выполнения задач, аналогичных задачам 1-10 (КР-3). Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием. 1) ; 2) ; 3). Контрольная работа 3 Тема 5. Неопределенные интегралы Задачи 1-10 посвящены вычислениям нетабличных интегралов различными методами с последующей проверкой дифференцированием. Используются следующие приемы

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8

МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 7, 8 Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Подробнее

Дробно-рациональные выражения

Дробно-рациональные выражения Дробно-рациональные выражения Выражения содержащие деление на выражение с переменными называются дробными (дробно-рациональными) выражениями Дробные выражения при некоторых значениях переменных не имеют

Подробнее

( x) ( ) Расчетно-графическая работа 4 Интегралы

( x) ( ) Расчетно-графическая работа 4 Интегралы Расчетно-графическая работа Интегралы Задания -8. Найти неопределенные интегралы: Сделать проверку дифференцированием в трех из шести задач. ) Решение. arccos d Применяем метод подстановки: t = arccos,

Подробнее

РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ ПРЕДИСЛОВИЕ

РЕПОЗИТОРИЙ БГПУ ПРЕДИСЛОВИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ Математика как учебная дисциплина прочно заняла место в учебны плана нематематически специальностей высши учебны заведений Для специалиста нематематического профиля важно понимать роль и место

Подробнее

Определенный интеграл

Определенный интеграл Определенный интеграл. Основные формулы и теоремы. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница f ( ) F( ) F( ) F( ); () где F() - одна из первообразных для f(), т.е. F f ( ) () Замечание:

Подробнее

Т е м а 4 Неопределенный интеграл

Т е м а 4 Неопределенный интеграл 17 Т е м а 4 Неопределенный интеграл Интегральное исчисление является составной частью математического анализа, и применяется при решении множества задач из области физики, химии, биологии, а именно в

Подробнее

ИНТЕГРАЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ρ = ρ (ϕ)

ИНТЕГРАЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ρ = ρ (ϕ) ИНТЕГРАЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ρ ρ (ϕ) β α ρ УДК 57(76) ББК В6я7 Н9 Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета Р е ц е н з е н т Кандидат физико-математических наук, доцент ГОУ ВПО

Подробнее

ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» 1 курс, 1 семестр. ТЕМА 1. Матричная алгебра Е =. Заочная форма обучения. Действия над матрицами

ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» 1 курс, 1 семестр. ТЕМА 1. Матричная алгебра Е =. Заочная форма обучения. Действия над матрицами ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» курс, семестр Заочная форма обучения ТЕМА Матричная алгебра При решении экономических задач применяются методы экономико-математического моделирования, использующие решение

Подробнее

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Московский государственный технический университет имени НЭ Баумана ЕБ Павельева НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Методические указания к решению задач по курсу «Интегралы и дифференциальные уравнения» УДК 57

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

Подробнее

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА»

1 x y. y y. x y ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» ТЕМА 7 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА» Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1. d d d d 1 1 0.. d d d. d d d 5. 6d 6d d d 6. d d 0 7. 8. (

Подробнее

+ представляется в виде произведения линейных множителей следующим образом:

+ представляется в виде произведения линейных множителей следующим образом: Лекция. Элементы теории многочленов. Многочлен (некоторые сведения справочного характера) Функция вида: 1 P ( x) a0x a1x... a 1x a = + + + + (1) где натуральное число a i ( i = 01... ) постоянные коэффициенты

Подробнее

Для интегрирования рациональной функции

Для интегрирования рациональной функции Интегрирование рациональных функций Для интегрирования рациональной функции последовательность шагов:, где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая 1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) степени

Подробнее

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 5 Решить уравнения: 0 Преобразуем уравнение: Контрольная работа Дифференциальные уравнения Вариант 0 Уравнение с разделяющимися переменными: ( ) d ( ) arcsin arcsin d Ответ: arcsin d d d Так как f, то заданное

Подробнее

5. Неопределенный интеграл, методы интегрирования.

5. Неопределенный интеграл, методы интегрирования. 5. Неопределенный интеграл, методы интегрирования. Актуальность темы Неопределенный интеграл одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью отыскивать функции по их производным

Подробнее