Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1"

Транскрипт

1 МОДУЛЬ МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Практическое занятие 6-7 Тема: Преобразование координат Полярные координаты Расстояние между точками Деление отрезка в данном отношении Метод координат План Преобразование АСК Преобразование ПДСК Полярные координаты 4 Переход от полярных координат к прямоугольным 5 Расстояние между точками 6 Деление отрезка в данном отношении 7 Метод координат Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O и O Первую систему назовем старой, а вторую новой Пусть M - произвольная точка плоскости, которая в старой системе имеет координаты x, y, а в новой системе - x, y Задача преобразования координат состоит в следующем: зная координаты нового начала координат и новых координатных векторов в старой системе: ( c, c ), ( c, c ), O ( x0, y0 ) выразить координаты x, y точки M в старой системе через координаты x, y той же точки в новой системе x = c x + c y + x, y = cx + c y + y0 - формулы преобразования аффинной системы координат Преобразование ПДСК Формулы преобразованияпдск: x = x cosα εy sinα + x, y = x sinα + εy cosα + y0 где ε =, если системы координат Oi j и они ориентированы противоположно 0 0 O i j ориентированы одинаково, и ε =, если 56

2 Полярные координаты Зададим на ориентированной плоскости точку O и единичный вектор i Пара, состоящая из точки O и вектора i, называется полярной системой координат и обозначается так: i O, i O или ( ) Рис Пусть M - произвольная точка плоскости Обозначим через ρ расстояние от точки O до точки M, а через ϕ - направленный угол ( i, OM ), те ρ = OM, ϕ = ( i, OM ) Числа ρ и ϕ называются полярными координатами точки M в полярной системе Число ρ называется полярным радиусом или первой полярной координатой точки M, а число ϕ - полярным углом или второй координатой этой точки Переход от полярной системы к присоединенной ПДСК Пусть ρ и ϕ - полярные координаты точки M, отличной от точки O, а x, y - ее координаты в присоединенной прямоугольной системе Тогда OM = xi + yj и ϕ = ( i, OM ) x = ρ cos ϕ, y = ρ sinϕ Зная полярные координаты ρ и ϕ точки M, по формулам (0) найдем прямоугольные координаты Oi x, y этой точки Из формул (0) находим: ρ = x + y x + y = ρ и, значит, Для точки M, отличной от полюса O, имеем ρ 0, из формул (0), () находим: cosϕ = x,sinϕ = y x + y x + y Зная прямоугольные координаты x, y точки M, отличной от начала координат, мы по формулам () и () найдем полярные координаты ρ и ϕ этой точки Расстояние между точками Пусть в прямоугольной системе координат Oi j точки A, B имеют координаты ( x, y ), B x, y A ( ) AB ( x x ) + ( y ) = y Деление отрезка в данном отношении Пусть M и M - две точки плоскости, а λ - некоторое действительное число, причем λ Говорят, что M делит отрезок M M в данном отношении λ, если 57

3 M M = λ MM x + λx y + λy x =, y = + λ + λ Так выражаются координаты x, y точки M, делящей в данном отношении λ Середина отрезка M M имеет координаты ( λ = ) : x + x y + y x =, y = λ M M = M M + λ Сущность метода координат на плоскости Метод координат в геометрии состоит в том, что посредством координат точек геометрические объекты задают аналитически с помощью чисел, уравнений, неравенств или их систем и тем самым при доказательстве теорем или решении геометрических задач используют аналитические методы Это существенно упрощает рассуждения и часто позволяет доказывать теоремы или решать задачи, пользуясь определенным алгоритмом, в то время, как синтетический метод в геометрии в большинстве случаев требует искусственных приемов Но для того чтобы пользоваться методом координат, необходимо уметь с помощью чисел, уравнений, неравенств или их систем задавать геометрические фигуры Задача Доказать, что отрезки, соединяющие середины противолежащих ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам Рис =, Решение Пусть OABC - данный тетраэдр, а D, D; E, E; F, F - соответственно середины ребер OA и BC, OB и AC, OC и AB Аффинную систему координат O выберем так, чтобы OA, = OB = OC В этой системе координат вершины тетраэдра имеют координаты O ( 0,0,0), A(,0,0 ), B( 0,,0 ), C( 0,0, ) Найдем координаты середины M отрезка D D Точки D и D - середины отрезков OA и BC, поэтому они имеют координаты D,0,0, D 0,, Следовательно, точка M имеет координаты M,,

4 Точно так же находим координаты середин отрезков E E и F F и убеждаемся в том, что эти точки имеют те же координаты:,,, поэтому они совпадают с точкой M Задача Дан параллелепипед ABCDA BC D, точки Mи N - центры тяжести треугольников A BD и B DC Доказать, что точки Mи N лежат на диагонали AC параллелепипеда делят эту диагональ на три равные части Рис ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 D Решение Задача будет решена, если докажем, что AM = MN = NC Аффинную систему координат O выберем так, чтобы = AB, = AD, = AA В этой системе координат вершины параллелепипеда имеют координаты A,0,0, B,0,0 C,,0, D 0,,0, A 0,0,, B,0,, C,,, 0,, По формулам () находим координаты точек Mи N : координаты M,,, N,, Векторы AM, MN и NC имеют AM,,, MN,,, NC,, Отсюда следует, что AM = MN = NC, поэтому точки Mи N лежат на диагонали AC и делят ее на три равные части Задача Дана четырехугольная пирамида SOACB, ребра OA, OB и OS которой взаимно перпендикулярны и имеют длины: OA = a, OB = b, OS = h Основанием пирамиды служит прямоугольник OACB, на стороне AC которого взята точка K так, что AK=c S A x a h o c K b C B y Рис 59

5 Решение Прямоугольную правую систему координат Oxyz выберем так, как показано на рисунке В этой системе координат вершины пирамиды и точка K имеют координаты O ( 0,0,0), A( a,0,0), B( 0, b,0), C( a, b,0), S( 0,0, h), K( a, c,0) Угол ϕ между плоскостями SBC и SOK равен углу между двумя векторами, перпендикулярными соответственно к этим плоскостям В качестве таких векторов могут быть выбраны векторы p = [ BC, SB] и q = [ OS, OK ], поэтому ϕ = ( p, q ) Найдем координаты векторов p и q и по этим координатам вычислим cos ϕ Векторы ( a, 0,0), SB( 0, b, h), OS( 0,0, h), OK( a, c,0) ( 0, ah, ab) ; q( hc, ah,0) BC, SB, OS и OK имеют координаты BC Находим координаты векторов p и q : p ah cosϕ = a + c b + h Задача 4 На прямой даны три точки A, B, C так, что точка B лежит между A и C По одну сторону от прямой l построены равносторонние треугольники AMB и BNC Доказать, что середина отрезка MC, середина отрезка NA и точка B являются вершинами равностороннего треугольника Решение Пусть P середина отрезка MC, а Q середина отрезка AN (рис) Требуется доказать, что треугольник PQB равносторонний Возьмем на плоскости прямоугольную декартову систему координат, определим координаты вершин PQB, найдем длины его сторон и убедимся в том, что PQ = QB = BP Систему координат выберем следующим образом: начало O совместим с точкой A, за вектор i примем вектор AB, а вектор j направим так, чтобы его конец и точки M и N лежали по одну сторону от прямой l Если BC = a, то легко убедиться в том, что вершины данных треугольников в системе Oij имеют координаты: A (0,0), B (,0), C ( + a,0), Определим координаты точек ) a M,,, N + a P x, y и Q x, y ) : ( ( + a + a x =, y = ; x =, y = a Пользуясь формулой для вычисления длины отрезка по координатам концов, получаем: BQ = PQ = PB = a a + N M j Q P A i B Рис 4 C 60

6 Задача 5 Найти множество всех точек M для каждой из которых разность квадратов расстояний от двух данных точек A и B есть постоянная величина α Решение Прямоугольную декартову систему координат возьмем так, чтобы ось Ox совпадала с прямой AB, а начало координат с точкой A (рис) Если AB = a, то в выбранной системе координат: A (0,0) и B (a,0) Для того, чтобы точка M ( x, y) принадлежала искомому множеству точек, необходимо и достаточно, чтобы или x + y [( x a) + y ] = α После элементарных преобразований получаем уравнение искомого множества точек в выбранной системе координат: + a x = α (*) a Этим уравнением, как легко видеть, определяется прямая, параллельная оси Oy (те 4 M x, y ( ) AM BM + a перпендикулярная прямой AB ) и отстоящая от точки A на расстояние λ = α Эта a прямая пересекает луч AB, если α + a > 0, проходит через точку A, если α + a = 0, и пересекает дополнительный луч, если α + a < 0 Рассмотрим частный случай, когда α = 0, те когда AM BM = 0 В этом случае, очевидно, предыдущее соотношение эквивалентно условию AM BM Таким образом мы получаем множество точек M, равноудаленных от точек A и B, уравнение которого, как следует из соотношения (*), имеет вид: x = Мы пришли к известной из a курса элементарной геометрии теореме: множество точек, равноудаленных от двух точек A и B, есть прямая, проходящая через середину C отрезка AB и перпендикулярная к нему = α j A i C B Рис 5 Задача 6 Найти полярные координаты M ( ; ) если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось с положительно направленной осью абсцисс Решение: ρ = x + y = + ( ) y tgϕ = = - IV четверть x = + = 5π ϕ = 5π М (; ) - в полярной системе координат 6 4 =

7 Задача 7 Найти координаты вершин C и D квадрата ABCD, если ( ; ), B( 4;0) Решение Согласно условию, A ( ; ), B( 4;0) - известные, а C( x ; y ), D( x y ) ; A - неизвестные вершины квадрата Так как длина стороны квадрата AB = + = 5 и BC = AB, то BC = ( x 4) + y = 5 () Найдем угловой коэффициент стороны AB Для этого воспользуемся формулой y y0 k =, где ( x, y) - координаты точки B, а ( x0, y0 ) - координаты точки A; тогда получим x x0 0 k = = Но 4 BC AB и, следовательно, уравнение BC имеет вид y 0 = ( x 4), т е y = x 8 Далее, точка C ( x, y) лежит на BCи, значит, y = x 8 () Решив систему уравнений () и (), найдем две точки C (5;) и C ( ; ), которые симметричны относительно точки B Для точки C (5;) имеем AC( ;), BD( x 4; y ), откуда, учитывая, что AC BD, получаем AC BD = 0, или x + y = 0 y = x () BD = x 4 + y = ( 5) + ( 5), или Кроме того, ( ) ( 4) + y 0 x (4) Решив теперь систему уравнений () и (4), найдем две точки D ( 5; ) и D (;) = Чтобы отобрать нужную точку, воспользуемся коллинеарностью векторов AB и CD Если D ( 5; ), то CD ( 0;5), AB(; ), т е CD AB и, значит, точка D ( 5; ) не является вершиной квадрата Если же D (;), то СD ( ; ), т е CD AB Итак, точки C (5;) и D (;) являются вершинами квадрата Рассуждая аналогично, для точки C ( ; ) находим вершину D ( ; ) B (4;0) С ( x ; y) A (;) D x ; y ) Рис 6 Задачи для самостоятельного решения Расстояние между точками 84 Определить расстояние между двумя точками: а) А (5, ), В (, -); б) С (-6, ), D (0, -5); в) О (0,0), Р (-, 4); г) Е (9, -7), F (4, 5) 85 Найти расстояние между точками: 6 (

8 а) А (,, ), В (, -, 0); б) А (, -, ), В (, -, 8); в) А (-, -, 0), В (,, 5 ) 86 Даны вершины треугольника А(, ), В(-, -), С(, -6) Определить длины его сторон 87 Определить радиус окружности, которая проходит через точку А (, ) и имеет центр в точке С (, -) 88 Определить радиус сферы, проходящей через точку А (-, 0, ) и имеющей центр в точке С (,, 6) 89Доказать, что треугольник АВС прямоугольный, если: а) А (0, 0), В (, ), С (, 7); б) А (, ), В (, ), С (5, -) 90 Даны две смежные вершины квадрата А (, -7) и В (-, 4) Вычислить его площадь 9 Даны две противолежащие вершины квадрата АВСD: А (, 5) и С (,-) Вычислить его площадь 9 Вычислить площадь правильного треугольника АВС, если заданы две его вершины: А (-, ) и В (, 6) 9 Определить ординату точки М, зная, что ее абсцисса равна 7, а расстояние до точки N(-, 5) равно 0 94 На оси ординат найти точку, отстоящую от точки А на расстоянии d, если: а) А (4, -6), d =5; б) А (, -), d =6; в) А (-8, ), d =7 95 На оси абсцисс найти точку М, удовлетворяющую условию: а) расстояние d от точки М до точки А (, -) равно 5; б) расстояние d от точки М до точки А (0, 5) равно 0; в) расстояние d от точки М до точки А (, 6) равно 9 96 На биссектрисах координатных углов найти точки, расстояние от которых до точки М (-, 0) равно 0 97 На оси Ох найти точку, равноудаленную от точек: а) А (0, 0), В (9, -); б) А (5, ), В (-, -4); в) А (0, 6), В (, -4) 98 На оси Оу найти точку, равноудаленную от точек: а) А (-4, 0), В (-, -7); б) А (-, -), В (6, ); в) А (0,8), В (-6,4) 99 На оси ординат найти точку, равноудаленную от точек А (, -, 7) и В (5, 7, -5) 00 Какому условию должны удовлетворять координаты точки М (x, y), если она равноудалена от точек: а) А (7, -), В (-, ); б) А (5, ), В (-, -4); в) А (0, 6), В (, -4) 0 Вычислите координаты точки М, расстояние от которой до оси абсцисс и до точки А (, ) равно 0 0 Найдите точку М, расстояние от которой до оси ординат и до точки А (8, 6) равно 5 0 Вычислите координаты точки М, равноудаленной от осей координат и от точки: а) А (-8, -); б) А (4, ) 04 Даны три вершины А (, -7), В (5, -7), С (-, 5) параллелограмма АBCD, четвертая вершина которого D противоположна вершине В Определить длины диагоналей этого параллелограмма 05 Даны две противоположные вершины квадрата А (, 0) и С (-4, ) Найти две его другие вершины 6

9 06 Даны две смежные вершины квадрата А (, -) и В (-, ) Определить две его другие вершины 07 Зная две противолежащие вершины ромба А (8, -), С (0, ) и длину его стороны АВ=0, определить координаты остальных вершин ромба 08 Сторона ромба равна 5 0 Вычислить площадь этого ромба, если две его противолежащие вершины есть точки А (4, 9) и С (-, ) 09 Сторона ромба равна 5 Вычислить длину высоты этого ромба, если две его противолежащие вершины есть точки А (, -4) и В (, ) 0Доказать, что точки А, В, С, D являются вершинами квадрата, если: а) А (, ), В (-, 6), С (-5, ) и D (-,-); б) А (7,, 4), В (4, -4, ), С (6, -7, 8), D (9, -, 0) Вычислить периметр и площадь треугольника, вершинами которого служат точки: а) А(4, ), В(9, 4), С(7, 6); б) А(, ), В(-, -), С(, -6) Доказать что треугольник АВС является равнобедренным, если: а) А (, -, ), В (0, -4, ), С (-,, ); б) А (, 5, -4), В (-,, ), С (-5, -5, -) Даны вершины А (, -, 4), В (,, -6), С (-5, 0, ) треугольника Вычислить длину его медианы, проведенной из вершины А 4 Определить координаты вершин равностороннего треугольника, лежащего в I координатной четверти, если длина его стороны 0 единиц, одна из вершин совпадает с началом координат О, а основание треугольника расположено на оси Ох 5 Найти точку, равноудаленную от трех данных точек: а) А (, ), В (-5, ), С (, -5); б) А (7, -), В (-, ), С (-, -5); в) А (0, 7), В (-4, -7), С (, -7); г) А (, ), В (5, ), С (7, -); д) А (5,4), В (, 8), С (-, -7); е) А (, ), В (4, -), С (5, ) 6 Найти точку, равноудаленную от точек А (0,, -), В (, 0, ), С (-,, 0), D (, -, ) 7 Найти центр и длину радиуса окружности, проходящей через точки А (-, 9), В (-8, ), С (9, 9) 8 Найти координаты центра и радиус сферы, которая проходит через точки А (0, 0, 0), В (0,, 0), С (, 0, 0), D (0, 0, ) 9 Найти центр окружности, проходящей через точку А (-4, -) и касающейся оси абсцисс в точке В (, 0) Деление отрезка в данном отношении 0 Найти координаты середин сторон треугольника АВС, если: а) А (,-7), В (5,), С (-,0); б) А (,-), В (,-5), С (-5,7); в) А (,,-5), В (,-4,), С (-,0,) Найти координаты точки пересечения медиан треугольника АВС, если: а) А (,-), В (5,), С (-,4); б) А (,4), В (-5,0), С (-,-); в) А (7,-4), В (-,8), С (-,-); г) А (x, y ), В (x, y ), С (x, y ) Дан отрезок АВ, М его середина Найти координаты точки В, если: а) А (-,-), М (5,); б) А (-,), М (,4); в) А (-,-,7), М (,-,5) Даны две точки А (,-) и В (,) Определить: а) координаты точки М, симметричной точке А относительно точки В; б) координаты точки N, симметричной точке B относительно точки A 64

10 4 Найти вершины треугольника АВС, зная середины его сторон: а) М (,-), N (,6), P (-4,); б) М (,-), N (-,4), P (-,) 5 Даны координаты двух смежных вершин А и В параллелограмма АВСD и точка М пересечения его диагоналей Вычислить координаты двух остальных его вершин, если: а) А (-4,-7), В (,6), М (, ); б) А (-,5), В (,7), М (,) 6 Даны три вершины А, В,С параллелограмма АВСD Найти его четвертую вершину D, противолежащую вершине В, если: а) А (4,), В (5,7), С (-,4); б) А (,-5), В (5,-), С (-,); в) А (,), В (4,-), С (0,5); г) А (,-,), В (,,-4), С (-,,) 7 Отрезок АВ разделен на пять равных частей Определить координаты точек деления, если: а) А (,), В (5,6); б) А (-7,-), В (,); в) А (-,8,), В (9,-7,-) 8 Отрезок АВ разделен на три равные части Определить координаты точек деления, если: а) А (,-), В (4,); б) А (-8,-5), В (0,4) 9 Даны три точки А (,-), В (,), С (4,5), лежащие на одной прямой Определить отношения, в которых каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими 0 Точка С делит отрезок АВ в отношении :5 (от А к В) Концами отрезка служат точки А (,) и В (0,) Найти координаты точки С Отрезок с концами в точках А (,-) и В (0,-9) делится точкой С в отношении :5 Найти координаты точки С Определить координаты точек, делящих отрезок с концами А (,) и В (-,) в отношениях: л = ; л = -; л = ; л4 = ; л 5 = - 5 Отрезок с концами в точках А (-,) и В (9,) разделен в отношении ::5 (от А к В) Найти координаты точки деления 4 Отрезок, концами которого служат точки А (-5,-), В (4,) разделен в отношении :4: (от А к В) Найти координаты точки деления 5 Отрезок АВ разделен на пять равных частей Известна первая точка деления С (,- 5,7) и последняя F (-,4,-8) Определить координаты концов отрезка и остальных точек деления 6 а)точка С (,5) делит отрезок АВ в отношении АС:CB = :4 Найти координаты начала отрезка точки А, если его концом служит точка В(-,); б) С (-,0), АС:CB = :5, В (-5,-); в)c (-,,5), АС:CB = :, В (7,-,5) 7 а) Точка С(-,) делит отрезок АВ в отношении АС:CB = : Найти координаты конца отрезка точки В, если его началом служит точка А (-0,5); б) С (,), АС:CB = 5:, А (-9,-); в) С (-,5), АС:CB = :7, А (-4,7) 8 Определить координаты концов отрезка АВ, который точками С и D разделен на три равные части, если: а) С (,) и D (,5); б) С (,0,), D (5,-,0) 9 На луче, выходящем из начала координат и проходящем через точку М (4,) найти точку P, расстояние которой от начала координат равно 9 65

11 40 Дан треугольник АВС Найти точку пересечения биссектрисы угла А с противолежащей стороной ВС, если: а) А (4,), В (7,5),С (-4,7); б) А (,-), В (,-5), С (4,7) 4 Два подобных треугольника имеют общую вершину А (,-6) и общий угол при этой вершине Найти две другие вершины большего треугольника, если известны вершины меньшего: В (6,;-,6) и С (5;), а отношение сходственных сторон равно 5 4 На прямой АВ найти точку, имеющую с абсциссой x, если: а) А (-,5), В (-,), x =5; б) А (-,-), В (-,-5), x = 4 Прямая проходит через точки А (,-) и В (-6,5) На этой прямой найти точку с ординатой у=5 44 Определить точку, в которой прямая АВ пересекает ось абсцисс, если: а) А (4,) и В (-,4); б) А (7,-), В (,-6) 45 Прямая проходит через точки А (5,) и В (-4,-7) Найти точку пересечения этой прямой с осью ординат 46 Даны вершины четырехугольника А (-,), В (,-4), С (5,-4), D (5,8) Определить, в каком отношении его диагональ АС делит диагональ BD 47 Найти точку пересечения диагоналей АС и ВD четырехугольника АВСD, если: а) А (,-), В (,5), С (0,4), D (-,-); б) А (-,4), В (4,-), С (6,-), D (6,0) 48 Точка М пересечения медиан треугольника АВС лежит на оси абсцисс, две вершины его точки А (,-) и В (-5,), третья вершина С лежит на оси ординат Определить координаты точек М и С 49 Прямая проходит через две точки А (-,6,6) и В (,-6,-) Найти точки ее пересечения с координатными плоскостями 50 Две вершины треугольника АВС имеют координаты А (,6), В (-,5) Определить координаты вершины С при условии, что середины сторон АС и ВС лежат на осях Oх и Oу соответственно 5 Даны две вершины треугольника АВС: А (-4,-,) и В (,5,-6) Найти третью вершину С, зная, что середина стороны АС лежит на оси Oy, а середина стороны ВС на плоскости Oхz 5 Найти отношения, в которых каждая из плоскостей координат делит расстояние между точками А (,-,7) и В (4,5,-) Преобразование координат 5 Записать формулы преобразования аффинных систем координат на плоскости в каждом из следующих случаев, если даны координаты нового начала и новых координатных векторов в старой системе: а) (4,), (0,5), О (,-); б) (,0), (0,), О (,5); в) (4,-), (,), О (0,0); г) (,0), (,), О (,0); д) (-,0), (0,),О (0,-5) 54 Написать формулы преобразования аффинной системы координат в пространстве, если даны координаты нового начала и новых координатных векторов в старой системе: а) (,0,0), (,4,0), б) (-,,0), в) (-,0,0), г) (,0,0), (,-,0), (0,,0), (0,,0), (-,,), O (0,0,0); (0,0,5), O (5,0,-); (0,0,-), O (,,); (0,0,), O (,5,-); 66

12 д) (,,0), (0,-,), (,,-), O (0,,-) 55 Написать формулы преобразования при переносе начала координат в точку О в каждом из следующих случаев: а) О (5, ); б) О (-,0); в) О (-,-); г) О (5, ) 56 Относительно некоторой системы координат А (7, -5) Вычислить координаты этой точки в новой системе, которая получена переносом начала координат в точку О : а) О (, ); б) О (-4, 7); в) О (, -9); г) О (-, -); д) О (, -5) 57 Система О i j получена из системы О j переносом начала в точку О (-, ) Найти расстояние между точками А и В, если А (, ) в старой системе, а В (, -) в новой системе 58 Даны две прямоугольные декартовы системы координат, причем вторая система получена из первой переносом начала в точку О (5, ) без изменения направления осей Найти расстояние между точками А и В, если точка В имеет те же координаты во второй системе, что и точка А в первой 59 Одна и та же точка имеет относительно двух различных систем координаты (, 5) и (-, 6) соответственно Определить координаты начала каждой из этих систем относительно другой, зная, что их оси имеют одинаковое направление 60 Написать формулы преобразования координат при аффинном повороте в каждом из следующих случаев: а) (,), (-,); б) (,0), (,- ); в) (0,), (,0); г) (0,-5), (,) 59 Одна и та же точка имеет относительно двух различных систем координаты (, 5) и (-, 6) соответственно Определить координаты начала каждой из этих систем относительно другой, зная, что их оси имеют одинаковое направление 60 Написать формулы преобразования координат при аффинном повороте в каждом из следующих случаев: а) (,), (-,); б) (,0), (,- ); в) (0,), (,0); г) (0,-5), (,) 6 В старой системе О заданы точки А (, ), В (, 0), С (-4, ) Определить координаты этих точек в новой системе, если О (0, ), (, 5), (-, ) 6 Координаты точек А (5, -); В (0, ); С (-, -) определены в новой системе О Найти координаты этих точек в старой системе, если: О (, ), (-, 4), (, ) 6 Пусть ОАВ произвольный треугольник Записать формулы преобразования координат точек при переходе от аффинной системы О, =ОА, =ОВ к новой системе в каждом из следующих случаев: а) О =А, =АВ, =АО ; б) О =О, =ОВ, =ОС ; в) О =С, =СА, =СВ 64 В треугольнике ОАВ проведены медианы АD и ВЕ, пересекающиеся в точке О Напишите формулы преобразования координат при переходе от аффинной системы координат О, =ОА, =ОВ к аффинной системе О, = O A, = O B 65 Дан равнобедренный прямоугольный треугольник, катеты которого равны а Оси координат были сонаправлены с лучами СА и СВ, а начало координат совпадало с точкой С Затем ось абсцисс была оставлена без изменения, а ось ординат заменена направленной прямой, содержащей гипотенузу АВ и сонаправленной с лучом АВ Составить формулы преобразования координат при переходе от старой системы к новой 67 i

13 66 Пусть ABCD A B C D - параллепипед, О точка пересечения диагоналей Написать формулы преобразования координат точек, если A,,, - старая система, а O,,, - новая система, где = АВ, = AD, = AA, = OA, = OB, = OC 67 Дан тетраэдр ОАВС Написать формулы преобразования координат точек при переходе от аффинной системы О, ОА, = ОВ = ОС к системе =, O = A, = АО, = AB, = АС 67 Дан тетраэдр ОАВС Написать формулы преобразования координат точек при переходе от аффинной системы О, ОА, = ОВ = ОС к системе =, O = A, = АО, = AB, = АС 68 Найти формулы преобразования координат при переходе от прямоугольной декартовой системы Охyz к системе Ох у z, если ось Оz совпадает с осью Оz, лучи Ох и Оу являются соответственно биссектрисами углов хоz и yоz, и новые координатные векторы являются единичными 69 Определить координаты новых координатных векторов и нового начала в старой системе, если формулы преобразования имеют вид: а) x = x y ; б) x = x ; в) x = x y + y = x + y ; + y = y + 4 y = y г) x = x + y + ; д) x = x y ; е) x = x y = x 5 y = y + y = x 70 Определить координаты новых векторов и нового начала в старой системе, если формулы преобразования имеют вид: x = x y + z x = x + x = x y + z + а) y = x + y ; б) y = y ; в) y = x y + z + ; z = x + z = z z = z x = y x = x + г) y = x ; д) y = y + z = x + y + z + z = z + 7 В каждом из следующих случаев начертить на плоскости две различные системы координат, в которых точка М имеет одни и те же координаты если: а) М(,), системы координат прямоугольные декартовы; б) М(,), системы координат аффинные 7 Найти координаты точки, имеющей одни и те же координаты в системах O и O, если О (,-), (,), (-,) 7 Найти расстояние между двумя точками, имеющими одинаковые координаты (,) относительно двух различных прямоугольных систем координат, причем вторая система получается из первоначальной переносом начала в точку О (, 4) 74 В системе O А (,), В (-, ) Существует ли такая новая система координат с началом в точке О (0,), в которой А (,0), В (0,)? 75 В системе O А (,), В (,) Существует ли такая новая система координат, начало которой совпадает с началом старой системы и в которой А (,), В (-,-)? 76 Написать формулы преобразования прямоугольных декартовых систем координат в каждом из следующих случаев: 7 а) i = i + j, О (-, ); системы Oijи O i j одинаково ориентированы; 0 0 б) ( i, i ) =0 0, О (0,-); системы Oijи O i j имеют противоположные ориентации; 68

14 в) ( j, j ) =45 0, О (0,0); системы Oijи O i j одинаково ориентированы; г) i = i j, О (,-); системы Oijи O i j имеют противоположные ориентации Дан квадрат АВСD со стороной, равной а Пусть направленные прямые АВ и АD являются осями координат старой системы (АВ-первая ось, АD вторая) В каждом из следующих случаев написать формулы преобразования прямоугольных декартовых координат, если за первую и вторую новые координатные оси приняты соответственно направленные прямые: а) АС и ВD; б) СD и СВ; в) АD и DС 78 Две стороны прямоугольника АВСD первоначально лежали на осях координат (АВ = 5 и АD = ) Затем прямоугольник был передвинут так, так вершина А, совпадавшая раньше с началом координат, попала в точку А (4, -), а сторона АВ, лежавшая на положительной части оси Ох, оказалось повернутой на угол α = 6 π Определить новое положение остальных трех вершин 79 Дан прямоугольный треугольник АВС, в котором С = π, СА =, СВ = 4 Первоначально на плоскости была выбрана система координат Сi j, где векторы i и j были направлены вдоль лучей СА и СВ соответственно Определить координаты вершин относительно новой систе- 79 Дан прямоугольный треугольник АВС, в котором С = π, СА =, СВ = 4 Первоначально на плоскости была выбрана система координат Сi j, где векторы i и j были направлены вдоль лучей СА и СВ соответственно Определить координаты вершин относительно новой системы O i j, где i и j направлены вдоль гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу соответственно 80 Начало прямоугольной декартовой системы координат перенесено в точку О (-, ), оси координат повернуты на угол α = arctg 5 Координаты точек А (, ), В (, -) и С (, - ) определены в новой системе Вычислить координаты этих точек в старой системе координат 8 Даны три точки: А (5, 5); В (, -); С (, -6) Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено в точку В, а оси координат повернуты на угол α = arctg 4 8 Дан куб АВСDА В С D со стороной а Написать формулы преобразования при переходе от системы Аijkк системе С i j k, если векторы i, j, k направлены вдоль лучей АВ, АD, АА, а векторы i, j, k вдоль лучей С В, С С, С D соответственно 8 Определить старые координаты нового начала и угол α, на который повернуты оси, если формулы преобразования координат заданы следующими равенствами: х = у + х = х а) ; б) ; в) х = х + у + 5 у = х у = у + у = х + у 84 Даны формулы преобразования координат при переходе от прямоугольной декартовой системы O ij к системе O Выяснить в каких из указанных ниже случаев новая система O является прямоугольной декартовой: 69

15 x = x + y + x = x + y а) ; б) ; y = x y + 5 y = x + y x = y + x = x + y + в) ; г) y = x y = x + y Полярные координаты 85 Построить точки по их полярным координатам: А (5, 0); В (, 4 π ); С (, - π ); D (, π) 86 Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полярной оси точкам А (, 4 π ); В (, - π ); С (,- π ) 87 Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полюса точкам А (, ); В (5, ); С (, - ); D (4, ) 4 6 π π π 5π 88 Определить полярные координаты вершин и точек пересечения диагоналей правильного шестиугольника ABCDEF, сторона которого равна А, приняв за полюс одну его вершину А, а за полярную ось направленную прямую АВ 89 Определить полярные координаты вершин и точки пересечения медиан правильного треугольника ABC, сторона которого равна А, приняв за полюс одну его вершину А, а за полярную ось направленную прямую АВ 90 Найти полярные координаты точек А, В, С, если в присоединенной прямоугольной системе они имеют координаты: А (,); В (0,); С (-,); D (0,5); Е (-,0); F (-, ) 9 Найти координаты точек А, В,С в присоединенной прямоугольной системе, если в полярной системе они имеют координаты: π π π π π А (5,0); В (6, ); С (, ); D (0, ); Е (8, ); F (, - ) В полярной системе координат даны точки: π π π π π 6π а) А (5, ); В (8, - ); б) А (5, ); В (, - ); в) А (4, ); В (6, ) Вычислить расстояние d между ними 9 В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата ABCD: А (, - π π ), В (, ) Определить его площадь 0 5 π 5π 7π 94 Даны вершины треугольника: А (5, ); В (8, ); С (, ) Проверить, является ли 6 6 этот треугольник равнобедренным 70

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5

Аналитическая геометрия Прямая на плоскости. Вариант 5 Аналитическая геометрия Прямая на плоскости Вариант 1 1.) Дана прямая 5 x + 4y 3 = 0. Найти 1) направляющий вектор прямой, ) угловой коэффициент прямой, 3) отрезки отсекаемые прямой на осях координат..)

Подробнее

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1

1.1. Расстояние между двумя точками. Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис. 1). Рис. 1 1 Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 11 Расстояние между двумя точками Рассмотрим прямоугольную систему координат (декартовую, рис Рис 1 Любой точки M соответствуют координаты OA x

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема

Тема: Прямая на плоскости. Структурно-логическая схема Практическое занятие 8 Тема: Прямая на плоскости План Способы задания и уравнения прямой Общее уравнение прямой Особенности расположения прямой в АСК 3 Аналитическое задание полуплоскости 4 Взаимное расположение

Подробнее

ГЕОМЕТРИЯ 7КЛАСС КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

ГЕОМЕТРИЯ 7КЛАСС КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ ГЕОМЕТРИЯ 7КЛАСС КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ 1 вариант 1. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости α. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения.

Аналитическая геометрия. Задачи для самостоятельного решения. Аналитическая геометрия Задачи для самостоятельного решения 1 Векторы 11 Даны вершины треугольника: A( 1; 2; 4), B ( 4; 2;0) и C(3; 2; 1) Найти угол между медианой AM и стороной AB 12 Выяснить при каком

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

7 класс 1. Виды углов.

7 класс 1. Виды углов. 7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ. Прямая линия 1. Вычислите периметр треугольника, вершинами которого служат точки A(6; 7), B(3; 3), C( 1; 5). 2. Найдите точку, равноудаленную от точек A(7;

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3).

-1-1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). 1. Найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин А(1;2), В(2;3), С(-1;3). -1-2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины острого угла (2;1) и уравнение

Подробнее

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Тема: «Избранные методы и приемы решения геометрических задач»

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Тема: «Избранные методы и приемы решения геометрических задач» ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Тема: «Избранные методы и приемы решения геометрических задач» 1. Применение геометрических преобразований При введении вспомогательных фигур часто используются

Подробнее

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0.

и уравнения двух биссектрис х 1= 0 и х+ 3 у 1= 0. Вариант. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин ( 4; 5) и уравнения двух биссектрис х = и х+ у =.. Из точки ( ) 8; 6 к прямой х+ у+ 4= направлен луч света под углом, тангенс которого

Подробнее

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Тема 4 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Тема ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Лекция.. Прямые на плоскости П л а н. Метод координат на плоскости.. Прямая в декартовых координатах.. Условие параллельности и перпендикулярности

Подробнее

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.)

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Базовые задачи (на 3) 1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D разбивают сторону BC на три равных отрезка. Найдите

Подробнее

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Лекция 29,30 Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости Лекция 9,30 Глава Аналитическая геометрия на плоскости Системы координат на плоскости Прямоугольная и полярная системы координат Системой координат на плоскости называется способ, позволяющий определять

Подробнее

Т е м а 1. Практика 1. В классе (5 номеров)

Т е м а 1. Практика 1. В классе (5 номеров) Т е м а 1 ПОВТОРЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИИ Практика 1 В классе (5 номеров) 1. Основания трапеции равны a и b (a > b). Найдите длину отрезка MN, концы которого делят боковые стороны AB и CD в отношении AM : MB =

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 6 ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ЗАДАЧА 1. Через точку M = (4, 3) провести прямую так чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат, была равна 3.

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ 1. Определители 2-го и 3-го порядков. 1. Вычислить определитель второго порядка: а) 1 1 1 1 ; б) 1 + 2 2 5 13547 13647 ; в) 2+ 5 1 2 28423 28523. 2. Вычислить определитель третьего порядка:

Подробнее

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является

Тест 452 Средняя линия треугольника 1. Хорда треугольника, выходящая из середины одной стороны треугольника и параллельная другой его стороне является Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет

Подробнее

Билет Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных

Билет Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных Экзаменационные билеты по геометрии 2017-18 учебный год Билет 1 1. Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников. 2. Основания BC и AD трапеции АBCD равны соответственно

Подробнее

5. M и N - вся плоскость и точке с координатами (x, y ) соответствует точка с

5. M и N - вся плоскость и точке с координатами (x, y ) соответствует точка с Тест 299. Преобразование плоской фигуры. Соответствие является преобразованием фигуры M в фигуру N, если: 1. каждая точка фигуры N является образом хотя бы одной точки фигуры M. 2. каждой точке фигуры

Подробнее

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости

Глава 2. Уравнения прямой на плоскости Глава. Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой на плоскости Напомним, что прямая на плоскости Oxy может быть задана следующими уравнениями (см. рис. ): общим: Ax+ By+ C = () Здесь = ( A, B) нормальный

Подробнее

МАТЕМАТИКА Демонстрационный вариант Контрольной работы 1 по геометрии для учащихся 9 классов

МАТЕМАТИКА Демонстрационный вариант Контрольной работы 1 по геометрии для учащихся 9 классов МАТЕМАТИКА Демонстрационный вариант Контрольной работы 1 по геометрии для учащихся 9 классов Тема «Векторы» 1.Назначение работы - проверить соответствие знаний, умений и основных видов учебной деятельности

Подробнее

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой

ВАРИАНТ 1. на плоскость. 6. Найти уравнение проекции прямой ВАРИАНТ 1 1 Найти угловой коэффициент k прямой проходящей через точки M 1 (18) и M ( 14); записать уравнение прямой в параметрическом виде Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A()

Подробнее

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс

i OF 1, эллипс имеет уравнение: МОДУЛЬ 1. ЭЛЛИПС. ГИПЕРБОЛА. ПАРАБОЛА Практическое занятие 12 Тема: Эллипс МОДУЛЬ ЭЛЛИПС ГИПЕРБОЛА ПАРАБОЛА Практическое занятие Тема: Эллипс План Определение и каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса Эксцентриситет Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Подробнее

Теоретическая часть (первый вопрос в билете)

Теоретическая часть (первый вопрос в билете) Теоретическая часть (первый вопрос в билете) 1. Какая фигура называется углом? Какой угол называется острым? прямым? тупым? развернутым? 2. Какие углы называются смежными? Сформулируйте свойство смежных

Подробнее

Планиметрические задачи Векторный метод решения. Атанасян Сергей Левонович д.п.н, профессор, заведующий кафедрой геометрии

Планиметрические задачи Векторный метод решения. Атанасян Сергей Левонович д.п.н, профессор, заведующий кафедрой геометрии Планиметрические задачи Векторный метод решения Атанасян Сергей Левонович д.п.н, профессор, заведующий кафедрой геометрии Планиметрические задачи Векторный метод решения задач Планиметрические задачи Векторный

Подробнее

В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (планиметрия) уч. год ТЕОРЕМЫ, СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ 1. Теорема о вертикальных углах. 2.

В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (планиметрия) уч. год ТЕОРЕМЫ, СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ 1. Теорема о вертикальных углах. 2. В.А. Смирнов Открытый банк заданий по геометрии (планиметрия) 2018-2019 уч. год ТЕОРЕМЫ, СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ 1. Теорема о вертикальных углах. 2. Первый признак равенства треугольников. 3. Второй признак

Подробнее

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой Расстояние от точки до прямой Пример 1. Стороны треугольника равны 15, 37 и 44 см. Из вершины большего угла треугольника проведен к его плоскости перпендикуляр, равный 16 см. Найти расстояние от его концов

Подробнее

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В.

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В. -- Доказать, что векторы e = { ;2;, e 2 = { 2;; }, e 3 = { ;2;3 } образуют базис Найти разложение в этом базисе вектора a = { ;3;2 } 2 Найти длину вектора a = 3e 2e2, где e =, e2 = 2, векторы угол в 30

Подробнее

ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ

ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ Инструкция. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Апофема правильной треугольной пирамиды 4 см, а сторона основания 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Подробнее

Разбор задач по теме: «Плоская система координат».

Разбор задач по теме: «Плоская система координат». Разбор задач по теме: «Плоская система координат». Задача 1 Даны две вершины треугольника М 1 (-10;2) и М2 (6;4); его высоты пересекаются в точке Н (5;2). Определить координаты третьей вершины М3. Разметим

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ПЛАНИМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКИ 1. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника больше длины другого на 10 см, но меньше длины гипотенузы

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ Казань 008 0 Казанский государственный университет Кафедра общей математики Секаева Л.Р., Тюленева О.Н. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Подробнее

3. Найдите площадь поверхности. многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

3. Найдите площадь поверхности. многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 1.Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). 2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Подробнее

МОL + LON = 180 o. 2. Свойство: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о.

МОL + LON = 180 o. 2. Свойство: Угол между биссектрисами смежных углов равен 90 о. 1. Определение: Если два угла имеют общую сторону, а две другие стороны являются дополняющими лучами, то данные углы называются смежными. Свойство: Сумма смежных углов 180 о. МОL + LON = 180 o 2. Свойство:

Подробнее

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ

ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ ВЫСШИЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ СБОРНИК ТИПОВЫХ РАСЧЕТОВ по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» часть II для студентов специальности Т 000 Почтовая связь Минск 00 Составитель Рябенкова ЛА Издание утверждено на заседании

Подробнее

Задачи к экзаменационным билетам по геометрии. Задачи на готовых чертежах (примерное задание 3 билета).

Задачи к экзаменационным билетам по геометрии. Задачи на готовых чертежах (примерное задание 3 билета). Задачи к экзаменационным билетам по геометрии. Приложения к билетам. Задачи на готовых чертежах (примерное задание 3 билета). Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке. Р = 80 Р = 48 S -? Практическая

Подробнее

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ.

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки до начала координат. 3. При каком

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. параллелограммом. Рис. 1. Параллелограмм

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. параллелограммом. Рис. 1. Параллелограмм И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Параллелограмм Параллелограмм это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны (рис. ). Рис.. Параллелограмм Точка пересечения диагоналей

Подробнее

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ. Ю.Л.Калиновский

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ. Ю.Л.Калиновский МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ Ю.Л.Калиновский Оглавление 1 Медиана, биссектриса, высота................................. 5 1.1 Медианы треугольника 5 1.2 Биссектрисы треугольника 7 1.3 Высоты треугольника 10 Медианы

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

11 класс. Типовой расчет по теме «Призма». Вариант 16

11 класс. Типовой расчет по теме «Призма». Вариант 16 11 класс. Типовой расчет по теме «Призма». Вариант 16 1. Основанием наклонной призмы служит прямоугольник со сторонами a и b. Две смежные боковые грани составляют с плоскостью основания углы и. Найти объём

Подробнее

Банк заданий по геометрии 9 класс для олимпиады «Успех»

Банк заданий по геометрии 9 класс для олимпиады «Успех» Банк заданий по геометрии 9 класс для олимпиады «Успех» 1. Укажите номера верных утверждений. Г.9.1.1. Какие из следующих утверждений верны? 1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести

Подробнее

Все прототипы задания года 1. Прототип задания 4 ( 27238)

Все прототипы задания года 1. Прототип задания 4 ( 27238) Все прототипы задания 4 2015 года 1. Прототип задания 4 ( 27238) В треугольнике ABC угол C равен 90, АС 4, 8 7 sin A. Найдите AB. 25 2. Прототип задания 4 ( 27240) В треугольнике ABC угол C равен 90, АС

Подробнее

Практическое занятие 14 Тема: Парабола

Практическое занятие 14 Тема: Парабола Практическое занятие 14 Тема: Парабола План 1. Определение и каноническое уравнение параболы.. Геометрические свойства параболы. Взаимное расположение параболы и прямой, проходящей через ее центр. Основные

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Все прототипы заданий В3

Все прототипы заданий В3 1. Прототип задания B3 ( 27543) Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 Все прототипы заданий В3 2. Прототип задания B3 ( 27544) Найдите площадь треугольника,

Подробнее

Операции над векторами. Сложение векторов

Операции над векторами. Сложение векторов Операции над векторами К линейным действиям над векторами относят сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число Сложение векторов Суммой двух векторов и называется вектор, начало которого совпадает

Подробнее

Геометрические задачи на вычисления (В24) Треугольники

Геометрические задачи на вычисления (В24) Треугольники Геометрические задачи на вычисления (В24) Треугольники 1. В прямоугольном треугольнике с прямым углом известны катеты:,. Найдите медиану этого треугольника. 2. Точка H является основанием высоты BH, проведённой

Подробнее

Сфера. MN хорда. Хорда, проходящая через центр сферы является ее диаметром.

Сфера. MN хорда. Хорда, проходящая через центр сферы является ее диаметром. Сфера Сфера - это фигура, состоящая из всех точек пространства, удаленных от данной точки на данном расстоянии. Сфера может быть получена при повороте полуокружности с центром О и радиуса R около диаметральной

Подробнее

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек.

Асимптотами гиперболы называются прямые, к которым неограниченно приближается гипербола при неограниченном возрастании абсцисс ее точек. Практическое занятие 1 Тема: Гипербола План 1 Определение и каноническое уравнение гиперболы Геометрические свойства гиперболы Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через ее центр Асимптоты

Подробнее

Решение задач. Рисунок 15

Решение задач. Рисунок 15 Решение задач Задача. Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую. Рисунок 5 Пусть прямая a пересекает плоскость α (рис.5). Через

Подробнее

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторная алгебра и аналитическая геометрия Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика» А И Недвецкая Г А Тимофеева Е Г Чеснокова Векторная алгебра и аналитическая

Подробнее

ШКОЛА С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ПРЕДМЕТА

ШКОЛА С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ПРЕДМЕТА Примерные экзаменационные билеты для проведения устной итоговой аттестации выпускников IX классов общеобразовательных учреждений ГЕОМЕТРИЯ По геометрии предлагается два блока экзаменационных билетов для

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Теорема Пифагора

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Теорема Пифагора И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Теорема Пифагора Мы готовы вывести важнейшую теорему геометрии теорему Пифагора. С помощью теоремы Пифагора выполняются многие геометрические вычисления.

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. Всего: 196 Прототипы В 6 1 На клетчатой бумаге с клетками размером 5 На клетчатой бумаге с клетками размером 9 Найдите площадь квадрата ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1 2 На клетчатой бумаге

Подробнее

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0

Прямые на плоскости. y = t, 4 x + 6 y 7 = 0, = 0 Прямые на плоскости Моденов ПС, Пархоменко АС Сборник задач по аналитической геометрии Москва - Ижевск: ЗАО НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика 00 384 с 365 Составить параметрические уравнения прямой,

Подробнее

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1.

Действительно, AB + BC + CA = АА = 0. При этом модуль суммы любых двух из этих векторов равен модулю третьего, например, BC + CA = BA = 1. 0 класс Первый тур (0 минут; каждая задача 6 баллов)... Известно, что tg + tg = p, ctg + ctg = q. Найдите tg( + ). pq Ответ: tg. q p Из условия p tg q tg tg tg tg p и равенства ctg ctg q, получим, что

Подробнее

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ.

Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки A(1; 2; 3) до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки B( 1; 1; 1) до начала

Подробнее

Основные теоретические сведения Параллелепипедом называется призма, у которой основаниями служат параллелограммы.

Основные теоретические сведения Параллелепипедом называется призма, у которой основаниями служат параллелограммы. Тема 60 «Параллелепипед и куб» Основные теоретические сведения Параллелепипедом называется призма, у которой основаниями служат параллелограммы. Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, боковые

Подробнее

ЧАСТЬ I. Координаты и векторы

ЧАСТЬ I. Координаты и векторы ЭКЗАМЕН ПО ГЕОМЕТРИИ КЛАСС ЧАСТЬ I Координаты и векторы Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M (;3;5 ) параллельно векторам a = ( ; ;5) и b = ( 4;3;0 ) Составьте уравнение плоскости, проходящей

Подробнее

Тема 20 «Четырехугольник. Параллелограмм. Прямоугольник. Ромб. Квадрат»

Тема 20 «Четырехугольник. Параллелограмм. Прямоугольник. Ромб. Квадрат» Тема 0 «Четырехугольник. Параллелограмм. Прямоугольник. Ромб. Квадрат» Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом

Подробнее

1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным

1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Задания 1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Г-11. 1.1. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало с началом координат, называется данной

Подробнее

Перпендикулярность прямой и плоскости

Перпендикулярность прямой и плоскости Перпендикулярность прямой и плоскости Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Теорема (признак перпендикулярности

Подробнее

Тренировочные задачи

Тренировочные задачи И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Параллелограмм. Периметр параллелограмма равен, а одна из его сторон вдвое больше другой. Найдите стороны параллелограмма. и 4. Найдите

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

Математические диктанты по геометрии для VII и VIII класса (Из опыта работы) VII класс

Математические диктанты по геометрии для VII и VIII класса (Из опыта работы) VII класс Математические диктанты по геометрии для VII и VIII класса (Из опыта работы) VII класс Диктант 1 «Сумма углов треугольника» 1. Дан треугольник MKL. Запишите, чему равна сумма углов этого треугольника.

Подробнее

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Средняя линия треугольника Средняя линия треугольника это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Говоря о средней линии, третью сторону

Подробнее

ВАРИАНТ 1 (10 класс) . Найти длину кратчайшего пути из P в Q по поверхности тетраэдра.

ВАРИАНТ 1 (10 класс) . Найти длину кратчайшего пути из P в Q по поверхности тетраэдра. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО (ОЧНОГО) ЭТАПА ОЛИМПИАДЫ МГТУ ИМ Н Э БАУМАНА «ШАГ В БУДУЩЕЕ» ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ 8-0 КЛАССОВ 03-04 УЧЕБНОГО ГОДА ВАРИАНТ (0 класс) Петя, Вася и Толя соревнуются в беге на

Подробнее

Тема 69 «Комбинированные задачи»

Тема 69 «Комбинированные задачи» Тема 69 «Комбинированные задачи» Пример 1. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 7 и 8. Боковые ребра равны 8/π. Найти объем цилиндра, описанного около этой призмы. Ответ

Подробнее

Экзаменационный материал по геометрии для 9-х классов. Задачи в билетах приведены подобные.

Экзаменационный материал по геометрии для 9-х классов. Задачи в билетах приведены подобные. Экзаменационный материал по геометрии для 9-х классов Задачи в билетах приведены подобные. Билет 1 1. Первый признак равенства треугольников. 2. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

Подробнее

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных

ВАРИАНТ 11. Вычислить его площадь; найти уравнение высоты и медианы, проведенных ВАРИАНТ 11 1 Точка M() является основанием перпендикуляра опущенного из точки N(1-1) на прямую l Написать уравнение прямой l; найти расстояние от точки N до прямой l Составить уравнения прямых проходящих

Подробнее

5. Применение векторов для решения задач элементарной геометрии.

5. Применение векторов для решения задач элементарной геометрии. Практическое занятие 5 Тема: Смешанное произведение векторов. Применение векторов для решения задач элементарной геометрии План. Определение и свойства смешанного произведения.. Смешанное произведение

Подробнее

1 вариант. 2 вариант. 1). Начертите два неколлинеарных вектора а и в. Постройте векторы, равные: а).

1 вариант. 2 вариант. 1). Начертите два неколлинеарных вектора а и в. Постройте векторы, равные: а). 1 вариант. Контрольная работа 1 1). Начертите два неколлинеарных вектора а и в. Постройте векторы, равные: а). 1 а в ; б). 2 в а 2 2). На стороне ВС ромба АВСD лежит точка К такая, что ВК = КС, О точка

Подробнее

АЛГЕБРА. ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = x y + x + 2y 3; (x 2 + y 2 x)(x y 2 ) 0; y 2x + 1 x Решить неравенства: x ; x3 1

АЛГЕБРА. ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = x y + x + 2y 3; (x 2 + y 2 x)(x y 2 ) 0; y 2x + 1 x Решить неравенства: x ; x3 1 АЛГЕБРА 1. Построить эскизы графиков следующих функций: y = 2 (x+2)/(3 2x) ; y = y = ( ) (4 x)/(x+1) 1 ; y = 5 ( x )/( x 1) ; y = 3 x2 5 x +2 ; y = 3 ( ) 2x 1 1 ; 2 1 x 2 x 2 ; y = 1 x 2 3 x + 2 ; y =

Подробнее

Тест 201. Круг. Свойство

Тест 201. Круг. Свойство Тест 194. Окружность. Понятие Окружность это: 1. множество точек, удаленных от данной точки на данное ненулевое расстояние; 2. множество точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом; 3. некоторая

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Прямая на плоскости. 1.1

Прямая на плоскости. 1.1 1.1 Прямая на плоскости. Даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. 1. Составить уравнение прямой А В. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ. 3. Составить

Подробнее

Все прототипы заданий В года

Все прототипы заданий В года 1. Прототип задания B5 ( 27450) Найдите тангенс угла AOB. Все прототипы заданий В5 2014 года 2. Прототип задания B5 ( 27456) Найдите тангенс угла AOB. 7. Прототип задания B5 ( 27547) Найдите площадь треугольника,

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра. Аналитическая геометрия» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «Векторная алгебра Аналитическая геометрия» Задание 1: а) показать, что векторы p, q, r образуют базис Найти координаты вектора x в этом базисе; б) проверить коллинеарность векторов и c

Подробнее

Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах.

Найдите угол EFG. Ответ дайте в градусах. МНОГОУГОЛЬНИКИ 1. Задание 9 132779. Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 300. Найдите четвертый угол. Ответ дайте в градусах. 2. Задание 9 132781. В выпуклом четырехугольнике ABCD,,,. Найдите

Подробнее

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) С.А. Гришин, С.В. Мустяца, М.А. Петрова, Е.Х. Садекова

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) С.А. Гришин, С.В. Мустяца, М.А. Петрова, Е.Х. Садекова МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет) СА Гришин, СВ Мустяца, МА Петрова, ЕХ Садекова Зачет по аналитической геометрии 1 семестр Москва 2009 УДК 5147(075) БДК 221515я7 З-39

Подробнее

Проверь себя. Вот небольшой список вопросов по геометрии и стереометрии.

Проверь себя. Вот небольшой список вопросов по геометрии и стереометрии. Мастер-класс «Геометрия и стереометрия на ЕГЭ по математике, часть 1. Октябрь 2017. Для решения задач необходимы знания о геометрических фигурах и их свойствах, вычислении площадей плоских фигур, объемах

Подробнее

Параллельность плоскостей

Параллельность плоскостей Параллельность плоскостей Рассмотрим две плоскости α и β. В пространстве они могут располагаться следующим образом: 1. Совпадать, если они имеют три общие точки, не принадлежащие одной прямой. α=β 2. Пересекаться,

Подробнее

3. Точка Е не лежит в плоскости параллелограмма АВСD. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков ЕА и ЕВ, параллельна стороне СD.

3. Точка Е не лежит в плоскости параллелограмма АВСD. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков ЕА и ЕВ, параллельна стороне СD. Примерные материалы контрольных работ Геометрия 10 класс (А.В.Погорелов) Контрольная работа 1 Вариант 1 1. Точки К, М, Р, Т не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые КМ и РТпересекаться? 2. Через точки

Подробнее

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Гущин Д. Д. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ЗАДАНИЯ 3 И 6: ПЛАНИМЕТРИЯ ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ТРЕУГОЛЬНИКИ Треугольник фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех

Подробнее

Билет 10. Билет 12. Билет 13. Билет 14

Билет 10. Билет 12. Билет 13. Билет 14 Билет 1 1. Первый признак равенства треугольников. 2. Параллелограмм. Определение, свойства. 3. Задача по теме «Координаты и векторы». Билет 2 1. Второй признак равенства треугольников. 2. Прямоугольник.

Подробнее

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов

Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии классов Элементы аналитической геометрии в курсе геометрии 1-11 классов 1. Введение. Уравнение прямой. Уравнение плоскости 4. задач с использованием уравнений прямой и плоскости 5. Расстояние и отклонение точки

Подробнее