Учебный центр «Резольвента»

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Учебный центр «Резольвента»"

Транскрипт

1 ООО «Резольвента», (495) Учебный центр «Резольвента» К. Л. САМАРОВ, С.С. САМАРОВА ТРИГОНОМЕТРИЯ В ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ по математике К. Л. Самаров, С. С. Самарова 0 ООО «Резольвента», 0 Целью данного учебного пособия является помощь школьникам в подготовке к ЕГЭ по математике по разделу «Тригонометрия». В учебном пособии проводится анализ и даются решения типовых задач по тригонометрии, предлагаемых с 007 года по 0 год Московским институтом открытого образования в различных контрольных, диагностических, тренировочных, демонстрационных и экзаменационных работах по математике для школьников 0 и классов. Задача. Найдите множество значений функции y = cos 3x + 4. Решение. Из неравенства ( ) cos t, t ; в результате замены t = 3x следует неравенство ООО «Резольвента», (495)

2 ООО «Резольвента», (495) из которого получаем: ( ) cos 3x, x ; cos 3x cos 3x + 4 cos 3x cos 3x + 4. Ответ. y. Похожая задача для самостоятельного решения. Найдите множество значений функции Задача. Решите уравнение y = cos 3x + 4. x tg =. 7 7 Решение. x x tg = = arctg + π n, n Z x = 7arctg + 7π n, n Z Ответ. 7arctg + 7π n, n Z 7 Похожие задачи для самостоятельного решения. Решите уравнения:. x tg =, 3 3. x cos =, 3. x sin =, 4 4. x sin = 3. Задача 3. Решите уравнение x x x + + = cosπ + 8. ООО «Резольвента», (495)

3 ООО «Резольвента», (495) Решение. Преобразуем левую часть уравнения, выделяя полный квадрат: x x x x x ( ) + + = = Следовательно, справедливо неравенство ( x + 3) + 3 3, причем знак равенства достигается в нем лишь при x = 3. Рассматривая правую часть исходного уравнения, замечаем, что поскольку то выполняется неравенство cosπx, cosπx Следовательно, справедливо неравенство cosπx + 8 3, причем знак равенства достигается в нем лишь тогда, когда выполнено соотношение cosπx =. Таким образом, при всех значениях переменной x ( ; ) выполняется неравенство x x x cos π + 8. () Поскольку ( ( )) cos π 3 =, ООО «Резольвента», (495)

4 ООО «Резольвента», (495) то единственным случаем, когда в неравенстве () оба знака неравенства превращаются в знаки равенства, является случай x = 3. Следовательно, число x = 3 и является корнем исходного уравнения. Ответ. 3. Похожая задача для самостоятельного решения. Решите уравнение Задача 4. Решите уравнение x x x + 7 = sin + 8 π x 4x + = cosπx + 3 Решение. Преобразуем левую часть уравнения, выделяя в квадратном трёхчлене полный квадрат: Поскольку то ( x ) ( x ) x 4 x+ x 4 x = = = 4. ( x ) 0, ( x ), и справедливо неравенство ( x ) 4 4, причем знак равенства достигается в нем лишь при x =. Рассматривая правую часть исходного уравнения, замечаем, что поскольку ООО «Резольвента», (495)

5 ООО «Резольвента», (495) то выполняется неравенство cosπx, cosπx + 3 4, причем знак равенства достигается в нем лишь тогда, когда выполнено соотношение cosπx =. Таким образом, при всех значениях переменной x ( ; ) выполняется неравенство x 4x + 4 cosπx + 3. () Поскольку cos( π ) =, то единственным случаем, когда в неравенстве () оба знака неравенства превращаются в знаки равенства, является случай x =. число x = Ответ.. и является корнем исходного уравнения. Похожие задачи для самостоятельного решения. Решите уравнения: Следовательно, x x+. 5 = 4 cosπ x, = 3+ 4x x. 7 8 cosπ x. Задача 5. Решите уравнение ( )( ) = 3 cos3π 3 + cos3π x x x x Решение. Преобразуем уравнение к следующему виду: ООО «Резольвента», (495)

6 ООО «Резольвента», (495) Поскольку то ( )( ) x x + = x + x cos3π 3 cos3π x x x x x x = 3 cos 3π cos 3π = 0 ( ) ( x ) 5 + cos 3πx = 0. ( ) x 5 0, cos 3πx 0, 5 x = x 5 = 0 5 x 5 + cos 3πx = 0 x =. cos3πx = 0 5π cos = 0 то Ответ. 5. Похожая задача для самостоятельного решения. Решите уравнение: ( )( ) = 5 sin π 5 + sin π x x x x Задача. Решите уравнение Решение. Поскольку Следовательно, ( x )( x ) sin cos + = 0 cos x 0, cos x + > 0. ООО «Резольвента», (495)

7 ООО «Резольвента», (495) sin x = 0, sin x =, sin cos + = 0 cos x 0, cos x 0, π 5π x = + π n, x = + π n, 5π x = + π n. cos x 0, ( x )( x ) Ответ. 5π + πn Похожая задача для самостоятельного решения. Решите уравнение: ( x )( x ) cos + sin = 0 Задача 7. Решите уравнение x x = 0 π x + sin 5sin 3 Решение. Сначала выпишем область допустимых значений уравнения: π x >. (3) Теперь приравняем к нулю числитель дроби, стоящей в левой части уравнения: 5 ± ± 7 x x = ( x) = =, 4 4 ( sin x) =, ( sin x) = 3. sin 5sin 3 0 sin Поскольку, sin x, то уравнение sin x = 3 ООО «Резольвента», (495)

8 ООО «Резольвента», (495) решений не имеет. Решая уравнение получаем: sin x =, π 7π sin x = x = + π n, x = + π n, n Z. В силу неравенства (3) отсюда получаем: π x = + π n, n > 0, n Z, 7π x = + π n, n 0, n Z. Ответ. π 7π + π n, n > 0, n Z; + π n, n 0, n Z. Похожая задача для самостоятельного решения. Решите уравнение: Задача 8. Решите уравнение x + x = 0 π x 3 cos 5cos 3 4cos x 8sin x 7 + = 0 tgx Решение. Приравняем к нулю числитель дроби, стоящей в левой части уравнения, и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: ( ) 4cos x 8sin x sin x 8sin x = + = + = + = 4 4sin x 8sin x 7 0 4sin x 8sin x 3 0. Теперь решим полученное уравнение: ООО «Резольвента», (495)

9 ООО «Резольвента», (495) ± ± 4 x x + = ( x) = =, ( sin x) =, ( sin x) =. 4sin 8sin 3 0 sin Поскольку, sin x, то уравнение sin x = 3 решений не имеет. Решая уравнение получаем sin x =, π 5π sin x = x = + π n, x = + π n, n Z. (4) Поскольку каждое решение исходного уравнения должно удовлетворять неравенству tgx > 0 tgx < 0, то первая серия корней в формулах (4) должна быть отброшена. Ответ. 5π + π n, n Z Похожие задачи для самостоятельного решения. Решите уравнение: 4sin 8cos 7 x + x + = 0 ctgx ООО «Резольвента», (495)

10 ООО «Резольвента», (495) Найдите корни уравнения cos x + 3 cos x = 0, удовлетворяющие неравенству sin x < 0. Задача 9. Решите уравнение Решение. Поскольку ( ) cos x sin x tgx = 0 cos x sin x = cos x; sin x tg x =, cosx то исходное уравнение можно переписать в виде: tgx =, x x ( x ) = cosx > 0 π 5π x = + π n, x = + π n, n Z 4 4 cos 0 cos sin tg 0 ( ) ( ) x > Так как вторая серия корней не удовлетворяет условию cos x > 0, то она должна быть отброшена. Следовательно, Ответ. π + π n, n Z. 8 π π x = + π n, n Z x = + π n, n Z. 4 8 ( ) Похожие задачи для самостоятельного решения. Решите уравнения:. sin x cos x + = 0, tgx ( ). tg x 3tgx 5cos x = 0. ООО «Резольвента», (495)

11 ООО «Резольвента», (495) Задача 0. Решите уравнение 3π cos + x = cos x. Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 5π ;4π Решение. Воспользовавшись формулой приведения преобразуем уравнение: Решим полученное уравнение: 3π cos + x = sin x, 3π cos + x = cos x sin x = cos x. ( ) sin xcos x cos x = 0 cos x sin x = 0 cos x = 0 U sin x = 0 cos x = 0 U sin x = π 3π π 5π x = + π n, x = + π n, x3 = + π n, x4 = + π n, n Z. Теперь найдем все значения n Z, при которых числа π 3π π 5π x = + π n, x = + π n, x3 = + π n, x4 = + π n, n Z будут лежать на отрезке 5π ;4π. Для этого заметим, что при n < 0, n Z все числа x, x, x 3, x 4 будут отрицательными, и, конечно же, не смогут попасть в указанный отрезок. Также заметим, что в указанный отрезок не попадают числа x, x, x 3, x 4, у которых n = 0, а также числа, у которых ООО «Резольвента», (495)

12 ООО «Резольвента», (495) n, n Z. Остаётся выяснить, где располагаются числа x, x, x 3, x 4, у которых n =, т.е. числа π 5π 3π 7π π 3π 5π 7π x = + π =, x = + π =, x3 = + π =, x4 = + π =. Легко видеть, что из этих чисел на отрезок x, x, x 4,, а число x3 не попадает. 5π ;4π попадают числа Ответ. 5π 7π 7π,,. Похожие задачи для самостоятельного решения.. Решите уравнение 4sin x sin x + 5 = 0. Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ π;π]. Решите уравнение 5 ( x x ) log cos sin + 5 =. Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 7π π; 3. Решите уравнение x x sin cos = cos x. Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку π ;π ООО «Резольвента», (495)

13 ООО «Резольвента», (495) Решите уравнение cos x sin x + cos x = sin x. Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку π ;π 5. Решите уравнение sin x = 4cos x sin x +. Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку π 3π ;. Решите уравнение π π cos 54sin + cos x 3 5π cos x = π π = cos 54sin. 3 Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 3π π ; 7. Решите уравнение x x x x sin x + cos sin cos + sin = 0. Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 5π π; 8. Решите уравнение sinx 3cos x 4sin x + 4 3cosx = 0. Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 5π π; ООО «Резольвента», (495)

14 ООО «Резольвента», (495) Решите уравнение π cos x = cos x. Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 5π ; π 0 Решите уравнение 3π tgx + cos x = 0. Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку π π; Решите уравнение x x π cos sin = sin x. Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 5π π; Решите уравнение cos x + sin x = 3. Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 3π π ; 3 Решите уравнение 4sin x = 3cos x. 3 π Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 7π 9π ; Задача. Найти все решения уравнения на отрезке [ π;π] x x = 4 cos 8cos 5 ООО «Резольвента», (495)

15 ООО «Резольвента», (495) Решение. Воспользовавшись формулой x + cos x cos =, преобразуем уравнение: x + cos x = = 4 4 cos x = 4cos x. 4 cos x 8cos 5 cos x 8 5 Таким образом, исходное уравнение принимает вид cos x = 4cos x. (5) 4 Для того, чтобы решить уравнение (5), рассмотрим два случая. Случай. cos x 0 cos x. 4 4 В этом случае cos x = cos x, 4 4 и уравнение (5) принимает вид: 3 cos x = 4cos x 3cos x = cos x = Следовательно, в случае x = ± arccos + π n, n Z. 4 Случай. cos x < 0 cos x <. 4 4 ООО «Резольвента», (495)

16 ООО «Резольвента», (495) В этом случае cos x = cos x +, 4 4 и уравнение (5) принимает вид: 5 cos x + = 4cos x 5cos x = cos x = Следовательно, в случае уравнение решений не имеет. Таким образом, осуществляется только случай, и корни исходного уравнения определяются по формуле x = ± arccos + π n, n Z. 4 Из этого множества корней только числа arccos 4 и arccos 4 лежат на отрезке [ π;π] Ответ. ± arccos. 4 Задача. Найдите значение 5π 5cos + α, если 4 3π cosα =, α π;. 5 Решение. Воспользовавшись формулой приведения, получим 5π 5cos + α = 5sin α. ООО «Резольвента», (495)

17 ООО «Резольвента», (495) Поскольку 3π α π;, то sinα<0. Следовательно, sin α = cos α = = = Поэтому 3 5sin α = ( 5) = 3. 5 Ответ. 3. Похожие задачи для самостоятельного решения.. Найдите значение 5sin x 8, если cos x = 0,. Найдите значение 5cos x +, если sin x = 0, 3. Найдите значение 4 5tg x cos x, + если sin x = 5 4. Найдите значение 7 tg x cos x, если sin x = 5.. Найдите значение Найдите значение sinα, 3cosα, если если cosα =, 3 3π α ;π sinα =, 3 π α 0; ООО «Резольвента», (495)

18 ООО «Резольвента», (495) Найдите значение Найдите значение cosα, sinα, если если 3 sinα =, 0 3π α π; cosα =, 5 3π α ;π 9. Найдите значение 9cos α, если 4 ctgα =. 0. Найдите значение sin α, если 3 tgα = Найдите значение Найдите значение Найдите значение π 3cos α, tgα, π cos α, если если если cosα =, 3 3π α ;π 5 cosα =, 5 3π α π; cosα =, 3 π α 0; Решение. Воспользовавшись формулой «Синус двойного угла», получим Задача 3. Вычислите значение 5π 5π 8sin cos. ООО «Резольвента», (495)

19 ООО «Резольвента», (495) получим Ответ.. 5π 5π 5π 5π 5π 8sin cos = 4 sin cos = 4sin = 4 = Задача 4. Вычислите значение 5π cos 3 Решение. Воспользовавшись формулой «Косинус двойного угла», 5π + cos 5π 5π = = + = cos cos 3 5π 3 3 = 3cos = 3 =. Ответ. 3. Задача 5. Вычислите значение sin 37 sin sin Решение. Воспользовавшись одной из формул приведения и формулой «Синус двойного угла», получим ( ) sin 37 sin 53 sin 37 sin sin 37 cos 37 3 = 3 = 3 = sin 74 sin 74 sin sin 37 cos sin 37 cos 37 = 3 = 3 =. Ответ. 5. ООО «Резольвента», (495)

20 ООО «Резольвента», (495) Задача. Вычислите значение 5π 5π π log4 sin sin sin Решение. Воспользовавшись формулой приведения и формулой «Синус двойного угла», получим 5π 5π π π π π π sin sin sin = sin sin sin = π π π π π = cos sin sin = sin sin =. 8 Следовательно, 5π 5π π log4 sin sin sin = log4 = log ( ) = log =. 8 Ответ. 3.. Задачи для самостоятельного решения похожие на задачи 3, 4, 5, Вычислите значение Вычислите значение Вычислите значение Вычислите значение Вычислите значение Вычислите значение π π 0sin cos 3 4 π π sin cos 4 π π cos + sin 3 4 π π sin cos π π 3 tg + sin 3 π 3 sin ООО «Резольвента», (495)

21 ООО «Резольвента», (495) Вычислите значение Вычислите значение Вычислите значение 4 9π 3π sin cos sin 30 tg 45 + cos0 ctg90 π 5π 5π log4 cos cos cos Вычислите значение logcos 5π + log π π cos + logcos 3 Вычислите значение 3 Вычислите значение 7π 5π π sin sin sin 0 0 0sin 30 cos Вычислите значение Вычислите значение 3sin 3 cos 3 0 sin sin 8 5 cos 43 cos Задача 7. Сколько целочисленных решений имеет неравенство x + x 8 0? πx sin Решение. Найдем корни квадратного трёхчлена, стоящего в числителе дроби и разложим квадратный трёхчлен на множители: ± ± + = = = x = x = x + x = x + x x x 8 0 x, x, ( )( ) 4, 8 4 Заметим, что стоящее в знаменателе дроби выражение ООО «Резольвента», (495)

22 ООО «Резольвента», (495) πx sin положительно. Поэтому исходное неравенство можно преобразовать к следующему виду: x + + x 8 0 πx πx sin 0, sin > x x 8 0, ( x )( x ) x [ ] + 4 0, 4;, πx πx sin > 0, sin > 0. Теперь рассмотрим все целые числа, лежащие на отрезке [ 4;]: При этом 4, 3,,, 0,,. ( ) ( ) ( ) π 4 π 3 π sin = 0, sin =, sin = 0, π ( ) π ( 0) π ( ) π ( ) sin =, sin = 0, sin =, sin = 0. Таким образом, только числа из целых чисел, лежащих на отрезке [ 4;], удовлетворяют условию Ответ.. πx sin > 0. Похожие задачи для самостоятельного решения. Сколько целочисленных решений имеет неравенство ООО «Резольвента», (495)

23 ООО «Резольвента», (495) x x. 0? πx cos x x. 0? πx sin Задача 8. Найдите все пары чисел x и y, для которых 5cos x + 5y + 8ycos x + cos x y + = 0. Решение. Перепишем это уравнение в форме ( ) 5cos x + 8y + cos x + 5y y + = 0, () и будем рассматривать уравнение () как квадратное уравнение относительно переменной cosx, коэффициенты которого зависят от переменной y. Тогда дискриминант квадратного уравнения () будет иметь вид: ( ) ( ) D = 8y y y + = 4y + 3y y + 40y 40 = ( ) ( ) 3y 7y 3 3 y y 3 y. = + = + = Заметим, что при всех значениях переменной y, за исключением y =, дискриминант уравнения () отрицателен, а лишь в случае y = дискриминант равен нулю. Поэтому уравнение () будет иметь корни только лишь при y =. Подставляя значение y = в уравнение (), получим: ( ) ( ) 5cos x 0cos x cos x cos x 0 5 cos x = + + = + = cos x + = 0 cos x = x = π + π n, n Z. x = π + π n, n Z, Ответ. y =. ООО «Резольвента», (495)

24 ООО «Резольвента», (495) Похожая задача для самостоятельного решения. Найдите все пары чисел x и y, для которых 4x + sin y + 4xsin y + 4x + = 0 Задача 9. Какое из чисел является положительным? Поэтому Решение. Заметим, что Ответ. 9π 5π π 7π tg, tg, tg, tg π π π 5π π 3π 7π 3π 0 < <, < < π, π< <, π< < π 5π π 7π tg >0, tg <0, tg >0, tg > π π 7π tg, tg, tg Похожие задачи для самостоятельного решения.. Какое из чисел является положительным?. Какое из чисел является наибольшим? 3. Какое из чисел 9π 5π π 7π tg, tg, tg, tg π 0π 8π π sin, sin, sin, sin π 9π π 3π cos, cos, cos, cos ООО «Резольвента», (495)

25 ООО «Резольвента», (495) является наибольшим? 4. Какое из чисел sin 0,; sin,; sinπ; sin 4 является наименьшим? Задача 0. Найдите производную функции y = 4tg x x Решение. По формулам дифференцирования 4 y = 7x cos x ' 7 Ответ. 4 cos 7x x Похожая задача для самостоятельного решения. Найдите производную функции y = x + 5tg x Задача. Найдите значение производной функции y = 3x + 4sin x при π x =, 3 Решение. По формулам дифференцирования y ' = 3 + 4cos x Поэтому ' π π y = 3 + 4cos = = Ответ. 5. ООО «Резольвента», (495)

26 ООО «Резольвента», (495) Похожая задача для самостоятельного решения. Найдите значение производной функции y = cos x 5x при π x = Задача. Найдите все значения x, при которых ( x) cos π + 3 sin x и 9π sin x sin x принимают разные значения. Решение. Воспользовавшись формулами приведения и формулой «Косинус двойного угла», получим ( ) ( x ) cos 3 cos π + x 3 cosx 3 cos x = = = ; sin x sin x sin x sin x 9π π π sin x sin 4π + x sin x cos x = = =. sin x sin x sin x sin x По условию задачи cos x cos x cos x cos x 0 sin x sin x sin x sin x cos x cos x cos x + cos x cos x( cos x + ) 0 0 0, sin x sin x sin x ООО «Резольвента», (495)

27 ООО «Резольвента», (495) Следовательно, и Ответ. π π x + π n, x + π n, n Z, cos x 0 π π cos x x + π n, x + π n, n Z, 3 3 sin x < 0 sin x < 0 ( ) x π + π n ; π n, n Z, π π x + π n, x + π n, n Z, 3 ( ) x π + π n ; π n, n Z, π π x + π n, x + π n, n Z, 3 Похожая задача для самостоятельного решения. Найдите все значения x, при которых принимают разные значения. cosx + 3 sin x 3π sin + x + sin x Задача 3. В треугольнике ABC угол C равен 90 0, AB =5, Найдите AC. 3 cos B =. 5 ООО «Резольвента», (495)

28 ООО «Резольвента», (495) Решение. Из определения косинуса острого угла найдём BC (рис.): BC BC 3 cos B = = = BC = 9. AB 5 5 С помощью теоремы Пифагора найдём AC: Ответ.. AC AB BC = = = 5 9. Похожие задачи для самостоятельного решения.. В треугольнике ABC угол C равен 90 0, BC =, tg A =. Найдите AB. 4. В равнобедренном треугольнике ABC сторона AC основание, 5 cos A =, высота BH равна 4. Найдите AC В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону AB, равна, cos A =. Найдите AD В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону AB, равна 8, 3 sin A =. Найдите AD. 8 ООО «Резольвента», (495)

29 ООО «Резольвента», (495) на отрезке Задача 4. Найдите наименьшее значение функции π ;0. 3 y = 5sin x + x + π Решение. Сначала найдем производную функции: Далее заметим, что откуда вытекает неравенство: ' 3 y = 5cos x +. π cos x, π < 4, ' 3 y > 5 + = = 4. 4 Таким образом, производная функции везде положительна, а, значит, функция везде возрастает. Отсюда следует, что наименьшее значение функции на отрезке достигается в левом конце отрезка, т.е. в точке Поэтому π x =. y min π 3 π 5 5 = 5sin + + = + =. π Ответ. 5. Задача 5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 0;π ] y = 4 sin x 4x + π ООО «Резольвента», (495)

30 ООО «Резольвента», (495) Решение. Сначала найдем производную функции: y ' = 4 cos x 4. Теперь найдем корни производной, т.е. те значения x, в которых производная обращается в нуль: 4 cos x 4 = 0 4 cos x = 4 cos x = π π x = + π n, x = + π n, n Z. 4 4 Заметим, что из этих корней только точка сравним значения функции в трёх точках Поскольку y ( ) 0 = π, ( ) π x = 0, x =, x = π. 4 π x = лежит на отрезке [ 0;π ], и 4 π π π y = 4 sin 4 + π = 4 π + π = 4, y π = 4 sinπ 4 π + π = 3π, то самым большим из этих чисел является число 4, откуда вытекает, что наибольшее значение функции достигается в точке и равно 4. Ответ. 4. π x =, 4 ООО «Резольвента», (495)

31 ООО «Резольвента», (495) Похожие задачи для самостоятельного решения.. Найдите наименьшее значение функции 30 y = 3sin x + x + 4 на отрезке π 5π ;0. Найдите наименьшее значение функции π 3 y = 5 + x 3 4cos x на отрезке 3 π 0; 3. Найдите наименьшее значение функции y cos x x 5 = на отрезке [ π;0] 4. Найдите наименьшее значение функции y = 8tgx 8x π + 5 на отрезке π π ; Найдите наименьшее значение функции y = tgx x 4π + 7 на отрезке π π ; 4 4. Найдите наибольшее значение функции 7π 3 y = 4cos x + 7x 3 + на отрезке 3 π 0; 7. Найдите наибольшее значение функции y = tgx x + 3π на отрезке π π ; Найдите наибольшее значение функции 7π y = 4tgx 4x на отрезке π π ; Найдите наибольшее значение функции π 3 y = cos x + x 3 на отрезке 3 π 0; Задача. Решите систему уравнений x + sin y = sin y, cos y = x. ООО «Резольвента», (495)

32 ООО «Резольвента», (495) Решение. Заметив, что правая часть первого уравнения системы неотрицательна, возведем первое уравнение системы в квадрат: x + sin y = sin y, x = 0, x + sin y = sin y, cos y = x, cos y = x, cos y = x sin y 0 sin y 0 Далее получаем x = x = x = 0 x = x = cos y = x cos y = x U cos y = x cos y = U cos y = sin y 0 sin y 0 sin y 0 sin y 0 sin y 0 x = x = π 3π y = ± + π n, n Z U y = ± + π n, n Z 4 4 sin y 0 sin y 0 x = x = π U 3π y = + π n, n Z y = + π n, n Z 4 4 x = x = Ответ. π ; 3π y = + π n, n Z y = + π n, n Z 4 4 Задача 7. Решите систему уравнений x + x x + x = 3 3 7, sin y = x. Решение. Сначала решим первое уравнение системы. Для этого перепишем его в виде x x x x и совершим замену переменного = 0 x + x = t 3. ООО «Резольвента», (495)

33 ООО «Резольвента», (495) В результате получим квадратное уравнение обладающее корнями t t t = 0, = 3, t =. Поскольку t неотрицательное число, то второй корень должен быть отброшен. Следовательно, t x x x x = = = = 0 = 5, =. x x x x Рассмотрим первый случай: x 5, x 5, = = 5 sin y = x sin y = Поскольку 5 <, то в первом случае решений нет. Рассмотрим второй случай: x, x, = x =, = nπ sin y = x sin y = y = ( ) + π n, n Z. 4 x =, Ответ. nπ y = ( ) + π n, n Z. 4 ООО «Резольвента», (495)

34 ООО «Резольвента», (495) Похожие задачи для самостоятельного решения. Решить систему уравнений. x + cos y 3 = cos y, sin y = x.. cos y x x 8 = 0, sin x y y = cos x + 3sin x =, 5 y cos x + ycos x + = sin x 3sin x + = 0, y y cos x = sin x + 3sin x + = 0, y y = cos x.. 7. sin x sin x = log y = cos x. ( y) + log7 ( + y) y = sin x. cos x cos x sin x cos x = 0, y + y = 4sin x sin x + cos x = 0, y y = 4sin x , = 0, ООО «Резольвента», (495)

35 ООО «Резольвента», (495) sin x sin y =, sin x + cos y =.. ( ) x 5x 3 cos y = 0, sin y = x.. sin x 5sin x = 0, y cos x = sin x + 7sin x = 0, 5y 5cos x = y + sin x = 0, ( 4 sin x )( y + 3) = 0. y sin x = 0, ( 3 sin x )( y 5) = 0.. xtgy = 9, xctg y = yctgx = 9, ytgx = y = x, sin y = cos x. 9. tgx tgx 3 + = 0, 5 5 5y 5cos x = 0. ООО «Резольвента», (495)

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 59-8- Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента» www.resolventa.ru resolventa@list.ru (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебно-методическое

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Учебное

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (9) 09-8-0 Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебно-методическое

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Учебно-методическое

Подробнее

Учебный центр «Резольвента» К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике

Учебный центр «Резольвента» К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ. Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ Учебно-методическое

Подробнее

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

11 класс, базовый уровень. Задание 1. Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Разложите на множители: 3 11 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) b 3 + 1 Найдите числа A, B, C, при которых справедливо

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН Учебно-методическое пособие

Подробнее

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями)

10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) 10 класс, базовый уровень Задание 1 Вариант 0 (демонстрационный, с решениями) Заочная математическая школа 009/010 учебный год 1 Представьте выражение в виде многочлена стандартного вида и найдите его

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 1

Тригонометрические уравнения. 1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. 1 В данной статье рассматриваются самые простые виды тригонометрических уравнений. Методы решения таких уравнений стандартны

Подробнее

Логарифмические и показательные уравнения и неравенства.

Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. Лектор: Гордеев Станислав Сергеевич Преподаватель ЦДП по физике и математике лицея 1511 при НИЯУ МИФИ (1/30) Свойства показательной функции Надо

Подробнее

Исследование тригонометрических функций

Исследование тригонометрических функций И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Исследование тригонометрических функций Напомним, что функция fx) называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения

Подробнее

Вариант x x 2 (2x 6) 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6.

Вариант x x 2 (2x 6) 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6. 1 1. Решите неравенство: Вариант 1 5 2x x 2 (2x 6) 0. 2. Найдите сумму натуральных решений неравенства: x 4 2x 9. 3. Найдите значение выражения при x = 35: 6 (x + 5)6 + 6 (x + 7) 6. 4. Найдите наибольшее

Подробнее

Задание 13. допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений. переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения

Задание 13. допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений. переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения Вебинар Тема: Повторение Подготовка к ЕГЭ (задание 1; 1; 18) Задание 1 Определение: Областью определения уравнения f g или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений

Подробнее

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Комментарий Цель данного раздела - поработать выполнение заданий на тождественные преобразования тригонометрических выражений, поскольку они встречаются

Подробнее

Исследование тригонометрических функций

Исследование тригонометрических функций И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Исследование тригонометрических функций Напомним, что функция fx называется периодической, если существует такое число T 0, что для любого x из области определения

Подробнее

Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ (задание 9; 13; 18) Тема: Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрический круг

Тригонометрические уравнения. Подготовка к ЕГЭ (задание 9; 13; 18) Тема: Преобразование тригонометрических выражений. Тригонометрический круг Тема: Преобразование тригонометрических выражений Тригонометрические уравнения Подготовка к ЕГЭ (задание 9; ; 8) Тригонометрический круг Основные тригонометрические формулы sin cos tg cos sin sin cos sin

Подробнее

Экзаменационные варианты 2003 года. logb

Экзаменационные варианты 2003 года. logb Экзаменационные варианты 00 года Вариант 00.0 Задача. Упростить выражение ( log 4)( log 4). Используя определение логарифма, представим = log 9, = log. Тогда 9 (log 9 log 4)(log log 4) = log log = log

Подробнее

Тригонометрия. Решение тригонометрических уравнений и неравенств.

Тригонометрия. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Тригонометрия. Решение тригонометрических уравнений и неравенств. Лектор: Гордеев Станислав Сергеевич Преподаватель ЦДП по физике и математике лицея 1511 при НИЯУ МИФИ (1/30) Домашняя задача. Абонент забыл

Подробнее

1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ. Действия со степенями. Степени чисел имеют следующие основные свойства:

1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ. Действия со степенями. Степени чисел имеют следующие основные свойства: ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ Действия со степенями Степени чисел имеют следующие основные свойства: y + y y y a a = a ; ( a b) = a b ; ( a ) = a ; y y a a = a a = a ; 5 y = a a

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год Часть A A Найдите значение выражения 8 6 6,5 Решение Используя свойства степени получаем: 8

Подробнее

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3.

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru. Минимаксные задачи. 2 cos x + 1 = 3. И. В. Яковлев Материалы по математике MthUs.ru Минимаксные задачи Начнём с примера. Пусть требуется решить уравнение 3 x +1 = cos x + 1. 1) Одновременное присутствие показательной и тригонометрической

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения И. В. Яковлев, А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта http://www.ege-study.ru Тригонометрические уравнения В данной статье мы расскажем об основных типах тригонометрических уравнений

Подробнее

4. Задачи, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям

4. Задачи, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям 4 Задачи, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям 0 Задача 1 Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

Подробнее

ЧАСТЬ А. 1. Ответ рисунок 4 2. Ответ 15 минут (в состоянии покоя путь пройденный телом не меняется). 210 га 30 % 100% 210

ЧАСТЬ А. 1. Ответ рисунок 4 2. Ответ 15 минут (в состоянии покоя путь пройденный телом не меняется). 210 га 30 % 100% 210 ЧАСТЬ А. Ответ рисунок. Ответ 5 минут (в состоянии покоя путь пройденный телом не меняется). 0 га 0 % 00% 0 га. Воспользуемся пропорцией 700 га га 00 % 0%. Будем решать пример по действиям 9 9 0,!!! 8

Подробнее

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения Тригонометрические уравнения Тригонометрическим уравнением называют уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрической функции Решением или корнем тригонометрического уравнения называют такое

Подробнее

Домашняя контрольная работа. Указания к выполнению работы

Домашняя контрольная работа. Указания к выполнению работы Домашняя контрольная работа Указания к выполнению работы Для успешного выполнения контрольной работы по теме «Тригонометрические выражения. Тригонометрические уравнения» необходимо рассмотреть следующие

Подробнее

Минимаксные задачи в тригонометрии

Минимаксные задачи в тригонометрии И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Минимаксные задачи в тригонометрии В настоящем листке рассматриваются уравнения, для решения которых используются оценки правой и левой частей. Чтобы стало

Подробнее

уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства

уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства 008-009 уч. год. 3, 11 кл. Математика. Тригонометрические уравнения, системы, неравенства 3. Методы решений некоторых уравнений 3.1. Уравнение вида sin k ± cos m = 0 Также уравнения решаются сведением

Подробнее

Тригонометрические уравнения. 2

Тригонометрические уравнения. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения. В статье «Тригонометрические уравнения. 1» мы рассмотрели стандартные методы решения весьма простых тригонометрических уравнений.

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2004 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2004 год. Часть A Единый государственный экзамен по математике, 00 год Часть A A. Функция задана графиком. Укажите промежуток, на котором она принимает только отрицательные значения.. ( ; ). (; ). ( ;0). (0; ) Решение.

Подробнее

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме),

Решение типового варианта «Комплексные числа. Многочлены и рациональные дроби» (результат запишите в тригонометрической форме), типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2007 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 7 год демонстрационная версия Часть A Найдите значение выражения 6p p при p = Решение Используем свойство степени: Подставим в полученное выражение Правильный

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», wwwresolventaru, resolventa@listru, (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С С САМАРОВА МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ Учебно-методическое

Подробнее

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой.

27 3 2,5. при х = 16. Задания такого типа легче выполнить без ошибок, если обозначить степень с. наименьшим показателем новой буквой. РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ ВАРИАНТА 0 Напомним, что на проверку сдаются решения заданий только из части Решения заданий частей и выполняются на черновиках и на оценку никак не влияют При выполнении заданий части

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Учебно-методическое пособие

Подробнее

РАЗДЕЛ 14. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

РАЗДЕЛ 14. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ РАЗДЕЛ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ Комментарий Задачи с параметрами традиционно являются сложными заданиями в структуре ЕГЭ, требующими от абитуриента не только владения всеми методами и приемам решения различных

Подробнее

Обратные тригонометрические функции. 2

Обратные тригонометрические функции. 2 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Обратные тригонометрические функции. Перед этим листком следует повторить статью «Обратные тригонометрические функции.», в которой приводятся определения

Подробнее

10 класс. в целых неотрицательных числах x, y, z.

10 класс. в целых неотрицательных числах x, y, z. 0 Решите уравнение 0 класс x y 9z в целых неотрицательных числах x, y, z Из уравнения видно, что число x делится на : x = x, где x целое неотрицательное число Получаем: 7x = y + 9z, 9x = y + z Из последнего

Подробнее

1. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 1 Алгебраические уравнения: рациональные (содержат только целые степени неизвестной) и иррациональные (содержат дробные степени неизвестной) ) Показательные и логарифмические (неизвестная

Подробнее

«Тригонометрические уравнения» Подготовка к ЕГЭ. Профильный уровень.

«Тригонометрические уравнения» Подготовка к ЕГЭ. Профильный уровень. «Тригонометрические уравнения» Подготовка к ЕГЭ. Профильный уровень. Автор: Астрахарчик Нина Алексеевна учитель математики МОУ «Лицей города Троицка», г. Москва. Тип урока: Комплексное применение знаний,

Подробнее

задания Ответ B1 4 B B3-24 B4 0,8 B B6 15 B7 847 B8 0,25 B9 2 B B11-1 B12 12 Ответы к заданиям с кратким ответом

задания Ответ B1 4 B B3-24 B4 0,8 B B6 15 B7 847 B8 0,25 B9 2 B B11-1 B12 12 Ответы к заданиям с кратким ответом Математика. класс. Вариант Ответы к заданиям с кратким ответом B B B3 - B,8 B B6 B7 87 B8, B9 B 6 B - B МИОО, 9 г. Математика. класс. Вариант Ответы к заданиям с кратким ответом B B - B3 B B 69 B6 B7 B8

Подробнее

) 4 ab > 0, так как ab < 0. Следовательно, Третий способ. Доказываемое неравенство равносильно неравенству

) 4 ab > 0, так как ab < 0. Следовательно, Третий способ. Доказываемое неравенство равносильно неравенству класс Число 890 обладает таким свойством: изменив любую его цифру на (увеличив или уменьшив), можно получить число, кратное Найдите наименьшее трехзначное число, обладающее таким же свойством Ответ: 0

Подробнее

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Обратные тригонометрические функции Перед этим листком следует повторить статью «Введение в аркфункции», в которой приводятся определения арксинуса, арккосинуса,

Подробнее

Преобразования тригонометрических уравнений

Преобразования тригонометрических уравнений И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Преобразования тригонометрических уравнений Данный листок является непосредственным продолжением материалов «Тригонометрические уравнения. 1» и «Тригонометрические

Подробнее

Решения для 9 класса подготовительного варианта

Решения для 9 класса подготовительного варианта Решения для 9 класса подготовительного варианта. Тема Действия с дробями 7 4 0,5 :, 5 : 5 7 Выполните действия:.,5 :8 4 Решение. Выполним действия в следующем порядке: 5 4 ) 0,5 :,5 : :. 4 4 5 5 7 4 7

Подробнее

C2 Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1. : π 2,, 2π arccos 4. Ответ: 45.

C2 Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1. : π 2,, 2π arccos 4. Ответ: 45. Математика. класс. Вариант Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом. C Дано уравнение sinx 4cos x sin x. а) Решите уравнение. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку π ; 3π а) Преобразуем

Подробнее

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ. Занятие 16

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ. Занятие 16 РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ Занятие I. Формулы решения простейших тригонометрических уравнений sin = a; cos = a; tg = a; ctg = a. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее

Подробнее

4 ab > 0, так как ab 0. Следовательно, Третий способ. Доказываемое неравенство равносильно неравенству

4 ab > 0, так как ab 0. Следовательно, Третий способ. Доказываемое неравенство равносильно неравенству класс Число 890 обладает таким свойством: изменив любую его цифру на (увеличив или уменьшив), можно получить число, кратное Найдите наименьшее трехзначное число, обладающее таким же свойством Ответ: 0

Подробнее

РЕШЕНИЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВАРИАНТОВ 2001 ГОДА

РЕШЕНИЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВАРИАНТОВ 2001 ГОДА РЕШЕНИЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВАРИАНТОВ 00 ГОДА Вариант 008 (экзамен в школах-лицеях, продолжительность часа) Задача Найти экстремумы функции 3 ( x 3 x + + ) 3 y = x Найдем область определения функции Подкоренное

Подробнее

Тригонометрические преобразования и вычисления

Тригонометрические преобразования и вычисления И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические преобразования и вычисления Задачи, связанные с тригонометрическими преобразованиями и вычислениями, как правило, не сложны и потому нечасто

Подробнее

60 3x= x=36 20 x=12 x=12 20 x=8 x 20 x=8 Следующее уравнение эквивалентно предыдущей системе. x=8. x 8. sin 2 A + cos 2 A =1

60 3x= x=36 20 x=12 x=12 20 x=8 x 20 x=8 Следующее уравнение эквивалентно предыдущей системе. x=8. x 8. sin 2 A + cos 2 A =1 B3 (2011) 60 3x =6 Ниже приведено решение уравнения программой UMS online 10.0 (www.umsolver.com) Отметим ОДЗ. 60 3x 0 60 3x =6 Преобразуем неравенство. x 20 60 3x =6 Воспользуемся свойством радикалов.

Подробнее

Методическое пособие по учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала анализа; геометрия»

Методическое пособие по учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала анализа; геометрия» Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края «Армавирский машиностроительный техникум»

Подробнее

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin

b a b 5 Замечание. Можно было сначала найти синус угла с помощью формулы sin cos 1, а затем, тангенс угла с помощью формулы sin Так как то правильный ответ Система требует выполнения двух и более условий причем мы ищем те значения неизвестной величины которые удовлетворяют сразу всем условиям Изобразим решение каждого из неравенств

Подробнее

Часть 1. СУНЦ УрФУ, 2018 год Решения вступительного экзамена по математике для поступающих в 9 гуманитарный класс Вариант 1

Часть 1. СУНЦ УрФУ, 2018 год Решения вступительного экзамена по математике для поступающих в 9 гуманитарный класс Вариант 1 1 ( балла Вычислить ( 1 1 Решение ( 1 1 Ответ СУНЦ УрФУ, 018 год Решения вступительного экзамена по математике для поступающих в 9 гуманитарный класс Вариант 1 9 18 6 18 8 9 = ( 1 Часть 1 = 9 = ( балла

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЯ Тригонометрическая окружность. Окружность с sin y tg единичным радиусом с центром в начале координат называется

ТРИГОНОМЕТРИЯ Тригонометрическая окружность. Окружность с sin y tg единичным радиусом с центром в начале координат называется ТРИГОНОМЕТРИЯ Тригонометрическая окружность. Окружность с sin y tg единичным радиусом с центром в начале координат называется ctgα тригонометрической окружностью. B(;1) Угол и его мера. Мера всей 1 окружности

Подробнее

URSS. Содержание. От автора... 4 Раздел 1. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел 2. Метод тригонометрической подстановки...

URSS. Содержание. От автора... 4 Раздел 1. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел 2. Метод тригонометрической подстановки... Содержание От автора... Раздел. Метод функциональной подстановки... 5 Раздел. Метод тригонометрической подстановки... Раздел. Методы, основанные на использовании численных неравенств... 6 Раздел. Методы,

Подробнее

Основные методы решения тригонометрических уравнений

Основные методы решения тригонометрических уравнений Тишин В И Основные методы решения тригонометрических уравнений г Тишин В И Математика для учителей и учащихся Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем года Тишин В И Основные

Подробнее

откуда (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 24. школьников по математике Следовательно, получим:

откуда (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 24. школьников по математике Следовательно, получим: XXVI Межрегиональная олимпиада откуда (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 4 школьников по математике «САММАТ-018» Заключительный тур 10 класс 1 Найти целое число N, содержащее простыми множителями только, 5 и 7, зная,

Подробнее

Формулы двойного и половинного угла

Формулы двойного и половинного угла И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Формулы двойного и половинного угла Формулы двойного угла это формулы, выражающие тригонометрические функции угла α через тригонометрические функции угла

Подробнее

Тригонометрические уравнения с модулем

Тригонометрические уравнения с модулем И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения с модулем Этот листок посвящён тригонометрическим уравнениям, в которых тригонометрические функции от неизвестной величины содержатся

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2005 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2005 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 5 год демонстрационная версия Часть A Вычислите 5 8 9 5 6 6 6 Решение Воспользуемся формулой ( a ) = a : Правильный ответ: A Упростите выражение 5b 5b 5 8

Подробнее

Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов

Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов Практическая работа: Решение тригонометрических уравнений различных типов Разработчик: И. А. Кочеткова, Ж. И. Тимошко Цель работы: 1) Повторить тригонометрические формулы двойного аргумента, формулы сложения,

Подробнее

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5.

То из них, которое расположено левее всех, и является наименьшим. Это число 4. Ответ: 5. Решения А Изобразим все данные числа на числовой оси То из них которое расположено левее всех и является наименьшим Это число 4 Ответ: 5 А Проанализируем неравенство На числовой оси множество чисел удовлетворяющих

Подробнее

; ctg α = 1 sin 2 α = 1 + ctg2 α

; ctg α = 1 sin 2 α = 1 + ctg2 α Министерство науки и образования Российской Федерации Московский Государственный Университет Геодезии и Картографии Т. М. Королёва, Е. Г. Маркарян, Ю. М. Нейман ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В

Подробнее

А.С Крутицких и Н.С Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. Сайт «Решение простейших тригонометрических уравнений»

А.С Крутицких и Н.С Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. Сайт  «Решение простейших тригонометрических уравнений» А.С Крутицких и Н.С Крутицких. Подготовка к ЕГЭ по математике. Сайт http://matematikalegko.ru «Решение простейших тригонометрических уравнений» Решение простейших тригонометрических уравнений (в итоге

Подробнее

. С учётом условия, получаем ( ; 6] Объединяя результаты, находим x ( ; 6] { 5} + =,

. С учётом условия, получаем ( ; 6] Объединяя результаты, находим x ( ; 6] { 5} + =, Решите неравенство x 5 x x 5 Ответ x ; 6 5 ( ] { } Решение ОДЗ данного неравенства это множество x ( ; 5] а) При x 5 неравенство выполнено (получаем 0 0 ) Физтех 05,0 класс, решения билета 5 Рассмотрим

Подробнее

ГЛАВА II. Квадратный трехчлен

ГЛАВА II. Квадратный трехчлен ГЛАВА II. Квадратный трехчлен Справочный материал Квадратным трехчленом называют выражение a + b + c, где abc,, и a 0. График квадратного трехчлена парабола. Прямая b = ее ось симметрии. Точка ( в; в)

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2008 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2008 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 8 год демонстрационная версия Часть A Выполнить действия 6c + ( c ) c 6 c 6 c c Решение Воспользуемся формулой ( a ) = a и приведем подобные слагаемые: y y

Подробнее

Решения задач первого тура олимпиады по математике и информатике

Решения задач первого тура олимпиады по математике и информатике Решения задач первого тура олимпиады по математике и информатике Задачи для учащихся классов («Абитуриент БГУ 09»). На базе имеется несколько автомашин равной грузоподъемности. Для перевозки груза каждая

Подробнее

Тема 39. «Производные функций»

Тема 39. «Производные функций» Тема 39. «Производные функций» Функция Производной функции в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть = lim = lim + ( ) Таблица производных: Производная

Подробнее

1-е занятие. Алгебраическая форма комплексного числа. Абсолютная величина и операция сопряжения Матем. анализ, прикл. матем.

1-е занятие. Алгебраическая форма комплексного числа. Абсолютная величина и операция сопряжения Матем. анализ, прикл. матем. стр. 1 из 13 1-е занятие. Алгебраическая форма комплексного числа. Абсолютная величина и операция сопряжения Матем. анализ, прикл. матем., 4-й семестр A1 Вспомнить определения величин (z), (z), z, z, где

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Способы отбора корней в тригонометрических МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Отбор корней в тригонометрических уравнениях (типовые задания С) Корянов А Г г Брянск akoryanov@mailru Прокофьев АА г Москва aaprokof@yanderu СОДЕРЖАНИЕ Способы отбора корней в тригонометрических

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей)

МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5. Аналитические методы ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ. 27. Неравенства (метод областей) МАТЕМАТИКА ЕГЭ Задания С5 7 Неравенства (метод областей) Указания и решения Справочный материал Источники Корянов А Г г Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу: korynov@milru ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ

Подробнее

Тригонометрические неравенства

Тригонометрические неравенства Тригонометрические неравенства Неравенства, содержащие переменную только под знаком тригонометрической функции, называются тригонометрическими. При решении тригонометрических неравенств используют свойство

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2005 год демонстрационная версия. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2005 год демонстрационная версия. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, 5 год демонстрационная версия Часть A A Вычислите 5 8 9 5 6 6 6 Правильный ответ: A Упростите выражение

Подробнее

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях Корянов АГ, Прокофьев АА Отбор корней в тригонометрических уравнениях 00 ФДП МАТЕМАТИКА ЕГЭ 0 Отбор корней в тригонометрических уравнениях (типовые задания С) Корянов Анатолий Георгиевич, методист по математике,

Подробнее

Решения. 1. Три числа, составляющие возрастающую арифметическую прогрессию, дают в сумме 15. Если к ним прибавить соответственно 1, 4 и

Решения. 1. Три числа, составляющие возрастающую арифметическую прогрессию, дают в сумме 15. Если к ним прибавить соответственно 1, 4 и Решения. Три числа, составляющие возрастающую арифметическую прогрессию, дают в сумме 5. Если к ним прибавить соответственно, и 9, то получается три числа, составляющих геометрическую прогрессию. Найти

Подробнее

Учебный центр «Резольвента»

Учебный центр «Резольвента» Учебный центр «Резольвента» Кандидат физико-математических наук, доцент С. С. САМАРОВА ФИГУРЫ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ, ЗАДАННЫЕ НЕРАВЕНСТВАМИ Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по

Подробнее

cos y 6x x 2 8 = 0, Способ нахождения искомого расстояния верен, но получен неверный ответ или решение не закончено

cos y 6x x 2 8 = 0, Способ нахождения искомого расстояния верен, но получен неверный ответ или решение не закончено Математика класс Вариант,, 5, 7 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C cos y 6x x 8 = 0, Решите систему уравнений sin x y y = 0 Из неравенства 6x x + 8 0 получаем: x случай Пусть x = или x

Подробнее

DF 2 = DM 2 + FM 2 2DM FM cosα = BD 2 + BF 2 2BD BFcos60. выше

DF 2 = DM 2 + FM 2 2DM FM cosα = BD 2 + BF 2 2BD BFcos60. выше Математика. класс. Вариант --5-7 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C (sinx )(cos x+) Решите уравнение =. tgx Левая часть уравнения имеет смысл при tgx >. Приравняем числитель к нулю: (sinx

Подробнее

tg A 1 BM A 1M Ответ: arctg 0,6.

tg A 1 BM A 1M Ответ: arctg 0,6. Математика класс Вариант 5-7--5 Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом C Дано уравнение cos π x cosx а) Решите уравнение; б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку 5π ;π Решение а) По

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2006 год демонстрационная версия. Часть 1

Единый государственный экзамен по математике, 2006 год демонстрационная версия. Часть 1 Единый государственный экзамен по математике, 006 год демонстрационная версия A Вычислите: 8 7 Часть 6 8 6 Решение Представим произведение чисел, находящихся под знаком корня, в виде произведения степеней

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (задание 13 ЕГЭ) Курбанов Магомед Ахмедович, МБОУ гимназия 2 г.сургут 2019 г.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (задание 13 ЕГЭ) Курбанов Магомед Ахмедович, МБОУ гимназия 2 г.сургут 2019 г. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (задание 13 ЕГЭ) Курбанов Магомед Ахмедович, МБОУ гимназия г.сургут 019 г. Теория: sin + cos =1, основное тригонометрическое тождество Основные тригонометрические формулы:

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ВОЕННО-ТЕХНИЧЕСКИЙ КАДЕТСКИЙ КОРПУС Дисциплина: «Математика, основы информатики и вычислительной техники» МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ для кадет Тема: Уравнения и неравенства с параметрами. Преподаватель: Молоткова

Подробнее

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике

Доклад по теме: Решение задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Доклад по теме: задач с параметрами при подготовке к ЕГЭ по математике Выполнила Яценко Ирина Алексеевна Учитель математики МОУ СОШ 16 г. Щелково Щелково 2011 г. Содержание Знакомство с параметрами...

Подробнее

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

МАТЕМАТИКА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ООО «Резольвента» www.resolventa.ru resolventa@list.ru (495) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук профессор К. Л. САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год демонстрационная версия. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2001 год демонстрационная версия. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmthnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год демонстрационная версия Часть A A Найдите значение выражения 65 + 6 5 5+ 9 5 5+ 9 7 5 65 + 6

Подробнее

Тема 4 «Тригонометрия» Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Зная, что - это 180º, заполнить пустые клетки таблицы Угол в градусах

Тема 4 «Тригонометрия» Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Зная, что - это 180º, заполнить пустые клетки таблицы Угол в градусах Тема «Тригонометрия» Задачи для самостоятельного решения Задача. Зная, что - это 8º, заполнить пустые клетки таблицы Угол в градусах º 55 º Угол в 8 5 радианах 8 5 Задача. В каких координатных четвертях

Подробнее

Единый государственный экзамен по математике, 2002 год. Часть A

Единый государственный экзамен по математике, 2002 год. Часть A Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина wwwmathnetspbru Единый государственный экзамен по математике, год Часть A A Найдите значение выражения 6 7 4 5 6 5 4 4 6 6 4 4 Решение Пользуясь свойствами арифметического

Подробнее

Тема 14. Тригонометрия Часть 3 Содержание 117. Обратные тригонометрические функции Тригонометрические уравнения. Частные случаи. 119.

Тема 14. Тригонометрия Часть 3 Содержание 117. Обратные тригонометрические функции Тригонометрические уравнения. Частные случаи. 119. Тема Тригонометрия Часть Содержание 7 Обратные тригонометрические функции 8 Тригонометрические уравнения Частные случаи 9 Простые тригонометрические уравнения Простые уравнения с квадратами и модулями

Подробнее

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ( часть 2 ) 6. Использование тождеств (sin x ± cos x) 2 = 1 ± sin 2x.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ( часть 2 ) 6. Использование тождеств (sin x ± cos x) 2 = 1 ± sin 2x. Занятие 9 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ( часть ). Использование тождеств (sin x ± cos x) ± sin x. Пример. sin x 5 5sin x 5cos x 0. Сделаем замену: sin x cos x, тогда (sin x cos x) sin x sin x cos x cos

Подробнее

Тригонометрические преобразования и вычисления

Тригонометрические преобразования и вычисления И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические преобразования и вычисления Задачи, связанные с тригонометрическими вычислениями, обычно сводятся к стандартным манипуляциям с тригонометрическими

Подробнее

Занятие 5. Системы уравнений и неравенств. Решить систему неравенств: 8 x 5 2 x. x 2 x. log 3 x. x 3 9 x 28 3 x+3. Решить систему уравнений:

Занятие 5. Системы уравнений и неравенств. Решить систему неравенств: 8 x 5 2 x. x 2 x. log 3 x. x 3 9 x 28 3 x+3. Решить систему уравнений: Занятие 5. Системы уравнений и неравенств. Решить систему неравенств:. 8 x 5 x 1. x 4 x log x ( 1) x x ( log 3 x ) ( x+7 x+1 1 x+1 ) logx+7 x 3 9 x 8 3 x+3 Решить систему уравнений: x = 5 + y 1 3. x 5

Подробнее

8 класс Решения гг. Задание 4. Задача 1. Решение

8 класс Решения гг. Задание 4. Задача 1. Решение 8 класс Решения 017-018 гг. Задание Задача 1 Найти сумму кубов корней уравнения ( х х 7) ( х х ) 0. Для решения уравнения воспользуемся методом замены переменной. Обозначим у = х + х 7, тогда х + х = (х

Подробнее

50 (напомним:!

50 (напомним:! Второй (заключительный) этап олимпиады школьников «Шаг в будущее» для 8-10 классов по общеобразовательному предмету «Математика», 10 класс, весна 018 г. Вариант 1 Задача 1. (10 баллов) Сравните числа:

Подробнее

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений

Задачи С1 Пример 1. (ЕГЭ 2010, С1). Решите систему уравнений Различные подходы к решению задач С С С5 ЕГЭ 9- года Подготовка к ЕГЭ (материал для лекции для учителей ) Прокофьев АА aaprokof@yaderu Задачи С Пример (ЕГЭ С) Решите систему уравнений y si ( si )(7 y )

Подробнее

- его дробную часть). Вычислить 2 2

- его дробную часть). Вычислить 2 2 0 0 ( день) класс Задача ( балл) Решить неравенство,, 8, Решение Бесконечная сумма в правой части неравенства представляет собой сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом b,

Подробнее