Алгебра и аналитическая геометрия

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Алгебра и аналитическая геометрия"

Транскрипт

1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Алтайская государственная педагогическая академия» ГМ Малиновская, ГВ Пышнограй Алгебра и аналитическая геометрия Учебное пособие Барнаул

2 СОДЕРЖАНИЕ ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 5 Глава 1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 11 Элементы теории матриц и определителей 111 Матрицы и операции над ними Определители Обратная матрица Ранг матрицы Системы линейных алгебраических уравнений 121 Основные понятия Метод Гаусса Метод Крамера Решение систем с помощью обратной матрицы Однородные системы Задачи 131 Задачи с решениями Задачи для самостоятельного решения Образец индивидуального задания 28 Глава 2 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 21 Линейные операции над векторами 211 Основные понятия Линейные операции в геометрической форме Базис векторного пространства Координаты вектора Проекция вектора на ось Прямоугольная декартова система координат Координаты точки Линейные операции над векторами в координатной форме Операции умножения векторов 221 Скалярное произведение векторов Векторное произведение векторов Смешанное произведение векторов Задачи 231 Задачи с решениями Задачи для самостоятельного решения Образец индивидуального задания 44 Глава 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 31 Аналитическая геометрия на плоскости 311 Линии и их уравнения Прямая линия Линии второго порядка Преобразование декартовой системы координат на плоскости Исследование общего уравнения линии второго порядка Аналитическая геометрия в пространстве 321 Уравнение поверхности и уравнения линии Плоскость Прямая линия в пространстве Поверхности второго порядка Задачи 331 Задачи с решениями Задачи для самостоятельного решения Образец индивидуального задания 79 2

3 Ответы к задачам для самостоятельного решения 80 Ответы к образцам тестов 81 Контрольные вопросы 81 Список рекомендуемой литературы 83 3

4 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ начало и окончание решения примеров и задач x X элемент x принадлежит множеству X x X элемент x не принадлежит множеству X X Y множество X есть подмножество множества Y X = множество X пусто X Y, X Y, X \ Y объединение, пересечение, разность множеств X и Y X = { x : P( x )} множество X из элементов x, обладающих свойством P(x) N, Z, Q, R множества натуральных, целых, рациональных, действительных чисел соответственно x модуль (абсолютное значение) числа x A B из высказывания A следует B A B высказывания А и B равносильны : утверждение справедливо по определению x : существует такое x, что! x : существует единственное x, такое, что x для любого x A = (a ij ) m n матрица А с элементами a ij (i = 1,,m, j = 1,,n ) A, det A определитель матрицы А M ij дополнительный минор элемента a ij A ij алгебраическое дополнение элемента a ij A 1 обратная матрица r(a), rang A ранг матрицы A A B расширенная матрица AB, a и AB, a векторы и их длины a b, a b, a b векторы a и b коллинеарны, одинаково направлены, противоположно направлены соответственно ПрOPa, Пр a b проекция вектора a на ось OP ; на вектор b a= { a x;a y;az} вектор a имеет координаты a x, a y, a z A(x, y, z) точка A имеет координаты x, y, z i,j,k правый ортонормированный базис a b скалярное произведение векторов a и b a b векторное произведение векторов a и b (a,b,c ) смешанное произведение векторов a,b,c ( r, ϕ ) полярные координаты точки 4

5 Глава 1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 11 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЦ И ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ В данной главе будут рассмотрены элементы теории матриц и определителей, которые могут использоваться при решении систем линейных алгебраических уравнений с произвольным числом неизвестных и уравнений Новые понятия будут использоваться и в последующих разделах 1111 Основные понятия 111 Матрицы и операции над ними Определение Матрицей размера будем называть совокупность чисел, расположенных в виде таблицы из строк и столбцов: Числа, составляющие таблицу, называются элементами матрицы Каждый элемент матрицы нумеруется двойным индексом:, где номер строки, номер столбца на пересечении которых стоит этот элемент Например, элемент матрицы, находящийся в третьей строке и во втором столбце Определение Матрицу называют квадратной, если в матрице число строк равно числу столбцов, те ; в этом случае говорят, что n ее порядок Остальные матрицы называют прямоугольными Матрицы будем обозначать либо одной буквой, либо, либо Определение Матрица, имеющая только одну строку или один столбец, называется соответственно матрицей строкой или матрицей столбцом: Определение Две матрицы называются равными, если они одинакового размера и если равны их соответствующие элементы Иначе говоря, если то равенство означает, что и матрицы одинакового размера и Определение Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой Дадим некоторые понятия для квадратной матрицы Матрица первого порядка совпадает с ее единственным элементом Определение Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ матрицы, идущая из левого верхнего угла к правому нижнему углу, те состоит из элементов Определение Побочной диагональю называется диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол Определение Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треугольной), если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю (над главной диагональю) Определение Матрицу, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, называют диагональной Определение Диагональную матрицу, у которой все элементы на главной диагонали равны единице, то матрицу называют единичной Пусть даны матрицы:,,,, Согласно введенной терминологии: нижняя треугольная, верхняя треугольная, диагональная, единичная, нулевая 5

6 Определение Если в матрице заменить ее строки столбцами с такими же номерами, то полученная матрица называется транспонированной к матрице и обозначается, те Пример 1 Транспонировать матрицы, Решение, 1112 Линейные операции над матрицами На множестве матриц данного размера вполне естественным способом определяются линейные операции: умножение матрицы на число и сложение матриц Определение Произведением матрицы на число называется матрица, элементы которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы на число : Определение Матрицу называют противоположной матрице и обозначают: Определение Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц и : Замечание Очевидным образом определяется разность матриц и : Пример 2 Найти матрицу 2, если, Решение 2 Замечание Непосредственно из определения линейных операций следуют их свойства: 1) (переместительное свойство); 2) (сочетательное свойство); 3) (распределительное свойство) 1113 Умножение матриц Замечание При умножении матриц размеры матриц сомножителей должны быть согласованы: число столбцов первого сомножителя должно равняться числу строк второго, в противном случае умножение невозможно Пусть это условие выполнено: даны матрицы и Определение Произведением матрицы на матрицу называется матрица, элементы которой определяются формулой:, (1) ; Таким образом, чтобы получить элемент,стоящий на пересечении i й строки и j го столбца, необходимо составить сумму парных произведений элементов i й строки первой матрицы на элементы j го столбца второй матрицы: Отметим, что число строк матрицы равно числу строк первой матрицы, а число столбцов числу столбцов второй матрицы Пример 3 Вычислить произведение матриц 6

7 и Решение Замечание Умножение матриц, в общем случае, не перестановочно, те Прежде всего, если определено произведение, то еще не значит, что имеет смысл произведение Так в разобранном примере 3 перестановка сомножителей, те умножение на, невозможна Но даже, если определены оба произведения и, то может оказаться, что Пример 4 Вычислить и, если Решение, Таким образом Возможно, что В этом случае матрицы и называются перестановочными Например,, если, а единичная матрица порядка (проверить самостоятельно) Пример 5 При каком значении матрицы и перестановочные? Решение, Матрицы и будут перестановочными, если Отметим еще одну особенность умножения матриц: произведение двух ненулевых матриц может давать нулевую матрицу Например, Легко проверить, что для прямоугольных матриц и и единичной матрицы справедливы равенства,, если эти матрицы можно перемножить Замечание Операция умножения матриц обладает еще некоторыми свойствами: 1) ; 2) ; 3) При этом предполагается, что размеры матриц таковы, что все написанные произведения имеют смысл Советуем читателю проверить эти свойства хотя бы на простых примерах 112 Определители 7

8 1121 Основные понятия Каждой квадратной матрице по специальному правилу сопоставим число, которое будем называть определителем или детерминантом этой матрицы Обозначать определитель матрицы будем одним из символов: или det Определение Определителем матрицы 1 го порядка называется число, равное ее единственному элементу, те = Определение Определителем квадратной матрицы 2 го порядка или просто определителем 2 го порядка называется число, те (2) Читатель должен отчетливо понимать разницу между определителем и матрицей Определитель есть число, вычисляемое по формуле (2), а матрица таблица чисел Однако, в определителе, также как и в соответствующей матрице, будем различать его элементы, строки, столбцы, диагонали Формула (2) дает правило вычисления определителей 2 го порядка: определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали Пример 6 Вычислить определитель матрицы,, где Решение, Определение Определителем квадратной матрицы 3 го порядка или просто определителем 3 го порядка называется число (3) Заметим, что вычисление определителя 3 го порядка осуществляется по формуле (3) через определители 2 го порядка, вычисление которых уже ранее определено формулой (2) Пример 7 Вычислить определитель матрицы Решение Для удобства запоминания правила вычисления определителя и формулировки свойств определителей введем некоторые понятия Определение Минором элемента некоторого определителя называется определитель, полученный из данного определителя, вычеркиванием i ой строки и j го столбца, на пересечении которых стоит этот элемент Например, для определителя 3 го порядка минорами его элементов являются определители 2 го порядка: и тд Для определителя 2 го порядка минорами его элементов будут определители 1 го порядка, например, 8

9 Определение Алгебраическим дополнением элемента некоторого определителя называется минор этого элемента, умноженный на число, те Например, и тд Заметим, что минор и алгебраическое дополнение одного и того же элемента совпадают, если (i + j) четное число, и отличаются только знаком, если (i + j) нечетное число Пример 8 Найти алгебраические дополнения и в определителе Решение Используя понятие алгебраического дополнения, формулы (2) и (3) можно записать в следующем виде, удобном для запоминания: ; (4) Замечание Эти формулы называются формулами разложения определителя по 1 ой строке Формулы (4) подсказывают, как следует ввести понятие определителя 4 го, 5 го и в общем случае n го порядков Определение Определителем квадратной матрицы n го порядка или просто определителем n го порядка называется число (5) Здесь, как и прежде, алгебраическое дополнение элемента Отметим, что представляет собой определитель (n 1) го порядка Таким образом, вычисление определителя n го порядка сводится к вычислению n определителей (n 1) го порядка, вычисление каждого из которых сводится в свою очередь к вычислению n 1 определителя (n 2) го порядка и тд Если в формуле (3) вычислить миноры 2 го порядка, то получим формулу, удобную для вычисления определителя 3 го порядка: (6) Чтобы запомнить, какие произведения в (6) берутся со знаком +, а какие со знаком, полезно использовать метод треугольников (правило Саррюса): + Пример 9 Вычислить определитель методом треугольников Решение 1122 Свойства определителей Рассмотрим основные свойства определителей Все пояснения, относящиеся к этим свойствам, будут проводиться для простоты на примере определителей 3 го порядка Однако сами свойства справедливы для определителей всех порядков 9

10 Свойство 1 Определитель матрицы совпадает с определителем транспонированной матрицы, те Для доказательства этого свойства достаточно применить формулу (6) к вычислению и и сравнить результаты Это свойство означает равноправность строк и столбцов определителя, поэтому дальнейшие свойства определителя, присущие его столбцам и строкам, будут формулироваться только для строк, хотя будут справедливы и для столбцов Свойство 2 Перестановка двух строк определителя изменяет его знак Например, Для доказательства этого равенства нужно непосредственно вычислить определители в этом равенстве по формуле (6) и сравнить результаты Свойство 3 Если в определителе две одинаковые строки, то такой определитель равен нулю В самом деле, если в определителе поменять местами эти одинаковые строки, то определитель не изменится, но по свойству 2 его знак должен измениться Поэтому, Свойство 4 Умножение всех элементов одной строки определителя на любое число равносильно умножению определителя на это число Или иначе: общий множитель всех элементов одной строки определителя можно вынести за знак определителя Например, Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что определитель выражается в виде суммы (6), каждый член которой содержит множителем один элемент из каждой строки Свойство 5 Если соответствующие элементы двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю В самом деле, если элементы двух строк пропорциональны, то элементы одной из них получаются умножением элементов другой на некоторый общий множитель Вынося этот множитель за знак определителя (по свойству 4), мы получим определитель с двумя одинаковыми строками, который равен 0 по свойству 3 Свойство 6 Если каждый элемент некоторой строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, первый из которых имеет в указанной строке первые слагаемые, второй вторые Элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же Например, Доказательство этого равенства легко провести непосредственным вычислением по формуле (6) определителей, записанных в его левой и правой части Свойство 7 Если к элементам некоторой строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится Действительно, полученный в результате прибавления определитель по свойству 6 можно разложить на сумму двух определителей, первый из которых совпадает с исходным, а второй имеет две пропорциональные строки и по свойству 5 равен нулю Свойство 8 Определитель равен сумме произведений элементов какой нибудь строки на их алгебраические дополнения Например, для определителя 3 го порядка имеют место следующие равенства:, (разложение по i й строке) Проверить эти равенства можно непосредственно, вычисляя алгебраические дополнения Это свойство позволяет вычислять определители разложением по любой строке, а в силу свойства 1 и по любому столбцу Свойство 9 Сумма произведений элементов какой нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю Например, Здесь элементы берутся из второй строки, а алгебраические дополнения из третьей строки Действительно, разложим по третьей строке определитель 10

11 Но у этого определителя вторая и третья строка одинаковы, значит определитель равен 0 (по свойству 3) А это доказывает свойство 9 Свойство 10 Для квадратных матриц справедливо равенство: Предлагаем читателю проверить это свойство хотя бы в случае n = 2 В связи с задачей вычисления определителей рассмотрим и в первый раз применим важное понятие элементарные преобразования матриц Замечание Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования над строками (столбцами) матрицы: 1) умножение строки (столбца) на ненулевое число; 2) перестановка двух строк (столбцов); 3) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца) Преобразование 1) приведет к тому, что определитель матрицы умножается на это число (свойство 4) Преобразование 2) изменит знак определителя (свойство 2) Преобразование 3) не изменяет определитель (свойство 7) Итак, комбинируя элементарные преобразования матрицы можно привести определитель матрицы к виду, когда в строке или столбце окажутся все нулевые элементы и тогда определитель будет равен нулю, или все элементы, кроме одного, будут нулевыми В этом случае нужно будет разложить определитель по этой строке или этому столбцу Проиллюстрируем эту идею на примере Пример 10 Вычислить определитель Решение Для удобства проведения элементарных преобразований переставим местами первый и второй столбцы, при этом определитель изменит знак Затем ко второй, третьей, четвертой строкам прибавим первую строку, предварительно умноженную на числа ( 2), 2, ( 1) Получим Разлагая определитель по 1 му столбцу, получим определитель 3 го порядка: Ко 2 й и 3 й строкам прибавим 1 ю строку, умножив ее на числа 9 и 2: Разлагаем определитель по первому столбцу: 113 Обратная матрица Напомним, что для ненулевого числа а существует понятие обратного числа Для матриц по аналогии вводится понятие обратной матрицы, такого, что Определение Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы n го порядка, если, где E единичная матрица n го порядка Обратную матрицу для матрицы обозначают через Таким образом, по определению (7) Возникает вопрос о существовании и единственности обратной матрицы для Теорема 1 ( единственность обратной матрицы) Если для матрицы существует обратная матрица, то она единственная 11

12 Доказательство Пусть существуют две обратные матрицы и Рассмотрим произведение С одной стороны, а с другой стороны Значит, Теорема 2 (о существовании обратной матрицы) Для того, чтобы квадратная матрица имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной, те При этом справедливо равенство:, (8) где алгебраические дополнения элементов матрицы Доказательство Необходимость Допустим, что существует и докажем, что Имеем Поэтому, Достаточность Теперь допустим, что Докажем, что обратная матрица существует и справедливо равенство (8) Для этого рассмотрим союзную матрицу, составленную из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы При транспонировании ее получим так называемую присоединенную матрицу Докажем, что матрица и будет искомой обратной матрицей для матрицы Для этого нужно убедиться, что выполняются условия Проверим эти равенства для простоты на примере матрицы второго порядка По свойству 8 определителей, поэтому, а по свойству 9 имеем Аналогично показывается, что Таким образом, обратная матрица существует и может быть вычислена по формуле (8) при условии, что Пример 11 Найти матрицы, обратные для матриц а), б) а) Вычислим Таким образом, матрица невырожденная и имеет обратную Вычислим алгебраические дополнения ее элементов: Присоединенная матрица Обратная матрица б) 12

13 Следовательно, С помощью обратной матрицы могут быть решены матричные уравнения вида, где заданная невырожденная квадратная матрица порядка n; и заданные матрицы размеров соответственно n m и m n; и искомые матрицы размеров соответственно n m и m n Действительно, тк квадратная матрица невырожденная, то существует обратная матрица Проделаем следующие действия с уравнениями: Таким образом, рассматриваемые уравнения имеют единственное решение ; 114 Ранг матрицы У квадратной матрицы имеется числовая характеристика ее определитель У произвольной матрицы (и для квадратной в частности) есть числовая характеристика ее ранг Рассмотрим это важное понятие Пусть в матрице выбраны произвольно k строк и k столбцов k min Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой будем называть минором k го порядка матрицы Например, для матрицы минор 2 го порядка получен пересечением первой, второй строк и первого, третьего столбцов, а минор 3 го порядка всеми строками со вторым, третьим и четвертым столбцами Среди возможных миноров матрицы могут быть как отличные от нуля, так и нулевые миноры Определение Максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы называется ее рангом Замечание Если ранг матрицы равен r, то это означает, что среди миноров этой матрицы есть хотя бы один минор порядка r, не равный нулю, а все миноры порядка и выше равны нулю Ранг матрицы будем обозначать так: r, или, или Замечания 1 Ранг нулевой матрицы принимается равным нулю 2 Для любой ненулевой матрицы имеем неравенство: 3 Ранг квадратной матрицы равен ее порядку тогда и только тогда, когда матрица невырожденная, те Пример 12 Вычислить ранг матриц и Решение, тк все миноры 2 го порядка (наибольшего порядка для этой матрицы) равны нулю:, а миноры 1 го порядка (элементы этой матрицы) не равны нулю Действительно, все миноры 3 го порядка (наибольшего порядка для матрицы ) равны нулю, потому что содержат две пропорциональные строки (первая и третья строки) Среди миноров 2 го порядка есть ненулевые, например, 13

14 Вычисление ранга матрицы путем перебора ее миноров является весьма трудоемкой задачей Значительно проще находить ранг матрицы при помощи элементарных преобразований, понятие которых и первое применение было дано в пункте 12 Рассмотрим применение элементарных преобразований матрицы для вычисления её ранга Для нахождения ранга матрицы ее приводят элементарными преобразованиями к матрице трапецевидной (ступенчатой) формы: Здесь все элементы отличны от нуля Теорема 3 Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга, те Утверждение теоремы верно в силу свойств определителей Действительно, при элементарных преобразованиях определители (миноры) если и изменят свои значения, то только на знак, те ненулевые миноры так и останутся ненулевыми, а нулевые миноры нулевыми Эти пояснения конечно нельзя считать строгим доказательством теоремы Теорема 4 Ранг матрицы трапецевидной формы равен числу r ее ненулевых строк Действительно, минор r го порядка, а все миноры большего порядка содержат нулевую строку, поэтому будут равны нулю Итак, для нахождения ранга матрицы достаточно привести ее с помощью элементарных преобразований к трапецевидному виду и подсчитать число ненулевых строк Пример 13 Найти ранг матрицы Здесь выполнены последовательно следующие элементарные преобразования: 1) первую строку, умноженную на числа ( 2), 1, ( 3), прибавили поочередно ко второй, третьей и четвертой строкам; 2) переставили столбцы второй и третий, тк во второй строке на диагонали оказался ноль; 3) вторую строку, умноженную на ( 1), ( 4), прибавили поочередно к третьей и четвертой строкам; 4) переставили столбцы третий и четвертый; 5) третью строку, умноженную на ( 2), прибавили к четвертой строке Ранг последней матрицы трапецевидной формы равен 3, такой же ранг и у исходной матрицы: 14

15 12 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 121 Основные понятия Рассмотрим систему из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными: (9) Здесь неизвестные величины; заданные числа, называемые коэффициентами при неизвестных заданные числа, называемые свободными членами системы Итак, это коэффициент, стоящий в i ом уравнении при неизвестной, а свободный член i го уравнения Коэффициенты при неизвестных составляют матрицу, которую называют матрицей системы (9) Рассмотрим еще матрицу столбец из свободных членов: столбец из неизвестных и матрицу Тогда систему (9) можно записать в виде матричного уравнения: (10) В справедливости такой записи легко убедиться, если здесь выполнить матричное умножение, после чего придем к системе (9) Пример 14 Записать систему линейных уравнений в матричной форме Решение Система содержит три уравнения с четырьмя неизвестными Матрица системы, матрица столбец неизвестных, матрица столбец свободных членов Систему можно записать в виде: или Наряду с матрицей системы будем рассматривать также расширенную матрицу системы, получаемую из матрицы добавлением столбца свободных членов: (11) Столбец свободных членов для удобства отделен вертикальной чертой Номер столбца соответствует номеру неизвестной, а номер строки номеру уравнения Очевидно, что система линейных уравнений (9) или (10) полностью определяется своей расширенной матрицей 15

16 Например, по расширенной матрице можно восстановить систему Определение Решением системы (9) называется такая совокупность чисел что каждое из уравнений системы обращается в тождество после замены неизвестных соответствующими числами Например, для системы совокупность чисел 5 и 3 является ее решением, тк при замене на 5, на 3 получим тождества: Таким образом, решение системы Наша задача состоит в нахождении решений системы (9), причем мы не делаем заранее никаких предположений относительно коэффициентов и свободных членов системы и даже относительно числа уравнений и числа неизвестных Поэтому могут быть различные случаи Определение Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения Определение Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения Например, система несовместная, тк если бы решение существовало, то равнялось бы одновременно и нулю и единице Система может иметь бесконечное множество решений, как, например, система, состоящая из одного уравнения Решением этой системы является любая пара одинаковых чисел Определение Две системы называются эквивалентными, если они или обе несовместны, или же обе совместны и имеют одни и те же решения Следующие пункты будут посвящены различным методам решения систем линейных уравнений 122 Метод Гаусса Рассмотрим общий случай системы (9), имеющей m уравнений с n неизвестными Универсальным методом решения таких систем является метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) Идея метода заключается в том, что данную систему преобразуют в эквивалентную ей систему специального вида, которую уже легко будет решить Для этого рассмотрим элементарные преобразования системы (9): 1) перестановка любых двух уравнений; 2) умножение одного из уравнений на любое ненулевое число; 3) прибавление к одному уравнению другого, умноженного предварительно на произвольное число Замечания 1 Каждое из перечисленных элементарных преобразований, а, значит, и любая их последовательность, переводит линейную систему в эквивалентную 2 Элементарные преобразования системы уравнений равносильны элементарным преобразованиям над строками ее расширенной матрицы Поэтому, в дальнейшем описание метода Гаусса будет проводиться с использованием расширенной матрицы (11) Как и при вычислении ранга матрицы с помощью элементарных преобразований, будем приводить матрицу к трапецевидной форме Система уравнений, конечно, изменится, но будет эквивалентной исходной Обращаем внимание, что в расширенной матрице столбец свободных членов, стоящий справа от черты, особый и его не переставляют Другие столбцы переставлять можно, но при этом следует помнить, каким неизвестным после этого будут отвечать столбцы матрицы Если возникнут нулевые строки, то их можно отбросить, тк это означает, что в преобразованной системе появились уравнения тождества вида Пусть ранг матрицы равен r Тогда в результате элементарных преобразований над расширенной матрицей ее можно привести к матрице вида: 16

17 , (12) где По свойствам элементарных преобразований и Напомним, что матрица матрица слева от вертикальной черты в (12) Рассмотрим возможные случаи Случай 1 Если в матрице хотя бы одно из чисел ненулевое, например, то Очевидно, что система уравнений, соответствующая расширенной матрице (12), а, значит, и исходная система (9), будут несовместными, тк в системе будут иметься уравнения вида Случай 2 Пусть теперь Покажем, что в этом случае система совместна и получим решение При этом возможны два варианта Вариант 1 Пусть Система уравнений после преобразований примет треугольный вид: (13) Эту систему легко решить, двигаясь снизу вверх (обратный ход метода Гаусса) Из последнего уравнения находим и подставляем найденное значение в предпоследнее уравнение, найдем из него значение и тд, дойдем до первого уравнения, из которого найдем, определив до этого Следовательно, система линейных уравнений (13), а, значит, и система (9) при имеет единственное решение (система совместная и определенная) Вариант 2 Пусть r < n (r > n не может быть) Тогда система уравнений содержит r уравнений, а неизвестных величин n, те в системе число неизвестных на ( n r ) больше, чем число уравнений Система уравнений будет иметь трапецевидную форму: (14) Если члены, содержащие неизвестные, перенести в правую часть в каждом уравнении, то относительно неизвестных получится система треугольного вида Решая эту систему обратным ходом метода Гаусса, получим выражение неизвестных, называемых базисными, через неизвестные, называемые свободными Такое решение, выражающее базисные неизвестные через свободные неизвестные, называется общим решением Отметим, что свободных переменных ( n r ) штук, и им можно давать любые значения При конкретных значениях свободных неизвестных получаются частные решения Таким образом, при r < n система имеет бесконечное множество частных решений (система совместная и неопределенная) Итак, алгоритм метода Гаусса показывает (случай 1), что несовместность линейной системы связана с несовпадением и Этот результат является содержанием теоремы Кронекера Капелли Теорема 5 (Кронекера Капелли) Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы Полученные результаты в случае 2 можно также записать в виде теоремы: Теорема 6 ( о числе решений) Совместная система имеет единственное решение, если ранг матрицы системы r равен числу неизвестных n, те r = n Система имеет бесконечное множество решений, если r < n 17

18 Пример 15 Решить системы методом Гаусса а) ; б) ; в) Решение Выпишем расширенную матрицу системы и проделаем элементарные преобразования а) Получили Согласно теореме Кронекера Капелли система несовместна б) Получили, значит система совместна Тк число неизвестных, то система имеет единственное решение Полученной расширенной матрице соответствует система: Пользуясь обратным ходом метода Гаусса, легко получить Итак, единственное решение системы: в) 18

19 Получили, значит система совместная Число переменных Тк r = 3 < n = 5, то система имеет бесконечное множество решений Неизвестные возьмем базисными, а свободными Последней матрице соответствует система или Последовательно находим,, Итак, общее решение системы: В дальнейшем будем рассматривать частный случай системы линейных уравнений: матрица системы квадратная (число уравнений m совпадает с числом неизвестных n ) и невырожденная ( Крамеровская система) В этом случае, поэтому Крамеровская система имеет единственное решение Кроме универсального метода Гаусса, для решения Крамеровских систем можно применять еще и другие методы Рассмотрим эти методы 123 Метод Крамера Теорема 7 (метод Крамера) Единственное решение Крамеровской системы можно получить по формулам Крамера:, (15) где определитель матрицы системы, а определители получаются из определителя заменой в нем i го столбца столбцом свободных членов Доказательство теоремы (вывод формул Крамера) проведем для простоты только в случае n = 3 Для этого выпишем систему трех уравнений с тремя неизвестными: Здесь Умножим уравнения этой системы соответственно на алгебраические дополнения к элементам первого столбца определителя, и сложим все полученные уравнения Получим: 19

20 По свойствам определителей выражение в первой скобке равно, выражения во второй и третьей скобках равно нулю Выражение в правой части Таким образом, имеем Для определения и нужно умножить уравнения системы соответственно на алгебраические дополнения элементов второго и третьего столбца определителя Пример 16 Решить систему методом Крамера Решение Вычислим определители: Итак, согласно формул (15), имеем 124 Решение Крамеровских систем с помощью обратной матрицы Пусть система, как и в предыдущем пункте, является Крамеровской Так как, то существует обратная матрица Умножим обе части матричного уравнения слева на матрицу : Получим, поэтому (16) Полученная формула позволяет получить решение Крамеровской системы с помощью обратной матрицы: нужно найти обратную матрицу для матрицы и произвести матричное умножение согласно формуле (16) Пример 17 Решить систему из примера 16 с помощью обратной матрицы Решение Для этого вначале вычислим алгебраические дополнения элементов мат- Найдем обратную матрицу рицы : Таким образом, обратная матрица Найдем решение согласно (16): Итак, решение системы Сравните с результатом в примере Однородные системы 20

21 Определение Система линейных уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю Однородная система имеет вид: (17) Матричная форма записи однородной системы:, где нулевая матрица столбец Независимо от того, будет ли число уравнений m системы меньше, равно или больше числа неизвестных n, однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое решение Важным является вопрос о том, имеются ли у однородной системы решения, отличные от нулевого Так как система (17) является частным случаем системы (9), то все результаты, ранее полученные для систем линейных уравнений, будут справедливы и для однородных систем Заметим, что однородную систему полностью определяет матрица коэффициентов, поэтому использовать расширенную матрицу не будем (добавление нулевого столбца ничего не изменит) Используя теорему о числе решений для системы (9), запишем основные результаты для однородной системы 1 Если, то система (17) имеет единственное решение, а это означает, что система имеет только нулевое решение В частности, если при этом (квадратная система), то условие равносильно условию 2 Если, то система (17) имеет бесконечное множество ненулевых решений (например, при m < n ) При этом, для квадратной однородной системы условие равносильно условию Пример 18 Решить однородную систему Решение Получили Число переменных Тк, то система имеет бесконечное множество решений В качестве базисных неизвестных возьмем, например,, а свободными Последней матрице соответствует система Из последней системы легко найти общее решение: 1 Пусть Вычислить определитель матрицы 13 ЗАДАЧИ 131 Задачи с решениями 21

22 2 Дана матрица Найти и, 3 Найти х и y из матричного равенства Используя определение равенства двух матриц, имеем y = 1, x = 3 4 При каких значениях матрицы перестановочные? Матрицы будут перестановочными, если Приравнивая соответствующие элементы, получим 5 Решить уравнение Вычисляем определитель и приравниваем его ( х):, те 6 Вычислить определитель различными способами : а) по правилу треугольников; б) разлагая по 1 му столбцу; в) разлагая по 3 й строке а) ; б) в) ; 7 Вычислить определитель, приведя его элементарными преобразованиями к треугольному виду 22

23 8 Найти ранг матрицы Применим элементарные преобразования матрицы : 9 Найти обратную матрицу для матрицы : Итак, а) б) а) б) 10 Решить матричное уравнение Здесь Матрица невырожденная, тк Находим обратную матрицу : Тогда 23

24 11 Решить систему уравнений а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы а) Выпишем определитель системы: Так как, то решение системы может быть найдено по формулам Крамера Для этого найдем, По формулам Крамера получаем решение: б) Здесь Выпишем алгебраические дополнения для матрицы А: Обратная матрица имеет вид: Решением системы будет: X = A B = = 7 = 7 = Методом Гаусса решить системы уравнений а) ; б) ; в) 24

25 а) Получили, поэтому система несовместная б) Система однородная, В результате элементарных преобразований система останется однородной Достаточно исследовать только матрицу системы : Таким образом, Так как число неизвестных, поэтому единственное решение Для однородной системы это означает, что она имеет только нулевое решение: в) Выпишем расширенную матрицу, переставив 1 ю и 2 ю строки, а затем 1 й и 3 й столбец, чтобы в верхнем левом углу оказалась единица При этом порядок неизвестных изменится: Итак,, значит система совместная Число неизвестных n = 4, r = 2 < n = 4, поэтому множество решений Тк, то две неизвестные свободные, например, и, а неизвестные и базисные Восстановим систему, соответствующую последней расширенной матрице: или Из последнего уравнения Подставляя в первое уравнение, получим Общее решение: Величины и произвольные Можно записать, что где и произвольные числа Тогда общее решение будет записано так: 25

26 Укажем какое нибудь частное решение, например, положив Тогда 13 При каких значениях система имеет ненулевое решение? Вычислим определитель матрицы этой системы: Если, то rang( ) < 2 и система будет иметь бесконечное множество ненулевых решений Таким образом, ненулевые решения будут у данной системы при 1 Найти матрицу, если 132 Задачи для самостоятельного решения 2 Найти матрицу, если, 3 При каких значениях матрицы и перестановочные? 4 Вычислить определитель матрицы, если 5 Найти матрицу и вычислить ее определитель, где 6 Вычислить определитель различными способами: а) по правилу треугольников; б) разложением по какой-либо строке или столбцу 7 При каком значении определитель матрицы равен определителю матрицы? 8 Вычислить алгебраические дополнения элементов и определителя 9 Вычислить определитель, предварительно обратив в нуль все кроме одного элемента какой либо строки или столбца 26

27 10 Вычислить определитель, приведя его элементарными преобразованиями к треугольному виду 11 Вычислить определители матриц 12 Найти обратные матрицы и сделать проверку для матриц 13 При каком значении матрица не имеет обратную матрицу? 14 Решить матричные уравнения, 15 Найти ранг матриц: 16 При каком значении матрица имеет ранг, равный 1? 17 Решить системы уравнений методом Крамера и с помощью обратной матрицы: а) ; б) ; в) ; г) 18 Решить системы уравнений методом Гаусса: а) ; б) ; в) г) ; д) ; е) 19 Решить систему а) методом Гаусса; б) методом Крамера; в) с помощью обратной матрицы 20 Определить значение параметра, при котором однородная система 27

28 имеет ненулевые решения и найти эти решения 133 Образец индивидуального задания 1 Вычислить определитель матрицы, где 2 Вычислить определитель произведения матриц, где 3 Решить уравнение 4 Вычислить алгебраическое дополнение определителя 5 Найти обратную матрицу для матрицы В качестве ответа указать сумму всех элементов полученной матрицы 6 Вычислить ранг матрицы 7 Методом Крамера найти значение z, удовлетворяющее системе уравнений 8 Решить систему с помощью обратной матрицы В ответе указать значение x + y 9 С помощью метода Гаусса проверить, что система неопределенная Найти ее общее решение В качестве ответа указать число свободных неизвестных 10 Методом Гаусса проверить, что система имеет единственное решение В качестве ответа указать произведение x y 11 При каком значении λ однородная система имеет ненулевое решение? 12 Методом Гаусса исследовать систему В ответе указать число 1, если система определена; число 2, если система несовместна; число 3, если система неопределенная Глава 2 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 21 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ Величины, встречающиеся в механике, физике и других прикладных науках, могут быть разделены на два типа: скалярные и векторные Величины, которые определяются только одним числовым значением, называются скалярными или скалярами (например, масса, время, температура, цена и тп) Величины, для опре- 28

29 A деления которых требуется задать кроме числа еще и направление, называются векторными (например, скорость, ускорение, сила и тп) Геометрически их изображают вектором 211 Основные понятия Определение Вектором называется направленный отрезок, те отрезок прямой с указанием точек начала и конца Обозначать вектор в этом случае будем так: Иногда вектор обозначается одной буквой: (рисунок 1) Определение Длина направленного отрезка называется длиной или модулем вектора и обозначается так:, Если длина вектора равна единице, то он называется единичным или ортом Если у вектора начало и конец совпадают, то его длина равна нулю и его называют нулевым, например, B a Направление нулевого вектора не определено Рисунок 1 Определение Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых На рисунке 2 векторы и коллинеарные, при этом векторы и одинаково направлены, а векторы и, и противоположно направлены Рисунок 2 В математике обычно рассматривают свободные векторы, те когда положение их начала не играет никакой роли Векторы и называются равными, если они имеют одинаковую длину, коллинеарны и одинаково направлены Кратко: равен вектору, если он может быть получен из него при помощи параллель- Таким образом, вектор ного переноса Определение Векторы, лежащие в одной плоскости ( или в параллельных плоскостях), называются компланарными Очевидно, что любые два вектора компланарные, а три вектора не всегда можно уложить в одну плоскость Рассмотрим параллелепипед (рисунок 3) Можно отметить, например, что, компланарные, но некомпланарные Рисунок 3 Над векторами можно проводить линейные и нелинейные операции Замечание К линейным операциям относятся: сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число К нелинейным операциям относятся: скалярное, векторное, смешанное произведения векторов 212 Линейные операции над векторами в геометрической форме Определение Суммой двух векторов и называется новый вектор, который идет из начала вектора в конец вектора, при условии, что вектор приложен к вектору (правило треугольника) (рисунок 4, а)) а) б) в) Рисунок 4 Иногда два вектора удобнее складывать по правилу параллелограмма Для этого векторы переносят так, чтобы начала их были в одной точке O Затем строят параллелограмм со сторонами, равными и Вектор будет вектором диагонали с началом в этой точке O и концом в точке (рисунок 4, б)) Очевидно, что оба правила дают одинаковый результат Пусть требуется сложить n векторов 29

30 Cуммой этих векторов будет вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего вектора при условии, что начало каждого совмещено с концом предыдущего (правило многоугольника) (рисунок 4, в)) Определение Произведением вектора на число λ (или числа λ на вектор ) называется новый вектор, который коллинеарен вектору, имеет длину одинаково направлен с вектором, если λ > 0, и противоположно направлен, если λ < 0 (рисунок 5) Определение можно записать более кратко: 1) 2) при λ > 0; 3) при λ < 0 Рисунок 5 Замечания 1 Если λ = 0 или, то произведение считается равным нулевому вектору Вектор называют противоположным вектором вектору 2 Вычитание вектора из вектора (разность векторов и ) заменяют сложением вектора с вектором, противоположным вектору, те (вектор на рисунке 4, б)) 3 Любой вектор может быть представлен в виде произведения двух сомножителей: его длины и единичного вектора того же направления, что и вектор, те или Действительно, и Теорема 1(необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов) Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое единственное число, что Это можно записать более кратко: (1) Докажем необходимость условия Пусть Представим Из условия следует, что (знак +, если ; знак, если ) Итак,, где обозначено Единственность числа λ следует из однозначности длин векторов Докажем достаточность условия Пусть Тогда по определению операции произведения вектора на число следует, что и требовалось доказать Пример 1 В трапеции выразить вектор средней линии через векторы оснований Решение Сделаем рисунок Пусть вектор средней линии Имеем и Покажем, что Действительно, и, тк Для рассмотренных линейных операций над векторами справедливы легко проверяемые свойства: 1) перестановочное свойство; 2) распределительное свойство; 3) сочетательное свойство; 4) ; 5) ( ) Эти свойства позволяют выполнять действия с векторными выражениями так же, как и с алгебраическими Например, 213 Базис векторного пространства Координаты вектора 30

31 Применяя линейные операции, мы можем составить так назы- Пусть даны векторы ваемую линейную комбинацию векторов Числа называются её коэффициентами Система векторов называется линейно зависимой, если их линейная комбинация равна нулю:, причём коэффициенты линейной комбинации не равны нулю одновременно В этом случае какой-либо из векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных Например, если, то или Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам Система векторов называется линейно независимой, если ни один из векторов системы не может быть представлен в виде линейной комбинации остальных Линейная комбинация линейно независимых векторов может равняться нулю только в том случае, если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю одновременно Замечания 1 Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны 2 Три вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они некомпланарны Таким образом мы подходим к одному из важнейших понятий векторной алгебры к понятию базиса На данном множестве векторов базисом называют упорядоченный набор из n его линейно независимых векторов, где n равно максимально возможному числу линейно независимых векторов этого множества (размерность векторного пространства) Конкретизируем понятие базиса для векторных пространств разной размерности Базисом на прямой (n=1) называется любой ненулевой вектор e этой прямой Базисом на плоскости (n=2) называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов Базисом в пространстве (n=3) называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов Замечание Слово упорядоченная означает, что мы будем различать, какой вектор взят первым, какой вторым, какой третьим Например, и различные базисы в пространстве, хотя и состоят из одних и тех же векторов Рассмотрим разложение вектора по базису в пространстве: Числа называются координатами вектора в данном базисе Запись будет означать, что координаты вектора в данном базисе равны Аналогично определяются координаты вектора на плоскости и на прямой Рассмотрим важные теоремы о разложении вектора по базису Теорема 2 Каждый вектор, параллельный какой-либо прямой, может быть разложен по базису на этой прямой Теорема 3 Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости, может быть разложен по базису на этой плоскости Теорема 4 Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве Теорема 5 Координаты вектора в каждом случае определяются однозначно Теорема 2 следует из теоремы 1 Теорема 3 утверждает, что для каждого вектора, компланарного с двумя неколлинеарными векторами и (базис на плоскости), найдутся числа и такие, что Чтобы указать эти числа, поместим начала всех трех векторов в одну точку О и проведем через конец вектора прямые и, соответственно параллельные векторам и (рисунок 6) Тогда следует, что, причем В силу теоремы 2 существуют числа и такие, что Отсюда 31

32 Рисунок 6 Для доказательства теоремы 4 поместим начала всех векторов в одну точку O (рисунок 7) и проведем через конец вектора прямую параллельную вектору Пусть точка точка пересечения этой прямой с плоскостью, в которой лежат векторы и Тогда, причем, а вектор компланарен векторам и В силу уже доказанных теорем найдутся такие числа, что, Отсюда следует, что и требовалось доказать Рисунок 7 Единственность разложений (теорема 5) доказать можно от обратного Представим себе, что некоторый вектор разложен по базису, например, в пространстве двумя способами : и Вычитая из первого выражения второе, получим Если хотя бы одна из разностей в скобках не равна нулю, то мы сможем разложить один из векторов базиса по остальным Например, при имеем Но это противоречит некомпланарности базисных векторов, что и доказывает единственность разложения Отметим, что базисов в пространстве можно выбрать бесконечное множество, но, если базис выбран, то разложение вектора в этом базисе всегда является единственным Пример 2 Векторы и разложены по базису Найти координаты вектора в данном базисе Решение Таким образом, в базисе Пример 3 В ромбе получить разложение вектора высоты по базису из векторов и, угол между которыми равен 60 (рисунок 8) Решение По правилу треугольника имеем По условиям задачи Поэтому, Рисунок 8 Итак, разложение имеет вид: 214 Проекция вектора на ось Определение Осью будем называть прямую ОР, на которой указана точка О начала отсчета, масштаб и положительное направление, указанное стрелкой (рисунок 9) Пусть имеется произвольная точка А, лежащая вне оси Проведем через эту точку плоскость, перпендикулярную оси Точка Рисунок 9 А 1 пересечения плоскости с осью называется ортогональной проекцией точки А на ось Для произвольного вектора находим ортогональные проекции точек и на ось ОР : Вектор есть составляющая вектора на ось ОР Скалярная величина называется проекцией вектора на ось ОР и обозначается так: Знак + берется, если вектор одинаково направлен с осью ОР, знак, если направлен противоположно оси ОР Перенесем вектор параллельно самому себе в пространстве так, чтобы точка оказалась на оси ОР (рисунок 10 а, б) 32

33 π π a) 0 ϕ б) ϕ π 2 2 Рисунок 10 Отметим свойства проекции вектора на ось Читатель сам без труда докажет их при помощи рисунков Свойство 1, где ϕ угол между осью ОР и вектором (рисунок 10 а, б) Свойство 2 (рисунок 11) Свойство 3 (рисунок 12) Рисунок 11 Рисунок Прямоугольная декартова система координат Координаты точки В дальнейшем будет использоваться ортонормированный базис в пространстве ( на плоскости) В этом случае считается, что 1) ; 2) ; 3) тройка векторов правая тройка, те вращение от первого вектора ко второму на наименьший угол (в данном случае на 90 ) происходит против часовой стрелки, если смотреть с конца третьего вектора Определение Прямоугольной системой координат в пространстве называется совокупность точки О и ортонормированного базиса Точка О носит название начала координат Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов называются координатными осями (соответственно ОХ ось абсцисс, OY ось ординат, OZ ось аппликат) Определение Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями (плоскости OXY, OXZ, OYZ) Рассмотрим произвольную точку М Вектор будем называть радиус вектором точки М по отношению к точке О Определение Прямоугольными декартовыми координатами точки М называются координаты ее радиус вектора, те, если, то числа являются координатами точки М и это обозначается так: М( ) (рисунок 13) Аналогично определяются декартовы координаты на плоскости и на прямой Разумеется, точка на плоскости имеет только две координаты (абсциссу и ординату), а точка на прямой одну Рисунок 13 Рисунок 14 Замечание Нетрудно убедиться, что прямоугольные координаты точки в пространстве (на плоскости) по абсолютной величине равны расстояниям от этой точки до соответствующих координатных плоскостей (осей), а координаты вектора представляют собою проекции этого вектора на соответствующие координатные оси Пример 4 Построить в прямоугольной декартовой системе координат точку М(1; 2; 3) 33

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ТЕМА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО» ЧАСТЬ I ТЕМА ЭЛЕМЕНТЫ

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

И называется число находимое следующим образом:

И называется число находимое следующим образом: Определители. Теория матриц и определителей является введением в линейную алгебру. Наиважнейшим применением этой теории является решение систем линейных уравнений. Понятие определителя ввел в году немецкий

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Министерство образования Российской Федерации

Министерство образования Российской Федерации Министерство образования Российской Федерации МАТИ - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им К Э ЦИОЛКОВСКОГО Кафедра Высшая математика Н Д ВЫСК КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Часть

Подробнее

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ

Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Разработчик курса доцент кафедры высшей математики кандидат технических наук Некряч Е.Н.(2009 г.) ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел

Подробнее

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ЕН.01 «МАТЕМАТИКА» НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ КОЛЛЕДЖ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА И СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и n столбцов. ... ы ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицы и действия над ними Матрицей размера m называется прямоугольная таблица, имеющая m строк и столбцов m m m суммы двух Суммой двух ( ) и ( ) строк и столбцов называется

Подробнее

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим.

ПЕРЕСТАНОВКИ. Определение 1. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,..., n в строчку одно за другим. ПЕРЕСТАНОВКИ Определение 1 Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3,, n в строчку одно за другим Например, 2, 4, 3, 1, 5 Это перестановка пятой степени Вообще

Подробнее

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы A = m m m минора Минором k порядка k матрицы А называется любой определитель k-го порядка этой матрицы,

Подробнее

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A.

A, называется рангом матрицы и обозначается rg A. Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных

Подробнее

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление. 1. Дать определение равенства геометрический векторов. Два геометрических вектора называют равными, если: они коллинеарны и однонаправлены; их длины совпадают. 2. Дать определение суммы векторов и умножения

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» Кафедра «Высшая математика» ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Подробнее

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы.

тема 1. МАТРИЦЫ квадратная матрица n-го порядка, квадратной матрицы А называются диагональными, а их совокупность главной диагональю матрицы. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ ) Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно

Подробнее

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования

Критерии и показатели оценивания компетенций на различных этапах их формирования Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения 1 Кафедра Математики, физики и информационных технологий 2 Направление подготовки 010302

Подробнее

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Матрицы. Примеры решения задач. 1. Даны матрицы и. 2. Дана система m линейных уравнений с n неизвестными Матрицы 1 Даны матрицы и Найти: а) А + В; б) 2В; в) В T ; г) AВ T ; д) В T A Решение а) По определению суммы матриц б) По определению произведения матрицы на число в) По определению транспонированной матрицы

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ВН КАРАЗИНА ЮМ ДЮКАРЕВ, ИЮ СЕРИКОВА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы, определители, системы линейных уравнений Учебно-методическое

Подробнее

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис

называется произведением матрицы A размера компонентам сомножителей матричного произведения иллюстрирует рис Тема 06 Произведение матриц и его свойства Обращение квадратных матриц и его свойства Детерминант квадратной матрицы -го порядка и его свойства Миноры дополнительные миноры и алгебраические дополнения

Подробнее

Глава 1. Начала линейной алгебры

Глава 1. Начала линейной алгебры Глава Начала линейной алгебры Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде: + + + + n n = + + + + nn = m + m + m + + mnn = m () Здесь n неизвестные

Подробнее

Решение типовых задач к разделу «Матрицы»

Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Решение типовых задач к разделу «Матрицы» Вычислить сумму матриц и Р е ш е н и е 8 8 9 + + + + Вычислить произведение матрицы на число Р е ш е н и е Вычислить произведение матриц и Р е ш е н и е 8 Вычислить

Подробнее

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8)

УДК [ ](075.8) ISBN ISBN УДК [ ](075.8) ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Учебное пособие МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия.

Глава 4. Матрицы. Лекция Основные понятия. Лекция 0. Глава 4. Матрицы. В этой главе мы рассмотрим основные виды матриц, операции над ними, понятие ранга матрицы и их приложения к решению систем линейных алгебраических уравнений. 4.. Основные понятия.

Подробнее

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Федеральное агентство по образованию. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B =

2 5 8 A = a) A = 2 3. ; b) B = Занятие 1 Определители 11 Матричные обозначения Основные определения Матрицей размера m n, или m n-матрицей, называется таблица чисел (или других математических выражений с m строками и n столбцами Матрица

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. СВОЙСТВА. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ. порядка n > 1 называется число ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СВОЙСТВА МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть квадратная матрица порядка Определитель (детерминант) квадратной матрицы это число det, которое ставится в соответствие матрице и вычисляется

Подробнее

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица):

где А матрица коэффициентов системы (основная матрица): Лекции Глава Системы линейных уравнений Основные понятия Системой m линейных уравнений с неизвестными называется система вида: m + + + + + m + + + + m = = = m () где неизвестные величины числа ij (i =

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» АИ Шерстнёва,

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида...

Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида... Системы линейных алгебраических уравнений Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида a a a, a a a,, a a a Ее можно представить в виде матричного уравнения

Подробнее

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛАУ методом Гаусса. Ранг матрицы. Рассмотрим прямоугольную матрицу имеющую m строк и столбцов: A. m m m Выделим в этой матрице произвольные строк и столбцов. Элементы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. Составитель: доцент кафедры ИТОиМ, к. ф.-м. н. Романова Н.Ю. Широкое использование математических методов в современном

Подробнее

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра.

РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра. -й семестр. РАЗДЕЛ. Линейная алгебра. Основные определения. Определение. Матрицей размера mn где m- число строк n- число столбцов называется таблица чисел расположенных в определенном порядке. Эти числа

Подробнее

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева

МАТЕМАТИКА. Составитель: старший преподаватель Н. А. Кривошеева МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме по направлениям «Менеджмент», «Экономика» Составитель: старший преподаватель Н А Кривошеева

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Матрицы, определители и системы линейных уравнений Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» Матрицы определители и системы линейных уравнений Методические указания к решению задач Санкт-Петербург

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц

Линейная алгебра Лекция 2. Определители квадратных матриц Линейная алгебра Лекция. Определители квадратных матриц Введение Определитель или детерминант одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1. Кафедра М и ММЭ 2. Направление подготовки 01.03.02 (010400.62) Прикладная математика

Подробнее

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX»)

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА. по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА по курсу «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» (ИОС «NOMOTEX») 1 курс 1 семестр для групп ФН11, Э4, Э9, Э7, АК1,АК2, АК3, АК4, Знание: Физико-математические науки Направление науки: Математические

Подробнее

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством

Пусть дана квадратная матрица второго порядка. a11 a A = Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством Пусть дана квадратная матрица второго порядка ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 (1) Определитель второго порядка, соответствующий матрице (1), определяется равенством a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ

ЛЕКЦИЯ 4 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ. РАНГ МАТРИЦЫ ЛЕКЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ РАНГ МАТРИЦЫ Элементарные преобразования матриц Эквивалентные матрицы Получение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований Линейная зависимость (независимость)

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3

Аналитическая геометрия. Лекция 1.3 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений

Линейная алгебра Лекция 5. Системы линейных уравнений Линейная алгебра Лекция 5 Системы линейных уравнений Основные понятия и определения Математика является инструментом для описания окружающего нас мира Линейные уравнения дают некоторые простейшие описания

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Базис. Координаты вектора в базисе

Базис. Координаты вектора в базисе Тема 0 Базис Существование и единственность разложения вектора по базису Координатное представление векторов Действия с векторами в координатном представлении Необходимое и достаточное условие линейной

Подробнее

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

МАТЕМАТИКА ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ООО «Резольвента», wwwresolventru, resolvent@listru, (95) 509-8-0 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К Л САМАРОВ МАТЕМАТИКА Учебно-методическое пособие по разделу

Подробнее

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение типовых задач , разложив его по. Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: Пример Вычислить определитель Решение типовых задач 5 5 7, разложив его по 9 9 элементам первой строки 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду: 5 7 Обозначим

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. Методические указания к выполнению индивидуальных ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ m n называется прямоугольная табли- Матрицей размера ца

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Основы векторной алгебры

Основы векторной алгебры ) Понятие вектора и линейные операции над векторами ) Скалярное произведение векторов ) Векторное и смешанное произведение векторов 4) Выражение линейных операций и произведений векторов в декартовой системе

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

1. Векторные пространства и линейные операторы

1. Векторные пространства и линейные операторы ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 1 Векторные пространства и линейные операторы Определение 1 Множество V называется векторным пространством (над полем действительных чисел R), если его элементы можно складывать между

Подробнее

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1

Чистопольский филиал «Восток» Кафедра Естественнонаучных дисциплин. Методические указания по дисциплине Математика часть 1 Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технический университет

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Д.К. Агишева, С.А. Зотова, В.Б. Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДК Агишева СА Зотова ВБ Светличная МАТРИЦЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Волгоград Тема Матрицы Основные действия над ними Обратная матрица Матричный способ решения систем линейных

Подробнее

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ НГ ЧЕРНЫШЕВСКОГО Кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики АС Суслова МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учебное пособие

Подробнее

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат

6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат 6. Базис и координаты вектора. Прямоугольная декартова система координат Понятия вектора и линейных операций над векторами алгебраизируют геометрические высказывания т.е. заменяют геометрические утверждения

Подробнее

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия

4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия 4. Системы линейных уравнений. Основные понятия Уравнение называется линейным если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных т.е. если оно имеет вид + + +

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Аналитическая геометрия Модуль 1 Матричная алгебра Векторная алгебра Текст 4 (самостоятельное изучение) Аннотация Линейная зависимость векторов Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. Методические указания и варианты курсовых заданий Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им КЭЦиолковского ЛИНЕЙНАЯ

Подробнее

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Д. З. Ильязова

Подробнее

Лекция 6: Система координат. Координаты точки

Лекция 6: Система координат. Координаты точки Лекция 6: Система координат. Координаты точки Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания В этой лекции мы

Подробнее

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E,

Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы. AB = BA = E, 31 Обратная матрица Параграф посвящен вопросу о существовании матрицы, обратной к данной, и способам вычисления такой матрицы 1 Критерий существования и свойства обратной матрицы Определение Пусть A квадратная

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы

Линейная алгебра Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы Линейная алгебра Лекция Обратная матрица Ранг матрицы Обратная матрица Определение Матрица А - называется обратной по отношению к квадратной матрице если при умножении этой матрицы на данную матрицу как

Подробнее

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ЛЕКЦИИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВК Барышева, ЕГ

Подробнее

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков

Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Лекция 1: Определители второго и третьего порядков Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы начинаем

Подробнее

Глава 1. Элементы линейной алгебры.

Глава 1. Элементы линейной алгебры. Глава Элементы линейной алгебры Матрицы О п р е д е л е н и е Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица чисел, расставленных в m строк и n столбцов Обозначаются матрицы латинскими буквами,,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства.

ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства. ЛЕКЦИЯ N5. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, арифметические векторные пространства, евклидовы пространства..скалярное произведение векторов..... Векторное произведение двух векторов...

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A

3. Ранг матрицы ба- зисным минором Рангом матрицы A 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы более высокого порядка k+, k+,, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы называется

Подробнее

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами.

ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. ЛЕКЦИЯ 3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1 Основные понятия. Линейные операции над векторами. Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. Вектор служит для геометрического

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1

пространства. Четверка, состоящая из точки O и базиса е 1, e 2 или (O, e 1 17). Рис координатными векторами ( e 1 Лекция - Тема: Метод координат в пространстве Преобразование координат План лекции АСК в пространстве Расстояние между точками и деление отрезка в данном отношении (в пространстве) ПДСК в пространстве

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса

Лекция 1.6. Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Лекция 6 Методы решения СЛАУ: матричный и Гаусса Аннотация: Доказывается теорема о базисном миноре Кратко излагается суть метода Гаусса Приводятся пример решения системы этим методом Доказывается теорема

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Тема 1-7: Определители

Тема 1-7: Определители Тема 1-7: Определители А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков (1 семестр) Перестановки

Подробнее

Высшая математика для психологов

Высшая математика для психологов Саратовский государственный университет им Н Г Чернышевского Галаев СВ, Шевцова ЮВ Высшая математика для психологов Часть (Линейная алгебра и аналитическая геометрия) Саратов 00 СОДЕРЖАНИЕ Глава Векторная

Подробнее

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1)

Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Примеры выполнения контрольных работ при заочном обучении Контрольная работа 1 (КР-1) Тема 1. Линейная алгебра Задача 1 Необходимо решить систему уравнений, представленную в задании в виде Постоянные параметры

Подробнее

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так:

Определение 1.1. Таблица чисел (вещественных или комплексных) Число строк и столбцов матрицы А, если это необходимо, можно указать так: Матрицы Определение и виды матриц Определение Таблица чисел (вещественных или комплексных) () состоящая из строк и столбцов называется прямоугольной матрицей размера Число строк и столбцов матрицы А если

Подробнее

Решение систем линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений Решение систем линейных уравнений Л. В. Калиновская, Ю. Л. Калиновский Министерство образования Московской области Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Подробнее

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): 8 Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения 1 Кафедра М и ММЭ 2 Направление подготовки Бизнес-информатика Общий профиль 3 Дисциплина

Подробнее

Казанский (Приволжский) федеральный университет

Казанский (Приволжский) федеральный университет Казанский (Приволжский) федеральный университет МС МАЛАКАЕВ ЛР СЕКАЕВА ОН ТЮЛЕНЕВА ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Учебно-методическое пособие Казань 2013 УДК 510 Печатается по решению учебно-методической комиссии

Подробнее

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков.

Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Системы линейных уравнений и матрицы второго и третьего порядков. Введение: Рассмотрим систему уравнений вида: { a 11 x 1+a 12 x 2+...+a 1n x n=b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n =b m} Обозначим систему

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Министерство образования и науки Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Л И Магазинников, А Л Магазинникова ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Подробнее

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница

Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических специальностей Составил В. С. Мастяница БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Э К О Н О М И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т Е Т КАФЕДРА АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ И ЭКОНОМЕТРИКИ Линейная алгебра Конспект лекций и практикум для студентов экономических

Подробнее

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца.

Основы матричной алгебры. Положение элементов определяется двойным индексом. Первый ( - номер строки, второй - номер столбца. ) Матрицы, основные определения ) Элементарная алгебра матриц ) Определители и их свойства 4) Обратные матрицы ) Матрицы, основные определения I Определения Совокупность элементов, расположенных в виде

Подробнее

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости

L, проходящая через точку r, с лежащим на ней ненулевым век- Прямая на плоскости Тема 5 Способы задания прямой на плоскости Условие совпадения прямых задаваемых разными линейными уравнениями Геометрические свойства линейных неравенств Способы задания плоскости в пространстве Способы

Подробнее

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ВМЕСТЕ С MAPLE Усов В.В. 1 Скалярное произведение в арифметическом пространстве 1.1 Определение. Основные свойства Скалярное произведение (X, Y ) векторов X = (x 1, x 2,..., x n ), Y =

Подробнее

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2.

Тема 04. Скалярное произведение векторов. Координатное представление скалярного произведения. Векторное. Определение Определение 04.2. Тема 04 Скалярное произведение векторов Координатное представление скалярного произведения Векторное произведение векторов Координатное представление векторного произведения Смешанное произведение тройки

Подробнее