Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность

Размер: px
Начинать показ со страницы:

Download "Структурно-логическая схема. Понятие вектора (В) Линейные операции над В. Сложение. Вычита-ние. Коллинеарность"

Транскрипт

1 Практическое занятие 3. Практикум (рекомендации к практической части) МОДУЛЬ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Тема: Линейные операции над векторами План. Понятие вектора. Основные отношения векторов.. Сложение векторов. 3. Вычитание векторов. 4. Умножение вектора на число. Структурно-логическая схема Длина вектора Понятие вектора (В) Направленный отрезок Основные отношения В Линейные операции над В Векторное пространство Базис (Б) и размерность ВП НДУ коллинеарности Равенство Сонаправле нность Компланарность Умножение на число Коллинеарность НДУ коллинеарности Сложение Вычита-ние Линейная зависимость (ЛЗ) Свойства ЛЗ Геометрически й смысл ЛЗ Коорди наты В в Б Ортон ормир о- ванны й Б Длина В в ОБ Ключевые термины и понятия Вектор, скаляр, длина и направление вектора, единичный и нулевой векторы, орт, коллинеарные векторы, сонаправленные и противоположные векторы, равные векторы, сумма векторов, разность векторов, произведение вектора на число, линейная комбинация векторов, линейная зависимость/ независимость, коллинеарность, компланарность, векторное пространство, свободный, скользящий и связанный векторы, базис, размерность векторного пространства, разложение вектора по базису, координаты вектора в базисе, аффинный базис. Основные факты Отрезок называется направленным, если учитывается порядок задания его концов. Если А и В концы отрезка, причем А первая точка, В вторая точка, то направленный отрезок с таким порядком задания его концов обозначается так: AB. Направленный отрезок можно обозначать также малой латинской буквой с чертой наверху, например: a. На чертеже направление отмечают стрелкой, 4 В

2 обращенной острием к концу отрезка (рис. ). A Рис. Если концы А и В совпадают, то такой направленный отрезок называют нулевым. Направление нулевого направленного отрезка не определено. Длиной направленного отрезка AB называется длина отрезка АВ: AB =АВ. Длина нулевого направленного отрезка считается равной нулю. Ненулевые отрезки AB и CD называются одинаково (противоположно) направленными, если: ) AB CD или совпадают; ) точки В и D лежат по одну сторону рис. а (по разные стороны - рис. б) от прямой АС. Рис. Замечание. В случае совпадения прямых АВ и CD направленные отрезки AB и CD называются одинаково (противоположно) направленными, если пересечение лучей [АВ) и [CD) есть луч (отрезок, точка или пустое множество). Направленные отрезки AB и CD называются эквиполентными, если они одинаково направлены и имеют равные длины. Вектором (свободным вектором) ABназывается совокупность всех направленных отрезков, эквиполентных направленному отрезку AB. Вектор можно обозначать также малой латинской буквой со стрелкой наверху, например: a. Множество всех свободных векторов называется векторным пространством и обозначается V. Совокупность всех направленных отрезков, эквиполентных направленному отрезку AB и лежащих на одной прямой, называется скользящим вектором. Направленный отрезок называют иногда связанным вектором. Направленный отрезок AB называется представителем вектора AB. На чертеже вектор можно задать любым его представителем. Нуль-вектором назовем вектор, определяемый нулевым направленным отрезком AA. Обозначение: 0. Длиной вектора AB называется длина отрезка АВ. AB =АВ= AB. Длина нулевого вектора равна нулю. Вектор называется единичным, если его длина равна единице. 5

3 Векторы AB и CD назовем коллинеарными, если прямые АВ и CD параллельны или совпадают. Обозначение: AB CD. Нуль-вектор считается коллинеарным любому вектору. Векторы AB и CD называют одинаково (противоположно) направленными, если одинаково (противоположно) направлены отрезки AB и CD. Обозначения: AB CD, если векторы одинаково направлены; AB CD, если векторы противоположно направлены. Векторы называют равными, если: ) AB CD ; ) AB = CD. Векторы называют противоположными, если: ) AB CD ; ) AB = CD. Векторы AB и BA противоположны. Обозначение: BA = - AB. Суммой векторов a и b называется вектор c = AC, где AB = a, BC =b, А произвольная точка, В и С точки, полученные после откладывания векторов a и b (рис. 3.). Сумма векторов a и b обозначается a +b. Рис. 3 Рис. 4 В определении заложен алгоритм сложения (построения суммы) векторов, который называется правилом треугольника. Из этого правила следует, что для любых трех точек А, В и С имеет место равенство: AB + BC = AC. Сумму двух векторов можно также построить по правилу параллелограмма: для того чтобы сложить два вектора a и b нужно построить на этих векторах, отложенных от общего начала, параллелограмм; тогда суммой a +b является вектор диагонали этого параллелограмма, исходящий из того же начала (рис. 4). Свойства сложения векторов: ) a +b =b + a (коммутативный закон); 6

4 ) a +(b + c )=( a +b )+ c (ассоциативный закон); 3) a + 0 = a ; 4) a +(- a )= 0. Рис. 5 Разностью векторов a и b, заданных в определенном порядке, называется такой вектор q, который в сумме с вектором b дает вектор a : b + q = a. Разность векторов a и b обозначается a -b. Для построения разности двух векторов a и b достаточно отложить эти векторы от общего начала; тогда разностью a -b является вектор, соединяющий концы данных векторов и направленный в сторону уменьшаемого вектора (от b к a ) (рис.5). Произведением действительного числа α 0 на вектор a 0 называется вектор b, удовлетворяющий двум условиям: ) b = α a ; ) b a, если α>0 и b a, если α<0. Обозначение: b =α a или b =α a. Свойства умножения вектора на число: ) a = a, (-) a =- a ; ) α (β a )=(αβ) a (ассоциативный закон); 3) (α+β) a =α a +β a (дистрибутивный закон относительно сложения скаляров); 4) α ( a +b )=α a +α b (дистрибутивный закон относительно сложения векторов). Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов (НДУ ): Для того чтобы векторы a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало число α R, такое что: b =α a. Три вектора a, b и c называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Примеры решения типовых задач Задача В треугольнике АОВ точка М является серединой стороны АВ. Доказать, что ОМ = (OA +OB ) (рис. 6). Решение Т.к. АМ= АВ, то AМ = AB = (OB -OA ), 7

5 ОМ =OA + AМ =OA + (OB -OA )= = (OA +OB ), ч.т.д. Рис. 6. Задача Доказать, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства, то ОМ = 3 (OA +OB +OC ). Решение По теореме о точке пересечения медиан треугольника AМ = MA, где АА медиана треугольника АВС (рис. 7). Из треугольника ОМА : ОМ = OA - MA. Из треугольника ОМА: ОМ =OA + AМ. Сложив эти равенства почленно и разделив обе части полученного равенства на, имеем: ОМ = (OA + OA + AМ - MA )= = (OA + OA + MA )= (OA + OA + 3 Учитывая, что AA = OA -OA, получим: AA ). ОМ = (OA + OA + ( OA -OA ))= (OA + OA ). Рис Но, учитывая результат задачи, из треугольника ОВС имеем: OA = (OB +OC ), поэтому ОМ = 3 (OA +OB +OC ), ч.т.д. Задача 3 Доказать, что для параллелограмма ABCD, в котором точка М его центр тяжести, и для любой точки О пространства выполняется равенство. OM = ( OA + OB + OC + OD). 4 Решение. O B C AM = AC ; Из треугольника ОАС найдем вектор AC : AC = OC OA. Подставим в A M AM = AC ; AM = ( OC OA). Из треугольника ОАМ найдем OM = DA + AM, OM = OA + ( OC OA), OM = OA + OC OA = ( OC + OA) (). 8 D

6 BM = BD. Из треугольника OBD найдем BD : BD = OD OB, BM = ( OD OB). Из треугольника ОМВ найдем OM = OB + BM, OM = OB + ( OD OB) = OB + OD OB = ( OD + OB) (). Сложим равенства () и () почленно и разделим обе части полученного равенства на : OM + OM = ( OA + OB + OC + OD),OM = ( OA + OC + OB + OD), OM = ( OA + OB + OC + OD) 4 Задачи для самостоятельного решения. В параллелограмме АВСD О точка пересечения диагоналей. Укажите, какие из следующих пар векторов равны, а какие коллинеарны, но не равны: а) AB и CD ; б) AB и DC ; в) BC и CB ; г) AO и BC ; д) OA и CO.. В произвольном треугольнике АВС точки М, N и P соответственно середины сторон АС, АВ и ВС. Среди указанных ниже пар векторов найти пары равных и пары коллинеарных, но не равных векторов: а) AN и MP ; б) NP и CA ; в) BM и PC ; г) PCи BC ; д) AM и MC ; е) NP и CM ; ж) AB и NP. 3. Пусть А, В, С, D произвольные точки, и пусть M, N, P, Q середины отрезков АВ, ВС, CD, DA соответственно. Доказать, что векторы MN и QPравны. 4. В параллелограмме ABCD О - точка пересечения диагоналей, а E и F соответственно середины сторон BC и AD. Построить на чертеже следующие векторы: a) AB +CD ; б) AE + DF ; в) AO - AB ; г) OC +CD +OB ; д) ED + FA + FO ; е) AB + BE -OE +CD. 5. В параллелограмме ABCD О - точка пересечения диагоналей, а точки M, N, P, Q середины сторон АВ, ВС, CD, DA соответственно. Построить на чертеже следующие векторы: а) MO -OA ; б) OC -CP ; в) OQ -OB ; г) AN + MQ ; д) OA - NP ; е) AB -OC. 6. В параллелепипеде ABCDA B C D O точка пересечения диагоналей, а M, N, P, Q середины сторон AA, BB, CC, DD соответственно. Доказать, что: а) MO =OP ; б) QO = ON ; в) MN =QP. 7. Дан тетраэдр ABCD. Построить сумму векторов: а) BC +CD + DA ; б) AD + DC +CB ; в) AB + BC +CD + DA. 8. Дан параллелепипед ABCDA B C D. Построить сумму векторов: а) BC + CC + C B ; б) CB + A в) AC + D A + BD + D D ; г) D C + 9. Дана призма ABCA B C. Построить сумму векторов: B + AD + C D ; AA +CB + C C. 9

7 а) AB + BB + B C ; б) AC + C B + BA ; с) AB + BC + CC + C B + B A. 0. В параллелепипеде ABCDA B C D O точка пересечения диагоналей, а M, N, P, Q середины сторон AA, BB, CC, DD соответственно. Построить векторы, каждый из которых имеет начало и конец в данных по условию точках, равные соответственно следующим векторам: a) AD + CC ; б) AO + MO ; в) AM + D C + NC ; г) OC - B O + BA - AA.. Каким условием должны быть связаны векторы p и q, чтобы вектор p + q делил угол между ними пополам? (Предполагается, что все три вектора отнесены к общему началу). 3. Доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом тогда и только тогда, когда имеет место соотношение: OA + OC =OB +OD, где О произвольная точка пространства. 4. Точка М середина отрезка АВ, а О произвольная точка пространства. Доказать, что OM = OA +OB. 5. Доказать, что если точка М центр тяжести (точка пересечения медиан) треугольника АВС, то MA + MB + MC = 0. и для любой точки О справедливо равенство OM = 3 (OA +OB +OC ). 6. В треугольнике АВС точки М, Н, Р являются серединами сторон. Доказать, что для любой точки О плоскости выполняется равенство OA +OB +OC =OM +OH +OP. 7. Центры тяжести треугольников АВС и A B C пространства совпадают. Доказать, что векторы AA, BB, CC компланарны. 8. Доказать, что для параллелограмма ABCD, в котором точка М его центр тяжести, и для любой точки О пространства выполняется равенство OM = 4 ( OA +OB +OC +OD ). 9. Пусть О и О центры параллелограммов ABCD и A B C D соответственно. Доказать, что OO = ( AA + BB + CC + DD ) Пусть М, N, P, Q середины сторон AB, CD, BC, DE пятиугольника ABCDE, а К, L середины отрезков MN, PQ. Доказать, что KL = 4 AE.. Какому условию должны удовлетворять векторы a и b, чтобы имели место следующие соотношения: а) a +b = a - b ; б) a +b > a -b ; в) a +b < a - b ; 0

8 г) a b = ; д) a +b = a + b ; е) a +b = a - b ; a b ж) a -b = a + b.. Построить следующие векторы: - a ; a ; a ; 3 - a ; 5 5 a ; - ( b + a ); a + 4 b ; a -3b ; a + 3 b ; 3( a - b ). 3. В треугольнике АВС вектор AB = m и вектор AC = n. m + n m n n Построить векторы: ; ; ; m 4. В правильном пятиугольнике ABCDE: m + n. AB = m, BC = n, CD = p, DE = q, EA = r. Построить векторы: а) m n + p q + r ; б) m + p + r ; в) m + n -3 p q + r. 5. В параллелепипеде ABCDA B C D заданы векторы AB = m ; AD = n ; AA = p. Построить следующие векторы: а) m + n + p ; б) m + n + p ; в) m + n + p ; г) m + n p ; д) - m n + p. 6. В параллелепипеде ABCDA B C D точки E, F, G середины сторон AA, AD и CC соответственно. Построить векторы, имеющие начало и конец в данных по условию точках, равные следующим векторам: а) a +b + c ; б) c + b + a ; в) a -b - c ; г) a + b + c, где a = AA, b = AD, c = AB. 7. Дан параллелепипед ABCDA B C D. Доказать, что выполняются следующие равенства: DC + CC + B C = DA + CB + A C =- BA +CB + CC. 8. Дан параллелепипед ABCDA B C D. Найти какие-нибудь векторы, суммой (разностью) которых является вектор: а) AC ; б) BD ; в) C D. 9. Дан тетраэдр ABCD, центр грани BCD которого точка О. Найти: а) какие-нибудь векторы, определенные точками A, B, C, D, O, суммой которых является каждый из векторов DC, AO, BC, BD ; б) какие-нибудь векторы, определенные точками A, B, C, D, O, разностью которых является каждый из векторов AO, AB, DC, BC. 30. Дано изображение параллелепипеда ABCDA B C D. Построить точку М, такую, что: а) CM = б) C M = CB - CA ; C C -CB - A C. 3. Дано изображение тетраэдра РАВС. Построить точку М, такую, что:

9 а) PM = PA - PC ; б) CM = CA - CB + CP. 3. Пользуясь параллелограммом, построенным на векторах a и b, проверить на чертеже справедливость тождеств: а) ( a +b )+( a - b )= a ; б) ( a + b )-( a -b )= b ; в) a +(b - a )=b ; г) a b a + b + = ; д) a b a + b b a b a 3 + b = ; е) ( a + ) ( a + )= ( a - b ); ж) ( a + )+( b + )= ( a +b ). 33. Даны неколлинеарные векторы a и b. При каких значениях α и β для векторов u =α a +β b, v =-β a +3α b, w =4 a -b выполняется равенство u - v = w? 34. В треугольнике АВС медианы АА и СС пересекаются в точке М. Найти множитель m, если: AC = m BC ; б) C B = mc A; в) AM = m MA. а) 35. Найти вектор, определяющий направление биссектрисы угла между ненулевыми векторами a и b. 36. На какое число нужно умножить ненулевой вектор a, чтобы получить вектор b, удовлетворяющий следующим условиям: а) b a и b = ; б) b a и b =3; в) b a и b = n?


α 1 a 1 +α 2 a 2 + +α n a n = 0 (1)

α 1 a 1 +α 2 a 2 + +α n a n = 0 (1) Практическое занятие Тема: Линейная зависимость системы векторов. Базис векторного пространства. Координаты вектора в базисе План. Линейная зависимость системы векторов.. Базис векторного пространства..

Подробнее

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»

Банк заданий по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве» Банк заданий по теме «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» Учащиеся должны знать/понимать: Понятие вектора, способ его изображения и названия Определение равенства векторов, их коллинеарности,

Подробнее

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ»

ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» УТВЕРЖДАЮ: ДЕ Капуткин, Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования г Москвы "30" августа 013г ЗАДАЧИ по теме «ВЕКТОРЫ» МИСиС-013 1 Какие векторы равны

Подробнее

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ. 2. Векторы. 3. Доказать, что для любых трех векторов а, b, c и любых трех чисел α, β, γ ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ 1. Определители 2-го и 3-го порядков. 1. Вычислить определитель второго порядка: а) 1 1 1 1 ; б) 1 + 2 2 5 13547 13647 ; в) 2+ 5 1 2 28423 28523. 2. Вычислить определитель третьего порядка:

Подробнее

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8.

10.1 класс (технологический профиль) уч. год. Геометрия. УМК Атанасян Л.С. Модуль 8. 0 класс (технологический профиль) 208 209 уч год Геометрия УМК Атанасян ЛС Модуль 8 Тема модуля: «Векторы в пространстве Метод координат в пространстве» В процессе изучения данного модуля ученик научится/получит

Подробнее

a b =S пар. = a b sin( a,b );

a b =S пар. = a b sin( a,b ); Практическое занятие 4 Тема: Векторное произведение векторов План Определение и свойства векторного произведения Векторное произведение в координатах Приложение векторного произведения к вычислению площадей

Подробнее

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c).

1. a + b = b + a. 2. (a + b) + c = a + (b + c). Занятие 5 Линейные операции над векторами 5.1 Сложение векторов. Умножение векторов на числа Закрепленным вектором называется направленный отрезок, определенный двумя точками A и B. Точка A называется

Подробнее

Операции над векторами. Сложение векторов

Операции над векторами. Сложение векторов Операции над векторами К линейным действиям над векторами относят сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число Сложение векторов Суммой двух векторов и называется вектор, начало которого совпадает

Подробнее

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов

6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов Векторная алгебра Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ. В

Подробнее

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра

Лекция 28 Глава 1. Векторная алгебра Лекция 8 Глава Векторная алгебра Векторы Величины, которые определяются только своим числовым значением, называются скалярными Примерами скалярных величин: длина, площадь, объѐм, температура, работа, масса

Подробнее

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами.

Лекции подготовлены доц. Мусиной М.В. Векторы. Линейные операции над векторами. Лекции подготовлены доц Мусиной МВ Векторы Линейные операции над векторами Определение Направленный отрезок (или что то же упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором Обозначение: AB Нулевой вектор

Подробнее

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c);

Лекция 4. Операции над векторами: сложение и умножение на число. AB = AC + CB. (a + b) + c = a + (b + c); Лекция 4 1. ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок. Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны) Противоположные векторы: имеют одинаковые длины

Подробнее

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов

Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Тест 371. Сонаправленные векторы. Равенство векторов Пусть ABCD параллелограмм, O точка пересечения его диагоналей, точка K середина его стороны АВ, точка L середина его стороны ВС. Тогда: 1. векторы АВ

Подробнее

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор

Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ. 1. Направленные отрезки и вектор Лекция 3 ВЕКТОР И ЕГО КООРДИНАТЫ 1. Направленные отрезки и вектор Прежде всего напомним определение направленного отрезка. Определение 1. Упорядоченная пара точек (A,B) называется направленным отрезком

Подробнее

Глава II. Векторная алгебра.

Глава II. Векторная алгебра. Глава II. Векторная алгебра. Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением. Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный

Подробнее

5. Применение векторов для решения задач элементарной геометрии.

5. Применение векторов для решения задач элементарной геометрии. Практическое занятие 5 Тема: Смешанное произведение векторов. Применение векторов для решения задач элементарной геометрии План. Определение и свойства смешанного произведения.. Смешанное произведение

Подробнее

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве

Векторная алгебра. Глава Векторы на плоскости и в пространстве Глава 6 Векторная алгебра 6.1. Векторы на плоскости и в пространстве Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок, т. е. отрезок, в котором одна из граничных точек названа

Подробнее

Глава 6. Векторная алгебра. 6.1 Линейные операции

Глава 6. Векторная алгебра. 6.1 Линейные операции Глава 6 Векторная алгебра 61 Линейные операции 1 Доказать, что векторы (1,2) и (2, 3) образуют базис на плоскости Найти в этом базисе координаты векторов (5,3) и ( 4,6) 2 Доказать, что векторы (1, 2, 3),

Подробнее

Лекция 2. Векторы. Определения.

Лекция 2. Векторы. Определения. Лекция 2 Векторы Определения. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указаны начало и конец. B конец вектора A начало вектора Обозначение вектора:

Подробнее

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами.

ВЕКТОРЫ. 1 Определение вектора. Линейные операции над векторами. ВЕКТОРЫ Определение вектора Линейные операции над векторами Вектором на плоскости или в пространстве называется направленный отрезок, для которого указаны начало и конец Обозначения: AB, Точка А начало

Подробнее

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы.

Векторная алгебра Направленные отрезки и векторы. ГЛАВА 1. Векторная алгебра. 1.1. Направленные отрезки и векторы. Рассмотрим евклидово пространство. Пусть прямые (AB) и (CD) параллельны. Тогда лучи [AB) и [CD) называются одинаково направленными (соответственно

Подробнее

Геометрические векторы

Геометрические векторы Геометрические векторы Определение Вектором называется направленный отрезок начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе) Если начало вектора - точка А, а его

Подробнее

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB.

-1-2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах.. Найти высоту грани ОВС тетраэдра ОАВС, опущенную из конца вектора OB. --. Показать, что векторы a { ;2;0 }, b { 2; ; }, c { ;; } компланарны и найти разложение вектора 2 a + b по векторам a и b. 2. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a m n, b 2 m + 3n

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ) Т.С. ХАЧАТРЯН, Н.П. ХОВАНСКАЯ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

Подробнее

Тема 1-12: Линейные операции над векторами

Тема 1-12: Линейные операции над векторами Тема 1-12: Линейные операции над векторами А. Я. Овсянников Уральский федеральный университет Институт математики и компьютерных наук кафедра алгебры и дискретной математики алгебра и геометрия для механиков

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

Подробнее

Введение в линейную алгебру

Введение в линейную алгебру Введение в линейную алгебру Матрицы. Определение. Таблица m n чисел вида m m n n mn состоящая из m строк и n столбцов называется матрицей. Элементы матрицы нумеруются аналогично элементам определителя

Подробнее

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка

Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка Лекция 2 Векторы Определители второго и третьего порядка 1 ВЕКТОРЫ Вектор направленный отрезок Равные векторы: имеют одинаковые длины и совпадающие направления (параллельны и направлены в одну стороны)

Подробнее

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Система упражнений по векторной алгебре для студентов

Подробнее

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ ФГБОУ ВПО "Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского" СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ Учебное пособие А.В. Букушева, А.В. Гохман, М.В. Лосик Саратов 2013 ВВЕДЕНИЕ Традиционно курс

Подробнее

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА И СВЯЗИ УКРАИНЫ Государственный департамент по вопросам связи и информатизации ОДЕССКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ им АС ПОПОВА Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное

Подробнее

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

ВАРИАНТ Даны точки А(1,1,1) и В(4,5,-3). Найти проекцию AB на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы. ВАРИАНТ 1 1. ABCDEF вершины правильного шестиугольника. Равны ли векторы a) 4 BC и 2 AD b) 2 DC и 2 AF 2. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + 3q 3r и b = 3 p + 4q где p, q, r - единичные векторы,

Подробнее

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.

ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство. ЛЕКЦИЯ N4. Векторное пространство. Линейные операции над векторами. Векторная алгебра. 1.Векторное пространство.... 1 2.Векторная алгебра.... 2 3.Системы координат... 6 1.Векторное пространство. Рассмотрим

Подробнее

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю):

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю): Общие сведения Кафедра МиММЭ Направление подготовки 5 Педагогическое образование, профиль «Математика

Подробнее

3.4 Векторы. Метод координат

3.4 Векторы. Метод координат 3.4. ВЕКТОРЫ. МЕТОД КООРДИНАТ 167 3.4 Векторы. Метод координат 3.4.1 Понятие вектора. Свойства Будем называть направленным отрезком AB упорядоченную пару (см. определение 16) точек A; B трехмерного пространства

Подробнее

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона.

Векторная алгебра. Термин вектор (от лат. Vector - несущий ) впервые появился в 1845 г. у ирландского математика Уильяма Гамильтона. Векторная алгебра Содержание 1. Вектор. Действия над векторами 3. Линейная зависимость векторов 4. Координаты вектора в базисе 5. Действия с векторами в коорд. форме 6. Декартова система координат 7. Проекция

Подробнее

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4

Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция 1.4 Аннотация Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор,

Подробнее

Математика 9 класс ВЕКТОРЫ

Математика 9 класс ВЕКТОРЫ МИНИСТЕРСТО ОБРАЗОАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НООСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТЕННЫЙ УНИЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 9 класс ЕКТОРЫ Новосибирск ведение Многие явления в окружающей

Подробнее

Лекция 2: Линейные операции над векторами

Лекция 2: Линейные операции над векторами Лекция 2: Линейные операции над векторами Уральский федеральный университет, Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики Вступительные замечания Мы приступаем к изучению

Подробнее

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними.

Лекция 3. Вектора и линейные операции над ними. Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

Подробнее

и c r к одному началу точке O, через конец вектора c r проведём прямые, параллельные векторам a r и b r

и c r к одному началу точке O, через конец вектора c r проведём прямые, параллельные векторам a r и b r . Векторный метод решения задач стереометрии без использования прямоугольных координат Напомним следующую теорему о векторах одной плоскости (теорема о разложении): Пусть векторы a и b не коллинеарны,

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация 1 ВЕКТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ ЗАДАЧА 1. Задача о делении отрезка в заданном отношении. Пусть A и B различные точки, заданные радиус векторами r A и r B относительно

Подробнее

Практикум по геометрии

Практикум по геометрии Тема: Практикум по геометрии ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Действия над векторами Координаты векторов (наименование темы) Продолжительность часа Вопросы, выносимые на обсуждение Векторы Действия над векторами Линейная

Подробнее

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах

5. Векторы. 5.1 Определение и начальные сведения о векторах 49 5 Векторы 51 Определение и начальные сведения о векторах Любые две точки А,В определяют направленный отрезок, если точка А определяет начало, точка В конец отрезка, направление задается от А к В Направленный

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 4 ВЕКТОРЫ. БАЗИС 1. Базис векторов Определение 1. Векторы a 1,a 2,...,a n называются упорядоченными, если указано какой вектор из этой системы является первым, какой

Подробнее

7 класс 1. Виды углов.

7 класс 1. Виды углов. 7 класс 1. Виды углов. Угол называется прямым, если он равен 90 0. Угол называется острым, если он меньше 90 0. Угол называется тупым, если он больше 90 0, но меньше 180 0. Прямой угол Острый угол Тупой

Подробнее

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты

Векторная алгебра Цель изучения Основные понятия 4.1. Векторы и координаты Векторная алгебра Понятие векторного пространства. Линейная зависимость векторов. Свойства. Понятие базиса. Координаты вектора. Линейные преобразования векторных пространств. Собственные числа и собственные

Подробнее

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе.

Задачи к экзамену по стереометрии в 10 классе. Задачи к экзамену по стереометрии в 0 классе. Векторы и координаты.. Векторная формула медианы тетраэдра. Докажите, что если М точка пересечения медиан треугольника АВС, а О произвольная точка пространства,

Подробнее

Иркутский государственный университет ИМЭИ ИГУ Кафедра алгебры и геометрии. Векторная алгебра. Методическое пособие. г. Иркутск

Иркутский государственный университет ИМЭИ ИГУ Кафедра алгебры и геометрии. Векторная алгебра. Методическое пособие. г. Иркутск Иркутский государственный университет ИМЭИ ИГУ Кафедра алгебры и геометрии Векторная алгебра Методическое пособие г Иркутск Содержит необходимый теоретический материал, подробное решение задач Варианты

Подробнее

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана. Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Подробнее

Гольдман М.Л. Сивкова Е.О.

Гольдман М.Л. Сивкова Е.О. Аналитическая геометрия М. Л. Гольдман Е. О. Сивкова Москва 014 ББК М УДК Рецензенты: Научный редактор: Гольдман М. Л., Сивкова Е. О. Аналитическая геометрия. Учебное пособие/ Федеральное государственное

Подробнее

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK,

б) Координаты точек K и L середин ребер A 1 B 1 и CC 1 соответственно. Найдем координаты точек K, L из разложения векторов AK, . Дан параллелепипед ABCDA B C D. Принимая за начало координат вершину A, а за базисные векторы AB, AD, AA, найти координаты: а) вершин C, B, C ; б) точек K и L середин ребер A B и CC соответственно. Решение:

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. Часть 1. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Составители, О.В. Иванова Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Томский государственный архитектурно-строительный университет»

Подробнее

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ Н.Н. Корнеева, М.Ф. Насрутдинов, Ф.Ф. Шарифуллина СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ

Подробнее

Н. И. ГУСЕВА, Н. C. ДЕНИСОВА, O. Ю. ТЕСЛЯ. Сборник задач. по геометрии. в 2-х частях. Часть I

Н. И. ГУСЕВА, Н. C. ДЕНИСОВА, O. Ю. ТЕСЛЯ. Сборник задач. по геометрии. в 2-х частях. Часть I Н. И. ГУСЕВА, Н. C. ДЕНИСОВА, O. Ю. ТЕСЛЯ Сборник задач по геометрии в -х частях Часть I Рекомендовано УМО по специальностям педагогического образования в качестве учебного пособия для студентов высших

Подробнее

Электронная библиотека

Электронная библиотека ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА Методические указания к практическим занятиям

Подробнее

4. Векторная алгебра

4. Векторная алгебра 15 4 Векторная алгебра Вариант 1 11 Даны две точки М( 5; 7; 6) и N (7; 9; 9) Найти проекцию вектора a ( 1; 3; 1) на направление вектора MN 12 Вычислить работу силы F ( 3; 2; 5) приложенной к точке А(2;

Подробнее

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости

МАТЕМАТИКА Векторы на плоскости и в пространстве. Уравнение плоскости Агентство образования администрации Красноярского края Красноярский государственный университет Заочная естественно-научная школа при КрасГУ Математика: Модуль 3 для класса. Учебно-методическая часть./

Подробнее

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b.

a + x = a + ( ( a) + b ) = ( a + ( a) ) + b = 0 + b = b. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» А.Н. Канатников, А.П. Крищенко

Подробнее

Министерство образования и науки Российской Федерации

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический

Подробнее

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4

Аналитическая геометрия. Лекция 1.4 Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана Факультет Фундаментальные науки Кафедра Высшая математика Аналитическая геометрия Модуль 1. Матричная алгебра. Векторная алгебра Лекция

Подробнее

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ . ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА и АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1 1. Векторная алгебра 1. Понятие вектора Вектором будем называть направленный отрезок, т. е. отрезок с заданным на нём направлением. На рисунке направление

Подробнее

Заочная школа. ВЕКТОРЫ 9-й класс, задание 2

Заочная школа. ВЕКТОРЫ 9-й класс, задание 2 НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Специализированный учебно-научный центр Заочная школа Математическое отделение ВЕКТОРЫ 9-й класс, задание Новосибирск 00 г. ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ РАБОТ Приступая

Подробнее

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г.

Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. Вопросы по АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ К устному экзамену 22 января 2016 г. kiv@icm.krasn.ru 1. Вектор. Равенство векторов. Коллинеарные и компланарные векторы. 2. Линейные операции над векторами и их свойства.

Подробнее

Т е м а 1. Практика 1. В классе (5 номеров)

Т е м а 1. Практика 1. В классе (5 номеров) Т е м а 1 ПОВТОРЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИИ Практика 1 В классе (5 номеров) 1. Основания трапеции равны a и b (a > b). Найдите длину отрезка MN, концы которого делят боковые стороны AB и CD в отношении AM : MB =

Подробнее

0.5 setgray0 0.5 setgray1

0.5 setgray0 0.5 setgray1 0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Консультация ВЕКТОРЫ. БАЗИС И КООРДИНАТЫ ЗАДАЧА 1. В некоторой системе координат {O,e 1,e,e } заданы координаты трех вершин треугольника ABC: A(x A,y A,z A, B(x B,y B,z B и

Подробнее

В Е К Т О Р Ы 8 класс

В Е К Т О Р Ы 8 класс Серия «Зачет на 5» В Е К Т О Р Ы 8 класс НОЯБРЬСК Серия «Зачет на 5» основана в 003 году. Автор-оставитель: Зайцева И.А. Векторы. 8 класс: Учебное пособие для подготовки учащихся к устному зачету по геометрии

Подробнее

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Лекция 1.2. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Лекция.. Геометрические векторы, линейная зависимость, базис. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов Аннотация: Вводится понятие линейной независимости системы геометрических векторов.

Подробнее

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.)

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Базовые задачи (на 3) 1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D разбивают сторону BC на три равных отрезка. Найдите

Подробнее

Элементы высшей математики

Элементы высшей математики Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 5 Элементы аналитической геометрии на плоскости

Подробнее

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики.

«Элементы векторной алгебры» Тема4. Минестерство образования Республики Беларусь. Кафедра теоретической и прикладной математики. Минестерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема4. «Элементы векторной алгебры» Уи льям Ро уэн Га мильтон Кафедра теоретической и прикладной

Подробнее

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика»

Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет. Кафедра «Высшая математика» Министерство образования и науки Кыргызской республики ГОУВПО Кыргызско-Российский славянский университет Кафедра «Высшая математика» ЛГ Лелевкина, АК Курманбаева ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебно-методическое

Подробнее

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016

Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам к экзамену в январе 2016 Аналитическая геометрия, вопросы и задачи группам 01-03 к экзамену в январе 2016 1. Операции сложения векторов и умножения вектора на число, их свойства. 2. Линейно зависимые и линейно независимые системы

Подробнее

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение)

Линейная алгебра Лекция 8. Векторы (продолжение) Линейная алгебра Лекция 8 Векторы продолжение) Геометрическая интерпретация Вектор в геометрии упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая концом вектора В конце вектора ставится

Подробнее

Лекция 6. Геометрические векторы.

Лекция 6. Геометрические векторы. Лектор Гущина Елена Николаевна, кафедра Высшей математики 2. Лекция 6. Геометрические векторы. Вектор как направленный отрезок. Сложение векторов и умножение вектора на число. Свойства линейных операций.

Подробнее

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В.

-1-4. Дан треугольник с вершинами в точках А(1;-1;2), В(2;1;-1), С(-1;1;3). Найти его площадь и высоту, опущенную из вершины В. -- Доказать, что векторы e = { ;2;, e 2 = { 2;; }, e 3 = { ;2;3 } образуют базис Найти разложение в этом базисе вектора a = { ;3;2 } 2 Найти длину вектора a = 3e 2e2, где e =, e2 = 2, векторы угол в 30

Подробнее

Свободные векторы можно переносить в любую точку пространства с сохранением длины и направления.

Свободные векторы можно переносить в любую точку пространства с сохранением длины и направления. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Тема Понятие вектора Линейные операции над векторами Линейная комбинация векторов Линейная зависимость и линейная независимость векторов Известно что ряд физических величин являются векторами

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВЕКТОРНАЯ И МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника А ( ) В ( ) С ( ) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма

Подробнее

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ТИПОВОЙ РАСЧЕТ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» ВАРИАНТ Даны вершины треугольника: А(-); В(5-) и С(-) Определить его внешний угол при вершине А Определить длины диагоналей параллелограмма построенного

Подробнее

π направление на плоскости

π направление на плоскости . ПРОЕКЦИИ НА ПРЯМУЮ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКОСТЕЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЕРЕНОСОВ В этом параграфе A будет обозначать плоскость параллельных переносов. Пусть l фиксированная прямая в A и направление на плоскости

Подробнее

Министерство инфраструктуры Украины Государственная служба связи Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова. Кафедра высшей математики

Министерство инфраструктуры Украины Государственная служба связи Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова. Кафедра высшей математики Министерство инфраструктуры Украины Государственная служба связи Одесская национальная академия связи им АС Попова Кафедра высшей математики ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Учебное пособие для иностранных студентов

Подробнее

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Учебное пособие Осипенко Л.А. доцент кафедры ТВиДМ ИМЭИ ИГУ Первая глава учебного пособия. Предназначена для студентов первого курса специальности «Математика» и «Математическое

Подробнее

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1

Преобразование АСК Основные факты Рассмотрим на плоскости две аффинные системы координат O e 1 МОДУЛЬ МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Практическое занятие 6-7 Тема: Преобразование координат Полярные координаты Расстояние между точками Деление отрезка в данном отношении Метод координат План Преобразование

Подробнее

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

1. ВЕКТОРЫ. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ Оглавление 1. Векторы. Действия над векторами 4 2. Скалярное произведение векторов 14 3. Векторное произведение векторов 19 4. Смешанное произведение векторов 24 5. Прямая на плоскости 28 6. Плоскость

Подробнее

Векторы в пространстве. Выполнили: Девахина Д.П., Иванова П.М. Учитель: Шорникова С.П.

Векторы в пространстве. Выполнили: Девахина Д.П., Иванова П.М. Учитель: Шорникова С.П. Векторы в пространстве Выполнили: Девахина Д.П., Иванова П.М. Учитель: Шорникова С.П. Понятие вектора в пространстве Вектор(направленный отрезок) отрезок, для которого указано какой из его концов считается

Подробнее

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то

a b, a если векторы имеют противоположное направление, то ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ R 3 4 Геометрические векторы 4Основные понятия Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок Вектор как правило обозначают B, при этом точки и B обозначают

Подробнее

Решение типового варианта заданий по теме. "Аналитическая геометрия и векторная алгебра"

Решение типового варианта заданий по теме. Аналитическая геометрия и векторная алгебра Решение типового варианта заданий по теме "Аналитическая геометрия и векторная алгебра" Автор: ассистент кафедры высшей математики БГУИР Василюк Людмила Ивановна Содержание Задание Задание 0 Задание Задание

Подробнее

12+ УДК 373:51 ББК 22.1я72 Г68

12+ УДК 373:51 ББК 22.1я72 Г68 УДК 373:51 ББК 22.1я72 Г68 Г68 Гордин Р. К. ЕГЭ 2018. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. М.: МЦНМО, 2018. 128 с. ISBN 978-5-4439-1214-1 Пособия

Подробнее

на множестве векторов Понятие линейного пространства

на множестве векторов Понятие линейного пространства Линейная алгебра и аналитическая геометрия Тема: Векторы. Линейные операции на множестве векторов Понятие линейного пространства Лектор Рожкова С.В. 2012 г. Глава II. Векторная алгебра. Элементы теории

Подробнее

Вписанные углы, четырехугольники, окружности. Вписанные углы

Вписанные углы, четырехугольники, окружности. Вписанные углы Вписанные углы, четырехугольники, окружности Вписанные углы 1. Две окружности пересекаются в точках A и B. Продолжения хорд AC и BD первой окружности пересекают вторую окружность в точках E и F. Докажите,

Подробнее

Обязательный образовательный минимум. Содержание определения (понятия) Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n

Обязательный образовательный минимум. Содержание определения (понятия) Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n Обязательный образовательный минимум Класс 9 Предмет Математика Четверть I 1 Степень с целым Для любого числа a, не равного нулю, и целого отрицательного числа n Для любого числа a, на равного нулю, определения

Подробнее

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости

Тема: Смешанное произведение векторов. Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости Лекция 7 МЕТОД КООРДИНАТ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ Тема: Смешанное произведение векторов Аффинные и прямоугольные координаты на плоскости План лекции Определение и геометрический смысл смешанного произведения

Подробнее

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой.

Контрольная 2 Геометрия-1. Матфак ВШЭ, осень Если в условии не оговорено обратное, то система координат предполагается прямоугольной декартовой. Вариант 1 Задача 1. Является ли векторным пространством множество многочленов P (x) степени не выше 2, удовлетворяющих условию P (1) = 0? Если да, постройте какой-нибудь базис и найдите размерность этого

Подробнее

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K

Занятие 1. Векторный анализ Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z. для определения которых K Занятие 1. Векторный анализ. 1.1. Краткое теоретическое введение. Физические величины, Z Z (M) для определения которых K достаточно задать одно число Y K (положительное или Y отрицательное) называются

Подробнее

7. НАПРАВЛЕННЫЕ ОТРЕЗКИ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНОСЫ И ВЕКТОРЫ

7. НАПРАВЛЕННЫЕ ОТРЕЗКИ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНОСЫ И ВЕКТОРЫ 7. НАПРАВЛЕННЫЕ ОТРЕЗКИ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЕРЕНОСЫ И ВЕКТОРЫ Напомним (определение 1.4), что отрезком в плоскости аффинного типа называется пара ее точек { A, B }. Понятно, что { B, A } отрезок, совпадающий

Подробнее

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Упражнения по теме ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Доказать тождество: а y y y y б Доказать что Даны ненулевой вектор и скаляр Найти любое решение уравнения Подсказка: вектор характеризуется направлением и длиной так

Подробнее

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЗАНЯТИЕ МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Дать определение матрицы Классификация матриц по размерам Что такое нулевая и единичная матрицы? При каких условиях матрицы считаются равными?

Подробнее

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Средняя линия треугольника Средняя линия треугольника это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Говоря о средней линии, третью сторону

Подробнее

Задания для аудиторной и самостоятельной работы

Задания для аудиторной и самостоятельной работы Задания для аудиторной и самостоятельной работы Решите системы линейных уравнений методом Крамера (если это возможно) и методом Гаусса ( ):,,,, 4,, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5,, 6 4 4 4,, 8, 9,, 4 4 5 Контрольный

Подробнее

называется суммой векторов a и b = b. Докажем,. Так как AB = A 1 и и выполнено аналогичное построение: A1 B1

называется суммой векторов a и b = b. Докажем,. Так как AB = A 1 и и выполнено аналогичное построение: A1 B1 Лекция 2 Тема: Сложение и вычитание векторов Умножение вектора на число НДУ коллинеарности План лекции Сложение векторов 2 Вычитание векторов Модуль суммы и модуль разности векторов 3 Определение и свойства

Подробнее